एक सामान्य गुणक शोधत आहे. दोन संख्यांचा किमान सामान्य गुणक कसा शोधायचा

सर्वात मोठी नैसर्गिक संख्या ज्याने a आणि b या संख्यांना उरलेल्या भागाशिवाय भागता येईल असे म्हणतात सर्वात मोठा सामान्य विभाजकया संख्या. GCD(a, b) दर्शवा.

दोन नैसर्गिक संख्या 18 आणि 60 चे उदाहरण वापरून GCD शोधण्याचा विचार करा:

1 संख्या विघटित करू प्रमुख घटक:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून ते सर्व घटक हटवा जे दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नाहीत, आम्हाला मिळेल 2×3×3 .

3 आम्ही क्रॉस आउट केल्यानंतर उर्वरित मूळ घटकांचा गुणाकार करतो आणि संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक मिळवतो: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 लक्षात घ्या की पहिल्या किंवा दुसर्‍या क्रमांकावरून काही फरक पडत नाही आम्ही घटक ओलांडतो, परिणाम समान असेल:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 आणि 432

चला संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करूया:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = ३×३७

432 = 2×2×2×2×3×3×3

पहिल्या क्रमांकावरून हटवा, ज्याचे घटक दुसऱ्या आणि तिसऱ्या क्रमांकामध्ये नाहीत, आम्हाला मिळते:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

GCD च्या परिणामी( 324 , 111 , 432 )=3

युक्लिडच्या अल्गोरिदमसह GCD शोधणे

वापरून सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याचा दुसरा मार्ग युक्लिडचा अल्गोरिदम. युक्लिडचा अल्गोरिदम सर्वात जास्त आहे प्रभावी मार्गशोधणे GCD, त्याचा वापर करून तुम्हाला संख्यांच्या विभागणीचे उर्वरित भाग सतत शोधणे आणि अर्ज करणे आवश्यक आहे आवर्ती सूत्र.

आवर्ती सूत्र GCD साठी, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), जेथे a mod b हा a ला b ने भागल्यास उरलेला भाग आहे.

युक्लिडचा अल्गोरिदम

उदाहरण संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा 7920 आणि 594

चला GCD शोधूया( 7920 , 594 ) युक्लिड अल्गोरिदम वापरून, आपण कॅल्क्युलेटर वापरून उर्वरित भागाची गणना करू.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 मोड 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 मोड 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• ७९२० मोड ५९४ = ७९२० - १३ × ५९४ = १९८
• 594 मोड 198 = 594 - 3 × 198 = 0

परिणामी, आम्हाला GCD( 7920 , 594 ) = 198

किमान सामान्य एकाधिक

भिन्न भाजकांसह अपूर्णांक जोडताना आणि वजा करताना सामान्य भाजक शोधण्यासाठी, तुम्हाला माहित असणे आणि गणना करण्यास सक्षम असणे आवश्यक आहे किमान सामान्य एकाधिक(एनओसी).

"a" या संख्येचा एक गुणाकार ही अशी संख्या आहे जी स्वतःच "a" या संख्येने उर्वरित न करता भागता येते.

ज्या संख्या 8 च्या गुणाकार आहेत (म्हणजे, या संख्यांना 8 ने भागाकार उरलेला नाही): या संख्या 16, 24, 32 आहेत ...

9 चे गुणाकार: 18, 27, 36, 45…

दिलेल्‍या संख्‍येच्‍या अ-च्‍या संख्‍येच्‍या विभाजकांच्‍या विरुद्ध असीमपणे अनेक गुणाकार असतात. विभाजक - एक मर्यादित संख्या.

दोन नैसर्गिक संख्यांचा एक सामान्य गुणाकार ही अशी संख्या आहे जी या दोन्ही संख्यांनी समान रीतीने भागता येते..

किमान सामान्य एकाधिकदोन किंवा अधिक नैसर्गिक संख्यांची (LCM) ही सर्वात लहान नैसर्गिक संख्या आहे जी स्वतः या प्रत्येक संख्येने भागता येते.

NOC कसा शोधायचा

LCM दोन प्रकारे शोधता आणि लिहिता येतो.

LCM शोधण्याचा पहिला मार्ग

ही पद्धत सहसा लहान संख्यांसाठी वापरली जाते.

1. जोपर्यंत दोन्ही संख्यांसाठी समान गुणाकार येत नाही तोपर्यंत आम्ही एका ओळीतील प्रत्येक संख्येसाठी गुणाकार लिहितो.
2. "a" या संख्येचा एक गुणक "K" मोठ्या अक्षराने दर्शविला जातो.

उदाहरण. LCM 6 आणि 8 शोधा.

LCM शोधण्याचा दुसरा मार्ग

तीन किंवा अधिक संख्यांसाठी LCM शोधण्यासाठी ही पद्धत वापरण्यास सोयीस्कर आहे.

संख्यांच्या विस्तारामध्ये समान घटकांची संख्या भिन्न असू शकते.

लहान संख्येच्या (लहान संख्या) विस्तारामध्ये, मोठ्या संख्येच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट न केलेले घटक अधोरेखित करा (आमच्या उदाहरणामध्ये, ते 2 आहे) आणि हे घटक मोठ्या संख्येच्या विस्तारामध्ये जोडा.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

प्रतिसादात परिणामी कामाची नोंद करा.
उत्तर: LCM (24, 60) = 120

तुम्ही खालीलप्रमाणे किमान सामान्य मल्टिपल (LCM) शोधणे देखील औपचारिक करू शकता. चला LCM (12, 16, 24) शोधू.

२४ = २ २ २ ३

तुम्ही संख्यांच्या विस्तारावरून बघू शकता, 12 चे सर्व घटक 24 (संख्यांपैकी सर्वात मोठे) च्या विस्तारामध्ये समाविष्ट केले आहेत, म्हणून आम्ही 16 क्रमांकाच्या विस्तारापासून LCM मध्ये फक्त एक 2 जोडतो.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

उत्तर: LCM (12, 16, 24) = 48

एनओसी शोधण्याची विशेष प्रकरणे

जर एक संख्या इतरांद्वारे समान रीतीने भाग जात असेल, तर या संख्यांपैकी सर्वात कमी सामान्य गुणाकार या संख्येच्या समान असतो.

उदाहरणार्थ, LCM(60, 15) = 60
कॉप्राइम संख्यांना कोणतेही सामान्य अविभाज्य भाजक नसल्यामुळे, त्यांचा किमान सामान्य गुणाकार या संख्यांच्या गुणाकाराच्या समान असतो.

आमच्या साइटवर, तुम्ही तुमची गणना तपासण्यासाठी किमान सामान्य एकाधिक ऑनलाइन शोधण्यासाठी विशेष कॅल्क्युलेटर देखील वापरू शकता.

जर एखाद्या नैसर्गिक संख्येला फक्त 1 ने भाग जात असेल तर त्याला अविभाज्य म्हणतात.

कोणतीही नैसर्गिक संख्या नेहमी 1 आणि स्वतःच भागते.

संख्या 2 ही सर्वात लहान मूळ संख्या आहे. ही एकमेव सम मूळ संख्या आहे, बाकीच्या मूळ संख्या विषम आहेत.

अनेक मूळ संख्या आहेत आणि त्यापैकी पहिली संख्या 2 आहे. तथापि, शेवटची मूळ संख्या नाही. "अभ्यासासाठी" विभागात, तुम्ही 997 पर्यंत अविभाज्य संख्यांची सारणी डाउनलोड करू शकता.

परंतु अनेक नैसर्गिक संख्या इतर नैसर्गिक संख्यांद्वारे समान रीतीने विभाज्य असतात.

• 12 ही संख्या 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने, 12 ने भाग जाते;
• 36 ला 1 ने, 2 ने, 3 ने, 4 ने, 6 ने 12 ने, 18 ने 36 ने भाग जातो.

ज्या संख्येने संख्या समान रीतीने भाग जाते (12 साठी हे 1, 2, 3, 4, 6 आणि 12 आहेत) त्यांना संख्येचे विभाजक म्हणतात.

नैसर्गिक संख्या a चा विभाजक ही अशी नैसर्गिक संख्या आहे जी दिलेल्या संख्येला "a" ला उरलेल्या भागाशिवाय भागते.

दोन पेक्षा जास्त घटक असलेल्या नैसर्गिक संख्येला संमिश्र संख्या म्हणतात.

लक्षात घ्या की 12 आणि 36 या संख्यांमध्ये समान विभाजक आहेत. या संख्या आहेत: 1, 2, 3, 4, 6, 12. या संख्यांचा सर्वात मोठा विभाजक 12 आहे.

"a" आणि "b" दिलेल्या दोन संख्यांचा सामाईक विभाजक ही संख्या आहे ज्याद्वारे दोन्ही दिलेल्या संख्या "a" आणि "b" यांना उर्वरित न करता भागले जातात.

