Menemukan kelipatan persekutuan. Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan
Bilangan asli terbesar dimana bilangan a dan b habis dibagi tanpa sisa disebut pembagi persekutuan terbesar angka-angka ini. Tunjukkan GCD (a, b).
Pertimbangkan mencari FPB pada contoh dua bilangan asli 18 dan 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 dan 432
Mari kita uraikan bilangan tersebut menjadi faktor prima:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3 × 37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Hapus dari angka pertama, yang faktor-faktornya tidak ada dalam angka kedua dan ketiga, kita mendapatkan:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Akibat GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Menemukan GCD dengan Algoritma Euclid
Cara kedua untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar menggunakan Algoritma Euclid. Algoritma Euclid adalah yang paling cara yang efektif temuan GCD, menggunakannya Anda harus terus-menerus menemukan sisa pembagian angka dan menerapkan rumus berulang.
Rumus berulang untuk GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), di mana a mod b adalah sisa pembagian a dengan b.
Algoritma Euclid
Contoh Menemukan Pembagi Persekutuan Terbesar dari Bilangan 7920 dan 594
Mari kita cari GCD( 7920 , 594 ) menggunakan algoritma Euclid, kita akan menghitung sisa pembagian menggunakan kalkulator.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Akibatnya, kita mendapatkan GCD( 7920 , 594 ) = 198
Kelipatan persekutuan terkecil
Untuk menemukan penyebut yang sama saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, Anda perlu mengetahui dan dapat menghitung kelipatan persekutuan terkecil(NOC).
Kelipatan bilangan "a" adalah bilangan yang habis dibagi bilangan "a" tanpa sisa.
Bilangan yang merupakan kelipatan 8 (yaitu bilangan yang akan dibagi 8 tanpa sisa): ini adalah bilangan 16, 24, 32 ...
Kelipatan 9: 18, 27, 36, 45…
Ada banyak kelipatan tak terhingga dari bilangan a yang diberikan, berbeda dengan pembagi dari bilangan yang sama. Pembagi - angka yang terbatas.
Kelipatan persekutuan dari dua bilangan asli adalah bilangan yang habis dibagi oleh kedua bilangan tersebut..
Kelipatan persekutuan terkecil(KPK) dari dua atau lebih bilangan asli adalah bilangan asli terkecil yang habis dibagi oleh masing-masing bilangan tersebut.
Bagaimana menemukan NOC
KPK dapat ditemukan dan ditulis dalam dua cara.
Cara pertama mencari KPK
Cara ini biasanya digunakan untuk jumlah yang kecil.
- Kami menulis kelipatan untuk masing-masing angka di baris sampai ada kelipatan yang sama untuk kedua angka.
- Kelipatan angka "a" dilambangkan dengan huruf kapital "K".
Contoh. Cari KPK 6 dan 8.
Cara kedua untuk mencari KPK
Metode ini mudah digunakan untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih.
Banyaknya faktor yang identik dalam pemuaian bilangan dapat berbeda.
KPK (24, 60) = 2 2 3 5 2
Jawaban: KPK (24, 60) = 120
Anda juga dapat memformalkan menemukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) sebagai berikut. Mari kita cari KPK (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Seperti yang Anda lihat dari perluasan bilangan, semua faktor dari 12 termasuk dalam perluasan 24 (bilangan terbesar), jadi kita hanya menambahkan satu 2 dari perluasan bilangan 16 ke KPK.
KPK (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Jawaban: KPK (12, 16, 24) = 48
Kasus khusus untuk menemukan NOC
Misal KPK(60, 15) = 60
Karena bilangan koprima tidak memiliki pembagi prima yang sama, kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini.
Di situs web kami, Anda juga dapat menggunakan kalkulator khusus untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil secara online untuk memeriksa perhitungan Anda.
Jika bilangan asli hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri, maka disebut prima.
Setiap bilangan asli selalu habis dibagi 1 dan dirinya sendiri.
Bilangan 2 adalah bilangan prima terkecil. Ini adalah satu-satunya bilangan prima genap, sisa bilangan prima ganjil.
Ada banyak bilangan prima, dan yang pertama adalah bilangan 2. Namun, tidak ada bilangan prima terakhir. Di bagian "Untuk Belajar", Anda dapat mengunduh tabel bilangan prima hingga 997.
Tetapi banyak bilangan asli yang habis dibagi dengan bilangan asli lainnya.
- angka 12 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12;
- 36 habis dibagi 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
- menguraikan pembagi bilangan menjadi faktor prima;
Angka-angka di mana angka tersebut dapat dibagi secara merata (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) disebut pembagi dari angka tersebut.
Pembagi bilangan asli a adalah bilangan asli yang membagi bilangan "a" yang diberikan tanpa sisa.
Bilangan asli yang memiliki lebih dari dua faktor disebut bilangan komposit.
Perhatikan bahwa angka 12 dan 36 memiliki pembagi yang sama. Ini adalah angka: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembagi terbesar dari bilangan-bilangan ini adalah 12.
Pembagi persekutuan dari dua bilangan yang diberikan "a" dan "b" adalah bilangan yang membagi kedua bilangan "a" dan "b" tanpa sisa.
Pembagi Umum Terbesar(PBK) dari dua bilangan yang diberikan "a" dan "b" adalah bilangan terbesar dimana kedua bilangan "a" dan "b" habis dibagi tanpa sisa.
Secara singkat, pembagi persekutuan terbesar dari angka "a" dan "b" ditulis sebagai berikut::
Contoh: gcd (12; 36) = 12 .
Pembagi angka dalam catatan solusi dilambangkan dengan huruf kapital "D".
Angka 7 dan 9 hanya memiliki satu pembagi yang sama - angka 1. Angka seperti itu disebut saling bilangan prima .
bilangan koprima adalah bilangan asli yang hanya memiliki satu pembagi yang sama - nomor 1. GCD mereka adalah 1.
Bagaimana menemukan pembagi persekutuan terbesar
Untuk menemukan gcd dari dua atau lebih bilangan asli yang Anda butuhkan:
Perhitungan mudah ditulis menggunakan bilah vertikal. Di sebelah kiri baris, pertama-tama tuliskan dividen, di sebelah kanan - pembagi. Selanjutnya di kolom kiri kita tuliskan nilai-nilai private.
