Ի՞նչ է իրենից ներկայացնում երկու փոփոխականների գծային հավասարումների համակարգը: Երկու փոփոխականով հավասարումներ (անորոշ հավասարումներ) Գծային հավասարում 2 փոփոխականով.

Դասի նպատակները.

• Ուսումնական:
  • կրկնել թեման՝ «Հավասարումներ. Գծային հավասարումներ. Համարժեք հավասարումներ և դրանց հատկությունները»;
  • ապահովել, որ ուսանողները հասկանան երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների հայեցակարգը և դրանց լուծումը:
• Զարգացնող:
  • ինտելեկտուալ կարողությունների ձևավորում.
  • համեմատելու, անալոգներ կառուցելու, հիմնականը ընդգծելու ունակություն.
  • լուսաբանված նյութը ընդհանրացնելու և համակարգելու ունակություն.
  • զարգացնել տրամաբանական մտածողությունը, հիշողությունը, երևակայությունը, մաթեմատիկական խոսքը;
  • զարգացնել ակտիվ ճանաչողական գործունեություն.
• Ուսումնական:
  • Դասի բոլոր փուլերում ուսանողների մեջ զարգացնել անկախություն, ակտիվություն և հետաքրքրություն.
  • ձևավորել այնպիսի բնավորության հատկություններ, ինչպիսիք են հաստատակամությունը, հաստատակամությունը, վճռականությունը:

Առաջադրանքներ, որոնք ուսուցիչը պետք է լուծի դասին.

• սովորել տեքստում ընդգծել հիմնական գաղափարը.
• սովորեք հարցեր տալ ուսուցչին, ինքներդ ձեզ կամ ուսանողներին.
• սովորել օգտագործել ձեռք բերված գիտելիքները ոչ ստանդարտ խնդիրներ լուծելու համար.
• սովորեցրեք ձեր մտքերը մաթեմատիկորեն ճիշտ արտահայտելու ունակությունը:

Խնդիրներ, որոնք ուսանողները պետք է լուծեն այս դասում.

• իմանալ երկու փոփոխականներով գծային հավասարման սահմանումը.
• կարողանալ գրել պարզ գծային հավասարումներ;
• կարողանալ ճիշտ գտնել a, b և c փոփոխականների արժեքները.
• կարողանալ նույնացնել գծային հավասարումները հավասարումների միջև երկու փոփոխականներով.
• պատասխանեք հարցին. ո՞րն է գծային հավասարման լուծումը երկու փոփոխականներում:
• Ինչպե՞ս իմանալ, արդյոք զույգ թվերը հավասարման լուծում են:
• կարողանալ արտահայտել մի փոփոխականը մյուսով:

Դասի տեսակը.նոր նյութ սովորելու դաս.

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ

I. Կազմակերպչական պահ

II. Ծածկված նյութի կրկնություն

1) տախտակի վրա՝ 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17:

2) Հարցեր դասի համար.

- Սահմանեք այս արտահայտությունները: (Ակնկալվող պատասխաններ. արտադրյալ, միանդամ, գումար, բազմանդամ, հավասարում):
-Ի՞նչ է կոչվում հավասարումը:
– Ձեզ հավասարություն է պետք… (որոշել)
– Ի՞նչ է նշանակում «լուծել հավասարում»:
- Ո՞րն է հավասարման արմատը:
- Ո՞ր հավասարումներն են համարժեք:
– Հավասարումների համարժեքության ի՞նչ հատկություններ գիտեք:

III. Ուսանողների գիտելիքների թարմացում

3) Առաջադրանք ամբողջ դասարանին.

- Փոխակերպել արտահայտությունները :(խորհրդում երկու հոգի են աշխատում).

ա) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = բ) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

Փոխակերպումից հետո ստացանք՝ ա) 10x; բ) 4x + 6y:

- Օգտագործեք դրանք հավասարումներ ստեղծելու համար (աշակերտներն առաջարկում են. ուսուցիչը գրատախտակին գրում է հավասարումներ) 10x = 30; 4x + 6y = 28:

Հարցեր.

-Ի՞նչ է առաջին հավասարման անվանումը:
- Ինչու՞ գծային:
– Համեմատե՛ք երկրորդ հավասարումը առաջինի հետ: Փորձեք ձևակերպել երկրորդ հավասարման սահմանումը (Սպասվող պատասխան. երկու փոփոխականով հավասարում; ուսանողների ուշադրությունը կենտրոնացած է հավասարման տեսակի վրա՝ գծային):

IV. Նոր նյութ սովորելը

1) Հայտարարվում է դասի թեման. Թեմայի գրանցումը նոթատետրում: Ուսանողների կողմից երկու փոփոխականով հավասարման սահմանման անկախ ձևակերպում, երկու փոփոխականով գծային հավասարում (մեկ փոփոխականով գծային հավասարման սահմանման անալոգիայով), երկու փոփոխականով հավասարումների օրինակներ։ Քննարկումն ընթանում է ճակատային զրույցի, երկխոսության - պատճառաբանության տեսքով։

2) Դասարանային առաջադրանք.

