Hogyan oldjunk meg exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket. exponenciális egyenletek

Ebben a leckében bonyolultabb exponenciális egyenletek megoldásával foglalkozunk, felidézzük az exponenciális függvénnyel kapcsolatos főbb elméleti rendelkezéseket.

1. Exponenciális függvény definíciója és tulajdonságai, technika a legegyszerűbb exponenciális egyenletek megoldására

Idézzük fel az exponenciális függvény definícióját és főbb tulajdonságait. Az összes exponenciális egyenlet és egyenlőtlenség megoldása a tulajdonságokon alapul.

Exponenciális függvény az alak függvénye, ahol az alap a fok, és itt x egy független változó, egy argumentum; y - függő változó, függvény.

Rizs. 1. Az exponenciális függvény grafikonja

A grafikon egy növekvő és csökkenő kitevőt mutat, illusztrálva az exponenciális függvényt egynél nagyobb, egynél kisebb, de nullánál nagyobb bázison.

Mindkét görbe áthalad a ponton (0;1)

Az exponenciális függvény tulajdonságai:

Tartomány: ;

Értéktartomány: ;

A függvény monoton, növekszik -vel, csökken -vel.

A monoton függvény minden egyes értékét az argumentum egyetlen értékével veszi fel.

Amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény nulláról plusz végtelenre növekszik. Ellenkezőleg, amikor az argumentum mínuszról plusz végtelenre nő, a függvény végtelenről nullára csökken, beleértve.

2. Tipikus exponenciális egyenletek megoldása

Idézzük fel, hogyan kell megoldani a legegyszerűbb exponenciális egyenleteket. Megoldásuk az exponenciális függvény monotonitásán alapul. Szinte minden összetett exponenciális egyenlet ilyen egyenletre redukálódik.

Az egyenlő bázisú kitevők egyenlősége az exponenciális függvény tulajdonságának, nevezetesen a monotonságának köszönhető.

Megoldási módszer:

Egyenlítse ki a fokok alapjait;

Kitevők egyenlősége.

Térjünk át a bonyolultabb exponenciális egyenletekre, célunk mindegyiket a legegyszerűbbre redukálni.

Szabaduljunk meg a bal oldali gyökértől, és csökkentsük a fokokat ugyanarra az alapra:

Annak érdekében, hogy egy összetett exponenciális egyenletet egyszerűvé redukáljunk, gyakran alkalmazzák a változók megváltoztatását.

Használjuk a fokozat tulajdonságot:

Bevezetünk egy cserét. Akkor hagyd. Egy ilyen csere mellett nyilvánvaló, hog y szigorúan veszi pozitív értékeket. Kapunk:

A kapott egyenletet megszorozzuk kettővel, és az összes tagot átvisszük a bal oldalra:

Az első gyök nem elégíti ki az y értékek intervallumát, ezt elvetjük. Kapunk:

Hozzuk a fokokat ugyanarra a mutatóra:

Bevezetünk egy cserét:

Akkor hagyd . Ezzel a helyettesítéssel nyilvánvaló, hogy y szigorúan pozitív értékeket vesz fel. Kapunk:

Tudjuk, hogyan kell hasonló másodfokú egyenleteket megoldani, kiírjuk a választ:

Ahhoz, hogy megbizonyosodjunk arról, hogy a gyökök helyesen találhatóak, ellenőrizhetjük a Vieta-tételt, vagyis keressük meg a gyökök és szorzatuk összegét, és ellenőrizzük az egyenlet megfelelő együtthatóival.

Kapunk:

3. Másodfokú homogén exponenciális egyenletek megoldásának technikája

Vizsgáljuk meg a következő fontos exponenciális egyenlettípusokat:

Az ilyen típusú egyenleteket az f és g függvények tekintetében másodfokú homogénnek nevezzük. Bal oldalán van egy f-hez tartozó négyzetháromtag g paraméterrel, vagy egy négyzetháromtag g-hez f paraméterrel.

Megoldási módszer:

Ez az egyenlet másodfokúként is megoldható, de fordítva is könnyebb. Két esetet kell figyelembe venni:

Az első esetben azt kapjuk

A második esetben jogunk van a legmagasabb fokozattal osztani, és a következőt kapjuk:

Változóváltást kellene bevezetnünk, kapjuk másodfokú egyenlet vonatkozóan:

Figyeljük meg, hogy az f és g függvények tetszőlegesek lehetnek, de minket az az eset érdekel, amikor ezek exponenciális függvények.

4. Példák homogén egyenletek megoldására

Vigyük át az összes tagot az egyenlet bal oldalára:

Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, figyelmen kívül hagyva azt az esetet, amikor:

Kapunk:

Bevezetünk egy cserét: (az exponenciális függvény tulajdonságai szerint)

Kaptunk egy másodfokú egyenletet:

A gyököket a Vieta-tétel szerint határozzuk meg:

Az első gyök nem elégíti ki az y értékek intervallumát, eldobjuk, így kapjuk:

Használjuk a fok tulajdonságait, és redukáljuk le az összes fokot egyszerű alapokra:

Könnyen észrevehető az f és g függvény:

Mivel az exponenciális függvények szigorúan pozitív értékeket kapnak, jogunk van azonnal elosztani az egyenletet -vel, figyelmen kívül hagyva azt az esetet, amikor .

