Nurodykite periodinės funkcijos numerį. Periodiškumo funkcijos tyrimas

HARMONINĖ ANALIZĖ

Įvadas.

Šiuolaikinė technologijų plėtra kelia didesnius reikalavimus matematiniam inžinierių rengimui. Suformulavus ir ištyrus daugybę specifinių mechanikos ir fizikos problemų, atsirado trigonometrinių eilučių teorija. Furjė serijos atlieka svarbiausią vaidmenį visose technologijos srityse, pagrįstos virpesių teorija ir spektrinės analizės teorija. Pavyzdžiui, duomenų perdavimo sistemose, skirtose apibūdinti signalus, praktinis spektrinių vaizdų taikymas visada lemia poreikį eksperimentiškai įgyvendinti Furjė išplėtimą. Trigonometrinių eilučių vaidmuo elektrotechnikoje ypač didelis tiriant periodines nesinusines sroves: funkcijos amplitudės spektras randamas naudojant Furjė eilutes kompleksine forma. Furjė integralas naudojamas neperiodiniams procesams pavaizduoti.

Trigonometrinės serijos turi svarbių pritaikymų daugelyje matematikos šakų ir suteikia ypač patogius metodus sprendžiant sudėtingas matematinės fizikos problemas, tokias kaip stygos virpesiai ir šilumos sklidimas lazdele.

Periodinės funkcijos.

Daugelis mokslo ir technologijų problemų yra susijusios su periodinėmis funkcijomis, kurios atspindi ciklinius procesus.

1 apibrėžimas. Periodiniais reiškiniais vadinami reiškiniai, kurie pasikartoja ta pačia seka ir ta pačia forma tam tikrais argumento intervalais.

Pavyzdys. Spektrinėje analizėje – spektrai.

2 apibrėžimas. Funkcija adresu = f(x) vadinamas periodiniu su tašku T, jei f(x + T) = f(x) visiems X ir x + T iš funkcijos apimties.

Paveiksle pavaizduotos funkcijos laikotarpis T = 2.

3 apibrėžimas. Mažiausias teigiamas funkcijos periodas vadinamas pagrindiniu periodu.

Ten, kur tenka susidurti su periodiniais reiškiniais, beveik visada susiduriama su trigonometrinėmis funkcijomis.

Veikimo laikotarpis yra lygus , funkcijų periodas yra lygus .

Trigonometrinių funkcijų laikotarpis su argumentu ( Oi) randama pagal formulę:

.

Pavyzdys. Raskite pagrindinį funkcijų laikotarpį 1) .

Sprendimas. 1) . 2) .

Lemma. Jeigu f(x) turi tašką T, tada šios funkcijos integralas, paimtas ribose, kurios skiriasi T, nepriklauso nuo apatinės integravimo ribos pasirinkimo, t.y. = .

Pagrindinis sunkus laikotarpis periodinė funkcija adresu = f(x) (sudaryta iš periodinių funkcijų sumos) yra mažiausias sudedamųjų funkcijų periodų bendras kartotinis.

Tai yra, jei f(x) = f 1 (x) + f 2 (x), T 1 - funkcijos laikotarpis f 1 (x), T 2 - funkcijos laikotarpis f 2 (x), tada mažiausias teigiamas laikotarpis T turi atitikti sąlygą:

T = nt 1 + kT 2, kur(*) –

Tyrinėdami gamtos reiškinius, spręsdami technines problemas, susiduriame su periodiškais procesais, kuriuos galima apibūdinti ypatingos rūšies funkcijomis.

Funkcija y = f(x) su domenu D vadinama periodine, jei yra bent vienas skaičius T > 0 ir tenkinamos šios dvi sąlygos:

1) bet kurio x ∈ D taškai x + T, x − T priklauso sričiai D;

2) kiekvienam x iš D turime ryšį

f(x) = f(x + T) = f(x − T).

Skaičius T vadinamas funkcijos f(x) periodu. Kitaip tariant, periodinė funkcija yra funkcija, kurios reikšmės kartojasi po tam tikro intervalo. Pavyzdžiui, funkcija y = sin x yra periodinė (1 pav.), kurios periodas yra 2π.

