Укажите номер функции которая является периодической. Исследование функции на периодичность

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Введение .

Современное развитие техники предъявляет повышенные требования к математической подготовке инженеров. В результате постановки и исследования ряда конкретных проблем механики и физики возникла теория тригонометрических рядов. Важнейшую роль ряды Фурье играют во всех областях техники, опирающихся на теорию колебаний и теорию спектрального анализа. Например, в системах передачи данных для описания сигналов практическое применение спектральных представлений неизменно приводит к необходимости экспериментального осуществления разложения Фурье. Особенно велика роль тригонометрических рядов в электротехнике при изучении периодических несинусоидальных токов: амплитудный спектр функции находится с помощью ряда Фурье в комплексной форме. Для представления непериодических процессов применяется интеграл Фурье.

Тригонометрические ряды находят важное применение в многочисленных разделах математики и доставляют особенно удобные методы для решения трудных задач математической физики, например, задачи о колебании струны и задачи о распространении тепла в стержне.

Периодические функции.

Многие задачи науки и техники связаны с периодическими функциями, отражающими циклические процессы.

Определение 1. Периодическими называются явления, повторяющиеся в одной и той же последовательности и в одном и том же виде через определенные интервалы аргумента.

Пример. В спектральном анализе – спектры.

Определение 2. Функция у = f (x ) называется периодической с периодом Т , если f (x + Т ) = f (x ) при всех х и x + Т из области определения функции.

На рисунке период изображенной функции Т = 2.

Определение 3. Наименьший положительный период функции называется основным периодом.

Там, где приходится иметь дело с периодическими явлениями, почти всегда встречаются тригонометрические функции.

Период функций равен , период функций равен .

Период тригонометрических функций с аргументом (ах ) находится по формуле:

.

Пример. Найти основной период функций 1) .

Решение . 1) . 2) .

Лемма. Если f (x ) имеет период Т , то интеграл этой функции, взятый в пределах, отличающихся на Т , не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е. = .

Основной период сложной периодической функции у = f (x ) (состоящей из суммы периодических функций) – это наименьшее общее кратное периодов составляющих функций.

То есть, если f (x ) = f 1 (x ) + f 2 (x ), Т 1 – период функции f 1 (x ), Т 2 – период функции f 2 (x ), то наименьший положительный период Т должен удовлетворять условию:

T = nT 1 + kT 2 , где (*) –

Изучая явления природы, решая технические задачи, мы сталкиваемся с периодическими процессами, которые можно описать функциями особого вида.

Функция y = f(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0, такое, при котором выполняются следующие два условия:

1) точки x + T, x − T принадлежат области определения D для любого x ∈ D;

2) для каждого x из D имеет место соотношение

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Число T называется периодом функции f(x). Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y = sin x - периодическая (рис. 1) с периодом 2π.

Заметим, что если число T является периодом функции f(x), то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T, и 4T и т. д., т. е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что не каждая периодическая функция имеет такой наименьший положительный период; например, функция f(x)=1 такого периода не имеет. Важно также иметь в виду, что, например, сумма двух периодических функций, имеющих один и тот же наименьший положительный период T 0 , не обязательно имеет тот же самый положительный период. Так, сумма функций f(x) = sin x и g(x) = −sin x вообще не имеет наименьшего положительного периода, а сумма функций f(x) = sin x + sin 2x и g(x) = −sin x, наименьшие периоды которых равны 2π, имеет наименьший положительный период, равный π.

Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f+g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x sin √2 x и cosj √2 x + sin x являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции sin √2 x и cos √2 x периодичны с периодом √2 π.

Отметим, что если f(x) - периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить её периодом. Например, функции y = sin 2 x, y = √(cos x) (рис. 2,3) - периодические функции (здесь: F 1 (z) = z 2 и F 2 (z) = √z). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T 0 , то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin 2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).

Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f"(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

УДК 517.17+517,51

ПЕРИОД СУММЫ ДВУХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

А/О. Эвнин

В работе полностью решен вопрос, каким может быть основной период периодической функции, являющейся суммой двух периодических функций с известными основными периодами. Изучается также случай отсутствия основного периода у периодической суммы периодических функций.