Sokan azt hiszik, hogy az exponenciális egyenlőtlenségek olyan bonyolultak és érthetetlenek. És hogy ezek megoldásának megtanulása szinte nagy művészet, amit csak a Kiválasztottak képesek felfogni...

Teljes hülyeség! Az exponenciális egyenlőtlenségek egyszerűek. És ezeket mindig könnyű megoldani. Hát, szinte mindig. :)

Ma ezt a témát széles körben elemezzük. Ez a lecke nagyon hasznos lesz azok számára, akik csak most kezdik megérteni az iskolai matematika ezen részét. Kezdjük egyszerű feladatokkal, és folytassuk az összetettebb kérdéseket. Ma nem lesz durvaság, de amit most olvasni fog, az elég lesz a legtöbb egyenlőtlenség feloldásához mindenféle kontrollban és önálló munkában. És ezen a vizsgán is.

Mint mindig, kezdjük egy meghatározással. Az exponenciális egyenlőtlenség minden olyan egyenlőtlenség, amely exponenciális függvényt tartalmaz. Más szóval, mindig le lehet redukálni a forma egyenlőtlenségére

\[((a)^(x)) \gt b\]

Ahol $b$ szerepe lehet egy közönséges szám, vagy esetleg valami keményebb. Példák? Igen, kérem:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\vége(igazítás)\]

Szerintem egyértelmű a jelentés: van egy $((a)^(x))$ exponenciális függvény, ezt összehasonlítják valamivel, majd megkérik, hogy keresse meg $x$. Különösen klinikai esetek A $x$ változó helyett berakhatnak valami $f\left(x \right)$ függvényt, és ezzel kicsit megnehezítik az egyenlőtlenséget. :)

Természetesen bizonyos esetekben az egyenlőtlenség súlyosabbnak tűnhet. Például:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Vagy akár ez:

Általában véve az ilyen egyenlőtlenségek bonyolultsága nagyon eltérő lehet, de végül mégis egy egyszerű $((a)^(x)) \gt b$ konstrukcióhoz vezetnek. És valahogy megbirkózunk egy ilyen tervezéssel (főleg klinikai esetekben, amikor semmi sem jut eszünkbe, a logaritmusok segítenek). Ezért most megtanuljuk, hogyan kell megoldani az ilyen egyszerű konstrukciókat.

A legegyszerűbb exponenciális egyenlőtlenségek megoldása

Nézzünk egy nagyon egyszerű dolgot. Például itt van:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Nyilvánvalóan a jobb oldali szám átírható kettő hatványaként: $4=((2)^(2))$. Így az eredeti egyenlőtlenséget egy nagyon kényelmes formában átírjuk:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

És most viszketnek a kezek, hogy "áthúzzák" a fokok tövében álló ketteseket, hogy megkapják a $x \gt 2$ választ. Mielőtt azonban bármit is áthúznánk, emlékezzünk a kettő erejére:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Mint látható, minél nagyobb a szám a kitevőben, annál nagyobb a kimeneti szám. – Köszönöm, Cap! – kiált fel az egyik diák. Ez másként történik? Sajnos előfordul. Például:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ jobb))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Itt is minden logikus: mi több fokozat, minél többször szorozzuk meg önmagával a 0,5-ös számot (vagyis osztjuk ketté). Így a kapott számsor csökken, és az első és a második sorozat közötti különbség csak az alapban van:

• Ha az $a \gt 1$ fok alapja, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám is növekedni fog;
• Ezzel szemben, ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $n$ kitevő növekedésével a $((a)^(n))$ szám csökkenni fog.

Ezeket a tényeket összegezve megkapjuk a legfontosabb állítást, amelyen az exponenciális egyenlőtlenségek teljes megoldása alapul:

Ha $a \gt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \gt n$ egyenlőtlenséggel. Ha $0 \lt a \lt 1$, akkor a $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ egyenlőtlenség ekvivalens a $x \lt n$ egyenlőtlenséggel.

Más szóval, ha az alap nagyobb egynél, egyszerűen eltávolíthatja - az egyenlőtlenség jele nem változik. És ha az alap egynél kisebb, akkor azt is el lehet távolítani, de az egyenlőtlenség jelét is meg kell változtatni.

Vegye figyelembe, hogy nem vettük figyelembe az $a=1$ és $a\le 0$ opciókat. Mert ezekben az esetekben bizonytalanság van. Tegyük fel, hogyan lehet megoldani egy $((1)^(x)) \gt 3$ alakú egyenlőtlenséget? Bármely hatalomhoz tartozó egy ismét egyet ad – soha nem kapunk hármat vagy többet. Azok. nincsenek megoldások.