ա) Գրե՛ք երկու գծային հավասարումներ երկու փոփոխականներով (ուսուցիչը և ուսանողները լսում են մի քանի ուսանողների պատասխանները, ուսուցչի ընտրությամբ, նրանցից մեկը գրատախտակին գրում է իր հավասարումները):

բ) Սովորողների հետ որոշվում են առաջադրանքներ և հարցեր, որոնց պատասխանը նրանք պետք է ստանան այս դասին։ Յուրաքանչյուր ուսանող ստանում է այս հարցերով բացիկներ:

գ) Ուսանողների հետ աշխատել այս խնդիրների և խնդիրների լուծման համար.

– Որոշեք, թե այս հավասարումներից որոնք են գծային հավասարումներ երկու փոփոխականներով ա) 6x 2 = 36; բ) 2x – 5y = 9: գ) 7x + 3y 3; դ) 1/2x + 1/3y = 6 և այլն: Խնդիր կարող է առաջանալ x՝ 5 – y՝ 4 = 3 հավասարման դեպքում (բաժանման նշանը պետք է գրվի որպես կոտորակ): Հավասարումների համարժեքության ի՞նչ հատկություններ պետք է կիրառել: (Ուսանողների պատասխանները)Որոշեք գործակիցների արժեքները Ա, ՎԵվ Հետ.

– Երկու փոփոխականներով գծային հավասարումները, ինչպես բոլոր հավասարումները, պետք է լուծվեն: Ո՞րն է երկու փոփոխականի գծային հավասարումների լուծումը: (Երեխաները տալիս են սահմանում).

ՕրինակԳտե՛ք հավասարման լուծումները՝ ա) x – y = 12, պատասխանները գրե՛ք (x; y) կամ x = ... ձևով; y = .... Քանի՞ լուծում ունի հավասարումը:

ՕրինակներԳտե՛ք հետևյալ հավասարումների լուծումները ա) 2x + y = 7; բ) 5x – y = 4. Ինչպե՞ս գտաք այս հավասարումների լուծումները: (վերցրեց).

- Ինչպե՞ս գիտեք, արդյոք զույգ թվերը լուծում են երկու փոփոխականների գծային հավասարման:

3) Դասագրքի հետ աշխատանք.

- Դասագրքում գտեք այն վայրերը, որտեղ ընդգծված է այս դասի թեմայի հիմնական գաղափարը

ա) Առաջադրանքների բանավոր կատարում՝ թիվ 1092, թիվ 1094.

բ) Օրինակների լուծում թիվ 1096 (թույլ սովորողների համար), թիվ 1097 (ուժեղ ուսանողների համար).

գ) Կրկնել հավասարումների համարժեքության հատկությունները.

Զորավարժություններ:Օգտագործելով հավասարումների համարժեքության հատկությունները, արտահայտեք Y փոփոխականը X փոփոխականի միջոցով 5x + 2y = 12 հավասարման մեջ։ («մեկ րոպե» ինքնուրույն լուծելու համար, այնուհետև գրատախտակի վրա լուծման ընդհանուր ակնարկ, որին հաջորդում է բացատրություն):

դ) թիվ 1099 օրինակի կատարումը (աշակերտներից մեկը գրատախտակի մոտ կատարում է առաջադրանքը):

Պատմական անդրադարձ

1. Տղերք, այն հավասարումները, որոնք մենք հանդիպեցինք այսօր դասարանում, կոչվում են Դիոֆանտինյան գծային հավասարումներ երկու փոփոխականներով, որոնք կոչվում են հին հույն գիտնական և մաթեմատիկոս Դիոֆանտոսի անունով, ով ապրել է մոտ 3,5 հազար տարի առաջ: Հին մաթեմատիկոսները սկզբում կազմում էին խնդիրներ, իսկ հետո աշխատեցին դրանք լուծելու ուղղությամբ: Այսպիսով, կազմվեցին բազմաթիվ խնդիրներ, որոնց մենք ծանոթանում ենք և սովորում լուծել։

2. Եվ նաև այս հավասարումները կոչվում են անորոշ հավասարումներ։ Շատ մաթեմատիկոսներ աշխատել են նման հավասարումների լուծման վրա։ Նրանցից մեկը ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Պիեռ Ֆերման է։ Ուսումնասիրել է անորոշ հավասարումների լուծման տեսությունը։

V. Դասի ամփոփում

1) Դասի ընթացքում ընդգրկված նյութի ամփոփում. Դասի սկզբում ուսանողներին տրված բոլոր հարցերի պատասխանները.