Мы рассматриваем действительнозначные функции действительного переменного. В энциклопедическом издании в статье «Периодические функции» можно прочитать: «Сумма периодических функций с разными периодами является периодической только тогда, когда их периоды соизмеримы». Это утверждение справедливо для непрерывных функций1, но не имеет места в общем случае. Контрпример весьма общего вида был построен в . В данной статье мы выясняем, каким может быть основной период периодической функции, являющейся суммой двух периодических функций с известными основными периодами.

Предварительные сведения

Напомним, что функция / называется периодической, если для некоторого числа Т Ф О при любом х из области определения D(f) числа х + Т и х - Т принадлежат D(f) и выполняются равенства f(x + T) =f(x) =f(x ~ Т). При этом число Г называют периодом функции.

Наименьший положительный период функции (если, конечно, он существует) будем называть основным периодом. Известен следующий факт.

Теорема 1. Если у функции есть основной период То, то любой период функции имеет вид пТо, где п Ф 0 - целое число.

Числа Т\ и Т2 называют соизмеримыми, если существует такое число Т0, которое целое число раз «укладывается» и в Т\, и в Т2: Т\ = Т2 = п2Т0, щ,п2е Z. В противном случае числа Т\ и Т2 называют несоизмеримыми. Соизмеримость (несоизмеримость) периодов означает, таким образом, что их отношение есть число рациональное (иррациональное).

Из теоремы 1 следует, что у функции, имеющей основной период, любые два периода соизмеримы.

Классическим примером функции, не имеющей наименьшего периода, является функция Дирихле, равная 1 в рациональных точках, и нулю - в иррациональных. Любое рациональное число, отличное от нуля, является периодом функции Дирихле, а любое иррациональное число не является ее периодом. Как видим, и здесь любые два периода соизмеримы.

Приведем пример непостоянной периодической функции, имеющей несоизмеримые периоды.

Пусть функция /(х) в точках вида /и + ла/2, m, п е Z, равна 1, а в остальных точках равна

нулю. Среди периодов этой функции есть 1 и л

Период суммы функций с соизмеримыми периодами

Теорема 2. Пусть fug- периодические функции с основными периодами тТ0 и «То, где тип

Взаимно простые числа. Тогда основной период их суммы (если он существует), равен -

где к - натуральное число, взаимно простое с числом тп.

Доказательство. Пусть h = / + g. Очевидно, что число тпТ0 является периодом h. В силу

теоремы 1 основной период h имеет вид-где к- некоторое натуральное число. Предполо-

жим, что к не является взаимно простым с числом m, то есть к - dku m = dm\, где d> 1 - наи-

1 Красивое доказательство того, что сумма любого конечного числа непрерывных функций с попарно несоизмеримыми периодами непериодична, содержится в статье См. также .

больший общий делитель чисел т и к. Тогда период функции к равен

а функция f=h-g

имеет период mxnTо, не являющийся кратным ее основного периода mTQ. Получено противоречие с теоремой 1. Значит, к взаимно просто с т. Аналогично, взаимно простыми являются числа к и п. Таким образом, А: взаимно просто с тп. □

Теорема 3. Пусть т, п и к ~ попарно взаимно простые числа, а Т0 - положительное число. Тогда существуют такие периодические функции fug, что основные периоды f, g и (f + g) рае-

ны соответственно тТ$, nTQ и-

Доказательство. Доказательство теоремы будет конструктивным: мы просто построим соответствующий пример. Предварительно сформулируем следующий результат. Утверждение. Пусть т - взаимно простые числа. Тогда функции

fx - cos- + cos--- и f2= cos- m n m

cos- имеют основным периодом число 2ктп. п

Доказательство утверждения. Очевидно, что число 2птп является периодом обеих функций. Легко можно проверить, что этот период основной для функции Найдем ее точки максимума.

х = 2лМ, te Z.

Имеем = п!. Из взаимной простоты тип следует, что 5 кратно /г, т.е. я = I е Ъ. Значит, /х(х) = 2 о х = 2тстп1,1 е 2, а расстояние между соседними точками максимума функции /\ равно 2ктп, и положительный период/1 не может быть меньше числа 2 шпп.