Mari kita jelaskan segera dengan sebuah contoh. Mari kita faktorkan bilangan 28 dan 64 menjadi faktor prima.
- Garis bawahi faktor prima yang sama pada kedua bilangan tersebut.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Kami menemukan produk dari faktor prima yang identik dan menuliskan jawabannya;
KPK (28; 64) = 2 2 = 4
Jawaban: KPK (28; 64) = 4
Anda dapat mengatur lokasi GCD dengan dua cara: di kolom (seperti yang dilakukan di atas) atau "dalam satu baris".
Cara pertama untuk menulis GCD
Cari KPK 48 dan 36.
KPK (48; 36) = 2 2 3 = 12
Cara kedua untuk menulis GCD
Sekarang mari kita tulis solusi pencarian GCD dalam satu baris. Cari KPK 10 dan 15.
Di situs informasi kami, Anda juga dapat menemukan pembagi umum terbesar secara online dengan bantuan program asisten untuk memeriksa perhitungan Anda.
Menemukan kelipatan persekutuan terkecil, metode, contoh mencari KPK.
Materi yang disajikan di bawah ini merupakan kelanjutan logis dari teori dari artikel di bawah judul KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, definisi, contoh, hubungan KPK dan KPK. Di sini kita akan berbicara tentang mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan Perhatian khusus Mari kita lihat contoh-contohnya. Mari kita tunjukkan terlebih dahulu bagaimana KPK dari dua bilangan dihitung dalam bentuk FPB dari bilangan-bilangan ini. Selanjutnya, pertimbangkan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Setelah itu kita akan fokus mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan juga memperhatikan perhitungan KPK dari bilangan negatif.
Navigasi halaman.
Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd
Salah satu cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah berdasarkan hubungan antara KPK dan KPK. Hubungan yang ada antara KPK dan PKS memungkinkan Anda menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif melalui pembagi persekutuan terbesar yang diketahui. Rumus yang sesuai memiliki bentuk KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Perhatikan contoh mencari KPK menurut rumus di atas.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan 126 dan 70 .
Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan link KPK dengan KPK, yang dinyatakan dengan rumus KPK(a, b)=a b: GCM(a, b) . Artinya, pertama-tama kita harus mencari pembagi persekutuan terbesar dari angka 70 dan 126, setelah itu kita dapat menghitung KPK dari angka-angka tersebut sesuai dengan rumus tertulis.
Temukan gcd(126, 70) menggunakan algoritma Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , maka gcd(126, 70)=14 .
Sekarang kita menemukan kelipatan persekutuan terkecil yang diperlukan: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Apa KPK(68, 34) ?
Karena 68 habis dibagi 34 , maka gcd(68, 34)=34 . Sekarang kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil: KPK(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Perhatikan bahwa contoh sebelumnya sesuai dengan aturan berikut untuk mencari KPK untuk bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan a habis dibagi b , maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini adalah a .
Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima
Cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Jika kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka ini, setelah itu kita mengecualikan dari produk ini semua faktor prima umum yang ada dalam perluasan angka-angka ini, maka produk yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.
Aturan yang diumumkan untuk mencari KPK mengikuti persamaan LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Memang, produk dari angka a dan b sama dengan produk dari semua faktor yang terlibat dalam ekspansi angka a dan b. Pada gilirannya, gcd(a, b) sama dengan produk dari semua faktor prima yang secara bersamaan hadir dalam ekspansi bilangan a dan b (yang dijelaskan pada bagian tentang menemukan gcd menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima ).
Mari kita ambil contoh. Diketahui bahwa 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Buatlah produk dari semua faktor dari ekspansi ini: 2 3 3 5 5 5 7 . Sekarang kita mengecualikan dari produk ini semua faktor yang ada baik dalam perluasan angka 75 dan dalam perluasan angka 210 (faktor-faktor tersebut adalah 3 dan 5), maka produk akan berbentuk 2 3 5 5 7 . Nilai dari hasil kali ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari 75 dan 210 , yaitu KPK(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Setelah memfaktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima, tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.
Mari kita uraikan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima: 
Kami mendapatkan 441=3 3 7 7 dan 700=2 2 5 5 7 .
Sekarang mari kita buat perkalian dari semua faktor yang terlibat dalam pemuaian bilangan-bilangan ini: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Mari kita keluarkan dari produk ini semua faktor yang secara bersamaan hadir di kedua ekspansi (hanya ada satu faktor seperti itu - ini adalah angka 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Jadi KPK(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
KPK(441, 700)= 44 100 .
Aturan untuk mencari KPK menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima dapat dirumuskan sedikit berbeda. Jika kita menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan b ke faktor-faktor dari perluasan bilangan a, maka nilai hasil perkaliannya akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a dan b.
Sebagai contoh, mari kita ambil semua bilangan yang sama 75 dan 210, ekspansinya menjadi faktor prima adalah sebagai berikut: 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Untuk faktor 3, 5 dan 5 dari penguraian bilangan 75, kita tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 dari penguraian bilangan 210, kita mendapatkan hasil kali 2 3 5 5 7 , yang nilainya adalah KPK(75 , 210).
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.
Pertama-tama kita peroleh dekomposisi bilangan 84 dan 648 menjadi faktor prima. Mereka terlihat seperti 84=2 2 3 7 dan 648=2 2 2 3 3 3 3 . Untuk faktor 2 , 2 , 3 dan 7 dari penguraian bilangan 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2 , 3 , 3 dan 3 dari penguraian bilangan 648 , kita peroleh hasil kali 2 2 2 3 3 3 3 7 , yang sama dengan 4 536 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan dari bilangan 84 dan 648 adalah 4,536.
Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih
Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dicari dengan mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Ingat teorema yang sesuai, yang memberikan cara untuk menemukan KPK dari tiga angka atau lebih.
Misalkan bilangan bulat positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Pertimbangkan penerapan teorema ini pada contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan.
Tentukan KPK dari keempat bilangan tersebut 140 , 9 , 54 dan 250 .
Pertama kita cari m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140, 9 ). Untuk melakukan ini, menggunakan algoritma Euclidean, kami menentukan gcd(140, 9 ), kami memiliki 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , oleh karena itu, gcd( 140, 9)=1 , dari mana KPK(140, 9)=140 9: FPB(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yaitu, m 2 = 260 .
