दो चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली क्या है? दो चर वाले समीकरण (अनिश्चित समीकरण) 2 चर वाले रैखिक समीकरण।

पाठ मकसद:

• शिक्षात्मक:
  • विषय को दोहराएँ: “समीकरण। रेखीय समीकरण। समतुल्य समीकरण और उनके गुण";
  • सुनिश्चित करें कि छात्र दो चर वाले रैखिक समीकरणों की अवधारणा और उनके समाधान को समझें।
• विकास संबंधी:
  • बौद्धिक क्षमताएँ बनाने के लिए:
  • तुलना करने, एनालॉग्स बनाने, मुख्य चीज़ को उजागर करने की क्षमता;
  • कवर की गई सामग्री को सामान्य बनाने और व्यवस्थित करने की क्षमता;
  • तार्किक सोच, स्मृति, कल्पना, गणितीय भाषण विकसित करना;
  • सक्रिय संज्ञानात्मक गतिविधि विकसित करें।
• शिक्षात्मक:
  • पाठ के सभी चरणों में छात्रों में स्वतंत्रता, गतिविधि और रुचि पैदा करना;
  • दृढ़ता, दृढ़ता, दृढ़ संकल्प जैसे चरित्र गुणों का निर्माण करना।

कार्य जो शिक्षक को पाठ में हल करने होंगे:

• पाठ में मुख्य विचार को उजागर करना सीखें;
• शिक्षक, स्वयं या छात्रों से प्रश्न पूछना सीखें;
• गैर-मानक समस्याओं को हल करने के लिए अर्जित ज्ञान का उपयोग करना सीखें;
• अपने विचारों को गणितीय रूप से सही ढंग से व्यक्त करने की क्षमता सिखाएं।

समस्याएँ जो छात्रों को इस पाठ में हल करनी होंगी:

• दो चर वाले रैखिक समीकरण की परिभाषा जान सकेंगे;
• सरल रैखिक समीकरण लिखने में सक्षम हो सकेंगे;
• वेरिएबल ए, बी और सी के मानों को सही ढंग से ढूंढने में सक्षम हो;
• समीकरणों के बीच दो चर वाले रैखिक समीकरणों की पहचान करने में सक्षम हो सकेंगे;
• प्रश्न का उत्तर दें: दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल क्या है?
• आपको कैसे पता चलेगा कि संख्याओं का एक जोड़ा किसी समीकरण का हल है?
• एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करने में सक्षम होना।

पाठ का प्रकार:नई सामग्री सीखने का पाठ.

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण

द्वितीय. ढकी हुई सामग्री की पुनरावृत्ति

1) बोर्ड पर: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17।

2) कक्षा के लिए प्रश्न:

– इन भावों को परिभाषित करें. (अपेक्षित उत्तर: उत्पाद, एकपदी, योग, बहुपद, समीकरण।)
- समीकरण किसे कहते हैं?
– क्या आपको किसी समीकरण की आवश्यकता है...? (तय करना)
– “किसी समीकरण को हल करने” का क्या मतलब है?
– समीकरण का मूल क्या है?
– कौन से समीकरण समतुल्य हैं?
– आप समीकरणों की तुल्यता के कौन से गुण जानते हैं?

तृतीय. छात्रों के ज्ञान को अद्यतन करना

3) पूरी कक्षा को असाइनमेंट:

– भाव परिवर्तित करें :(बोर्ड में दो लोग काम करते हैं).

ए) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = बी) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

परिवर्तन के बाद हमें मिला: ए) 10x; बी) 4x + 6y:

- समीकरण बनाने के लिए उनका उपयोग करें (छात्र सुझाव देते हैं - शिक्षक बोर्ड पर समीकरण लिखते हैं): 10x = 30; 4x + 6y = 28.

प्रशन:

– प्रथम समीकरण का नाम क्या है?
– रैखिक क्यों?
- दूसरे समीकरण की तुलना पहले से करें। दूसरे समीकरण की परिभाषा बनाने का प्रयास करें (अपेक्षित उत्तर: दो चर वाला एक समीकरण; छात्रों का ध्यान समीकरण के प्रकार - रैखिक) पर केंद्रित है।

चतुर्थ. नई सामग्री सीखना

1) पाठ का विषय घोषित किया गया है। विषय को नोटबुक में रिकॉर्ड करना। छात्रों द्वारा दो चर वाले समीकरण की परिभाषा का स्वतंत्र सूत्रीकरण, दो चर वाले एक रैखिक समीकरण (एक चर वाले रैखिक समीकरण की परिभाषा के अनुरूप), दो चर वाले समीकरणों के उदाहरण। चर्चा सामने की बातचीत, संवाद-तर्क के रूप में होती है।

