Լոգարիթմների հատկությունները. Ի՞նչ է լոգարիթմը: Լոգարիթմների լուծում

Ի՞նչ է լոգարիթմը:

Ուշադրություն.
Կան լրացուցիչ
Նյութը 555-րդ հատուկ բաժնում:
Նրանց համար, ովքեր խիստ «ոչ շատ ...»
Իսկ նրանց համար, ովքեր «շատ...»)

Ի՞նչ է լոգարիթմը: Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները: Այս հարցերը շփոթեցնում են շատ շրջանավարտների։ Ավանդաբար լոգարիթմների թեման համարվում է բարդ, անհասկանալի և սարսափելի։ Հատկապես՝ լոգարիթմներով հավասարումներ։

Սա բացարձակապես ճիշտ չէ: Բացարձակապես! Չե՞ք հավատում: Լավ. Այժմ, մոտ 10-20 րոպե դուք.

1. Հասկացեք ինչ է լոգարիթմը.

2. Սովորեք լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումների մի ամբողջ դաս: Նույնիսկ եթե դուք չեք լսել նրանց մասին:

3. Սովորեք հաշվել պարզ լոգարիթմները:

Ավելին, դրա համար անհրաժեշտ կլինի իմանալ միայն բազմապատկման աղյուսակը, և թե ինչպես է թիվը բարձրացվում մինչև հզորության ...

Ես զգում եմ, որ կասկածում ես... Դե, ժամանակ պահիր: Գնա՛

Նախ, ձեր մտքում լուծեք հետևյալ հավասարումը.

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

b-ի լոգարիթմը (b > 0) մինչև a հիմքը (a > 0, a ≠ 1)այն ցուցանիշն է, որի վրա պետք է բարձրացնել a թիվը՝ b ստանալու համար:

b-ի 10 հիմքի լոգարիթմը կարելի է գրել այսպես մատյան (բ), և լոգարիթմը e հիմքին (բնական լոգարիթմ) - ln(b).

Հաճախ օգտագործվում է լոգարիթմներով խնդիրներ լուծելիս.

Լոգարիթմների հատկությունները

Կան չորս հիմնական լոգարիթմների հատկությունները.

Թողեք a > 0, a ≠ 1, x > 0 և y > 0:

Հատկություն 1. Արտադրանքի լոգարիթմ

Արտադրանքի լոգարիթմհավասար է լոգարիթմների գումարին.

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Հատկություն 2. Քաղորդի լոգարիթմ

Քաղորդի լոգարիթմըհավասար է լոգարիթմների տարբերությանը.

log a (x / y) = log a x – log a y

Հատկություն 3. աստիճանի լոգարիթմ

Աստիճանի լոգարիթմհավասար է աստիճանի և լոգարիթմի արտադրյալին.

Եթե ​​լոգարիթմի հիմքը ցուցիչում է, ապա կիրառվում է մեկ այլ բանաձև.

Հատկություն 4. Արմատի լոգարիթմ

Այս հատկությունը կարելի է ստանալ աստիճանի լոգարիթմի հատկությունից, քանի որ n-րդ աստիճանի արմատը հավասար է 1/n հզորությանը.

Մի հիմքում լոգարիթմից մյուս հիմքում լոգարիթմ անցնելու բանաձևը

Այս բանաձևը հաճախ օգտագործվում է նաև լոգարիթմների համար տարբեր առաջադրանքներ լուծելիս.

Հատուկ դեպք.

Լոգարիթմների համեմատություն (անհավասարություններ)

Ենթադրենք, մենք ունենք 2 ֆունկցիա f(x) և g(x) միևնույն հիմքերով լոգարիթմների տակ, և նրանց միջև կա անհավասարության նշան.

Դրանք համեմատելու համար նախ պետք է դիտարկել լոգարիթմների հիմքը a.

• Եթե ​​a > 0, ապա f(x) > g(x) > 0
• Եթե ​​0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Ինչպես լուծել խնդիրները լոգարիթմներով. օրինակներ

Առաջադրանքներ լոգարիթմներով 5-րդ և 7-րդ առաջադրանքների 11-րդ դասարանի մաթեմատիկայի USE-ում ներառված, դուք կարող եք գտնել լուծումներով առաջադրանքներ մեր կայքում՝ համապատասխան բաժիններում: Նաև լոգարիթմներով առաջադրանքները հանդիպում են մաթեմատիկայի առաջադրանքների բանկում: Դուք կարող եք գտնել բոլոր օրինակները՝ փնտրելով կայքը:

Ինչ է լոգարիթմը

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում լոգարիթմները միշտ համարվել են բարդ թեմա։ Լոգարիթմի շատ տարբեր սահմանումներ կան, բայց ինչ-ինչ պատճառներով դասագրքերից շատերն օգտագործում են դրանցից ամենաբարդն ու դժբախտությունը:

Մենք պարզ ու հստակ կսահմանենք լոգարիթմը։ Եկեք դրա համար աղյուսակ ստեղծենք.

