ما هو نظام المعادلات الخطية في متغيرين؟ معادلات ذات متغيرين (معادلات غير محددة) معادلة خطية ذات متغيرين.

أهداف الدرس:

• التعليمية:
  • كرر الموضوع: "المعادلات. المعادلات الخطية. المعادلات المكافئة وخصائصها"؛
  • التأكد من فهم الطلاب لمفهوم المعادلات الخطية ذات المتغيرين وحلها.
• التنموية:
  • تكوين القدرات الفكرية:
  • القدرة على المقارنة، وبناء نظائرها، وتسليط الضوء على الشيء الرئيسي؛
  • القدرة على تعميم وتنظيم المواد المغطاة؛
  • تطوير التفكير المنطقي والذاكرة والخيال والكلام الرياضي.
  • تطوير النشاط المعرفي النشط.
• التعليمية:
  • لتنمية الاستقلال والنشاط والاهتمام لدى الطلاب في جميع مراحل الدرس ؛
  • لتكوين صفات شخصية مثل المثابرة والمثابرة والتصميم.

المهام التي يجب على المعلم حلها في الدرس:

• تعلم كيفية إبراز الفكرة الرئيسية في النص؛
• تعلم كيفية طرح الأسئلة على المعلم أو نفسك أو الطلاب؛
• تعلم كيفية استخدام المعرفة المكتسبة لحل المشكلات غير القياسية؛
• تعليم القدرة على التعبير عن أفكارك رياضيا بشكل صحيح.

المسائل التي يجب على الطلاب حلها في هذا الدرس:

• معرفة تعريف المعادلة الخطية ذات المتغيرين؛
• تكون قادرة على كتابة معادلات خطية بسيطة.
• تكون قادرة على العثور بشكل صحيح على قيم المتغيرات أ، ب، ج؛
• تكون قادرة على تحديد المعادلات الخطية مع متغيرين بين المعادلات.
• أجب عن السؤال: ما هو حل المعادلة الخطية في متغيرين؟
• كيف يمكنك معرفة ما إذا كان زوج من الأرقام هو حل للمعادلة؟
• تكون قادرة على التعبير عن متغير واحد من حيث آخر.

نوع الدرس:درس في تعلم مواد جديدة.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية

ثانيا. تكرار المواد المغطاة

1) على السبورة: 2x، 2x + 5، 2x + 5 = 17.

2) أسئلة للفصل:

– تحديد هذه التعبيرات. (الإجابات المتوقعة: المنتج، وحيدة الحد، المجموع، متعددة الحدود، المعادلة.)
-ماذا تسمى المعادلة؟
- هل تحتاج إلى معادلة...؟ (يقرر)
- ماذا يعني "حل المعادلة"؟
- ما هو جذر المعادلة؟
- ما هي المعادلات المتكافئة؟
– ما هي خصائص تكافؤ المعادلات التي تعرفها؟

ثالثا. تحديث معارف الطلاب

3) الواجب على الفصل بأكمله:

- تحويل التعبيرات :(شخصان يعملان في المجلس).

أ) 2(س + 8) + 4(2س – 4) = ب) 4(س – 2) + 2(3ص + 4) =

بعد التحويل حصلنا على: أ) 10x؛ ب) 4س + 6ص:

- استخدامها لإنشاء المعادلات (يقترح الطلاب - يكتب المعلم المعادلات على السبورة): 10س = 30؛ 4س + 6ص = 28.

أسئلة:

– ما إسم المعادلة الأولى ؟
– لماذا الخطية؟
- قارن المعادلة الثانية بالأولى. حاول صياغة تعريف المعادلة الثانية (الإجابة المتوقعة: معادلة ذات متغيرين، يتركز انتباه الطلاب على نوع المعادلة – الخطية).

رابعا. تعلم مواد جديدة

1) الإعلان عن موضوع الدرس. تسجيل الموضوع في دفاتر الملاحظات. صياغة الطلاب المستقلة لتعريف معادلة ذات متغيرين، معادلة خطية ذات متغيرين (بالقياس مع تعريف المعادلة الخطية ذات متغير واحد)، أمثلة على المعادلات ذات متغيرين. تتم المناقشة في شكل محادثة أمامية، حوار - تفكير.