सर्वात मोठा सामाईक भाजकदोन दिलेल्या संख्यांची (GCD) "a" आणि "b" ही सर्वात मोठी संख्या आहे ज्याद्वारे "a" आणि "b" या दोन्ही संख्यांना उर्वरित न भागता येते.

थोडक्यात, "a" आणि "b" संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक खालीलप्रमाणे लिहिला आहे:

उदाहरण: gcd (12; 36) = 12 .

सोल्यूशन रेकॉर्डमधील संख्यांचे विभाजक मोठ्या अक्षराने "D" द्वारे दर्शविले जातात.

संख्या 7 आणि 9 मध्ये फक्त एक समान विभाजक आहे - संख्या 1. अशा क्रमांकांना म्हणतात परस्पर मूळ संख्या .

कॉप्राइम क्रमांकया नैसर्गिक संख्या आहेत ज्यात फक्त एक समान भाजक आहे - संख्या 1. त्यांचा GCD 1 आहे.

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक कसा शोधायचा

दोन किंवा अधिक नैसर्गिक संख्यांचे gcd शोधण्यासाठी तुम्हाला आवश्यक आहे:

• संख्यांच्या विभाजकांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे;

उभ्या पट्टीचा वापर करून गणना सोयीस्करपणे लिहिली जाते. ओळीच्या डावीकडे, प्रथम लाभांश लिहा, उजवीकडे - भाजक. पुढे डाव्या स्तंभात आम्ही खाजगी मूल्ये लिहितो.

उदाहरणासह लगेच स्पष्ट करू. 28 आणि 64 या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये फॅक्टराइज करू.

दोन्ही संख्यांमध्ये समान मूळ घटक अधोरेखित करा.
२८ = २ २ ७

64 = 2 2 2 2 2 2
आम्ही समान अविभाज्य घटकांचे उत्पादन शोधतो आणि उत्तर लिहितो;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

उत्तर: GCD (28; 64) = 4

तुम्ही GCD चे स्थान दोन प्रकारे व्यवस्थित करू शकता: स्तंभात (जसे वर केले होते) किंवा “एका ओळीत”.

GCD लिहिण्याचा पहिला मार्ग

GCD 48 आणि 36 शोधा.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

GCD लिहिण्याचा दुसरा मार्ग

आता GCD शोध उपाय एका ओळीत लिहू. GCD 10 आणि 15 शोधा.

आमच्या माहिती साइटवर, तुम्ही तुमची गणना तपासण्यासाठी हेल्पर प्रोग्राम वापरून सर्वात मोठा सामान्य विभाजक ऑनलाइन देखील शोधू शकता.

किमान सामान्य बहुविध शोधणे, पद्धती, LCM शोधण्याची उदाहरणे.

खाली सादर केलेली सामग्री LCM - किमान सामान्य एकाधिक, व्याख्या, उदाहरणे, LCM आणि GCD यांच्यातील संबंध या शीर्षकाखालील लेखातील सिद्धांताचे तार्किक निरंतरता आहे. येथे आपण याबद्दल बोलू किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधणे, आणि विशेष लक्षउदाहरणे पाहू. या संख्यांच्या GCD नुसार दोन संख्यांचा LCM कसा काढला जातो ते प्रथम दाखवू. पुढे, अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे गुणांकन करून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा विचार करा. त्यानंतर, आम्ही तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्यावर लक्ष केंद्रित करू, आणि ऋण संख्यांच्या LCM च्या गणनेकडे देखील लक्ष देऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

gcd द्वारे किमान सामान्य एकाधिक (LCM) ची गणना

LCM आणि GCD मधील संबंधांवर आधारित किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा एक मार्ग आहे. LCM आणि GCD मधील विद्यमान संबंध तुम्हाला ज्ञात सर्वात सामान्य विभाजकाद्वारे दोन सकारात्मक पूर्णांकांच्या किमान सामान्य गुणाकाराची गणना करण्यास अनुमती देतात. संबंधित सूत्रामध्ये फॉर्म आहे LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). वरील सूत्रानुसार LCM शोधण्याची उदाहरणे विचारात घ्या.

126 आणि 70 या दोन संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

या उदाहरणात a=126 , b=70 . GCD सह LCM ची लिंक वापरू, जी LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) या सूत्राने व्यक्त केली जाते. म्हणजेच, प्रथम आपल्याला 70 आणि 126 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधावा लागेल, त्यानंतर आपण लिखित सूत्रानुसार या संख्यांचा LCM काढू शकतो.

युक्लिडचे अल्गोरिदम वापरून gcd(126, 70) शोधा: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , म्हणून gcd(126, 70)=14 .

आता आपल्याला आवश्यक किमान सामान्य गुणक सापडतात: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

LCM (68, 34) म्हणजे काय?

68 हा 34 ने समान रीतीने भाग जात असल्याने, gcd(68, 34)=34. आता आपण किमान सामान्य मल्टिपल काढू: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

लक्षात घ्या की मागील उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक a आणि b साठी LCM शोधण्यासाठी खालील नियमात बसते: जर a संख्या b ने भाग जात असेल, तर या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक a आहे.

प्राइम फॅक्टर्समध्ये संख्यांचे फॅक्टरिंग करून LCM शोधणे

कमीत कमी सामान्य गुणक शोधण्याचा दुसरा मार्ग म्हणजे अविभाज्य घटकांमध्ये फॅक्टरिंग संख्यांवर आधारित. जर आपण या संख्यांच्या सर्व अविभाज्य घटकांचा गुणाकार केला, ज्यानंतर या संख्यांच्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व सामान्य मूळ घटक या उत्पादनातून वगळले, तर परिणामी उत्पादन या संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल.

LCM शोधण्यासाठी घोषित केलेला नियम LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) समानता वरून येतो. खरंच, a आणि b संख्यांचा गुणाकार हा a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे. या बदल्यात, gcd(a, b) हे सर्व अविभाज्य घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे जे a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये एकाच वेळी उपस्थित असतात (ज्याचे वर्णन अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून gcd शोधण्याच्या विभागात केले आहे. ).

एक उदाहरण घेऊ. कळू द्या की 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. या विस्ताराच्या सर्व घटकांचे उत्पादन तयार करा: 2 3 3 5 5 5 7 . आता आम्ही या उत्पादनातून 75 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये आणि 210 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व घटक वगळले आहेत (असे घटक 3 आणि 5 आहेत), नंतर उत्पादन 2 3 5 5 7 फॉर्म घेईल. या उत्पादनाचे मूल्य 75 आणि 210 च्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

441 आणि 700 या संख्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये फॅक्टर केल्यानंतर, या संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणक शोधा.

चला 441 आणि 700 या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये विघटन करूया:

आपल्याला 441=3 3 7 7 आणि 700=2 2 5 5 7 मिळतात.

आता या संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांचे गुणांकन करू या: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . दोन्ही विस्तारांमध्ये एकाच वेळी उपस्थित असलेले सर्व घटक या उत्पादनातून वगळू या (असा एकच घटक आहे - हा क्रमांक 7 आहे): 2 2 3 3 5 5 7 7 . तर LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .

LCM(441, 700)= 44 100 .

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन करून LCM शोधण्याचा नियम थोड्या वेगळ्या पद्धतीने तयार केला जाऊ शकतो. जर आपण संख्या b च्या विस्तारातील गहाळ घटक संख्या a च्या विस्तारातील घटकांमध्ये जोडले, तर परिणामी उत्पादनाचे मूल्य a आणि b संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल.

उदाहरणार्थ, सर्व समान संख्या 75 आणि 210 घेऊ या, त्यांचे मूळ घटकांमध्ये विस्तार खालीलप्रमाणे आहेत: 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. क्रमांक 75 च्या विघटनातून 3, 5 आणि 5 या घटकांमध्ये, 210 क्रमांकाच्या विघटनापासून गहाळ घटक 2 आणि 7 जोडतो, आम्हाला 2 3 5 5 7 हे गुणक मिळतात, ज्याचे मूल्य LCM(75) आहे. , 210).

84 आणि 648 चा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

आम्ही प्रथम क्रमांक 84 आणि 648 चे विघटन अविभाज्य घटकांमध्ये प्राप्त करतो. ते 84=2 2 3 7 आणि 648=2 2 2 3 3 3 सारखे दिसतात. 84 क्रमांकाच्या विघटनापासून घटक 2, 2, 3 आणि 7 मध्ये आपण 2, 3, 3 आणि 3 संख्या 648 च्या विघटनापासून गहाळ घटक जोडतो, आपल्याला 2 2 2 3 3 3 3 7 हे गुण मिळतात. जे 4 536 च्या बरोबरीचे आहे. अशा प्रकारे, 84 आणि 648 संख्यांचा इच्छित किमान सामान्य गुणक 4,536 आहे.

