Алгебраическое выражение

выражение, составленное из букв и цифр, соединённых знаками действий сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня (показатели степени и корня должны быть постоянными числами). А. в. называется рациональным относительно некоторых букв, в него входящих, если оно не содержит их под знаком извлечения корня, например

рационально относительно a, b и с. А. в. называется целым относительно некоторых букв, если оно не содержит деления на выражения, содержащие эти буквы, например 3а/с + bc 2 - 3ас/4 является целым относительно а и b. Если некоторые из букв (или все) считать переменными, то А. в. есть Алгебраическая функция .

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Смотреть что такое "Алгебраическое выражение" в других словарях:

Выражение, составленное из букв и чисел, соединенных знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Большой Энциклопедический словарь

алгебраическое выражение - — Тематики нефтегазовая промышленность EN algebraic expression … Справочник технического переводчика

Алгебраическим выражением называется одна или несколько алгебраических величин (чисел и букв), соединенных между собой знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, а также извлечения корня и возведения в целую… … Википедия

Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебраических действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня. * * * АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ, выражение,… … Энциклопедический словарь

алгебраическое выражение - algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. algebraic expression vok. algebraischer Ausdruck, m rus. алгебраическое выражение, n pranc. expression algébrique, f … Fizikos terminų žodynas

Выражение, составленное из букв и чисел, соединённых знаками алгебр. действий: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня … Естествознание. Энциклопедический словарь

Алгебраическим выражением относительно данного переменного, в отличие от трансцендентного, называют такое выражение, которое не содержит иных функций от данного количества, кроме сумм, произведений или степеней этого количества, причем слагаемыми … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ВЫРАЖЕНИЕ, выражения, ср. 1. Действие по гл. выразить выражать. Не нахожу слов для выражения своей благодарности. 2. чаще ед. Воплощение идеи в формах какого нибудь искусства (филос.). Только крупный художник способен создать такое выражение,… … Толковый словарь Ушакова

Уравнение, получающееся при приравнивании двух алгебраических выражений (См. Алгебраическое выражение). А. у. с одним неизвестным называется дробным, если неизвестное входит в знаменатель, и иррациональным, если неизвестное входит под… … Большая советская энциклопедия

ВЫРАЖЕНИЕ - первичное математическое понятие, под которым подразумевают запись из букв и чисел, соединённых знаками арифметических действий, при этом могут быть использованы скобки, обозначения функций и т.п.; обычно В формула млн. её часть. Различают В (1)… … Большая политехническая энциклопедия

Уроки алгебры знакомят нас с различными видами выражений. По мере поступления нового материала выражения усложняются. При знакомстве со степенями они постепенно добавляются в выражение, усложняя его. Также происходит с дробями и другими выражениями.

Чтобы изучение материала было максимально удобным, это производится по определенным названиям для того, чтобы можно было их выделить. Данная статья даст полный обзор всех основных школьных алгебраических выражений.

Одночлены и многочлены

Выражения одночлены и многочлены изучаются в школьной программе, начиная с 7 класса. В учебники были даны определения такого вида.

Определение 1

Одночлены – это числа, переменные, их степени с натуральным показателем, любые произведения, сделанные с их помощью.

Определение 2

Многочленами называют сумму одночленов.

Если взять, к примеру число 5 , переменную x , степень z 7 ,тогда произведения вида 5 · x и 7 · x · 2 · 7 · z 7 считаются одночленами. Когда берется сумма одночленов вида 5 + x или z 7 + 7 + 7 · x · 2 · 7 · z 7 , тогда получаем многочлен.

Чтобы отличать одночлен от многочлена, обращают внимание на степени и их определения. Немаловажно понятие коэффициента. При приведении подобных слагаемых их разделяют на свободный член многочлена или старший коэффициент.