2) الواجب الصفي:

أ) اكتب معادلتين خطيتين بمتغيرين (يستمع المعلم والطلاب إلى إجابات العديد من الطلاب، بناءً على اختيار المعلم، يكتب أحدهم معادلاته على السبورة).

ب) يتم تحديد المهام والأسئلة بالتعاون مع الطلاب والتي يجب أن يحصلوا على إجابة لها في هذا الدرس. يتلقى كل طالب بطاقات تحتوي على هذه الأسئلة.

ج) العمل مع الطلاب على حل هذه القضايا والمهام:

- تحديد أي من هذه المعادلات هي معادلات خطية ذات متغيرين أ) 6x 2 = 36؛ ب) 2س - 5ص = 9: ج) 7س + 3ص 3؛ د) 1/2س + 1/3ص = 6، إلخ. قد تنشأ مشكلة في المعادلة x: 5 – y: 4 = 3 (يجب كتابة علامة القسمة على شكل كسر). ما هي خصائص معادلة المعادلات التي يجب تطبيقها؟ (إجابات الطلاب)تحديد قيم المعاملات أ, الخامسو مع.

- المعادلات الخطية ذات المتغيرين، مثل جميع المعادلات، تحتاج إلى حل. ما هو حل المعادلات الخطية في متغيرين؟ (يعطي الأطفال تعريفًا).

مثال: أوجد حلول المعادلة: أ) x – y = 12، اكتب الإجابات في الصورة (x; y) أو x = ...; ص = .... كم عدد الحلول التي تحتوي عليها المعادلة؟

أمثلة: أوجد حلول المعادلات التالية أ) 2x + y = 7; ب) 5س – ص = 4. كيف وجدت حلول هذه المعادلات؟ (التقطت).

– كيف يمكنك معرفة ما إذا كان زوج من الأرقام هو حل لمعادلة خطية في متغيرين؟

3) العمل مع الكتاب المدرسي.

– ابحث في الكتاب المدرسي عن الأماكن التي يتم فيها تسليط الضوء على الفكرة الرئيسية لموضوع هذا الدرس

أ) الأداء الشفهي للمهام: رقم 1092، رقم 1094.

ب) حل الأمثلة رقم 1096 (للطلاب الضعفاء)، رقم 1097 (للطلاب الأقوياء).

ج) كرر خصائص تكافؤ المعادلات.

يمارس:باستخدام خصائص تكافؤ المعادلات، عبر عن المتغير Y من خلال المتغير X في المعادلة 5x + 2y = 12 ("دقيقة" للحل بشكل مستقل، ثم نظرة عامة على الحل على السبورة، يتبعها شرح).

د) تنفيذ المثال رقم 1099 (أحد الطلاب يكمل المهمة على السبورة).

مرجع تاريخي

1. يا شباب، المعادلات التي التقينا بها في الفصل اليوم تسمى معادلات ديوفانتين الخطية بمتغيرين، سميت على اسم العالم اليوناني القديم وعالم الرياضيات ديوفانتوس، الذي عاش قبل حوالي 3.5 ألف سنة. قام علماء الرياضيات القدماء في البداية بتأليف المسائل ثم عملوا على حلها. وهكذا تم تجميع العديد من المشاكل التي نتعرف عليها ونتعلم حلها.

2. وتسمى هذه المعادلات أيضًا بالمعادلات غير المحددة. لقد عمل العديد من علماء الرياضيات على حل مثل هذه المعادلات. واحد منهم هو بيير فيرما، عالم الرياضيات الفرنسي. درس نظرية حل المعادلات غير المحددة.

خامسا: ملخص الدرس

1) تلخيص المادة التي تناولها الدرس. إجابات على جميع الأسئلة التي تطرح على الطلاب في بداية الدرس:

– ما هي المعادلات التي تسمى خطية ذات متغيرين؟
- ماذا يسمى حل المعادلة الخطية في متغيرين؟
– كيف يتم تسجيل هذا القرار؟
- ما هي المعادلات التي تسمى متكافئة؟
– ما هي خصائص تكافؤ المعادلات؟
– ما هي المشاكل التي حلناها في الفصل، ما هي الأسئلة التي أجبنا عليها؟

2) القيام بأعمال مستقلة.

