(mqs) (pns) (rnq) =

(nqs)3

set2D(0; 20; 4; 20);

;0 brūkšnys0 );

;0 brūkšnys0 );

;0 brūkšnys0 );

dash0);

p8 = pointPlot(4

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 ir 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 D 0];

showPlots(;0 noAxes0 );

set2D(3; 12; 2; 13);

;0 brūkšnys0 );

;0 brūkšnys0 );

;0 brūkšnys0 );

dash0);

;0 brūkšnys0 );

TREČIAS SKYRIUS

POLIEDRALIAI

II PRIZMĖS IR PIRAMIDĖS TŪMAS

82. Pagrindinės apimties prielaidos. Erdvės dalies, kurią užima geometrinis kūnas, dydis vadinamas šio kūno tūriu.

Mes nustatome užduotį - rasti šios reikšmės išraišką tam tikro skaičiaus, kuris matuoja šią reikšmę, pavidalu. Tai darydami vadovausimės šiais atskaitos taškais:

1) Vienodų kūnų tūris yra vienodas.

2) Kūno tūris(pavyzdžiui, kiekvienas gretasienis, pavaizduotas 87 pav.), sudarytas iš dalių(P ir Q), yra lygus šių dalių tūrių sumai.

Du kūnai, kurių tūris yra vienodas, vadinami lygiais.

83. Tūrio vienetas. Tūrio vienetui, matuodami juos, jie ima tokio kubo tūrį, kuriame kiekviena briauna lygi tiesiniam vienetui. Taigi dažni kubiniai metrai (m 3), kubiniai centimetrai (cm 3) ir kt.

Dėžutės tūris

84. Teorema.Stačiakampio gretasienio tūris lygus jo trijų matmenų sandaugai.

Tokioje trumpoje išraiškoje ši teorema turėtų būti suprantama taip: skaičius, išreiškiantis stačiakampio gretasienio tūrį kubiniame vienete, yra lygus skaičių, išreiškiančių tris jo matmenis atitinkamame tiesiniame vienete, sandaugai, t.y. yra kubo briauna, kurios tūris imamas kubiniu vienetu . Taigi, jei X yra skaičius, išreiškiantis stačiakampio tūrį kubiniais centimetrais, ir a, b ir Su-skaičiai, išreiškiantys tris jo matmenis tiesiniais centimetrais, tada teorema tai teigia x=abc.

Įrodyme ypač atsižvelgiame į šiuos tris atvejus:

1) Išmatavimai išreiškiami Sveiki skaičiai.

Tegu, pavyzdžiui, išmatavimai (88 pav.): AB = a, BC = b ir BD= c,
kur a, b ir Su- kai kurie sveikieji skaičiai (pavyzdžiui, kaip parodyta mūsų brėžinyje: a = 4, b= 2 ir Su= 5). Tada gretasienio pagrinde yra ab tokie kvadratai, kurių kiekvienas žymi atitinkamą kvadratinį vienetą. Akivaizdu, kad ant kiekvieno iš šių kvadratų galima įdėti vieną kubinį vienetą. Tada gausite sluoksnį (parodyta brėžinyje), susidedantį iš ab kubinių vienetų. Kadangi šio sluoksnio aukštis yra lygus vienam linijiniam vienetui, o viso dėžutės aukštis yra Su tokius vienetus, tada gretasienio viduje galima įdėti Su tokie sluoksniai. Todėl šio gretasienio tūris yra abc kubinių vienetų.

2) Išmatavimai išreiškiami trupmeniniai skaičiai. Tegul dėžutės matmenys yra:

m / n , p / q , r / s

. (Kai kurios iš šių trupmenų gali būti lygios sveikam skaičiui.) Sumažinus trupmenas iki to paties vardiklio, gauname:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Paimkime 1/ nqs tiesinio vieneto dalis naujam (pagalbiniam) ilgio vienetui. Tada šiame naujame šio gretasienio matavimo vienete jie bus išreikšti sveikaisiais skaičiais, būtent: mqs, pns ir rnq, todėl pagal tai, kas buvo įrodyta (1 atveju), gretasienio tūris yra lygus sandaugai ( mqs) (pns) (rnq), jei šis tūris matuojamas nauju kubiniu vienetu, atitinkančiu naują tiesinį vienetą. Tokie kubiniai vienetai viename kubiniame vienete, atitinkančiame buvusį tiesinį vienetą, turi ( nqs) 3; taigi naujasis kubinis vienetas yra 1 /( nqs) 3 iš pirmųjų. Todėl gretasienio tūris, išreikštas tais pačiais vienetais, yra lygus:

3) Išmatavimai išreiškiami neracionalūs skaičiai. Tegul šis gretasienis (89 pav.), kurį trumpumui žymime viena raide Q, turi išmatavimus:

AB = α; AC = β; AD = γ,

kur visi skaičiai α, β ir γ arba tik kai kurie iš jų yra neracionalūs.

Kiekvienas skaičius α, β ir γ gali būti pavaizduotas kaip begalinis dešimtainis skaičius. Paimkime apytiksles šių trupmenų vertes P dešimtųjų tikslumu, pirmiausia su trūkumu, o paskui su pertekliumi. Reikšmės su trūkumu bus pažymėtos α n , β n , γ n, vertės su pertekliumi α" n , β" n , γ" n. Kraštinėje AB, pradedant nuo taško A, nubraižykime dvi atkarpas AB 1 = α n ir AB 2 \u003d α " n.
Kraštinėje AC iš to paties taško A braižome atkarpas AC 1 = β n ir AC 2 = β" n o kraštinėje AD iš to paties taško-atkarpos AD 1 = γ n ir AD 2 = γ" n.

Tai darydami turėsime:

AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Dabar sukonstruokime du pagalbinius gretasienius; vienas (vadinkime Q 1) su matavimais AB 1, AC 1 ir AD 1, o kitas (vadinkime Q 2) su matavimais AB 2, AC 2 ir AD 2. Dėžutė Q 1 tilps į langelį Q, o dėžutėje Q 2 bus dėžutė Q.

Pagal tai, kas buvo įrodyta (2 atveju), turėsime:

tūris Q 1 \u003d α n β n γ n (1)

tūris Q 2 \u003d α " n β" n γ" n (2)

Pavadinkime garsumą Q 1< объёма Q 2 .

Pradėkime didinti skaičių P. Tai reiškia, kad apytiksles skaičių α , β , γ reikšmes imame vis tiksliau.

Pažiūrėkime, kaip šiuo atveju kinta gretasienių Q 1 ir Q 2 tūriai.

Su neribotu padidėjimu P tūris Q 1 akivaizdžiai didėja ir dėl lygybės (1) be galo didėja n turi produkto ribą (α n β n γ n). Tūris Q 2 akivaizdžiai mažėja ir dėl lygybės (2) turi sandaugos ribą (α " n β" n γ" n). Tačiau iš algebros žinoma, kad abu produktai
α n β n γ n ir α" n β" n γ" n su neribotu padidinimu P turi bendrą ribą, kuri yra iracionaliųjų skaičių αβγ sandauga.

Šią ribą laikome gretasienio Q tūrio matu: tūris Q = αβγ.

Galima įrodyti, kad taip apibrėžtas tūris atitinka apimtims nustatytas sąlygas (§ 82). Iš tiesų, naudojant šį tūrio apibrėžimą, vienodi gretasieniai turi vienodą tūrį. Todėl pirmoji sąlyga (§ 82) tenkinama. Dabar šį gretasienį Q plokštuma, lygiagrečia jo pagrindui, padalinkime į dvi: Q 1 ir Q 2 (90 pav.).

Tada turėsime:

tomas Q \u003d AB AC AD,
tomas Q 1 \u003d AB AA 1 AD,
tomas Q 2 \u003d A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

Pridėję terminą po termino paskutines dvi lygybes ir pastebėję, kad A 1 B 1 \u003d AB ir A 1 D 1 \u003d AD, gauname:

tūris Q 1 + tūris Q 2 \u003d AB AA 1 AD + AB A 1 C AD \u003d AB AD (AA 1 + A 1 C) \u003d AB AD AC, iš čia gauname:

tūris Q 1 + tūris Q 2 = tūris Q.