Над одночленами и многочленами чаще всего выполняются какие-то действия, после которых выражение приводится к вижу одночлена. Выполняется сложение, вычитание, умножение и деление, опираясь на алгоритм для выполнения действий с многочленами.

Когда имеется одна переменная, не исключено деление многочлена на многочлен, которые представляются в виде произведения. Такое действие получило название разложение многочлена на множители.

Рациональные (алгебраические) дроби

Понятие рациональные дроби изучаются в 8 классе средней школы. Некоторые авторы называют их алгебраическими дробями.

Определение 3

Рациональной алгебраической дробью называют дробь, в которой на месте числителя и знаменателя выступают многочлены или одночлены, числа.

Рассмотрим на примере записи рациональных дробей типа 3 x + 2 , 2 · a + 3 · b 4 , x 2 + 1 x 2 - 2 и 2 2 · x + - 5 1 5 · y 3 · x x 2 + 4 . Опираясь на определение, можно сказать, что каждая дробь считается рациональной дробью.

Алгебраические дроби можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень. Подробнее это рассматривается в разделе действий с алгебраическими дробями. Если необходимо преобразовать дробь, нередко пользуются свойством сокращения и приведения к общему знаменателю.

Рациональные выражения

В школьном курсе изучается понятие иррациональных дробей, так как необходима работа с рациональными выражениями.

Определение 4

Рациональные выражения считаются числовыми и буквенными выражениями, где используются рациональные числа и буквы со сложением, вычитанием, умножением, делением, возведением в целую степень.

Рациональные выражения могут не иметь знаков, принадлежащих функции, которые приводят к иррациональности. Рациональные выражения не содержат корней, степеней с дробными иррациональными показателями, степеней с переменными в показателе, логарифмических выражений, тригонометрических функций и так далее.

Основываясь на правиле, приведенном выше, приведем примеры рациональных выражений. Из выше сказанного определения имеем, что как числовое выражение вида 1 2 + 3 4 , так и 5 , 2 + (- 0 , 1) 2 · 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 · 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 считаются рациональными. Выражения, содержащие буквенные обозначения, также относят к рациональным a 2 + b 2 3 · a - 0 , 5 · b , с переменными вида a · x 2 + b · x + c и x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Все рациональные выражения подразделяют на целые и дробные.

Целые рациональные выражения

Определение 5

Целые рациональные выражения – это такие выражения, не содержащие деления на выражения с переменными отрицательной степени.

Из определения имеем, что целое рациональное выражение – это и выражение, содержащее буквы, например, а + 1 , выражение, содержащее несколько переменных, например, x 2 · y 3 − z + 3 2 и a + b 3 .

Выражения вида x: (y − 1) и 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 не могут быть целыми рациональными, так как имеют деление на выражение с переменными.

Дробные рациональные выражения

Определение 6

Дробное рациональное выражение – это выражение, которое содержит деление на выражение с переменными отрицательной степени.

Из определения следует, что дробные рациональные выражения могу быть 1: x , 5 x 3 - y 3 + x + x 2 и 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Если рассматривать выражения такого типа (2 · x − x 2) : 4 и a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4 , 2 , то дробными рациональными они не считаются, так как не имеют в знаменателе выражений с переменными.

Выражения со степенями

Определение 7

Выражения, которые содержат степени в любой части записи, называют выражениями со степенями или степенными выражениями .

Для понятия приведем пример такого выражения. В них могут отсутствовать переменные, например, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 , 5 3 , 5 · 5 - 2 5 - 1 , 5 . Также характерны степенные выражения вида 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 . Для того, чтобы решить их, необходимо выполнять некоторые преобразования.

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Корень, имеющий место быть в выражении, дает ему иное название. Их называют иррациональными.

Определение 8

Иррациональными выражениями называют выражения, которые имеют в записи знаки корней.

Из определения видно, что это выражения вида 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x · y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x и x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . В каждом из них имеется хотя бы один значок корня. Корни и степени связаны, поэтому можно видеть такие записи выражений, как x 7 3 - 2 5 , n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3 .