तीन किंवा अधिक संख्यांचा LCM शोधणे

दोन संख्यांचा LCM क्रमवार शोधून तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधता येतो. संबंधित प्रमेय आठवा, जे तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्याचा मार्ग देते.

a 1 , a 2 , …, a k ची सकारात्मक पूर्णांक द्या, या संख्यांपैकी किमान सामान्य एकाधिक m k अनुक्रमिक गणनेमध्ये आढळतात m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a ३) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

चार संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधण्याच्या उदाहरणावर या प्रमेयाच्या वापराचा विचार करा.

140 , 9 , 54 आणि 250 या चार संख्यांचे LCM शोधा.

प्रथम आपण शोधू m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . हे करण्यासाठी, युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून, आम्ही gcd(140, 9) निर्धारित करतो, आमच्याकडे 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 आहे, म्हणून, gcd( 140, 9)=1 , जेथून LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . म्हणजे, m 2 = 1 260 .

आता आपण शोधू m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . चला gcd(1 260, 54) द्वारे गणना करूया, जे युक्लिड अल्गोरिदमद्वारे देखील निर्धारित केले जाते: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . नंतर gcd(1 260, 54)=18 , जेथून LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . म्हणजे, m 3 \u003d 3 780.

m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) शोधणे बाकी आहे. हे करण्यासाठी, आम्ही युक्लिड अल्गोरिदम वापरून GCD(3 780, 250) शोधतो: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . म्हणून, gcd(3 780, 250)=10 , म्हणून LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . म्हणजे, m 4 \u003d 94 500.

तर मूळ चार संख्यांचा किमान सामान्य गुणक 94,500 आहे.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

बर्‍याच प्रकरणांमध्ये, तीन किंवा त्याहून अधिक संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक हे दिलेल्या संख्यांचे मूळ गुणांकन वापरून सोयीस्करपणे आढळतात. त्याच वेळी, एखाद्याने पालन केले पाहिजे पुढील नियम. अनेक संख्यांचा कमीत कमी सामान्य गुणक हा गुणाकाराच्या बरोबरीचा असतो, जो खालील प्रमाणे बनलेला असतो: दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारातील गहाळ घटक पहिल्या संख्येच्या विस्तारापासून सर्व घटकांमध्ये जोडले जातात, च्या विस्तारातील गहाळ घटक तिसरा क्रमांक प्राप्त घटकांमध्ये जोडला जातो, आणि असेच.

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 या पाच संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

प्रथम, आपण या संख्यांचे विघटन अविभाज्य घटकांमध्ये प्राप्त करतो: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ही मूळ संख्या आहे, ती त्याच्या विघटनाशी मूळ घटकांमध्ये जुळते) आणि १४३=११ १३ .

या संख्यांचा LCM शोधण्यासाठी, पहिल्या क्रमांक 84 च्या घटकांमध्ये (ते 2 , 2 , 3 आणि 7 आहेत) तुम्हाला दुसऱ्या क्रमांक 6 च्या विस्तारातून गहाळ घटक जोडणे आवश्यक आहे. क्रमांक 6 च्या विस्तारामध्ये गहाळ घटक नसतात, कारण पहिल्या क्रमांक 84 च्या विस्तारामध्ये 2 आणि 3 दोन्ही आधीच उपस्थित आहेत. 2 , 2 , 3 आणि 7 च्या पुढे आपण तिसर्‍या क्रमांक 48 च्या विस्तारातून गहाळ घटक 2 आणि 2 जोडतो , आपल्याला 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 घटकांचा संच मिळतो . पुढील चरणात या संचामध्ये घटक जोडण्याची गरज नाही, कारण त्यात 7 आधीच समाविष्ट आहे. शेवटी, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 या घटकांमध्ये आपण 143 क्रमांकाच्या विस्तारातून 11 आणि 13 गहाळ घटक जोडतो. आम्हाला उत्पादन मिळते 2 2 2 2 3 7 11 13 , जे 48 048 च्या बरोबरीचे आहे.

म्हणून, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

ऋण संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य बहुविध शोधणे

काहीवेळा अशी कार्ये असतात ज्यात आपल्याला संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधण्याची आवश्यकता असते, त्यापैकी एक, अनेक किंवा सर्व संख्या ऋण असतात. या प्रकरणांमध्ये, सर्व ऋण संख्या त्यांच्या विरुद्ध संख्यांनी बदलणे आवश्यक आहे, त्यानंतर सकारात्मक संख्यांचा LCM सापडला पाहिजे. ऋण संख्यांचा LCM शोधण्याचा हा मार्ग आहे. उदाहरणार्थ, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) आणि LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .

आपण हे करू शकतो कारण a च्या गुणाकारांचा संच −a (a आणि −a विरुद्ध संख्यांच्या संचाप्रमाणे आहे). खरंच, b हा a चा काही गुणक असू द्या, नंतर b हा a ने भाग जातो आणि विभाज्यतेची संकल्पना b=a q अशा पूर्णांकाच्या अस्तित्वाची पुष्टी करते. पण समानता b=(−a)·(−q) देखील सत्य असेल, ज्याचा, विभाज्यतेच्या समान संकल्पनेमुळे, म्हणजे b हा −a ने भाग जातो, म्हणजेच b हा −a चा गुणाकार आहे. संभाषण विधान देखील सत्य आहे: जर b हा −a चा काही गुणाकार असेल, तर b हा a चा गुणक देखील आहे.

−145 आणि −45 या ऋण संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

ऋण संख्या −145 आणि −45 त्यांच्या विरुद्ध संख्या 145 आणि 45 ने बदलू. आमच्याकडे LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) आहे. gcd(145, 45)=5 (उदाहरणार्थ, युक्लिड अल्गोरिदम वापरून) निर्धारित केल्यावर, आम्ही LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 ची गणना करतो. अशा प्रकारे, ऋण पूर्णांक −145 आणि −45 मधील किमान सामान्य गुणक 1,305 आहे.

www.cleverstudents.ru

आम्ही विभागाचा अभ्यास सुरू ठेवतो. या धड्यात आपण संकल्पना पाहू जसे की GCDआणि एनओसी.

GCDसर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे.

एनओसीसर्वात कमी सामान्य गुणाकार आहे.

विषय ऐवजी कंटाळवाणा आहे, परंतु तो समजून घेणे आवश्यक आहे. हा विषय समजून घेतल्याशिवाय, तुम्ही गणितातील खरा अडथळा असलेल्या अपूर्णांकांसह प्रभावीपणे काम करू शकणार नाही.

सर्वात मोठा सामाईक भाजक

व्याख्या. संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक aआणि b aआणि bउर्वरित न करता विभागले.

ही व्याख्या चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, आम्ही व्हेरिएबल्सऐवजी बदलतो aआणि bकोणत्याही दोन संख्या, उदाहरणार्थ, व्हेरिएबलऐवजी aसंख्या 12 आणि व्हेरिएबल ऐवजी बदला bसंख्या 9. आता ही व्याख्या वाचण्याचा प्रयत्न करूया:

संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक 12 आणि 9 ज्याद्वारे सर्वात मोठी संख्या आहे 12 आणि 9 उर्वरित न करता विभागले.

व्याख्येवरून हे स्पष्ट होते की आपण 12 आणि 9 या संख्यांच्या सामाईक विभाजकाबद्दल बोलत आहोत आणि हा विभाजक सर्व विद्यमान विभाजकांपैकी सर्वात मोठा आहे. हा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक (gcd) शोधणे आवश्यक आहे.

दोन संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्यासाठी, तीन पद्धती वापरल्या जातात. पहिली पद्धत खूप वेळ घेणारी आहे, परंतु ती आपल्याला विषयाचे सार चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यास आणि त्याचा संपूर्ण अर्थ जाणवू देते.

दुसरी आणि तिसरी पद्धती अगदी सोपी आहेत आणि GCD त्वरीत शोधणे शक्य करतात. आम्ही सर्व तीन पद्धतींचा विचार करू. आणि सराव मध्ये काय लागू करायचे - आपण निवडा.

पहिला मार्ग म्हणजे दोन संख्यांचे सर्व संभाव्य विभाजक शोधणे आणि त्यापैकी सर्वात मोठे निवडणे. या पद्धतीचा पुढील उदाहरणात विचार करूया. 12 आणि 9 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधा.

प्रथम, आम्हाला 12 या संख्येचे सर्व संभाव्य विभाजक सापडतात. हे करण्यासाठी, आम्ही 1 ते 12 या श्रेणीतील सर्व विभाजकांमध्ये 12 ला विभाजित करतो. जर विभाजक आम्हाला 12 ला उरलेल्या भागाशिवाय विभाजित करू देतो, तर आम्ही ते निळ्या रंगात हायलाइट करू आणि कंसात योग्य स्पष्टीकरण करा.