Vadinasi, antroji § 82 sąlyga taip pat tenkinama, jei gretasienis yra sulankstytas iš dviejų dalių, gautų jį nupjaunant plokštuma, lygiagrečia vienam iš paviršių.

85. Pasekmė. Tegul stačiakampio gretasienio, kuris yra jo pagrindo kraštinės, išmatavimai išreiškiami skaičiais a ir b, o trečiasis matmuo (aukštis) yra skaičius Su. Tada, žymėdami jo tūrį atitinkamais kubiniais vienetais raide V, galime parašyti:

V = abs.

Nuo pat darbo ab išreiškia pagrindo plotą, tada galime tai pasakyti Stačiakampės prizmės tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai .

komentuoti. Dviejų skirtingų pavadinimų kubinių vienetų santykis yra lygus trečiajai tų linijinių vienetų, kurie yra šių kubinių vienetų briaunos, santykio laipsniui. Taigi, kubinio metro ir kubinio decimetro santykis yra 10 3, t.y 1000. Todėl, pavyzdžiui, jei turime kubą, kurio kraštinės ilgis a linijiniai vienetai ir kitas kubas, kurio briauna yra 3 a tiesinius vienetus, tada jų tūrių santykis bus lygus 3 3, ty 27, kas aiškiai matyti iš 91 brėžinio.

86. Lemma. Pasvirusioji prizmė lygi tokiai tiesei prizmei, kurios pagrindas lygus statmenai pasvirosios prizmės pjūviui, o aukštis lygus jos šoninei briaunai.

Tegu duota įstrižinė prizmė ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (92 pav.).

Tęskime visus jo šoninius kraštus ir šoninius paviršius ta pačia kryptimi.

Paimkite savavališką tašką vienos iš kraštų tęsinyje a ir nubrėžkite per ją statmeną atkarpą a B C D E. Tada atidėti aa 1 \u003d AA 1, nubrėžkime a 1 statmena pjūvis a 1 b 1 c 1 d 1 e vienas . Kadangi abiejų atkarpų plokštumos lygiagrečios, tai bb 1 = ss 1 = dd 1 = ji 1 = aa 1 = AA 1 (§17). Dėl to daugiakampis a 1 d, kuriai mūsų nubraižytos atkarpos laikomos bazėmis, yra tiesioginė prizmė, kuri paminėta teoremoje.

Įrodykime, kad duotoji įstrižinė prizmė yra lygi šiai tiesei. Norėdami tai padaryti, pirmiausia įsitikiname, kad daugiakampis a D ir a 1 D 1 yra lygūs. jų pamatai a B C D E ir a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 yra lygūs prizmės pagrindams a 1 d; kita vertus, prie abiejų lygybės dalių pridėjus A 1 A = a 1 a išilgai tos pačios linijos atkarpa A1 a, mes gauname: a A = a 1 A 1; kaip šitas b B = b 1 iš 1, Su C = Su 1 C 1 ir tt Dabar įsivaizduokime, kad daugiakampis a D yra įterptas į daugiakampį a 1 D 1, kad jų pagrindai sutaptų; tada šoninės briaunos, būdamos statmenos pagrindams ir atitinkamai lygios, taip pat sutaps; taigi daugiakampis a D yra suderinamas su daugiakampiu a 1 D 1; taigi šie kūnai yra lygūs. Dabar atkreipkite dėmesį, kad jei į tiesią prizmę a 1 d pridėti daugiakampį a D ir pridėkite daugiakampį prie pasvirosios prizmės A 1 D a 1 D 1 lygus a D, tada gauname tą patį daugiakampį a 1 D. Iš to seka, kad dvi prizmės A 1 D ir a 1 d yra lygūs.

87. Teorema. Lygiagretaus vamzdžio tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Anksčiau šią teoremą įrodėme stačiakampei gretasieniui, dabar įrodysime stačiakampei gretasieniui, o paskui įstrižai.

vienas). Tegu (93 pav.) AC 1 yra tiesus gretasienis, t.y. kurio pagrindas ABCD yra koks nors lygiagretainis, o visi šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.