2) क्लास असाइनमेंट:

ए) दो चर वाले दो रैखिक समीकरण लिखें (शिक्षक और छात्र कई छात्रों के उत्तर सुनते हैं; शिक्षक की पसंद पर, उनमें से एक बोर्ड पर अपने समीकरण लिखता है)।

बी) छात्रों के साथ मिलकर, कार्य और प्रश्न निर्धारित किए जाते हैं जिनका उत्तर उन्हें इस पाठ में मिलना चाहिए। प्रत्येक छात्र को इन प्रश्नों वाले कार्ड मिलते हैं।

ग) इन मुद्दों और कार्यों को हल करने के लिए छात्रों के साथ काम करना:

– निर्धारित करें कि इनमें से कौन से समीकरण दो चर वाले रैखिक समीकरण हैं a) 6x 2 = 36; बी) 2x – 5y = 9: c) 7x + 3y 3; घ) 1/2x + 1/3y = 6, आदि। समीकरण x: 5 – y: 4 = 3 (विभाजन चिह्न को भिन्न के रूप में लिखा जाना चाहिए) के साथ एक समस्या उत्पन्न हो सकती है। समीकरणों की तुल्यता के किन गुणों को लागू करने की आवश्यकता है? (छात्रों के उत्तर)गुणांक मान निर्धारित करें ए, वीऔर साथ.

- सभी समीकरणों की तरह, दो चर वाले रैखिक समीकरणों को भी हल करने की आवश्यकता है। दो चर वाले रैखिक समीकरणों का हल क्या है? (बच्चे एक परिभाषा देते हैं).

उदाहरण: समीकरण का समाधान खोजें: a) x – y = 12, उत्तर (x; y) या x = ... के रूप में लिखें; आप = .... समीकरण के कितने हल हैं?

उदाहरण: निम्नलिखित समीकरणों के समाधान खोजें a) 2x + y = 7; ख) 5x – y = 4. आपने इन समीकरणों का हल कैसे खोजा? (उठाया).

- आपको कैसे पता चलेगा कि संख्याओं का एक जोड़ा दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल है?

3) पाठ्यपुस्तक के साथ कार्य करना।

– पाठ्यपुस्तक में उन स्थानों को खोजें जहां इस पाठ के विषय का मुख्य विचार उजागर किया गया है

ए) कार्यों का मौखिक प्रदर्शन: संख्या 1092, संख्या 1094।

बी) उदाहरण संख्या 1096 (कमजोर छात्रों के लिए), संख्या 1097 (मजबूत छात्रों के लिए) को हल करना।

ग) समीकरणों की तुल्यता के गुणों को दोहराएं।

व्यायाम:समीकरणों की तुल्यता के गुणों का उपयोग करते हुए, चर Y को चर X के माध्यम से समीकरण 5x + 2y = 12 में व्यक्त करें (स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए "एक मिनट", फिर बोर्ड पर समाधान का एक सामान्य अवलोकन, उसके बाद स्पष्टीकरण)।

घ) उदाहरण संख्या 1099 का निष्पादन (छात्रों में से एक बोर्ड पर कार्य पूरा करता है)।

ऐतिहासिक सन्दर्भ

1. दोस्तों, आज कक्षा में हमें जो समीकरण मिले, उन्हें दो चर वाले डायोफैंटाइन रैखिक समीकरण कहा जाता है, जिसका नाम प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक और गणितज्ञ डायोफैंटस के नाम पर रखा गया है, जो लगभग 3.5 हजार साल पहले रहते थे। प्राचीन गणितज्ञों ने पहले समस्याओं की रचना की और फिर उन्हें हल करने पर काम किया। इस प्रकार, कई समस्याएँ संकलित हुईं, जिनसे हम परिचित हुए और हल करना सीखा।

2. और इन समीकरणों को अनिश्चित समीकरण भी कहा जाता है। कई गणितज्ञों ने ऐसे समीकरणों को हल करने पर काम किया। उनमें से एक फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे फ़र्मेट हैं। उन्होंने अनिश्चित समीकरणों को हल करने के सिद्धांत का अध्ययन किया।

वी. पाठ सारांश

1) पाठ में शामिल सामग्री का सारांश। पाठ की शुरुआत में छात्रों से पूछे गए सभी प्रश्नों के उत्तर:

– दो चर वाले कौन से समीकरण रैखिक कहलाते हैं?
– दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करना क्या कहलाता है?
– यह निर्णय कैसे दर्ज किया जाता है?
– किन समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है?
– समीकरणों की तुल्यता के गुण क्या हैं?
– हमने कक्षा में कौन-सी समस्याएँ हल कीं, किन प्रश्नों के उत्तर दिए?

