Уравнения и системы уравнений первой степени

Два числа или какие-нибудь выражения, соединенные знаком « = », образуют равенство . Если данные числа или выражения при любых значениях букв равны, то такое равенство называют тождеством .

Например, когда утверждают, что при любом а действительном:

а + 1 = 1 + а , здесь равенство является тождеством.

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами. Эти буквы называют неизвестными . Неизвестных в уравнении может быть несколько.

Например, в уравнении 2х + у = 7х – 3 два неизвестных: х и у .

Выражение, стоящее в уравнении слева (2х + у ) называют левой частью уравнения, а выражение, стоящее в уравнении справа (7х – 3), называют правой его частью.

Значение неизвестного, при котором уравнение становится тождеством, называется решением или корнем уравнения.

Например, если в уравнение 3х + 7=13 вместо неизвестного х подставить число 2, получим тождество . Следовательно, значение х = 2 удовлетворяет данному уравнению и число 2 есть решение или корень данного уравнения.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными ), если все решения первого уравнения являются решениями второго и наоборот, все решения второго уравнения являются решениями первого. К равносильным уравнениям относятся также уравнения, не имеющие решений.

Например, уравнения 2х – 5 = 11 и 7х + 6 = 62 равносильны, так как они имеют один и тот же корень х = 8; уравнения х + 2 = х + 5 и 2х + 7 = 2х равносильны, потому что оба не имеют решений.

Свойства равносильных уравнений

К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример. Уравнение 2х – 1 = 7 имеет корень х = 4. Прибавив к обеим частям по 5, получим уравнение 2х – 1 + 5 = 7 + 5 или 2х + 4 = 12, которое имеет тот же корень х = 4.

2. Если в обеих частях уравнения имеются одинаковые члены, то их можно опустить.

Пример. Уравнение 9х + 5х = 18 + 5х имеет один корень х = 2. Опустив в обеих частях 5х , получим уравнение 9х = 18, которое имеет тот же корень х = 2.

3. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Пример. Уравнение 7х - 11 = 3 имеет один корень х = 2. Если перенести 11 в правую часть с противоположным знаком, получим уравнение 7х = 3 + 11, которое имеет то же решение х = 2.

4. Обе части уравнения можно умножить на любое выражение (число), имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного, полученное уравнение будет равносильно данному.

Пример. Уравнение 2х - 15 = 10 – 3х имеет корень х = 5. Умножив обе части на 3, получим уравнение 3(2х – 15) = 3(10 – 3х ) или 6х – 45 =30 – 9х , которое имеет тот же корень х = 5.

5. Знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно умножению обеих частей на (-1)).

Пример. Уравнение – 3х + 7 = – 8 после умножения обеих частей на (-1) примет вид 3х - 7 = 8. Первое и второе уравнения имеют единственный корень х = 5.

6. Обе части уравнения можно разделить на одно и тоже число, отличное от нуля (то есть, не равное нулю).

Пример. Уравнение
имеет два корня:
и
. Разделив все его члены на 3, получим уравнение
, равносильное данному, так как оно имеет те же два корня: и .

7. Уравнение, в котором коэффициенты всех или нескольких членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами, для этого обе части уравнения надо умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффициентов.

Пример. Уравнение
после умножения обеих частей на 14 примет вид:

Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения имеют корень х = 10.

Уравнения первой степени

Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид
, где
произвольные числа, х – неизвестное, называется уравнением первой степени с одним неизвестным (или линейным уравнением с одним неизвестным).

Пример. 2х + 3 = 7 – 0,5х ; 0,3х = 0.

Уравнение первой степени с одним неизвестным всегда имеет одно решение; линейное уравнение может не иметь решений (
) или иметь их бесконечное множество (
).

Пример. Решить уравнение .

Решение. Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

После сокращения получим: . Раскроем скобки, чтобы отделить члены, содержащие неизвестное и свободные члены:

Сгруппируем в одной части (левой) члены, содержащие неизвестное, а в другой части (правой) - свободные члены:

Приведем подобные члены:
. Разделив обе части на (-22), получим х = 7.

Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Уравнение вида
, где
называется уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у . Если находят общие решения двух и более уравнений то говорят, что эти уравнения образуют систему, их записывают обычно одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например
.

Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы . Решить систему – это значит найти все решения этой системы или показать, что она их не имеет. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными ), если все решения одной из них являются решениями другой и наоборот, все решения другой являются решениями первой.

Например, решением системы
является пара чисел х = 4 и у = 3. Эти числа являются также единственным решением системы
. Следовательно, эти системы уравнений равносильны.

Способы решения систем уравнений

1. Способ алгебраического сложения. Если коэффициенты при каком-нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине, то складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Решая это уравнение, определяют одно неизвестное, а подставляя его в одно из уравнений системы, находят второе неизвестное.

Примеры: Решить системы уравнений: 1) .