Sekarang kita cari m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1 260, 54) . Mari kita hitung melalui gcd(1 260, 54) , yang juga ditentukan oleh algoritma Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Kemudian gcd(1 260, 54)=18 , dari mana KPK(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Artinya, m 3 \u003d 3 780.
Tetap mencari m 4 = KPK (m 3 , a 4) = KPK (3780, 250) . Untuk melakukan ini, kami menemukan GCD(3 780, 250) menggunakan algoritma Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Oleh karena itu, gcd(3 780, 250)=10 , maka KPK(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Artinya, m 4 \u003d 94 500.
Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan asli adalah 94.500.
KPK(140, 9, 54, 250)=94500 .
Dalam banyak kasus, kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat ditemukan dengan mudah menggunakan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan yang diberikan. Pada saat yang sama, seseorang harus mematuhi aturan selanjutnya. Kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan sama dengan hasil kali, yang tersusun sebagai berikut: faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua ditambahkan ke semua faktor dari perluasan bilangan pertama, faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka ketiga ditambahkan ke faktor yang diperoleh, dan seterusnya.
Perhatikan contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Pertama, kita peroleh penguraian bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 adalah bilangan prima, bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor prima) dan 143=11 13 .
Untuk mencari KPK dari bilangan-bilangan ini, ke faktor-faktor dari bilangan pertama 84 (yaitu 2 , 2 , 3 dan 7) Anda perlu menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua 6 . Perluasan angka 6 tidak mengandung faktor yang hilang, karena 2 dan 3 sudah ada dalam perluasan angka pertama 84 . Selanjutnya faktor 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor 2 dan 2 yang hilang dari pemuaian bilangan ketiga 48 , kita mendapatkan himpunan faktor 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 . Tidak perlu menambahkan faktor ke set ini di langkah berikutnya, karena 7 sudah ada di dalamnya. Akhirnya, pada faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor yang hilang 11 dan 13 dari perluasan bilangan 143 . Kami mendapatkan produk 2 2 2 2 3 7 11 13 , yang sama dengan 48 048 .
Oleh karena itu, KPK(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
KPK(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
Menemukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Bilangan Negatif
Terkadang ada tugas di mana Anda perlu menemukan kelipatan bilangan persekutuan terkecil, di antaranya satu, beberapa, atau semua bilangan negatif. Dalam kasus ini, semua bilangan negatif harus diganti dengan bilangan yang berlawanan, setelah itu KPK dari bilangan positif harus ditemukan. Ini adalah cara mencari KPK dari bilangan negatif. Misalnya, KPK(54, 34)=LCM(54, 34) dan KPK(−622, 46, 54, 888)= KPK(622, 46, 54, 888) .
Kita dapat melakukan ini karena himpunan kelipatan dari a sama dengan himpunan kelipatan a (a dan a adalah bilangan berlawanan). Memang, misalkan b suatu kelipatan dari a , maka b habis dibagi a , dan konsep keterbagian menegaskan keberadaan suatu bilangan bulat q sehingga b=a q . Tetapi persamaan b=(−a)·(−q) juga akan benar, yang, berdasarkan konsep pembagian yang sama, berarti b habis dibagi a , yaitu, b adalah kelipatan dari a . Pernyataan sebaliknya juga benar: jika b adalah kelipatan dari a , maka b juga merupakan kelipatan dari a .
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif 145 dan 45.
Mari kita ganti bilangan negatif 145 dan 45 dengan bilangan lawannya 145 dan 45 . Kita memiliki KPK(−145, 45)=LCM(145, 45) . Setelah menentukan gcd(145, 45)=5 (misalnya, menggunakan algoritma Euclid), kita menghitung KPK(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat negatif 145 dan 45 adalah 1,305 .
www.cleversstudents.ru
Kami terus belajar divisi. Dalam pelajaran ini, kita akan melihat konsep-konsep seperti GCD dan NOC.
GCD adalah pembagi persekutuan terbesar.
NOC adalah kelipatan persekutuan terkecil.
Topiknya agak membosankan, tetapi perlu dipahami. Tanpa memahami topik ini, Anda tidak akan dapat bekerja secara efektif dengan pecahan, yang merupakan hambatan nyata dalam matematika.
Pembagi Umum Terbesar
Definisi. Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan sebuah dan b sebuah dan b dibagi tanpa sisa.
Untuk memahami definisi ini dengan baik, kami mengganti bukan variabel sebuah dan b dua angka apa pun, misalnya, alih-alih variabel sebuah gantikan angka 12, dan bukan variabel b nomor 9. Sekarang mari kita coba membaca definisi ini:
Pembagi Umum Terbesar dari Bilangan 12 dan 9 adalah bilangan terbesar dimana 12 dan 9 dibagi tanpa sisa.
Jelas dari definisi bahwa kita berbicara tentang pembagi umum dari angka 12 dan 9, dan pembagi ini adalah yang terbesar dari semua pembagi yang ada. Pembagi persekutuan terbesar (gcd) ini harus ditemukan.
Untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua angka, tiga metode digunakan. Metode pertama cukup memakan waktu, tetapi memungkinkan Anda untuk memahami esensi topik dengan baik dan merasakan seluruh maknanya.
Metode kedua dan ketiga cukup sederhana dan memungkinkan untuk menemukan GCD dengan cepat. Kami akan mempertimbangkan ketiga metode tersebut. Dan apa yang harus diterapkan dalam praktik - Anda pilih.
Cara pertama adalah menemukan semua kemungkinan pembagi dari dua bilangan dan memilih yang terbesar. Mari kita pertimbangkan metode ini dalam contoh berikut: tentukan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 12 dan 9.
Pertama, kami menemukan semua kemungkinan pembagi dari angka 12. Untuk melakukan ini, kami membagi 12 menjadi semua pembagi dalam rentang dari 1 hingga 12. Jika pembagi memungkinkan kami untuk membagi 12 tanpa sisa, maka kami akan menyorotnya dengan warna biru dan buatlah penjelasan yang sesuai dalam tanda kurung.