2) स्वतंत्र कार्य करना।

कमज़ोरों के लिए:

– समीकरण –1.1x + 3.6y = – 34 में चर a, b और c के मान ज्ञात कीजिए?
– समीकरण x – y = 35 का कम से कम एक हल खोजें?
– क्या संख्याओं का युग्म (3; 2) दो चर 2x – y = 4 वाले किसी दिए गए रैखिक समीकरण का समाधान है?

मजबूत के लिए:

- डायोफैंटस की समस्या के लिए दो चर के साथ एक रैखिक समीकरण लिखें: घर के आंगन में तीतर और खरगोश घूम रहे हैं। सभी पैरों की संख्या 26 निकली।
– समीकरण 3x – 5y = 8 में चर y को x के पदों में व्यक्त करें।

VI. होमवर्क संदेश

पाठ्यपुस्तक में सभी कार्य देखें, प्रत्येक कार्य का त्वरित विश्लेषण करें, एक कार्य चुनें।

• कमजोर छात्रों के लिए: क्रमांक 1093, क्रमांक 1095बी)।
• मजबूत के लिए: 1) नंबर 1101, नंबर 1104 (ए)। 2) डायोफैंटस की समस्या को हल करें, इस समीकरण के सभी प्राकृतिक समाधान खोजें।

इसके अतिरिक्त, छात्रों के अनुरोध पर - क्रमांक 1105।

निष्कर्ष के बजाय: मैं 40 वर्षों से अधिक समय से गणित का शिक्षक हूं। और मैं यह नोट करना चाहता हूं कि एक खुला पाठ हमेशा सबसे अच्छा पाठ नहीं होता है। अक्सर ऐसा होता है कि कभी-कभी सामान्य पाठ शिक्षक के लिए अधिक आनंद और संतुष्टि लाते हैं। और फिर आप अफसोस के साथ सोचते हैं कि किसी ने भी इस पाठ को नहीं देखा - शिक्षक और छात्रों की रचना।

एक पाठ एक एकल जीव है, एक संपूर्ण; यह पाठ में है कि छात्रों और शिक्षकों दोनों के लिए शिक्षा का व्यक्तिगत और नैतिक अनुभव प्राप्त होता है। 45 मिनट का पाठ बहुत अधिक और बहुत कम है। बहुत कुछ - क्योंकि इस दौरान आप अपने छात्रों के साथ सदियों की गहराई में "देख" सकते हैं और, वहां से "लौटकर", बहुत सी नई, दिलचस्प चीजें सीख सकते हैं, और अभी भी नई सामग्री का अध्ययन करने के लिए समय निकाल सकते हैं।

प्रत्येक छात्र को यह समझ में लाना होगा कि गणित मानव बौद्धिक विकास का आधार है। और इसका आधार तार्किक सोच का विकास है। इसलिए, प्रत्येक पाठ से पहले, मैं अपने और अपने छात्रों के लिए एक लक्ष्य निर्धारित करता हूं: छात्रों को परिभाषाओं के साथ सफलतापूर्वक काम करना सिखाना, कुशलता से अज्ञात को ज्ञात से अलग करना, अप्रमाणित से सिद्ध को अलग करना, विश्लेषण करना, तुलना करना, वर्गीकृत करना, प्रश्न पूछना और कुशलता से हल करना सीखना। उन्हें। उपमाओं का उपयोग करें, लेकिन यदि आप स्वयं बाहर नहीं निकल सकते हैं, तो आपके बगल में न केवल एक शिक्षक है, बल्कि आपका मुख्य सहायक - एक पुस्तक है।

बेशक, एक खुला पाठ शिक्षक के रचनात्मक कार्य का कुछ परिणाम है। और इस पाठ में उपस्थित शिक्षकों को मुख्य बात पर ध्यान देना चाहिए: कार्य प्रणाली, नवीनता, विचार। यहां, मुझे लगता है, यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण नहीं है कि शिक्षक पाठ में किस शिक्षण पद्धति का उपयोग करता है: पुरानी, ​​​​आधुनिक या नई नवीन प्रौद्योगिकियां, मुख्य बात यह है कि इसका उपयोग शिक्षक और छात्रों के लिए उचित और प्रभावी है।

मुझे बहुत खुशी है कि मेरे जीवन में स्कूल, बच्चे, पाठ और ऐसे दयालु सहयोगी हैं। आप सभी को धन्यवाद!

