Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору. Прямая линия

Если все числа А , В , С и D отличны от нуля, то общее уравнение плоскости называется полным . В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным .

Рассмотрим все возможные общие неполные уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Пусть D = 0 , тогда имеем общее неполное уравнение плоскости вида . Эта плоскость в прямоугольной системе координт Oxyz проходит через начало координат. Действительно, при подстановке координат точки в полученное неполное уравнение плоскости мы приходим к тождеству .

При , или , или имеем общие неполные уравнения плоскостей , или , или соответственно. Эти уравнения задают плоскости, параллельные координатным плоскостям Oxy , Oxz и Oyz соответственно (смотрите статью условие параллельности плоскостей) и проходящие через точки и соответственно. При. Так как точка принадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости , то есть, должно быть справедливо равенство . Отсюда находим . Таким образом, искомое уравнение имеет вид .

Приведем второй способ решения этой задачи.

Так как плоскость, общее уравнение которой нам требуется составить, параллельна плоскости Oyz , то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор плоскости Oyz . Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор . Теперь мы знаем нормальный вектор плоскости и точку плоскости, следовательно, можем записать ее общее уравнение (подобную задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи):
, тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Следовательно, справедливо равенство , откуда находим . Теперь мы можем написать искомое общее уравнение плоскости, оно имеет вид .

Ответ:

Список литературы.

• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Чтобы получить общее уравнение плоскости, разберём плоскость, проходящую через заданную точку.

Пусть в пространстве есть три уже известные нам оси координат - Ox , Oy и Oz . Подержим лист бумаги так, чтобы он оставался плоским. Плоскостью будет сам лист и его продолжение во всех направлениях.

Пусть P произвольная плоскость в пространстве. Всякий перпендикулярный ей вектор называется вектором нормали к этой плоскости. Естественно, речь идёт о ненулевом векторе.

Если известна какая-нибудь точка плоскости P и какой-нибудь вектор нормали к ней, то этими двумя условиями плоскость в пространстве вполне определена (через заданную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную данному вектору). Общее уравнение плоскости будет иметь вид:

Итак, условия, которыми задаётся уравнение плоскости, есть. Чтобы получить само уравнение плоскости , имеющее приведённый выше вид, возьмём на плоскости P произвольную точку M с переменными координатами x , y , z . Эта точка принадлежит плоскости только в том случае, когда вектор перпендикулярен вектору (рис. 1). Для этого, согласно условию перпендикулярности векторов, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение этих векторов было равно нулю, то есть

Вектор задан по условию. Координаты вектора найдём по формуле :

.

Теперь, используя формулу скалярного произведения векторов , выразим скалярное произведение в координатной форме:

Так как точка M(x; y; z) выбрана на плоскости произвольно, то последнему уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на плоскости P . Для точки N , не лежащей на заданной плоскости, , т.е. равенство (1) нарушается.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Используем формулу (1), еще раз посмотрим на неё:

В этой формуле числа A , B и C координаты вектора , а числа x 0 , y 0 и z 0 - координаты точки .

Вычисления очень простые: подставляем эти числа в формулу и получаем

Умножаем всё, что нужно умножить и складываем просто числа (которые без букв). Результат:

.

Требуемое уравнение плоскости в этом примере оказалось выражено общим уравнением первой степени относительно переменных координат x, y, z произвольной точки плоскости.

Итак, уравнение вида

называется общим уравнением плоскости .

Пример 2. Построить в прямоугольной декартовой системе координат плоскость, заданную уравнением .

Решение. Для построения плоскости необходимо и достаточно знать какие-либо три её точки, не лежащие на одной прямой, например, точки пересечения плоскости с осями координат.

Как найти эти точки? Чтобы найти точку пересечения с осью Oz , нужно в уравнение, данное в условии задачи, вместо икс и игрека подставить нули: x = y = 0 . Поэтому получаем z = 6 . Таким образом, заданная плоскость пересекает ось Oz в точке A (0; 0; 6) .

Точно так же находим точку пересечения плоскости с осью Oy . При x = z = 0 получаем y = −3 , то есть точку B (0; −3; 0) .