Тригонометрические выражения

Определение 9

Тригонометрическое выражение – это выражения с содержанием sin , cos , tg и ctg и их обратные – arcsin , arccos , arctg и arcctg .

Примеры тригонометрических функций очевидны: sin π 4 · cos π 6 cos 6 x - 1 и 2 sin x · t g 2 x + 3 , 4 3 · t g π - arcsin - 3 5 .

Для работы с такими функциями необходимо пользоваться свойствами, основными формулами прямых и обратных функций. Статья преобразование тригонометрических функций раскроет этот вопрос подробней.

Логарифмические выражения

После знакомства с логарифмами можно говорить о сложных логарифмических выражениях.

Определение 10

Выражения, которые имеют логарифмы, называют логарифмическими .

Примером таких функций могут быть log 3 9 + ln e , log 2 (4 · a · b) , log 7 2 (x · 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Можно встретить такие выражения, где есть степени и логарифмы. Это итак понятно, так как из определения логарифма следует, что это является показателем степени. Тогда получаем выражения вида x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Для углубления изучения материала, следует обратиться к материалу о преобразовании логарифмических выражений.

Дроби

Существуют выражения особого вида, которые получили название дроби. Так как они имеют числитель и знаменатель, то они могут содержать не просто числовые значения, а также выражения любого типа. Рассмотрим определение дроби.

Определение 11

Дробью называют такое выражение, имеющее числитель и знаменатель, в которых имеются как числовые, так и буквенные обозначения или выражения.

Примеры дробей, которые имеют числа в числителе и знаменателе, выглядят так 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Числитель и знаменатель может содержать как численные, так и буквенные выражения вида (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

Хотя такие выражения, как 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 не являются дробями, однако, имеют дробь в своей записи.

Выражение общего вида

Старшие классы рассматривают задачи повышенной трудности, где собраны все комбинированные задания группы С по ЕГЭ. Эти выражения отличаются особой сложностью и различными комбинациями корней, логарифмов, степеней, тригонометрических функций. Это задания типа x 2 - 1 · sin x + π 3 или sin a r c t g x - a · x 1 + x 2 .

Их вид говорит о том, что можно отнести к любому из вышеперечисленных видов. Чаще всего их не относят ни к какому, так как они имеют специфичное комбинированное решение. Их рассматривают как выражения общего вида, причем для описания не используются дополнительные уточнения или выражения.

При решении такого алгебраического выражения всегда необходимо обращать внимание на его запись, наличие дроби, степеней или дополнительных выражений. Это нужно для того, чтобы точно определиться со способом его решения. Если нет уверенности в его названии, то рекомендуется называть его выражением общего типа и решать, согласно выше написанному алгоритму.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На уроках алгебры в школе мы сталкиваемся с выражениями различного вида. По мере изучения нового материала записи выражений становятся все разнообразнее и сложнее. Например, познакомились со степенями – в составе выражений появились степени, изучили дроби – появились дробные выражения и т.д.

Для удобства описания материала, выражениям, состоящим из схожих элементов, дали определенные названия, чтобы выделить их из всего разнообразия выражений. В этой статье мы ознакомимся с ними, то есть, дадим обзор основных выражений, изучаемых на уроках алгебры в школе.

Навигация по странице.

Одночлены и многочлены

Начнем с выражений, имеющих название одночлены и многочлены . На момент написания этой статьи разговор про одночлены и многочлены начинается на уроках алгебры в 7 классе. Там даются следующие определения.

Определение.

Одночленами называются числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.

Определение.

Многочлены – это сумма одночленов.

Например, число 5 , переменная x , степень z 7 , произведения 5·x и 7·x·2·7·z 7 – это все одночлены. Если же взять сумму одночленов, например, 5+x или z 7 +7+7·x·2·7·z 7 , то получим многочлен.