– Ո՞ր հավասարումներն են կոչվում գծային երկու փոփոխականներով:
– Ի՞նչ է կոչվում երկու փոփոխականով գծային հավասարման լուծում:
- Ինչպե՞ս է արձանագրվում այս որոշումը։
- Ո՞ր հավասարումներն են կոչվում համարժեք:
– Որո՞նք են հավասարումների համարժեքության հատկությունները:
– Ի՞նչ խնդիրներ ենք լուծել դասարանում, ի՞նչ հարցերի ենք պատասխանել:

2) ինքնուրույն աշխատանք կատարելը.

Թույլերի համար.

– Գտե՛ք a, b և c փոփոխականների արժեքները –1.1x + 3.6y = – 34 հավասարման մեջ:
– Գտե՛ք x – y = 35 հավասարման գոնե մեկ լուծում:
– Արդյո՞ք զույգ թվերը (3; 2) լուծում են տրված գծային հավասարման երկու փոփոխականներով 2x – y = 4:

Ուժեղների համար.

– Դիոֆանտոսի խնդրի համար գրի՛ր գծային հավասարում երկու փոփոխականներով. Տան բակում քայլում են փասիաններ և նապաստակներ: Բոլոր ոտքերի թիվը պարզվեց՝ 26։
– y փոփոխականը x-ով արտահայտեք 3x – 5y = 8 հավասարման մեջ:

VI. Տնային աշխատանքի հաղորդագրություն

Դիտեք դասագրքի բոլոր առաջադրանքները, յուրաքանչյուր առաջադրանքի արագ վերլուծություն, ընտրեք առաջադրանք:

• Թույլ սովորողների համար՝ թիվ 1093, թիվ 1095բ):
• Ուժեղների համար՝ 1) թիվ 1101, թիվ 1104 (ա). 2) լուծել Դիոֆանտոսի խնդիրը, գտնել այս հավասարման բոլոր բնական լուծումները:

Լրացուցիչ, ուսանողների խնդրանքով - թիվ 1105.

Եզրակացության փոխարեն՝ ես ավելի քան 40 տարի մաթեմատիկայի ուսուցիչ եմ։ Եվ ուզում եմ նշել, որ բաց դասը միշտ չէ, որ լավագույն դասն է։ Հաճախ է պատահում, որ երբեմն սովորական դասերն ավելի մեծ ուրախություն և գոհունակություն են պատճառում ուսուցչին։ Եվ հետո ափսոսանքով մտածում ես, որ ոչ ոք չի տեսել այս դասը՝ ուսուցչի և աշակերտների ստեղծագործությունը։

Դասը մեկ օրգանիզմ է, մեկ ամբողջություն, հենց դասի մեջ է ձեռք բերվում կրթության անձնական և բարոյական փորձը և՛ ուսանողների, և՛ ուսուցիչների համար: Դասի 45 րոպեն այնքան շատ է և այնքան քիչ: Շատ, քանի որ այս ընթացքում դուք կարող եք ձեր ուսանողների հետ «նայել» դարերի խորքերը և այնտեղից «վերադառնալով», շատ նոր, հետաքրքիր բաներ սովորել և դեռ ժամանակ ունենալ նոր նյութ ուսումնասիրելու համար:

Յուրաքանչյուր աշակերտ պետք է հասկանա, որ մաթեմատիկան մարդու ինտելեկտուալ զարգացման հիմքն է: Իսկ դրա հիմքը տրամաբանական մտածողության զարգացումն է։ Ուստի յուրաքանչյուր դասից առաջ ես իմ և իմ ուսանողների համար նպատակ եմ դնում՝ սովորեցնել ուսանողներին հաջողությամբ աշխատել սահմանումների հետ, հմտորեն տարբերել անհայտը հայտնիից, ապացուցվածը չապացուցվածից, վերլուծել, համեմատել, դասակարգել, հարցեր տալ և սովորել հմտորեն լուծել։ նրանց. Օգտագործեք անալոգիաներ, բայց եթե դուք չեք կարող ինքնուրույն դուրս գալ, ապա ձեր կողքին ոչ միայն ուսուցիչն է, այլ ձեր հիմնական օգնականը `գիրքը:

Իհարկե, բաց դասը ուսուցչի ստեղծագործական աշխատանքի արդյունք է։ Իսկ այս դասին ներկա ուսուցիչները պետք է ուշադրություն դարձնեն գլխավորին՝ աշխատանքի համակարգին, նորությանը, գաղափարին։ Այստեղ, կարծում եմ, առանձնապես կարևոր չէ, թե դասավանդման ինչ մեթոդիկա է կիրառում ուսուցիչը՝ հին, արդիական, թե նոր նորարարական տեխնոլոգիաներ, գլխավորն այն է, որ դրա կիրառումը տեղին ու արդյունավետ լինի ուսուցչի և սովորողների համար։

Շատ ուրախ եմ, որ կյանքում ունեմ դպրոց, երեխաներ, դասեր ու նման բարի գործընկերներ։ Շնորհակալություն բոլորին!