Negatív alapokkal még érdekesebb. Vegyük például a következő egyenlőtlenséget:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Első pillantásra minden egyszerű:

Helyesen? De nem! Elég, ha $x$ helyett pár páros és pár páratlan számot helyettesít, hogy megbizonyosodjon arról, hogy rossz a megoldás. Nézd meg:

\[\begin(align) & x=4\Jobbra ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Jobbra ((\bal(-2 \jobbra))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(igazítás)\]

Amint látja, a jelek váltakoznak. De vannak még töredékfokok és egyéb ón. Hogyan számolnád például a $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (mínusz kettő hét gyökére emelve)? Semmiképpen!

Ezért a határozottság kedvéért feltételezzük, hogy minden exponenciális egyenlőtlenségben (és mellesleg egyenletekben is) $1\ne a \gt 0$. És akkor minden nagyon egyszerűen megoldódik:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Jobbra \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \jobbra). \\\end(igazítás) \jobbra.\]

Általában még egyszer emlékezzünk a fő szabályra: ha az exponenciális egyenletben szereplő bázis nagyobb egynél, egyszerűen eltávolíthatja; és ha az alap egynél kisebb, akkor azt is el lehet távolítani, de ez megváltoztatja az egyenlőtlenség jelét.

Megoldási példák

Tehát vegyünk néhány egyszerű exponenciális egyenlőtlenséget:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\vége(igazítás)\]

Az elsődleges feladat minden esetben ugyanaz: az egyenlőtlenségeket a legegyszerűbb $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakra redukálni. Most ezt fogjuk tenni minden egyenlőtlenséggel, ugyanakkor megismételjük a hatványok tulajdonságait és az exponenciális függvényt. Akkor gyerünk!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Mit lehet itt tenni? Nos, a bal oldalon már van egy demonstratív kifejezés – semmin sem kell változtatni. De a jobb oldalon van valami baromság: egy tört, és még egy gyök is a nevezőben!

Ne feledje azonban a törtekkel és hatványokkal való munka szabályait:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\vége(igazítás)\]

Mit jelent? Először is könnyen megszabadulhatunk a törttől, ha negatív kitevővé alakítjuk. Másodszor pedig, mivel a nevező a gyök, jó lenne ezt fokozatba fordítani - ezúttal törtkitevővel.

Alkalmazzuk ezeket a műveleteket egymás után az egyenlőtlenség jobb oldalára, és nézzük meg, mi történik:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \jobbra))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Ne felejtsük el, hogy amikor egy fokot hatványra emelünk, ezeknek a fokoknak a kitevőit hozzáadjuk. És általában, ha exponenciális egyenletekkel és egyenlőtlenségekkel dolgozunk, feltétlenül ismerni kell a hatványokkal való munka legegyszerűbb szabályait:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \jobbra))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\vége(igazítás)\]

Tulajdonképpen, utolsó szabály most jelentkeztünk. Ezért az eredeti egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Jobbra ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Most megszabadulunk a kettőstől a bázison. Mivel 2 > 1, az egyenlőtlenség jele változatlan marad:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Jobbra x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Ez az egész megoldás! A fő nehézség egyáltalán nem az exponenciális függvényben van, hanem az eredeti kifejezés megfelelő átalakításában: óvatosan és a lehető leggyorsabban kell a legegyszerűbb formájába hozni.

Tekintsük a második egyenlőtlenséget:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Is-is. Itt a tizedes törtekre várunk. Ahogy már sokszor mondtam, minden hatványos kifejezésben meg kell szabadulni a tizedes törtektől – gyakran csak így lehet gyors és egyszerű megoldást találni. Íme, amitől megszabadulunk:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ jobb))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Jobbra ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\vége(igazítás)\]

Előttünk ismét a legegyszerűbb egyenlőtlenség, és még az 1/10-es alappal, i.e. egynél kevesebb. Nos, eltávolítjuk az alapokat, miközben a jelet "kevesebbről" "nagyra" változtatjuk, és megkapjuk:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Megkaptuk a végső választ: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a válasz pontosan a halmaz, és semmi esetre sem a $x \lt -1$ forma felépítése. Mert formálisan egy ilyen konstrukció egyáltalán nem halmaz, hanem egyenlőtlenség a $x$ változóhoz képest. Igen, ez nagyon egyszerű, de nem ez a válasz!

Fontos jegyzet. Ezt az egyenlőtlenséget más módon is meg lehetne oldani - mindkét részt egynél nagyobb bázisú hatványra redukálva. Nézd meg:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Jobbra ((\bal(((10)^(-1)) \jobbra))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \jobbra))^(2))\Jobbra ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Egy ilyen átalakítás után ismét egy exponenciális egyenlőtlenséget kapunk, de 10 > 1 alappal. Ez azt jelenti, hogy egyszerűen áthúzhatja a tízet - az egyenlőtlenség jele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\vége(igazítás)\]

Amint látja, a válasz pontosan ugyanaz. Ugyanakkor megkíméltük magunkat a jel megváltoztatásának szükségességétől, és általában emlékezünk néhány szabályra. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Azonban ne hagyja, hogy ez megijessze. Bármi legyen is a mutatókban, maga az egyenlőtlenség megoldásának technológiája ugyanaz marad. Ezért először is megjegyezzük, hogy 16 = 2 4 . Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget ennek a ténynek a figyelembevételével:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Hurrá! Megkaptuk a szokásos négyzetegyenlőtlenséget! A jel nem változott sehol, mivel az alap egy kettős - egynél nagyobb szám.