Для функции^ применим рассуждения другого рода (которые подходят и для функции/ь но

менее элементарны). Как показывает теорема 1, основной период Г функции/2 имеет вид -,

где к- некоторое натуральное число, взаимно простое с тип. Число Гбудет и периодом функции

(2 ^ 2 хп г т т /2 + /2 = - -1 cos

все периоды которой имеют вид 2пп1. Итак,

2nnl, т.е. т = kl. Так как т и к взаимно про-

сты, отсюда следует, что к= 1.

Теперь для доказательства теоремы 3 можно построить искомый пример. Пример. Пусть т, п и к - попарно взаимно простые числа и хотя бы одно из чисел п или к отлично от 1. Тогда пф к ив силу доказанного утверждения функции

/ (х) = cos--- + cos- т к

И g(x) = cos-cos - п к

имеют основные периоды 2 лтк и 2 тк соответственно, а у их суммы

к(х) = f(x) + = cos- + cos-

основной период равен 2 ттп.

Если же п = к = 1, то подойдет пара функций

f{x)-2 cos- + COS X и g(x) - COS X. m

Их основные периоды, а также период функции к(х) - 2 равны соответственно 2лм, 2/ги 2тип.

как легко проверить.

Математика

Обозначим Т = 2лк. Для произвольных попарно взаимно простых чисел тп, п и к указаны функции/и £ такие, что основные периоды функций/, g и/ + g равны соответственно тТ, пТ и

Условию теоремы удовлетворяют функции / - л;

Период суммы функций с несоизмеримыми периодами

Следующее утверждение почти очевидно.

Теорема 4. Пусть fug- периодические функции с несоизмеримыми основными периодами Т} и Т2, а сумма этих функций h = f + g периодична и имеет основной период Т. Тогда число Т несоизмеримо ни с Т], ни с Т2.

Доказательство. С одной стороны, если числа ТнТ} соизмеримы, то функция g = h-f имеет период, соизмеримый с Г]. С другой стороны, в силу теоремы 1 любой период функции g кратен числу Т2. Получаем противоречие с несоизмеримостью чисел Т\ и Т2. Несоизмеримость чисел Т и Т2 доказывается аналогично, d

Замечательным, и даже в некотором роде удивительным, является тот факт, что справедливо и утверждение, обратное к теореме 4. Широко распространено заблуждение о том, что сумма двух периодических функций с несоизмеримыми периодами не может быть функцией периодической. На самом же деле это не так. Более того, период суммы может быть любым положительным числом, удовлетворяющим утверждению теоремы 4.

Теорема 5. Пусть Т\, Т2иТ~ попарно несоизмеримые положительные числа. Тогда существуют такие периодические функции fug, что их сумма h =/+ g периодична, а основные периоды функцииf guhравны соответственно Th Т2 и Т.

Доказательство. Доказательство вновь будет конструктивным. Наши построения будут существенно зависеть от того, представимо или не представимо число Т в виде рациональной комбинации Т = аТ\ + рТ2 (а и Р - рациональные числа) периодов Т\ и Т2.

I. Т не является рациональной комбинацией Тг и J2-

Пусть А = {mT\ + пТ2 + kT\m,n, k е Z} - множество целых линейных комбинаций чисел Гь Т2 и Т. Отметим сразу, что если число представимо в виде пгТ\ + пТ2 + кТ, то такое представление единственно. Действительно, если тхТ\ + п\Тг + к\Т- m2Tx + п2Т2 + к2Т9 то

(к} - к2)Т- (от2 - т\)Т] + (п2 - щ)Тъ и при к\ * к2 получаем, что Т рационально выражается через Т] и Т2. Значит, к\ = к2. Теперь из несоизмеримости чисел Т\ и Т2 непосредственно получаются равенства т\ = т2 и щ = п2.

Важным является тот легко проверяемый факт, что множества А и дополнение к нему А замкнуты относительно прибавления чисел из А: если х е А и у е А, то х + у е А; если х е А и у е А, тох + у е А.