12: 1 = 12
(12 dibagi 1 tanpa sisa, jadi 1 adalah pembagi dari 12)
12: 2 = 6
(12 dibagi 2 tanpa sisa, jadi 2 adalah pembagi dari 12)
12: 3 = 4
(12 dibagi 3 tanpa sisa, jadi 3 adalah pembagi dari 12)
12: 4 = 3
(12 dibagi 4 tanpa sisa, jadi 4 adalah pembagi dari 12)
12:5 = 2 (2 kiri)
(12 tidak dibagi 5 tanpa sisa, jadi 5 bukan pembagi 12)
12: 6 = 2
(12 dibagi 6 tanpa sisa, jadi 6 adalah pembagi dari 12)
12: 7 = 1 (5 kiri)
(12 tidak dibagi 7 tanpa sisa, jadi 7 bukan pembagi 12)
12: 8 = 1 (4 kiri)
(12 tidak dibagi 8 tanpa sisa, jadi 8 bukan pembagi 12)
12:9 = 1 (3 kiri)
(12 tidak dibagi 9 tanpa sisa, jadi 9 bukan pembagi 12)
12: 10 = 1 (2 kiri)
(12 tidak dibagi 10 tanpa sisa, jadi 10 bukan pembagi 12)
12:11 = 1 (1 kiri)
(12 tidak dibagi 11 tanpa sisa, jadi 11 bukan pembagi 12)
12: 12 = 1
(12 dibagi 12 tanpa sisa, jadi 12 adalah pembagi dari 12)
Sekarang mari kita cari pembagi dari angka 9. Untuk melakukan ini, periksa semua pembagi dari 1 hingga 9
9: 1 = 9
(9 dibagi 1 tanpa sisa, jadi 1 adalah pembagi dari 9)
9: 2 = 4 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 2 tanpa sisa, jadi 2 bukan pembagi 9)
9: 3 = 3
(9 dibagi 3 tanpa sisa, jadi 3 adalah pembagi dari 9)
9: 4 = 2 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 4 tanpa sisa, jadi 4 bukan pembagi 9)
9:5 = 1 (4 kiri)
(9 tidak dibagi 5 tanpa sisa, jadi 5 bukan pembagi 9)
9: 6 = 1 (3 kiri)
(9 tidak habis dibagi 6 tanpa sisa, jadi 6 bukan pembagi 9)
9:7 = 1 (2 kiri)
(9 tidak dibagi 7 tanpa sisa, jadi 7 bukan pembagi 9)
9:8 = 1 (1 kiri)
(9 tidak dibagi 8 tanpa sisa, jadi 8 bukan pembagi 9)
9: 9 = 1
(9 dibagi 9 tanpa sisa, jadi 9 adalah pembagi dari 9)
Sekarang tuliskan pembagi kedua bilangan tersebut. Angka-angka yang disorot dengan warna biru adalah pembagi. Mari kita tuliskan:
Setelah menuliskan pembagi, Anda dapat segera menentukan mana yang terbesar dan paling umum.
Menurut definisi, pembagi persekutuan terbesar dari 12 dan 9 adalah angka yang dengannya 12 dan 9 habis dibagi. Pembagi terbesar dan persekutuan dari bilangan 12 dan 9 adalah bilangan 3
Baik angka 12 dan angka 9 habis dibagi 3 tanpa sisa:
Jadi gcd (12 dan 9) = 3
Cara kedua untuk menemukan GCD
Sekarang perhatikan cara kedua untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar. Inti dari metode ini adalah menguraikan kedua bilangan menjadi faktor prima dan mengalikan yang umum.
Contoh 1. Tentukan KPK dari bilangan 24 dan 18
Pertama, mari faktorkan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
Sekarang kita kalikan faktor persekutuannya. Agar tidak bingung, faktor-faktor umum dapat digarisbawahi.
Kami melihat penguraian angka 24. Faktor pertamanya adalah 2. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan melihat bahwa itu juga ada. Kami menggarisbawahi keduanya:
Sekali lagi kita melihat penguraian angka 24. Faktor keduanya juga 2. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan melihat bahwa itu tidak ada untuk kedua kalinya. Kemudian kami tidak menyoroti apa pun.
Dua berikutnya dalam perluasan nomor 24 juga hilang dalam perluasan nomor 18.
Kami melewati faktor terakhir dalam penguraian angka 24. Ini adalah faktor 3. Kami mencari faktor yang sama dalam penguraian angka 18 dan kami melihat bahwa itu juga ada. Kami menekankan ketiganya:
Jadi, faktor persekutuan dari bilangan 24 dan 18 adalah faktor 2 dan 3. Untuk mendapatkan FPB, faktor-faktor ini harus dikalikan:
Jadi gcd (24 dan 18) = 6
Cara ketiga untuk menemukan GCD
Sekarang perhatikan cara ketiga untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar. Inti dari metode ini terletak pada kenyataan bahwa bilangan-bilangan yang akan dicari pembagi persekutuan terbesarnya didekomposisi menjadi faktor-faktor prima. Kemudian, dari penguraian bilangan pertama, faktor-faktor yang tidak termasuk dalam penguraian bilangan kedua dihilangkan. Angka yang tersisa di ekspansi pertama dikalikan dan mendapatkan GCD.
Sebagai contoh, mari kita cari KPK untuk angka 28 dan 16 dengan cara ini. Pertama-tama, kami menguraikan angka-angka ini menjadi faktor prima:
Kami mendapat dua ekspansi: dan
Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk tujuh. Kami akan menghapusnya dari ekspansi pertama:
Sekarang kita kalikan faktor yang tersisa dan dapatkan GCD:
Angka 4 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 28 dan 16. Kedua angka ini habis dibagi 4 tanpa sisa:
Contoh 2 Tentukan KPK dari bilangan 100 dan 40
Memfaktorkan bilangan 100
Memfaktorkan bilangan 40
Kami mendapat dua ekspansi:
Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk satu lima (hanya ada satu lima). Kami menghapusnya dari dekomposisi pertama
Kalikan angka yang tersisa:
Jawabannya adalah 20. Jadi, bilangan 20 adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 100 dan 40. Kedua bilangan ini habis dibagi 20 tanpa sisa:
KPK (100 dan 40) = 20.
