त्रिकोणमितीय सूत्र: कोसाइन, साइन और दोहरे कोण की स्पर्शरेखा। त्रिकोणमितीय सूत्र: दोहरे कोण की कोज्या, ज्या और स्पर्श रेखा, दोहरे कोण की ज्या के सूत्र की व्युत्पत्ति

त्रिकोणमिति में, कई सूत्रों को याद करने की तुलना में प्राप्त करना आसान होता है। द्विकोण की कोज्या एक अद्भुत सूत्र है! यह आपको डिग्री कम करने के सूत्र और आधे कोणों के सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देता है।

तो, हमें दोहरे कोण की कोज्या और त्रिकोणमितीय इकाई की आवश्यकता है:

वे और भी समान हैं: दोहरे कोण कोज्या सूत्र में यह कोज्या और ज्या के वर्गों के बीच का अंतर है, और त्रिकोणमितीय इकाई में यह उनका योग है। यदि हम कोसाइन को त्रिकोणमितीय इकाई से व्यक्त करते हैं:

और इसे दोहरे कोण की कोज्या में प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है:

यह एक और द्विकोण कोज्या सूत्र है:

यह सूत्र कटौती सूत्र प्राप्त करने की कुंजी है:

तो, साइन की डिग्री को कम करने का सूत्र है:

यदि इसमें अल्फा कोण को आधे में आधे कोण अल्फा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और दोहरे कोण दो अल्फा को एक अल्फा कोण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें साइन के लिए अर्ध कोण सूत्र प्राप्त होता है:

अब हम साइन को त्रिकोणमितीय इकाई से व्यक्त कर सकते हैं:

आइए इस अभिव्यक्ति को दोहरे कोण कोज्या सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

हमें दोहरे कोण की कोज्या के लिए एक और सूत्र मिला:

यह सूत्र कोसाइन की शक्ति और कोसाइन के आधे कोण को कम करने के लिए सूत्र खोजने की कुंजी है।

इस प्रकार, कोसाइन की डिग्री को कम करने का सूत्र है:

यदि हम α को α/2 से और 2α को α से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें कोसाइन के लिए आधे तर्क का सूत्र प्राप्त होता है:

चूँकि स्पर्शरेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है, स्पर्शरेखा का सूत्र है:

कोटैंजेंट कोज्या और ज्या का अनुपात है। इसलिए, कोटैंजेंट का सूत्र है:

बेशक, त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की प्रक्रिया में, आधे कोण के लिए सूत्र निकालने या हर बार एक डिग्री कम करने का कोई मतलब नहीं है। आपके सामने सूत्रों वाला कागज़ का एक टुकड़ा रखना बहुत आसान है। और सरलीकरण तेजी से आगे बढ़ेगा, और दृश्य स्मृति संस्मरण को चालू कर देगी।

लेकिन फिर भी इन सूत्रों को कई बार प्राप्त करना सार्थक है। तब आपको पूरा यकीन हो जाएगा कि परीक्षा के दौरान, जब चीट शीट का उपयोग करना संभव नहीं है, तो जरूरत पड़ने पर आप उन्हें आसानी से प्राप्त कर लेंगे।

सर्वाधिक बार पूछे जाने वाले प्रश्न

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क्या मैं आश्वस्त हो सकता हूँ कि ऑर्डर देने के बाद आप मेरे पैसे लेकर गायब नहीं होंगे? उत्तर डिप्लोमा उत्पादन के क्षेत्र में हमारा काफी लंबा अनुभव है। हमारी कई वेबसाइटें हैं जो लगातार अपडेट होती रहती हैं। हमारे विशेषज्ञ देश के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, प्रतिदिन 10 से अधिक दस्तावेज़ तैयार करते हैं। पिछले कुछ वर्षों में, हमारे दस्तावेज़ों ने कई लोगों को रोज़गार की समस्याओं को हल करने या उच्च-भुगतान वाली नौकरियों में जाने में मदद की है। हमने ग्राहकों के बीच विश्वास और मान्यता अर्जित की है, इसलिए हमारे पास ऐसा करने का कोई कारण नहीं है। इसके अलावा, शारीरिक रूप से ऐसा करना बिल्कुल असंभव है: आप अपना ऑर्डर तब भुगतान करते हैं जब वह आपके हाथ में आ जाता है, कोई पूर्व भुगतान नहीं होता है।

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नवीनतम समीक्षा

टोरीवाइल्ड:

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ओक्साना इवानोव्ना:

जब मेरा डिप्लोमा चोरी हो गया तो मैं बहुत परेशान हो गया। आख़िरकार, मुझे उसी समय निकाल दिया गया था, और अब उच्च शिक्षा डिप्लोमा के बिना अच्छी नौकरी पाना लगभग असंभव है। सौभाग्य से, एक पड़ोसी ने आपके संगठन से संपर्क करने का सुझाव दिया। पहले तो मुझे संदेह हुआ, लेकिन मैंने जोखिम लेने का फैसला किया। मैंने कंपनी मैनेजर को फोन किया और अपनी स्थिति बताई। और मैं भाग्यशाली हूँ! उन्होंने सब कुछ तुरंत किया, और सबसे महत्वपूर्ण बात, उन्होंने मेरा रहस्य उजागर न करने का वादा किया। मुझे चिंता थी कि कहीं बाद में यह तथ्य सामने न आ जाए कि मैंने डिप्लोमा खरीदा है।

माशा कुटेनकोवा:

कार्य के लिए धन्यवाद! मैंने 1991 से एक डिप्लोमा का आदेश दिया। जब उन्होंने दस्तावेज़ जुटाना शुरू किया, तो पता चला कि अनुभव बहुत कम था, और उन्हें अपनी शिक्षा की पुष्टि करने वाले एक दस्तावेज़ की भी आवश्यकता थी। मेरे पास एक भी नहीं था, और बॉस को यह पता था, और उसने खुद आपकी कंपनी की सिफारिश की थी (जाहिर है, मैं एक कर्मचारी जैसा कुछ भी नहीं हूं)। दस्तावेज़ पर, उसने मुझे विवरण बताया - जैसे, वे किस वर्ष स्याही या स्याही का उपयोग करते हैं, हस्ताक्षर की मोटाई, आदि। सावधानी और गुणवत्ता के लिए धन्यवाद!

लेनठीक है:

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जैरी टेरी:

यह देखकर कि मेरे सहकर्मी को फर्जी डिप्लोमा के कारण कितनी शर्मिंदगी से बाहर निकाल दिया गया, उसके उदाहरण का अनुसरण करना डरावना था। यदि वह गॉडमदर न होती जिसने आपसे आदेश दिया होता, तो मैं जोखिम नहीं उठाता। उन्होंने आश्वस्त किया कि यहां सब कुछ सुचारू है और जहां भी जरूरत होगी मेरा नाम होगा। मेरे पास सब कुछ करने के लिए 4 दिन थे। आपकी गति के लिए धन्यवाद - हमने इसे 3 में पूरा कर लिया, और जाली दस्तावेजों के तरीकों का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने में भी कामयाब रहे, लेकिन आपका फॉर्म नकली के रूप में योग्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह मूल के रूप में पारित हो जाएगा।

एंड्री:

मैंने कभी नहीं सोचा था कि मुझे डिप्लोमा खरीदना पड़ेगा। स्कूल के बाद, मेरी बेटी काम करने के लिए पोलैंड चली गई; जब वह 5 साल बाद लौटी, तो वह एक स्थानीय फैशन हाउस में कपड़े डिजाइनर के रूप में नौकरी करना चाहती थी। बिना डिप्लोमा के कोई भी उसे नौकरी पर नहीं रखना चाहता था। वह समझ गया कि अगर उसे यह नौकरी नहीं मिली तो वह फिर छोड़ देगा। मैंने शाम इंटरनेट पर सर्फिंग में बिताई, और सुबह मैं अपनी बेटी के दस्तावेज़ों के साथ पहले से ही कार्यालय में था। एक सप्ताह बाद, वह उसका डिप्लोमा अपने साथ ले गया, और अंततः वह अपने शहर में वांछित पद पर काम करने के लिए रुक गई। आपको अंदाज़ा नहीं है कि मैं आपका कितना आभारी हूँ!

जोड़ सूत्र आपको कोण ए के त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से पाप (2 * ए), कॉस (2 * ए) और टैन (ए) को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - पाप(a)*sin(b)।

2. पाप(ए+बी) = पाप(ए)*कॉस(बी) + कॉस(ए)*सिन(बी)।

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

आइए इन सूत्रों में a = b डालें। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित पहचान प्राप्त होती है:

1. पाप(2*ए) = 2*पाप(ए)*कॉस(ए)।

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2।

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

इन सर्वसमिकाओं को द्विकोण सूत्र कहा जाता है। आइए दोहरे कोण सूत्रों का उपयोग करने के कई उदाहरण देखें।

उदाहरण 1।यह जानते हुए कि cos(a) = -0.8 है और a तीसरा चौथाई कोण है, पाप(2*a) का मान ज्ञात कीजिए। समाधान:

सबसे पहले आइए पाप(ए) की गणना करें। चूँकि कोण a तीसरी तिमाही है, तीसरी तिमाही में ज्या ऋणात्मक होगी:

पाप(ए) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

दोहरे कोण ज्या सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:

पाप(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96।

उत्तर: पाप(2*ए) = 0.96.