इस विषय पर लेखक का दृष्टिकोण आकस्मिक नहीं है। दो चर वाले समीकरण पहली बार 7वीं कक्षा के पाठ्यक्रम में सामने आते हैं। दो चर वाले एक समीकरण में अनंत संख्या में समाधान होते हैं। यह एक रैखिक फलन के ग्राफ़ द्वारा स्पष्ट रूप से प्रदर्शित होता है, जिसे ax + by=c के रूप में दिया गया है। स्कूली पाठ्यक्रम में, छात्र दो चर वाले दो समीकरणों की प्रणालियों का अध्ययन करते हैं। परिणामस्वरूप, समीकरण के गुणांक पर सीमित शर्तों के साथ समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला, साथ ही उन्हें हल करने के तरीके, शिक्षक और इसलिए, छात्र की दृष्टि से ओझल हो जाते हैं।

हम पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं में दो अज्ञात वाले समीकरण को हल करने के बारे में बात कर रहे हैं।

स्कूल में, ग्रेड 4-6 में प्राकृतिक संख्याओं और पूर्णांकों का अध्ययन किया जाता है। स्कूल से स्नातक होने तक, सभी छात्रों को इन संख्याओं के सेट के बीच अंतर याद नहीं रहता है।

हालाँकि, विश्वविद्यालयों की प्रवेश परीक्षाओं और एकीकृत राज्य परीक्षा सामग्री में "पूर्णांकों में फॉर्म ax + by=c के समीकरण को हल करें" जैसी समस्या तेजी से पाई जा रही है।

अनिश्चित समीकरणों को हल करने से तार्किक सोच, बुद्धि और विश्लेषण पर ध्यान विकसित होता है।

मैं इस विषय पर कई पाठ विकसित करने का प्रस्ताव करता हूं। इन पाठों के समय पर मेरे पास स्पष्ट अनुशंसाएँ नहीं हैं। कुछ तत्वों का उपयोग 7वीं कक्षा (एक मजबूत कक्षा के लिए) में भी किया जा सकता है। इन पाठों को आधार के रूप में लिया जा सकता है और 9वीं कक्षा में पूर्व-व्यावसायिक प्रशिक्षण पर एक छोटा वैकल्पिक पाठ्यक्रम विकसित किया जा सकता है। और, निःसंदेह, इस सामग्री का उपयोग कक्षा 10-11 में परीक्षा की तैयारी के लिए किया जा सकता है।

पाठ का उद्देश्य:

• "प्रथम और द्वितीय क्रम समीकरण" विषय पर ज्ञान की पुनरावृत्ति और सामान्यीकरण
• विषय में संज्ञानात्मक रुचि का पोषण करना
• विश्लेषण करने, सामान्यीकरण करने, ज्ञान को नई स्थिति में स्थानांतरित करने की क्षमता विकसित करना

पाठ 1।

कक्षाओं के दौरान.

1) संगठन. पल।

2) बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

परिभाषा। दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण एक प्रकार का समीकरण होता है

एमएक्स + एनवाई = के, जहां एम, एन, के संख्याएं हैं, एक्स, वाई चर हैं।

उदाहरण: 5x+2y=10

परिभाषा। दो चर वाले समीकरण का समाधान चर के मानों की एक जोड़ी है जो समीकरण को वास्तविक समानता में बदल देता है।

दो चर वाले समीकरण जिनका समाधान समान हो, समतुल्य कहलाते हैं।

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

इस समीकरण के किसी भी संख्या में समाधान हो सकते हैं. ऐसा करने के लिए, कोई भी x मान लेना और संबंधित y मान ज्ञात करना पर्याप्त है।

माना x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

संख्याओं के जोड़े (2;1); (4;-4) - समीकरण (1) का समाधान।

इस समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

3) ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

अनिश्चितकालीन (डायोफैंटाइन) समीकरण एक से अधिक चर वाले समीकरण होते हैं।

तीसरी शताब्दी में. विज्ञापन - अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस ने "अंकगणित" लिखा, जिसमें उन्होंने संख्याओं के सेट को तर्कसंगत तक विस्तारित किया और बीजगणितीय प्रतीकवाद पेश किया।

डायोफैंटस ने अनिश्चित समीकरणों को हल करने की समस्याओं पर भी विचार किया और उन्होंने दूसरी और तीसरी डिग्री के अनिश्चित समीकरणों को हल करने की विधियाँ दीं।

4) नई सामग्री का अध्ययन.