Contoh 3 Tentukan gcd dari bilangan 72 dan 128
Memfaktorkan bilangan 72
Memfaktorkan bilangan 128
2×2×2×2×2×2×2
Sekarang, dari pemuaian bilangan pertama, kita hapus faktor-faktor yang tidak termasuk dalam pemuaian bilangan kedua. Perluasan bilangan kedua tidak termasuk dua kembar tiga (tidak ada sama sekali). Kami menghapusnya dari ekspansi pertama:
Kita mendapatkan jawabannya 8. Jadi, angka 8 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 72 dan 128. Kedua angka ini habis dibagi 8 tanpa sisa:
KPK (72 dan 128) = 8
Menemukan KPK untuk Banyak Angka
Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan untuk beberapa bilangan, dan bukan hanya untuk dua. Untuk ini, angka-angka yang ditemukan untuk pembagi persekutuan terbesar didekomposisi menjadi faktor-faktor prima, kemudian produk dari faktor-faktor prima umum dari angka-angka ini ditemukan.
Sebagai contoh, mari kita cari KPK untuk bilangan 18, 24 dan 36
Memfaktorkan bilangan 18
Memfaktorkan bilangan 24
Memfaktorkan bilangan 36
Kami mendapat tiga ekspansi:
Sekarang kita memilih dan menggarisbawahi faktor persekutuan dalam angka-angka ini. Faktor persekutuan harus dimasukkan dalam ketiga bilangan:
Kita melihat bahwa faktor persekutuan dari bilangan 18, 24 dan 36 adalah faktor 2 dan 3. Dengan mengalikan faktor-faktor ini, kita mendapatkan FPB yang kita cari:
Jawabannya kita dapatkan 6. Jadi bilangan 6 adalah pembagi persekutuan terbesar dari bilangan 18, 24 dan 36. Ketiga bilangan ini habis dibagi 6 tanpa sisa:
KPK (18, 24 dan 36) = 6
Contoh 2 Cari gcd untuk nomor 12, 24, 36 dan 42
Mari kita memfaktorkan setiap angka. Kemudian kami menemukan produk dari faktor-faktor persekutuan dari angka-angka ini.
Memfaktorkan bilangan 12
Memfaktorkan bilangan 42
Kami mendapat empat ekspansi:
Sekarang kita memilih dan menggarisbawahi faktor persekutuan dalam angka-angka ini. Faktor persekutuan harus dimasukkan dalam keempat bilangan:
Kita melihat bahwa faktor persekutuan dari bilangan 12, 24, 36, dan 42 adalah faktor 2 dan 3. Dengan mengalikan faktor-faktor ini, kita mendapatkan FPB yang kita cari:
Kita mendapatkan jawabannya 6. Jadi, angka 6 adalah pembagi persekutuan terbesar dari angka 12, 24, 36 dan 42. Angka-angka ini habis dibagi 6 tanpa sisa:
gcd(12, 24, 36 dan 42) = 6
Dari pelajaran sebelumnya, kita mengetahui bahwa jika suatu bilangan dibagi dengan bilangan lain tanpa sisa, maka bilangan tersebut disebut kelipatan.
Ternyata kelipatan bisa menjadi persekutuan beberapa bilangan. Dan sekarang kita akan tertarik pada kelipatan dua angka, sementara itu harus sekecil mungkin.
Definisi. Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan sebuah dan b- sebuah dan b sebuah dan nomor b.
Definisi mengandung dua variabel sebuah dan b. Mari kita substitusikan dua angka untuk variabel-variabel ini. Misalnya, alih-alih variabel sebuah gantikan angka 9, dan bukannya variabel b mari kita ganti dengan angka 12. Sekarang coba kita baca definisinya:
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bilangan 9 dan 12 - adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari 9 dan 12 . Dengan kata lain, itu adalah bilangan yang sangat kecil yang habis dibagi tanpa sisa oleh bilangan tersebut 9 dan pada nomor 12 .
Jelas dari definisi bahwa KPK adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 9 dan 12. KPK ini harus dicari.
Ada dua cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK). Cara pertama adalah Anda dapat menuliskan kelipatan pertama dari dua angka, dan kemudian memilih di antara kelipatan tersebut suatu angka yang akan umum untuk kedua angka dan kecil. Mari kita terapkan cara ini.
Pertama-tama, mari kita cari kelipatan pertama dari angka 9. Untuk mencari kelipatan 9, Anda perlu mengalikan sembilan ini dengan angka dari 1 sampai 9. Jawaban yang Anda dapatkan adalah kelipatan dari angka 9. Jadi , Ayo mulai. Kelipatan akan disorot dengan warna merah:
Sekarang kita menemukan kelipatan untuk angka 12. Untuk melakukan ini, kita mengalikan 12 dengan semua angka 1 sampai 12 secara bergantian.
Pertimbangkan tiga cara untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil.
Menemukan dengan Memfaktorkan
Cara pertama adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan-bilangan tersebut menjadi faktor prima.
Misalkan kita perlu mencari KPK dari bilangan: 99, 30 dan 28. Untuk melakukan ini, kita menguraikan setiap bilangan ini menjadi faktor prima:
Agar bilangan yang diinginkan habis dibagi 99, 30 dan 28, perlu dan cukup bahwa bilangan tersebut mencakup semua faktor prima dari pembagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor prima dari bilangan-bilangan ini ke pangkat tertinggi dan mengalikannya:
2 2 3 2 5 7 11 = 13860
Jadi KPK (99, 30, 28) = 13.860. Tidak ada bilangan lain yang kurang dari 13.860 yang habis dibagi 99, 30, atau 28.
Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang diberikan, Anda perlu menguraikannya menjadi faktor-faktor prima, kemudian mengambil setiap faktor prima dengan eksponen terbesar yang muncul, dan mengalikan faktor-faktor ini bersama-sama.
Karena bilangan koprima tidak memiliki faktor prima yang sama, kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini. Misalnya, tiga angka: 20, 49 dan 33 adalah koprima. Jadi
KPK (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.
Hal yang sama harus dilakukan ketika mencari kelipatan persekutuan terkecil dari berbagai bilangan prima. Misalnya KPK (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Menemukan dengan pilihan
Cara kedua adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memasang.
Contoh 1. Jika bilangan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut habis dibagi rata dengan bilangan-bilangan lain yang diberikan, maka KPK dari bilangan-bilangan tersebut sama dengan bilangan yang lebih besar. Misalnya, diberikan empat angka: 60, 30, 10 dan 6. Masing-masing habis dibagi 60, oleh karena itu:
NOC(60, 30, 10, 6) = 60
Dalam kasus lain, untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, prosedur berikut digunakan:
- Tentukan bilangan terbesar dari bilangan yang diberikan.