للضعفاء:

– أوجد قيم المتغيرات a وb وc في المعادلة –1.1x + 3.6y = – 34؟
– أوجد حلاً واحدًا على الأقل للمعادلة x – y = 35؟
– هل زوج الأرقام (3; 2) هو حل لمعادلة خطية معينة بمتغيرين 2x – y = 4؟

للأقوياء:

– اكتب معادلة خطية ذات متغيرين لمسألة ديوفانتوس: هناك طيور التدرج والأرانب تمشي في فناء المنزل. وتبين أن عدد جميع الأرجل هو 26.
– عبر عن المتغير y بدلالة x في المعادلة 3x – 5y = 8.

السادس. رسالة الواجبات المنزلية

عرض جميع المهام في الكتاب المدرسي، وتحليل سريع لكل مهمة، واختيار مهمة.

• للطلبة الضعفاء: رقم 1093، رقم 1095ب).
• للأقوياء: 1) رقم 1101، رقم 1104 (أ). 2) حل مسألة ديوفانتوس، وإيجاد جميع الحلول الطبيعية لهذه المعادلة.

بالإضافة إلى ذلك بناء على طلب الطلاب - رقم 1105.

بدلًا من الاستنتاج: لقد كنت مدرسًا للرياضيات لأكثر من 40 عامًا. وأريد أن أشير إلى أن الدرس المفتوح ليس دائمًا هو الدرس الأفضل. غالبًا ما يحدث أن تجلب الدروس العادية أحيانًا المزيد من الفرح والرضا للمعلم. ثم تعتقد مع الأسف أن أحداً لم ير هذا الدرس - خلق المعلم والطلاب.

الدرس هو كائن حي واحد، كل واحد، وفي الدرس يتم اكتساب الخبرة التعليمية الشخصية والأخلاقية لكل من الطلاب والمعلمين. 45 دقيقة من الدرس كثيرة جدًا وقليلة جدًا. كثيرًا - لأنه خلال هذا الوقت يمكنك "النظر" مع طلابك إلى أعماق القرون، و"العودة" من هناك، وتعلم الكثير من الأشياء الجديدة والمثيرة للاهتمام، ولا يزال لديك الوقت لدراسة مواد جديدة.

يجب أن يفهم كل طالب أن الرياضيات هي أساس التطور الفكري البشري. والأساس في ذلك هو تنمية التفكير المنطقي. لذلك، قبل كل درس، أحدد هدفًا لنفسي ولطلابي: تعليم الطلاب كيفية العمل بنجاح مع التعريفات، والتمييز بمهارة بين المجهول والمعروف، والمثبت من غير المثبت، والتحليل، والمقارنة، والتصنيف، وطرح الأسئلة، وتعلم حل الأسئلة بمهارة هم. استخدم القياسات، ولكن إذا لم تتمكن من الخروج بمفردك، فليس بجوارك مدرس فحسب، بل مساعدك الرئيسي - كتاب.

بالطبع، الدرس المفتوح هو نتيجة للعمل الإبداعي للمعلم. ويجب على المعلمين الحاضرين في هذا الدرس الانتباه إلى الشيء الرئيسي: نظام العمل والجدة والفكرة. هنا، أعتقد أنه ليس من المهم بشكل خاص طريقة التدريس التي يستخدمها المعلم في الدرس: التقنيات المبتكرة القديمة أو الحديثة أو الجديدة، والشيء الرئيسي هو أن استخدامها مناسب وفعال للمعلم والطلاب.

أنا سعيد جدًا لأن لدي مدرسة وأطفال ودروس وزملاء طيبين في حياتي. شكرا لكم جميعا!

نهج المؤلف لهذا الموضوع ليس من قبيل الصدفة. تمت مواجهة المعادلات ذات المتغيرين لأول مرة في دورة الصف السابع. معادلة واحدة بمتغيرين لها عدد لا نهائي من الحلول. ويظهر ذلك بوضوح من خلال الرسم البياني للدالة الخطية، الموضحة بالشكل ax + by=c. يدرس الطلاب في المقرر المدرسي أنظمة من معادلتين بمتغيرين. ونتيجة لذلك، فإن سلسلة كاملة من المشاكل ذات الشروط المحدودة لمعامل المعادلة، وكذلك طرق حلها، تقع خارج نطاق رؤية المعلم، وبالتالي الطالب.