परिभाषा: दो अज्ञात x, y के साथ एक प्रथम-क्रम अमानवीय डायोफैंटाइन समीकरण mx + ny = k के रूप का एक समीकरण है, जहां m, n, k, x, y Z k0

कथन 1.

यदि समीकरण (1) में मुक्त पद k, संख्या m और n के सबसे बड़े सामान्य भाजक (GCD) से विभाज्य नहीं है, तो समीकरण (1) का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है।

उदाहरण: 34x – 17y = 3.

जीसीडी (34; 17) = 17, 3, 17 से समान रूप से विभाज्य नहीं है, पूर्णांकों में कोई हल नहीं है।

मान लीजिए कि k को gcd (m, n) से विभाजित किया गया है। सभी गुणांकों को विभाजित करके, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि m और n अपेक्षाकृत अभाज्य बनें।

कथन 2.

यदि समीकरण (1) के m और n अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याएँ हैं, तो इस समीकरण का कम से कम एक समाधान है।

कथन 3.

यदि समीकरण (1) के गुणांक m और n सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो इस समीकरण के अपरिमित रूप से कई समाधान हैं:

जहाँ (; ) समीकरण (1), t Z का कोई हल है

परिभाषा। दो अज्ञात x, y के साथ एक प्रथम-क्रम सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण mx + ny = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां (2)

कथन 4.

यदि m और n सहअभाज्य संख्याएँ हैं, तो समीकरण (2) के किसी भी समाधान का रूप होगा

5) गृहकार्य. समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें:

1. 9x – 18y = 5
2. एक्स + वाई=एक्सवाई
3. कई बच्चे सेब तोड़ रहे थे। प्रत्येक लड़के ने 21 किग्रा और लड़की ने 15 किग्रा एकत्र किया। कुल मिलाकर उन्होंने 174 किलोग्राम एकत्र किया। कितने लड़कों और कितनी लड़कियों ने सेब तोड़े?

टिप्पणी। यह पाठ पूर्णांकों में समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान नहीं करता है। इसलिए, बच्चे कथन 1 और चयन के आधार पर होमवर्क हल करते हैं।

पाठ 2।

1)संगठनात्मक क्षण

2) होमवर्क जाँचना

1) 9x – 18y = 5

5, 9 से विभाज्य नहीं है; पूर्ण संख्याओं में कोई हल नहीं है।

चयन विधि का उपयोग करके आप समाधान पा सकते हैं

उत्तर: (0;0), (2;2)

3) आइए एक समीकरण बनाएं:

माना कि लड़के x, x Z और लड़कियाँ y, y Z हैं, तो हम समीकरण 21x + 15y = 174 बना सकते हैं

कई छात्र समीकरण लिखकर भी उसे हल नहीं कर पाएंगे।

उत्तर: 4 लड़के, 6 लड़कियाँ।

3) नई सामग्री सीखना

होमवर्क पूरा करने में कठिनाइयों का सामना करने के बाद, छात्र अनिश्चित समीकरणों को हल करने के लिए अपने तरीकों को सीखने की आवश्यकता के बारे में आश्वस्त थे। आइए उनमें से कुछ पर नजर डालें।

I. विभाजन शेषफल पर विचार करने की विधि।

उदाहरण। पूर्ण संख्या 3x – 4y = 1 वाले समीकरण को हल करें।

समीकरण का बायां पक्ष 3 से विभाज्य है, इसलिए दायां पक्ष भी विभाज्य होना चाहिए। आइए तीन मामलों पर विचार करें।

उत्तर: जहां एम जेड.

वर्णित विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है यदि संख्याएँ m और n छोटी नहीं हैं, लेकिन उन्हें सरल कारकों में विघटित किया जा सकता है।

उदाहरण: समीकरणों को पूर्ण संख्याओं में हल करें।

माना y = 4n, तो 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) को 4 से विभाजित किया जाता है।

y = 4n+1, फिर 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n, 4 से विभाज्य नहीं है।

y = 4n+2, फिर 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n, 4 से विभाज्य नहीं है।

y = 4n+3, तो 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n, 4 से विभाज्य नहीं है।

इसलिए y = 4n, तो

4x = 16 - 7 4n = 16 - 28n, x = 4 - 7n

उत्तर: , जहाँ n Z.

द्वितीय. दूसरी डिग्री के अनिश्चित समीकरण

आज के पाठ में हम केवल दूसरे क्रम के डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान पर बात करेंगे।

और सभी प्रकार के समीकरणों में, हम उस मामले पर विचार करेंगे जब हम वर्गों के अंतर के सूत्र या गुणनखंडन की किसी अन्य विधि को लागू कर सकते हैं।

उदाहरण: किसी समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें।

13 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए इसका गुणनखंड केवल चार तरीकों से किया जा सकता है: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

आइए इन मामलों पर विचार करें

उत्तर: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) गृहकार्य.