Здесь коэффициенты при у по абсолютной величине равны между собой, но противоположны по знаку. Для получения уравнения с одним неизвестным уравнения системы почленно складываем:

Полученное значение х = 4 подставляем в какое-нибудь уравнение системы, например в первое, и находим значение у :
.

Ответ: х = 4; у = 3.

2)
.

Уравняем коэффициенты при х . Для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (– 2) и сложим полученные уравнения.

Ответ:
.

2. Способ подстановки. Из любого уравнения системы одну из неизестных выражаем через остальные, а затем подставляем значение этой неизвестной в остальные уравнения. Рассмотрим этот способ на конкретных примерах:

1) Решим систему уравнений
. Выразим из первого уравнения одно из неизвестных, например х :
и подставим полученное значение х во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным у :

Подставим у = 1 в выражение для х , получим
.

Ответ:
.

2)
. В этом случае удобно выразить у из второго уравнения:

Полученное значение у подставляем в первое уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным х :

Подставим значение х = 5 в выражение для у , получим .

Ответ:
.

3) Решим систему уравнений
. Из первого уравнения находим
. Подставив это значение во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным у :

Подставим у = 5 в выражение для х , получим

Ответ:
.

3. Способ замены. К cистемам двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно приводить некоторые нелинейные системы. Это можно осуществлять способом замены.

Пример. Решить систему.
.

Перепишем систему в виде:
. Заменим неизвестные, положив
, получим линейную систему
. Из первого уравнения выразим неизвестное
. Подставим значение во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным:

. Подставив значение v в выражение для t , получим:
. Из соотношений
находим
.

Исследование системы уравнений

Исследуем сколько решений может иметь система уравнений
, где
- коэффициенты при неизвестных,
- свободные члены.

А) Если
, то система имеет единственное решение.

Б) Если
, то система не имеет решений.

Программа единого элективного курса по математике для 9-11 классов

Программа

9,10,11 классов. Первая часть курса (17 ... . Повторить с учащимися свойства степени ; действия вещественными числами. с/р... Иррациональные уравнения и системы уравнений . Повторить с учащимися способы решения иррациональных уравнений и систем уравнений . с/р...

Ответы на экзаменационные вопросы интернет-курсов интуит (intuit): Автоматизированное проектирование промышленных изделий

Экзаменационные вопросы

... система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений Дана система уравнений регрессии. В результате её решения находят: Дана система уравнений ... целью образования первой части. Далее... ограничением на степени вершин? Когда...

Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.

Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.

Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:

Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.

Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:

должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.

Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.

(материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")

Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:

где a, b, c - известные целые коэффициенты.

Разберём это всё на знакомом примере:

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:

Теперь выделим целую часть:

Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 - 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 - 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.

Продолжаем действовать всё по тому же принципу:

Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:

Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v - произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

Осталось теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:

Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых

Начальный уровень

Показательные уравнения. Исчерпывающее руководство (2019)

Привет! Сегодня мы обсудим с тобой, как решать уравнения, которые могут быть как элементарными (а я надеюсь, что после прочтения этой статьи почти что все они и будут для тебя таковыми), так и такими, которые обычно дают «на засыпку». Видимо, чтобы засыпать окончательно. Но я постараюсь сделать все возможное, чтобы уж теперь ты не попал впросак, столкнувшись с таким типом уравнений. Я не буду больше ходить вокруг да около, а сразу открою маленький секрет: сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Прежде чем переходить к разбору способов их решений, я сразу обрисую перед тобой круг вопросов (достаточно небольшой), который тебе стоит повторить, прежде чем бросаться на штурм этой темы. Итак, для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

1. Свойства и
2. Решение и уравнений

Повторил? Замечательно! Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения является число. Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно в третьей степени? Ты абсолютно прав: . А восьмерка - это какая степень двойки? Правильно - третья! Потому что. Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я раз умножаю само на себя число и получаю в результате. Спрашивается, сколько раз я умножил само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что само на себя я умножал раза. Как еще это можно проверить? А вот как: непосредственно по определению степени: . Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем, ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать само на себя до посинения. И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость - сестра таланта)

где - это и есть те самые «разы» , когда ты умножаешь само на себя.

Я думаю, что ты знаешь (а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что, тогда моя задачка запишется в виде:

Откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

И даже нашел его корень . Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же. Вот тебе еще один пример:

Но что же делать? Ведь нельзя записать в виде степени (разумной) числа. Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа. Какого? Верно: . Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Откуда, как ты уже понял, . Давай более не будем тянуть и запишем определение :

В нашем с тобой случае: .

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

c последующим решением уравнения

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что. И мы решали с тобой простейшее уравнение.