Այսպիսով, մենք ունենք երկու ուժ:

Լոգարիթմներ - հատկություններ, բանաձևեր, ինչպես լուծել

Եթե ​​թիվը վերցնում եք ներքևի տողից, ապա հեշտությամբ կարող եք գտնել այն հզորությունը, որի վրա դուք պետք է երկու բարձրացնեք այս թիվը ստանալու համար: Օրինակ, 16 ստանալու համար անհրաժեշտ է երկուսը հասցնել չորրորդ աստիճանի: Իսկ 64 ստանալու համար պետք է երկուսը հասցնել վեցերորդ աստիճանի։ Սա երևում է աղյուսակից։

Եվ հիմա, փաստորեն, լոգարիթմի սահմանումը.

x փաստարկի a հիմքը այն հզորությունն է, որով պետք է բարձրացվի a թիվը՝ x թիվը ստանալու համար:

Նշում. log a x \u003d b, որտեղ a-ն հիմքն է, x-ը արգումենտն է, b-ն իրականում այն ​​է, ինչին հավասար է լոգարիթմը:

Օրինակ՝ 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ի 2-րդ լոգարիթմը երեքն է, քանի որ 2 3 = 8): Կարող է նաև գրանցել 2 64 = 6, քանի որ 2 6 = 64:

Տրված հիմքում թվի լոգարիթմը գտնելու գործողությունը կոչվում է. Այսպիսով, եկեք նոր տող ավելացնենք մեր աղյուսակում.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
մատյան 2 2 = 1	մատյան 2 4 = 2	մատյան 2 8 = 3	մատյան 2 16 = 4	մատյան 2 32 = 5	մատյան 2 64 = 6

Ցավոք, ոչ բոլոր լոգարիթմներն են այդքան հեշտությամբ համարվում: Օրինակ, փորձեք գտնել մատյան 2 5: 5 թիվը աղյուսակում չկա, բայց տրամաբանությունը թելադրում է, որ լոգարիթմը ընկած կլինի հատվածի վրա ինչ-որ տեղ: Քանի որ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Նման թվերը կոչվում են իռացիոնալ՝ տասնորդական կետից հետո թվերը կարելի է գրել անորոշ ժամանակով, և դրանք երբեք չեն կրկնվում։ Եթե ​​լոգարիթմը պարզվում է, որ իռացիոնալ է, ապա ավելի լավ է թողնել այսպես՝ log 2 5, log 3 8, log 5 100:

Կարևոր է հասկանալ, որ լոգարիթմը երկու փոփոխականներով (հիմք և արգումենտ) արտահայտություն է: Սկզբում շատերը շփոթում են, թե որտեղ է հիմքը և որտեղ է վեճը: Անհանգստացնող թյուրիմացություններից խուսափելու համար պարզապես նայեք նկարին.

Մեր առջև ոչ այլ ինչ է, քան լոգարիթմի սահմանումը: Հիշեք. լոգարիթմը ուժն է, որի վրա պետք է հիմք բարձրացնել փաստարկը ստանալու համար: Դա այն հիմքն է, որը բարձրացված է հզորության - նկարում այն ​​ընդգծված է կարմիրով: Ստացվում է, որ հիմքը միշտ ներքևում է: Այս հրաշալի կանոնը ես ասում եմ իմ ուսանողներին հենց առաջին դասին, և ոչ մի շփոթություն չկա:

Ինչպես հաշվել լոգարիթմները

Մենք պարզեցինք սահմանումը. մնում է սովորել, թե ինչպես հաշվել լոգարիթմները, այսինքն. ազատվել «գերան» նշանից. Սկզբից մենք նշում ենք, որ սահմանումից բխում են երկու կարևոր փաստ.

1. Փաստարկը և հիմքը միշտ պետք է զրոյից մեծ լինեն: Սա բխում է ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի սահմանումից, որին կրճատվում է լոգարիթմի սահմանումը։
2. Հիմքը պետք է տարբերվի միասնությունից, քանի որ ցանկացած ուժի միավորը դեռ միավոր է: Դրա համար անիմաստ է «ինչ ուժի վրա պետք է բարձրացնել երկուսը ստանալու համար» հարցը։ Չկա այդպիսի աստիճան!

Նման սահմանափակումները կոչվում են վավեր տիրույթ(ՕՁ): Ստացվում է, որ լոգարիթմի ODZ-ն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1:

Նկատի ունեցեք, որ բ թվի վրա սահմանափակումներ չկան (լոգարիթմի արժեքը) չի դրվում: Օրինակ, լոգարիթմը կարող է լինել բացասական՝ log 2 0.5 = −1, քանի որ 0,5 = 2 −1 .

Այնուամենայնիվ, այժմ մենք դիտարկում ենք միայն թվային արտահայտություններ, որտեղ չի պահանջվում իմանալ լոգարիթմի ODZ-ը։ Խնդիրները կազմողների կողմից արդեն իսկ հաշվի են առնվել բոլոր սահմանափակումները։ Բայց երբ լոգարիթմական հավասարումները և անհավասարությունները ի հայտ գան, DHS-ի պահանջները կդառնան պարտադիր: Իրոք, հիմքում և փաստարկում կարող են լինել շատ ուժեղ կոնստրուկցիաներ, որոնք պարտադիր չէ, որ համապատասխանեն վերը նշված սահմանափակումներին։

Այժմ դիտարկենք լոգարիթմների հաշվարկման ընդհանուր սխեման: Այն բաղկացած է երեք քայլից.