Atkreipkite dėmesį, kad jei skaičius T yra funkcijos f(x) periodas, tai skaičius 2T taip pat bus jos periodas, taip pat 3T, 4T ir kt., t.y. periodinė funkcija turi be galo daug skirtingų periodų. Jei tarp jų yra mažiausias (nelygus nuliui), tai visi kiti funkcijos periodai yra šio skaičiaus kartotiniai. Atkreipkite dėmesį, kad ne kiekviena periodinė funkcija turi tokį mažiausią teigiamą periodą; pavyzdžiui, funkcija f(x)=1 tokio periodo neturi. Taip pat svarbu nepamiršti, kad, pavyzdžiui, dviejų periodinių funkcijų, turinčių tą patį mažiausią teigiamą periodą T 0, suma nebūtinai turi tokį patį teigiamą periodą. Taigi, funkcijų suma f(x) = sin x ir g(x) = −sin x apskritai neturi mažiausio teigiamo periodo, o funkcijų suma f(x) = sin x + sin 2x ir g( x) = −sin x, kurio mažiausi periodai yra 2π, turi mažiausią teigiamą periodą, lygų π.

Jei dviejų funkcijų f(x) ir g(x) periodų santykis yra racionalusis skaičius, tai šių funkcijų suma ir sandauga taip pat bus periodinės funkcijos. Jei visur apibrėžtų ir ištisinių funkcijų f ir g periodų santykis yra neracionalus skaičius, tai funkcijos f + g ir fg jau bus neperiodinės funkcijos. Taigi, pavyzdžiui, funkcijos cos x sin √2 x ir cosj √2 x + sin x yra neperiodinės, nors funkcijos sin x ir cos x yra periodinės su 2π periodu, funkcijos sin √2 x ir cos √2 x yra periodiniai, kurių periodas √2 π .

Atkreipkite dėmesį, kad jei f(x) yra periodinė funkcija su periodu T, tai kompleksinė funkcija (jei, žinoma, prasminga) F(f(x)) taip pat yra periodinė funkcija, o skaičius T bus jos funkcija. laikotarpį. Pavyzdžiui, funkcijos y \u003d sin 2 x, y \u003d √ (cos x) (2.3 pav.) yra periodinės funkcijos (čia: F 1 (z) \u003d z 2 ir F 2 (z) \u003d √z ). Tačiau nereikėtų manyti, kad jei funkcija f(x) turi mažiausią teigiamą periodą T 0 , tai funkcija F(f(x)) turės tokį patį mažiausią teigiamą periodą; pavyzdžiui, funkcija y \u003d sin 2 x turi mažiausią teigiamą periodą, kuris yra 2 kartus mažesnis už funkciją f (x) \u003d sin x (2 pav.).

Nesunku parodyti, kad jei funkcija f yra periodinė su periodu T, yra apibrėžta ir diferencijuojama kiekviename tikrosios linijos taške, tada funkcija f "(x) (išvestinė) taip pat yra periodinė funkcija su periodu T, tačiau antidarinė funkcija F (x) (žr. Integralų skaičiavimą) f(x) bus periodinė funkcija tik tada, jei

F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.

UDC 517,17+517,51

Dviejų PERIODINIŲ FUNKCIJŲ SUMOS LAIKOTARPIS

A/O. Evnin

Straipsnyje visiškai išspręstas klausimas, koks gali būti pagrindinis periodinės funkcijos periodas, kuris yra dviejų periodinių funkcijų su žinomais pagrindiniais laikotarpiais suma. Taip pat tiriame atvejį, kai periodinė periodinių funkcijų suma neturi pagrindinio periodo.

Mes laikome tikrosios vertės tikrojo kintamojo funkcijas. Enciklopediniame leidime straipsnyje „Periodinės funkcijos“ galima perskaityti: „Periodinių funkcijų su skirtingais laikotarpiais suma yra periodinė tik tada, kai jų periodai yra proporcingi“. Šis teiginys tinka tęstinėms funkcijoms1, bet negalioja bendruoju atveju. Labai bendros formos kontrpavyzdys buvo sukonstruotas m. Šiame straipsnyje išsiaiškinsime, koks gali būti pagrindinis periodinės funkcijos periodas, kuris yra dviejų periodinių funkcijų su žinomais pagrindiniais laikotarpiais suma.