Funkció nullák a számegyenesen

A $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ függvény előjeleit elrendezzük - nyilván a grafikonja egy parabola lesz felfelé ágazva, tehát lesznek pluszok. ” az oldalakon. Minket az a régió érdekel, ahol a függvény nullánál kisebb, azaz. $x\in \left(2;5 \right)$ a válasz az eredeti problémára.

Végül vegyünk egy másik egyenlőtlenséget:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ismét egy exponenciális függvényt látunk, amelynek alapjában tizedes tört található. Alakítsuk át ezt a törtet közönséges törtté:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Jobbra \\ & \Jobbra ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\bal(((5)^(-1)) \jobb))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

Ebben az esetben kihasználtuk a korábban tett megjegyzést - a további döntésünk egyszerűsítése érdekében az alapot 5\u003e 1-re csökkentettük. Tegyük ugyanezt a jobb oldallal is:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ jobb))^(2))=((5)^(-1\cpont 2))=((5)^(-2))\]

Írjuk át az eredeti egyenlőtlenséget, mindkét transzformációt figyelembe véve:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Jobbra ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \jobbra)))\ge ((5)^(-2))\]

Az alap mindkét oldalon azonos és nagyobb, mint egy. Nincs más kifejezés a jobb és a bal oldalon, ezért csak „áthúzzuk” az ötösöket, és egy nagyon egyszerű kifejezést kapunk:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(igazítás)\]

Itt kell vigyázni. Sok diák szeret egyszerűen kivonatolni Négyzetgyök az egyenlőtlenség mindkét részét, és írjon valami ilyesmit: $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Ezt soha nem szabad megtennie, mivel egy pontos négyzet gyöke modul, és semmi esetre sem az eredeti változó:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\jobbra|\]

A modulokkal való munka azonban nem a legkellemesebb élmény, igaz? Szóval nem fogunk dolgozni. Ehelyett egyszerűen mozgassuk az összes tagot balra, és oldjuk meg a szokásos egyenlőtlenséget az intervallum módszerrel:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Ismét megjelöljük a kapott pontokat a számegyenesen, és megnézzük a jeleket:

Figyelem: a pontok árnyékoltak.

Mivel egy nem szigorú egyenlőtlenséget oldottunk meg, a grafikonon minden pont árnyékolt. Ezért a válasz a következő lesz: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nem intervallum, hanem szegmens.

Általánosságban szeretném megjegyezni, hogy az exponenciális egyenlőtlenségekben nincs semmi bonyolult. A ma végrehajtott összes átalakítás jelentése egy egyszerű algoritmusban rejlik:

• Keressük meg azt a bázist, amelyre az összes fokot csökkentjük;
• Óvatosan hajtsa végre a transzformációkat, hogy egy $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakú egyenlőtlenséget kapjon. Természetesen a $x$ és $n$ változók helyett lehetnek sokkal összetettebb függvények is, de ez a jelentésen nem változtat;
• Húzd át a fokok alapjait. Ebben az esetben az egyenlőtlenség jele megváltozhat, ha az alap $a \lt 1$.

Valójában ez egy univerzális algoritmus az összes ilyen egyenlőtlenség megoldására. És minden más, amit ebben a témában elmondanak neked, csak konkrét trükkök és trükkök az átalakulás egyszerűsítésére és felgyorsítására. Íme az egyik trükk, amiről most beszélni fogunk. :)

racionalizálási módszer

Tekintsünk egy másik egyenlőtlenségi tételt:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \jobbra))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(igazítás)\]

Nos, mi olyan különleges bennük? Könnyűek is. Bár, állj meg! A pi hatványra van emelve? Miféle hülyeség?

És hogyan lehet a $2\sqrt(3)-3$ számot hatványra emelni? Vagy $3-2\sqrt(2)$? A feladatok összeállítói nyilvánvalóan túl sok "Galagonyát" ittak, mielőtt leültek dolgozni. :)

Valójában ezekkel a feladatokkal nincs is baj. Hadd emlékeztesselek: az exponenciális függvény a $((a)^(x))$ formájú kifejezés, ahol az $a$ alap bármely pozitív szám egy kivételével. A π szám pozitív – ezt már tudjuk. A $2\sqrt(3)-3$ és a $3-2\sqrt(2)$ számok is pozitívak – ez könnyen belátható, ha nullával hasonlítjuk össze őket.

Kiderült, hogy mindezek a „rémisztő” egyenlőtlenségek nem különböznek a fentebb tárgyalt egyszerűektől? És ugyanúgy csinálják? Igen, teljesen helyes. Az ő példájukat használva azonban szeretnék egy trükköt megfontolni, amivel rengeteg időt spórolhatunk meg az önálló munkán és a vizsgákon. Szó lesz a racionalizálás módszeréről. Szóval figyelem:

Bármely $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ alakú exponenciális egyenlőtlenség egyenértékű a $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) egyenlőtlenséggel jobbra) \gt 0 $.