12: 1 = 12
(12 ला 1 ने भागाकार उरला नाही, म्हणून 1 हा 12 चा विभाजक आहे)

12: 2 = 6
(12 ला 2 ने भाग न घेता उर्वरित, म्हणून 2 हा 12 चा विभाजक आहे)

12: 3 = 4
(12 ला 3 ने भाग न घेता उर्वरित, म्हणून 3 हा 12 चा भागाकार आहे)

12: 4 = 3
(12 ला 4 ने भाग न घेता उर्वरित, म्हणून 4 हा 12 चा भागाकार आहे)

12:5 = 2 (2 बाकी)
(12 ला 5 ने भागले नाही तर 12 चा भागाकार नाही)

12: 6 = 2
(12 ला 6 ने भागाकार उरला नाही, म्हणून 6 हा 12 चा भागाकार आहे)

12: 7 = 1 (5 बाकी)
(12 ला 7 ने भागाकार उरलेला नाही, म्हणून 7 हा 12 चा भागाकार नाही)

12: 8 = 1 (4 बाकी)
(12 ला 8 ने भागाकार उरला नाही, म्हणून 8 हा 12 चा भागाकार नाही)

१२:९ = १ (३ बाकी)
(12 ला 9 ने भागाकार उरलेला नाही, म्हणून 9 हा 12 चा भागाकार नाही)

12: 10 = 1 (2 बाकी)
(12 ला 10 ने भागाकार उरलेला नाही, म्हणून 10 हा 12 चा भागाकार नाही)

12:11 = 1 (1 बाकी)
(12 ला 11 ने भागाकार उरलेला नाही, म्हणून 11 हा 12 चा भागाकार नाही)

12: 12 = 1
(12 ला 12 ने भाग न घेता, 12 हा 12 चा भागाकार आहे)

आता 9 क्रमांकाचे विभाजक शोधू. हे करण्यासाठी, 1 ते 9 पर्यंतचे सर्व विभाजक तपासा.

9: 1 = 9
(9 ला 1 ने भागाकार उरला नाही, म्हणून 1 हा 9 चा भागाकार आहे)

9: 2 = 4 (1 बाकी)
(9 ला 2 ने भागाकार उरला नाही, म्हणून 2 हा 9 चा भागाकार नाही)

9: 3 = 3
(9 ला 3 ने भागाकार उरला नाही, म्हणून 3 हा 9 चा भागाकार आहे)

9: 4 = 2 (1 बाकी)
(9 ला 4 ने भागाकार उरलेला नाही, म्हणून 4 हा 9 चा भागाकार नाही)

९:५ = १ (४ बाकी)
(9 ला 5 ने भागाकार उरला नाही, म्हणून 5 हा 9 चा भागाकार नाही)

9: 6 = 1 (3 बाकी)
(9 ला 6 ने भागाकार न करता उरला नाही, म्हणून 6 हा 9 चा भागाकार नाही)

९:७ = १ (२ बाकी)
(9 ला 7 ने भागाकार उरलेला नाही, म्हणून 7 हा 9 चा भागाकार नाही)

९:८ = १ (१ बाकी)
(9 ला 8 ने भागाकार भागाकार उरला नाही, म्हणून 8 हा 9 चा भागाकार नाही)

9: 9 = 1
(9 ला 9 ने भाग न घेता, 9 हा 9 चा भागाकार आहे)

आता दोन्ही संख्यांचे विभाजक लिहा. निळ्या रंगात ठळक केलेले अंक हे विभाजक आहेत. चला ते लिहूया:

विभाजक लिहिल्यानंतर, आपण त्वरित निर्धारित करू शकता की कोणता सर्वात मोठा आणि सर्वात सामान्य आहे.

व्याख्येनुसार, 12 आणि 9 चा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक ही संख्या आहे ज्याद्वारे 12 आणि 9 समान रीतीने विभाज्य आहेत. 12 आणि 9 या संख्यांचा सर्वात मोठा आणि सामान्य विभाजक हा क्रमांक 3 आहे

संख्या 12 आणि 9 क्रमांक दोन्ही 3 ने निःशेष भाग जात नाहीत:

तर gcd (12 आणि 9) = 3

GCD शोधण्याचा दुसरा मार्ग

आता सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याचा दुसरा मार्ग विचारात घ्या. या पद्धतीचे सार म्हणजे दोन्ही संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे आणि सामान्य संख्यांचा गुणाकार करणे.

उदाहरण १. 24 आणि 18 संख्यांची GCD शोधा

प्रथम, दोन्ही संख्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये घटक घेऊ या:

आता आपण त्यांचे सामान्य घटक गुणाकार करतो. गोंधळ न होण्यासाठी, सामान्य घटक अधोरेखित केले जाऊ शकतात.

आपण 24 क्रमांकाचे विघटन पाहतो. त्याचा पहिला घटक 2 आहे. आपण 18 क्रमांकाच्या विघटनात तोच घटक शोधत आहोत आणि तो देखील आहे हे पाहतो. आम्ही दोन्ही दोन अधोरेखित करतो:

पुन्हा आपण 24 क्रमांकाचे विघटन पाहतो. त्याचा दुसरा घटक देखील 2 आहे. आपण 18 क्रमांकाच्या विघटनात तोच घटक शोधत आहोत आणि तो दुसऱ्यांदा नाही हे पाहतो. मग आम्ही काहीही हायलाइट करत नाही.

24 क्रमांकाच्या विस्तारातील पुढील दोन क्रमांक 18 च्या विस्तारात देखील गहाळ आहेत.

आपण 24 क्रमांकाच्या विघटनाच्या शेवटच्या घटकाकडे जातो. हा घटक 3 आहे. आपण 18 क्रमांकाच्या विघटनामध्ये तोच घटक शोधत आहोत आणि तो तिथेही आहे हे आपण पाहतो. आम्ही दोन्ही तीन गोष्टींवर जोर देतो:

तर, संख्या 24 आणि 18 चे सामान्य घटक 2 आणि 3 आहेत. GCD मिळवण्यासाठी, या घटकांचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे:

तर gcd (24 आणि 18) = 6

GCD शोधण्याचा तिसरा मार्ग

आता सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधण्याचा तिसरा मार्ग विचारात घ्या. या पद्धतीचे सार या वस्तुस्थितीत आहे की सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकासाठी ज्या संख्यांचा शोध घ्यायचा आहे ते अविभाज्य घटकांमध्ये विघटित केले जातात. त्यानंतर, पहिल्या क्रमांकाच्या विघटनापासून, दुसऱ्या क्रमांकाच्या विघटनामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक हटवले जातात. पहिल्या विस्तारातील उर्वरित संख्यांचा गुणाकार केला जातो आणि त्यांना GCD मिळते.

उदाहरणार्थ, अशा प्रकारे 28 आणि 16 अंकांसाठी GCD शोधू. सर्व प्रथम, आम्ही या संख्यांचे मुख्य घटकांमध्ये विघटन करतो:

आम्हाला दोन विस्तार मिळाले: आणि

आता, पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून, आम्ही दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक हटवतो. दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये सातचा समावेश नाही. आम्ही पहिल्या विस्तारातून ते हटवू:

आता आम्ही उर्वरित घटकांचा गुणाकार करतो आणि GCD मिळवतो:

संख्या 4 हा 28 आणि 16 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक आहे. या दोन्ही संख्यांना 4 ने निःशेष भाग जात नाही:

उदाहरण २ 100 आणि 40 अंकांची GCD शोधा

100 चा आकडा काढणे

40 क्रमांकाचे गुणांकन

आम्हाला दोन विस्तार मिळाले:

आता, पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून, आम्ही दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक हटवतो. दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये एक पाच समाविष्ट नाही (तेथे फक्त एक पाच आहे). आम्ही पहिल्या विघटनापासून ते हटवतो

उर्वरित संख्यांचा गुणाकार करा:

आम्हाला 20 हे उत्तर मिळाले. तर 20 ही संख्या 100 आणि 40 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक आहे. या दोन संख्यांना 20 ने निःशेष भाग जात नाही.

GCD (100 आणि 40) = 20.