उदाहरण 2.अभिव्यक्ति को सरल बनाएं पाप(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). समाधान:

आइए पाप(ए)*कॉस(ए) को कोष्ठक से बाहर निकालें। हम पाते हैं:

पाप(ए)*(कॉस(ए)) 3 - (पाप(ए)) 3 *कॉस(ए) = पाप(ए)*कॉस(ए)*(कॉस(ए)) 2 - (पाप(ए)) 2).

आइए अब दोहरे कोण सूत्रों का उपयोग करें:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*पाप(4*ए).

उत्तर: पाप(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

दोहरे कोण सूत्रों का उपयोग करके आप निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2।

कभी-कभी उदाहरणों को हल करते समय इन सूत्रों का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

उदाहरण 3.व्यंजक (1-cos(a))/(1+cos(a)) को सरल कीजिए। समाधान:

आइए अभिव्यक्ति (1-cos(a)) और (1+cos(a)) के लिए ऊपर लिखे सूत्रों को लागू करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले कोण a को निम्नलिखित उत्पाद 2*(a/2) के रूप में दर्शाते हैं।

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करते हुए हमारे पास:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

उत्तर: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2।

-त्रिकोणमिति पर निश्चित रूप से कार्य होंगे। त्रिकोणमिति को अक्सर बड़ी संख्या में कठिन सूत्रों को रटने की आवश्यकता के कारण नापसंद किया जाता है, जिसमें साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की भरमार होती है। साइट ने पहले ही एक बार यूलर और पील फ़ार्मुलों के उदाहरण का उपयोग करके भूले हुए फ़ॉर्मूले को याद रखने की सलाह दी थी।

और इस लेख में हम यह दिखाने का प्रयास करेंगे कि केवल पाँच सरल त्रिकोणमितीय सूत्रों को दृढ़ता से जानना पर्याप्त है, और बाकी की सामान्य समझ रखें और जैसे ही आप आगे बढ़ें उन्हें प्राप्त करें। यह डीएनए के समान है: अणु एक पूर्ण जीवित प्राणी के संपूर्ण ब्लूप्रिंट को संग्रहीत नहीं करता है। बल्कि, इसमें उपलब्ध अमीनो एसिड से इसे असेंबल करने के निर्देश शामिल हैं। इसलिए त्रिकोणमिति में, कुछ सामान्य सिद्धांतों को जानकर, हम उन सभी आवश्यक सूत्रों को एक छोटे से सेट से प्राप्त करेंगे जिन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए।

हम निम्नलिखित सूत्रों पर भरोसा करेंगे:

ज्या और कोज्या योग के सूत्रों से, कोज्या फलन की समता और ज्या फलन की विषमता के बारे में जानकर, b के स्थान पर -b प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंतर के सूत्र प्राप्त होते हैं:

1. अंतर की साइन: पाप(ए-बी) = पापएओल(-बी)+ओलएपाप(-बी) = पापएओलबी-ओलएपापबी
2. अंतर की कोसाइन: ओल(ए-बी) = ओलएओल(-बी)-पापएपाप(-बी) = ओलएओलबी+पापएपापबी

समान सूत्रों में a = b डालने पर, हमें दोहरे कोणों की ज्या और कोज्या के सूत्र प्राप्त होते हैं:

1. दोहरे कोण की ज्या: पाप2ए = पाप(ए+ए) = पापएओलए+ओलएपापए = 2पापएओलए
2. दोहरे कोण की कोज्या: ओल2ए = ओल(ए+ए) = ओलएओलए-पापएपापए = ओल2 ए-पाप2 ए

अन्य अनेक कोणों के सूत्र इसी प्रकार प्राप्त होते हैं:

1. त्रिकोण की ज्या: पाप3 ए = पाप(2ए+ए)= पाप2एओलए+ओल2एपापए = (2पापएओलए)ओलए+(ओल2 ए-पाप2 ए)पापए = 2पापएओल2 ए+पापएओल2 ए-पाप 3 ए = 3 पापएओल2 ए-पाप 3 ए = 3 पापए(1-पाप2 ए)-पाप 3 ए = 3 पापए-4पाप 3 ए
2. त्रिकोण की कोज्या: ओल3 ए = ओल(2ए+ए)= ओल2एओलए-पाप2एपापए = (ओल2 ए-पाप2 ए)ओलए-(2पापएओलए)पापए = ओल 3 ए- पाप2 एओलए-2पाप2 एओलए = ओल 3 ए-3 पाप2 एओलए = ओल 3 ए-3(1- ओल2 ए)ओलए = 4ओल 3 ए-3 ओलए

इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, आइए एक समस्या पर नजर डालें।
दिया गया है: कोण तीव्र है।
यदि इसकी कोज्या ज्ञात कीजिए
एक छात्र द्वारा दिया गया समाधान:
क्योंकि , वह पापए= 3,ए ओलए = 4.
(गणित हास्य से)

तो, स्पर्शरेखा की परिभाषा इस फ़ंक्शन को साइन और कोसाइन दोनों से संबंधित करती है। लेकिन आप एक ऐसा सूत्र प्राप्त कर सकते हैं जो स्पर्शरेखा को केवल कोज्या से जोड़ता है। इसे प्राप्त करने के लिए, हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान लेते हैं: पाप 2 ए+ओल 2 ए= 1 और इसे से विभाजित करें ओल 2 ए. हम पाते हैं:

तो इस समस्या का समाधान यह होगा:

(चूंकि कोण न्यून है, मूल निकालते समय + चिह्न लिया जाता है)

किसी योग के स्पर्शरेखा का सूत्र एक और सूत्र है जिसे याद रखना कठिन है। आइए इसे इस तरह आउटपुट करें:

तुरंत प्रदर्शित और

दोहरे कोण के लिए कोज्या सूत्र से, आप आधे कोणों के लिए ज्या और कोज्या सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दोहरे कोण कोज्या सूत्र के बाईं ओर:
ओल2 ए = ओल 2 ए-पाप 2 ए
हम एक जोड़ते हैं, और दाईं ओर - एक त्रिकोणमितीय इकाई, यानी। ज्या और कोज्या के वर्गों का योग.
ओल2ए+1 = ओल2 ए-पाप2 ए+ओल2 ए+पाप2 ए
2ओल 2 ए = ओल2 ए+1
जताते ओलएके माध्यम से ओल2 एऔर चरों में परिवर्तन करते हुए, हमें मिलता है:

चतुर्थांश के आधार पर चिन्ह लिया जाता है।

इसी प्रकार, समानता के बाईं ओर से एक और दाईं ओर से ज्या और कोज्या के वर्गों के योग को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
ओल2ए-1 = ओल2 ए-पाप2 ए-ओल2 ए-पाप2 ए
2पाप 2 ए = 1-ओल2 ए

और अंत में, त्रिकोणमितीय कार्यों के योग को उत्पाद में बदलने के लिए, हम निम्नलिखित तकनीक का उपयोग करते हैं। मान लीजिए कि हमें ज्याओं के योग को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है पापए+पापबी. आइए वेरिएबल x और y का परिचय इस प्रकार करें कि a = x+y, b+x-y। तब
पापए+पापबी = पाप(x+y)+ पाप(x-y) = पापएक्स ओल y+ ओलएक्स पाप y+ पापएक्स ओलआप- ओलएक्स पापआप=2 पापएक्स ओलवाई आइए अब x और y को a और b के पदों में व्यक्त करें।

चूँकि a = x+y, b = x-y, तो। इसीलिए

आप तुरंत वापस ले सकते हैं

1. विभाजन का सूत्र साइन और कोसाइन के उत्पादवी मात्रा: पापएओलबी = 0.5(पाप(ए+बी)+पाप(ए-बी))

हम अनुशंसा करते हैं कि आप साइन के अंतर और कोसाइन के योग और अंतर को उत्पाद में परिवर्तित करने के साथ-साथ साइन और कोसाइन के उत्पादों को योग में विभाजित करने के लिए स्वयं अभ्यास करें और सूत्र प्राप्त करें। इन अभ्यासों को पूरा करने के बाद, आप त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने के कौशल में पूरी तरह से महारत हासिल कर लेंगे और सबसे कठिन परीक्षा, ओलंपियाड या परीक्षण में भी हार नहीं मानेंगे।