Պատահական չէ հեղինակի մոտեցումն այս թեմային. Երկու փոփոխականներով հավասարումներ առաջին անգամ հանդիպում են 7-րդ դասարանում: Երկու փոփոխականներով մեկ հավասարումն ունի անսահման թվով լուծումներ: Սա հստակ ցույց է տալիս գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը, որը տրված է որպես ax + by=c: Դպրոցական դասընթացում սովորողները սովորում են երկու փոփոխականներով երկու հավասարումների համակարգեր։ Արդյունքում, հավասարման գործակցի վրա սահմանափակ պայմաններով խնդիրների մի ամբողջ շարք, ինչպես նաև դրանց լուծման մեթոդները դուրս են գալիս ուսուցչի և հետևաբար՝ աշակերտի տեսադաշտից։

Խոսքը երկու անհայտներով ամբողջ թվերով կամ բնական թվերով հավասարում լուծելու մասին է։

Դպրոցում 4-6-րդ դասարաններում սովորում են բնական թվեր և ամբողջ թվեր: Մինչ նրանք ավարտում են դպրոցը, ոչ բոլոր ուսանողներն են հիշում այս թվերի բազմությունների միջև եղած տարբերությունները:

Այնուամենայնիվ, «լուծել ax + by=c ձևի հավասարումը ամբողջ թվերով» խնդիրն ավելի ու ավելի հաճախ է հանդիպում բուհերի ընդունելության քննություններին և միասնական պետական ​​քննության նյութերում:

Անորոշ հավասարումների լուծումը զարգացնում է տրամաբանական մտածողությունը, բանականությունը և ուշադրությունը վերլուծության վրա:

Ես առաջարկում եմ այս թեմայով մի քանի դասեր մշակել: Ես չունեմ հստակ առաջարկություններ այս դասերի ժամանակի վերաբերյալ: Որոշ տարրեր կարող են օգտագործվել նաև 7-րդ դասարանում (ուժեղ դասարանի համար): Այս դասերը կարելի է հիմք ընդունել և մշակել 9-րդ դասարանում նախնական մասնագիտական ​​ուսուցման փոքր ընտրովի դասընթաց: Եվ, իհարկե, այս նյութը կարելի է օգտագործել 10-11-րդ դասարաններում՝ քննություններին պատրաստվելու համար:

Դասի նպատակը.

• գիտելիքների կրկնություն և ընդհանրացում «Առաջին և երկրորդ կարգի հավասարումներ» թեմայով.
• դաստիարակել ճանաչողական հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ
• վերլուծելու, ընդհանրացումներ անելու, գիտելիքները նոր իրավիճակին փոխանցելու կարողության զարգացում

Դաս 1.

Դասերի ժամանակ.

1) Օրգ. պահը.

2) Հիմնական գիտելիքների թարմացում.

Սահմանում. Երկու փոփոխականների գծային հավասարումը ձևի հավասարումն է

mx + ny = k, որտեղ m, n, k թվեր են, x, y փոփոխականներ:

Օրինակ՝ 5x+2y=10

Սահմանում. Երկու փոփոխականներով հավասարման լուծումը փոփոխականների զույգ արժեքներ են, որոնք հավասարումը վերածում են իրական հավասարության:

Երկու փոփոխականներով հավասարումները, որոնք ունեն նույն լուծումները, կոչվում են համարժեք:

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Այս հավասարումը կարող է ունենալ ցանկացած քանակի լուծում: Դա անելու համար բավական է վերցնել ցանկացած x արժեք և գտնել համապատասխան y արժեքը։

Թող x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Թվերի զույգեր (2;1); (4;-4) – (1) հավասարման լուծումները:

Այս հավասարումն ունի անսահման շատ լուծումներ։

3) Պատմական նախադրյալներ

Անորոշ (Դիոֆանտին) հավասարումները մեկից ավելի փոփոխական պարունակող հավասարումներ են։

3-րդ դարում։ ՀԱՅՏԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ – Դիոֆանտ Ալեքսանդրացին գրել է «Թվաբանություն», որտեղ նա ընդլայնել է թվերի շարքը ռացիոնալ թվերի և ներմուծել հանրահաշվական սիմվոլիզմ:

Դիոֆանտը դիտարկել է նաև անորոշ հավասարումների լուծման խնդիրները և տվել է երկրորդ և երրորդ աստիճանի անորոշ հավասարումների լուծման մեթոդներ։

4) նոր նյութի ուսումնասիրություն.

Սահմանում. Առաջին կարգի անհամասեռ դիոֆանտին հավասարումը երկու անհայտ x, y-ն mx + ny = k ձևի հավասարումն է, որտեղ m, n, k, x, y Z k0:

Հայտարարություն 1.

Եթե ​​(1) հավասարման k ազատ անդամը չի բաժանվում m և n թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի (GCD) վրա, ապա (1) հավասարումը չունի ամբողջական լուծումներ։

Օրինակ՝ 34x – 17y = 3:

GCD (34; 17) = 17, 3-ը հավասարապես չի բաժանվում 17-ի, ամբողջ թվերով լուծում չկա:

Թող k-ը բաժանվի gcd-ով (m, n): Բոլոր գործակիցները բաժանելով՝ մենք կարող ենք ապահովել, որ m-ը և n-ը դառնան համեմատաբար պարզ:

Հայտարարություն 2.

