Kaip rasti įvairių formų plotą. Trikampio plotas
Visos plokštumos figūrų ploto formulės
Lygiašonės trapecijos plotas
1. Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal kraštines ir kampą
a - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
c - lygios pusės
α - kampas prie apatinio pagrindo
Lygiašonės trapecijos ploto pagal kraštines formulė (S):
Lygiašonės trapecijos ploto pagal kraštines ir kampo formulė (S):
2. Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį
R- įbrėžto apskritimo spindulys
D- įbrėžto apskritimo skersmuo
O – įrašytas apskritimo centras
H – trapecijos aukštis
α, β - trapecijos kampai
Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įbrėžto apskritimo spindulį (S):
FAIR, įbrėžtam apskritimui lygiašone trapecija:
3. Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įstrižaines ir kampą tarp jų
trapecijos d-įstrižainė
α,β- kampai tarp įstrižainių
Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal įstrižaines ir kampą tarp jų (S):
4. Lygiašonės trapecijos ploto per vidurinę liniją, šoninę kraštinę ir kampą prie pagrindo formulė
c- pusė
m- vidurinė trapecijos linija
α, β - kampai prie pagrindo
Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal vidurinę liniją, šoninę pusę ir kampą prie pagrindo,
(S): 
5. Lygiašonės trapecijos ploto formulė pagal pagrindą ir aukštį
a - apatinis pagrindas
b - viršutinė bazė
h - trapecijos aukštis
Lygiašonės trapecijos ploto bazės ir aukščio formulė (S):
Trikampio plotas, kuriame nurodyta kraštinė ir du kampai, formulė.
a, b, c - trikampio kraštinės
α, β, γ – priešingi kampai
Trikampio plotas per kraštinę ir du kampus (S):
Taisyklingo daugiakampio ploto formulė
a - daugiakampio pusė
n - kraštinių skaičius
Taisyklingo daugiakampio plotas (S):
Trikampio ploto pusiau perimetro (S) formulė (Herono):
Lygiakraščio trikampio plotas yra:
Formulės lygiakraščio trikampio plotui apskaičiuoti.
a - trikampio kraštinė
h - aukštis
Kaip apskaičiuoti lygiašonio trikampio plotą?
b - trikampio pagrindas
a – lygios pusės
h - aukštis
3. Trapecijos ploto pagal keturias puses formulė
a - apatinis pagrindas
b - viršutinė bazė
c, d - šonai
Trapecijos apibrėžtojo apskritimo spindulys šonuose ir įstrižainėse
a - trapecijos šonai
c - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
d - įstrižainė
h - aukštis
Apriboto trapecijos apskritimo spindulio formulė (R)
raskite lygiašonio trikampio apskritimo spindulį išilgai kraštinių
Žinodami lygiašonio trikampio kraštines, galite naudoti formulę norėdami rasti apibrėžto apskritimo spindulį aplink šį trikampį.
a, b - trikampio kraštinės
Lygiašonio trikampio (R) apibrėžtojo apskritimo spindulys:
Įbrėžto apskritimo spindulys šešiakampyje
a - šešiakampio pusė
Įbrėžto apskritimo šešiakampyje spindulys (r):
Įbrėžto apskritimo spindulys rombe
r - įbrėžto apskritimo spindulys
a - rombo pusė
D, d - įstrižainės
h - deimanto aukštis
Įbrėžto apskritimo spindulys lygiašone trapecija
c - apatinė bazė
b - viršutinė bazė
a - šonai
h - aukštis
Įbrėžto apskritimo spindulys stačiakampiame trikampyje
a, b - trikampio kojos
c - hipotenuzė
Įbrėžto apskritimo spindulys lygiašoniame trikampyje
a, b - trikampio kraštinės
Įrodykite, kad įbrėžto keturkampio plotas yra
\/(p - a) (p - b) (p - c) (p - d),
čia p yra pusperimetras, o a, b, c ir d yra keturkampio kraštinės.
Įrodykite, kad į apskritimą įbrėžto keturkampio plotas yra
1/2 (ab + cb) sin α, kur a, b, c ir d yra keturkampio kraštinės, o α yra kampas tarp kraštinių a ir b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Skaitykite daugiau FB.ru:
Savavališko keturkampio plotas (1.13 pav.) gali būti išreikštas jo kraštinėmis a, b, c ir priešingų kampų poros suma:
čia p yra keturkampio pusperimetras.