Ez az egész módszer :) Gondoltad volna, hogy lesz valami következő játék? Semmi ilyesmi! De ez az egyszerű tény, szó szerint egy sorban leírva, nagyban leegyszerűsíti a munkánkat. Nézd meg:

\[\begin(mátrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \jobbra) \jobbra)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(mátrix)\]

Itt már nincs exponenciális függvény! És nem kell emlékezned arra, hogy a jel megváltozik-e vagy sem. De van egy új probléma: mit csináljunk a \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] rohadt szorzóval? Nem tudjuk, mi a pi pontos értéke. Úgy tűnik azonban, hogy a kapitány a nyilvánvaló dolgokra utal:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\kb. 3,14... \gt 3\Jobbra \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Általánosságban elmondható, hogy a π pontos értéke nem nagyon zavar bennünket – csak az a fontos, hogy megértsük, hogy minden esetben $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. pozitív állandó, és az egyenlőtlenség mindkét oldalát oszthatjuk vele:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Mint látható, egy bizonyos ponton mínusz eggyel kellett osztanunk, és az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A végén kibővítettem a négyzetes trinomit a Vieta-tétel szerint - nyilvánvaló, hogy a gyökök egyenlőek $((x)_(1))=5$ és $((x)_(2))=- 1 dollár. Ezután mindent a klasszikus intervallum-módszerrel oldanak meg:

Az egyenlőtlenséget az intervallumok módszerével oldjuk meg

Minden pont ki van szúrva, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú. Minket a negatív értékű terület érdekel, ezért a válasz $x\in \left(-1;5 \right)$. Ez a megoldás. :)

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Itt minden egyszerű, mert a jobb oldalon van egy egység. És ne felejtsük el, hogy az egység bármely szám, amelyet nulla hatványára emelünk. Még akkor is, ha ez a szám irracionális kifejezés, a bal oldalon állva:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\jobbra))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \jobbra))^(0)); \\\vége(igazítás)\]

Tehát racionalizáljuk:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Már csak a jelekkel kell foglalkozni. A $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ szorzó nem tartalmazza a $x$ változót – ez csak egy konstans, és ki kell találnunk az előjelét. Ehhez vegye figyelembe a következőket:

\[\begin(mátrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \jobbra)=0 \\\end(mátrix)\]

Kiderült, hogy a második tényező nem csak egy állandó, hanem egy negatív állandó! És ha osztunk vele, az eredeti egyenlőtlenség előjele az ellenkezőjére változik:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(igazítás)\]

Most minden egészen nyilvánvalóvá válik. Gyökerek négyzetes trinomikus a jobb oldalon: $((x)_(1))=0$ és $((x)_(2))=2$. Jelöljük őket a számegyenesen, és megnézzük a $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ függvény előjeleit:

Az az eset, amikor oldalirányú intervallumokra vagyunk kíváncsiak

A pluszjellel jelölt intervallumokra vagyunk kíváncsiak. Már csak a választ le kell írni:

Térjünk át a következő példára:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ jobb))^(16-x))\]

Nos, itt minden teljesen nyilvánvaló: az alapok azonos számú hatványok. Ezért mindent röviden leírok:

\[\begin(mátrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \jobbra))) \gt ((3)^(-2\cdot \ left(16-x\right))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Mint látható, az átalakítások során negatív számmal kellett szoroznunk, így az egyenlőtlenség előjele megváltozott. A legvégén ismét alkalmaztam Vieta tételét egy négyzetes trinom faktorizálására. Ennek eredményeként a válasz a következő lesz: $x\in \left(-8;4 \right)$ - aki szeretné, ezt számegyenes rajzolásával, pontok kijelölésével és számlálójelekkel ellenőrizheti. Addig is áttérünk a „halmazunk” utolsó egyenlőtlenségére:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Mint látható, az alap ismét egy irracionális szám, és az egység ismét a jobb oldalon van. Ezért az exponenciális egyenlőtlenségünket a következőképpen írjuk át:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \) jobb))^(0))\]

Racionalizáljuk:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \jobbra) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\ ]

Az azonban teljesen nyilvánvaló, hogy $1-\sqrt(2) \lt 0$, mivel $\sqrt(2)\kb 1,4... \gt 1$. Ezért a második tényező ismét egy negatív állandó, amellyel az egyenlőtlenség mindkét része felosztható:

\[\begin(mátrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \jobbra)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(mátrix)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Válts másik alapra

Külön probléma az exponenciális egyenlőtlenségek megoldásában a „helyes” alap keresése. Sajnos a feladatra első ránézésre korántsem mindig egyértelmű, hogy mit vegyünk alapul, és mit tegyünk ennek mértékeként.