Եթե ​​(1) հավասարման m և n-ը համեմատաբար պարզ թվեր են, ապա այս հավասարումն ունի առնվազն մեկ լուծում:

Հայտարարություն 3.

Եթե ​​(1) հավասարման m և n գործակիցները պարզ թվեր են, ապա այս հավասարումն ունի անսահման շատ լուծումներ.

Որտեղ (; ) է (1) հավասարման ցանկացած լուծում, t Z

Սահմանում. Առաջին կարգի միատարր դիոֆանտին հավասարումը երկու անհայտ x, y-ն mx + ny = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ (2)

Հայտարարություն 4.

Եթե ​​m-ը և n-ը պարզ թվեր են, ապա (2) հավասարման ցանկացած լուծում ունի ձևը

5) Տնային աշխատանք. Լուծե՛ք հավասարումը ամբողջ թվերով.

1. 9x – 18y = 5
2. x + y = xy
3. Մի քանի երեխա խնձոր էին հավաքում։ Յուրաքանչյուր տղա հավաքել է 21 կգ, իսկ աղջիկը՝ 15 կգ։ Ընդհանուր առմամբ նրանք հավաքել են 174 կգ։ Քանի՞ տղա և քանի՞ աղջիկ խնձոր քաղեց:

Մեկնաբանություն. Այս դասը չի ներկայացնում ամբողջ թվերով հավասարումների լուծման օրինակներ: Հետևաբար, երեխաները տնային առաջադրանքները լուծում են՝ հիմնվելով 1-ին հայտարարության և ընտրության վրա:

Դաս 2.

1) Կազմակերպչական պահ

2) տնային աշխատանքների ստուգում

1) 9x – 18y = 5

5-ը չի բաժանվում 9-ի, ամբողջ թվերով լուծումներ չկան:

Ընտրության մեթոդի օգնությամբ դուք կարող եք լուծում գտնել

Պատասխան՝ (0;0), (2;2)

3) Կազմենք հավասարում.

Թող տղաները լինեն x, x Z, իսկ աղջիկները y, y Z, ապա կարող ենք ստեղծել 21x + 15y = 174 հավասարումը:

Շատ ուսանողներ, գրելով հավասարում, չեն կարողանա լուծել այն։

Պատասխան՝ 4 տղա, 6 աղջիկ։

3) Նոր նյութի ուսուցում

Հանդիպելով տնային առաջադրանքների կատարման դժվարությունների՝ ուսանողները համոզվեցին, որ անհրաժեշտ է սովորել անորոշ հավասարումներ լուծելու իրենց մեթոդները: Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը:

I. Բաժանման մնացորդների դիտարկման մեթոդ.

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը ամբողջ թվերով 3x – 4y = 1:

Հավասարման ձախ կողմը բաժանվում է 3-ի, հետևաբար աջ կողմը պետք է բաժանվի։ Դիտարկենք երեք դեպք.

Պատասխան՝ որտեղ մ Զ.

Նկարագրված մեթոդը հարմար է օգտագործել, եթե m և n թվերը փոքր չեն, բայց կարող են քայքայվել պարզ գործոնների։

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումներ ամբողջ թվերով:

Թող y = 4n, ապա 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) բաժանվում է 4-ի:

y = 4n+1, ապա 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n չի բաժանվում 4-ի։

y = 4n+2, ապա 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n չի բաժանվում 4-ի։

y = 4n+3, ապա 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n-ը չի բաժանվում 4-ի։

Հետևաբար y = 4n, ուրեմն

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Պատասխան՝ , որտեղ n Զ.

II. 2-րդ աստիճանի անորոշ հավասարումներ

Այսօր դասի ընթացքում կանդրադառնանք միայն երկրորդ կարգի դիոֆանտին հավասարումների լուծմանը։

Եվ բոլոր տեսակի հավասարումների դեպքում մենք կդիտարկենք այն դեպքը, երբ կարող ենք կիրառել քառակուսիների տարբերության բանաձևը կամ ֆակտորիզացիայի մեկ այլ եղանակ:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը ամբողջ թվերով:

13-ը պարզ թիվ է, ուստի այն կարող է գործոնավորվել միայն չորս եղանակով՝ 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

Դիտարկենք այս դեպքերը

Պատասխան՝ (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3):

4) տնային աշխատանք.

Օրինակներ. Լուծե՛ք հավասարումը ամբողջ թվերով.