نحن نتحدث عن حل معادلة ذات مجهولين في أعداد صحيحة أو أعداد طبيعية.

تتم دراسة الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة في المدرسة في الصفوف 4-6. بحلول الوقت الذي يتخرجون فيه من المدرسة، لا يتذكر جميع الطلاب الاختلافات بين مجموعات هذه الأرقام.

ومع ذلك، فإن مشكلة مثل "حل معادلة من الشكل ax + by=c بالأعداد الصحيحة" موجودة بشكل متزايد في امتحانات القبول بالجامعات وفي مواد امتحانات الدولة الموحدة.

حل المعادلات غير المؤكدة ينمي التفكير المنطقي والذكاء والاهتمام بالتحليل.

أقترح تطوير عدة دروس حول هذا الموضوع. ليس لدي توصيات واضحة بشأن توقيت هذه الدروس. يمكن أيضًا استخدام بعض العناصر في الصف السابع (لفصل قوي). يمكن اتخاذ هذه الدروس كأساس وتطوير دورة اختيارية صغيرة حول التدريب ما قبل المهني في الصف التاسع. وبالطبع يمكن استخدام هذه المادة في الصفوف 10-11 للتحضير للامتحانات.

الغرض من الدرس:

• تكرار وتعميم المعرفة حول موضوع "المعادلات من الدرجة الأولى والثانية"
• تنمية الاهتمام المعرفي بالموضوع
• تطوير القدرة على التحليل وإجراء التعميمات ونقل المعرفة إلى موقف جديد

الدرس 1.

خلال الفصول الدراسية.

1) المنظمة. لحظة.

2) تحديث المعرفة الأساسية.

تعريف. المعادلة الخطية في متغيرين هي معادلة من الشكل

mx + ny = k، حيث m، n، k أرقام، x، y متغيرات.

مثال: 5س+2ص=10

تعريف. حل المعادلة ذات المتغيرين هو زوج من قيم المتغيرات الذي يحول المعادلة إلى مساواة حقيقية.

تسمى المعادلات التي تحتوي على متغيرين لهما نفس الحلول مكافئة.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

يمكن أن تحتوي هذه المعادلة على أي عدد من الحلول. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي قيمة x وتجد قيمة y المقابلة.

دع x = 2، y = -2.5 2+6 = 1

س = 4، ص = -2.5 4+6 =- 4

أزواج من الأرقام (2؛1)؛ (4;-4) – حلول المعادلة (1).

هذه المعادلة لديها عدد لا نهائي من الحلول.

3) الخلفية التاريخية

المعادلات غير المحددة (ديوفانتين) هي معادلات تحتوي على أكثر من متغير واحد.

في القرن الثالث. إعلان - كتب ديوفانتوس السكندري كتاب "الحساب" الذي وسع فيه مجموعة الأعداد إلى أرقام عقلانية وأدخل الرمزية الجبرية.

كما نظر ديوفانتوس في مسائل حل المعادلات غير المحددة وأعطى طرقًا لحل المعادلات غير المحددة من الدرجة الثانية والثالثة.

4) دراسة مواد جديدة.

تعريف: معادلة ديوفانتينية غير متجانسة من الدرجة الأولى مع مجهولين x، y هي معادلة من الشكل mx + ny = k، حيث m، n، k، x، y Z k0

البيان 1.

إذا كان الحد الحر k في المعادلة (1) غير قابل للقسمة على القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين m وn، فإن المعادلة (1) ليس لها حلول أعداد صحيحة.

مثال: 34س – 17ص = 3.

GCD (34; 17) = 17، 3 لا يقبل القسمة على 17، ولا يوجد حل في الأعداد الصحيحة.

دع k مقسومًا على gcd (m، n). من خلال قسمة جميع المعاملات، يمكننا التأكد من أن m وn يصبحان أوليين نسبيًا.

البيان 2.

إذا كان m وn في المعادلة (1) عددين أوليين نسبيًا، فإن هذه المعادلة لها حل واحد على الأقل.

البيان 3.

إذا كان المعاملان m وn للمعادلة (1) عبارة عن أرقام أولية، فإن هذه المعادلة لها عدد لا نهائي من الحلول:

حيث (؛ ) هو أي حل للمعادلة (1)، t Z

تعريف. معادلة ديوفانتينية متجانسة من الدرجة الأولى ذات مجهولين x,y هي معادلة من الصيغة mx + ny = 0، حيث (2)

البيان 4.