Preliminari informacija

Prisiminkite, kad funkcija / laikoma periodine, jei tam tikram skaičiui T F O bet kuriam x iš srities D(f) skaičiai x + T ir x - T priklauso D(f), o lygybės f(x + T) = f(x) = f(x ~ T). Šiuo atveju skaičius Г vadinamas funkcijos periodu.

Mažiausias teigiamas funkcijos periodas (jei, žinoma, jis egzistuoja) bus vadinamas pagrindiniu periodu. Žinomas toks faktas.

1 teorema. Jei funkcija turi pagrindinį periodą To, tai bet kuris funkcijos periodas turi formą pTo, kur p Ф 0 yra sveikas skaičius.

Laikoma, kad skaičiai T\ ir T2 yra proporcingi, jei yra skaičius T0, kuris „telpa“ tiek į T\, tiek į T2 sveikąjį skaičių kartų: T\ = T2 = n2T0, u, n2e Z. Priešingu atveju skaičiai T \ ir T2 vadinami nesuderinamais. Taigi laikotarpių proporcingumas (nelyginamumas) reiškia, kad jų santykis yra racionalus (neracionalus) skaičius.

Iš 1 teoremos išplaukia, kad bet kurie du funkcijos periodai, turintys pagrindinį periodą, yra proporcingi.

Klasikinis funkcijos, neturinčios mažiausio periodo, pavyzdys yra Dirichlet funkcija, kuri racionaliuose taškuose yra lygi 1, o neracionaliuose – nuliui. Bet kuris racionalusis skaičius, išskyrus nulį, yra Dirichlet funkcijos periodas, o bet koks neracionalus skaičius nėra jo periodas. Kaip matome, čia bet kurie du laikotarpiai yra palyginami.

Pateiksime nepastovios periodinės funkcijos su nesuderinamais laikotarpiais pavyzdį.

Tegul funkcija /(x) /u + la/2, m, n e Z formos taškuose bus lygi 1, o kituose taškuose lygi

nulis. Tarp šios funkcijos laikotarpių yra 1 ir l

Funkcijų su palyginamaisiais laikotarpiais sumos laikotarpis

2 teorema. Tegul fug yra periodinės funkcijos su pagrindiniais laikotarpiais mT0 ir "To, kur tipas

Kopirminiai skaičiai. Tada pagrindinis jų sumos laikotarpis (jei toks yra) yra -

kur k yra natūralusis skaičius kartu su m.

Įrodymas. Tegul h = / + g. Akivaizdu, kad skaičius mnT0 yra laikotarpis h. Dėl

1 teorema, pagrindinis periodas h turi formą, kur k yra koks nors natūralusis skaičius. Manoma

paspaudžiame, kad k nėra koprime su skaičiumi m, tai yra, k - dku m \u003d dm\, kur d\u003e 1 yra didžiausias

1 Gražus įrodymas, kad bet kurio baigtinio skaičiaus nepertraukiamų funkcijų su poromis nesuderinamais laikotarpiais suma yra neperiodinė, yra straipsnyje Taip pat žr.

didesnis bendras skaičių m ir k daliklis. Tada funkcijos k periodas lygus

ir funkcija f=h-g

turi periodą mxnTo, kuris nėra jo pagrindinio laikotarpio mTQ kartotinis. Gaunamas prieštaravimas teoremai 1. Vadinasi, k yra kopirminis su m. Panašiai skaičiai k ir n yra koprime. Taigi A: yra kopirminis su m. □

3 teorema. Tegul m, n ir k yra poriniai pirminiai skaičiai, o T0 – teigiamas skaičius. Tada yra periodinės funkcijos fug, kad pagrindiniai periodai f, g ir (f + g) būtų

yra atitinkamai mT$, nTQ ir

Įrodymas. Teoremos įrodymas bus konstruktyvus: tiesiog sukursime atitinkamą pavyzdį. Preliminariai suformuluokime tokį rezultatą. pareiškimas. Tegul m yra santykinai pirminiai skaičiai. Tada funkcijos

fx - cos- + cos--- ir f2= cos- m n m

cos- turi pagrindinio laikotarpio numerį 2ktp. P

Teiginio įrodymas. Akivaizdu, kad skaičius 2 nm yra abiejų funkcijų laikotarpis. Nesunku patikrinti, ar šis laikotarpis yra pagrindinis funkcijai Raskime jos maksimalius taškus.

x = 2lM, te Z.