Paimkime į jį pagrindo šoninį paviršių AA 1 B 1 B; tada gretasienis bus
n a c l o n n y. Laikydami jį specialiu nuožulniosios prizmės atveju, remiantis ankstesnės atkarpos lema, galime teigti, kad šis gretasienis savo dydžiu yra lygus tokiam stačiajam gretasieniui, kurio pagrindas yra statmena atkarpa MNPQ, o aukštis yra BC. Keturkampis MNPQ yra stačiakampis, nes jo kampai yra tiesiniai dešiniųjų dvikampių kampai; todėl stačiakampis gretasienis, kurio pagrindas yra stačiakampis MNPQ, turi būti stačiakampis, todėl jo tūris yra lygus jo trijų matmenų sandaugai, kurią galima laikyti atkarpomis MN, MQ ir BC. Šiuo būdu,

tomas AC 1 \u003d MN MQ BC \u003d MN (MQ BC).

Tačiau sandauga MQ BC išreiškia lygiagretainio ABCD plotą

tūris ACX \u003d (sritis ABCD) MN \u003d (sritis ABCD) BB 1.

2) Tegul (94 pav.) AC 1 yra pasviręs gretasienis.

Dydžiu jis yra lygus tokiai tiesei, kurioje statmena atkarpa MNPQ yra pagrindas (tai yra statmena kraštams AD, BC, . . .), o aukštis yra briauna BC. Bet, remiantis tuo, kas buvo įrodyta, dešiniojo gretasienio tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai; reiškia,

tūris AC 1 \u003d (plotas MNPQ) BC.

Jei RS yra atkarpos MNPQ aukštis, tai plotas MNPQ = MQ RS, taigi

tomas AC 1 \u003d MQ RS BC \u003d (BC MQ) RS.

Produktas BC MQ išreiškia lygiagretainio ABCD plotą; todėl tūris AC 1 \u003d (sritis ABCOD) RS.

Dabar belieka įrodyti, kad atkarpa RS yra gretasienio aukštis. Iš tiesų, atkarpa MNPQ, statmena briaunoms BC, B 1 C 1 , .. . , turi būti statmenos paviršiams ABCD, BB 1 C 1 C, ...., einantiems per šias briaunas (§ 43). Todėl, jei statysime statmeną plokštumai ABCD nuo taško S, tada ji turi būti visiškai plokštumoje MNPQ (§ 44) ir todėl turi susilieti su tiese RS, kuri yra šioje plokštumoje ir yra statmena MQ. Vadinasi, atkarpa SR yra gretasienio aukštis. Taigi pasvirusio gretasienio tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Pasekmė. Jei V, B ir H yra skaičiai, atitinkamais vienetais išreiškiantys gretasienio tūrį, pagrindo plotą ir aukštį, tai galime rašyti.

