Решение уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида ах + by = c , где а, b , c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b ) = d , то существуют такие целые числа х и у , что имеет место равенство ах + b у = d . (Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример .

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах + b у = 1 , если НОД(а, b ) = 1 , достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b .

Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Таким образом, чтобы найти одно целое решение уравнения ах + b у = 1, если НОД (а, в) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и в .

Пример.

Найти целое решение уравнения 15х + 37у = 1.

Решение.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Теорема 3 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = d >1 и с не делится на d , то уравнение целых решений не имеет.

Для доказательства теоремы достаточно предположить противное.

Пример .

Найти целое решение уравнения 16х - 34у = 7.

Решение .

(16,34)=2; 7 не делится на 2, уравнение целых решений не имеет

Теорема 4 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = d >1 и с d , то оно

При доказательстве теоремы следует показать, что произвольное целое решение первого уравнения является также решением второго уравнения и обратно.

Теорема 5 . Если в уравнении ах + b у = с НОД(а, b ) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:

t – любое целое число.

При доказательстве теоремы следует показать, во-первых, что приведенные формулы действительно дают решения данного уравнения и, во-вторых, что произвольное целое решение этого уравнения заключено в приведенных формулах.

Приведенные теоремы позволяют установить следующее правило решения в целых числах уравнения ах+ b у = с НОД(а, b ) = 1:

1) Находится целое решение уравнения ах + b у = 1 путем представления 1 как линейной комбинации чисел а и b (существуют и другие способы отыскания целых решений этого уравнения, например при использовании цепных дробей);

Составляется общая формула целых решений данного

Придавая t определенные целые значения, можно получить частные решения данного уравнения: наименьшие по абсолютной величине, наименьшие положительные (если можно) и т.д.

Пример .

Найти целые решения уравнения 407х - 2816у = 33 .

Решение.

1. Упрощаем данное уравнение, приводя его к виду 37х - 256у = 3.

2.Решаем уравнение 37х - 256у = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Общий вид всех целых решений данного уравнения:

х = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t ,

у = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t .

Метод полного перебора всех возможных значений переменных,

входящих в уравнение.

Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49х + 51у = 602.

Решение:

Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то х = 602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10 .

Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х=5, у=7.

Ответ: (5;7).

Решение уравнений методом разложения на множители.

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2

Решение:

Перепишем уравнение в виде: у 2 - х 2 = 23, (у - х)(у + х) = 23

Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:

Решая полученные системы, находим:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби.

Решить уравнение в целых числах: х 2 + ху – у – 2 = 0.

Решение:

Выразим из данного уравнения у через х:

у(х - 1) =2 - х 2 ,

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

• повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету
• формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Пример: 5x+2y=10

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Утверждение 1.

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Утверждение 2.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Утверждение 3.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

Где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

Утверждение 4.

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

1) 9x – 18y = 5

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

Ответ: (0;0), (2;2)

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

Ответ: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит
2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

Ответ: (-2;0), (2;0).

Ответы: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3), (10;-9).

в)

Ответ: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Итоги. Чтозначит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Приложение:

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения.

Прошлый видеоматериал был посвящен линейным уравнениям, содержащим две переменные. Мы рассмотрели основные свойства подобных выражений, возможности их преобразования и решения, а также графическое отображение зависимости между двумя переменными.

Известно, что подавляющее большинство этих уравнений имеют множество ответов, представленных всегда парой чисел. Эта пара - значения х и у. Рассмотрим возможные варианты корней уравнения следующего вида:

Очевидно, что корнями данного уравнения может быть пара (4, 6):

Или же дроби 1/5 и 1/3:

5(1/5) - 3(1/3) = 2

В обеих случаях получается верное равенство, значит обе пары корней приемлемы в качестве решения представляемого уравнения. Но при этом одна пара является дробями, а вторая представлена целыми числами. Корни уравнений с двумя переменными, имеющие значения в целых числах именуются цельно численными.
Довольно часто в математике встречаются задачи, требующие именно целочисленные решения подобных уравнений. С другой стороны, некоторые вариации, вроде:

Не имеют цельно численных решений вообще. Так как при любых целых значениях х и у получится целое общее выражение левой части (2х + 3у), которое никак не может быть равно дроби - то есть, нарушится принцип сохранения равенства.
Рассмотрим возможные решения уравнения:

Переведем его в форму зависимости, используя перенос через знак равенства и тождественные преобразования:

Вполне очевидно, что сохраняется равенство вида:

Где n - любое натуральное число, которое вполне может быть целым по значению. То есть, уравнение 7х - у = -1 обладает множеством целочисленных решений. Проверим любые целые числа в качестве х:

х = -3; у = -26

Нам уже известна общая абстрактная формула для определения любого линейного уравнения с двумя переменными:

Где х и у - переменные, а и b - коэффициенты при переменных, а с - свободный член. Любое уравнение, подобное линейным выражениям с х и у, путем равносильных преобразований можно привести к такому абстрактному виду. Подробное изучение общей формулы позволяет с легкостью выявить некоторые закономерности с точки зрения наличия целочисленных решений. Итак, если задано некое уравнение вида:

При котором свободный член является дробью, то корнями уравнения никак не могут быть цельно численные выражения. Сумма или разность двух целых чисел по закону элементарной алгебры не может быть равна дробному выражению.

Из-за большого количества возможных решений, корни уравнений с двумя переменными иногда имеют вид не пары отдельных чисел, а пары двух индивидуальных формул - для х, и для у. Для примера, решим уравнение:

Для этого, нам необходимо совершить ряд преобразований. Разобьем одночлен 20х на тождественную сумму 18х + 2х:

20х = 18х+ 2х

18х + 2х + 3у = 10

Группируем одночлены, имеющие кратные числовые коэффициенты. Стоит отметить, что переменную х необходимо разбивать на сумму так, что бы получился х с коэффициентом максимально большим и кратным при этом для числового коэффициента переменной у. Так как в нашем примере при у стоит тройка, то х мы разбиваем с максимально допустимым коэффициентом, кратным трем. После группировки выносим общий кратный множитель:

18х + 2х + 3у = 10

18х + 3у + 2х = 10

3(6х + у) + 2х = 10

Пусть выражение в скобках (6х + у) равно некой переменной с, тогда:

3(6х + у) + 2х = 10

Разбиваем значение переменной с по такому же принципу, как разбивали коэффициент при х. При этом нам необходимо подобрать некое число, которое будет кратно двойке (значению при 2х), но не больше трех. Очевидно, что это будет так:

2с + с + 2х =10

Проводим тождественные изменения:

2с + с + 2х =10

2(с + х) + с = 10

Обозначим содержимое скобок, как n, тогда:

2(с + х) + с = 10

Подставляем получившееся равенство вместо с:

3(10 - 2n) + 2х = 10

И решаем полученное уравнение относительно переменной х:

3(10 - 2n) + 2х = 10

30 - 6n + 2х = 10

2х = 10 + 6n - 30

То уместно записать:

6х + у = n - х

Подставляем известную нам формулу для х, что бы вычислить у:

6х + у = n - х

6(- 10 + 3n) + у = n - (- 10 + 3n)

60 + 18n + у = n + 10 - 3n

у = n + 10 - 3n + 60 - 18n

Корнями уравнения 20х + 3у = 10 являются два выражения вида:

Где n - любое целое число - 0, 1, 2 и т.д. Таким образом, чтобы описать все многообразие возможных целочисленных решений, проще всего вычислить некоторые формулы для быстрого расчета х и у. Подставляя любые выражения n в эти формулы, можно с легкостью получить искомую пару чисел.

Задача 12.

Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0 .

Решение.

Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительн о х 5х²+(8у-2)х+5у²+2у +2=0 , х1,2 = (1 – 4у ±√(1 – 4у) ² - 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ±√ -9(у + 1)²)/5.

Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0 , отсюда у = -1 . Если у = -1 , то х =1 .

Ответ.