- Selanjutnya, kami menemukan angka yang merupakan kelipatan dari angka terbesar, mengalikannya dengan bilangan asli dalam urutan menaik dan memeriksa apakah sisa angka yang diberikan dapat dibagi dengan produk yang dihasilkan.
Contoh 2. Diberikan tiga angka 24, 3 dan 18. Tentukan yang terbesar - ini adalah angka 24. Selanjutnya, temukan kelipatan 24, periksa apakah masing-masingnya habis dibagi 18 dan 3:
24 1 = 24 habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 18.
24 2 = 48 - habis dibagi 3 tapi tidak habis dibagi 18.
24 3 \u003d 72 - habis dibagi 3 dan 18.
Jadi KPK(24, 3, 18) = 72.
Menemukan dengan Mencari Sekuensial LCM
Cara ketiga adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan mencari KPK secara berurutan.
KPK dari dua bilangan yang diberikan sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini dibagi dengan pembagi persekutuan terbesarnya.
Contoh 1. Tentukan KPK dari dua bilangan yang diberikan: 12 dan 8. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: FPB (12, 8) = 4. Kalikan bilangan-bilangan ini:
Kami membagi produk ke dalam GCD mereka:
Jadi KPK(12, 8) = 24.
Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, digunakan prosedur berikut:
- Pertama, KPK dari dua bilangan yang diberikan ditemukan.
- Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang ditemukan dan bilangan ketiga yang diberikan.
- Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang dihasilkan dan bilangan keempat, dan seterusnya.
- Dengan demikian pencarian KPK terus berlanjut selama ada angka.
Contoh 2. Mari kita cari KPK dari tiga bilangan yang diberikan: 12, 8 dan 9. Kita telah menemukan KPK dari bilangan 12 dan 8 pada contoh sebelumnya (ini adalah bilangan 24). Tetap menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan bilangan ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: gcd (24, 9) = 3. Kalikan KPK dengan angka 9:
Kami membagi produk ke dalam GCD mereka:
Jadi KPK(12, 8, 9) = 72.
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan berhubungan langsung dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan-bilangan tersebut. Ini hubungan antara GCD dan NOC ditentukan oleh teorema berikut.
Dalil.
Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif a dan b sama dengan hasil kali bilangan a dan b dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b , yaitu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b).
Bukti.
Biarlah M adalah kelipatan dari bilangan a dan b. Artinya, M habis dibagi a, dan menurut definisi habis dibagi, ada beberapa bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga persamaan M=a·k benar. Tetapi M juga habis dibagi b, maka a k habis dibagi b.
Tunjukkan gcd(a, b) sebagai d . Kemudian kita dapat menuliskan persamaan a=a 1 ·d dan b=b 1 ·d, dan a 1 =a:d dan b 1 =b:d akan menjadi bilangan prima. Oleh karena itu, kondisi yang diperoleh pada paragraf sebelumnya bahwa a k habis dibagi b dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: a 1 d k habis dibagi b 1 d , dan ini, karena sifat-sifat habis dibagi, setara dengan kondisi bahwa a 1 k habis dibagi b satu.
Kita juga perlu menuliskan dua konsekuensi penting dari teorema yang dipertimbangkan.
Kelipatan persekutuan dua bilangan sama dengan kelipatan kelipatan persekutuan terkecilnya.
Ini benar, karena kelipatan persekutuan dari M bilangan a dan b ditentukan oleh persamaan M=LCM(a, b) t untuk beberapa nilai bilangan bulat t .
Kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan positif koprima a dan b sama dengan perkaliannya.
Alasan untuk fakta ini cukup jelas. Karena a dan b adalah koprima, maka gcd(a, b)=1 , oleh karena itu, KPK(a, b)=a b: KPK(a, b)=a b:1=a b.
Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih
Menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat direduksi menjadi mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Bagaimana hal ini dilakukan ditunjukkan dalam teorema berikut: a 1 , a 2 , …, a k bertepatan dengan kelipatan persekutuan bilangan m k-1 dan a k , oleh karena itu, bertepatan dengan kelipatan m k . Dan karena kelipatan positif terkecil dari bilangan m k adalah bilangan m k itu sendiri, maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a 1 , a 2 , …, a k adalah m k .
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.
- Vinogradov I.M. Dasar-dasar teori bilangan.
- Mikhelovich Sh.Kh. Teori bilangan.
- Kulikov L.Ya. dan lain-lain Kumpulan soal dalam aljabar dan teori bilangan: tutorial untuk mahasiswa fisika dan matematika. spesialisasi lembaga pedagogis.
Kalkulator online memungkinkan Anda dengan cepat menemukan pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari dua atau sejumlah angka lainnya.
Kalkulator untuk mencari GCD dan NOC
Temukan GCD dan NOC
GCD dan NOC ditemukan: 6433
Cara menggunakan kalkulator
- Masukkan angka di kolom input
- Jika salah memasukkan karakter, kolom input akan disorot dengan warna merah
- tekan tombol "Temukan GCD dan NOC"
Cara memasukkan angka
- Angka dimasukkan dipisahkan oleh spasi, titik atau koma
- Panjang angka yang dimasukkan tidak dibatasi, jadi mencari gcd dan lcm dari bilangan yang panjang tidak akan sulit
Apa itu NOD dan NOK?
Pembagi Umum Terbesar dari beberapa bilangan adalah bilangan bulat alami terbesar di mana semua bilangan asli habis dibagi tanpa sisa. Pembagi persekutuan terbesar disingkat GCD.
Kelipatan persekutuan terkecil beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi setiap bilangan asli tanpa sisa. Kelipatan persekutuan terkecil disingkat NOC.
Bagaimana cara memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi dengan bilangan lain tanpa sisa?
Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan lain tanpa sisa, Anda dapat menggunakan beberapa sifat pembagian bilangan. Kemudian, dengan menggabungkannya, seseorang dapat memeriksa pembagian oleh beberapa dari mereka dan kombinasinya.
Beberapa tanda pembagian bilangan
1. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 2
Untuk menentukan suatu bilangan habis dibagi dua (apakah genap), cukup dengan melihat angka terakhir dari bilangan tersebut: jika sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka bilangan tersebut genap, yang artinya habis dibagi 2.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 2.
Keputusan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut habis dibagi dua.