(x - y) (x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	չի տեղավորվում	չի տեղավորվում
2x = -4	չի տեղավորվում	չի տեղավորվում
x = -2
y = 0

Պատասխան՝ (-2;0), (2;0):

Պատասխաններ՝ (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

Պատասխան՝ (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5):

Արդյունքներ. Ի՞նչ է նշանակում լուծել ամբողջ թվերով հավասարումը:

Անորոշ հավասարումների լուծման ի՞նչ մեթոդներ գիտեք:

Դիմում:

Զորավարժություններ մարզման համար.

1) Լուծել ամբողջ թվերով.

ա) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
բ) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
գ) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
դ) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
ե) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
ե) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
է) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
ը) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Գտեք հավասարման ոչ բացասական լուծումներ.

Լուծում:Z (2; -1)

գրականություն.

1. Մանկական հանրագիտարան «Մանկավարժություն», Մոսկվա, 1972 թ.
2. Հանրահաշիվ-8, Ն.Յա. Վիլենկին, VO «Գիտություն», Նովոսիբիրսկ, 1992 թ
3. Թվերի տեսության վրա հիմնված մրցակցության խնդիրներ. Վ.Յա. Գալկին, Դ.Յու. Սյուչուգով. MSU, VMK, Մոսկվա, 2005 թ.
4. 7-9-րդ դասարանների հանրահաշվի դասընթացի բարձրացված դժվարության խնդիրներ. Ն.Պ. Կոսրիկինա. «Լուսավորություն», Մոսկվա, 1991 թ
5. Հանրահաշիվ 7, Մակարիչև Յու.Ն., «Լուսավորություն».

Հրահանգներ

Տրվելով երկու գծային հավասարումների համակարգ, լուծե՛ք այն հետևյալ կերպ. Ընտրի՛ր այն հավասարումներից մեկը, որում փոփոխականների դիմաց գործակիցներն ավելի փոքր են և արտահայտի՛ր փոփոխականներից մեկը, օրինակ՝ x։ Այնուհետև y պարունակող այս արժեքը փոխարինեք երկրորդ հավասարման մեջ: Ստացված հավասարման մեջ կլինի միայն մեկ փոփոխական y, բոլոր մասերը y-ով տեղափոխեք ձախ կողմ, իսկ ազատները՝ աջ: Գտե՛ք y-ն և փոխարինե՛ք սկզբնական հավասարումներից որևէ մեկով՝ գտնելու x:

Երկու հավասարումների համակարգ լուծելու ևս մեկ տարբերակ կա. Հավասարումներից մեկը բազմապատկեք թվով այնպես, որ փոփոխականներից մեկի գործակիցը, ինչպիսին x-ն է, երկու հավասարումներում էլ նույնը լինի: Այնուհետև հավասարումներից մեկը հանեք մյուսից (եթե աջ կողմը հավասար չէ 0-ի, հիշեք, որ նույն կերպ հանեք աջ կողմերը): Դուք կտեսնեք, որ x փոփոխականն անհետացել է, և մնացել է միայն մեկ y փոփոխական: Լուծե՛ք ստացված հավասարումը և y-ի գտած արժեքը փոխարինե՛ք սկզբնական հավասարություններից որևէ մեկով: Գտեք x.

Երկու գծային հավասարումների համակարգի լուծման երրորդ եղանակը գրաֆիկական է: Գծի՛ր կոորդինատային համակարգ և գծի՛ր երկու ուղիղ գծեր, որոնց հավասարումները տրված են քո համակարգում: Դա անելու համար փոխարինեք ցանկացած երկու x արժեք հավասարման մեջ և գտեք համապատասխան y - սրանք կլինեն գծին պատկանող կետերի կոորդինատները: Կոորդինատային առանցքների հետ խաչմերուկը գտնելու ամենահարմար ձևը պարզապես x=0 և y=0 արժեքները փոխարինելն է: Այս երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները կլինեն առաջադրանքները։

Եթե ​​խնդրի պայմաններում կա միայն մեկ գծային հավասարում, ապա ձեզ տրվել են լրացուցիչ պայմաններ, որոնց միջոցով կարող եք լուծում գտնել։ Այս պայմանները գտնելու համար ուշադիր կարդացեք խնդիրը: Եթե ​​x և y փոփոխականները նշանակում են հեռավորություն, արագություն, քաշ, ազատ զգալ սահմանել x≥0 և y≥0 սահմանը: Միանգամայն հնարավոր է, որ x կամ y-ը թաքցնում է խնձորների, ծառերի և այլնի քանակը։ - ապա արժեքները կարող են լինել միայն ամբողջ թվեր: Եթե ​​x-ը որդու տարիքն է, ապա պարզ է, որ նա չի կարող մեծ լինել իր հորից, ուստի նշեք դա խնդրի պայմաններում:

Կառուցեք գծային գծապատկեր, որը համապատասխանում է գծային հավասարմանը: Նայեք գրաֆիկին, կարող են լինել միայն մի քանի լուծումներ, որոնք բավարարում են բոլոր պայմաններին, օրինակ՝ ամբողջ թվեր և դրական թվեր: Դրանք կլինեն ձեր հավասարման լուծումները:

Աղբյուրներ:

• ինչպես լուծել հավասարումը մեկ փոփոխականով

Մաթեմատիկայի հիմնական խնդիրներից մեկը մի քանի անհայտներով հավասարումների համակարգի լուծումն է։ Սա շատ գործնական խնդիր է՝ կան մի քանի անհայտ պարամետրեր, դրանց վրա դրված են մի քանի պայմաններ, և անհրաժեշտ է գտնել դրանց ամենաօպտիմալ համադրությունը։ Նման առաջադրանքները սովորական են տնտեսագիտության, շինարարության, բարդ մեխանիկական համակարգերի նախագծման և ընդհանրապես, որտեղ պահանջվում է նյութական և մարդկային ռեսուրսների ծախսերի օպտիմալացում: Այս առումով հարց է առաջանում՝ ինչպե՞ս լուծել նման համակարգերը։

Հրահանգներ

Մաթեմատիկան մեզ տալիս է նման համակարգերի լուծման երկու եղանակ՝ գրաֆիկական և վերլուծական: Այս մեթոդները համարժեք են, և չի կարելի ասել, որ դրանցից որևէ մեկը ավելի լավն է կամ ավելի վատը: Յուրաքանչյուր իրավիճակում լուծումը օպտիմալացնելիս պետք է ընտրել, թե որ մեթոդն է տալիս ավելի պարզ լուծում: Բայց կան նաև մի քանի բնորոշ իրավիճակներ. Այսպիսով, հարթ հավասարումների համակարգը, այսինքն, երբ երկու գրաֆիկները ունեն y=ax+b ձևը, ավելի հեշտ է լուծել գրաֆիկորեն: Ամեն ինչ արվում է շատ պարզ՝ կառուցվում են երկու ուղիղ գծեր՝ գծային ֆունկցիաների գրաֆիկներ, ապա գտնվում է դրանց հատման կետը։ Այս կետի կոորդինատները (աբսցիսսա և օրդինատ) կլինեն այս հավասարման լուծումը: Նկատի ունեցեք նաև, որ երկու ուղիղ կարող են լինել զուգահեռ: Այնուհետև հավասարումների համակարգը լուծում չունի, և ֆունկցիաները կոչվում են գծային կախված։

Կարող է լինել նաև հակառակ իրավիճակը։ Եթե ​​մեզ անհրաժեշտ լինի գտնել երրորդ անհայտը՝ հաշվի առնելով երկու գծային անկախ հավասարումներ, ապա համակարգը թերորոշված ​​կլինի և կունենա անսահման թվով լուծումներ։ Գծային հանրահաշվի տեսության մեջ ապացուցված է, որ համակարգը ունի եզակի լուծում, եթե և միայն այն դեպքում, եթե հավասարումների թիվը համընկնում է անհայտների թվի հետ։

Առարկա:Գծային ֆունկցիա

Դաս.Գծային հավասարումը երկու փոփոխականներում և դրա գրաֆիկը

Մենք ծանոթացանք կոորդինատային առանցքի և կոորդինատային հարթության հասկացություններին։ Մենք գիտենք, որ հարթության վրա գտնվող յուրաքանչյուր կետ եզակիորեն սահմանում է թվերի զույգ (x; y), ընդ որում առաջին համարը կետի աբսցիսա է, իսկ երկրորդը՝ օրդինատը։

Մենք շատ հաճախ կհանդիպենք երկու փոփոխականների գծային հավասարման, որոնց լուծումը զույգ թվեր են, որոնք կարող են ներկայացվել կոորդինատային հարթության վրա։

Ձևի հավասարումը.

Որտեղ a, b, c թվերն են, և

Այն կոչվում է գծային հավասարում x և y երկու փոփոխականներով: Նման հավասարման լուծումը կլինի x և y թվերի ցանկացած նման զույգ, որը փոխարինելով հավասարման մեջ՝ կստանանք ճիշտ թվային հավասարություն։

Կոորդինատային հարթության վրա որպես կետ կպատկերվի զույգ թվեր:

Նման հավասարումների համար մենք կտեսնենք բազմաթիվ լուծումներ, այսինքն՝ թվերի շատ զույգեր, և բոլոր համապատասխան կետերը կգտնվեն նույն ուղիղ գծի վրա։

Դիտարկենք օրինակ.

Այս հավասարման լուծումներ գտնելու համար անհրաժեշտ է ընտրել x և y թվերի համապատասխան զույգերը.

Թող , ապա սկզբնական հավասարումը վերածվում է մեկ անհայտով հավասարման.

,

Այսինքն՝ թվերի առաջին զույգը, որը տրված հավասարման լուծումն է (0; 3): Մենք ստացանք միավոր A (0; 3)

Թող . Մենք ստանում ենք սկզբնական հավասարումը մեկ փոփոխականով. , այստեղից ստացանք B կետը (3; 0)

Եկեք թվերի զույգերը դնենք աղյուսակում.