Положим, что во всех точках множества А функции/и g равны нулю, а на множестве А зададим эти функции следующим образом:

f(mTi + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ g(mT1 + пТ2 + кТ) - гпТ\ - кТ.

Поскольку, как было показано, по числу х е А коэффициенты т,пик линейной комбинации периодов Гь Т2 и Г восстанавливаются однозначно, указанные задания функций/и g корректны.

Функция h =/ + g на множестве А равна нулю, а в точках множества А равна

h(mT\ + пТ2 + кТ) - тТ\ + пТ2.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что число Т\ - период функции f число Т2 - период g, а Т~ период h. Покажем, что эти периоды - основные.

Сначала отметим, что любой период функции /принадлежит множеству А. Действительно,

если 0 фх в А,у е А, т ох + у е А и f(x + у) = 0 *f(x). Значит, у е А - не период функции /

Пусть теперь не равные друг другу числах\, х2 принадлежат^ и f(x 1) ~f(x2). Из определения функции / отсюда получаем, что х\ - х2 = 1ТЬ где I- некоторое ненулевое целое число. Стало быть, любой период функции/кратен Т\. Таким образом, Тх - действительно основной период/

Точно так же проверяются утверждения относительно Т2 и Т.

Замечание. В книге на с. 172-173 приводится другая общая конструкция для случая I.

II. Т- рациональная комбинация Т\ и Т2.

Представим рациональную комбинацию периодов Т\ и Т2 в виде Г = - (кхТх + к2Т2), где кх и

к2 ™ взаимно простые целые числа, к{Г\ + к2Т2 > 0, а/? и д - натуральные числа. Введем в рассмотри, лeZ>.

рение множество В----

Положим, что во всех точках множества В функцииfиg равны нулю, а на множестве В зададим эти функции следующим образом:

^ тТ\ + пТ2 Л Я

^ mTx + пТ2 Л

Здесь, как обычно, [х] и {х} обозначают соответственно целую и дробную часть числах. Функция к =/+ д на множестве В равна нулю, а в точках множества В равна

fmTx +пТ: л Ч

Непосредственной подстановкой несложно проверить, что число Тх - период функции/, число Т2 - период g, а Т- период h. Покажем, что эти периоды - основные.

Любой период функции / принадлежит множеству В. Действительно, если 0 * х е В, у е В, то f(x) Ф 0, j{x + у) = 0 */(*)■ Значит, у е В _ Не период функции/

Итак, всякий период функции / имеет вид Ту =

Где 5i и 52 - целые числа. Пусть

х =-7] 4- -Г2, х е 5. Если я = 0, то /(я) - рациональное число. Теперь из рациональности числа /(х + 7}) вытекает равенство -I - I - 0. Значит, имеем равенство 52 = Хр, где X - некоторое целое

число. Соотношение/(х + 7}) = /(х) принимает вид

^ П + I + I ш +

Данное равенство должно выполняться при всех целых тип. При т-п~ 0 правая часть (1) рав-

на нулю. Поскольку дробные части неотрицательны, получаем отсюда, что -<0, а при

т = п = д - ] сумма дробных частей в правой части равенства (1) не меньше суммы дробных час-X

тей слева. Значит, - >0. Таким образом, X = 0 и 52 = 0. Поэтому период функции / имеет вид

а равенство (1) переходит в

п\ | и 52 - целые числа. Из соотношений

й(0) = 0 = й(ГА) =

получаем, что числа 51 и ^ должны быть кратны р, т.е. при некоторых целых Лх и Л2 имеем 51 = Л\р, Э2 = Л2р. Тогда соотношение (3) можно переписать в виде

Из равенства Л2кх = к2Л\ и взаимной простоты чисел к\ и к2, вытекает, что Л2 делится на к2. Отсюда

для некоторого целого числа t справедливы равенства Л2 = k2t и Лх ~ kxt, т.е. Th ~-{кхТх + к2Т2).

Показано, что любой период функции h кратен периоду Т = - (к{Гх + к2Т2)9 который, таким обра-

зом, является основным. □

Отсутствие основного периода

Теорема 6. Пусть Тх и Т2~- произвольные положительные числа. Тогда существуют такие периодические функции fug, что их основные периоды равны соответственно Т\ и Т2, а их сумма h=f+g периодична, но не имеет основного периода.