2. Tanda pembagian suatu bilangan dengan 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Jadi, untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 3, Anda perlu menghitung jumlah digitnya dan memeriksa apakah bilangan itu habis dibagi 3. Bahkan jika jumlah digitnya ternyata sangat besar, Anda dapat mengulangi proses yang sama lagi.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 3.
Keputusan: kita hitung jumlah angkanya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 3, artinya bilangan itu habis dibagi tiga.
3. Tanda pembagian suatu bilangan dengan 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka terakhirnya nol atau lima.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 5
Keputusan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut TIDAK habis dibagi lima.
4. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 9
Tanda ini sangat mirip dengan tanda habis dibagi tiga: suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 9.
Keputusan: kita hitung jumlah angkanya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 9, artinya bilangan itu habis dibagi sembilan.
Bagaimana cara mencari KPK dan KPK dari dua bilangan?
Bagaimana cara mencari KPK dari dua bilangan?
Paling dengan cara yang sederhana menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah menemukan semua pembagi yang mungkin dari bilangan-bilangan itu dan memilih yang terbesar dari mereka.
Pertimbangkan metode ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36) :
- Kami memfaktorkan kedua angka: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
- Kami menemukan faktor persekutuan, yaitu faktor-faktor yang dimiliki kedua angka: 1, 2 dan 2.
- Kami menghitung produk dari faktor-faktor ini: 1 2 2 \u003d 4 - ini adalah pembagi umum terbesar dari angka 28 dan 36.
Bagaimana cara mencari KPK dari dua bilangan?
Ada dua cara paling umum untuk menemukan kelipatan terkecil dari dua angka. Cara pertama adalah Anda dapat menuliskan kelipatan pertama dari dua angka, dan kemudian memilih di antara mereka angka yang sama untuk kedua angka dan sekaligus yang terkecil. Dan yang kedua adalah mencari KPK dari bilangan-bilangan tersebut. Mari kita pertimbangkan saja.
Untuk menghitung KPK, Anda perlu menghitung produk dari bilangan asli dan kemudian membaginya dengan FPB yang ditemukan sebelumnya. Carilah KPK dari bilangan 28 dan 36 yang sama:
- Tentukan hasil kali bilangan 28 dan 36: 28 36 = 1008
- gcd(28, 36) sudah diketahui 4
- KPK(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Mencari KPK dan KPK untuk Beberapa Angka
Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan untuk beberapa bilangan, dan bukan hanya untuk dua. Untuk ini, angka-angka yang ditemukan untuk pembagi persekutuan terbesar didekomposisi menjadi faktor-faktor prima, kemudian produk dari faktor-faktor prima umum dari angka-angka ini ditemukan. Selain itu, untuk mencari KPK dari beberapa bilangan, Anda dapat menggunakan hubungan berikut: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Relasi serupa juga berlaku untuk kelipatan bilangan persekutuan terkecil: KPK(a, b, c) = KPK(KPK(a, b), c)
Contoh: Tentukan KPK dan KPK dari bilangan 12, 32 dan 36.
- Pertama, faktorkan dulu bilangan-bilangannya: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Mari kita cari faktor persekutuan: 1, 2 dan 2 .
- Produk mereka akan memberikan gcd: 1 2 2 = 4
- Sekarang mari kita cari KPKnya: untuk ini kita cari KPK dulu (12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Untuk mencari KPK dari ketiga bilangan tersebut, Anda perlu mencari KPK(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , KPK = 1 2. 2 3 = 12 .
- KPK(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Materi yang disajikan di bawah ini adalah kelanjutan logis dari teori dari artikel di bawah judul KPK - kelipatan persekutuan terkecil, definisi, contoh, hubungan antara KPK dan PKS. Di sini kita akan berbicara tentang mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan memberikan perhatian khusus untuk memecahkan contoh. Mari kita tunjukkan terlebih dahulu bagaimana KPK dari dua bilangan dihitung dalam bentuk FPB dari bilangan-bilangan ini. Selanjutnya, pertimbangkan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Setelah itu kita akan fokus mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, dan juga memperhatikan perhitungan KPK dari bilangan negatif.
Navigasi halaman.
Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd
Salah satu cara untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah berdasarkan hubungan antara KPK dan KPK. Hubungan yang ada antara KPK dan PKS memungkinkan Anda menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif melalui pembagi persekutuan terbesar yang diketahui. Rumus yang sesuai memiliki bentuk KPK(a, b)=a b: KPK(a, b) . Perhatikan contoh mencari KPK menurut rumus di atas.
Contoh.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan 126 dan 70 .
Keputusan.
Dalam contoh ini a=126 , b=70 . Mari kita gunakan hubungan antara KPK dan KPK yang dinyatakan dengan rumus KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Artinya, pertama-tama kita harus mencari pembagi persekutuan terbesar dari angka 70 dan 126, setelah itu kita dapat menghitung KPK dari angka-angka tersebut sesuai dengan rumus tertulis.
Temukan gcd(126, 70) menggunakan algoritma Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , maka gcd(126, 70)=14 .
Sekarang kami menemukan kelipatan persekutuan terkecil yang diperlukan: KPK(126, 70)=126 70: KPK(126, 70)= 126 70:14=630 .
Menjawab:
KPK(126, 70)=630 .
Contoh.
Apa KPK(68, 34) ?
Keputusan.
Sebagai 68 habis dibagi 34 , lalu gcd(68, 34)=34 . Sekarang kita menghitung kelipatan persekutuan terkecil: KPK(68, 34)=68 34: KPK(68, 34)= 68 34:34=68 .
Menjawab:
KPK(68, 34)=68 .
Perhatikan bahwa contoh sebelumnya sesuai dengan aturan berikut untuk mencari KPK untuk bilangan bulat positif a dan b : jika bilangan a habis dibagi b , maka kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan tersebut adalah a .
Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima
Cara lain untuk mencari kelipatan persekutuan terkecil adalah dengan memfaktorkan bilangan menjadi faktor prima. Jika kita membuat produk dari semua faktor prima dari angka-angka ini, setelah itu kita mengecualikan dari produk ini semua faktor prima umum yang ada dalam perluasan angka-angka ini, maka produk yang dihasilkan akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari angka-angka ini.