إذا كان m وn عددين أوليين، فإن أي حل للمعادلة (2) له الصيغة

5) الواجبات المنزلية. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة:

1. 9س – 18ص = 5
2. س + ص = س ص
3. كان العديد من الأطفال يقطفون التفاح. جمع كل ولد 21 كجم، وجمعت الفتاة 15 كجم. في المجموع جمعوا 174 كجم. كم عدد الأولاد وكم فتاة قطفت التفاح؟

تعليق. لا يقدم هذا الدرس أمثلة على حل المعادلات في الأعداد الصحيحة. لذلك، يقوم الأطفال بحل الواجبات المنزلية بناءً على العبارة 1 والاختيار.

الدرس 2.

1) اللحظة التنظيمية

2) التحقق من الواجبات المنزلية

1) 9س - 18ص = 5

5 لا يقبل القسمة على 9، ولا توجد حلول للأعداد الصحيحة.

باستخدام طريقة الاختيار يمكنك إيجاد حل

الإجابة: (0;0)، (2;2)

3) لنجعل المعادلة:

دع الأولاد يكونون x، x Z، والبنات y، y Z، ثم يمكننا إنشاء المعادلة 21x + 15y = 174

لن يتمكن العديد من الطلاب، بعد أن كتبوا معادلة، من حلها.

الجواب: 4 أولاد و 6 بنات.

3) تعلم مواد جديدة

بعد أن واجهوا صعوبات في إكمال الواجبات المنزلية، أصبح الطلاب مقتنعين بالحاجة إلى تعلم أساليبهم في حل المعادلات غير المؤكدة. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

I. طريقة النظر في بقايا القسمة.

مثال. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة 3x – 4y = 1.

الجانب الأيسر من المعادلة يقبل القسمة على 3، لذلك يجب أن يكون الجانب الأيمن قابلاً للقسمة. دعونا ننظر في ثلاث حالات.

الجواب: أين م ز.

تعتبر الطريقة الموصوفة ملائمة للاستخدام إذا لم تكن الأرقام m و n صغيرة، ولكن يمكن تقسيمها إلى عوامل بسيطة.

مثال: حل المعادلات بالأعداد الصحيحة.

افترض أن y = 4n، ثم 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) مقسومة على 4.

y = 4n+1، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n لا يقبل القسمة على 4.

y = 4n+2، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n لا تقبل القسمة على 4.

y = 4n+3، ثم 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n لا يقبل القسمة على 4.

لذلك ص = 4ن، ثم

4س = 16 - 7 4ن = 16 - 28ن، س = 4 - 7ن

الجواب: حيث ن ز.

ثانيا. معادلات غير مؤكدة من الدرجة الثانية

سنتطرق اليوم في الدرس فقط إلى حل معادلات ديوفانتاين من الدرجة الثانية.

ومن بين جميع أنواع المعادلات، سننظر في الحالة التي يمكننا فيها تطبيق صيغة فرق المربعات أو طريقة أخرى للتحليل.

مثال: حل معادلة بأعداد صحيحة.

13 هو عدد أولي، لذلك لا يمكن تحليله إلا بأربع طرق: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

دعونا ننظر في هذه الحالات

الجواب: (7;-3)، (7;3)، (-7;3)، (-7;-3).

4) الواجبات المنزلية.

أمثلة. حل المعادلة بالأعداد الصحيحة:

(س - ص)(س + ص)=4

2س = 4	2س = 5	2س = 5
س = 2	س = 5/2	س = 5/2
ص = 0	لا يصلح	لا يصلح
2س = -4	لا يصلح	لا يصلح
س = -2
ص = 0

الجواب: (-2;0)، (2;0).

الإجابات: (-10;9)، (-5;3)، (-2;-3)، (-1;-9)، (1;9)، (2;3)، (5;-3) ، (10؛-9).

الخامس)

الإجابة: (2;-3)، (-1;-1)، (-4;0)، (2;2)، (-1;3)، (-4;5).

نتائج. ماذا يعني حل المعادلة بالأعداد الصحيحة؟

ما هي طرق حل المعادلات غير المؤكدة التي تعرفها؟

طلب:

تمارين للتدريب.