Работа с одночленами и многочленами часто подразумевает выполнение действий с ними. Так на множестве одночленов определено умножение одночленов и возведение одночлена в степень , в том смысле, что в результате их выполнения получается одночлен.

На множестве многочленов определено сложение, вычитание, умножение, возведение в степень. Как определяются эти действия, и по каким правилам они выполняются, мы поговорим в статье действия с многочленами .

Если говорить про многочлены с единственной переменной, то при работе с ними значительную практическую значимость имеет деление многочлена на многочлен , а также часто такие многочлены приходится представлять в виде произведения, это действие имеет название разложение многочлена на множители .

Рациональные (алгебраические) дроби

В 8 классе начинается изучение выражений, содержащих деление на выражение с переменными. И первыми такими выражениями выступают рациональные дроби , которые некоторые авторы называют алгебраическими дробями .

Определение.

Рациональная (алгебраическая) дробь это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены, в частности, одночлены и числа.

Приведем несколько примеров рациональных дробей: и . К слову, любая обыкновенная дробь является рациональной (алгебраической) дробью.

На множестве алгебраических дробей вводятся сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень. Как это делается объяснено в статье действия с алгебраическими дробями .

Часто приходится выполнять и преобразование алгебраических дробей , наиболее распространенными из них являются сокращение и приведение к новому знаменателю.

Рациональные выражения

Определение.

Выражения со степенями (степенные выражения) – это выражения, содержащие степени в своей записи.

Приведем несколько примеров выражений со степенями. Они могут не содержать переменных, например, 2 3 , . Также имеют место степенные выражения с переменными: и т.п.

Не помешает ознакомиться с тем, как выполняется преобразование выражений со степенями .

Иррациональные выражения, выражения с корнями

Определение.

Выражения, содержащие логарифмы называют логарифмическими выражениями .

Примерами логарифмических выражений являются log 3 9+lne , log 2 (4·a·b) , .

Очень часто в выражениях встречаются одновременно и степени и логарифмы, что и понятно, так как по определению логарифм есть показатель степени. В результате естественно выглядят выражения подобного вида: .

В продолжение темы обращайтесь к материалу преобразование логарифмических выражений .

Дроби

В этом пункте мы рассмотрим выражения особого вида - дроби.

Дробь расширяет понятие . Дроби также имеют числитель и знаменатель, находящиеся соответственно сверху и снизу горизонтальной дробной черты (слева и справа наклонной дробной черты). Только в отличие от обыкновенных дробей, в числителе и знаменателе могут быть не только натуральные числа, но и любые другие числа, а также любые выражения.

Итак, дадим определение дроби.

Определение.

Дробь – это выражение, состоящее из разделенных дробной чертой числителя и знаменателя, которые представляют собой некоторые числовые или буквенные выражения или числа.

Данное определение позволяет привести примеры дробей.

Начнем с примеров дробей, числителями и знаменателями которых являются числа: 1/4 , , (−15)/(−2) . В числителе и знаменателе дроби могут быть и выражения, как числовые, так и буквенные. Вот примеры таких дробей: (a+1)/3 , (a+b+c)/(a 2 +b 2) , .

А вот выражения 2/5−3/7 , дробями не являются, хотя и содержат дроби в своих записях.

Выражения общего вида

В старших классах, особенно в задачах повышенной трудности и задачах группы С в ЕГЭ по математике, будут попадаться выражения сложного вида, содержащие в своей записи одновременно и корни, и степени, и логарифмы, и тригонометрические функции, и т.п. Например, или . Они по виду подходят под несколько типов перечисленных выше выражений. Но их обычно не относят ни к одному из них. Их считают выражениями общего вида , а при описании говорят просто выражение, не добавляя дополнительных уточнений.