Mes turime = p!. Kadangi tipas yra bendras, tai reiškia, kad 5 yra /r kartotinis, t.y. i = I e b. Tai reiškia, kad /x(x) = 2 o x = 2mmn1,1 e 2, o atstumas tarp gretimų didžiausių funkcijos /\ taškų yra lygus 2kn, o teigiamas /1 periodas negali būti mažesnis už skaičių 2spn.

Funkcijai f taikome kitokio pobūdžio argumentus (kurie taip pat tinka funkcijai f, bet

mažiau elementarus). Kaip rodo 1 teorema, funkcijos /2 pagrindinis periodas Γ turi formą -,

kur k yra koks nors natūralusis skaičius. Skaičius G bus funkcijos periodas

(2 ^ 2 xn g t t /2 + /2 = -1 cos

kurių visi laikotarpiai turi formą 2pp1. Taigi,

2nnl, t.y. m = kl. Kadangi t ir k yra tarpusavyje

taigi, iš to seka, kad k = 1.

Dabar, norėdami įrodyti 3 teoremą, galime sukurti norimą pavyzdį. Pavyzdys. Tegul m, n ir k yra poriniai pirminiai skaičiai, o bent vienas iš skaičių n arba k skiriasi nuo 1. Tada pf k ir dėl įrodyto funkcijos teiginio

/ (x) \u003d cos--- + cos- t to

Ir g(x) = cos-cos – n į

turi atitinkamai 2 ltk ir 2 tk bazinius laikotarpius ir jų sumą

k(x) = f(x) + = cos- + cos-

pagrindinis laikotarpis yra 2 tp.

Jei n = k = 1, tada veiks funkcijų pora

f(x)-2 cos- + COS X ir g(x) - COS X. m

Jų pagrindiniai periodai, kaip ir funkcijos k(x) - 2 periodas, atitinkamai yra 2lm, 2/ri 2tipo.

kaip lengva patikrinti.

Matematika

Pažymime T = 2lx. Savavališkų porinių pirminių skaičių mn, n ir k atveju funkcijos / ir £ nurodomos taip, kad pagrindiniai funkcijų /, g ir / + g laikotarpiai būtų atitinkamai mT, nT ir

Teoremos sąlygas tenkina funkcijos / - l;

Funkcijų su nesuderinamais laikotarpiais sumos laikotarpis

Kitas teiginys yra beveik akivaizdus.

4 teorema. Tegul fug yra periodinės funkcijos su nesuderinamais pagrindiniais periodais T) ir T2, o šių funkcijų suma h = f + g yra periodinė ir turi pagrindinį periodą T. Tada skaičius T yra nesuderinamas nei su T], nei su T2 .

Įrodymas. Viena vertus, jei skaičiai TnT) yra proporcingi, tai funkcija g = h-f turi periodą, atitinkantį r]. Kita vertus, remiantis 1 teorema, bet kuris funkcijos g periodas yra T2 kartotinis. Gauname prieštaravimą su skaičių T\ ir T2 nesuderinamumu. Panašiai įrodytas ir skaičių T ir T2 nesulyginamumas, d

Įspūdinga ir net šiek tiek stebina tai, kad teisinga ir 4 teoremos priešingybė.. Yra plačiai paplitusi klaidinga nuomonė, kad dviejų periodinių funkcijų su nesuderinamais laikotarpiais suma negali būti periodine funkcija. Tiesą sakant, taip nėra. Be to, sumos periodas gali būti bet koks teigiamas skaičius, atitinkantis 4 teoremos teiginį.

5 teorema. Tegu T\, T2 ir T~ yra poromis nesulyginami teigiami skaičiai. Tada yra tokios periodinės funkcijos fug, kad jų suma h =/+ g yra periodinė, o pagrindiniai funkcijos f guh periodai yra atitinkamai Th T2 ir T.