1. a հիմքը և x արգումենտը արտահայտե՛ք մեկից մեծ հնարավոր ամենափոքր հիմքով հզորությամբ: Ճանապարհին ավելի լավ է ազատվել տասնորդական կոտորակներից.
2. Լուծե՛ք b փոփոխականի հավասարումը. x = a b ;
3. Ստացված b թիվը կլինի պատասխանը:

Այսքանը: Եթե ​​լոգարիթմը պարզվի, որ իռացիոնալ է, դա երևում է արդեն առաջին քայլից: Պահանջը, որ բազան մեկից մեծ լինի, շատ տեղին է. սա նվազեցնում է սխալի հավանականությունը և մեծապես հեշտացնում է հաշվարկները: Նմանապես տասնորդական կոտորակների դեպքում. եթե դրանք անմիջապես վերածեք սովորականի, ապա շատ անգամ ավելի քիչ սխալներ կլինեն:

Տեսնենք, թե ինչպես է այս սխեման աշխատում կոնկրետ օրինակների վրա.

Առաջադրանք. Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 5 25

1. Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես հինգի հզորություն՝ 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Ստացել է պատասխան՝ 2.

Առաջադրանք. Հաշվեք լոգարիթմը.

Առաջադրանք. Հաշվի՛ր լոգարիթմը՝ log 4 64

1. Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես երկուի ուժ՝ 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Ստացել է պատասխան՝ 3.

Առաջադրանք. Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 16 1

1. Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես երկուի ուժ՝ 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Կազմենք և լուծենք հավասարումը.
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Ստացել է պատասխան՝ 0.

Առաջադրանք. Հաշվիր լոգարիթմը՝ log 7 14

1. Ներկայացնենք հիմքը և փաստարկը որպես յոթի աստիճան՝ 7 = 7 1; 14-ը ներկայացված չէ որպես յոթի ուժ, քանի որ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Նախորդ պարբերությունից հետևում է, որ լոգարիթմը չի դիտարկվում.
3. Պատասխանն անփոփոխ է՝ մատյան 7 14:

Մի փոքրիկ նշում վերջին օրինակի վերաբերյալ. Ինչպե՞ս համոզվել, որ թիվը մեկ այլ թվի ճշգրիտ հզորություն չէ: Շատ պարզ. պարզապես տարրալուծեք այն հիմնական գործոնների: Եթե ​​ընդլայնման մեջ կա առնվազն երկու հստակ գործոն, ապա թիվը ճշգրիտ հզորություն չէ:

Առաջադրանք. Պարզեք՝ թվի ճշգրիտ ուժերն են՝ 8; 48; 81; 35; տասնչորս.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ճշգրիտ աստիճանը, քանի որ կա միայն մեկ բազմապատկիչ;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ճշգրիտ հզորություն չէ, քանի որ կա երկու գործոն՝ 3 և 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ճշգրիտ աստիճան;
35 = 7 5 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;
14 \u003d 7 2 - կրկին ոչ ճշգրիտ աստիճան;

Նկատի ունեցեք նաև, որ պարզ թվերն իրենք միշտ իրենց ճշգրիտ ուժերն են:

Տասնորդական լոգարիթմ

Որոշ լոգարիթմներ այնքան տարածված են, որ ունեն հատուկ անվանում և նշանակում։

x-ի արգումենտը 10-րդ հիմքի լոգարիթմն է, այսինքն. հզորությունը, որին պետք է բարձրացվի 10-ը՝ x ստանալու համար: Նշումը՝ lgx:

Օրինակ, log 10 = 1; մատյան 100 = 2; lg 1000 = 3 - և այլն:

Այսուհետ, երբ դասագրքում հայտնվում է «Find lg 0.01» արտահայտությունը, իմացեք, որ սա տառասխալ չէ։ Սա տասնորդական լոգարիթմն է: Այնուամենայնիվ, եթե դուք սովոր չեք նման նշանակմանը, միշտ կարող եք այն վերաշարադրել.
log x = log 10 x

Այն ամենը, ինչ ճշմարիտ է սովորական լոգարիթմների համար, ճիշտ է նաև տասնորդականների համար:

բնական լոգարիթմ

Կա ևս մեկ լոգարիթմ, որն ունի իր սեփական նշումը: Ինչ-որ իմաստով այն նույնիսկ ավելի կարևոր է, քան տասնորդականը: Սա բնական լոգարիթմն է։

x-ի արգումենտը e հիմքի լոգարիթմն է, այսինքն. այն հզորությունը, որին պետք է բարձրացնել e թիվը՝ x թիվը ստանալու համար: Նշանակում՝ lnx.