उदाहरण ३ 72 आणि 128 क्रमांकांची gcd शोधा

संख्या 72 चे गुणांकन

संख्या 128 बाहेर काढणे

2×2×2×2×2×2×2

आता, पहिल्या क्रमांकाच्या विस्तारापासून, आम्ही दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये समाविष्ट नसलेले घटक हटवतो. दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये दोन तिप्पट समाविष्ट नाहीत (एकही नाही). आम्ही त्यांना पहिल्या विघटनातून हटवतो:

आम्हाला 8 चे उत्तर मिळाले. तर 8 ही संख्या 72 आणि 128 मधील सर्वात मोठा सामाईक विभाजक आहे. या दोन संख्यांना 8 ने निःशेष भाग जात नाही:

GCD (72 आणि 128) = 8

एकाधिक संख्यांसाठी GCD शोधत आहे

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक अनेक संख्यांसाठी आढळू शकतो, फक्त दोनसाठी नाही. यासाठी, सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकासाठी शोधल्या जाणार्‍या संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन केले जाते, त्यानंतर या संख्यांच्या सामान्य मूळ घटकांचे गुणाकार आढळतात.

उदाहरणार्थ, 18, 24 आणि 36 अंकांसाठी GCD शोधू

18 क्रमांकाचे गुणांकन

24 क्रमांकाचे गुणांकन

संख्या 36 चे गुणांकन

आम्हाला तीन विस्तार मिळाले:

आता आपण या संख्यांमधील सामान्य घटक निवडतो आणि अधोरेखित करतो. तिन्ही संख्यांमध्ये सामान्य घटक समाविष्ट करणे आवश्यक आहे:

आम्ही पाहतो की संख्या 18, 24 आणि 36 साठी सामान्य घटक हे घटक 2 आणि 3 आहेत. या घटकांचा गुणाकार करून, आम्ही शोधत असलेला GCD मिळवतो:

आम्हाला उत्तर मिळाले 6. तर संख्या 6 हा 18, 24 आणि 36 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामाईक विभाजक आहे. या तीन संख्यांना 6 ने निःशेष भाग जातो:

GCD (18, 24 आणि 36) = 6

उदाहरण २ 12, 24, 36 आणि 42 क्रमांकांसाठी gcd शोधा

चला प्रत्येक संख्येचे फॅक्टराइज करू. मग आपल्याला या संख्यांच्या सामान्य घटकांचे गुणांकन सापडते.

संख्या 12 चे गुणांकन

42 क्रमांकाचे गुणांकन

आम्हाला चार विस्तार मिळाले:

आता आपण या संख्यांमधील सामान्य घटक निवडतो आणि अधोरेखित करतो. सर्व चार संख्यांमध्ये सामान्य घटक समाविष्ट करणे आवश्यक आहे:

आम्ही पाहतो की 12, 24, 36, आणि 42 या संख्यांचे सामान्य घटक हे घटक 2 आणि 3 आहेत. या घटकांचा गुणाकार केल्याने, आम्ही शोधत असलेला GCD मिळवतो:

आम्हाला उत्तर मिळाले 6. तर संख्या 6 हा 12, 24, 36 आणि 42 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे. या संख्यांना 6 ने निःशेष भाग जातो:

gcd(12, 24, 36 आणि 42) = 6

मागील धड्यावरून, आपल्याला माहित आहे की जर काही संख्येला उरलेल्या संख्येशिवाय दुसर्‍याने भागले असेल तर त्याला या संख्येचा गुणाकार म्हणतात.

असे दिसून आले की एक गुणाकार अनेक संख्यांसाठी सामान्य असू शकतो. आणि आता आपल्याला दोन संख्यांच्या पटीत रस असेल, तर ते शक्य तितके लहान असावे.

व्याख्या. संख्यांची किमान सामान्य मल्टिपल (LCM). aआणि ब- aआणि b aआणि संख्या b.

व्याख्येमध्ये दोन चल असतात aआणि b. या व्हेरिएबल्ससाठी कोणत्याही दोन संख्यांची जागा घेऊ. उदाहरणार्थ, व्हेरिएबलऐवजी aव्हेरिएबलच्या ऐवजी क्रमांक 9 आणि बदला bचला संख्या 12 ची जागा घेऊ. आता व्याख्या वाचण्याचा प्रयत्न करूया:

संख्यांची किमान सामान्य मल्टिपल (LCM). 9 आणि 12 - च्या गुणाकार असलेली सर्वात लहान संख्या आहे 9 आणि 12 . दुसर्‍या शब्दांत, ही इतकी लहान संख्या आहे जी संख्येने उर्वरित न भागता येते 9 आणि नंबर वर 12 .

व्याख्येवरून हे स्पष्ट होते की LCM ही सर्वात लहान संख्या आहे जी 9 आणि 12 ने निःशेष भागाशिवाय आहे. हा LCM शोधणे आवश्यक आहे.

किमान सामान्य एकाधिक (LCM) शोधण्याचे दोन मार्ग आहेत. पहिला मार्ग असा आहे की तुम्ही दोन संख्यांचे पहिले गुणाकार लिहू शकता आणि नंतर या गुणाकारांमधून अशी संख्या निवडू शकता जी संख्या आणि लहान दोन्हीसाठी समान असेल. चला ही पद्धत लागू करूया.

सर्व प्रथम, 9 या संख्येचा पहिला गुणाकार शोधू या. 9 साठी गुणाकार शोधण्यासाठी, तुम्हाला या नऊचा 1 ते 9 पर्यंतच्या संख्येने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. तुम्हाला जी उत्तरे मिळतील ती संख्या 9 चे गुणाकार असतील. , आपण सुरु करू. अनेक लाल रंगात हायलाइट केले जातील:

आता आपल्याला 12 च्या संख्येसाठी गुणाकार सापडतो. हे करण्यासाठी आपण 12 ला सर्व संख्या 1 ते 12 ने गुणाकार करतो.

किमान सामान्य गुणक शोधण्याचे तीन मार्ग विचारात घ्या.

फॅक्टरिंगद्वारे शोधणे

पहिला मार्ग म्हणजे दिलेल्या संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये गुणांकन करून किमान सामान्य गुणक शोधणे.

समजा आपल्याला संख्यांचा LCM शोधायचा आहे: 99, 30 आणि 28. हे करण्यासाठी, आपण या प्रत्येक संख्येचे मूळ घटकांमध्ये विघटन करतो:

इच्छित संख्येला 99, 30 आणि 28 ने निःशेष भाग जाण्यासाठी, त्यात या विभाजकांच्या सर्व मूळ घटकांचा समावेश असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे. हे करण्यासाठी, आपल्याला या संख्यांचे सर्व मूळ घटक सर्वोच्च बळावर नेले पाहिजेत आणि त्यांना एकत्र गुणाकार करावा लागेल:

२ २ ३ २ ५ ७ ११ = १३ ८६०

तर LCM (99, 30, 28) = 13,860. 13,860 पेक्षा कमी असलेली दुसरी कोणतीही संख्या 99, 30 किंवा 28 ने समान रीतीने भागता येणार नाही.

दिलेल्या संख्यांचा कमीत कमी सामान्य गुणक शोधण्यासाठी, तुम्हाला त्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन करणे आवश्यक आहे, त्यानंतर प्रत्येक अविभाज्य घटक ज्याच्या बरोबर येतो त्या सर्वात मोठ्या घातांकासह घ्या आणि या घटकांचा एकत्रितपणे गुणाकार करा.

कॉप्राइम संख्यांना कोणतेही सामान्य अविभाज्य घटक नसल्यामुळे, त्यांचा किमान सामान्य गुणक या संख्यांच्या गुणाकाराच्या समान असतो. उदाहरणार्थ, तीन संख्या: 20, 49 आणि 33 coprime आहेत. तर

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

विविध अविभाज्य संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधतानाही असेच केले पाहिजे. उदाहरणार्थ, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

निवडीनुसार शोधणे

दुसरा मार्ग म्हणजे फिटिंगद्वारे किमान सामान्य गुणक शोधणे.

उदाहरण 1. जेव्हा दिलेल्या संख्यांपैकी सर्वात मोठी संख्या इतर दिलेल्या संख्यांद्वारे समान रीतीने भाग जाते, तेव्हा या संख्यांचा LCM त्यांच्या मोठ्या संख्येइतका असतो. उदाहरणार्थ, चार संख्या दिल्या आहेत: 60, 30, 10 आणि 6. त्यापैकी प्रत्येकाला 60 ने भाग जातो, म्हणून:

NOC(६०, ३०, १०, ६) = ६०

इतर प्रकरणांमध्ये, किमान सामान्य गुणक शोधण्यासाठी, खालील प्रक्रिया वापरली जाते:

1. दिलेल्या संख्यांमधून सर्वात मोठी संख्या निश्चित करा.
2. पुढे, आम्हाला सर्वात मोठ्या संख्येच्या गुणाकार असलेल्या संख्या सापडतात, नैसर्गिक संख्यांनी त्यांचा चढत्या क्रमाने गुणाकार केला जातो आणि उर्वरित दिलेल्या संख्यांना परिणामी गुणाकाराने भाग जातो की नाही ते तपासतो.