И, наконец, находим точку пересечения нашей плоскости с осью Ox . При y = z = 0 получим x = 2 , то есть точку C (2; 0; 0) . По трём полученным в нашем решении точкам A (0; 0; 6) , B (0; −3; 0) и C (2; 0; 0) строим заданную плоскость.

Рассмотрим теперь частные случаи общего уравнения плоскости . Это случаи, когда те или иные коэффициенты уравнения (2) обращаются в нуль.

1. При D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат, так как координаты точки 0 (0; 0; 0) удовлетворяют этому уравнению.

2. При A = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную оси Ox , поскольку вектор нормали этой плоскости перпендикулярен оси Ox (его проекция на ось Ox равна нулю). Аналогично, при B = 0 плоскость параллельная оси Oy , а при C = 0 плоскость параллельна оси Oz .

3. При A = D = 0 уравнение определяет плоскость, проходящую через ось Ox , поскольку она параллельна оси Ox (A = D = 0). Аналогично, плоскость проходит через ось Oy , а плоскость через ось Oz .

4. При A = B = 0 уравнение определяет плоскость, параллельную координатной плоскости xOy , поскольку она параллельна осям Ox (A = 0) и Oy (B = 0). Аналогично, плоскость параллельна плоскости yOz , а плоскость - плоскости xOz .

5. При A = B = D = 0 уравнение (или z = 0) определяет координатную плоскость xOy , так как она параллельна плоскости xOy (A = B = 0) и проходит через начало координат (D = 0). Аналогично, уравнение y = 0 в пространстве определяет координатную плоскость xOz , а уравнение x = 0 - координатную плоскость yOz .

Пример 3. Составить уравнение плоскости P , проходящей через ось Oy и точку .

Решение. Итак, плоскость проходит через ось Oy . Поэтому в её уравнении y = 0 и это уравнение имеет вид . Для определения коэффициентов A и C воспользуемся тем, что точка принадлежит плоскости P .

Поэтому среди её координат есть такие, которые можно подставить в уравнению плоскости, которое мы уже вывели (). Смотрим ещё раз на координаты точки:

M 0 (2; −4; 3) .

Среди них x = 2 , z = 3 . Подставляем их в уравнение общего вида и получаем уравнение для нашего частного случая:

2A + 3C = 0 .

Оставляем 2A в левой части уравнения, переносим 3C в правую часть и получаем

A = −1,5C .

Подставив найденное значение A в уравнение , получим

или .

Это и есть уравнение, требуемое в условии примера.

Решить задачу на уравнения плоскости самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Определить плоскость (или плоскости, если больше одной) относительно координатных осей или координатных плоскостей, если плоскость (плоскости) задана уравнением .

Решения типичных задач, которые бывают на контрольных работах - в пособии "Задачи на плоскость: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке" .

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Как уже упоминалось, необходимым и достаточным условием для построения плоскости, кроме одной точки и вектора нормали, являются также три точки, не лежащие на одной прямой.

Пусть даны три различные точки , и , не лежащие на одной прямой. Так как указанные три точки не лежат на одной прямой, векторы и не коллинеарны, а поэтому любая точка плоскости лежит в одной плоскости с точками , и тогда и только тогда, когда векторы , и компланарны, т.е. тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Используя выражение смешанного произведения в координатах, получим уравнение плоскости

(3)

После раскрытия определителя это уравнение становится уравнением вида (2), т.е. общим уравнением плоскости.

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой:

и определить частный случай общего уравнения прямой, если такой имеет место.

Решение. По формуле (3) имеем:

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде

Данная статья дает представление о том, как составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку трехмерного пространства перпендикулярно к заданной прямой. Разберем приведенный алгоритм на примере решения типовых задач.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой

Пусть задано трехмерное пространство и прямоугольная система координат O x y z в нем. Заданы также точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) , прямая a и плоскость α , проходящая через точку М 1 перпендикулярно прямой a . Необходимо записать уравнение плоскости α .