Įrodymas. Įrodymas vėl bus konstruktyvus. Mūsų konstrukcijos iš esmės priklausys nuo to, ar skaičius T gali būti pavaizduotas kaip racionalus T1 ir T2 periodų derinys T = aT1 + pT2 (a ir P yra racionalūs skaičiai).

I. T nėra racionalus Tr ir J2 derinys

Tegu A = (mT\ + nT2 + kT\m,n, k e Z) yra sveikųjų skaičių tiesinių skaičių r1, T2 ir T derinių aibė. Iš karto pažymime, kad jei skaičius gali būti pavaizduotas forma nT\ + nT2 + kT, tada toks vaizdas yra unikalus . Iš tiesų, jei mxT\ + n\Tr + k\T - m2Tx + n2T2 + k2T9, tada

(k) - k2)T - (ot2 - m\)T] + (n2 - u)Tb, o k\ * k2 atveju T galima racionaliai išreikšti T] ir T2. Vadinasi, k\ = k2. Dabar iš skaičių T\ ir T2 nesulyginamumo tiesiogiai gaunamos lygybės m\ = m2 ir uu = n2.

Svarbus faktas yra nesunkiai patikrinamas faktas, kad aibės A ir jos papildinys A yra uždarytos sudėjus skaičius iš A: jei x e A ir y e A, tai x + y e A; jei x e A ir y e A, tai x + y e A.

Tarkime, kad visuose aibės A taškuose funkcijos / ir g yra lygios nuliui, o aibėje A šias funkcijas apibrėžiame taip:

f(mTi + nT2 + kT) = nT2 + kT g(mT1 + nT2 + kT) - mT1 - kT.

Kadangi, kaip buvo parodyta, koeficientus m, periodų r, T2 ir r tiesinės kombinacijos smailę galima vienareikšmiškai atkurti iš skaičiaus x e A, tai nurodyti funkcijų f ir g priskyrimai yra teisingi.

Funkcija h =/ + g aibėje A lygi nuliui, o aibės A taškuose lygi

h(mT\ + nT2 + kT) - mT\ + nT2.

Tiesiogiai pakeičiant, nesunku patikrinti, ar skaičius T\ yra funkcijos f periodas, skaičius T2 yra g periodas, o T~ yra h periodas. Parodykime, kad šie laikotarpiai yra pagrindiniai.

Pirma, pažymime, kad bet kuris funkcijos / laikotarpis priklauso aibei A. Iš tiesų,

jei 0 fx A, y e A, tai x + y e A ir f(x + y) = 0 * f(x). Vadinasi, y e A nėra funkcijos / laikotarpis

Tegu dabar vienas kitam nelygūs skaičiai \, x2 priklauso ^ ir f (x 1) ~ f (x2). Iš funkcijos / apibrėžimo gauname, kad x\ - x2 = 1T, kur I yra koks nors nulinis sveikas skaičius. Todėl bet kuris funkcijos / periodas yra T\ kartotinis. Taigi Tx iš tikrųjų yra pagrindinis laikotarpis /

Teiginiai apie T2 ir T tikrinami taip pat.

komentuoti. Knygoje p. 172-173 pateikia kitą bendrą I atvejo konstrukciją.

II. T yra racionalus T\ ir T2 derinys.

Pavaizduokime racionalų periodų T\ ir T2 derinį forma Γ = - (kxTx + k2T2), kur kx ir

k2 ™ yra pirminiai sveikieji skaičiai, k(Γ\ + k2T2 > 0, a/? ir q yra natūralūs skaičiai. Apsvarstykite, leZ>.

renio rinkinys B----

Darome prielaidą, kad visuose aibės B taškuose funkcijos f ir g yra lygios nuliui, o aibėje B šias funkcijas apibrėžiame taip:

^ mT\ + nT2 A I

^ mTx + nT2 L

Čia, kaip įprasta, [x] ir (x) žymi atitinkamai sveikąsias ir trupmenines skaičių dalis. Funkcija k = / + q aibėje B lygi nuliui, o aibės B taškuose lygi

fmTx +nT: l H

Tiesiogiai pakeičiant, nesunku patikrinti, ar skaičius Tx yra funkcijos / periodas, skaičius T2 yra periodas g, o T yra periodas h. Parodykime, kad šie laikotarpiai yra pagrindiniai.