Завершая статью, хочется сказать, что если данное выражение громоздкое, и если Вы не совсем уверены, к какому виду оно относится, то лучше назвать его просто выражением, чем назвать его таким выражением, каким оно не является.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Алгебраическое выражение - это любая запись из букв, чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленная со смыслом. По сути, алгебраическое выражение – это числовое выражение , в котором помимо чисел употребляются также и буквы. Поэтому алгебраические выражения также называют буквенными выражениями.

В основном в буквенных выражениях используют буквы латинского алфавита. Для чего же нужны эти буквы? Вместо них мы можем подставить различные числа. Поэтому эти буквы называются переменными. То есть они могут менять свое значение.

Примеры алгебраических выражений.

$\begin{align} & x+5;\,\,\,\,\,(x+y)\centerdot (x-y);\,\,\,\,\,\frac{a-b}{2}; \\ & \\ & \sqrt{{{b}^{2}}-4ac};\,\,\,\,\,\frac{2}{z}+\frac{1}{h};\,\,\,\,\,a{{x}^{2}}+bx+c; \\ \end{align}$

Если, например, в выражении x + 5 мы подставим вместо переменной х какое-нибудь число, то мы получим числовое выражение. При этом, значение этого числового выражения будет значением алгебраического выражения x + 5 при данном значении переменной. То есть, при x = 10, x + 5 = 10 + 5 = 15. А при x = 2, x + 5 = 2 + 5 = 7.

Бывают такие значения переменной, при котором алгебраическое выражение теряет смысл. Так, например, будет, если в выражение 1:x мы подставим вместо x значение 0.
Так как на нуль делить нельзя.

Область определения алгебраического выражения.

Множество значений переменной, при которых выражение не теряет смысл, называется областью определения этого выражения. Также можно сказать, что область определения выражения – это множество всех допустимых значений переменной.

Рассмотрим примеры:

1. y+5 – областью определения будут любые значения y.
2. 1:x – выражение будет иметь смысл при всех значениях x кроме 0. Поэтому областью определения будут любые значения x за исключением нуля.
3. (x+y):(x-y) – область определения – любые значения x и y, при которых x ≠ y.

Виды алгебраических выражений.

Рациональные алгебраические выражения – это целые и дробные алгебраические выражения.

1. Целое алгебраическое выражение – не содержит возведение в степень с дробным показателем, извлечение корня из переменной, а также деления на переменную. В целых алгебраических выражениях все значения переменных являются допустимыми. Например, ax + bx + c – целое алгебраическое выражение.
2. Дробное – содержит деление на переменную. $\frac{1}{a}+bx+c$ - дробное алгебраическое выражение. В дробных алгебраических выражениях допустимыми являются все значения переменных, при которых не происходит деления на нуль.

Иррациональные алгебраические выражения содержат извлечение корня из переменной или возведение переменной в дробную степень.

$\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}};\,\,\,\,\,\,\,{{a}^{\frac{2}{3}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}};$ - иррациональные алгебраические выражения. В иррациональных алгебраических выражениях допустимыми являются все значения переменных, при которых выражение, стоящее под знаком корня четной степени не отрицательно.

Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.

Что такое выражение в математике? Зачем нужны преобразования выражений?

Вопрос, как говорится, интересный... Дело в том, что эти понятия - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. Не очень понятно? Поясню.

Допустим, перед вами злой пример. Очень большой и очень сложный. Допустим, вы сильны в математике и ничего не боитесь! Сможете сразу дать ответ?

Вам придётся решать этот пример. Последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать . По определённым правилам, естественно. Т.е. делать преобразование выражений . Насколько успешно вы проведёте эти преобразования, настолько вы и сильны в математике. Если вы не умеете делать правильные преобразования, в математике вы не сможете сделать ни-че-го ...

Во избежание такого неуютного будущего (или настоящего...), не мешает разобраться в этой теме.)

Для начала выясним, что такое выражение в математике . Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений .

3+2 - это математическое выражение. с 2 - d 2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

5х + 2 = 12

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.

В общем виде термин "математическое выражение " применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!