1) حل الأعداد الصحيحة.

أ) 8س + 12ص = 32	س = 1 + 3ن، ص = 2 - 2ن، ن ض
ب) 7س + 5ص = 29	س = 2 + 5ن، ص = 3 – 7ن، ن ض
ج) 4س + 7ص = 75	س = 3 + 7ن، ص = 9 – 4ن، ن ض
د) 9س – 2ص = 1	س = 1 – 2 م، ص = 4 + 9 م، م ض
هـ) 9س – 11ص = 36	س = 4 + 11ن، ص = 9ن، ن ض
هـ) 7س – 4ص = 29	س = 3 + 4ن، ص = -2 + 7ن، ن ض
ز) 19س – 5ص = 119	س = 1 + 5ب، ص = -20 + 19ب، ص ض
ح) 28س – 40ص = 60	س = 45 + 10ر، ص = 30 + 7ر، ر ض

2) أوجد الحلول الصحيحة غير السالبة للمعادلة:

الحل:ض (2؛ -1)

الأدب.

1. - موسوعة الأطفال "علم التربية" موسكو 1972.
2. الجبر 8، N.Ya. فيلينكين، VO "العلم"، نوفوسيبيرسك، 1992
3. مشاكل المنافسة على أساس نظرية الأعداد. V.Ya. جالكين، د. سيتشوجوف. جامعة ولاية ميشيغان، VMK، موسكو، 2005.
4. مشاكل الصعوبة المتزايدة في مقرر الجبر للصفوف 7-9. ن.ب. كوسريكينا. "التنوير"، موسكو، 1991
5. الجبر 7، ماكاريتشيف يو.إن، “التنوير”.

تعليمات

نظرا لنظام من معادلتين خطيتين، حله على النحو التالي. اختر إحدى المعادلات التي تكون فيها المعاملات أمام المتغيرات أصغر وتعبر عن أحد المتغيرات، على سبيل المثال، x. ثم استبدل هذه القيمة التي تحتوي على y في المعادلة الثانية. في المعادلة الناتجة سيكون هناك متغير واحد فقط y، انقل جميع الأجزاء التي تحتوي على y إلى الجانب الأيسر، والأجزاء الحرة إلى اليمين. أوجد y واستبدله في أي من المعادلات الأصلية لإيجاد x.

هناك طريقة أخرى لحل نظام من معادلتين. اضرب إحدى المعادلات في رقم بحيث يكون معامل أحد المتغيرات، مثل x، هو نفسه في كلتا المعادلتين. ثم اطرح إحدى المعادلتين من الأخرى (إذا كان الطرف الأيمن لا يساوي 0، تذكر أن تطرح الطرفين الأيمن بنفس الطريقة). سترى أن المتغير x قد اختفى ولم يبق سوى متغير y واحد. حل المعادلة الناتجة، واستبدل القيمة التي وجدتها لـ y في أي من المعادلات الأصلية. ابحث عن x.

الطريقة الثالثة لحل نظام من معادلتين خطيتين هي رسومية. ارسم نظامًا إحداثيًا وارسم خطين مستقيمين معادلاتهما معطاة في نظامك. للقيام بذلك، استبدل أي قيمتين x في المعادلة وابحث عن y المقابلة - ستكون هذه إحداثيات النقاط التي تنتمي إلى الخط. الطريقة الأكثر ملاءمة للعثور على التقاطع مع محاور الإحداثيات هي ببساطة استبدال القيمتين x=0 و y=0. ستكون إحداثيات نقطة تقاطع هذين الخطين هي المهام.

إذا كانت هناك معادلة خطية واحدة فقط في شروط المشكلة، فقد تم إعطاؤك شروطًا إضافية يمكنك من خلالها إيجاد الحل. اقرأ المشكلة بعناية لتجد هذه الشروط. إذا كانت المتغيرات x وy تشير إلى المسافة والسرعة والوزن، فلا تتردد في تعيين الحد x≥0 وy≥0. من الممكن أن يخفي x أو y عدد التفاح والأشجار وما إلى ذلك. - إذًا يمكن أن تكون القيم أعدادًا صحيحة فقط. وإذا كان x هو عمر الابن، فمن الواضح أنه لا يمكن أن يكون أكبر من والده، فدل على ذلك في ظروف المشكلة.