Šioje pamokoje kalbėsime apie stačiakampę dėžę. Prisiminkime kai kurias jo savybes. Ir tada mes išsamiai išvedame stačiakampio gretasienio tūrio skaičiavimo formules. Pamokos „Stabučio tūris“ santrauka Šioje pamokoje kalbėsime apie stačiakampį. Prisiminkime kai kurias jo savybes. Ir tada mes išsamiai išvedame stačiakampio gretasienio tūrio skaičiavimo formules. Anksčiau mes jau susitikome su stačiakampiu gretasieniu. Prisiminkite, kad langelis vadinamas stačiakampiu, jei visi šeši jo paviršiai yra stačiakampiai. Stačiakampio formos idėją suteikia degtukų dėžutė, dėžutė, šaldytuvas ir kt. Įsivaizduokime stačiakampio formos kambarį. Jei mes kalbame apie jo matmenis, tada dažniausiai vartojami žodžiai „ilgis“, „plotis“ ir „aukštis“, nurodant trijų kraštų, turinčių bendrą viršūnę, ilgius. Geometrijoje šiuos tris dydžius vienija bendras pavadinimas: stačiakampio gretasienio matmenys. Ekrane rodomas stačiakampis stačiakampis, nes galima išmatuoti jo išmatavimus, pavyzdžiui, briaunų ilgius, šios briaunos turi bendrą stačiakampio viršūnę, - plotis ir Stačiakampis stačiakampis turi šias savybes: 1) įstrižainės kvadratas. stačiakampio yra lygus jo trijų matmenų kvadratų sumai. yra duotosios ilgis. Tada kraštas yra jo aukštis. . Visuose ir 2) stačiakampio gretasienio tūris yra lygus jo trijų matmenų sandaugai. Taigi teisinga tokia teorema: stačiakampio gretasienio tūris lygus jo trijų matmenų sandaugai. Įrodykime šią teoremą. Stačiakampio gretasienio matmenis duosime raidėmis Įrodykime, kad stačiakampio gretasienio tūris lygus, o jo tūris – raidei. Pažymime ir. , . Galimi du atvejai: Apsvarstykite pirmąjį atvejį. Dešimtainių trupmenų matavimai, kuriuose skaitmenų po kablelio skaičius neviršija, yra galutiniai ir (,). Šiuo atveju skaičiai ir yra sveikieji skaičiai. Kiekvieną gretasienio kraštą padaliname į lygias ilgio dalis. Tada per padalijimo taškus nubrėžiame šiai briaunai statmenas plokštumas. Tada mūsų dėžutė bus padalinta į vienodus kubelius su kiekvieno krašto ilgiu. Bendras tokių kubelių skaičius bus lygus. Kadangi kiekvieno tokio kubo tūris yra lygus, viso gretasienio tūris bus lygus. Tuo mes įrodėme, kad stačiakampio gretasienio tūris yra lygus jo trijų matmenų sandaugai. Q.E.D. Pereikime prie antrojo atvejo. Bent vienas iš matmenų yra begalinė dešimtainė trupmena. , ir atstovauja Apsvarstykite galutines skaičių po kablelio trupmenas c, -th. , kurie gaunami iš, jei kiekviename iš jų atmesime visus skaitmenis po kablelio, pradedant Atkreipkite dėmesį, kad tada nelygybė yra teisinga Panašios nelygybės galios ir skaičiams, kur ir: . , kur,. Padauginkime šias nelygybes. Tada mes tai matome. Iš nelygybės aišku, kad dėžutė yra dėžutė ir pati yra dėžutėje. Ir tai sako. Dabar didinkime neribotą laiką, kad taptume savavališkai maži, todėl skaičius mažai skiriasi nuo skaičiaus. . Tada skaičius bus savavališkai Dėl to jie taps lygūs. Tie. . Q.E.D. Ši teorema turi tokias pasekmes. Pirmoji pasekmė. Stačiakampės prizmės tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai. Įrodymas. Tegul veidas su kraštais stačiakampio gretasienio. Tada pagrindo plotas yra gretasienio aukštis ir. yra pagrindas, o tada matote, kad stačiakampio gretasienio tūrio apskaičiavimo formulė yra pagrindo plotas, yra stačiakampio gretasienio aukštis. galima parašyti