उदाहरण 2. 24, 3 आणि 18 या तीन संख्या दिल्या आहेत. त्यापैकी सर्वात मोठी संख्या निश्चित करा - ही संख्या 24 आहे. पुढे, 24 चे गुणाकार शोधा, त्यातील प्रत्येकाला 18 आणि 3 ने भाग जातो का ते तपासा:

24 1 = 24 हा 3 ने भाग जातो परंतु 18 ने भाग जात नाही.

24 2 = 48 - 3 ने विभाज्य परंतु 18 ने भाग जात नाही.

24 3 \u003d 72 - 3 आणि 18 ने विभाज्य.

तर LCM(24, 3, 18) = 72.

अनुक्रमिक शोध LCM द्वारे शोधणे

तिसरा मार्ग म्हणजे LCM शोधून किमान सामान्य गुणक शोधणे.

दोन दिलेल्या संख्यांचा LCM हा या संख्यांच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचा त्यांच्या सर्वांत मोठ्या सामाईक विभाजकाने भागलेला असतो.

उदाहरण 1. दिलेल्या दोन संख्यांचे LCM शोधा: 12 आणि 8. त्यांचा सर्वात मोठा सामान्य भाजक ठरवा: GCD (12, 8) = 4. या संख्यांचा गुणाकार करा:

आम्ही उत्पादन त्यांच्या GCD मध्ये विभाजित करतो:

तर LCM(12, 8) = 24.

तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्यासाठी, खालील प्रक्रिया वापरली जाते:

1. प्रथम, दिलेल्या कोणत्याही दोन संख्यांचा LCM आढळतो.
2. त्यानंतर, आढळलेल्या किमान सामान्य गुणाकाराचा LCM आणि दिलेल्या तिसऱ्या क्रमांकाचा.
3. त्यानंतर, परिणामी किमान सामान्य मल्टिपल आणि चौथ्या क्रमांकाचा LCM, आणि असेच.
4. अशा प्रकारे जोपर्यंत संख्या आहेत तोपर्यंत एलसीएम शोध चालू राहतो.

उदाहरण 2. दिलेल्या तीन संख्यांचा LCM शोधू या: 12, 8 आणि 9. मागील उदाहरणामध्ये 12 आणि 8 या संख्यांचा LCM आधीच सापडला आहे (ही संख्या 24 आहे). 24 चा सर्वात कमी सामान्य गुणाकार आणि तिसरी दिलेली संख्या शोधणे बाकी आहे - 9. त्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक निश्चित करा: gcd (24, 9) = 3. LCM 9 सह गुणाकार करा:

आम्ही उत्पादन त्यांच्या GCD मध्ये विभाजित करतो:

तर LCM(12, 8, 9) = 72.

दोन संख्यांचा सर्वात कमी सामाईक गुणाकार थेट त्या संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकाशी संबंधित आहे. या GCD आणि NOC मधील दुवाखालील प्रमेयाद्वारे परिभाषित केले आहे.

प्रमेय.

a आणि b या दोन धन पूर्णांकांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक a आणि b या संख्यांच्या गुणाकाराच्या समान आहे a आणि b संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामाईक विभाजकाने, म्हणजे, LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

पुरावा.

असू द्या M ही संख्या a आणि b चे काही गुणक आहे. म्हणजेच, M हा a ने विभाज्य आहे आणि विभाज्यतेच्या व्याख्येनुसार, काही पूर्णांक k आहे जसे की समानता M=a·k सत्य आहे. पण M ला देखील b ने भाग जातो, नंतर a k ला b ने भाग जातो.

d म्हणून gcd(a, b) दर्शवा. मग आपण समानता a=a 1 ·d आणि b=b 1 ·d लिहू शकतो आणि a 1 =a:d आणि b 1 =b:d या कॉप्राइम नंबर असतील. म्हणून, मागील परिच्छेदात प्राप्त केलेली अट ही की a k ला b ने भाग जाते हे खालीलप्रमाणे सुधारले जाऊ शकते: a 1 d k ला b 1 d ने भाग जातो आणि हे, विभाज्यतेच्या गुणधर्मांमुळे, 1 k या स्थितीशी समतुल्य आहे. b एक ने भाग जातो.

आपल्याला विचारात घेतलेल्या प्रमेयातील दोन महत्त्वाच्या प्रतिफल देखील लिहिण्याची गरज आहे.

दोन संख्यांचे सामाईक गुणाकार त्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या गुणाकारांसारखेच असतात.

हे खरे आहे, कारण M संख्या a आणि b ची कोणतीही सामान्य गुणाकार काही पूर्णांक मूल्य t साठी समानता M=LCM(a, b) t द्वारे परिभाषित केली जाते.

कॉप्राइम पॉझिटिव्ह संख्या a आणि b चा सर्वात कमी सामान्य गुणाकार त्यांच्या गुणाकाराच्या समान आहे.

या वस्तुस्थितीचा तर्क अगदी स्पष्ट आहे. a आणि b coprime असल्याने, gcd(a, b)=1 , म्हणून, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार

तीन किंवा त्याहून अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधणे क्रमाने दोन संख्यांचे LCM शोधण्यासाठी कमी केले जाऊ शकते. हे कसे केले जाते ते पुढील प्रमेयात सूचित केले आहे. a 1 , a 2 , …, a k संख्या m k-1 आणि a k च्या सामान्य गुणाकारांशी एकरूप होतात, म्हणून m k च्या गुणाकारांशी एकरूप होतात. आणि m k संख्याचा किमान धनात्मक गुणाकार m k ही संख्या आहे, तर संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक a 1 , a 2 , …, a k हा m k आहे.

संदर्भग्रंथ.

• Vilenkin N.Ya. इ. गणित. ग्रेड 6: शैक्षणिक संस्थांसाठी पाठ्यपुस्तक.
• विनोग्राडोव्ह आय.एम. संख्या सिद्धांताची मूलभूत तत्त्वे.
• मिखेलोविच Sh.Kh. संख्या सिद्धांत.
• कुलिकोव्ह एल.या. आणि इतर. बीजगणित आणि संख्या सिद्धांतातील समस्यांचा संग्रह: ट्यूटोरियलभौतिकशास्त्र आणि गणिताच्या विद्यार्थ्यांसाठी. शैक्षणिक संस्थांची वैशिष्ट्ये.

ऑनलाइन कॅल्क्युलेटर तुम्हाला दोन किंवा इतर कोणत्याही संख्येचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आणि कमीत कमी सामाईक गुणाकार शोधण्याची परवानगी देतो.

GCD आणि NOC शोधण्यासाठी कॅल्क्युलेटर

GCD आणि NOC शोधा

GCD आणि NOC आढळले: 6433

कॅल्क्युलेटर कसे वापरावे

• इनपुट फील्डमध्ये संख्या प्रविष्ट करा
• चुकीची अक्षरे प्रविष्ट केल्यास, इनपुट फील्ड लाल रंगात हायलाइट केले जाईल
• "GCD आणि NOC शोधा" बटण दाबा

क्रमांक कसे प्रविष्ट करावे

• संख्या स्पेस, बिंदू किंवा स्वल्पविरामाने विभक्त करून प्रविष्ट केल्या आहेत
• प्रविष्ट केलेल्या संख्यांची लांबी मर्यादित नाही, त्यामुळे लांब संख्यांचे gcd आणि lcm शोधणे कठीण होणार नाही

NOD आणि NOK म्हणजे काय?

सर्वात मोठा सामाईक भाजकअनेक संख्यांची संख्या ही सर्वात मोठी नैसर्गिक पूर्णांक आहे ज्याद्वारे सर्व मूळ संख्या उरल्याशिवाय भागतात. सर्वात मोठा सामान्य विभाजक म्हणून संक्षिप्त केले जाते GCD.
किमान सामान्य एकाधिकअनेक संख्या ही सर्वात लहान संख्या आहे जी मूळ संख्यांपैकी प्रत्येकाने उर्वरित न करता भागता येते. किमान सामान्य गुणक असे संक्षिप्त केले जाते एनओसी.

एखाद्या संख्येला उरलेल्या संख्येशिवाय दुसर्‍या संख्येने भाग जातो का ते कसे तपासायचे?

एका संख्‍येला उरलेल्या संख्‍येशिवाय दुसर्‍या संख्‍येने भाग जातो की नाही हे शोधण्‍यासाठी, तुम्ही संख्‍येच्‍या विभाज्‍यतेचे काही गुणधर्म वापरू शकता. मग, त्यांना एकत्र करून, त्यापैकी काही आणि त्यांच्या संयोगाद्वारे विभाज्यता तपासता येते.