De ne aggódj: itt nincs varázslat és "titkos" technológia. A matematikában minden olyan készség, amely nem algoritmizálható, könnyen fejleszthető gyakorlással. De ehhez meg kell oldani a problémákat különböző szinteken nehézségek. Például ezek a következők:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ vége(igazítás)\]

Bonyolult? Ijedős? Igen, könnyebb, mint egy csirke az aszfalton! Próbáljuk meg. Első egyenlőtlenség:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Nos, szerintem itt minden világos:

Átírjuk az eredeti egyenlőtlenséget, mindent a "kettő" alapra redukálva:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Jobbra \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Igen, igen, jól értetted: csak a fent leírt racionalizálási módszert alkalmaztam. Most óvatosan kell dolgoznunk: kaptunk egy tört-racionális egyenlőtlenséget (ennek van egy változója a nevezőben), tehát mielőtt valamit nullával egyenlővé tennénk, mindent közös nevezőre kell redukálni, és meg kell szabadulni az állandó tényezőtől. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(igazítás)\]

Most a standard intervallum módszert használjuk. A számláló nullái: $x=\pm 4$. A nevező csak akkor megy nullára, ha $x=0$. Összesen három pontot kell a számegyenesen jelölni (minden pont ki van lyukasztva, mert az egyenlőtlenség jele szigorú). Kapunk:

Bonyolultabb eset: három gyökér

Ahogy sejtheti, a sraffozás azokat az intervallumokat jelöli, amelyek között a bal oldali kifejezés negatív értékeket vesz fel. Ezért a végső válaszban egyszerre két intervallum kerül be:

Az intervallumok végeit nem tartalmazza a válasz, mert az eredeti egyenlőtlenség szigorú volt. Ennek a válasznak további érvényesítése nem szükséges. Ebben a tekintetben az exponenciális egyenlőtlenségek sokkal egyszerűbbek, mint a logaritmikusok: nincs DPV, nincsenek korlátozások stb.

Térjünk át a következő feladatra:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Itt sincs semmi probléma, hiszen már tudjuk, hogy $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, így az egész egyenlőtlenség így átírható:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Jobbra ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2\right)\right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Figyelem: a harmadik sorban úgy döntöttem, hogy nem vesztegetem az időt apróságokra, és azonnal mindent elosztok (-2)-vel. A minul az első zárójelbe került (most mindenhol pluszok vannak), a kettes pedig konstans szorzóval csökkent. Pontosan ezt kell tennie, amikor valódi számításokat végez független és ellenőrzési munka- nem kell közvetlenül festeni minden műveletet és átalakulást.

Ezután az intervallumok ismert módszere lép működésbe. A számláló nullái: de nincsenek. Mert a diszkrimináns negatív lesz. A nevezőt viszont csak akkor állítjuk nullára, ha $x=0$ – ugyanúgy, mint legutóbb. Nos, egyértelmű, hogy a tört pozitív értékeket vesz fel az $x=0$ jobb oldalára, a negatívakat pedig balra. Mivel minket csak a negatív értékek érdekelnek, a végső válasz $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

És mit kell tenni a tizedes törtekkel az exponenciális egyenlőtlenségekben? Így van: szabaduljon meg tőlük azáltal, hogy közönségessé alakítja őket. Itt fordítjuk:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Jobbra ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\jobbra nyíl ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\) frac(25)(4) \jobbra))^(x)). \\\vége(igazítás)\]

Nos, mit kaptunk az exponenciális függvények alapjaiban? És kaptunk két kölcsönösen reciprok számot:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Jobbra ((\left(\frac(25)(4) \ jobb))^(x))=((\bal(((\bal(\frac(4)(25) \jobb))^(-1)) \jobb))^(x))=((\ balra(\frac(4)(25) \jobbra))^(-x))\]

Így az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25)) \jobbra))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\vége(igazítás)\]

Természetesen a hatványok azonos bázisú szorzásakor a mutatóik összeadódnak, ami a második sorban történt. Ezenkívül a jobb oldali egységet képviseltük, hatalomként is a 4/25-ös alapban. Már csak az ésszerűsítés marad hátra:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Jegyezzük meg, hogy $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, azaz. a második tényező egy negatív állandó, és ha elosztjuk vele, az egyenlőtlenség előjele megváltozik:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Jobbra x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Végül az utolsó egyenlőtlenség a jelenlegi "halmazból":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Elvileg a megoldás ötlete itt is egyértelmű: az egyenlőtlenséget alkotó összes exponenciális függvényt a "3"-as alapra kell csökkenteni. De ehhez egy kicsit bütykölni kell a gyökerekkel és a fokozatokkal:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\vége(igazítás)\]

Ezen tények ismeretében az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \jobbra))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\vége(igazítás)\]

Ügyeljen a számítások 2. és 3. sorára: mielőtt egyenlőtlenséggel csinálna valamit, feltétlenül hozza azt a formába, amelyről az óra elején beszéltünk: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Mindaddig, amíg van bal vagy jobb bal oldali szorzója, extra állandója stb., racionalizálás és az indokok "áthúzása" nem végezhető el! Számtalan feladatot végeztek el rosszul ennek az egyszerű ténynek a félreértése miatt. Magam is folyamatosan figyelem ezt a problémát tanítványaimmal, amikor még csak most kezdjük az exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségek elemzését.