उदाहरण। समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करें:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
एक्स = 2	एक्स = 5/2	एक्स = 5/2
आप = 0	फिट नहीं बैठता	फिट नहीं बैठता
2x = -4	फिट नहीं बैठता	फिट नहीं बैठता
एक्स = -2
आप = 0

उत्तर: (-2;0), (2;0).

उत्तर: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

वी)

उत्तर: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5)।

परिणाम। किसी समीकरण को पूर्ण संख्याओं में हल करने का क्या मतलब है?

आप अनिश्चित समीकरणों को हल करने की कौन सी विधियाँ जानते हैं?

आवेदन पत्र:

प्रशिक्षण के लिए व्यायाम.

1) पूर्ण संख्याओं में हल करें।

ए) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
बी) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 - 7n, n Z
ग) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 - 4n, n Z
घ) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
ई) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
ई) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
छ) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
ज) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) समीकरण के पूर्णांक गैर-ऋणात्मक समाधान खोजें:

समाधान:Z (2; -1)

साहित्य।

1. बच्चों का विश्वकोश "शिक्षाशास्त्र", मॉस्को, 1972।
2. बीजगणित-8, एन.वाई.ए. विलेनकिन, वीओ "साइंस", नोवोसिबिर्स्क, 1992
3. संख्या सिद्धांत पर आधारित प्रतिस्पर्धा समस्याएँ। वी.या. गल्किन, डी.यू. सिचुगोव। एमएसयू, वीएमके, मॉस्को, 2005।
4. ग्रेड 7-9 के लिए बीजगणित पाठ्यक्रम में बढ़ी हुई कठिनाई की समस्याएँ। एन.पी. Kosrykina। "ज्ञानोदय", मॉस्को, 1991
5. बीजगणित 7, मकर्यचेव यू.एन., "ज्ञानोदय।"

निर्देश

दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है, इसे निम्नानुसार हल करें। ऐसे समीकरणों में से एक चुनें जिसमें चर के सामने गुणांक छोटे हों और किसी एक चर को व्यक्त करें, उदाहरण के लिए, x। फिर y वाले इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। परिणामी समीकरण में केवल एक चर y होगा, y वाले सभी भागों को बाईं ओर और मुक्त भागों को दाईं ओर ले जाएँ। y ढूंढें और x खोजने के लिए किसी भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक और तरीका है। किसी एक समीकरण को किसी संख्या से गुणा करें ताकि किसी एक चर, जैसे कि x, का गुणांक दोनों समीकरणों में समान हो। फिर एक समीकरण को दूसरे से घटाएं (यदि दाहिना पक्ष 0 के बराबर नहीं है, तो दाएं पक्ष को उसी तरह घटाना याद रखें)। आप देखेंगे कि x वेरिएबल गायब हो गया है और केवल एक y वेरिएबल बचा है। परिणामी समीकरण को हल करें, और y के पाए गए मान को किसी भी मूल समानता में प्रतिस्थापित करें। एक्स खोजें।

दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने का तीसरा तरीका ग्राफिकल है। एक समन्वय प्रणाली बनाएं और दो सीधी रेखाओं का ग्राफ बनाएं जिनके समीकरण आपके सिस्टम में दिए गए हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण में किन्हीं दो x मानों को प्रतिस्थापित करें और संबंधित y खोजें - ये रेखा से संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक होंगे। निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन खोजने का सबसे सुविधाजनक तरीका बस मान x=0 और y=0 को प्रतिस्थापित करना है। इन दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कार्य होंगे।

यदि समस्या स्थितियों में केवल एक रैखिक समीकरण है, तो आपको अतिरिक्त शर्तें दी गई हैं जिनके माध्यम से आप समाधान पा सकते हैं। इन स्थितियों का पता लगाने के लिए समस्या को ध्यान से पढ़ें। यदि चर x और y दूरी, गति, वजन को दर्शाते हैं, तो बेझिझक सीमा x≥0 और y≥0 निर्धारित करें। यह बहुत संभव है कि x या y सेब, पेड़ों आदि की संख्या छिपा दे। – तो मान केवल पूर्णांक हो सकते हैं। यदि x पुत्र की आयु है, तो यह स्पष्ट है कि वह अपने पिता से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए इसे समस्या की शर्तों में इंगित करें।

