Cara menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan. persamaan eksponensial

Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan solusi persamaan eksponensial yang lebih kompleks, mengingat ketentuan teoritis utama mengenai fungsi eksponensial.

1. Definisi dan sifat-sifat fungsi eksponensial, teknik untuk menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana

Ingat definisi dan sifat utama dari fungsi eksponensial. Pada sifat-sifat inilah solusi dari semua persamaan dan pertidaksamaan eksponensial didasarkan.

Fungsi eksponensial adalah fungsi dari bentuk , di mana basis adalah derajat dan Di sini x adalah variabel independen, argumen; y - variabel terikat, fungsi.

Beras. 1. Grafik fungsi eksponensial

Grafik menunjukkan eksponen naik dan turun, yang menggambarkan fungsi eksponensial pada basis yang lebih besar dari satu dan kurang dari satu, tetapi lebih besar dari nol.

Kedua kurva melalui titik (0;1)

Sifat-sifat fungsi eksponensial:

Domain: ;

Jarak nilai: ;

Fungsinya monoton, bertambah , berkurang .

Fungsi monoton mengambil masing-masing nilainya dengan satu nilai argumen.

Ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi meningkat dari nol, inklusif, hingga plus tak terhingga. Sebaliknya, ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsi menurun dari tak terhingga ke nol, inklusif.

2. Solusi persamaan eksponensial tipikal

Ingat bagaimana menyelesaikan persamaan eksponensial paling sederhana. Solusi mereka didasarkan pada monotonisitas fungsi eksponensial. Hampir semua persamaan eksponensial kompleks direduksi menjadi persamaan tersebut.

Persamaan eksponen dengan basis yang sama disebabkan oleh sifat fungsi eksponensial, yaitu monotonisitasnya.

Metode Solusi:

Menyamakan dasar derajat;

Persamaan eksponen.

Mari kita beralih ke persamaan eksponensial yang lebih kompleks, tujuan kami adalah untuk mengurangi masing-masing menjadi yang paling sederhana.

Mari kita singkirkan akar di sisi kiri dan kurangi derajat ke dasar yang sama:

Untuk mereduksi persamaan eksponensial kompleks menjadi persamaan sederhana, sering digunakan perubahan variabel.

Mari kita gunakan properti derajat:

Kami memperkenalkan pengganti. Biarkan , lalu . Dengan penggantian seperti itu, jelas bahwa y mengambil secara ketat nilai positif. Kita mendapatkan:

Kami mengalikan persamaan yang dihasilkan dengan dua dan mentransfer semua istilah ke sisi kiri:

Akar pertama tidak memenuhi interval nilai y, kami membuangnya. Kita mendapatkan:

Mari kita bawa derajat ke indikator yang sama:

Kami memperkenalkan pengganti:

Biarkan kemudian . Dengan penggantian ini, jelas bahwa y mengambil nilai positif. Kita mendapatkan:

Kami tahu cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang serupa, kami menulis jawabannya:

Untuk memastikan bahwa akar ditemukan dengan benar, Anda dapat memeriksa sesuai dengan teorema Vieta, yaitu, menemukan jumlah akar dan produknya dan memeriksa dengan koefisien persamaan yang sesuai.

Kita mendapatkan:

3. Teknik Penyelesaian Persamaan Eksponensial Homogen Derajat Kedua

Mari kita pelajari jenis persamaan eksponensial penting berikut ini:

Persamaan jenis ini disebut homogen derajat kedua terhadap fungsi f dan g. Di sisi kirinya terdapat trinomial persegi terhadap f dengan parameter g atau trinomial persegi terhadap g dengan parameter f.

Metode Solusi:

Persamaan ini dapat diselesaikan sebagai persamaan kuadrat, tetapi lebih mudah untuk melakukannya sebaliknya. Dua kasus harus dipertimbangkan:

Dalam kasus pertama, kita mendapatkan

Dalam kasus kedua, kami memiliki hak untuk membagi dengan tingkat tertinggi dan kami mendapatkan:

Kita harus memperkenalkan perubahan variabel , kita dapatkan persamaan kuadrat dengan hormat:

Perhatikan bahwa fungsi f dan g dapat berubah-ubah, tetapi kami tertarik pada kasus ketika ini adalah fungsi eksponensial.

4. Contoh penyelesaian persamaan homogen

Mari kita pindahkan semua suku ke ruas kiri persamaan:

Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai yang benar-benar positif, kami memiliki hak untuk segera membagi persamaan dengan , tanpa mempertimbangkan kasus ketika:

Kita mendapatkan:

Kami memperkenalkan pengganti: (menurut sifat-sifat fungsi eksponensial)

Kami mendapat persamaan kuadrat:

Kami menentukan akar sesuai dengan teorema Vieta:

Akar pertama tidak memenuhi interval nilai y, kami membuangnya, kami mendapatkan:

Mari kita gunakan properti derajat dan kurangi semua derajat menjadi basis sederhana:

Sangat mudah untuk memperhatikan fungsi f dan g:

Karena fungsi eksponensial memperoleh nilai yang benar-benar positif, kami memiliki hak untuk segera membagi persamaan dengan , tanpa mempertimbangkan kasus ketika .

Banyak orang berpikir bahwa ketidaksetaraan eksponensial adalah sesuatu yang begitu rumit dan tidak dapat dipahami. Dan belajar untuk menyelesaikannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Yang Terpilih ...