أنشئ رسمًا بيانيًا خطيًا يتوافق مع المعادلة الخطية. انظر إلى الرسم البياني، قد لا يكون هناك سوى عدد قليل من الحلول التي تستوفي جميع الشروط - على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة والأرقام الموجبة. سيكونون الحلول لمعادلتك.

مصادر:

• كيفية حل معادلة ذات متغير واحد

إحدى المشاكل الرئيسية في الرياضيات هي حل نظام المعادلات مع العديد من المجهولات. هذه مشكلة عملية للغاية: هناك العديد من المعلمات غير المعروفة، ويتم فرض عدة شروط عليها، ومن الضروري العثور على المجموعة الأمثل لها. مثل هذه المهام شائعة في الاقتصاد والبناء وتصميم الأنظمة الميكانيكية المعقدة، وبشكل عام عندما يكون تحسين تكاليف المواد والموارد البشرية مطلوبًا. وفي هذا الصدد يطرح السؤال: كيف يتم حل مثل هذه الأنظمة؟

تعليمات

تمنحنا الرياضيات طريقتين لحل مثل هذه الأنظمة: الرسومية والتحليلية. وهذه الأساليب متكافئة، ولا يمكن القول إن أياً منها أفضل أو أسوأ. في كل موقف، عند تحسين الحل، تحتاج إلى اختيار الطريقة التي توفر حلاً أبسط. ولكن هناك أيضًا بعض المواقف النموذجية. وبالتالي، فإن نظام المعادلات المستوية، أي عندما يكون هناك رسمان بيانيان بالصيغة y=ax+b، يكون من الأسهل حلهما بيانيًا. يتم كل شيء بكل بساطة: يتم إنشاء خطين مستقيمين: الرسوم البيانية للوظائف الخطية، ثم يتم العثور على نقطة التقاطع الخاصة بهم. ستكون إحداثيات هذه النقطة (الإحداثي والإحداثي) هي الحل لهذه المعادلة. لاحظ أيضًا أن الخطين يمكن أن يكونا متوازيين. ومن ثم فإن نظام المعادلات ليس له حل، وتسمى الدوال التابعة خطيًا.

يمكن أن يحدث الوضع المعاكس أيضًا. إذا أردنا إيجاد مجهول ثالث، بمعلومية معادلتين مستقلتين خطيًا، فسيكون النظام غير محدد بشكل كافٍ وسيكون لديه عدد لا نهائي من الحلول. في نظرية الجبر الخطي، ثبت أن النظام لديه حل فريد إذا وفقط إذا كان عدد المعادلات يتزامن مع عدد المجهولين.

موضوع:دالة خطية

درس:المعادلة الخطية في متغيرين ورسمها البياني

لقد أصبحنا على دراية بمفاهيم المحور الإحداثي والمستوى الإحداثي. نحن نعلم أن كل نقطة على المستوى تحدد بشكل فريد زوجًا من الأرقام (x؛ y)، حيث يكون الرقم الأول هو حد النقطة، والثاني هو الإحداثي.

سنواجه في كثير من الأحيان معادلة خطية في متغيرين، حلهما هو زوج من الأرقام التي يمكن تمثيلها على المستوى الإحداثي.

معادلة النموذج:

حيث a، b، c أرقام، و

تسمى معادلة خطية ذات متغيرين x و y. سيكون حل هذه المعادلة هو أي زوج من الأرقام x و y، واستبداله في المعادلة سوف نحصل على المساواة العددية الصحيحة.

سيتم تصوير زوج من الأرقام على المستوى الإحداثي كنقطة.

لمثل هذه المعادلات سنرى العديد من الحلول، أي العديد من أزواج الأرقام، وجميع النقاط المقابلة سوف تقع على نفس الخط المستقيم.