संख्यांच्या विभाज्यतेची काही चिन्हे

1. संख्येच्या 2 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
एखाद्या संख्येला दोनने भाग जातो की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी (ती सम असली तरी), या संख्येचा शेवटचा अंक पाहणे पुरेसे आहे: जर ती 0, 2, 4, 6 किंवा 8 च्या समान असेल, तर ती संख्या सम असेल, म्हणजे 2 ने भाग जातो.
उदाहरण: 34938 या संख्येला 2 ने भाग जात आहे का ते ठरवा.
निर्णय:शेवटचा अंक पहा: 8 म्हणजे संख्या दोन ने भाग जाते.

2. संख्येच्या 3 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
एखाद्या संख्येला 3 ने भाग जातो जेव्हा तिच्या अंकांची बेरीज 3 ने भाग जाते. अशा प्रकारे, एखाद्या संख्येला 3 ने भाग जातो की नाही हे निर्धारित करण्यासाठी, तुम्हाला अंकांची बेरीज मोजावी लागेल आणि ती 3 ने भागता येईल का ते तपासावे लागेल. जरी अंकांची बेरीज खूप मोठी असली तरीही तुम्ही तीच प्रक्रिया पुन्हा करू शकता. पुन्हा
उदाहरण: 34938 ही संख्या 3 ने निःशेष भाग जात आहे का ते ठरवा.
निर्णय:आपण अंकांची बेरीज मोजतो: 3+4+9+3+8 = 27. 27 हा 3 ने भाग जातो, याचा अर्थ ती संख्या तीन ने भाग जाते.

3. संख्येच्या 5 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
जेव्हा शेवटचा अंक शून्य किंवा पाच असतो तेव्हा संख्या 5 ने भागते.
उदाहरण: 34938 ही संख्या 5 ने भाग जात आहे की नाही ते ठरवा.
निर्णय:शेवटचा अंक पहा: 8 म्हणजे संख्या पाच ने भागता येत नाही.

4. संख्येच्या 9 ने विभाज्यतेचे चिन्ह
हे चिन्ह तीनने विभाज्यतेच्या चिन्हासारखेच आहे: जेव्हा संख्या 9 ने भागते तेव्हा त्याच्या अंकांची बेरीज 9 ने भाग जाते.
उदाहरण: 34938 ही संख्या 9 ने निःशेष भाग जात आहे का ते ठरवा.
निर्णय:आपण अंकांच्या बेरजेची गणना करतो: 3+4+9+3+8 = 27. 27 हा 9 ने भाग जातो, म्हणजे संख्या नऊ ने भाग जाते.

दोन संख्यांचे GCD आणि LCM कसे शोधायचे

दोन संख्यांचा GCD कसा शोधायचा

बहुतेक सोप्या पद्धतीनेदोन संख्यांच्या सर्वात मोठ्या सामाईक विभाजकाची गणना करणे म्हणजे त्या संख्यांचे सर्व संभाव्य विभाजक शोधणे आणि त्यातील सर्वात मोठा भाग निवडणे.

GCD(28, 36) शोधण्याचे उदाहरण वापरून या पद्धतीचा विचार करा:

1. आम्ही दोन्ही संख्यांचे गुणांकन करतो: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. आम्हाला सामान्य घटक सापडतात, म्हणजे ते जे दोन्ही संख्या आहेत: 1, 2 आणि 2.
3. आम्ही या घटकांच्या गुणाकाराची गणना करतो: 1 2 2 \u003d 4 - हा 28 आणि 36 अंकांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक आहे.

दोन संख्यांचा LCM कसा शोधायचा

दोन संख्यांचा सर्वात लहान गुणक शोधण्याचे दोन सर्वात सामान्य मार्ग आहेत. पहिला मार्ग असा आहे की तुम्ही दोन संख्यांचे पहिले गुणाकार लिहू शकता आणि नंतर त्यांच्यापैकी अशी संख्या निवडा जी दोन्ही संख्यांसाठी समान असेल आणि त्याच वेळी सर्वात लहान असेल. आणि दुसरे म्हणजे या संख्यांचे GCD शोधणे. चला फक्त त्याचा विचार करूया.

LCM ची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला मूळ संख्यांच्या गुणाकाराची गणना करणे आवश्यक आहे आणि नंतर त्यास पूर्वी सापडलेल्या GCD ने विभाजित करणे आवश्यक आहे. चला समान संख्या 28 आणि 36 साठी LCM शोधूया:

1. 28 आणि 36: 28 36 = 1008 या संख्यांचा गुणाकार शोधा
2. gcd(28, 36) आधीच 4 म्हणून ओळखले जाते
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

एकाधिक संख्यांसाठी GCD आणि LCM शोधणे

सर्वात मोठा सामान्य विभाजक अनेक संख्यांसाठी आढळू शकतो, फक्त दोनसाठी नाही. यासाठी, सर्वात मोठ्या सामान्य विभाजकासाठी शोधल्या जाणार्‍या संख्यांचे अविभाज्य घटकांमध्ये विघटन केले जाते, त्यानंतर या संख्यांच्या सामान्य मूळ घटकांचे गुणाकार आढळतात. तसेच, अनेक संख्यांची GCD शोधण्यासाठी, तुम्ही खालील संबंध वापरू शकता: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

समान संबंध संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकारावर देखील लागू होतो: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

उदाहरण:संख्या 12, 32 आणि 36 साठी GCD आणि LCM शोधा.

1. प्रथम, संख्यांचे फॅक्टराइज करू या: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. चला सामान्य घटक शोधू: 1, 2 आणि 2.
3. त्यांचे उत्पादन gcd देईल: 1 2 2 = 4
4. आता LCM शोधूया: यासाठी आपण प्रथम LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 शोधू.
5. तिन्ही संख्यांचा LCM शोधण्यासाठी, तुम्हाला GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 शोधणे आवश्यक आहे.
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

खाली सादर केलेली सामग्री ही LCM या शीर्षकाखालील लेखातील सिद्धांताचे तार्किक सातत्य आहे - किमान सामान्य एकाधिक, व्याख्या, उदाहरणे, LCM आणि GCD यांच्यातील संबंध. येथे आपण याबद्दल बोलू किमान सामान्य मल्टिपल (एलसीएम) शोधणे, आणि उदाहरणे सोडवण्याकडे विशेष लक्ष द्या. या संख्यांच्या GCD नुसार दोन संख्यांचा LCM कसा काढला जातो ते प्रथम दाखवू. पुढे, अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे गुणांकन करून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा विचार करा. त्यानंतर, आम्ही तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्यावर लक्ष केंद्रित करू, आणि ऋण संख्यांच्या LCM च्या गणनेकडे देखील लक्ष देऊ.

पृष्ठ नेव्हिगेशन.

gcd द्वारे किमान सामान्य एकाधिक (LCM) ची गणना

LCM आणि GCD मधील संबंधांवर आधारित किमान सामान्य गुणक शोधण्याचा एक मार्ग आहे. LCM आणि GCD मधील विद्यमान संबंध तुम्हाला ज्ञात सर्वात सामान्य विभाजकाद्वारे दोन सकारात्मक पूर्णांकांच्या किमान सामान्य गुणाकाराची गणना करण्यास अनुमती देतात. संबंधित सूत्रामध्ये फॉर्म आहे LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . वरील सूत्रानुसार LCM शोधण्याची उदाहरणे विचारात घ्या.

उदाहरण.

126 आणि 70 या दोन संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

निर्णय.

या उदाहरणात a=126 , b=70 . सूत्राद्वारे व्यक्त केलेले LCM आणि GCD यांच्यातील संबंध वापरू LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). म्हणजेच, प्रथम आपल्याला 70 आणि 126 या संख्यांचा सर्वात मोठा सामान्य विभाजक शोधावा लागेल, त्यानंतर आपण लिखित सूत्रानुसार या संख्यांचा LCM काढू शकतो.

युक्लिडचे अल्गोरिदम वापरून gcd(126, 70) शोधा: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , म्हणून gcd(126, 70)=14 .

आता आम्हाला आवश्यक किमान सामान्य गुणाकार सापडतो: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)=१२६ ७०:१४=६३० .

उत्तर:

LCM(126, 70)=630 .

उदाहरण.

LCM (68, 34) म्हणजे काय?

निर्णय.

म्हणून 68 हा 34 ने समान रीतीने भाग जातो, नंतर gcd(68, 34)=34. आता आम्ही किमान सामान्य गुणाकार मोजतो: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)=६८ ३४:३४=६८ .

उत्तर:

LCM(६८, ३४)=६८ .

लक्षात घ्या की मागील उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक a आणि b साठी LCM शोधण्यासाठी खालील नियमात बसते: जर a संख्या b ने भाग जात असेल, तर या संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक a आहे.

प्राइम फॅक्टर्समध्ये संख्यांचे फॅक्टरिंग करून LCM शोधणे

कमीत कमी सामान्य गुणक शोधण्याचा दुसरा मार्ग म्हणजे अविभाज्य घटकांमध्ये फॅक्टरिंग संख्यांवर आधारित. जर आपण या संख्यांच्या सर्व अविभाज्य घटकांचा गुणाकार केला, ज्यानंतर या संख्यांच्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व सामान्य मूळ घटक या उत्पादनातून वगळले, तर परिणामी उत्पादन या संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल.