tokia forma, kur Taigi, mes įrodėme, kad stačiakampio gretasienio tūris yra lygus. Q.E.D. Antroji pasekmė. Stačios prizmės, kurios pagrindas yra stačiakampis, tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai. Įrodymas. Norėdami įrodyti šį teiginį, užbaigkime stačią trikampę prizmę su gretasienio pagrindu, kaip parodyta ekrane. Atsižvelgiant į pirmąją pasekmę, šio gretasienio tūris yra lygus kur yra pagrindo plotas) iki stačiakampio (, yra prizmės aukštis. , padalija gretasienį į dvi lygias tiesias prizmes, iš kurių viena yra duotoji plokštuma.Šios prizmės yra lygios,nes turi vienodus pagrindus ir vienodus aukščius.Todėl šios prizmės tūris yra lygus, t.y. lygus įrodyti Pastaba. Apsvarstykite kvadratą su kraštine a. Kaip reikia Remiantis Pitagoro teorema, jos įstrižainė yra lygus. Todėl ant jo pastatyto kvadrato plotas yra du kartus didesnis už šio kvadrato plotą. Taigi nesunku sukurti kvadrato kraštinę, kurios plotas būtų du kartus didesnis už duoto kvadrato plotą .Dabar apsvarstykite kubą, kurio kraštinė a. Kyla klausimas: ar galima naudojant kompasą ir tiesiąją briauną sukurti kubo kraštinę, kurios tūris yra du kartus didesnis už duoto kubo tūrį, t. y. sudaryti atkarpą, lygią? Ši problema buvo suformuluota senovėje. Ji buvo pavadinta „Kubo padvigubinimo problema“. Tik 1837 metais prancūzų matematikas Pierre'as Laurent'as Vanzelis įrodė, kad tokia konstrukcija neįmanoma. Tuo pačiu jis įrodė ir kitos konstrukcijos problemos – kampo trisiekcijos problemos – neišsprendžiamumą (savavališkai duotas kampas padalintas į tris vienodus kampus). Prisiminkite, kad apskritimo kvadratūra (statant kvadratą, kurio plotas lygus tam tikro apskritimo plotui) taip pat priklauso klasikinių neišsprendžiamų statybos problemų klasei. Tokios konstrukcijos neįmanomumą 1882 metais įrodė vokiečių matematikas Carlas Louisas Ferdinandas Lindemannas. Užduotis: rasti stačiakampio su įstrižomis pagrindo kraštinėmis tūrį Sprendimas: parašyti formulę, kaip apskaičiuoti stačiakampio tūrį pagal jo matavimus. cm ir cm. cm ir Iš uždavinio sąlygos žinome stačiakampio gretasienio ilgį, plotį ir įstrižainę, tačiau jo aukštis nežinomas. Prisiminkite tai. Iš šios formulės išreiškiame aukštį, kurio aukštis yra (cm). stačiakampis gretasienis. Gauname ir lygūs Pakeiskime savo stačiakampio gretasienio matmenis į tūrio formulę. Suskaičiuokime. Gauname, kad gretasienio tūris lygus Nepamirškite užrašyti atsakymo. (cm3). Užduotis: kvadratas. Stačiakampio tūris lygus stačiakampio aukščiui, jei stačiakampio, pagrindas yra cm3. Nustatykite Žr. Sprendimą: Šioje pamokoje įrodėme, kad stačiakampio tūris yra lygus. Išreikškite aukštį pagal formulę. Vadinasi, aukštis lygus. Kadangi mūsų stačiakampio gretasienio pagrindas pagal sąlygą yra kvadratas, pagrindo plotas lygus stačiakampio gretasienio tūriui (cm2). Pagal problemos būklę taip pat žinoma, kad. Taigi aukštis (cm). Užsirašykime atsakymą. lygus sumoms: Šioje pamokoje prisiminėme stačiakampio sąvoką. Įrodėme, kad stačiakampio gretasienio tūris yra lygus jo trijų matmenų sandaugai. Įrodėme, kad stačiakampio gretasienio tūrį galima apskaičiuoti kaip pagrindo ploto ir aukščio sandaugą. Jie taip pat įrodė, kad stačios prizmės, kurios pagrindas yra stačiakampis, tūris yra lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai.