De térjünk vissza a feladatunkhoz. Próbáljuk meg ezúttal az ésszerűsítés nélkül. Emlékeztetünk: a fokszám alapja nagyobb, mint egy, így a hármasokat egyszerűen át lehet húzni - az egyenlőtlenség jele nem változik. Kapunk:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(igazítás)\]

Ez minden. Végső válasz: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Stabil kifejezés kiemelése és változó cseréje

Befejezésül még négy exponenciális egyenlőtlenség megoldását javaslom, ami a felkészületlen tanulók számára már így is elég nehézkes. Ahhoz, hogy megbirkózzon velük, emlékeznie kell a diplomákkal való munka szabályaira. Különösen a közös tényezők zárójelbe helyezése.

De a legfontosabb, hogy megtanuljuk megérteni: pontosan mit lehet zárójelbe tenni. Az ilyen kifejezést stabilnak nevezik - új változóval jelölhető, és így megszabadulhat az exponenciális függvénytől. Tehát nézzük a feladatokat:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Kezdjük a legelső sorral. Ezt az egyenlőtlenséget írjuk külön:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Vegye figyelembe, hogy $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, tehát jobb oldalát lehet írni:

Figyeljük meg, hogy az egyenlőtlenségben a $((5)^(x+1))$ kivételével nincs más exponenciális függvény. És általában a $x$ változó sehol máshol nem fordul elő, ezért vezessünk be egy új változót: $((5)^(x+1))=t$. A következő konstrukciót kapjuk:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(igazítás)\]

Visszatérünk az eredeti változóhoz ($t=((5)^(x+1))$), és ugyanakkor ne feledjük, hogy 1=5 0 . Nekünk van:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\vége(igazítás)\]

Ez az egész megoldás! Válasz: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Térjünk át a második egyenlőtlenségre:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Itt minden ugyanaz. Vegye figyelembe, hogy $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Ezután a bal oldalt át lehet írni:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \jobbra. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\vége(igazítás)\]

Körülbelül így kell döntést hozni a valódi irányításról és az önálló munkáról.

Nos, próbáljunk meg valami nehezebbet. Például itt van egy egyenlőtlenség:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

mi itt a probléma? Először is, a bal oldali exponenciális függvények alapjai különböznek: 5 és 25. Azonban 25 \u003d 5 2, tehát az első tag átalakítható:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \jobbra))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(igazítás) )\]

Amint látja, először mindent ugyanarra az alapra hoztunk, majd észrevettük, hogy az első tag könnyen redukálható a másodikra ​​- elég csak bővíteni a kitevőt. Most már nyugodtan bevezethetünk egy új változót: $((5)^(2x+2))=t$, és az egész egyenlőtlenség így lesz átírva:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(igazítás)\]

Még egyszer, semmi gond! Végső válasz: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Továbblépve a végső egyenlőtlenségre a mai leckében:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Az első dolog, amit meg kell jegyezni, természetesen decimális az első fok tövében. Meg kell szabadulni tőle, és ugyanakkor az összes exponenciális függvényt ugyanarra az alapra kell vinni - a „2” számra:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Jobbra ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\bal(((2)^(-1)) \jobbra))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\jobbra nyíl ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \jobbra))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(igazítás)\]

Remek, megtettük az első lépést – minden ugyanarra az alapra vezetett. Most ki kell emelnünk a stabil kifejezést. Vegye figyelembe, hogy $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ha bevezetünk egy új változót $((2)^(4x+6))=t$, akkor az eredeti egyenlőtlenség a következőképpen írható át:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen felmerülhet a kérdés: honnan jöttünk rá, hogy 256 = 2 8 ? Sajnos itt csak a kettő (és egyben a három és az öt) hatványait kell ismerni. Nos, vagy osszuk el a 256-ot 2-vel (lehet osztani, hiszen a 256 páros szám), amíg meg nem kapjuk az eredményt. Valahogy így fog kinézni:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Ugyanez a helyzet a hárommal (a 9-es, 27-es, 81-es és 243-as számok a hatványai), és a héttel (a 49-es és 343-as számokat is jó lenne megjegyezni). Nos, az ötösnek is "szép" diplomája van, amit tudnia kell:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\vége(igazítás)\]

Természetesen ezek a számok, ha szükséges, visszaállíthatók az elmében, egyszerűen egymás utáni szorzással. Ha azonban több exponenciális egyenlőtlenséget kell megoldanod, és minden következő nehezebb, mint az előző, akkor az utolsó dolog, amire gondolni kell, néhány szám hatványa. És ebben az értelemben ezek a problémák összetettebbek, mint a "klasszikus" egyenlőtlenségek, amelyeket az intervallum módszerrel oldanak meg.

Óra és előadás a következő témában: "Exponenciális egyenletek és exponenciális egyenlőtlenségek"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el megírni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat! Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 11. osztály számára
Interaktív kézikönyv 9-11. osztályos „Trigonometria”
Interaktív kézikönyv 10-11. osztályosoknak "Logaritmusok"

Exponenciális egyenletek meghatározása

Srácok, tanulmányoztuk az exponenciális függvényeket, megtanultuk tulajdonságaikat, és grafikonokat építettünk, példákat elemeztünk olyan egyenletekre, amelyekben exponenciális függvények találkoztak. Ma exponenciális egyenleteket és egyenlőtlenségeket fogunk tanulmányozni.