Շատերը կհարցնեն՝ ո՞րն է e թիվը։ Սա իռացիոնալ թիվ է, դրա ճշգրիտ արժեքը հնարավոր չէ գտնել և գրել: Ահա միայն առաջին թվերը.
e = 2.718281828459…

Մենք չենք խորանա, թե որն է այս թիվը և ինչու է այն անհրաժեշտ: Պարզապես հիշեք, որ e-ն բնական լոգարիթմի հիմքն է.
ln x = log e x

Այսպիսով, ln e = 1; մատյան e 2 = 2; ln e 16 = 16 - և այլն: Մյուս կողմից, ln 2-ը իռացիոնալ թիվ է: Ընդհանուր առմամբ, ցանկացած ռացիոնալ թվի բնական լոգարիթմը իռացիոնալ է: Բացառությամբ, իհարկե, միասնությունից՝ ln 1 = 0:

Բնական լոգարիթմների համար վավեր են բոլոր կանոնները, որոնք ճիշտ են սովորական լոգարիթմների համար:

Տես նաեւ:

Լոգարիթմ. Լոգարիթմի հատկությունները (լոգարիթմի ուժը).

Ինչպե՞ս թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ:

Մենք օգտագործում ենք լոգարիթմի սահմանումը:

Լոգարիթմը այն հզորության չափումն է, որին պետք է բարձրացվի հիմքը՝ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը ստանալու համար։

Այսպիսով, որոշակի c թիվը որպես լոգարիթմ a հիմքում ներկայացնելու համար անհրաժեշտ է լոգարիթմի նշանի տակ դնել նույն հիմքով հզորություն, ինչ լոգարիթմի հիմքը, և այս թիվը գրեք ցուցիչի մեջ.

Լոգարիթմի տեսքով դուք կարող եք ներկայացնել բացարձակապես ցանկացած թիվ՝ դրական, բացասական, ամբողջ թիվ, կոտորակային, ռացիոնալ, իռացիոնալ:

Որպեսզի թեստի կամ քննության սթրեսային պայմաններում a-ն և c-ն չշփոթվեն, կարող եք հիշել հետևյալ կանոնը.

այն, ինչ ներքևում է, իջնում ​​է, այն, ինչ վերևում է, բարձրանում է:

Օրինակ, դուք ցանկանում եք ներկայացնել 2 թիվը որպես լոգարիթմ 3-ի հիմքում:

Ունենք երկու թիվ՝ 2 և 3։ Այս թվերն են հիմքը և ցուցիչը, որոնք կգրենք լոգարիթմի նշանի տակ։ Մնում է որոշել, թե այս թվերից որն է պետք գրել՝ աստիճանի հիմքում, իսկ որը՝ վերև՝ ցուցիչով։

Լոգարիթմի գրառման 3-րդ հիմքը գտնվում է ներքևում, ինչը նշանակում է, որ երբ մենք ներկայացնում ենք դյուզը որպես լոգարիթմ 3-ի հիմքում, մենք նաև 3-ը կգրենք հիմքում:

2-ը 3-ից բարձր է: Իսկ աստիճանի նշումում երեքից վերև գրում ենք երկուսը, այսինքն՝ ցուցիչում.

Լոգարիթմներ. Առաջին մակարդակ.

Լոգարիթմներ

լոգարիթմդրական թիվ բպատճառաբանությամբ ա, որտեղ a > 0, a ≠ 1, այն ցուցանիշն է, որին պետք է բարձրացնել թիվը: ա, Ստանալ բ.

Լոգարիթմի սահմանումկարելի է հակիրճ գրել այսպես.

Այս հավասարությունը գործում է b > 0, a > 0, a ≠ 1:Նա սովորաբար կոչվում է լոգարիթմական ինքնություն.
Թվի լոգարիթմը գտնելու գործողությունը կոչվում է լոգարիթմ.

Լոգարիթմների հատկությունները.

Արտադրանքի լոգարիթմը.

Բաժանման գործակիցի լոգարիթմը.

Լոգարիթմի հիմքի փոխարինում.

Աստիճանի լոգարիթմ.

արմատային լոգարիթմ.

Լոգարիթմ հզորության բազայով.

Տասնորդական և բնական լոգարիթմներ:

Տասնորդական լոգարիթմթվերը կանչում են այդ թվի բազային 10 լոգարիթմը և գրում   lg բ
բնական լոգարիթմթվերը կոչում են այս թվի լոգարիթմը դեպի հիմք ե, որտեղ եիռացիոնալ թիվ է, մոտավորապես հավասար է 2,7-ի։ Միաժամանակ գրում են ln բ.

Այլ նշումներ հանրահաշվի և երկրաչափության վերաբերյալ

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները

Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխարկել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները այնքան էլ սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.

Այս կանոնները պետք է հայտնի լինեն՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր չի կարող լուծվել։ Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ ամեն ինչ կարելի է սովորել մեկ օրում։ Այսպիսով, եկեք սկսենք:

Լոգարիթմների գումարում և հանում

Դիտարկենք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ՝ log a x և log a y: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x - log a y = log a (x: y):

Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը՝ քանորդի լոգարիթմը։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. այստեղ հիմնական կետն է. նույն հիմքերը. Եթե ​​հիմքերը տարբեր են, այս կանոնները չեն գործում:

Այս բանաձևերը կօգնեն հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը հաշվի չեն առնվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.