Прежде чем приступить к решению этой задачи, вспомним теорему геометрии из программы 10 - 11 классов, которая гласит:

Определение 1

Через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к заданной прямой.

Теперь рассмотрим, как же найти уравнение этой единственной плоскости, проходящей через исходную точку и перпендикулярной данной прямой.

Возможно записать общее уравнение плоскости, если известны координаты точки, принадлежащей этой плоскости, а также координаты нормального вектора плоскости.

Условием задачи нам заданы координаты x 1 , y 1 , z 1 точки М 1 , через которую проходит плоскость α . Если мы определим координаты нормального вектора плоскости α , то получим возможность записать искомое уравнение.

Нормальным вектором плоскости α , так как он ненулевой и лежит на прямой a , перпендикулярной плоскости α , будет являться любой направляющий вектор прямой a . Так, задача нахождения координат нормального вектора плоскости α преобразовывается в задачу определения координат направляющего вектора прямой a .

Определение координат направляющего вектора прямой a может осуществляться разными методами: зависит от варианта задания прямой a в исходных условиях. К примеру, если прямая a в условии задачи задана каноническими уравнениями вида

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

или параметрическими уравнениями вида:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

то направляющий вектор прямой будет иметь координаты а x , а y и а z . В случае, когда прямая a представлена двумя точками М 2 (x 2 , y 2 , z 2) и М 3 (x 3 , y 3 , z 3) , то координаты направляющего вектора буду определяться как (x3 – x2, y3 – y2, z3 – z2).

Определение 2

Алгоритм для нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой:

Определяем координаты направляющего вектора прямой a: a → = (а x , а y , а z) ;

Определяем координаты нормального вектора плоскости α как координаты направляющего вектора прямой a:

n → = (A , B , C) , где A = a x , B = a y , C = a z ;

Записываем уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и имеющей нормальный вектор n → = (A , B , C) в виде A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 . Это и будет являться требуемым уравнением плоскости, которая проходит через заданную точку пространства и перпендикулярна к данной прямой.

Полученное общее уравнение плоскости: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 дает возможность получить уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости.

Решим несколько примеров, используя полученный выше алгоритм.

Пример 1

Задана точка М 1 (3 , - 4 , 5) , через которую проходит плоскость, и эта плоскость перпендикулярна координатной прямой О z .

Решение

направляющим вектором координатной прямой O z будет координатный вектор k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты (0 , 0 , 1) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку М 1 (3 , - 4 , 5) , нормальный вектор которой имеет координаты (0 , 0 , 1) :

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 · (x - 3) + 0 · (y - (- 4)) + 1 · (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Ответ: z – 5 = 0 .

Рассмотрим еще один способ решить данную задачу:

Пример 2

Плоскость, которая перпендикулярна прямой O z будет задана неполным общим уравнением плоскости вида С z + D = 0 , C ≠ 0 . Определим значения C и D: такие, при которых плоскость проходит через заданную точку. Подставим координаты этой точки в уравнение С z + D = 0 , получим: С · 5 + D = 0 . Т.е. числа, C и D связаны соотношением - D C = 5 . Приняв С = 1 , получим D = - 5 .

Подставим эти значения в уравнение С z + D = 0 и получим требуемое уравнение плоскости, перпендикулярной к прямой O z и проходящей через точку М 1 (3 , - 4 , 5) .

Оно будет иметь вид: z – 5 = 0 .

Ответ: z – 5 = 0 .

Пример 3

Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Решение

Опираясь на условия задачи, можно утверждать, что за нормальный вектор n → заданной плоскости можно принять направляющий вектор заданной прямой. Таким, образом: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку О (0 , 0 , 0) и имеющей нормальный вектор n → = (- 3 , - 7 , 2) :

3 · (x - 0) - 7 · (y - 0) + 2 · (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Мы получили требуемое уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к заданной прямой.

Ответ: - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Пример 4

Задана прямоугольная система координат O x y z в трехмерном пространстве, в ней – две точки А (2 , - 1 , - 2) и B (3 , - 2 , 4) . Плоскость α проходит через точку A перпендикулярно прямой А В. Необходимо составить уравнение плоскости α в отрезках.