Եկեք գծագրենք կետերը գրաֆիկի վրա և գծենք ուղիղ գիծ.

Նկատի ունեցեք, որ տրված ուղիղի ցանկացած կետ կլինի տրված հավասարման լուծում: Եկեք ստուգենք՝ վերցրեք կոորդինատով կետ և օգտագործեք գրաֆիկը՝ գտնելու դրա երկրորդ կոորդինատը: Ակնհայտ է, որ այս պահին. Եկեք փոխարինենք թվերի այս զույգը հավասարման մեջ: Ստանում ենք 0=0՝ ճիշտ թվային հավասարություն, ինչը նշանակում է, որ գծի վրա ընկած կետը լուծում է։

Առայժմ մենք չենք կարող ապացուցել, որ կառուցված գծի վրա գտնվող ցանկացած կետ հավասարման լուծում է, ուստի մենք դա ընդունում ենք որպես ճշմարիտ և հետագայում կապացուցենք:

Օրինակ 2 - գրաֆիկական հավասարումը.

Եկեք աղյուսակ կազմենք, մեզ անհրաժեշտ է ընդամենը երկու կետ ուղիղ գիծ կառուցելու համար, բայց մենք կվերցնենք երրորդը.

Առաջին սյունակում մենք վերցրեցինք հարմարը, մենք կգտնենք այն.

, ,

Երկրորդ սյունակում մենք վերցրեցինք հարմարը, եկեք գտնենք x:

, , ,

Եկեք ստուգենք և գտնենք.

, ,

Եկեք կառուցենք գրաֆիկ.

Տրված հավասարումը բազմապատկենք երկուսով.

Նման փոխակերպումից լուծումների բազմությունը չի փոխվի, և գրաֆիկը կմնա նույնը։

Եզրակացություն՝ մենք սովորեցինք լուծել երկու փոփոխականներով հավասարումներ և կառուցել դրանց գրաֆիկները, իմացանք, որ նման հավասարման գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, և որ այս ուղղի ցանկացած կետ հավասարման լուծում է։

1. Դորոֆեև Գ.Վ., Սուվորովա Ս.Բ., Բունիմովիչ Է.Ա. եւ ուրիշներ Հանրահաշիվ 7. 6-րդ հրատարակություն. Մ.: Լուսավորություն. 2010 թ

2. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Հանրահաշիվ 7. Մ.՝ VENTANA-GRAF

3. Կոլյագին Յու.Մ., Տկաչևա Մ.Վ., Ֆեդորովա Ն.Ե. և այլք Հանրահաշիվ 7.Մ.: Լուսավորություն. 2006թ

2. Ընտանեկան դիտման պորտալ ():

Առաջադրանք 1. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Հանրահաշիվ 7, թիվ 960, Արվեստ 210;

Առաջադրանք 2. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Հանրահաշիվ 7, թիվ 961, արվեստ 210;

Առաջադրանք 3. Մերզլյակ Ա.Գ., Պոլոնսկի Վ.Բ., Յակիր Մ.Ս. Հանրահաշիվ 7, թիվ 962, Արվեստ 210;

Ի՞նչ է գծային հավասարումը երկու փոփոխականներում:

Մենք գործ ունենք 7, 8 և բարձր դասարանների երկու փոփոխականներով գծային հավասարումների հետ:

Գծային հավասարում երկու փոփոխականի սահմանմամբ

Գծային հավասարման սահմանումը երկու փոփոխականներում

ax + by = c ձևի հավասարումը կոչվում է գծային հավասարումներ երկու փոփոխականներով:

Այստեղ a, b և c թվեր են, x և y փոփոխականներ:

Գծային հավասարում երկու փոփոխականով օրինակ

Երկու փոփոխականներով գծային հավասարման օրինակ

Այս հավասարման մեջ կան երկու փոփոխականներ x և y, a = 8, b = 4, c = 5:

Գծային հավասարում երկու փոփոխականներով

Երկու փոփոխականներով գծային հավասարման լուծումը փոփոխական արժեքների զույգ է, որը, երբ փոխարինվում է հավասարման մեջ, վերածվում է իրական հավասարության:

Լուծեք գծային հավասարում երկու փոփոխականով

Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումները երկու փոփոխականներում:

Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը

y փոփոխականը արտահայտենք x փոփոխականով։

Դա անելու համար տեղափոխեք 8x հավասարման աջ կողմը՝ փոխելով նշանը հակառակի վրա

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք չորսի

Մենք ընտրում ենք X-ի կամայական արժեքը, թող լինի 7:

X-ով փոխարինիր 7-ով և գտիր Y-ի արժեքը

Y = -2 * 7 + 1,25 = -12,75

Այժմ մենք ունենք x = 7 և y = −12,75 փոփոխականների զույգ արժեքներ, սովորաբար այս զույգ թվերը գրվում են փակագծերում (7; −12,75), երբ դրանք փոխարինելով հավասարման մեջ, այն վերածվում է իրական հավասարության։