Į apskritimą () įbrėžto keturkampio plotas (1.14 pav., a) apskaičiuojamas pagal Brahmaguptos formulę
ir aprašyta (1.14 pav., b) () - pagal formulę
Jei keturkampis įrašomas ir aprašomas vienu metu (1.14 pav., c), tai formulė tampa gana paprasta:
Piko formulė
Norint įvertinti daugiakampio plotą languotame popieriuje, pakanka apskaičiuoti, kiek langelių apima šis daugiakampis (ląstelės plotą imame kaip vienetą). Tiksliau, jei S yra daugiakampio plotas, yra ląstelių, kurios yra visiškai daugiakampio viduje, skaičius ir yra ląstelių, turinčių bent vieną bendrą tašką su daugiakampio vidumi, skaičius.
Toliau nagrinėsime tik tokius daugiakampius, kurių visos viršūnės yra languoto popieriaus mazguose – tuose, kur tinklelio linijos susikerta. Pasirodo, tokiems daugiakampiams galite nurodyti šią formulę:
kur yra plotas, r yra mazgų, esančių griežtai daugiakampio viduje, skaičius.
Ši formulė vadinama „Piko formule“ pagal matematiką, kuris ją atrado 1899 m.
kvadratai geometrines figūras- skaitinės reikšmės, apibūdinančios jų dydį dvimatėje erdvėje. Šią vertę galima išmatuoti sisteminiais ir nesisteminiais vienetais. Taigi, pavyzdžiui, nesisteminis ploto vienetas yra šimtas, hektaras. Taip yra, jei išmatuotas paviršius yra žemės sklypas. Sistemos ploto vienetas yra ilgio kvadratas. SI sistemoje įprasta laikyti, kad plokščio paviršiaus ploto vienetas yra kvadratinis metras. CGS ploto vienetas išreiškiamas kvadratiniais centimetrais.
Geometrija ir ploto formulės yra neatsiejamai susijusios. Šis ryšys slypi tame, kad plokščių figūrų plotai apskaičiuojami būtent pagal jų taikymą. Daugeliui figūrų išvedami keli variantai, pagal kuriuos apskaičiuojami jų kvadratiniai dydžiai. Remdamiesi problemos teiginio duomenimis, galime nustatyti paprasčiausią jos sprendimo būdą. Tai palengvina skaičiavimą ir sumažina skaičiavimo klaidų tikimybę iki minimumo. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite pagrindinę geometrijos figūrų sritį.
Bet kurio trikampio ploto nustatymo formulės pateikiamos keliais būdais:
1) Trikampio plotas apskaičiuojamas pagal pagrindą a ir aukštį h. Pagrindas yra figūros pusė, ant kurios nuleistas aukštis. Tada trikampio plotas yra:
2) Stačiakampio trikampio plotas apskaičiuojamas lygiai taip pat, jei hipotenuzė laikoma pagrindu. Tačiau jei kojelė bus laikoma pagrindu, tada stačiakampio trikampio plotas bus lygus perpus perpjautų kojų sandaugai.
Bet kurio trikampio ploto apskaičiavimo formulės tuo nesibaigia. Kitoje išraiškoje yra pusės a,b ir kampo γ tarp a ir b sinusoidinė funkcija. Sinuso reikšmė pateikiama lentelėse. Jį taip pat galima rasti naudojant skaičiuotuvą. Tada trikampio plotas yra:
Pagal šią lygybę taip pat galite įsitikinti, kad stačiojo trikampio plotas nustatomas pagal kojų ilgius. Nes kampas γ yra stačiakampis, todėl stačiojo trikampio plotas apskaičiuojamas nedauginant iš sinuso funkcijos.
3) Apsvarstykite specialų atvejį – taisyklingąjį trikampį, kurio kraštinė a žinoma pagal sąlygą arba sprendžiant galima rasti jos ilgį. Apie figūrą geometrijos uždavinyje daugiau nieko nežinoma. Tada kaip rasti šią zoną? Šiuo atveju taikoma taisyklingo trikampio ploto formulė:
Stačiakampis
Kaip rasti stačiakampio plotą ir naudoti kraštinių, turinčių bendrą viršūnę, matmenis? Skaičiavimo išraiška yra tokia:
Jei norite naudoti įstrižainių ilgius stačiakampio plotui apskaičiuoti, jums reikia kampo, susidarančio joms susikerta, sinusinės funkcijos. Stačiakampio ploto formulė yra tokia:
Kvadratas
Kvadrato plotas apibrėžiamas kaip antrasis kraštinės ilgio laipsnis:
Įrodymas išplaukia iš apibrėžimo, kad stačiakampis vadinamas kvadratu. Visos kraštinės sudaro kvadratą tie patys dydžiai. Todėl tokio stačiakampio ploto apskaičiavimas sumažinamas iki padauginimo iš kito, ty iki antrosios pusės laipsnio. Ir kvadrato ploto apskaičiavimo formulė įgis norimą formą.