Prizmė vadinama gretasienis jei jo pagrindai yra lygiagretainiai. Cm. 1 pav.

Dėžutės savybės:

Priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagretūs (t. y. yra lygiagrečiose plokštumose) ir lygūs.

Gretasienio įstrižainės susikerta viename taške ir dalija tą tašką.

Gretimi dėžutės veidai yra du veidai, turintys bendrą kraštą.

Priešingi gretasienio veidai– veidai, kurie neturi bendrų kraštų.

Priešingos dėžutės viršūnės yra dvi viršūnės, kurios nepriklauso tam pačiam veidui.

Dėžutės įstrižainė Linijos atkarpa, jungianti priešingas viršūnes.

Jei šoninės briaunos statmenos pagrindų plokštumoms, vadinasi gretasienis tiesioginis.

Vadinamas stačiakampis gretasienis, kurio pagrindai yra stačiakampiai stačiakampis. Prizmė, kurios visi paviršiai yra kvadratai, vadinama kubas.

Lygiagretaus vamzdžio Prizmė, kurios pagrindai yra lygiagretainiai.

Dešinysis gretasienis- gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindo plokštumai.

stačiakampis yra stačiakampis gretasienis, kurio pagrindai yra stačiakampiai.

kubas yra stačiakampis gretasienis vienodomis briaunomis.

Lygiagretaus vamzdžio vadinama prizmė, kurios pagrindas yra lygiagretainis; taigi gretasienis turi šešis paviršius ir visi jie yra lygiagretainiai.

Priešingi veidai poromis yra lygūs ir lygiagrečiai. Lygiagretainis turi keturias įstrižaines; jie visi susikerta viename taške ir jame dalijasi pusiau. Bet koks veidas gali būti naudojamas kaip pagrindas; tūris lygus pagrindo ploto ir aukščio sandaugai: V = Sh.

Stačiakampis vadinamas gretasieniu, kurio keturi šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.

Dešinysis gretasienis, kurio visi šeši paviršiai yra stačiakampiai, vadinamas stačiakampiu. Cm. 2 pav.

Stačiojo gretasienio tūris (V) yra lygus pagrindo ploto (S) ir aukščio (h) sandaugai: V = Š .

Stačiakampio gretasienio, be to, formulė V = abc, kur a,b,c yra briaunos.

Stačiakampio įstrižainė (d) yra susijusi su jos kraštinėmis ryšiu d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

stačiakampis- gretasienis, kurio šoninės briaunos yra statmenos pagrindams, o pagrindai yra stačiakampiai.

Kuboido savybės:

Stačiakampyje visi šeši veidai yra stačiakampiai.

Visi stačiakampio formos dvikampiai kampai yra stačiakampiai.

Stačiakampio gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus jo trijų matmenų (trijų kraštinių, turinčių bendrą viršūnę, ilgių) kvadratų sumai.

Stačiakampio gretasienio įstrižainės lygios.

Stačiakampis gretasienis, kurio visi paviršiai yra kvadratai, vadinamas kubu. Visos kubo briaunos yra lygios; kubo tūris (V) išreiškiamas formule V = a 3, kur a yra kubo kraštas.

Bet kurį geometrinį kūną galima apibūdinti paviršiaus plotu (S) ir tūriu (V). Plotas ir tūris nėra tas pats dalykas. Pavyzdžiui, objektas gali turėti santykinai mažą V ir didelę S raidę, taip veikia žmogaus smegenys. Paprastoms geometrinėms figūroms šiuos rodiklius apskaičiuoti daug lengviau.

Lygiagretusis vamzdis: apibrėžimas, tipai ir savybės

Lygiagretainis yra keturkampė prizmė, kurios pagrinde yra lygiagretainis. Kodėl jums gali prireikti formulės figūros tūriui rasti? Panašios formos yra knygos, pakavimo dėžės ir daugelis kitų kasdienio gyvenimo dalykų. Patalpos gyvenamuosiuose ir biurų pastatuose, kaip taisyklė, yra stačiakampiai gretasieniai. Norint įrengti vėdinimą, oro kondicionavimą ir nustatyti šildymo elementų skaičių patalpoje, reikia apskaičiuoti patalpos tūrį.

Paveikslas turi 6 paviršius – lygiagretainius ir 12 briaunų, du savavališkai parinkti paviršiai vadinami pagrindais. Lygiagretainis gali būti kelių tipų. Skirtumai atsiranda dėl kampų tarp gretimų kraštų. Įvairių daugiakampių V raidžių formulės šiek tiek skiriasi.

Jei 6 geometrinės figūros veidai yra stačiakampiai, tada ji taip pat vadinama stačiakampiu. Kubas yra specialus gretasienio atvejis, kuriame visi 6 paviršiai yra lygūs kvadratai. Šiuo atveju, norint rasti V, reikia žinoti tik vienos kraštinės ilgį ir pakelti ją į trečią laipsnį.