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа. Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число. Но, ничего страшного, ведь, и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом? Правило «степени в степени» , которое гласит:

А что если:

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше, тем меньше значение, но тем не менее, все эти значения больше нуля. И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!! Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! (для любых и). Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении? А вот какой: оно корней не имеет ! Как не имеет корней и любое уравнение. Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!) Как правило, все приводят к наименьшему основанию: , . Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: Все, что мне нужно - это воспользоваться свойствами степеней: при умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении - вычитаются. Тогда я получу: Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному: \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить и в виде степени одного и того же числа. В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

Левая часть уравнения примет вид: Что же нам это дало? А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

Применительно к моей ситуации это даст:

\begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой - ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай). Перенесу слагаемое с минусом вправо:

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

Ты без труда найдешь его корень:

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом - место в правой части!

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав: . Эврика - слева все основания разные, но все степени - одинаковые! Срочно перемножаем!

Тут опять-таки все ясно: (если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно. Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left({x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

Готов? Ответы вот такие:

1. любое число

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые - весьма краткие!)

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева - это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:

Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа). Разделю на то, что справа, тогда получу:

Откуда (почему?!)

3. даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».

4. равносильно квадратному уравнению, корни

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом. Тогда ответ - это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения. Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе. Здесь я приведу два примера. Один из них вполне повседневен, ну а другой - скорее имеет научный, нежели практический интерес.

Пример 1 (меркантильный) Пусть у тебя есть рублей, а тебе хочется превратить его в рублей. Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением). Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму? Вполне приземленная задача, не так ли? Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть - начальная сумма, - конечная сумма, - процентная ставка за период, - количество периодов. Тогда:

В нашем случае (если ставка годовых, то за месяц начисляют). А почему делится на? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему « »! Тогда мы получим вот такое уравнение:

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю: … Таким образом, для получения млн. нам потребуется сделать вклад на месяц (не очень быстро, не правда ли?).

Пример 2 (скорее научный). Несмотря на его, некоторую «оторванность», рекомендую тебе обратить на него внимание: он регулярно «проскальзывает в ЕГЭ!! (задача взята из «реального» варианта) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону, где (мг) — начальная масса изотопа, (мин.) — время, прошедшее от начального момента, (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа мг. Период его полураспада мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна мг? Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

Разделим обе части на, «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит, тогда перейдем к равносильному уравнению:

Откуда мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике. Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ решения показательных уравнений, который основан на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых. Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое. Ясно, что первое и третье - это разность квадратов:

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

Тогда исходное выражение равносильно такому:

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

Следовательно,

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом - будь что будет, я верю, что нам будет везти =)) Например:

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева - немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель а от второго, а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее. Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении» , так не лучше ли мне вынести? Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим: , откуда.

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с, а справа - все остальное. Как нам это сделать? А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на (так мы избавимся от числового множителя слева). Окончательно получим:

Невероятно! Cлева у нас стоит выражение, а справа - просто. Тогда тут же делаем вывод, что

Вот тебе еще один пример на закрепление:

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи. Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

1. Вынесем общий множитель за скобки: Откуда
2. Первое выражение представим в виде: , разделим обе части на и получим, что
3. , тогда исходное уравнение преобразуется к виду: Ну а теперь подсказка - ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!
4. Представь как, как, а, ну а затем подели обе части на, так ты получишь простейшее показательное уравнение.
5. Вынеси за скобки.
6. Вынеси за скобки.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось что такое показательные уравнения и как их решать , ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это

«метод введения новой переменной» (или замены). Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения). Этот способ - один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой .

Как ты уже понял из названия, суть этого метода - ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить. Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому. Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

Пример 1:

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики. В самом деле, замена здесь - самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

Если же дополнительно представить как, то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, . Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: . Что нам делать теперь? Пришло время возвращаться к исходной переменной. А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида), меня будут интересовать только положительные корни! Ты и сам без труда ответишь, почему. Таким образом, нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

Тогда, откуда.

Ответ:

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда. Однако, давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой

Пример 2.

Ясно, что скорее всего заменять придется (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение), однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно: , . Тогда можно заменять, в результате я получу следующее выражение:

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать. Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?). А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение. Не является корнем. Увы и ах…

.
Левая часть равна.
Правая часть: !
Есть! Угадали первый корень. Теперь дело пойдет легче!

Ты знаешь, про схему деления «уголком»? Конечно знаешь, ты применяешь ее, когда делишь одно число на другое. Но немногие знают, что то же самое можно делать и с многочленами. Есть одна замечательная теорема:

Применимо к моей ситуации это говорит мне о том, что делится без остатка на. Как же осуществляется деление? А вот как:

Я смотрю, на какой одночлен я должен домножить, чтобы получить Ясно, что на, тогда:

Вычитаю полученное выражение из, получу:

Теперь, на что мне нужно домножить, чтобы получить? Ясно, что на, тогда получу:

и опять вычту полученное выражение из оставшегося:

Ну и последний шаг, домножу на, и вычту из оставшегося выражения:

Ура, деление окончено! Что мы накопили в частном? Само собой: .