Kvadrato plotą galima rasti kitu būdu, pavyzdžiui, jei naudojate įstrižainę:
Kaip apskaičiuoti figūros plotą, kurį sudaro plokštumos dalis, kurią riboja apskritimas? Norėdami apskaičiuoti plotą, naudojamos šios formulės:
Lygiagretainis
Lygiagretainio formulėje yra tiesiniai kraštinės matmenys, aukštis ir matematinis veiksmas – daugyba. Jei aukštis nežinomas, kaip rasti lygiagretainio plotą? Yra ir kitas skaičiavimo būdas. Tam reikės tam tikros vertės, kuri užtruks trigonometrinė funkcija gretimų kraštinių suformuotas kampas, taip pat jų ilgis.
Lygiagretainio ploto formulės yra šios:
Rombas
Kaip rasti keturkampio, vadinamo rombu, plotą? Rombo plotas nustatomas naudojant paprastas matematines operacijas su įstrižainėmis. Įrodymas remiasi tuo, kad įstrižainės atkarpos ties d1 ir d2 susikerta stačiu kampu. Sinusų lentelė rodo, kad stačiu kampu suteikta funkcija yra lygus vienam. Todėl rombo plotas apskaičiuojamas taip:
Rombo plotą galima rasti ir kitu būdu. Taip pat nesunku tai įrodyti, turint omenyje, kad jo kraštinės yra vienodo ilgio. Tada pakeiskite jų sandaugą panašia lygiagretainio išraiška. Juk ypatingas šios figūros atvejis yra rombas. Čia γ yra vidinis rombo kampas. Rombo plotas nustatomas taip:
Trapecija
Kaip rasti trapecijos plotą per pagrindus (a ir b), jei užduotyje nurodyti jų ilgiai? Čia be žinomos aukščio ilgio h reikšmės nebus įmanoma apskaičiuoti tokios trapecijos ploto. Nes šioje reikšmėje yra skaičiavimo išraiška:
Taip pat galima apskaičiuoti ir stačiakampės trapecijos kvadrato dydį. Tuo pačiu metu atsižvelgiama į tai, kad stačiakampėje trapecijoje aukščio ir kraštinės sąvokos yra sujungtos. Todėl stačiakampei trapecijai reikia nurodyti kraštinės ilgį, o ne aukštį.
Cilindras ir gretasienis
Apsvarstykite, ko reikia norint apskaičiuoti viso cilindro paviršių. Šios figūros plotas yra apskritimų pora, vadinama bazėmis, ir šoninis paviršius. Apskritimų, sudarančių apskritimus, spindulio ilgis lygus r. Cilindro plotui apskaičiuojamas toks:
Kaip rasti gretasienio plotą, kurį sudaro trys veidų poros? Jo išmatavimai atitinka tam tikrą porą. Priešingi veidai turi tuos pačius parametrus. Pirmiausia suraskite S(1), S(2), S(3) - nelygių veidų kvadratinius matmenis. Tada gretasienio paviršiaus plotas:
Žiedas
Du apskritimai su bendru centru sudaro žiedą. Jie taip pat riboja žiedo plotą. Šiuo atveju abiejose skaičiavimo formulėse atsižvelgiama į kiekvieno apskritimo matmenis. Pirmajame, apskaičiuojančiame žiedo plotą, yra didesni R ir mažesni r spinduliai. Dažniau jie vadinami išoriniais ir vidiniais. Antroje išraiškoje žiedo plotas apskaičiuojamas naudojant didesnį D ir mažesnį d skersmenį. Taigi žiedo plotas pagal žinomus spindulius apskaičiuojamas taip:
Žiedo plotas, naudojant skersmenų ilgius, nustatomas taip:
Poligonas
Kaip rasti netinkamos formos daugiakampio plotą? Bendroji formulė plotui tokių skaičių nėra. Bet jei jis pavaizduotas, pavyzdžiui, koordinačių plokštumoje, tai gali būti languotas popierius, tai kaip šiuo atveju rasti paviršiaus plotą? Čia jie naudoja metodą, kuriam nereikia apytiksliai išmatuoti figūrą. Jie tai daro: jei randa taškus, kurie patenka į langelio kampą arba turi sveikąsias koordinates, atsižvelgiama tik į juos. Norėdami sužinoti, kokia yra sritis, naudokite formulę, kurią patvirtino Pick. Būtina pridėti taškų, esančių polilinijos viduje, kai pusė taškų yra ant jos, skaičių ir atimti vieną, ty jis apskaičiuojamas taip:
kur C, D - taškų, esančių atitinkamai visoje polilinijoje, skaičius.
