Logaritmų savybės. Kas yra logaritmas? Logaritmų sprendimas

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
555 specialiojo skyriaus medžiaga.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač – lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netiki? Gerai. Dabar kokias 10–20 minučių jūs:

1. Suprask kas yra logaritmas.

2. Išmokite išspręsti visą eksponentinių lygčių klasę. Net jei apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums reikės tik žinoti daugybos lentelę ir tai, kaip skaičius pakeliamas iki laipsnio ...

Jaučiu, kad abejoji... Na, laikykis! Pirmyn!

Pirmiausia mintyse išspręskite šią lygtį:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

b (b > 0) logaritmas iki a bazės (a > 0, a ≠ 1) yra eksponentas, iki kurio reikia padidinti skaičių a, kad gautumėte b.

10 bazinis b logaritmas gali būti parašytas kaip log(b), o logaritmas iki pagrindo e (natūralus logaritmas) - ln(b).

Dažnai naudojamas sprendžiant logaritmų problemas:

Logaritmų savybės

Yra keturi pagrindiniai logaritmų savybės.

Tegul a > 0, a ≠ 1, x > 0 ir y > 0.

Savybė 1. Produkto logaritmas

Produkto logaritmas yra lygus logaritmų sumai:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Savybė 2. Dalinio logaritmas

Dalinio logaritmas yra lygus logaritmų skirtumui:

log a (x / y) = log a x – log a y

Savybė 3. Laipsnio logaritmas

Laipsnio logaritmas yra lygus laipsnio ir logaritmo sandaugai:

Jei logaritmo bazė yra eksponente, taikoma kita formulė:

Savybė 4. Šaknies logaritmas

Šią savybę galima gauti iš laipsnio logaritmo savybės, nes n-ojo laipsnio šaknis yra lygi 1/n laipsniui:

Formulė, kaip pereiti nuo logaritmo vienoje bazėje prie logaritmo kitoje bazėje

Ši formulė taip pat dažnai naudojama sprendžiant įvairias logaritmų užduotis:

Ypatinga byla:

Logaritmų (nelygybių) palyginimas

Tarkime, kad turime 2 funkcijas f(x) ir g(x) pagal logaritmus su tais pačiais pagrindais ir tarp jų yra nelygybės ženklas:

Norėdami juos palyginti, pirmiausia turite pažvelgti į logaritmų bazę a:

• Jei a > 0, tada f(x) > g(x) > 0
• Jei 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kaip spręsti uždavinius naudojant logaritmus: pavyzdžiai

Užduotys su logaritmaisįtrauktas į NAUDOJIMAS matematikoje 11 klasei 5 ir 7 užduotyje, užduotis su sprendimais galite rasti mūsų svetainėje atitinkamuose skyriuose. Taip pat matematikos užduočių banke yra užduotys su logaritmais. Visus pavyzdžius rasite ieškodami svetainėje.

Kas yra logaritmas

Logaritmai visada buvo laikomi sunkia tema mokykliniame matematikos kurse. Yra daug skirtingų logaritmo apibrėžimų, tačiau dėl tam tikrų priežasčių daugumoje vadovėlių naudojami patys sudėtingiausi ir apgailėtiniausi.

Logaritmą apibrėžsime paprastai ir aiškiai. Sukurkime tam lentelę:

Taigi, mes turime dviejų galių.

Logaritmai – savybės, formulės, kaip išspręsti

Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:

argumento x bazė a yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių x.

Žymėjimas: log a x \u003d b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b iš tikrųjų yra logaritmas.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Taip pat galėtų log 2 64 = 6, nes 2 6 = 64.

Skaičiaus logaritmo pagal duotąją bazę radimo operacija vadinama. Taigi į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apmąstomi. Pavyzdžiui, pabandykite rasti log 2 5. Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika nurodo, kad logaritmas bus kažkur atkarpoje. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi neribotą laiką ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau palikti jį taip: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad išvengtumėte erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminti: logaritmas yra galia, kuriai reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę pasakoju savo mokiniams jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Kaip skaičiuoti logaritmus

Išsiaiškinom apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:

1. Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.
2. Pagrindas turi skirtis nuo vienybės, nes bet kurios galios vienetas vis tiek yra vienetas. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai vadinami galiojantis diapazonas(ODZ). Pasirodo, logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmė) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 = −1, nes 0,5 = 2 -1 .

Tačiau dabar mes svarstome tik skaitines išraiškas, kur nereikia žinoti logaritmo ODZ. Į visus apribojimus problemų rengėjai jau atsižvelgė. Tačiau kai įsigalios logaritminės lygtys ir nelygybės, DHS reikalavimai taps privalomi. Iš tiesų, pagrinde ir argumente gali būti labai stiprios konstrukcijos, kurios nebūtinai atitinka aukščiau nurodytus apribojimus.