रैखिक समीकरण के अनुरूप एक रेखा ग्राफ़ बनाइये। ग्राफ़ को देखें, केवल कुछ ही समाधान हो सकते हैं जो सभी शर्तों को पूरा करते हैं - उदाहरण के लिए, पूर्णांक और सकारात्मक संख्याएँ। वे आपके समीकरण का समाधान होंगे।

स्रोत:

• एक चर वाले समीकरण को कैसे हल करें

गणित की मुख्य समस्याओं में से एक कई अज्ञात वाले समीकरणों की प्रणाली को हल करना है। यह एक बहुत ही व्यावहारिक समस्या है: कई अज्ञात पैरामीटर हैं, उन पर कई शर्तें लगाई गई हैं, और उनका सबसे इष्टतम संयोजन ढूंढना आवश्यक है। ऐसे कार्य अर्थशास्त्र, निर्माण, जटिल यांत्रिक प्रणालियों के डिजाइन और सामान्य तौर पर जहां भी सामग्री और मानव संसाधनों की लागत के अनुकूलन की आवश्यकता होती है, आम हैं। इस संबंध में, सवाल उठता है: ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए?

निर्देश

गणित हमें ऐसी प्रणालियों को हल करने के दो तरीके देता है: ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक। ये विधियाँ समतुल्य हैं, और यह नहीं कहा जा सकता कि इनमें से कोई भी बेहतर या बदतर है। प्रत्येक स्थिति में, किसी समाधान को अनुकूलित करते समय, आपको यह चुनना होगा कि कौन सी विधि सरल समाधान देती है। लेकिन कुछ विशिष्ट स्थितियाँ भी हैं। इस प्रकार, समतल समीकरणों की एक प्रणाली, यानी जब दो ग्राफ़ का रूप y=ax+b होता है, तो ग्राफ़िक रूप से हल करना आसान होता है। सब कुछ बहुत सरलता से किया जाता है: दो सीधी रेखाएँ बनाई जाती हैं: रैखिक कार्यों के ग्राफ़, फिर उनका प्रतिच्छेदन बिंदु पाया जाता है। इस बिंदु के निर्देशांक (एब्सिस्सा और कोटि) इस समीकरण का समाधान होंगे। यह भी ध्यान दें कि दो रेखाएँ समानांतर हो सकती हैं। तब समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान नहीं होता है, और कार्यों को रैखिक रूप से निर्भर कहा जाता है।

विपरीत स्थिति भी हो सकती है. यदि हमें दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समीकरण दिए जाने पर तीसरे अज्ञात को खोजने की आवश्यकता है, तो सिस्टम कम निर्धारित होगा और इसमें अनंत संख्या में समाधान होंगे। रैखिक बीजगणित के सिद्धांत में, यह साबित होता है कि एक प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान होता है यदि और केवल तभी जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है।

विषय:रैखिक प्रकार्य

पाठ:दो चरों में रैखिक समीकरण और उसका ग्राफ

हम निर्देशांक अक्ष और निर्देशांक तल की अवधारणाओं से परिचित हो गए। हम जानते हैं कि समतल पर प्रत्येक बिंदु विशिष्ट रूप से संख्याओं (x; y) की एक जोड़ी को परिभाषित करता है, जिसमें पहली संख्या बिंदु का भुज है, और दूसरी कोटि है।

हम अक्सर दो चरों में एक रैखिक समीकरण का सामना करेंगे, जिसका समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है जिसे निर्देशांक तल पर दर्शाया जा सकता है।

फॉर्म का समीकरण:

जहां ए, बी, सी संख्याएं हैं, और

इसे दो चर x और y वाला एक रैखिक समीकरण कहा जाता है। ऐसे समीकरण का समाधान संख्याओं x और y का कोई ऐसा युग्म होगा, जिसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होगी।

संख्याओं के एक जोड़े को निर्देशांक तल पर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जाएगा।

ऐसे समीकरणों के लिए हम कई समाधान देखेंगे, यानी संख्याओं के कई जोड़े, और सभी संबंधित बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होंगे।

आइए एक उदाहरण देखें:

इस समीकरण का समाधान खोजने के लिए आपको संख्याओं x और y के संगत जोड़े का चयन करना होगा:

चलो, तो मूल समीकरण एक अज्ञात के साथ एक समीकरण में बदल जाता है:

,

अर्थात्, संख्याओं का पहला युग्म जो किसी दिए गए समीकरण (0; 3) का हल है। हमें बिंदु A(0; 3) मिला

होने देना । हमें एक चर के साथ मूल समीकरण मिलता है: , यहाँ से हमें बिंदु B(3; 0) प्राप्त हुआ