Тогда получили вот такое разложение исходного многочлена:

Решим второе уравнение:

Оно имеет корни:

Тогда исходное уравнение:

имеет три корня:

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

Ответ: ..

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя, скорее я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков. Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Вот пример с несколько менее очевидной заменой:

Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень. Однако, что мы видим? Оба основания - отличаются только знаком, а их произведение - есть разность квадратов, равная единице:

Определение:

Таким образом, числа, являющиеся основаниями в нашем примере - сопряженные.

В таком случае разумным шагом будет домножить обе части уравнения на сопряженное число.

Например, на, тогда левая часть уравнения станет равна, а правая. Если сделать замену, то наше с тобой исходное уравнение станет вот таким:

его корни, тогда, а помня, что, получим, что.

Ответ: , .

Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений. Следующие задачи взяты из ЕГЭ С1 (повышенный уровень сложности). Ты уже достаточно грамотный для того, чтобы самостоятельно решать данные примеры. Я лишь приведу требуемую замену.

1. Решите уравнение:
2. Найдите корни уравнения:
3. Решите уравнение: . Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку:

А теперь краткие пояснения и ответы:

1. Здесь нам достаточно заметить, что и. Тогда исходное уравнение будет эквивалентно вот такому: Данное уравнение решается заменой Дальнейшие выкладки проделай самостоятельно. В конце твоя задача сведется к решению простейших тригонометрических (зависящих от синуса или косинуса). Решение подобных примеров мы разберем в других разделах.
2. Здесь даже можно обойтись без замены: достаточно перенести вычитаемое вправо и представить оба основания через степени двойки: , а затем сразу перейти к квадратному уравнению.
3. Третье уравнение тоже решается довольно стандартно: представим как. Тогда заменив получим квадратное уравнение: тогда,

   Ты ведь уже знаешь, что такое логарифм? Нет? Тогда срочно читай тему !

   Первый корень, очевидно, не принадлежит отрезку а второй - непонятно! Но мы это очень скоро узнаем! Так как, то (это свойство логарифма!) Сравним:

   Вычтем из обеих частей, тогда получим:

   Левую часть можно представить в виде:

   домножим обе части на:

   можно домножить на, тогда

   Тогда сравним:

   так как, то:

   Тогда второй корень принадлежит искомому промежутку

   Ответ:

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов , так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения. Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике: «математику, как историю, за ночь не прочитаешь».

Как правило, всю сложность при решении задач С1 составляет именно отбор корней уравнения. Давай потренируемся еще на одном примере:

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

Вначале давай рассмотрим первый корень. Сравним и: так как, то. (свойство логарифмической функции, при). Тогда ясно, что и первый корень не принадлежит нашему промежутку. Теперь второй корень: . Ясно, что (так как функция при - возрастающая). Осталось сравнить и.

так как, то, в то же время. Таким образом, я могу «вбить колышек» между и. Этим колышком является число. Первое выражение меньше, а второе - больше. Тогда второе выражение больше первого и корень принадлежит промежутку.

Ответ: .

В завершение давай рассмотрим еще один пример уравнения, где замена достаточно нестандартна:

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что - в принципе можно, но лучше не делать. Можно - представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет? Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться. А что же тогда нужно? Давай заметим, что а И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения! Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на:

Эврика! Теперь можно заменять, получим:

Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные, а я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!

1. Самая трудная! Замену здесь усмотреть ох как негелко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата . Для его решения достаточно заметить, что:

Тогда вот тебе и замена:

(Обрати внимание, что здесь при нашей замене мы не можем отбрасывать отрицательный корень!!! А почему, как ты думаешь?)

Теперь для решения примера тебе осталось решить два уравнения:

Оба они решаются «стандартной заменой» (зато второй в одном примере!)

2. Заметь, что и сделай замену.

3. Разложи число на взаимно-простые сомножители и упрости полученное выражение.

4. Подели числитель и знаменатель дроби на (или, если тебе так больше по душе) и сделай замену или.

5. Заметь, что числа и - сопряженные.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

В дополнение давай рассмотрим еще один способ - решение показательных уравнений методом логарифмирования . Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения. Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений »: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Например, уравнение вида:

в общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

Давай рассмотрим следующий пример:

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только. Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию:

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу. Давай потренируемся еще на одном примере:

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию, тогда получим:

Сделаем замену:

Однако, мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах? Ведь тогда:

что не удовлетворяет требованию (подумай откуда оно взялось!)

Ответ:

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений приведенных ниже:

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию, учитывая, что:

(второй корень нам не подходит ввиду замены)

2. Логарифмируем по основанию:

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Показательное уравнение

Уравнение вида:

называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней

Подходы к решению

• Приведение к одинаковому основанию
• Приведение к одинаковому показателю степени
• Замена переменной
• Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных.