Dabar apsvarstykite bendrą logaritmų skaičiavimo schemą. Jį sudaro trys žingsniai:

1. Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsikratyti dešimtainių trupmenų;
2. Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
3. Gautas skaičius b bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matyti jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai aktualus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Panašiai ir su dešimtainėmis trupmenomis: jei iš karto jas konvertuosite į paprastas, klaidų bus daug kartų mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Gavo atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Sudarykime ir išspręskime lygtį:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Gavau atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Sudarykime ir išspręskime lygtį:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Gautas atsakymas: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 nevaizduojamas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad į logaritmą neatsižvelgiama;
3. Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

Maža pastaba apie paskutinį pavyzdį. Kaip įsitikinti, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Labai paprasta – tiesiog išskaidykite jį į pirminius veiksnius. Jei yra bent du skirtingi plėtimosi veiksniai, skaičius nėra tiksli galia.

Užduotis. Išsiaiškinkite, ar tikslios skaičiaus laipsniai yra: 8; 48; 81; 35; keturiolika.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 5 - vėlgi ne tikslus laipsnis;
14 \u003d 7 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir pavadinimą.

argumento x yra 10 bazinis logaritmas, t.y. galia, iki kurios reikia padidinti 10, kad gautume x. Pavadinimas: lgx.

Pavyzdžiui, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol vadovėlyje pasirodžius tokiai frazei kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite, kad tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau jei nesate įpratę prie tokio pavadinimo, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainėms dalims.

natūralusis logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo žymėjimą. Tam tikra prasme tai net svarbesnė nei dešimtainė. Tai natūralus logaritmas.

argumento x yra logaritmas į bazę e, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: lnx.

Daugelis paklaus: koks yra skaičius e? Tai neracionalus skaičius, jo tikslios reikšmės negalima rasti ir užrašyti. Štai tik pirmieji skaičiai:
e = 2,718281828459…

Mes nesigilinsime, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog atminkite, kad e yra natūraliojo logaritmo pagrindas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai bet kurio racionalaus skaičiaus natūralusis logaritmas yra neracionalus. Žinoma, išskyrus vienybę: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

Taip pat žiūrėkite:

Logaritmas. Logaritmo savybės (logaritmo galia).

Kaip pavaizduoti skaičių kaip logaritmą?

Mes naudojame logaritmo apibrėžimą.

Logaritmas yra galios rodiklis, iki kurio reikia pakelti bazę, kad būtų gautas skaičius po logaritmo ženklu.

Taigi, norėdami pavaizduoti tam tikrą skaičių c kaip logaritmą bazei a, po logaritmo ženklu turite įdėti laipsnį su ta pačia baze kaip ir logaritmo pagrindas ir įrašyti šį skaičių c į eksponentą:

Logaritmo forma galite pavaizduoti absoliučiai bet kokį skaičių - teigiamą, neigiamą, sveikąjį, trupmeninį, racionalų, neracionalų:

Kad nepainiotumėte a ir c įtemptomis testo ar egzamino sąlygomis, galite prisiminti šią taisyklę:

tai, kas yra apačioje, nusileidžia, o kas aukščiau, kyla aukštyn.

Pavyzdžiui, skaičių 2 norite pateikti kaip logaritmą su 3 baze.

Turime du skaičius – 2 ir 3. Šie skaičiai yra bazė ir rodiklis, kuriuos rašysime po logaritmo ženklu. Belieka nustatyti, kuris iš šių skaičių turi būti užrašomas laipsnio pagrindu, o kuris - aukštyn, eksponente.

Bazė 3 logaritmo įraše yra apačioje, o tai reiškia, kad pavaizduodami dvikovą kaip logaritmą su 3 pagrindu, 3 taip pat įrašysime į bazę.

2 yra didesnis nei 3. Ir laipsnio žymėjime rašome du virš trijų, tai yra, eksponente:

Logaritmai. Pirmas lygis.

Logaritmai

logaritmas teigiamas skaičius b dėl priežasties a, kur a > 0, a ≠ 1, yra eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas. a, Gauti b.

Logaritmo apibrėžimas trumpai galima parašyti taip:

Ši lygybė galioja b > 0, a > 0, a ≠ 1. Paprastai jis vadinamas logaritminė tapatybė.
Skaičiaus logaritmo radimo veiksmas vadinamas logaritmas.

Logaritmų savybės:

Produkto logaritmas:

Dalinio logaritmas iš dalybos:

Logaritmo pagrindo pakeitimas:

Laipsnio logaritmas:

šaknies logaritmas:

Logaritmas su galios baze:

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai.