आइए संख्याओं के जोड़े को तालिका में रखें:

आइए ग्राफ़ पर बिंदु अंकित करें और एक सीधी रेखा खींचें:

ध्यान दें कि किसी दी गई रेखा पर कोई भी बिंदु दिए गए समीकरण का समाधान होगा। आइए जाँच करें - एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु लें और उसका दूसरा निर्देशांक खोजने के लिए ग्राफ़ का उपयोग करें। यह स्पष्ट है कि इस बिंदु पर. आइए संख्याओं के इस युग्म को समीकरण में प्रतिस्थापित करें। हमें 0=0 मिलता है - एक सही संख्यात्मक समानता, जिसका अर्थ है कि एक रेखा पर स्थित एक बिंदु एक समाधान है।

फिलहाल, हम यह साबित नहीं कर सकते कि निर्मित रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समीकरण का समाधान है, इसलिए हम इसे सच मानते हैं और बाद में इसे साबित करेंगे।

उदाहरण 2 - समीकरण का रेखांकन करें:

आइए एक तालिका बनाएं; एक सीधी रेखा बनाने के लिए हमें केवल दो बिंदुओं की आवश्यकता है, लेकिन नियंत्रण के लिए हम तीसरा बिंदु लेंगे:

पहले कॉलम में हमने एक सुविधाजनक लिया, हम इसे यहां से पाएंगे:

, ,

दूसरे कॉलम में हमने एक सुविधाजनक कॉलम लिया, आइए x खोजें:

, , ,

आइए जाँच करें और खोजें:

, ,

आइए एक ग्राफ बनाएं:

आइए दिए गए समीकरण को दो से गुणा करें:

इस तरह के परिवर्तन से, समाधानों का सेट नहीं बदलेगा और ग्राफ़ वही रहेगा।

निष्कर्ष: हमने दो चर वाले समीकरणों को हल करना और उनके ग्राफ बनाना सीखा, हमने सीखा कि ऐसे समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है और इस रेखा पर कोई भी बिंदु समीकरण का समाधान है

1. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनीमोविच ई.ए. और अन्य। बीजगणित 7. छठा संस्करण। एम.: आत्मज्ञान। 2010

2. मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7. एम.: वेंटाना-ग्राफ

3. कोल्यागिन यू.एम., तकाचेवा एम.वी., फेडोरोवा एन.ई. और अन्य। बीजगणित 7.एम.: ज्ञानोदय। 2006

2. परिवार के साथ देखने के लिए पोर्टल ()।

कार्य 1: मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, संख्या 960, कला. 210;

कार्य 2: मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, संख्या 961, कला. 210;

कार्य 3: मर्ज़लियाक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, संख्या 962, कला. 210;

दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण क्या है?

हम ग्रेड 7, 8 और उच्चतर में दो चर वाले रैखिक समीकरणों से निपटते हैं।

दो चर परिभाषा के साथ रैखिक समीकरण

दो चर वाले रैखिक समीकरण की परिभाषा

ax + by = c के रूप का समीकरण दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहलाता है।

यहाँ a, b और c संख्याएँ हैं, x और y चर हैं।

दो चर उदाहरण के साथ रैखिक समीकरण

दो चर वाले रैखिक समीकरण का उदाहरण

इस समीकरण में दो चर x और y हैं, a = 8, b = 4, c = 5.

दो चरों वाला रैखिक समीकरण

दो चर वाले रैखिक समीकरण का समाधान चर मानों की एक जोड़ी है, जो समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर वास्तविक समानता में बदल जाती है।

दो चरों वाले एक रैखिक समीकरण को हल करें

दो चर वाले रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें?

उदाहरण। प्रश्न हल करें

आइए वेरिएबल y को वेरिएबल x के संदर्भ में व्यक्त करें।

ऐसा करने के लिए, चिह्न को विपरीत दिशा में बदलते हुए, समीकरण के दाईं ओर 8x ले जाएँ

समीकरण के दोनों पक्षों को चार से विभाजित करें

हम X का एक मनमाना मान चुनते हैं, मान लीजिए कि यह 7 है।

X के स्थान पर 7 रखें और Y का मान ज्ञात करें

वाई = -2 * 7 + 1.25 = −12.75

अब हमारे पास चर x = 7 और y = −12.75 के मानों की एक जोड़ी है, आमतौर पर संख्याओं की यह जोड़ी कोष्ठक (7; −12.75) में लिखी जाती है, जब उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह एक वास्तविक समानता में बदल जाती है।