Bet kuris funkcijos / periodas priklauso aibei B. Iš tiesų, jei 0 * x e B, y e B, tai f(x) Φ 0, j(x + y) = 0 */(*)■ Vadinasi, y e B _ Neveikiantis laikotarpis/

Taigi bet kuris funkcijos / periodas turi formą Ty =

Kur 5i ir 52 yra sveikieji skaičiai. Leisti

x \u003d -7] 4 - Г2, x e 5. Jei i \u003d 0, tai / (i) yra racionalus skaičius. Dabar iš skaičiaus / (x + 7)) racionalumo išplaukia lygybė -I - I - 0. Taigi gauname lygybę 52 = Xp, kur X yra koks nors sveikasis skaičius

numerį. Ryšys /(x + 7)) = /(x) įgauna formą

^ P + I + I w +

Ši lygybė turi galioti visiems sveikųjų skaičių tipams. Kai m-p ~ 0, dešinė (1) pusė yra

iki nulio. Kadangi trupmeninės dalys yra neneigiamos, iš čia gauname, kad<0, а при

m \u003d n \u003d q - ] trupmeninių dalių suma dešinėje lygybės (1) pusėje yra ne mažesnė už trupmeninių dalių h-X sumą

tas kairėje. Taigi -> 0. Taigi, X = 0 ir 52 = 0. Todėl funkcijos / periodas turi formą

o lygybė (1) tampa

n\ | ir 52 yra sveikieji skaičiai. Iš santykių

d(0) = 0 = d(GA) =

gauname, kad skaičiai 51 ir ^ turi būti p kartotiniai, t.y. kai kurių sveikųjų skaičių Ax ir A2 turime 51 = A\p, E2 = A2p. Tada santykis (3) gali būti perrašytas kaip

Iš lygybės A2kx = k2A\ ir skaičių k\ ir k2 kopirmiškumo išplaukia, kad A2 dalijasi iš k2. Iš čia

kai kuriam sveikajam skaičiui t galioja lygybės A2 = k2t ir Ax ~ kxt, t.y. Th ~-(kxTx + k2T2).

Parodyta, kad bet kuris funkcijos h periodas yra periodo Т = - (к(Гх + к2Т2)9 kartotinis, taigi

Zom, yra pagrindinis. □

Nėra pagrindinio laikotarpio

6 teorema. Tegul Tx ir T2~ yra savavališki teigiami skaičiai. Tada yra periodinės funkcijos fug, kurių pagrindiniai periodai yra atitinkamai T\ ir T2, o jų suma h=f+g yra periodinė, bet neturi pagrindinio periodo.

Įrodymas. Panagrinėkime du galimus atvejus.

I. Laikotarpiai Tx ir T2 yra nesuderinami.

Tegu A = + nT2 +kT\ . Kaip nurodyta pirmiau, nesunku parodyti, kad jei numeris

vaizduojamas forma mTx + nT2 + kT, tada toks vaizdavimas yra unikalus.

Tarkime, kad visuose aibės A taškuose funkcijos / ir g yra lygios nuliui, o aibėje A šias funkcijas apibrėžiame taip:

/nuo; + nT2 + kT) = nT2 + kT, g(mTx + nT2 + kT) = mTx - kT.

Nesunku patikrinti, ar skaičius Tx yra pagrindinis funkcijos / periodas, skaičius T2 yra pagrindinis periodas g, o bet kuriam racionaliajam skaičiui kT yra funkcijos h - f + g periodas, todėl neturi mažiausio laikotarpio.

II. Laikotarpiai Tx ir T2 yra palyginami.

Tegu Tx = mT0, T2 = nT0, kur T0 > O, m ir n yra natūralieji skaičiai. Įveskime į aibę R = + .

Darome prielaidą, kad visuose aibės B taškuose funkcijos fug yra lygios nuliui, o aibėje B šias funkcijas apibrėžiame taip:

/((/ + WT0) = W + Džitas, g((/ + 4lk)T0) - W - 42k.