Dešimtainis logaritmas skaičiai vadina to skaičiaus bazinį 10 logaritmą ir rašo   lg b
natūralusis logaritmas skaičiai vadina šio skaičiaus logaritmą baze e, kur e yra neracionalus skaičius, maždaug lygus 2,7. Tuo pat metu jie rašo ln b.

Kitos pastabos apie algebrą ir geometriją

Pagrindinės logaritmų savybės

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kurį skaičių, galima sudėti, atimti ir konvertuoti visais įmanomais būdais. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Šias taisykles reikia žinoti – be jų negalima išspręsti jokios rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – visko galima išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su ta pačia baze: log a x ir log a y. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y).

Taigi, logaritmų suma yra lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas yra koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra tuo pačiu pagrindu. Jei bazės skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

rąstas 6 4 + rąstas 6 9.

Kadangi logaritmų pagrindai yra vienodi, naudojame sumos formulę:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 2 48 − log 2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log 2 48 – log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 3 135 − log 3 5.

Vėlgi, bazės yra tos pačios, todėl turime:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kaip matote, originalios išraiškos sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra nagrinėjami atskirai. Tačiau po transformacijų pasirodo visai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, kontrolė – egzamine siūlomi panašūs išsireiškimai visiškai rimtai (kartais – praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio pašalinimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo bazėje arba argumente yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti – kai kuriais atvejais tai gerokai sumažins skaičiavimų kiekį.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi ODZ logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai, t.y. prieš logaritmo ženklą esančius skaičius galite įvesti į patį logaritmą.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 7 49 6 .

Atsikratykime argumento laipsnio pagal pirmąją formulę:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklis yra logaritmas, kurio bazė ir argumentas yra tikslieji laipsniai: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mes turime:

Manau, kad paskutinį pavyzdį reikia paaiškinti. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Jie pateikė ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą laipsnių pavidalu ir išėmė rodiklius - gavo „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklis ir vardiklis turi tą patį skaičių: log 2 7. Kadangi log 2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas yra atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. Ką daryti, jei pagrindai skiriasi? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo į naują bazę formulės. Suformuluojame juos teoremos forma:

Tegu pateiktas logaritmas log a x. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei įdėsime c = x, gausime:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad galima sukeisti logaritmo bazę ir argumentą, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. logaritmas yra vardiklyje.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra užduočių, kurių niekaip nepavyks išspręsti, nebent pereinant prie naujo pagrindo. Panagrinėkime keletą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 5 16 log 2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentai yra tikslūs eksponentai. Išimkime rodiklius: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Dabar apverskime antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia nuo faktorių permutacijos, ramiai padauginome keturis ir du, o tada išsiaiškinome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log 9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendžiant skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikrai bazei.

Šiuo atveju formulės mums padės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Jis vadinamas taip:

Iš tiesų, kas atsitiks, jei skaičius b bus padidintas iki tokio laipsnio, kad šio laipsnio skaičius b suteiktų skaičių a? Teisingai: tai tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą - daugelis žmonių ant jos „kabo“.

Kaip ir naujosios bazinės konvertavimo formulės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log 25 64 = log 5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš pagrindo ir logaritmo argumento. Atsižvelgiant į galių dauginimo iš tos pačios bazės taisykles, gauname:

Jei kas nors nežino, tai buvo tikra Vieningo valstybinio egzamino užduotis 🙂

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias sunku pavadinti savybėmis - tai greičiau logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat susiduria su problemomis ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

1. log a a = 1 yra. Atsiminkite kartą ir visiems laikams: logaritmas bet kokiam pagrindui a iš tos bazės yra lygus vienetui.
2. log a 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumentas yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a 0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b * a c = a b + c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų skaičių rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą iki paprasto sudėjimo. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) "b" logaritmas pagal jo bazę "a" laikomas "c" galia. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautumėte reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokį laipsnį, kad nuo 2 iki reikiamo laipsnio gautum 8. Mintyse atlikę tam tikrus skaičiavimus, gauname skaičių 3! Ir teisingai, nes 2 iki 3 laipsnio atsakyme suteikia skaičių 8.