Norėdami išspręsti geometrijos uždavinius, turite žinoti formules, tokias kaip trikampio plotas arba lygiagretainio plotas, taip pat paprasti triukai apie kurią kalbėsime.
Pirmiausia išmokime figūrų sričių formules. Specialiai juos surinkome į patogią lentelę. Spausdinkite, mokykitės ir taikykite!
Žinoma, ne visos geometrijos formulės yra mūsų lentelėje. Pavyzdžiui, norint išspręsti geometrijos ir stereometrijos uždavinius antroje matematikos profilio egzamino dalyje, taip pat naudojamos kitos trikampio ploto formulės. Apie juos būtinai papasakosime.
O kas, jei reikia rasti ne trapecijos ar trikampio plotą, o kokios nors sudėtingos figūros plotą? Yra universalūs būdai! Mes juos parodysime naudodami FIPI užduočių banko pavyzdžius.
1. Kaip rasti nestandartinės figūros plotą? Pavyzdžiui, savavališkas keturkampis? Paprasta technika – išskaidykime šią figūrą į tas, apie kurias visi žinome, ir suraskime jos plotą – kaip šių figūrų plotų sumą.
Padalinkite šį keturkampį horizontalia linija į du trikampius, kurių bendras pagrindas lygus . Šių trikampių aukščiai yra lygūs ir . Tada keturkampio plotas lygus dviejų trikampių plotų sumai: .
Atsakymas:.
2. Kai kuriais atvejais figūros plotas gali būti pavaizduotas kaip bet kokių sričių skirtumas.
Ne taip paprasta suskaičiuoti, kam lygus pagrindas ir aukštis šiame trikampyje! Bet galime sakyti, kad jo plotas lygus kvadrato su kraštine ir trijų stačiakampių trikampių plotų skirtumui. Matote juos paveikslėlyje? Mes gauname: .
Atsakymas:.
3. Kartais užduotyje reikia rasti ne visos figūros, o jos dalies plotą. Paprastai mes kalbame apie sektoriaus plotą - apskritimo dalį Raskite apskritimo spindulio, kurio lanko ilgis lygus , plotą.
Šiame paveikslėlyje matome apskritimo dalį. Viso apskritimo plotas lygus , Kadangi . Belieka išsiaiškinti, kokia apskritimo dalis pavaizduota. Kadangi viso apskritimo ilgis yra (nuo), o šio sektoriaus lanko ilgis yra lygus, todėl lanko ilgis yra kelis kartus mažesnis už viso apskritimo ilgį. Kampas, ant kurio remiasi šis lankas, taip pat yra kartų mažesnis už visą apskritimą (ty laipsniais). Tai reiškia, kad sektoriaus plotas bus kelis kartus mažesnis už viso apskritimo plotą.
Jei planuojate patys atlikti remontą, tuomet turėsite atlikti statybinių ir apdailos medžiagų sąmatą. Norėdami tai padaryti, turėsite apskaičiuoti kambario, kuriame planuojate atlikti remontą, plotą. Pagrindinis asistentas yra specialiai sukurta formulė. Patalpos plotas, būtent jo apskaičiavimas, leis sutaupyti daug pinigų statybinėms medžiagoms ir nukreipti išleistus finansinius išteklius reikalingesne linkme.
Kambario geometrinė forma
Kambario ploto apskaičiavimo formulė tiesiogiai priklauso nuo jo formos. Buitinėms konstrukcijoms būdingiausios yra stačiakampės ir kvadratinės patalpos. Tačiau pertvarkymo metu standartinė forma gali būti iškraipyta. Kambariai yra:
- Stačiakampis.
- Kvadratas.
- Sudėtinga konfigūracija (pavyzdžiui, apvali).
- Su nišomis ir atbrailomis.
Kiekvienas iš jų turi savo skaičiavimo ypatybes, tačiau paprastai naudojama ta pati formulė. Galima apskaičiuoti bet kokios formos ir dydžio kambario plotą, vienaip ar kitaip.