Aturan yang diumumkan untuk mencari KPK mengikuti persamaan KPK(a, b)=a b: KPK(a, b). Memang, produk dari angka a dan b sama dengan produk dari semua faktor yang terlibat dalam ekspansi angka a dan b. Pada gilirannya, gcd(a, b) sama dengan produk dari semua faktor prima yang secara bersamaan hadir dalam ekspansi bilangan a dan b (yang dijelaskan pada bagian tentang menemukan gcd menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima ).
Mari kita ambil contoh. Diketahui bahwa 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Buatlah produk dari semua faktor dari ekspansi ini: 2 3 3 5 5 5 7 . Sekarang kita mengecualikan dari produk ini semua faktor yang ada baik dalam perluasan angka 75 dan dalam perluasan angka 210 (faktor-faktor tersebut adalah 3 dan 5), maka produk akan berbentuk 2 3 5 5 7 . Nilai perkalian ini sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan 75 dan 210, yaitu KPK(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Contoh.
Setelah memfaktorkan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima, tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan tersebut.
Keputusan.
Mari kita uraikan bilangan 441 dan 700 menjadi faktor prima:
Kami mendapatkan 441=3 3 7 7 dan 700=2 2 5 5 7 .
Sekarang mari kita buat perkalian dari semua faktor yang terlibat dalam pemuaian bilangan-bilangan ini: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Mari kita keluarkan dari produk ini semua faktor yang secara bersamaan hadir di kedua ekspansi (hanya ada satu faktor seperti itu - ini adalah angka 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Dengan demikian, KPK(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Menjawab:
KPK(441, 700)= 44 100 .
Aturan untuk mencari KPK menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima dapat dirumuskan sedikit berbeda. Jika kita menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan b ke faktor-faktor dari penguraian bilangan a, maka nilai hasil perkaliannya akan sama dengan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan a dan b.
Sebagai contoh, mari kita ambil semua bilangan yang sama 75 dan 210, ekspansinya menjadi faktor prima adalah sebagai berikut: 75=3 5 5 dan 210=2 3 5 7 . Untuk faktor 3, 5 dan 5 dari perluasan bilangan 75, kita tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 dari perluasan bilangan 210, kita mendapatkan hasil kali 2 3 5 5 7 , yang nilainya adalah KPK(75 , 210).
Contoh.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.
Keputusan.
Pertama-tama kita peroleh dekomposisi bilangan 84 dan 648 menjadi faktor prima. Mereka terlihat seperti 84=2 2 3 7 dan 648=2 2 2 3 3 3 3 . Untuk faktor 2 , 2 , 3 dan 7 dari perluasan bilangan 84 kita tambahkan faktor yang hilang 2 , 3 , 3 dan 3 dari perluasan bilangan 648 , kita peroleh hasil kali 2 2 2 3 3 3 3 7 , yang sama dengan 4 536 . Jadi, kelipatan persekutuan terkecil yang diinginkan dari bilangan 84 dan 648 adalah 4,536.
Menjawab:
KPK(84, 648)=4 536 .
Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih
Kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat dicari dengan mencari KPK dari dua bilangan secara berurutan. Ingat teorema yang sesuai, yang memberikan cara untuk menemukan KPK dari tiga angka atau lebih.
Dalil.
Misalkan bilangan bulat positif a 1 , a 2 , …, a k diberikan, kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan ini ditemukan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Pertimbangkan penerapan teorema ini pada contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan.
Contoh.
Tentukan KPK dari keempat bilangan tersebut 140 , 9 , 54 dan 250 .
Keputusan.
Dalam contoh ini a 1 = 140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Pertama kita temukan m 2 \u003d KPK (a 1, a 2) \u003d KPK (140, 9). Untuk melakukan ini, menggunakan algoritma Euclidean, kami menentukan gcd(140, 9 ), kami memiliki 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , oleh karena itu, gcd( 140, 9)=1 , dari mana KPK(140, 9)=140 9: KPK(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Yaitu, m 2 = 260 .
Sekarang kita temukan m 3 \u003d KPK (m 2, a 3) \u003d KPK (1 260, 54). Mari kita hitung melalui gcd(1 260, 54) , yang juga ditentukan oleh algoritma Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Kemudian gcd(1 260, 54)=18 , dari mana KPK(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Artinya, m 3 \u003d 3 780.
Kiri untuk menemukan m 4 \u003d KPK (m 3, a 4) \u003d KPK (3 780, 250). Untuk melakukan ini, kami menemukan GCD(3 780, 250) menggunakan algoritma Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Oleh karena itu, gcd(3 780, 250)=10 , dari mana gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Artinya, m 4 \u003d 94 500.
Jadi kelipatan persekutuan terkecil dari empat bilangan asli adalah 94.500.
Menjawab:
KPK(140, 9, 54, 250)=94,500.
Dalam banyak kasus, kelipatan persekutuan terkecil dari tiga bilangan atau lebih dapat ditemukan dengan mudah menggunakan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan yang diberikan. Dalam hal ini, aturan berikut harus diikuti. Kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan sama dengan hasil kali, yang tersusun sebagai berikut: faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua ditambahkan ke semua faktor dari perluasan bilangan pertama, faktor-faktor yang hilang dari perluasan angka ketiga ditambahkan ke faktor yang diperoleh, dan seterusnya.
Perhatikan contoh menemukan kelipatan persekutuan terkecil menggunakan penguraian bilangan menjadi faktor prima.
Contoh.
Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Keputusan.
Pertama, kita peroleh perluasan bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 faktor prima) dan 143=11 13 .
Untuk mencari KPK dari bilangan-bilangan ini, ke faktor-faktor dari bilangan pertama 84 (yaitu 2 , 2 , 3 dan 7 ) Anda perlu menambahkan faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua 6 . Perluasan angka 6 tidak mengandung faktor yang hilang, karena 2 dan 3 sudah ada dalam perluasan angka pertama 84 . Selanjutnya faktor 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor 2 dan 2 yang hilang dari pemuaian bilangan ketiga 48 , kita mendapatkan himpunan faktor 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 . Tidak perlu menambahkan faktor ke set ini di langkah berikutnya, karena 7 sudah ada di dalamnya. Akhirnya, pada faktor 2 , 2 , 2 , 2 , 3 dan 7 kita tambahkan faktor yang hilang 11 dan 13 dari perluasan bilangan 143 . Kami mendapatkan produk 2 2 2 2 3 7 11 13 , yang sama dengan 48 048 .