Задача 13.

Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8у

Решение.

Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 3х ² + (3у - 1)х + 3у² - 8у = 0. Найдём дискриминант уравнения D = =(3у – 1) ² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.

Данное уравн ение имеет корни, если D ³ 0 , т. е. –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ у £ (-45 -√2052)/ (-27) (4)

Так как у Î Z , то условию (4) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3 . Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и (1; 1) .

Ответ.

(0; 0) , (1; 1) .

Задача 14.

Решите уравнение 5х² - 2ху + 2у² - 2х – 2у + 1= 0.

Решение.

Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х с коэффициентами, зависящими от у, 5х² - 2(у + 1)х + 2у² – 2у + 1= 0.

Найдём четверть дискриминанта D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)² .

Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда -(3у – 2)² = 0 , отсюда следует у = ⅔, затем находим х = ⅓.

Ответ.

(⅓; ⅔).

Метод остатков.

Задача 15.

Решите в целых числах 3ª = 1 + у²

Решение.

Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет.

Рассмотрим случаи:

1) х Î N, y Î N (5)

Если х Î N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1 , либо 2 . Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно.

2)Если х – целое отрицательное число, y Î Z, тогда 0<3ª<1, а 1+у²³0 и равенство (5)также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение.

Ответ.

Задача 16.

Докажите, что система уравнений

ì х² - у² = 7

î z² - 2y² = 1

не имеет решений в целых числах.

Решение.

Предположим, что система разрешена. Из второго уравнения z²=2у+1, т. е. z²– нечётноё число и z -нечётное, значит z=2m+1 . Тогда y²+2m²+2m , значит, у² - чётное числои у – чётное, y = 2n, n Î Z.

x²=8n³+7, т. е. х² - нечётное число и х - нечётное число, х=2k+1, k Î Z.

Подставим значения х и у в первое уравнение, получим 2(k² + k - 2n³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2 , а правая нет.

Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.

Метод бесконечного спуска.

Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.

Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.

Задача 17.

Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17 (6)

Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.

у=(17-29х-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13 (7)

Обозначим (4-3x-4z)/13 = t1 (8)

Из (7) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (8) имеем 13t1 + 3x + 4z = 14 (9)

Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (6) коэффициентами. Применим к (9) те же соображения: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2 , t2 – целое, 3t2+t1+z = 1 (10)

В (10) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z , x , y через t1 и t2 .

ì z = -t1 – 3t2 + 1

í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3

Итак,ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 – 3t2 + 1

t1, t2 - любые целые числа – все целые решения уравнения (6)

Задача 18.

Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0 (11)

Решение.

Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x³=3(y³-z³). Число x³ кратно 3 , значит и число х кратно 3 , т. е. х = 3х1 (12) Подставим (12) в (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0 (13)

y³=3(3x1³-z³). Тогда у³ кратно 3 , значит и у кратно 3 , т. е. у=3у1 (14). Подставим (14) в (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³=0 . Из этого уравнения следует, что z³ кратно 3, а значит и z кратно 3 , т.е. z=3z1 .

Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3 , получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0)

Генрих Г.Н. ФМШ №146 г. Пермь

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Возводя в степень k, получаем 56k ≡ 1(mod 7) при любом натуральном k. Поэтому 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Геометрически это равенство означает, что мы проходим по кругу, стартуя от 5, девяносто два цикла и еще три числа). Таким образом, число 222555 дает при делении на 7 остаток 6.

Решение уравнений в целых числах.

Несомненно, одна из интересных тем математики – решение диофантовых уравнений. Эта тема изучается в 8, а затем и в 10 и 11 классе.

Любое уравнение, которое требуется решить в целых числах, называется диофантовым уравнением. Простейшим из них является уравнение вида ах+bу=с, где а, b и с Î Z. При решении этого уравнения используется следующая теорема.

Теорема. Линейное диофантово уравнение ах+bу=с, где а, b и сÎ Z имеет решение тогда и только тогда, когда с делится на НОД чисел а и b. Если d=НОД (а, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d и (x0 , y0 ) – некоторое решение уравнения ах+bу=с, то все решения задаются формулами х=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, где t ─ произвольное целое число.