Logaritmų atmainos

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys skirtingos logaritminių išraiškų rūšys:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį sumažinimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norint gauti teisingas logaritmų reikšmes, reikia atsiminti jų savybes ir veiksmų eiliškumą priimant sprendimus.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-ribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra teisingi. Pavyzdžiui, neįmanoma padalyti skaičių iš nulio, taip pat neįmanoma iš neigiamų skaičių išskirti lyginio laipsnio šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kuriomis vadovaudamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• bazė "a" visada turi būti didesnė už nulį ir tuo pačiu metu negali būti lygi 1, kitaip išraiška praras savo reikšmę, nes "1" ir "0" bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b > 0, išeina, kad „c“ turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, buvo duota užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x \u003d 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti tokią galią, pakeliant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 \u003d 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką kaip logaritminę. Gauname log 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai suartėja, kad būtų nustatytas laipsnis, iki kurio reikia įvesti logaritmo bazę, kad gautume duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį mąstymą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau didesnėms vertėms reikės maitinimo lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie visiškai nieko nesupranta sudėtingose ​​matematinėse temose. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinėje skaičių eilutėje yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Ląstelių sankirtoje nustatomos skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti parašytos kaip logaritminė lygtis. Pavyzdžiui, 3 4 =81 galima parašyti kaip logaritmą nuo 81 iki 3 bazės, kuri yra keturi (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome logaritmu, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena patraukliausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Lygčių pavyzdžius ir sprendimus svarstysime šiek tiek žemiau, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Pateikiama tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas bazėje du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) atsakyme reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinos reikšmės ir taškai, pažeidžiantys šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprasta atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių serija arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias užduotis ieškant logaritmo reikšmių, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Su lygčių pavyzdžiais susipažinsime vėliau, pirmiausia išanalizuokime kiekvieną savybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tuo atveju, jei a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju būtina sąlyga: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritmų formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (laipsnio savybės ), o toliau pagal apibrėžimą: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kurį reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi įprastais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Leiskite įregistruoti a b \u003d t, pasirodo, a t \u003d b. Jei abi dalis pakelsite laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n , vadinasi, log a q b n = (n*t)/t, tai log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikantys logaritmų uždaviniai yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra įtraukti į privalomą matematikos egzaminų dalį. Norint įstoti į universitetą ar išlaikyti stojamuosius matematikos testus, reikia žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Pirmiausia turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendros formos. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Sprendžiant logaritmines lygtis, būtina nustatyti, kokį logaritmą turime prieš mus: išraiškos pavyzdyje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad reikia nustatyti, kokiu laipsniu bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Natūralių logaritmų sprendiniams reikia taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybę galima naudoti atliekant užduotis, kur reikia išskaidyti didelę skaičiaus b reikšmę į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo laipsnio savybę, mums pavyko išspręsti iš pirmo žvilgsnio sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Pakanka tik koeficientuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Užduotys iš egzamino

Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių Vieningajame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia egzamino dalis), bet ir C dalyje (sunkiausios ir didžiausios užduotys). Egzaminas reiškia tikslią ir nepriekaištingą temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymą.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimas paimti iš oficialių egzamino versijų. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2 , pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4 , todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Visus logaritmus geriausia sumažinti iki tos pačios bazės, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos raiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl išimant reiškinio, esančio po logaritmo ženklą, rodiklį ir kaip jo bazę, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

kilęs iš jo apibrėžimo. Ir taip skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a apibrėžiamas kaip eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas a norėdami gauti numerį b(logaritmas egzistuoja tik teigiamiems skaičiams).

Iš šios formuluotės matyti, kad skaičiavimas x=log a b, yra lygiavertis lygties sprendimui kirvis=b. Pavyzdžiui, log 2 8 = 3 nes 8 = 2 3 . Logaritmo formuluotė leidžia pagrįsti, kad jeigu b=a c, tada skaičiaus logaritmas b dėl priežasties a lygus Su. Taip pat aišku, kad logaritmo tema yra glaudžiai susijusi su tema skaičiaus laipsnis.

Naudodami logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galite atlikti papildymo operacijos, atimti ir transformuotis visais įmanomais būdais. Tačiau atsižvelgiant į tai, kad logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia galioja savo specialios taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Logaritmų sudėjimas ir atėmimas.

Paimkite du logaritmus su ta pačia baze: žurnalas x ir prisijungti a y. Tada pašalinus galima atlikti sudėjimo ir atimties operacijas:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

žurnalas a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = žurnalas x 1 + žurnalas x 2 + žurnalas x 3 + ... + log a x k.

Iš koeficiento logaritmo teoremos galima gauti dar vieną logaritmo savybę. Gerai žinoma, kad žurnalas a 1 = 0, todėl

žurnalas a 1 /b= žurnalas a 1 - rąstas a b= -log a b.

Taigi yra lygybė:

log a 1 / b = - log a b.

Dviejų abipusių skaičių logaritmai tuo pačiu pagrindu vienas nuo kito skirsis tik ženklu. Taigi:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.