Первый вариант ответа: "Это... м-м-м-м... такая штука... в которой... А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?"

Второй вариант ответа: "Обыкновенная дробь - это (бодро и радостно!) математическое выражение , которое состоит из числителя и знаменателя!"

Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)

Вот в этих целях фраза "математическое выражение " очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике .

Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

Здесь мы освоим (или - повторим, кому как...) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.

Числовые выражения.

Что такое числовое выражение ? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 - числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 - тоже числовое выражение.

И вот этот монстр:

тоже числовое выражение, да...

Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв - всё это числовые выражения.

Главный признак числового выражения - в нём нет букв . Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?

И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений . Но об этом чуть ниже.

Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция - ничего не делать) - выполняется, когда выражение не имеет смысла .

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа

то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков...

Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однако, это выражение тоже не имеет смысла ! По той простой причине, что во вторых скобочках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: "Выражение не имеет смысла!"

Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено... Ну тут уж ничего не поделаешь.

Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме - всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.

Итак, представление о том, что такое числовое выражение - получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла - осознали. Едем дальше.

Алгебраические выражения.

Если в числовом выражении появляются буквы - это выражение становится... Выражение становится... Да! Оно становится алгебраическим выражением . Например:

5а 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (а+b) 2 ; ...

Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с , к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка...)

Почему буквенное - понятно. Ну, раз буквы есть... Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными .

В выражении у+5 , например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная" , без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная .

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры . Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.

В арифметике можно записать, что

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:

а + b = b + a

мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

Когда алгебраическое выражение не имеет смысла?

Про числовое выражение всё понятно. Там на ноль делить нельзя. А с буквами, разве можно узнать, на что делим?!

Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:

2: (а - 5)

Имеет оно смысл? Да кто ж его знает? а - любое число...

Любое-то любое... Но есть одно значение а , при котором это выражение точно не имеет смысла! И что это за число? Да! Это 5! Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла , если а = 5 . Но при других-то значениях а смысл имеется? Другие числа подставлять-то можно?

Конечно. Просто в таких случаях говорят, что выражение

2: (а - 5)

имеет смысл для любых значений а , кроме а = 5 .

Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.

Как видите, ничего хитрого нет. Смотрим на выражение с переменными, да соображаем: при каком значении переменной получается запретная операция (деление на ноль)?

А потом обязательно смотрим на вопрос задания. Чего спрашивают-то?

не имеет смысла , наше запретное значение и будет ответом.

Если спрашивают, при каком значении переменной выражение имеет смысл (почувствуйте разницу!), ответом будут все остальные числа , кроме запретного.

Зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его... Какая разница?! Дело в том, что это понятие становится очень важным в старших классах. Крайне важным! Это основа для таких солидных понятий, как область допустимых значений или область определения функции. Без этого вы вообще не сможете решать серьёзные уравнения или неравенства. Вот так.

Преобразование выражений. Тождественные преобразования.

Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означает фраза "выражение не имеет смысла". Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений. Ответ прост, до безобразия.) Это любое действие с выражением. И всё. Вы эти преобразования делали с первого класса.

Возьмём крутое числовое выражение 3+5. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Посчитать:

Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

Тут мы вообще ничего не считали. Просто записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:

И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь.

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Нарушение этого правила неизбежно приводит к ошибкам. Вникаем?)

Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:

Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде, что здесь не так?

Всё не так.) Дело в том, что преобразования "как попало" математику не интересуют вообще.) Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.

Преобразования, не меняющие сути выражения называются тождественными.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.)

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

a(b+c) = ab + ac

Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac . И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.

Ещё пример. Одно из из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Подробнее можно по ссылке посмотреть, а здесь просто напомню правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:

Как вы, наверняка, догадались, эту цепочку можно продолжать до бесконечности...) Очень важное свойство. Именно оно позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей. С него и начнём. В следующем уроке.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.