137. Задача. Из опыта найдено, что слиток из серебра и меди весом в 148 кг теряет в воде весу 14 2 / 3 кг. Определить, сколько в нем серебра и сколько меди, если известно, что в воде 21 кг серебра теряют 2 кг, а 9 кг меди теряют 1 кг.

Положим, что в данном слитке содержится серебра х кг, а меди у кг. Тогда одно уравнение будет: х + у =148 . Для составления другого уравнения примем во внимание, что если 21 кг серебра теряют в воде 2 кг весу, то это значит, что 1 кг серебра теряет в воде 2 / 21 кг. Тогда х кг должны терять в воде 2 / 21 х кг весу. Подобно этому, если 9 кг меди теряют в воде 1 кг, то это значит, что 1 кг меди теряет 1 / 9 кг; следовательно, у кг меди теряют 1 / 9 у кг. Поэтому второе уравнение будет: 2 / 21 х + 1 / 9 у = 14 2 / 3 Мы получили таким образом два уравнения с 2 неизвестными:

х + у =148 и 2 / 21 х + 1 / 9 у = 14 2 / 3 = 44 / 3

Второе уравнение можно упростить, освободив его от дробей. Для этого приведем все дроби к одному знаменателю:

6 / 63 х + 7 / 63 у = 924 / 63

Теперь умножим обе части уравнения на 63; получим равносильное уравнение:

х + у = 924

Мы имеем теперь два уравнения:

х + у =148 и 6х + 7у = 924

Мы можем решить эти два уравнения несколькими способами. Напр, так: из первого уравнения определим х в зависимости от у (другими словами, определим х как функцию от у ):

x = 148 - у.

Так как во втором уравнении буквы х и у означают те же числа, что и в первом уравнении, то мы можем во второе уравнение подставить вместо х разность 148 - у .

6 (148 - у) + 7у = 924

Решим это уравнение с одним неизвестным:

888 - 6у + 7у = 924; у = 924 - 888 = 36.

Тогда х = 148 - 36 = 112.

Таким образом, в данном слитке содержится 112 кг серебра и 36 кг меди.

138. Нормальный вид уравнения первой степени с двумя неизвестными. Возьмем такой пример уравнения с 2 неизвестными:

2 (2х + 3y - 5) = 5 / 8 (х + 3) + 3 / 4 (y - 4).

С целью упростить это уравнение, сделаем в нем тот же ряд преобразований, какой был указан раньше для уравнения с 1 неизвестным, а именно.

1) Раскроем скобки: 4х + 6y - 10 = 5 / 8 х + 15 / 8 + 3 / 4 y - 3

2) Освободимся от знаменателей, умножив все члены на 8 :

32х + 48y - 80 = 5х + 15 + 6 y - 24

3) Перенесем неизвестные члены в одну часть уравнения, а известные в другую:

32х + 48y -5х - 6 y = 15 - 24 + 80

4) Сделаем приведение подобных членов:

27x + 42y = 71.

Таким образом, данное уравнение после указанных преобразований оказывается такого вида, при котором в левой части уравнения находятся только два члена: один с неизвестным х (в первой степени) и другой с неизвестным у (в первой степени), правая же часть уравнения состоит только из одного члена, не содержащего неизвестных. Коэффициенты при х и у могут быть или оба положительные (как во взятом нами примере), или оба отрицательные (этот случай, впрочем, можно свести на предыдущий, умножив все члены уравнения на - 1), или один положительный, а другой отрицательный; член, стоящий в правой части, может быть или положительным числом (как в настоящем примере), или отрицательным и даже нулем. Обозначив коэффициенты при х и у буквами а и b и член, не содержащий неизвестных, буквою с , мы можем уравнение с 2 не известными 1-й степени в общем виде представить так:

ах + bу = с.

Такой вид уравнения называется нормальным видом уравнения 1-й степени с 2 неизвестными.

139. Неопределенность одного уравнения с 2 неизвестными. Одно уравнение c 2 неизвестными имеет бесчисленное множество корней. Действительно, если для одного какого-нибудь неизвестного мы назначим произвольное число и это число подставим в уравнение, то тогда мы получим уравнение только с одним другим неизвестным; из этого уравнения можно найти это другое неизвестное. Так, если в уравнении 3x- 2y = - 6 мы примем, что у = 2 , то уравнение будет 3x - 4 = -6 , откуда найдем: 3x = - 2 и x = - 2 / 3 . Значит, если у = 2 , то x = - 2 / 3 .

Теперь назначим для у какое-нибудь другое число, напр., у = 1 . Тогда получим 3х- 2 = - 6 , 3х = - 4 , х = -1 1 / 3 . Значит, если у = 1 , то.х = -1 1 / 3 . Таким образом, мы можем найти сколько угодно пар решений, и, следовательно, уравнение окажется неопределенным.