Funkcija h ~ / + g aibėje B lygi nuliui, o aibės B taškuose lygi

Nesunku patikrinti, ar skaičius 7j = mTQ yra pagrindinis funkcijos / periodas, skaičius T2 ~ nT0 yra pagrindinis periodas g, o tarp funkcijos h ~ f + g periodų yra visi formos skaičiai. l/2kT0, kur k yra savavališkas racionalusis skaičius. □

6 teoremą įrodančios konstrukcijos pagrįstos funkcijos h~ / + g periodų nesuderinamumu su funkcijų / ir g periodais. Apibendrinant, pateikiame funkcijų fug pavyzdį, kad visi funkcijų /, g ir / + g periodai būtų proporcingi vienas kitam, tačiau / ir g turi pagrindinius periodus, o f + g neturi.

Tegu m yra koks nors fiksuotas natūralusis skaičius, M – neredukuojamų nesveikųjų trupmenų, kurių skaitikliai yra m kartotiniai, aibė. Padėkime

1 jei xM; vienas

ifxe mZ;

EcnuxeZXmZ; 2

O kitais atvejais; 1 jei xeMU

~,ifxe2 2

[O kitaip.

Nesunku pastebėti, kad pagrindiniai funkcijų fug periodai yra lygūs atitinkamai m ir 1, o suma / + g turi bet kurio m/n formos skaičiaus periodą, kur n yra savavališkas natūralusis skaičius santykinai pirminis. iki m.

Literatūra

1. Matematinis enciklopedinis žodynas / Ch. red. Yu.V. Prokhorovas - M.: Sov. enciklopedija, 1988 m.

2. Mikaelyanas L.V., Sedrakyanas N.M. Apie periodinių funkcijų sumos periodiškumą// Matematinis ugdymas. - 2000. - Nr.2 (13). - S. 29-33.

3. Gerenstein A.V., Evnin A.Yu. Apie periodinių funkcijų sumą// Matematika mokykloje. -2002 m. - Nr.1. - S. 68-72.

4. Ivlev B.M. ir kt.. Algebros uždavinių rinkinys ir analizės principai 9 ir 10 ląstelių. - M.: Švietimas, 1978 m.

Jo reikšmių kartojimas tam tikru reguliariu argumento intervalu, tai yra, jo vertės nekeitimas, kai prie argumento pridedamas koks nors fiksuotas skaičius, kuris nėra nulis ( laikotarpį funkcijos) visoje apibrėžimo srityje.

Formaliau kalbant, sakoma, kad funkcija yra periodinė su tašku T ≠ 0 (\displaystyle T\neq 0), jei už kiekvieną tašką x (\displaystyle x) iš jo taško apibrėžimo srities x + T (\displaystyle x+T) ir x − T (\displaystyle x-T) taip pat priklauso jos apibrėžimo sričiai, o jiems – lygybė f (x) = f (x + T) = f (x − T) (\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)).

Remiantis apibrėžimu, lygybė galioja ir periodinei funkcijai f (x) = f (x + n T) (\displaystyle f(x)=f(x+nT)), kur n (\displaystyle n)- bet koks sveikasis skaičius.

Tačiau jei laikotarpių rinkinys ( T , T > 0 , T ∈ R ) (\displaystyle \(T,T>0,T\in \mathbb (R) \)) yra mažiausia reikšmė, ji vadinama pagrindinis (arba pagrindinis) laikotarpis funkcijas.

Pavyzdžiai

Sin ⁡ (x + 2 π) = sin ⁡ x , cos ⁡ (x + 2 π) = cos ⁡ x , ∀ x ∈ R . (\displaystyle \sin(x+2\pi)=\sin x,\;\cos(x+2\pi)=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb (R) .)

• Dirichleto funkcija yra periodinė; jos periodas yra bet koks racionalusis skaičius, kuris nėra nulis. Jame taip pat nėra pagrindinio laikotarpio.

Kai kurios periodinių funkcijų ypatybės

ir T 2 (\displaystyle T_(2))(Tačiau šis skaičius bus tiesiog taškas). Pavyzdžiui, funkcija f (x) = sin ⁡ (2 x) − sin ⁡ (3 x) (\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)) pagrindinis laikotarpis yra 2 π (\displaystyle 2\pi ), funkcijoje g (x) = sin ⁡ (3 x) (\displaystyle g(x)=\sin(3x)) laikotarpis yra 2 π / 3 (\displaystyle 2\pi /3), ir jų suma f (x) + g (x) = sin ⁡ (2 x) (\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)) pagrindinis laikotarpis akivaizdžiai lygus π (\displaystyle \pi ).