մատյան 6 4 + մատյան 6 9.

Քանի որ լոգարիթմների հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 2 48 − log 2 3:

Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 3 135 − log 3 5:

Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3:

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն դիտարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո միանգամայն նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատ թեստեր հիմնված են այս փաստի վրա: Այո, վերահսկողություն. քննությանը առաջարկվում են նմանատիպ արտահայտություններ ամենայն լրջությամբ (երբեմն՝ գրեթե առանց փոփոխության):

Ցուցանիշի հեռացում լոգարիթմից

Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքում կամ արգումենտում կա աստիճան: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից հետևյալ կանոնների համաձայն.

Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է նրանց առաջին երկուսին: Բայց դա ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:

Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է ODZ լոգարիթմը. a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլ նաև հակառակը, այսինքն. Դուք կարող եք լոգարիթմի նշանից առաջ թվերը մուտքագրել հենց լոգարիթմի մեջ:

Ինչպես լուծել լոգարիթմները

Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 7 49 6 .

Եկեք ձերբազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ ըստ առաջին բանաձևի.
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը լոգարիթմ է, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 2 4 ; 49 = 72: Մենք ունենք:

Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը պարզաբանման կարիք ունի։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարով։ Այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցին աստիճանների տեսքով և ցուցիչները հանեցին՝ ստացան «եռահարկ» կոտորակ։

Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչն ու հայտարարն ունեն նույն թիվը՝ log 2 7. Քանի որ log 2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը պատասխանն է՝ 2.

Անցում դեպի նոր հիմք

Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե հիմքերը տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:

Օգնության են հասնում նոր բազայի անցնելու բանաձևերը։ Մենք դրանք ձևակերպում ենք թեորեմի տեսքով.

Թող տրվի լոգարիթմի log a x: Այնուհետև ցանկացած c թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.

Մասնավորապես, եթե դնենք c = x, ապա կստանանք.

Երկրորդ բանաձևից բխում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտարարի մեջ է:

Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։

Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամին անցնելուց։ Դիտարկենք դրանցից մի քանիսը.

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 5 16 log 2 25:

Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների փաստարկները ճշգրիտ ցուցիչներ են: Դուրս բերենք ցուցիչները՝ log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Հիմա եկեք շրջենք երկրորդ լոգարիթմը.

Քանի որ արտադրյալը չի ​​փոխվում գործոնների փոխարկումից, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, իսկ հետո պարզեցինք լոգարիթմները:

Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log 9 100 lg 3.

Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք այն և ազատվենք ցուցանիշներից.

Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.

Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը

Հաճախ լուծման գործընթացում պահանջվում է թիվը որպես լոգարիթմ ներկայացնել տվյալ հիմքում:

Այս դեպքում մեզ կօգնեն բանաձևերը.

Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ցանկացած, քանի որ դա պարզապես լոգարիթմի արժեքն է:

Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այն կոչվում է այսպես.

Իսկապես, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան, որ այս աստիճանի b թիվը տա a թիվը։ Ճիշտ է, սա նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը «կախված» են դրա վրա:

Հիմքի փոխակերպման նոր բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:

Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության արժեքը.

Նկատի ունեցեք, որ log 25 64 = log 5 8 - պարզապես հանեց քառակուսին հիմքից և լոգարիթմի արգումենտը: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.

Եթե ​​ինչ-որ մեկը տեղյակ չէ, սա իսկական առաջադրանք էր միասնական պետական ​​քննությունից 🙂

Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո

Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք հետևանքներ են լոգարիթմի սահմանումից: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, որքան էլ զարմանալի է, խնդիրներ են ստեղծում անգամ «առաջադեմ» ուսանողների համար։

1. log a a = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը ցանկացած a հիմքի վրա հենց այդ հիմքից հավասար է մեկի:
2. log a 1 = 0 է: A հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը մեկն է, ապա լոգարիթմը զրո է: Քանի որ 0 = 1-ը սահմանման ուղղակի հետևանքն է:

Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք խաբեբա թերթիկը դասի սկզբում, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:

Ինչպես գիտեք, արտահայտությունները հզորություններով բազմապատկելիս դրանց ցուցիչները միշտ գումարվում են (a b * a c = a b + c): Այս մաթեմատիկական օրենքը ստացվել է Արքիմեդի կողմից, իսկ ավելի ուշ՝ 8-րդ դարում, մաթեմատիկոս Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցիչների աղյուսակը։ Հենց նրանք էլ ծառայեցին լոգարիթմների հետագա հայտնաբերմանը։ Այս ֆունկցիայի օգտագործման օրինակները կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ պահանջվում է բարդ բազմապատկումը պարզեցնել պարզ գումարման: Եթե ​​դուք 10 րոպե ծախսեք այս հոդվածը կարդալու համար, մենք ձեզ կբացատրենք, թե ինչ են լոգարիթմները և ինչպես աշխատել դրանց հետ: Պարզ և մատչելի լեզու.