1. Решить в целых числах уравнения:

	3ху–6х2 =у–2х+4;
	(х–2)(ху+4)=1;		у–х–ху=2;
	2х2 +ху=х+7;		3ху+2х+3у=0;
	х2 –ху–х+у=1;
	х2 –3ху=х–3у+2;	10. х2 –ху– у=4.

2. Следующие задачи рассматривала с выпускниками при подготовке к ЕГЭ по математике по данной теме.

1). Решить в целых числах уравнение: ху+3у+2х+6=13. Рещение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Получим:

у(х+3)+2(х+3)=13;

(х+3)(у+2)=13.

Так как x,уÎ Z, то получим совокупность систем уравнений:

Генрих Г.Н.

	ì x +
	ì x +
	ì x +
ê ì x +

ФМШ №146 г. Пермь

		ì x =
		ì x =
		ì x =
	ê ì x =

Ответ: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Решить в натуральных числах уравнение: 3х +4у =5z .

9). Найти все пары натуральных чисел m и n, для которых справедливо равенство 3m +7=2n .

10). Найти все тройки натуральных чисел k, m и n, для которых справедливо равенство: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

11). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 14 раз больше, или в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321.

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность? Решение:

а) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х или а1 =14х, тогда а2 =х. Тогда по условию а1 + а2 = 4321. Получим: х+14х=4321, 15х=4321, но 4321 не кратно 15, значит, двух членов в последовательности быть не может.

б) Пусть а1 =х, тогда а2 = 14х, а3 =х, или 14х+х+14х=4321, или х+14х+х=4321. 29х=4321, тогда х=149, 14х=2086. Значит, последовательность может иметь три члена. Во втором случае 16х=4321, но тогда х не является натуральным числом.

Ответ: а) нет; б) да; в) 577.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

12). Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, или в 10; раз больше, или в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 1860.

а) Может ли последовательность иметь два члена? б) Может ли последовательность иметь три члена?

в) Какое наибольшее число членов может иметь последовательность?

Очевидно, что говорить о делимости целых чисел и рассматривать задачи по данной теме можно бесконечно. Я постаралась рассмотреть эту тему так, чтобы в большей степени заинтересовать учащихся, показать им красоту математики еще и с этой с точки зрения.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

Список литературы:

1. А. Я. Каннель-Белов, А. К. Ковальджи. Как решают нестандартные задачи Москва МЦНМО 2001

2. А.В.Спивак. Приложение к журналу Квант№4/2000 Математический праздник, Москва 2000

3. А.В.Спивак. Математический кружок, «Посев» 2003

4. Санкт-Петербургский городской дворец творчества юных. Математический кружок. Задачник первого-второго года обучения. Санкт-Петербург. 1993

5. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Под редакцией Н.Я.Виленкина. Москва, 1995 г.

6. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, Просвещение. 1994 г.

7. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра 8 класс. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2001 г.

8. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень. Учебник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

9. М.И.Шабунин, А.А.Прокофьев, Т.А.Олейник, Т.В.Соколова. УМК МАТЕМАТИКА Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень Задачник для 11 класса. Москва Бином. Лаборатория знаний 2009

10. А.Г.Клово, Д.А.Мальцев, Л.И.Абзелилова Математика. Сборник тестов по плану ЕГЕ 2010

11. ЕГЭ-2010. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

12. ЕГЭ УМК «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. Подготовка к ЕГЭ-2011. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2010

13. УМК «Математика. ЕГЭ-2010». Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. МАТЕМАТИКА Подготовка к ЕГЭ-2010. Учебно-тренировочные тесты. «Легион-М». Ростов-на-Дону 2009

14. ФИПИ ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся МАТЕМАТИКА 2010 «Интеллект-Центр» 2010

15. А.Ж.Жафяров. Математика. ЕГЭ-2010 Экспресс-консультация. Сибирское университетское издательство, 2010