• Dviejų funkcijų su nesuderinamais laikotarpiais suma ne visada yra neperiodinė funkcija.

Argumentas x, tada jis vadinamas periodiniu, jei yra toks skaičius T, kad bet kuriam x F(x + T) = F(x). Šis skaičius T vadinamas funkcijos periodu.

Gali būti keli laikotarpiai. Pavyzdžiui, funkcija F = const įgauna tą pačią reikšmę bet kuriai argumento vertei, todėl bet koks skaičius gali būti laikomas jo periodu.

Paprastai domina mažiausias nulinis funkcijos periodas. Trumpumui tai tiesiog vadinama tašku.

Klasikinis periodinių funkcijų pavyzdys yra trigonometrinės: sinusas, kosinusas ir tangentė. Jų periodas yra toks pat ir lygus 2π, tai yra sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) ir pan. Tačiau, žinoma, trigonometrinės funkcijos nėra vienintelės periodinės.

Kalbant apie paprastas pagrindines funkcijas, vienintelis būdas nustatyti jų periodiškumą arba neperiodiškumą yra skaičiavimai. Tačiau sudėtingoms funkcijoms jau yra keletas paprastų taisyklių.

Jei F(x) yra su periodu T ir jam nustatyta išvestinė, tai ši išvestinė f(x) = F′(x) taip pat yra periodinė funkcija su periodu T. Juk išvestinės vertė taškas x yra lygus jo antidarinės grafiko liestinės šiame taške prie x ašies, o kadangi antidarinė periodiškai kartojasi, tai ir išvestinė turi būti kartojama. Pavyzdžiui, funkcijos sin(x) išvestinė yra cos(x), ir ji yra periodinė. Paėmus cos(x) išvestinę, gaunama -sin(x). Periodiškumas išlieka nepakitęs.

Tačiau atvirkščiai, ne visada tiesa. Taigi funkcija f(x) = const yra periodinė, bet jos antidarinė F(x) = const*x + C – ne.

Jei F(x) yra periodinė funkcija su periodu T, tai G(x) = a*F(kx + b), kur a, b ir k yra konstantos, o k nelygu nuliui – taip pat periodinė funkcija, o jo periodas lygus T/k. Pavyzdžiui, sin(2x) yra periodinė funkcija, o jos periodas yra π. Vizualiai tai galima pavaizduoti taip: padauginus x iš kažkokio skaičiaus, atrodo, kad funkcijos grafiką horizontaliai suspaudžiate lygiai tiek kartų

Jei F1(x) ir F2(x) yra periodinės funkcijos, o jų periodai atitinkamai lygūs T1 ir T2, tai šių funkcijų suma taip pat gali būti periodinė. Tačiau jo laikotarpis nebus paprasta laikotarpių T1 ir T2 suma. Jeigu dalijant T1/T2 rezultatas yra racionalusis skaičius, tai funkcijų suma yra periodinė, o jos periodas lygus periodų T1 ir T2 mažiausiajam bendrajam kartotiniui (LCM). Pavyzdžiui, jei pirmosios funkcijos periodas yra 12, o antrosios – 15, tada jų sumos periodas bus LCM (12, 15) = 60.

Vizualiai tai galima pavaizduoti taip: funkcijos yra su skirtingais „žingsnių pločiais“, tačiau jei jų pločių santykis yra racionalus, tada anksčiau ar vėliau (tiksliau, per žingsnių LCM) jos vėl taps vienodos. , o jų suma pradės naują laikotarpį.

Tačiau jei periodų santykis yra neracionalus, tai suminė funkcija visai nebus periodinė. Pavyzdžiui, tegul F1(x) = x mod 2 (x likutis padalintas iš 2) ir F2(x) = sin(x). T1 čia bus lygus 2, o T2 lygus 2π. Laikotarpių santykis lygus π – neracionaliam skaičiui. Todėl funkcija sin(x) + x mod 2 nėra periodinė.