Meghatározás. A következő alakú egyenletek: $a^(f(x))=a^(g(x))$, ahol $a>0$, $a≠1$ exponenciális egyenleteknek nevezzük.

Emlékezve az „Exponenciális függvény” témakörben tanulmányozott tételekre, bevezethetünk egy új tételt:
Tétel. exponenciális egyenlet$a^(f(x))=a^(g(x))$, ahol $a>0$, $a≠1$ ekvivalens a $f(x)=g(x)$ egyenlettel.

Példák exponenciális egyenletekre

Példa.
Egyenletek megoldása:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Döntés.
a) Jól tudjuk, hogy $27=3^3$.
Írjuk át az egyenletünket: $3^(3x-3)=3^3$.
A fenti tétel segítségével azt kapjuk, hogy az egyenletünk a $3x-3=3$ egyenletre redukálódik, ezt az egyenletet megoldva $x=2$ egyenletet kapunk.
Válasz: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Ekkor az egyenletünk átírható: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Válasz: $x=0$.

C) Az eredeti egyenlet ekvivalens a következő egyenlettel: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ és $x_2=-3$.
Válasz: $x_1=6$ és $x_2=-3$.

Példa.
Oldja meg az egyenletet: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Döntés:
Egymás után végrehajtunk egy műveletsort, és az egyenletünk mindkét részét ugyanarra az alapra hozzuk.
Végezzünk el egy sor műveletet a bal oldalon:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Menjünk tovább a jobb oldalra:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 USD*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Az eredeti egyenlet ekvivalens a következő egyenlettel:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Válasz: $x=0$.

Példa.
Oldja meg az egyenletet: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Döntés:
Írjuk át az egyenletünket: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Változtassuk meg a változókat, legyen $a=3^x$.
Az új változókban az egyenlet a következő formában lesz: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ és $a_2=3$.
Végezzük el a változók fordított változtatását: $3^x=-12$ és $3^x=3$.
Az utolsó leckében megtanultuk, hogy az exponenciális kifejezések csak pozitív értékeket vehetnek fel, ne felejtsük el a grafikont. Ez azt jelenti, hogy az első egyenletnek nincs megoldása, a második egyenletnek egy megoldása van: $x=1$.
Válasz: $x=1$.

Készítsünk feljegyzést az exponenciális egyenletek megoldásának módjairól:
1. Grafikus módszer. Az egyenlet mindkét részét függvényként ábrázoljuk, és elkészítjük grafikonjaikat, megkeressük a gráfok metszéspontjait. (Az utolsó leckében ezt a módszert alkalmaztuk).
2. A mutatók egyenlőségének elve. Az elv azon alapul, hogy két azonos bázisú kifejezés akkor és csak akkor egyenlő, ha ezen bázisok fokai (kitevői) egyenlőek. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. A változók módszerének megváltoztatása. Ez a módszer akkor kell használni, ha az egyenlet a változók megváltoztatásakor leegyszerűsíti a formáját és sokkal könnyebben megoldható.

Példa.
Oldja meg az egyenletrendszert: $\begin (esetek) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(esetek)$.
Döntés.
Tekintsük a rendszer mindkét egyenletét külön-külön:
27 USD^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Tekintsük a második egyenletet:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Használjuk a változók váltás módszerét, legyen $y=2^(x+y)$.
Ekkor az egyenlet a következő alakot veszi fel:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ és $y_2=-3$.
Térjünk át a kezdeti változókra, az első egyenletből $x+y=2$ kapjuk. A második egyenletnek nincs megoldása. Ekkor a kezdeti egyenletrendszerünk ekvivalens a következő rendszerrel: $\begin (esetek) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(esetek)$.
Vonjuk ki a második egyenletet az első egyenletből, így kapjuk: $\begin (esetek) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(esetek)$.
$\begin (esetek) y=-1, \\ x=3. \end(esetek)$.
Válasz: $(3;-1)$.

exponenciális egyenlőtlenségek

Térjünk át az egyenlőtlenségekre. Az egyenlőtlenségek megoldásánál figyelni kell a végzettség alapjára. Az egyenlőtlenségek megoldása során két forgatókönyv lehetséges az események alakulására.

Tétel. Ha $a>1$, akkor az $a^(f(x))>a^(g(x))$ exponenciális egyenlőtlenség ekvivalens a $f(x)>g(x)$ egyenlőtlenséggel.
Ha 0 dollár a^(g(x))$ ekvivalens $f(x)

Példa.
Egyenlőtlenségek megoldása:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Döntés.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Egyenlőtlenségünk egyenlő az egyenlőtlenséggel:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Egyenletünkben a fokkal kisebb bázis mint 1, akkor egy egyenlőtlenség ekvivalensre cserélésekor az előjelet kell változtatni.
$2x-4>2$.
$x>3 $.

C) Egyenlőtlenségünk egyenlő az egyenlőtlenséggel:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Használjuk az intervallum megoldási módszert:
Válasz: $(-∞;-5]U)