Решение

Плоскость α перпендикулярна к прямой А В, тогда вектор А В → будет нормальным вектором плоскости α . Координаты этого вектора определяются как разности соответствующих координат точек В (3 , - 2 , 4) и А (2 , - 1 , - 2) :

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Общее уравнение плоскости будет записано в следующем виде:

1 · x - 2 - 1 · y - (- 1 + 6 · (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Теперь составим искомое уравнение плоскости в отрезках:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ответ: x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Также нужно отметить, что встречаются задачи, требование которых – написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной к двум заданным плоскостям. В общем, решение этой задачи в том, чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой, т.к. две пересекающиеся плоскости задают прямую линию.

Пример 5

Задана прямоугольная система координат O x y z , в ней – точка М 1 (2 , 0 , - 5) . Заданы также уравнения двух плоскостей 3 x + 2 y + 1 = 0 и x + 2 z – 1 = 0 , которые пересекаются по прямой a . Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к прямой a .

Решение

Определим координаты направляющего вектора прямой a . Он перпендикулярен как нормальному вектору n 1 → (3 , 2 , 0) плоскости n → (1 , 0 , 2) , так и нормальному вектору 3 x + 2 y + 1 = 0 плоскости x + 2 z - 1 = 0 .

Тогда направляющим вектором α → прямой a возьмем векторное произведение векторов n 1 → и n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 · i → - 6 · j → - 2 · k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2)

Таким образом, вектор n → = (4 , - 6 , - 2) будет нормальным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой a . Запишем искомое уравнение плоскости:

4 · (x - 2) - 6 · (y - 0) - 2 · (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ответ: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести бесконечно много прямых.

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются

параллельными (следует из предыдущего).

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

• прямые пересекаются;

• прямые параллельны;

• прямые скрещиваются.

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия

задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой.

Определение . Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим

уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

. C = 0, А ≠0, В ≠ 0 - прямая проходит через начало координат

. А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0} - прямая параллельна оси Ох

. В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} - прямая параллельна оси Оу

. В = С = 0, А ≠0 - прямая совпадает с осью Оу

. А = С = 0, В ≠0 - прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких - либо заданных

начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение . В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В)

перпендикулярен прямой, заданной уравнением

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение . Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х - у + С = 0. Для нахождения коэффициента С

подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 - 2 + C = 0, следовательно

С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х - у - 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой ,

проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На

плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой .

Пример . Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение . Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется

уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору.

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание

прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение . Каждый ненулевой вектор (α 1 , α 2) , компоненты которого удовлетворяют условию

Аα 1 + Вα 2 = 0 называется направляющим вектором прямой.

Ах + Ву + С = 0.

Пример . Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение . Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением,

коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3 , т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на -С, получим:

или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения

прямой с осью Ох, а b - координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример . Задано общее уравнение прямой х - у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

С = 1, , а = -1, b = 1.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется

нормирующем множителем , то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 - нормальное уравнение прямой .

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0.

р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,

а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Пример . Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 . Требуется написать различные типы уравнений

этой прямой.

Уравнение этой прямой в отрезках :

Уравнение этой прямой с угловым коэффициентом : (делим на 5)

Уравнение прямой :

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Следует отметить, что не каждую прямую можно представить уравнением в отрезках, например, прямые,

параллельные осям или проходящие через начало координат.

Угол между прямыми на плоскости.

Определение . Если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми

будет определяться как

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны,

если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема .

Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты

А 1 = λА, В 1 = λВ . Если еще и С 1 = λС , то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых

находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой.

Определение . Прямая, проходящая через точку М 1 (х 1 , у 1) и перпендикулярная к прямой у = kx + b

представляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой.

Теорема . Если задана точка М(х 0 , у 0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С = 0 определяется как:

Доказательство . Пусть точка М 1 (х 1 , у 1) - основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную

прямую. Тогда расстояние между точками М и М 1 :

(1)

Координаты x 1 и у 1 могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М 0 перпендикулярно

заданной прямой. Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.