Доказательство. Рассмотрим два возможных случая.

I. Периоды Тх и Т2 несоизмеримы.

Пусть A = + пТ2 +kT\ . Как и выше, легко показать, что если число

представимо в виде тТх + пТ2 + кТ, то такое представление единственно.

Положим, что во всех точках множества А функции / и g равны нулю, а на множестве А зададим эти функции следующим образом:

/от; + пТ2 + кТ) = пТ2 + кТ, g(mTx + пТ2 + кТ) = тТх - кТ.

Несложно убедиться в том, что число Тх - основной период функции / , число Т2 - основной период g , и при любом рациональном к число кТ - период функции h - f + g, у которой, таким образом, нет наименьшего периода.

II. Периоды Тх и Т2 соизмеримы.

Пусть Тх =тТ0,Т2 = пТ0, где Т0 > О, m и п - натуральные числа. Введем в рассмотрение множество Я = + .

Положим, что во всех точках множества В функции fug равны нулю, а на множестве В зададим эти функции так:

/((/ + ЩТ0) = Щ + Jit, g((/ + 4lk)T0) - Щ - 42к.

Функция h ~ / + g на множестве В равна нулю, а в точках множества В равна

Нетрудно проверить, что число 7j = mTQ - основной период функции / , число Т2 ~ пТ0 - основной период g, в то время как среди периодов функции h~ f + g есть все числа вида л/2кТ0, где к - произвольное рациональное число. □

В основе конструкций, доказывающих теорему 6, лежит несоизмеримость периодов функции h~ / + g с периодами функций / и g . Приведем в заключение пример таких функций fug, что все периоды функций /, g и / + g соизмеримы между собой, но у / и g есть основные периоды, а у f + g - нет.

Пусть m - некоторое фиксированное натуральное число, М - множество несократимых нецелых дробей, числители которых кратны m . Положим

1, если хеМ; 1

еслихе mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

О в остальных случаях; 1, если хеМU

~,еслихе2 2

[О в противном случае.

Легко видеть, что основные периоды функций fug равны соответственно m и 1, в то время как сумма / + g имеет периодом любое число вида m/n, где п - произвольное натуральное число, взаимно простое с m .

Литература

1. Математический энциклопедический словарь/Гл. ред. Ю.В. Прохоров - М.: Сов. энциклопедия, 1988.

2. Микаэлян Л.В., Седракян Н.М. О периодичности суммы периодических функций// Математическое образование. - 2000. - № 2(13). - С. 29-33.

3. Геренштейн A.B., Эвнин А.Ю. О сумме периодических функций// Математика в школе. -2002. - № 1. - С. 68-72.

4. Ивлев Б.М. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа для 9 и 10 кл. - М.: Просвещение, 1978.

Повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T ≠ 0 {\displaystyle T\neq 0} , если для каждой точки x {\displaystyle x} из её области определения точки x + T {\displaystyle x+T} и x − T {\displaystyle x-T} также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f (x) = f (x + T) = f (x − T) {\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)} .

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f (x) = f (x + n T) {\displaystyle f(x)=f(x+nT)} , где n {\displaystyle n} - любое целое число.

Однако если у множества периодов { T , T > 0 , T ∈ R } {\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x , cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x , ∀ x ∈ R . {\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

Некоторые особенности периодических функций

и T 2 {\displaystyle T_{2}} (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) {\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)} основной период равен 2 π {\displaystyle 2\pi } , у функции g (x) = sin ⁡ (3 x) {\displaystyle g(x)=\sin(3x)} период равен 2 π / 3 {\displaystyle 2\pi /3} , а у их суммы f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) {\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)} основной период, очевидно, равен π {\displaystyle \pi } .

• Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.

Аргумента x, то она называется периодической, если есть число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Классический пример периодических функций - тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции - не единственные периодические.

Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность - вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.

Если F(x) - с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) - тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C - нет.

Если F(x) - периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k - константы и k не равно нулю - тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) - периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз

Если F1(x) и F2(x) - периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 - рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй - 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π - иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.