Սահմանում մաթեմատիկայի մեջ

Լոգարիթմը հետևյալ ձևի արտահայտությունն է՝ log a b=c, այսինքն՝ ցանկացած ոչ բացասական թվի (այսինքն՝ ցանկացած դրական) լոգարիթմը իր «a» հիմքում համարվում է «c»-ի հզորություն։ , որի վրա պետք է բարձրացնել «a» հիմքը, որպեսզի վերջում ստացվի «b» արժեքը։ Օրինակներով վերլուծենք լոգարիթմը, ասենք կա արտահայտություն log 2 8. Ինչպե՞ս գտնել պատասխանը: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է այնպիսի աստիճան գտնեք, որ 2-ից մինչև անհրաժեշտ աստիճանը ստանաք 8: Ձեր մտքում որոշ հաշվարկներ կատարելով՝ մենք ստանում ենք 3 թիվը: Եվ ճիշտ է, քանի որ 2-ը 3-ի չափով պատասխանում տալիս է 8 թիվը։

Լոգարիթմների տարատեսակներ

Շատ աշակերտների և ուսանողների համար այս թեման բարդ և անհասկանալի է թվում, բայց իրականում լոգարիթմներն այնքան էլ սարսափելի չեն, գլխավորը հասկանալ դրանց ընդհանուր իմաստը և հիշել դրանց հատկությունները և որոշ կանոններ: Գոյություն ունեն երեք տարբեր տեսակի լոգարիթմական արտահայտություններ.

1. Բնական լոգարիթմ ln a, որտեղ հիմքը Էյլերի թիվն է (e = 2.7):
2. Տասնորդական a, որտեղ հիմքը 10 է:
3. Ցանկացած b թվի լոգարիթմը a>1 հիմքի նկատմամբ:

Դրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, ներառյալ պարզեցումը, կրճատումը և հետագա կրճատումը մեկ լոգարիթմի՝ օգտագործելով լոգարիթմական թեորեմները: Լոգարիթմների ճիշտ արժեքները ստանալու համար պետք է հիշել դրանց հատկությունները և գործողությունների կարգը նրանց որոշումներում:

Կանոններ և որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայի մեջ կան մի քանի կանոն-սահմանափակումներ, որոնք ընդունված են որպես աքսիոմ, այսինքն՝ քննարկման ենթակա չեն և ճշմարիտ են։ Օրինակ, անհնար է թվերը բաժանել զրոյի, ինչպես նաև անհնար է բացասական թվերից հանել զույգ աստիճանի արմատը։ Լոգարիթմներն ունեն նաև իրենց կանոնները, որոնց հետևելով կարող եք հեշտությամբ սովորել, թե ինչպես աշխատել նույնիսկ երկար և տարողունակ լոգարիթմական արտահայտություններով.

• «ա» հիմքը միշտ պետք է լինի զրոյից մեծ, և միևնույն ժամանակ հավասար չլինի 1-ի, հակառակ դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ «1»-ը և «0»-ը ցանկացած աստիճանի միշտ հավասար են իրենց արժեքներին.
• եթե a > 0, ապա a b > 0, ստացվում է, որ «c»-ն պետք է լինի զրոյից մեծ:

Ինչպե՞ս լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ՝ հանձնարարված է գտնել 10 x \u003d 100 հավասարման պատասխանը: Դա շատ հեշտ է, դուք պետք է ընտրեք այդպիսի հզորություն՝ բարձրացնելով տասը թիվը, որին մենք ստանում ենք 100: Սա, իհարկե, 10 2 է: \u003d 100.

Այժմ այս արտահայտությունը ներկայացնենք որպես լոգարիթմական։ Մենք ստանում ենք log 10 100 = 2: Լոգարիթմներ լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում համընկնում են գտնելու այն աստիճանը, որով պետք է մուտքագրվի լոգարիթմի հիմքը՝ տրված թիվ ստանալու համար:

Անհայտ աստիճանի արժեքը ճշգրիտ որոշելու համար դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես աշխատել աստիճանների աղյուսակի հետ: Այն կարծես այսպիսին է.

Ինչպես տեսնում եք, որոշ ցուցիչներ կարելի է ինտուիտիվ կերպով գուշակել, եթե ունեք տեխնիկական մտածելակերպ և գիտելիք բազմապատկման աղյուսակի վերաբերյալ: Այնուամենայնիվ, ավելի մեծ արժեքների համար կպահանջվի էլեկտրական աղյուսակ: Այն կարող են օգտագործել նույնիսկ նրանք, ովքեր ընդհանրապես ոչինչ չեն հասկանում բարդ մաթեմատիկական թեմաներից։ Ձախ սյունակը պարունակում է թվեր (հիմք ա), թվերի վերին շարքը c հզորության արժեքն է, որին բարձրացվում է a թիվը։ Բջիջների խաչմերուկում որոշվում են թվերի արժեքները, որոնք պատասխանն են (a c =b): Վերցնենք, օրինակ, 10 թվով հենց առաջին բջիջը և այն քառակուսի դարձնենք, ստանում ենք 100 արժեքը, որը նշված է մեր երկու բջիջների հատման կետում։ Ամեն ինչ այնքան պարզ և հեշտ է, որ նույնիսկ ամենաիսկական հումանիստը կհասկանա:

Հավասարումներ և անհավասարություններ

Ստացվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցիչը լոգարիթմն է։ Հետևաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություն կարող է գրվել որպես լոգարիթմական հավասարում: Օրինակ, 3 4 =81 կարելի է գրել որպես 81-ի լոգարիթմ 3-ի հիմքում, որը չորս է (log 3 81 = 4): Բացասական հզորությունների համար կանոնները նույնն են՝ 2 -5 = 1/32 գրում ենք որպես լոգարիթմ, ստանում ենք log 2 (1/32) = -5։ Մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր բաժիններից մեկը «լոգարիթմների» թեման է։ Հավասարումների օրինակներն ու լուծումները կդիտարկենք մի փոքր ավելի ցածր՝ դրանց հատկություններն ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո։ Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ տեսք ունեն անհավասարությունները և ինչպես տարբերել դրանք հավասարումներից:

Տրված է հետևյալ ձևի արտահայտություն՝ log 2 (x-1) > 3 - դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «x» անհայտ արժեքը գտնվում է լոգարիթմի նշանի տակ։ Եվ նաև արտահայտության մեջ համեմատվում են երկու մեծություններ՝ երկու հիմքում ցանկալի թվի լոգարիթմը մեծ է երեքից։

Լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների միջև ամենակարևոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմներով հավասարումները (օրինակ՝ 2 x = √9-ի լոգարիթմը) պատասխանում ենթադրում են մեկ կամ մի քանի հատուկ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարությունը լուծելիս երկուսն էլ՝ ընդունելի արժեքները և այս գործառույթը խախտող կետերը: Որպես հետևանք, պատասխանը առանձին թվերի պարզ բազմություն չէ, ինչպես հավասարման պատասխանում, այլ շարունակական շարք կամ թվերի բազմություն:

Հիմնական թեորեմներ լոգարիթմների մասին

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ առաջադրանքներ լուծելիս նրա հատկությունները կարող են հայտնի չլինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումների կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ և գործնականում կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները։ Հավասարումների օրինակների հետ կծանոթանանք ավելի ուշ, նախ ավելի մանրամասն վերլուծենք յուրաքանչյուր հատկություն։

1. Հիմնական ինքնությունը հետևյալն է. a logaB =B: Այն կիրառվում է միայն այն դեպքում, երբ a-ն 0-ից մեծ է, հավասար չէ մեկին, իսկ B-ն մեծ է զրոյից:
2. Արտադրանքի լոգարիթմը կարող է ներկայացվել հետևյալ բանաձևով. log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2: Այս դեպքում նախապայմանն է՝ d, s 1 և s 2 > 0; a≠1. Դուք կարող եք ապացուցել լոգարիթմների այս բանաձևը, օրինակներով և լուծումներով: Եկեք գրանցենք a s 1 = f 1 և գրանցենք a s 2 = f 2, ապա a f1 = s 1, a f2 = s 2: Մենք ստանում ենք, որ s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (աստիճանի հատկություններ ), և հետագայում ըստ սահմանման՝ log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, որը պետք է ապացուցվեր։
3. Քվեորդի լոգարիթմն ունի հետևյալ տեսքը՝ log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2:
4. Բանաձևի տեսքով թեորեմն ունի հետևյալ ձևը՝ log a q b n = n/q log a b.

Այս բանաձևը կոչվում է «լոգարիթմի աստիճանի հատկություն»։ Այն նման է սովորական աստիճանների հատկություններին, և դա զարմանալի չէ, քանի որ ամբողջ մաթեմատիկան հիմնված է կանոնավոր պոստուլատների վրա: Եկեք նայենք ապացույցին.

Թող գրանցվի a b \u003d t, ստացվում է a t \u003d b. Եթե ​​երկու մասերն էլ բարձրացնեք մինչև m հզորության՝ a tn = b n;

բայց քանի որ a tn = (a q) nt/q = b n, հետևաբար log a q b n = (n*t)/t, ապա log a q b n = n/q log a b. Թեորեմն ապացուցված է.

Խնդիրների և անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմի խնդիրների ամենատարածված տեսակներն են հավասարումների և անհավասարությունների օրինակները: Դրանք հանդիպում են գրեթե բոլոր խնդրագրքերում, ներառված են նաև մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասում։ Բուհ ընդունվելու կամ մաթեմատիկայի ընդունելության թեստեր հանձնելու համար պետք է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման առաջադրանքները։

Ցավոք, չկա լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու և որոշելու մեկ պլան կամ սխեմա, այնուամենայնիվ, որոշակի կանոններ կարող են կիրառվել յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար: Առաջին հերթին, դուք պետք է պարզեք, թե արդյոք արտահայտությունը կարող է պարզեցվել կամ կրճատվել ընդհանուր ձևի: Դուք կարող եք պարզեցնել երկար լոգարիթմական արտահայտությունները, եթե ճիշտ օգտագործեք դրանց հատկությունները: Եկեք շուտով ճանաչենք նրանց:

Լոգարիթմական հավասարումներ լուծելիս անհրաժեշտ է որոշել, թե ինչպիսի լոգարիթմ ունենք մեր առջև. արտահայտության օրինակը կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա օրինակներ ln100, ln1026: Նրանց լուծումը հանգում է նրան, որ դուք պետք է որոշեք այն աստիճանը, որով հիմքը 10-ը հավասար կլինի համապատասխանաբար 100-ի և 1026-ի: Բնական լոգարիթմների լուծումների համար պետք է կիրառել լոգարիթմական նույնականացումներ կամ դրանց հատկությունները: Դիտարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծման օրինակներ:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձևերը. օրինակներով և լուծումներով

Այսպիսով, եկեք նայենք լոգարիթմների վրա հիմնական թեորեմների օգտագործման օրինակներին:

1. Արտադրանքի լոգարիթմի հատկությունը կարող է օգտագործվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է b թվի մեծ արժեքը տարրալուծել ավելի պարզ գործոնների։ Օրինակ՝ log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Պատասխանը 9 է։
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - ինչպես տեսնում եք, կիրառելով լոգարիթմի աստիճանի չորրորդ հատկությունը՝ մեզ հաջողվեց առաջին հայացքից լուծել բարդ և անլուծելի արտահայտություն։ Հարկավոր է միայն ֆակտորիզացնել հիմքը և այնուհետև լոգարիթմի նշանից հանել ցուցիչի արժեքները:

Առաջադրանքներ քննությունից

Լոգարիթմները հաճախ հանդիպում են ընդունելության քննություններին, հատկապես լոգարիթմական բազմաթիվ խնդիրներ միասնական պետական ​​քննության ժամանակ (պետական ​​քննություն բոլոր դպրոցների շրջանավարտների համար): Սովորաբար այս առաջադրանքները առկա են ոչ միայն A մասում (քննության ամենահեշտ թեստային մասը), այլ նաև C մասում (ամենադժվար և ծավալուն առաջադրանքները): Քննությունը ենթադրում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ և կատարյալ իմացություն։

Օրինակները և խնդիրների լուծումը վերցված են քննության պաշտոնական տարբերակներից։ Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման խնդիրները։

Տրված է log 2 (2x-1) = 4. Լուծում:
եկեք վերագրենք արտահայտությունը՝ մի փոքր պարզեցնելով այն log 2 (2x-1) = 2 2 , լոգարիթմի սահմանմամբ ստանում ենք, որ 2x-1 = 2 4 , հետևաբար 2x = 17; x = 8,5:

• Բոլոր լոգարիթմները լավագույնս կրճատվում են նույն հիմքի վրա, որպեսզի լուծումը ծանր ու շփոթեցնող չլինի:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունները նշվում են որպես դրական, հետևաբար, լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող արտահայտության ցուցիչի ցուցիչը հանելիս և որպես դրա հիմք, լոգարիթմի տակ մնացած արտահայտությունը պետք է լինի դրական։

բխում է դրա սահմանումից։ Եվ այսպես, թվի լոգարիթմը բպատճառաբանությամբ ասահմանվում է որպես ցուցիչ, որին պետք է բարձրացնել թիվը ահամարը ստանալու համար բ(լոգարիթմը գոյություն ունի միայն դրական թվերի համար):

Այս ձևակերպումից հետևում է, որ հաշվարկը x=log a b, համարժեք է հավասարման լուծմանը կացին=բ.Օրինակ, մատյան 2 8 = 3որովհետեւ 8 = 2 3 . Լոգարիթմի ձևակերպումը հնարավորություն է տալիս հիմնավորել, որ եթե b=a գ, ապա թվի լոգարիթմը բպատճառաբանությամբ ահավասար է Հետ. Հասկանալի է նաև, որ լոգարիթմի թեման սերտորեն կապված է թեմայի հետ թվի աստիճանը.

Լոգարիթմներով, ինչպես ցանկացած թվով, դուք կարող եք կատարել ավելացման գործողություններ, հանումև փոխակերպվել ամեն կերպ: Բայց հաշվի առնելով այն փաստը, որ լոգարիթմները այնքան էլ սովորական թվեր չեն, այստեղ գործում են իրենց հատուկ կանոնները, որոնք կոչվում են. հիմնական հատկությունները.

Լոգարիթմների գումարում և հանում.

Վերցրեք նույն հիմքով երկու լոգարիթմ. մատյան xև log a y. Այնուհետև հեռացնել, հնարավոր է կատարել գումարման և հանման գործողություններ.

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y):

մատյան ա(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = մատյան x 1 + մատյան x 2 + մատյան x 3 + ... + log a x k.

Սկսած քանորդ լոգարիթմի թեորեմներկարելի է ձեռք բերել լոգարիթմի ևս մեկ հատկություն։ Հայտնի է այդ գերանը ա 1 = 0, հետևաբար,

գերան ա 1 /բ= մատյան ա 1 - գերան ա բ= -log ա բ.

Այսպիսով, կա հավասարություն.

log a 1 / b = - log a b.

Երկու փոխադարձ թվերի լոգարիթմներնույն հիմքով միմյանցից կտարբերվեն միայն նշանով։ Այսպիսով.

Մատյան 3 9= - մատյան 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.