Уравнение гиперболы в каноническом виде. Гипербола: определение, свойства, построение
Гипербола и парабола
Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка , посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе . Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом . Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
У гиперболы две асимптоты .
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
1) Прежде всего, находим асимптоты . Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты.
2) Теперь находим две вершины гиперболы , которые расположены на оси абсцисс в точках . Выводится элементарно: если , то каноническое уравнение превращается в , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины
3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает 2-3-х. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса
. Из канонического уравнения на черновике выражаем:
Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо);
– определяет нижние дуги гиперболы.
Напрашивается нахождение точек с абсциссами :
4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:
Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом , но это вполне преодолимая проблема.
Отрезок
называют действительной осью
гиперболы,
его длину – расстоянием между вершинами;
число
называют действительной полуосью
гиперболы;
число
– мнимой полуосью
.
В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся .
Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет
У гиперболы, точно так же, как и у эллипса , есть две особенные точки , которые называются фокусами . Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым .
Общая концепция определения тоже похожа:
Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: .
Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов
рассчитывается по формуле: .
И, соответственно, фокусы имеют координаты .
Для исследуемой гиперболы :
Разбираемся в определении. Обозначим через расстояния от фокусов до произвольной точки гиперболы:
Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль
(абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же:
Если точку «перекинуть» на левую ветвь, и перемещать её там, то данное значение останется неизменным.
Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви (поскольку отрезок короче отрезка ). Для любой точки левой ветви ситуация ровно противоположная и .
Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать.
Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы . Тогда: , что и требовалось проверить.
Определение . Гиперболой называется геометрическое место точек, разность от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная
Возьмем систему координат, так чтобы фокусы лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F 1 F 2 пополам (рис. 30). Обозначим F 1 F 2 = 2c. Тогда F 1 (с; 0); F 2 (-c; 0)
MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – фокальные радиусы гиперболы.
Согласно определения гиперболы r 1 – r 2 = const.
Обозначим ее через 2а
Тогда r 2 - r 1 = ±2a итак:
=> каноническое уравнение гиперболы
Так как уравнение гиперболы х и у в четных степенях, то если точка М 0 (х 0 ; у 0) лежит на гиперболе, то на ней лежат также точки М 1 (х 0 ; -у 0) М 2 (-х 0 ; -у 0) М 3 (-х 0 ; -у 0).
Следовательно, гипербола симметрична относительно обеих координатных осей.
При у = 0 х 2 = а 2 х = ± а. Вершинами гиперболы будут точки А 1 (а; 0); А 2 (-а; 0).
.
В силу симметрии исследование ведем в
I
четверти
1)
при
у имеет мнимое значение, следовательно,
точек гиперболы с абсциссами
не существует
2) при х = а; у = 0 А 1 (а; 0) принадлежит гиперболе
3) при x > a; y > 0. Причем при неограниченном возрастании х ветвь гиперболы уходит в бесконечность.
Отсюда следует, что гипербола представляет собой кривую, состоящую из двух бесконечных ветвей.
П 6. Асимптоты гиперболы
Рассмотрим
вместе с уравнением
уравнение прямой
Кривая будет лежать ниже прямой (рис. 31). Рассмотрим точкиN (x, Y) и М (х, у) у которой абсциссы одинаковы, а У - у = MN. Рассмотрим длину отрезка MN
Найдем
Итак,
если точка М, двигаясь по гиперболе в
первой четверти удаляется в бесконечность,
то ее расстояние от прямой
уменьшается и стремится к нулю.
В
силу симметрии таким же свойством
обладает прямая
.
Определение.
Прямые к которым при
кривая неограниченно приближается
называются асимптотами.
И
так,
уравнение асимптот гиперболы
.
Асимптоты гиперболы располагаются по диагоналям прямоугольника, одна сторона которого параллельна оси ох и равна 2а, а другая параллельна оси оу и равна 2в, а центр лежит в начале координат (рис. 32).
П 7. Эксцентриситет и директрисы гиперболы
r 2 – r 1 = ± 2a знак + относится к правой ветви гиперболы
знак – относится к левой ветви гиперболы
Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между ее вершинами.
. Так как c > a, ε > 1
Выразим фокальные радиусы гиперболы через эксцентриситет:
Определение
.
Назовем прямые
,
перпендикулярные фокальной оси гиперболы
и расположенными на расстоянии
от ее центра директрисами гиперболы,
соответствующие правому и левому
фокусам.
Т
ак
как для гиперболы
следовательно, директрисы гиперболы,
располагаются между ее вершинами (рис.
33). Покажем, что отношение расстояний
любой точки гиперболы до фокуса и
соответствующей директрисы есть величина
постоянная и равная ε.
П. 8 Парабола и ее уравнение
О
пределение.
Парабола
есть геометрическое место точек
равностоящих от данной точки, называемой
фокусом и от данной прямой называемой
директрисой.
Чтобы
составить уравнение параболы примем
за ось х прямую, проходящую через фокус
F 1
перпендикулярную к директрисе и будем
считать ось х направленной от директрисы
к фокусу. За начало координат возьмем
середину О отрезка от точки F
до данной прямой, длину которого обозначим
через р (рис. 34). Величину р назовем
параметром параболы. Точка координат
фокуса
.