Norėdami išspręsti problemas, jums reikės žinių ne tik apie paruoštas formules, bet ir apie figūros savybes. Stačiakampės prizmės pagrindinių savybių sąrašas yra mažas ir labai lengvai suprantamas:

1. Priešingi figūros veidai yra lygūs ir lygiagrečiai. Tai reiškia, kad priešais esantys šonkauliai yra vienodo ilgio ir pasvirimo kampo.
2. Visi dešiniojo gretasienio šoniniai paviršiai yra stačiakampiai.
3. Keturios pagrindinės geometrinės figūros įstrižainės susikerta viename taške ir padalija ją pusiau.
4. Gretasienio įstrižainės kvadratas yra lygus figūros matmenų kvadratų sumai (iš Pitagoro teoremos).

Pitagoro teorema teigia, kad kvadratų, pastatytų ant stačiojo trikampio kojelių, plotų suma yra lygi trikampio, pastatyto ant to paties trikampio hipotenuzos, plotui.

Paskutinio turto įrodymą galite pamatyti žemiau esančiame paveikslėlyje. Problemos sprendimo eiga paprasta ir nereikalauja išsamių paaiškinimų.

Stačiakampio gretasienio tūrio formulė

Visų tipų geometrinių figūrų radimo formulė yra ta pati: V=S*h, kur V – norimas tūris, S – gretasienio pagrindo plotas, h – aukštis, nuleistas nuo priešingos viršūnės ir statmenai pagrindui. Stačiakampyje h sutampa su viena iš figūros kraštinių, todėl norint rasti stačiakampės prizmės tūrį, reikia padauginti tris matavimus.

Tūris paprastai išreiškiamas cm3. Žinant visas tris reikšmes a, b ir c, rasti figūros tūrį visai nėra sunku. Dažniausia USE problema yra gretasienio tūrio arba įstrižainės paieška. Neįmanoma išspręsti daugelio tipiškų USE užduočių be stačiakampio tūrio formulės. Užduoties pavyzdys ir jos sprendimo dizainas parodytas paveikslėlyje žemiau.

1 pastaba. Stačiakampės prizmės paviršiaus plotą galima rasti trijų figūros paviršių: pagrindo (ab) ir dviejų gretimų šoninių paviršių (bc + ac) plotų sumą padauginus iš 2.

Užrašas 2. Šoninių paviršių paviršiaus plotą galima lengvai rasti padauginus pagrindo perimetrą iš gretasienio aukščio.

Remiantis pirmąja gretasienio savybe, AB = A1B1, o paviršius B1D1 = BD. Pagal Pitagoro teoremos pasekmes stačiojo trikampio visų kampų suma yra lygi 180 °, o koja, priešinga 30 ° kampui, yra lygi hipotenuzei. Taikydami šias žinias trikampiui, galime nesunkiai rasti kraštinių AB ir AD ilgį. Tada gautas vertes padauginame ir apskaičiuojame gretasienio tūrį.

Pasvirusios dėžės tūrio nustatymo formulė

Norint rasti pasvirusio gretasienio tūrį, reikia padauginti figūros pagrindo plotą iš aukščio, nuleisto iki šio pagrindo iš priešingo kampo.

Taigi norimą V galima pavaizduoti kaip h – lapų, kurių pagrindo plotas S, skaičius, taigi kaladės tūrį sudaro visų kortų V.

Problemų sprendimo pavyzdžiai

Vieno egzamino užduotys turi būti įvykdytos per tam tikrą laiką. Įprastose užduotyse, kaip taisyklė, nėra daug skaičiavimų ir sudėtingų trupmenų. Dažnai studentui siūloma rasti netaisyklingos geometrinės figūros tūrį. Tokiais atvejais turėtumėte atsiminti paprastą taisyklę, kad bendras tūris yra lygus sudedamųjų dalių V sumai.

Kaip matote iš aukščiau esančio pavyzdžio, sprendžiant tokias problemas nėra nieko sudėtingo. Atliekant užduotis iš sudėtingesnių skyrių, reikia žinoti Pitagoro teoremą ir jos pasekmes, taip pat figūros įstrižainės ilgio formulę. Norint sėkmingai išspręsti testo užduotis, pakanka iš anksto susipažinti su tipinių užduočių pavyzdžiais.