لنلقي نظرة على مثال:

للعثور على حلول لهذه المعادلة، عليك تحديد الأزواج المقابلة من الأرقام x وy:

لنفترض أن المعادلة الأصلية تتحول إلى معادلة ذات مجهول واحد:

,

أي أن الزوج الأول من الأرقام هو حل لمعادلة معينة (0؛ 3). حصلنا على النقطة أ(0;3)

يترك . نحصل على المعادلة الأصلية بمتغير واحد: ومن هنا حصلنا على النقطة B(3;0)

لنضع أزواج الأرقام في الجدول:

لنرسم النقاط على الرسم البياني ونرسم خطًا مستقيمًا:

لاحظ أن أي نقطة على خط معين ستكون حلاً للمعادلة المعطاة. دعونا نتحقق من ذلك - خذ نقطة ذات إحداثيات واستخدم الرسم البياني للعثور على الإحداثي الثاني لها. ومن الواضح أنه في هذه المرحلة. دعونا نعوض بهذا الزوج من الأرقام في المعادلة. نحصل على 0=0 - مساواة عددية صحيحة، مما يعني أن النقطة الواقعة على الخط هي الحل.

في الوقت الحالي، لا يمكننا إثبات أن أي نقطة تقع على الخط المبني هي حل للمعادلة، لذلك نقبل صحة ذلك وسنثبته لاحقًا.

المثال 2 - رسم المعادلة بيانيا:

لنقم بعمل جدول؛ نحتاج فقط إلى نقطتين لبناء خط مستقيم، لكننا سنأخذ نقطة ثالثة للتحكم:

في العمود الأول أخذنا واحدا مناسبا، وسوف نجده من:

, ,

في العمود الثاني، أخذنا عمودًا مناسبًا، لنجد x:

, , ,

دعونا نتحقق ونجد:

, ,

لنقم ببناء رسم بياني:

دعونا نضرب المعادلة المعطاة في اثنين:

ومن هذا التحول، لن تتغير مجموعة الحلول وسيظل الرسم البياني كما هو.

الاستنتاج: تعلمنا حل المعادلات ذات المتغيرين وبناء الرسوم البيانية الخاصة بها، تعلمنا أن الرسم البياني لمثل هذه المعادلة هو خط مستقيم وأن أي نقطة على هذا الخط هي حل للمعادلة

1. دوروفييف جي في، سوفوروفا إس بي، بونيموفيتش إي. وغيرها الجبر 7. الطبعة السادسة. م: التنوير. 2010

2. ميرزلياك إيه جي، بولونسكي في بي، ياكير إم إس. الجبر 7. م: فينتانا-غراف

3. كولياجين يو.إم.، تكاتشيفا إم.في.، فيدوروفا إن.إي. وغيرها الجبر 7.م: التنوير. 2006

2. بوابة المشاهدة العائلية ().

المهمة 1: Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. الجبر 7، رقم 960، المادة 210؛

المهمة 2: Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. الجبر 7، رقم 961، المادة 210؛

المهمة 3: Merzlyak A.G.، Polonsky V.B.، Yakir M.S. الجبر 7، رقم 962، المادة 210؛

ما هي المعادلة الخطية في متغيرين؟

نتعامل مع المعادلات الخطية ذات متغيرين في الدرجات 7 و 8 وما فوق.

معادلة خطية ذات تعريف بمتغيرين

تعريف المعادلة الخطية في متغيرين

تسمى المعادلة من الشكل ax + by = c بالمعادلات الخطية في متغيرين.

هنا a وb وc أرقام، وx وy متغيرات.

مثال على المعادلة الخطية بمتغيرين

مثال لمعادلة خطية بمتغيرين

يوجد في هذه المعادلة متغيرين x وy، a = 8، b = 4، c = 5.

معادلة خطية بمتغيرين

حل معادلة خطية ذات متغيرين هو زوج من القيم المتغيرة التي عند استبدالها في المعادلة تتحول إلى مساواة حقيقية.

حل معادلة خطية في متغيرين

كيفية حل المعادلات الخطية في متغيرين؟

مثال. حل المعادلة

لنعبر عن المتغير y بدلالة المتغير x .

للقيام بذلك، حرك 8x إلى الجانب الأيمن من المعادلة، مع تغيير الإشارة إلى العكس

اقسم طرفي المعادلة على أربعة

نختار قيمة عشوائية لـ X، فلتكن 7.

عوض بـ X بـ 7 وأوجد قيمة Y

ص = -2 * 7 + 1.25 = −12.75

الآن لدينا زوج من قيم المتغيرات x = 7 و y = −12.75، وعادة ما يتم كتابة هذا الزوج من الأرقام بين قوسين (7؛ −12.75)، عند استبدالهما في المعادلة يتحول إلى مساواة حقيقية.