Это же можно показать и графически. Из уравнения:

3x- 2y = - 6 (1)

определим у как функцию от х :

Надо привыкнуть быстро и безошибочно из данного уравнения определять одно неизвестное как функцию другого неизвестного. Так, чтобы из нашего уравнения определить у как функцию от х , надо мысленно перенести член -2y направо, а член -6 налево, затем части уравнения переставить и разделить их на 2 ; писать надо прямо результат этих преобразований.

Функция эта есть двучлен 1-й степени, а такой двучлен изображается в координатных осях в виде прямой линии, которую мы можем построить по двум точкам (отдел3 § 118), напр. таким:

Координаты каждой точки этой прямой удовлетворяют уравнению (2) и, следовательно, удовлетворяют и уравнению (1); а так как на прямой бесчисленное множество точек, то уравнение (1) имеет бесчисленное множество решений.

140. Система уравнений. Принято говорить, что несколько уравнений образуют систему, если во всех этих уравнениях каждая из букв х, у, . . означает одно и то же число для всехуравнений.

Если, напр., два уравнения:

рассматриваются при том условии, что буква х означает одно и то же число в обоих уравнениях, равным образом и буква у , то такие уравнения образуют систему. Это бывает всякий раз в том случае, когда уравнения составлены из условий одной и той же задачи.

Укажем три способа решения системы 2 уравнений 1-й степени с 2 неизвестными.

141. Способ подстановки. Этот способ мы уже применяли1 раньше, когда решали задачу о слитке из серебра и меди (). Возьмем теперь более сложный пример:

8x - 5y = - 16; 10x + 3у =17

(оба уравнения мы привели к нормальному виду).

Из одного уравнения, напр, из первого, определим одно какое-нибудь неизвестное, напр, х , как функцию другого неизвестного:

Так как второе уравнение должно удовлетворяться теми же значениями, как и первое, то мы можем подставить в него вместо х найденное выражение, от чего получим уравнение с одним неизвестным у :

Решим это уравнение:

Мы могли бы определить из одного уравнения у как функцию от х и полученное выражение подставить на место у в другое уравнение; тогда мы получили бы уравнение с неизвестным х .

Способ этот особенно удобен тогда, когда коэффициент при каком-нибудь неизвестном равен 1; тогда всего лучше определить это неизвестное как функцию другого неизвестного (не придется делить на коэффициент), и т. д.

Из второго уравнения находим:

у = 22- 4х.

Тогда первое уравнение дает:

3х - 2 (22 - 4x)=11; 3x -44 + 8x = 11; 11x = 44+ 11 = 55.

x = 55 / 11 =5; y = 22 - 4 5 = 2.

Правило. Чтобы решить систему двух уравнений с 2 неизвестными способом подстановки, надо определить из какого-нибудь уравнения одно неизвестное как функцию другого неизвестного и полученное выражение подставить в другое уравнение; от этого получается уравнение с одним неизвестным. Решив его, находят это неизвестное. Подставив найденное число в выражение, выведенное раньше для первого неизвестного, находят и это другое неизвестное.

142. Способ сложения или вычитания. Предположим сначала, что в данной системе уравнений (приведенных предварительно к нормальному виду) коэффициенты при каком-нибудь неизвестном, напр, при у , будут одинаковы. При этом могут представиться два случая:

1) знаки перед такими коэффициентами разные и

2) знаки одинаковые. Рассмотрим эти два случая параллельно. Пусть, напр., даны две системы:

Если сложим почленно уравнения первой системы и вычтем почленно уравнения второй системы, то неизвестное у исключится:

Откуда: х = 5 х =3

Подставив в одно из данных уравнений вместо х найденное для него число, найдем у :

Возьмем теперь систему, в которой коэффициенты различны, напр. такую:

Мы можем тогда предварительно уравнять коэффициенты при каком-нибудь одном неизвестном, напр, при х . Для этого найдем кратное (лучше всего наименьшее) коэффициентов 7 и 5 (это будет 35) и умножим обе части каждого уравнения на соответствующий дополнительный множитель (как это делается при приведении дробей к общему знаменателю):

После этого остается только сложить или вычесть преобразованные уравнения. В нашем примере знаки перед коэффициентами х разные; поэтому уравнения надо сложить:

Теперь первое уравнение дает:

7x + 6 2 1 / 2 = 29; 7x + 15 = 29; 7x = 14; х = 2.

Правило. Чтобы решить систему двух уравнений с 2 неизвестными способом сложения или вычитания, надо сначала уравнять в обоих уравнениях коэффициенты при каком-нибудь одном неизвестном, а потом сложить оба уравнения, если знаки перед этими коэффициентами разные, или вычесть уравнения, если знаки одинаковые.

143. Графическое решение. Пусть дана система:

8х - 5у = - 16; 10x + 3у = 17.