Пусть М (х, у) – произвольная точка параболы.
Согласно
определению
у 2 = 2рх – каноническое уравнение параболы
Для
определения вида параболы преобразуем
ее уравнение
отсюда следует
.
Следовательно, вершина параболы находится
в начале координат и осью симметрии
параболы является ох. Уравнение у 2
= -2рх при положительном р сводится к
уравнению у 2
= 2рх путем замены х на –х и ее график
имеет вид (рис. 35).
У
равнение
х 2
= 2ру является уравнением параболы с
вершиной в точке О (0; 0) ветви которой
направлены вверх.
х
2
= -2ру – уравнение параболы с центром в
начале координат симметричная относительно
оси у, ветви которой направлены вниз
(рис. 36).
У параболы одна ось симметрии .
Если х в первой степени, а у во второй, то ось симметрии есть х.
Если х во второй степени, а у в первой, то ось симметрии есть ось оу.
Замечание
1.
Уравнение
директрисы параболы имеет вид
.
Замечание 2. Так как для параболы , то ε параболы равен 1. ε = 1 .
В математике часто приходится строить разнообразные графики. Но не каждому школьнику это дается легко. Да что говорить о школьниках, если не каждый взрослый понимает, как это сделать? Хотя, казалось бы, это азы математики, и ничего сложного в построении графика нет, главное – просто понять алгоритм. Из данной статьи вы узнаете, как построить гиперболу.
Строим систему координат
Для построения любого графика, в первую очередь, необходимо построить прямоугольную систему координат Декарта. Что для этого нужно:
- На листе бумаги рисуем горизонтальную прямую. Желательно, чтобы это был лист в клеточку, но не обязательно. Конец прямой, справа, обозначаем стрелкой. Это у нас получилась ось X. Она называется абсциссой.
- Посреди оси Х рисуем перпендикулярную прямую. Конец прямой, вверху, обозначаем стрелкой. Таким образом, мы получаем ось Y, так называемую ординату.
- Далее нумеруем шкалу. Справа на оси Х у нас располагаются положительные значения Х в порядке возрастания – от 1 и выше. Слева – отрицательные. Вверху на оси Y располагаются положительные значения Y в порядке возрастания. Внизу – отрицательные
Точка пересечения абсциссы и ординаты – это начало координат, то есть число 0. Отсюда мы будем откладывать все значения Х и Y.
Наглядно вы можете посмотреть получившуюся систему координат на рисунке ниже. Также мы видим, что прямоугольная система координат делит плоскость на 4 части. Они называются четвертями и имеют нумерацию против часовой стрелки, как показано на рисунке:
Для построения любого графика нужны точки. Каждая точка координатной плоскости определяется парой чисел (x;y). Эти числа называются координатами точки, где:
- х – абсцисса точки
- y – соответственно, ордината
Теперь, когда мы знаем, как строить систему координат, можем приступать непосредственно к построению графика.
Строим гиперболу
Гипербола – это график функции, заданной формулой y=k/x, где
- k – это любой коэффициент, но он не должен равняться 0
- x – независимая переменная
Гипербола состоит из 2-х частей, которые располагаются симметрично в разных четвертях. Они называются ветвями гиперболы. Если k>0, то ветви мы строим в 1 и 3 четвертях, если же k<0, тогда – во 2 и 4.
Для построения гиперболы возьмем в качестве примера функцию, заданную формулой y=3/х.
- Поскольку коэффициент 3 у нас со знаком «+», то наша гипербола, соответственно, будет находиться в 1 и 3 четвертях.
- Задаем произвольно значения Х, вследствие чего находим значения Y. Так у нас будут координаты точек, благодаря которым мы и построим нашу гиперболу. Но обратите внимание, что Х нельзя задать нулевое значение, ведь мы знаем, что на 0 делить нельзя.
- Поскольку мы знаем, что гипербола располагается в 2 четвертях, то берем как положительные значения, так и отрицательные. Итак, возьмем, к примеру, значения Х, равные -6, -3, -1, 1, 3, 6.
- Теперь вычисляем наши ординаты. Это сделать достаточно просто – подставляем каждое значение Х в нашу исходную формулу: y=3/-6; у=3/-3; у=3/-1; у=3/1; у=3/3; у=3/6. Путем несложных математических вычислений получаем значения Y, равные -0.5, -1, -3, 3, 1, 0.5.
- У нас получилось 6 точек с координатами. Теперь просто откладываем эти точки на нашей системе координат и через них плавно проводим кривые, как показано на рисунке ниже. Вот мы и построили гиперболу.
Как вы успели убедиться, строить гиперболу не так-то сложно. Просто нужно понять принцип и придерживаться очередности выполнения действий. Следуя нашим советам и рекомендациям, вы с легкостью сможете построить не только гиперболу, а и множество других графиков. Пробуйте, тренируйтесь, и все у вас обязательно получится!
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение : вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.