Stačiakampis arba kvadratinis kambarys
Norint apskaičiuoti stačiakampio ar kvadratinio kambario plotą, pakanka prisiminti mokyklos geometrijos pamokas. Todėl jums neturėtų būti sunku nustatyti kambario plotą. Skaičiavimo formulė atrodo taip:
S kambariai=A*B, kur
A yra kambario ilgis.
B yra kambario plotis.
Norėdami išmatuoti šias vertes, jums reikės įprastos matavimo juostos. Norint gauti tiksliausius skaičiavimus, verta išmatuoti sieną iš abiejų pusių. Jei reikšmės nesutampa, remkitės gautų duomenų vidurkiu. Tačiau atminkite, kad bet kokie skaičiavimai turi savo klaidų, todėl medžiaga turėtų būti perkama su marža.
Sudėtingos konfigūracijos kambarys
Jei jūsų kambarys nepatenka į „tipinio“ apibrėžimą, t.y. turi apskritimo, trikampio, daugiakampio formą, tada skaičiavimams gali prireikti kitos formulės. Galite pabandyti sąlygiškai padalyti kambario plotą su tokia charakteristika į stačiakampius elementus ir atlikti skaičiavimus standartiniu būdu. Jei tai jums neįmanoma, naudokite šiuos metodus:
- Apskritimo ploto nustatymo formulė:
S kambarys \u003d π * R 2, kur
R yra kambario spindulys.
- Formulė trikampio plotui rasti yra tokia:
S kambarys = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), kur
P yra trikampio pusė perimetro.
A, B, C yra jo kraštinių ilgiai.
Taigi P \u003d A + B + C / 2
Jei skaičiavimo procese turite kokių nors sunkumų, geriau nekankinti savęs ir kreiptis į profesionalus.
Kambario zona su atbrailomis ir nišomis
Dažnai sienas puošia dekoratyviniai elementai įvairių nišų ar atbrailų pavidalu. Be to, jų buvimas gali būti dėl to, kad reikia paslėpti kai kuriuos neestetiškus jūsų kambario elementus. Jei ant jūsų sienos yra briaunų ar nišų, skaičiavimas turėtų būti atliekamas etapais. Tie. pirmiausia randamas plokščios sienos dalies plotas, o tada prie jo pridedamas nišos ar atbrailos plotas.
Sienos plotas randamas pagal formulę:
S sienos \u003d P x C, kur
P - perimetras
C - aukštis
Taip pat reikia atsižvelgti į langų ir durų buvimą. Jų plotas turi būti atimtas iš gautos vertės.
Kambarys su kelių lygių lubomis
Kelių lygių lubos neapsunkina skaičiavimų, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Jei jis yra paprasto dizaino, tada skaičiavimus galima atlikti remiantis nišų ir atbrailų apsunkintų sienų ploto suradimo principu.
Tačiau jei jūsų lubų konstrukcijoje yra išlenktų ir banguotų elementų, tada tikslingiau jų plotą nustatyti pagal grindų plotą. Tam jums reikia:
- Raskite visų tiesių sienų dalių matmenis.
- Raskite grindų plotą.
- Padauginkite vertikalių sekcijų ilgį ir aukštį.
- Sumuokite gautą vertę su grindų plotu.
Žingsnis po žingsnio instrukcijos, kaip nustatyti bendrą sumą
grindų plotas
- Išlaisvinkite kambarį nuo nereikalingų daiktų. Matavimo procese jums reikės laisvos prieigos prie visų jūsų kambario sričių, todėl turite atsikratyti visko, kas gali tam trukdyti.
- Vizualiai padalinkite kambarį į teisingas ir dalis netaisyklingos formos. Jei jūsų kambarys yra griežtai kvadrato arba stačiakampio formos, šį veiksmą galima praleisti.
- Padarykite savavališką kambario išdėstymą. Šis piešinys reikalingas, kad visi duomenys visada būtų po ranka. Be to, tai nesuteiks jums galimybės susipainioti atliekant daugybę matavimų.
- Matavimai turi būti atliekami kelis kartus. Tai svarbi taisyklė siekiant išvengti klaidų skaičiavimuose. Taip pat, jei naudojate, įsitikinkite, kad sija guli ant sienos paviršiaus.
- Raskite bendrą kambario plotą. Formulė bendro ploto kambarys turi rasti visų atskirų kambario sekcijų plotų sumą. Tie. S iš viso = S sienos + S grindys + S lubos