Из каждого уравнения определим у как функцию от х :

Графики этих функций должны быть прямые линии. Построим на одном чертеже каждую из них по двум точкам, напр, по таким:

из уравнения.......у = 1 3 / 5 x + 3 1 / 5 :

из уравнения.......у = 5 2 / 3 - 3 1 / 3 х:

На чертеже видно, что две прямые пересекаются в точке, абсцисса которой равна 1 / 2 , а ордината 4 . Эти значения х и у , удовлетворяя обоим уравнениям, и будут решениями данной системы.

Замечания . 1) Если бы случилоcь, что прямые,выражающие данные уравнения, оказались параллельными и, следовательно, не существовало бы точки их пересечения, то это значило бы, что уравнения не имеют корней.

2) Может иногда случиться, что 2 прямые сливаются в одну; тогда координаты всякой точки этой прямой удовлетворяют данным уравнениям, и, значит, система неопределенна.

3) В конце 2-й части этой книги указаны общие формулы для решения системы двух уравнений с 2 неизвестными первой степени (§ 396 и след.).

Глава вторая.

Система трех уравнений с тремя неизвестными.

144. Нормальный вид уравнения первой степени с тремя неизвестными. Если в уравнении 1-й степени с 3 неизвестными х, у и z сделаны те же преобразования, какие были нами раньше указаны для уравнения с 1 и 2 неизвестными, то мы приведем уравнение к такому виду (называемому нормальным), при котором в левой части уравнения находятся только три члена: один с х , другой с у и третий с z , а в правой части будет один член, не содержащий неизвестных.

Таково, напр., уравнение:

5х - 3у - 4z = -12.

Общий вид его есть следующий:

ах + by + cz = d,

где а, b, с и d какие-нибудь относительные числа.

145. Неопределенность двух и одного уравнения с тремя неизвестными. Положим, нам дана система 2 уравнений с 3 неизвестными:

5х- 3у + z = 2; 2х + у- z = 6.

Назначим одному неизвестному, напр. z , какое-нибудь произвольное число, положим 1, и подставим это число на место z :

Мы получили таким образом систему 2 уравнений с 2 неизвестными. Решив ее каким-нибудь способом, найдем: х = 2, у = 3 ; значит, данная система с 3 неизвестными удовлетворяется при х = 2 , у = 3 и z =1 . Дадим теперь неизвестному z какое-нибудь иное значение, напр. z = 0 , и подставим это значение в данные уравнения:

5х- 3у = 2; 2х + у = 6.

Мы снова получим систему 2 уравнений с 2 неизвестными.

Решив ее каким-нибудь способом, найдем:

x = 20 / 11 = 1 9 / 11 y = 2 4 / 11

Значит, данная система удовлетворяется при x = 1 9 / 11 y = 2 4 / 11 и z = 0 . Назначив для z еще какое-нибудь (третье) значение, мы снова получим систему 2 уравнений с 2 неизвестными, из которой найдем новые значения для х и у . Так как для z мы можем назначать сколько угодно различных чисел, то и для х и у можем получить сколько угодно значений (соответствующих взятым значениям z ). Значит, 2 уравнения с 3 неизвестными допускают бесчисленное множество решений; другими словами, такая система неопределенна.

Еще большая неопределенность будет, если имеется всего 1 уравнение c 3 неизвестными. Тогда можно будет для каких-нибудь 2 неизвестных назначить произвольные числа; третье же неизвестное найдется из данного уравнения, если подставить в него значения, взятые произвольно для двух неизвестных.

146. Система 3 уравнений с 3 неизвестными. Для того, чтобы можно было найти определенные численные значения для трех неизвестных х, у и z , необходимо, чтобы была задана система 3 уравнений. Такая система может быть решена способом подстановки, а также и способом сложения или вычитания уравнений. Покажем применение этих способов на следующем примере (каждое уравнение предварительно приведено к нормальному виду):

147. Способ подстановки. Из какого-нибудь уравнения, напр, из первого, определим одно неизвестное, напр, х, как функцию от двух остальных неизвестных:

Так как во всех уравнениях х означает одно и то же число, то мы можем подставить найденное выражение на место х в остальные уравнения:

Мы приходим таким образом к системе 2 уравнений с 2 неизвестными у и z . Решив эту систему по какому-нибудь из способов, указанных раньше, найдем численные значения для у и г . В нашем примере это будут значения: у = 3, z = 2 ; подставив эти числа в выражение, выведенное нами для х , найдем и это неизвестное:

Таким образом, предложенная система имеет решение х = 1, у = 3, z = 2 (в чем можно убедиться поверкою).