एलसीएम शोधण्यासाठी घोषित केलेला नियम समानतेचे अनुसरण करतो LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). खरंच, a आणि b संख्यांचा गुणाकार हा a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे. या बदल्यात, gcd(a, b) हे सर्व अविभाज्य घटकांच्या गुणाकाराच्या समान आहे जे a आणि b संख्यांच्या विस्तारामध्ये एकाच वेळी उपस्थित असतात (ज्याचे वर्णन अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून gcd शोधण्याच्या विभागात केले आहे. ).

एक उदाहरण घेऊ. कळू द्या की 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. या विस्ताराच्या सर्व घटकांचे उत्पादन तयार करा: 2 3 3 5 5 5 7 . आता आम्ही या उत्पादनातून 75 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये आणि 210 क्रमांकाच्या विस्तारामध्ये उपस्थित असलेले सर्व घटक वगळले आहेत (असे घटक 3 आणि 5 आहेत), नंतर उत्पादन 2 3 5 5 7 फॉर्म घेईल. या उत्पादनाचे मूल्य 75 आणि 210 क्रमांकाच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

उदाहरण.

441 आणि 700 या संख्यांना अविभाज्य घटकांमध्ये फॅक्टर केल्यानंतर, या संख्यांपैकी किमान सामान्य गुणक शोधा.

निर्णय.

चला 441 आणि 700 या संख्यांचे मूळ घटकांमध्ये विघटन करूया:

आपल्याला 441=3 3 7 7 आणि 700=2 2 5 5 7 मिळतात.

आता या संख्यांच्या विस्तारामध्ये सामील असलेल्या सर्व घटकांचे गुणांकन करू या: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . दोन्ही विस्तारांमध्ये एकाच वेळी उपस्थित असलेले सर्व घटक या उत्पादनातून वगळू या (असा एकच घटक आहे - हा क्रमांक 7 आहे): 2 2 3 3 5 5 7 7 . अशा प्रकारे, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

उत्तर:

LCM(441, 700)= 44 100 .

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन करून LCM शोधण्याचा नियम थोड्या वेगळ्या पद्धतीने तयार केला जाऊ शकतो. जर आपण संख्या b च्या विस्तारापासून गहाळ घटक संख्या a च्या विघटनाच्या घटकांमध्ये जोडले, तर परिणामी उत्पादनाचे मूल्य a आणि b संख्यांच्या किमान सामान्य गुणाकाराच्या समान असेल..

उदाहरणार्थ, सर्व समान संख्या 75 आणि 210 घेऊ या, त्यांचे मूळ घटकांमध्ये विस्तार खालीलप्रमाणे आहेत: 75=3 5 5 आणि 210=2 3 5 7. संख्या 75 च्या विस्तारापासून 3, 5 आणि 5 या घटकांमध्ये, 210 क्रमांकाच्या विस्तारातून गहाळ घटक 2 आणि 7 जोडतो, आम्हाला 2 3 5 5 7 हे उत्पादन मिळते, ज्याचे मूल्य LCM(75) आहे. , 210).

उदाहरण.

84 आणि 648 चा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

निर्णय.

आम्ही प्रथम क्रमांक 84 आणि 648 चे विघटन अविभाज्य घटकांमध्ये प्राप्त करतो. ते 84=2 2 3 7 आणि 648=2 2 2 3 3 3 सारखे दिसतात. 84 क्रमांकाच्या विघटनापासून घटक 2, 2, 3 आणि 7 मध्ये आपण 2, 3, 3 आणि 3 संख्या 648 च्या विघटनापासून गहाळ घटक जोडतो, आपल्याला 2 2 2 3 3 3 3 7 हे गुण मिळतात. जे 4 536 च्या बरोबरीचे आहे. अशा प्रकारे, 84 आणि 648 संख्यांचा इच्छित किमान सामान्य गुणक 4,536 आहे.

उत्तर:

LCM(84, 648)=4 536 .

तीन किंवा अधिक संख्यांचा LCM शोधणे

दोन संख्यांचा LCM क्रमवार शोधून तीन किंवा अधिक संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधता येतो. संबंधित प्रमेय आठवा, जे तीन किंवा अधिक संख्यांचे LCM शोधण्याचा मार्ग देते.

प्रमेय.

a 1 , a 2 , …, a k ची सकारात्मक पूर्णांक द्या, या संख्यांपैकी किमान सामान्य एकाधिक m k अनुक्रमिक गणनेमध्ये आढळतात m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a ३) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

चार संख्यांचा किमान सामान्य गुणक शोधण्याच्या उदाहरणावर या प्रमेयाच्या वापराचा विचार करा.

उदाहरण.

140 , 9 , 54 आणि 250 या चार संख्यांचे LCM शोधा.

निर्णय.

या उदाहरणात a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

प्रथम आपण शोधतो m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). हे करण्यासाठी, युक्लिडियन अल्गोरिदम वापरून, आम्ही gcd(140, 9) निर्धारित करतो, आमच्याकडे 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 आहे, म्हणून, gcd( 140, 9)=1 , कुठून LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . म्हणजे, m 2 = 1 260 .

आता आम्ही शोधतो m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). चला gcd(1 260, 54) द्वारे गणना करूया, जे युक्लिड अल्गोरिदमद्वारे देखील निर्धारित केले जाते: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . नंतर gcd(1 260, 54)=18 , जेथून LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . म्हणजे, m 3 \u003d 3 780.

शोधण्यासाठी बाकी m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). हे करण्यासाठी, आम्ही युक्लिड अल्गोरिदम वापरून GCD(3 780, 250) शोधतो: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . म्हणून, gcd(3 780, 250)=10 , जिथून gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)=३ ७८० २५०:१०=९४ ५०० . म्हणजे, m 4 \u003d 94 500.

तर मूळ चार संख्यांचा किमान सामान्य गुणक 94,500 आहे.

उत्तर:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

बर्‍याच प्रकरणांमध्ये, तीन किंवा त्याहून अधिक संख्यांचा सर्वात कमी सामान्य गुणक हे दिलेल्या संख्यांचे मूळ गुणांकन वापरून सोयीस्करपणे आढळतात. या प्रकरणात, खालील नियमांचे पालन केले पाहिजे. अनेक संख्यांचा कमीत कमी सामान्य गुणक हा गुणाकाराच्या बरोबरीचा असतो, जो खालील प्रमाणे बनलेला असतो: दुसऱ्या क्रमांकाच्या विस्तारातील गहाळ घटक पहिल्या संख्येच्या विस्तारापासून सर्व घटकांमध्ये जोडले जातात, च्या विस्तारातील गहाळ घटक तिसरा क्रमांक प्राप्त घटकांमध्ये जोडला जातो, आणि असेच.

अविभाज्य घटकांमध्ये संख्यांचे विघटन वापरून किमान सामान्य गुणक शोधण्याचे उदाहरण विचारात घ्या.

उदाहरण.

84 , 6 , 48 , 7 , 143 या पाच संख्यांचा किमान सामान्य गुणाकार शोधा.

निर्णय.

प्रथम, आम्ही या संख्यांचा विस्तार अविभाज्य घटकांमध्ये मिळवतो: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 अविभाज्य घटक) आणि 143=11 13.

या संख्यांचे एलसीएम शोधण्यासाठी, पहिल्या क्रमांक 84 च्या घटकांमध्ये (ते 2 , 2 , 3 आणि 7 आहेत ) तुम्हाला दुसऱ्या क्रमांक 6 च्या विस्तारातून गहाळ घटक जोडणे आवश्यक आहे. क्रमांक 6 च्या विस्तारामध्ये गहाळ घटक नसतात, कारण पहिल्या क्रमांक 84 च्या विस्तारामध्ये 2 आणि 3 दोन्ही आधीच उपस्थित आहेत. 2 , 2 , 3 आणि 7 च्या पुढे आपण तिसर्‍या क्रमांक 48 च्या विस्तारातून गहाळ घटक 2 आणि 2 जोडतो , आपल्याला 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 घटकांचा संच मिळतो . पुढील चरणात या संचामध्ये घटक जोडण्याची गरज नाही, कारण त्यात 7 आधीच समाविष्ट आहे. शेवटी, 2 , 2 , 2 , 2 , 3 आणि 7 या घटकांमध्ये आपण 143 क्रमांकाच्या विस्तारातून 11 आणि 13 गहाळ घटक जोडतो. आम्हाला उत्पादन मिळते 2 2 2 2 3 7 11 13 , जे 48 048 च्या बरोबरीचे आहे.