148. Способ сложения или вычитания. Из 3 данных уравнений возьмем какие-нибудь два, напр. 1-е и 2-е, и, уравняв в них коэффициенты перед одним неизвестным, напр, перед z , исключим из них это неизвестное способом сложения или вычитания; от этого получим одно уравнение c 2 неизвестными х и у . Потом, возьмем какие-нибудь два других уравнения из 3 данных, напр. 1-е и 3-е (или 2-е и 3-е), и тем же способом исключим из них то же неизвестное т. е. z ; от этого получим еще одно уравнение с х и у :

Решим получившиеся два уравнения: x = 1, у = 3 . Вставим эти числа в одно из трех данных уравнений, напр, в первое:

3 1 - 2 3 + 5z = 7; 5z = 7 -3 + 6 = 10; z =2.

Замечание. Теми же двумя способами мы можем привести систему 4 уравнений с 4 неизвестными к системе 3 уравнений с 3 неизвестными (а эту систему -к системе 2 уравнений с 2 неизвестными и т. д.). Вообще систему m уравнений с m неизвестными мы можем привести к системе m - 1 уравнений с m - 1 неизвестными (а эту систему к системе m - 2 уравнений с m - 2 неизвестными и т. д.).

Глава третья.

Некоторые особые случаи систем уравнений.

149. Случай, когда не все неизвестные входят в каждое из данных уравнений ; напр.:

В этом случае система решается быстрее, чем обыкновенно, так как в некоторых уравнениях уже исключены те или другие неизвестные. Надо только сообразить, какие неизвестные и из каких уравнений следует исключить, чтобы возможно скорее дойти до одного уравнения с одним неизвестным. В нашем примере, исключив z из 1-го и 3-го уравнений и v из 2-го и 1-го, получим 2 уравнения с х и у :

Решив эти уравнения, найдем: х = 0, y = 1 / 3 .

Теперь вставим эти числа во 2-е и 3-е уравнения; тогда получим:

v = 3 / 2 ; z = 16 / 9 = 1 7 / 9

150. Случай, когда неизвестные входят в виде дробей: 1 / x

x" = 2, y" = 1 / 2 , z" = 5 ;

1 / x = 2, 1 / y = 1 / 2 , 1 / z = 5

x = 1 / 2 , y = 2 , z = 1 / 5 ;

151. Случай, когда полезно все данные уравнения сложить.

Пусть имеем, напр., систему:

Сложив все три уравнения, найдем:

Вычтя из последнего уравнения каждое из данных, получим:

___________________

Решить такое уравнение - это значит:

1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;

2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.

Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.

При уравнение имеет единственное решение, которое будет: положительным, если или; нулевым, если; отрицательным, если или.

Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b0 решений нет.

Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение; найти при каких а корни больше нуля.

Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х-1 и х0 сводится к таковому: или а-1-х=0.

Мы уже выявили допустимые значения икс (х-1 и х0), выявим теперь допустимые значения параметра а:

а-1-х=0 а=х+1

Из этого видно, что при х0 а1, а при х-1 а0.

Таким образом, при а1 и а0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.

Ответ: при а<0 х=а-1; при решений нет, а при a>1 корни положительны.

Пример 2. Решить уравнение (1).

Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых.

Приведём уравнение к простейшему виду:

(9 - k)x =3k-12 (2)

Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:

Подставив в (2) , получим:

Если подставим, то получим так же.

Таким образом, при уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).

1. Если, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение, которое будет:

а) положительным, если, при 4

б) нулевым, если;

в) отрицательным, если и k>9 с учётом

Получаем.

2. Если, то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а) при и, причём х>0 для; x=0 при k=4; x<0 при;

б) при уравнение не имеет решений.

Решение линейных уравнений с модулем

Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2|, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:

1. Первый интервал:

Второй интервал:

Т.е. если а<4, то.

Третий интервал:

а=4, т.е. если а=4, то.

2. Первый интервал:

Второй интервал:

a>4,т.е. если 4<а, то

Третий интервал:

Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 .

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|- a| x - 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1) , 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.

При а=1 уравнение не имеет решений, но при а1 уравнение имеет корень. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< - 3, т.е. , . Следовательно, исходное уравнение на x< - 3 имеет один корень при, а на остальных а корней не имеет.

При а= - 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке. Если а1, то уравнение имеет один корень х=1.

При а=1 решением является любое число, но мы решаем на. Если а1, то х=1.

Ответ: при; при а= - 1 и при а1 х=1; при а=1 и при а1 х=1.

Решение квадратных уравнений с параметром

Для начала напомню, что квадратное уравнение - это уравнение вида, где а, b и с - числа, причем, а0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения:

а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.

б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.

в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.

Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:

1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.

2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.

3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.

Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.

Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:

При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.

Пример2. Решить уравнение

При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.

При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня =-1.

При a<1, но а0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня

Ответ: и при a<1, но а0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.

Пример3. Корни уравнения таковы, что. Найдите а.

По теореме Виета и. Возведём обе части первого равенства в квадрат: . Учитывая, что, а, получаем: или, . Проверка показывает, что все значения удовлетворяют условию.