Benar-benar omong kosong! Pertidaksamaan eksponensial itu mudah. Dan mereka selalu mudah untuk dipecahkan. Yah, hampir selalu. :)

Hari ini kita akan menganalisis topik ini jauh dan luas. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahami bagian matematika sekolah ini. Mari kita mulai dengan tugas-tugas sederhana dan beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tidak akan ada kekerasan hari ini, tetapi apa yang akan Anda baca akan cukup untuk memecahkan sebagian besar ketidaksetaraan dalam semua jenis kontrol dan pekerjaan mandiri. Dan ini ujianmu juga.

Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisi. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang memiliki fungsi eksponensial. Dengan kata lain, itu selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk

\[((a)^(x)) \gt b\]

Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin sesuatu yang lebih keras. Contohnya? Ya silahkan:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ segi empat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\akhir(sejajarkan)\]

Saya pikir artinya jelas: ada fungsi eksponensial $((a)^(x))$, dibandingkan dengan sesuatu, dan kemudian diminta untuk menemukan $x$. Secara khusus kasus klinis alih-alih variabel $x$, mereka dapat menempatkan beberapa fungsi $f\left(x \right)$ dan dengan demikian memperumit ketidaksetaraan sedikit. :)

Tentu saja, dalam beberapa kasus, ketidaksetaraan mungkin terlihat lebih parah. Sebagai contoh:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Atau bahkan ini:

Secara umum, kompleksitas ketidaksetaraan tersebut bisa sangat berbeda, tetapi pada akhirnya mereka masih bermuara pada konstruksi sederhana $((a)^(x)) \gt b$. Dan kami entah bagaimana akan menangani desain seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kami). Oleh karena itu, sekarang kita akan belajar bagaimana menyelesaikan konstruksi sederhana tersebut.

Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial paling sederhana

Mari kita lihat sesuatu yang sangat sederhana. Misalnya, ini dia:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Jelas, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai pangkat dua: $4=((2)^(2))$. Dengan demikian, ketidaksetaraan asli ditulis ulang dalam bentuk yang sangat nyaman:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Dan sekarang tangan gatal untuk "mencoret" deuces, berdiri di dasar derajat, untuk mendapatkan jawaban $x \gt 2$. Tapi sebelum kita mencoret apa pun, mari kita ingat kekuatan dua:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Seperti yang Anda lihat, semakin besar angka dalam eksponen, semakin besar angka keluarannya. "Terima kasih, Cap!" seru salah satu siswa. Apakah itu terjadi secara berbeda? Sayangnya, itu terjadi. Sebagai contoh:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \kanan))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Di sini juga, semuanya logis: apa lebih banyak gelar, semakin sering angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu dibagi dua). Dengan demikian, barisan bilangan yang dihasilkan semakin mengecil, dan selisih barisan pertama dan kedua hanya pada basisnya:

• Jika pangkat $a \gt 1$, maka dengan bertambahnya pangkat $n$, bilangan $((a)^(n))$ juga akan bertambah;
• Sebaliknya, jika $0 \lt a \lt 1$, maka dengan bertambahnya pangkat $n$, angka $((a)^(n))$ akan berkurang.

Menyimpulkan fakta-fakta ini, kita mendapatkan pernyataan yang paling penting, yang menjadi dasar seluruh solusi pertidaksamaan eksponensial:

Jika $a \gt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \gt n$. Jika $0 \lt a \lt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ sama dengan pertidaksamaan $x \lt n$.

Dengan kata lain, jika basis lebih besar dari satu, Anda cukup menghapusnya - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Dan jika basisnya kurang dari satu, maka itu juga bisa dihilangkan, tetapi tanda ketidaksetaraan juga harus diubah.

Perhatikan bahwa kami belum mempertimbangkan opsi $a=1$ dan $a\le 0$. Karena dalam kasus ini ada ketidakpastian. Misalkan bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan dalam bentuk $((1)^(x)) \gt 3$? Satu untuk kekuatan apa pun akan kembali memberikan satu - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.

Dengan basis negatif, itu bahkan lebih menarik. Perhatikan, misalnya, pertidaksamaan berikut:

\[((\kiri(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]

Pada pandangan pertama, semuanya sederhana:

Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti beberapa bilangan genap dan beberapa bilangan ganjil sebagai ganti $x$ untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Panah kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Panah kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Panah kanan ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi masih ada pecahan derajat dan timah lainnya. Bagaimana, misalnya, Anda memesan untuk menghitung $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (dikurangi dua dipangkatkan ke akar tujuh)? Tidak mungkin!

Oleh karena itu, untuk kepastian, kita asumsikan bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaan) $1\ne a \gt 0$. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \kanan). \\end(sejajarkan) \kanan.\]

Secara umum, sekali lagi ingat aturan utama: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghapusnya; dan jika alasnya kurang dari satu, itu juga bisa dihilangkan, tetapi ini akan mengubah tanda pertidaksamaan.

Contoh solusi

Jadi, pertimbangkan beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\akhir(sejajarkan)\]

Tugas utama adalah sama dalam semua kasus: untuk mengurangi ketidaksetaraan ke bentuk paling sederhana $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Inilah yang sekarang akan kita lakukan dengan setiap ketidaksetaraan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat pangkat dan fungsi eksponensial. Jadi ayo pergi!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Apa yang bisa dilakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi demonstratif - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar di penyebutnya!

Namun, ingat aturan untuk bekerja dengan pecahan dan kekuatan:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\akhir(sejajarkan)\]

Apa artinya? Pertama, kita dapat dengan mudah menyingkirkan pecahan dengan mengubahnya menjadi eksponen negatif. Dan kedua, karena penyebutnya adalah akarnya, akan lebih baik untuk mengubahnya menjadi derajat - kali ini dengan eksponen pecahan.

Mari kita terapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan ketidaksetaraan dan lihat apa yang terjadi:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Jangan lupa bahwa ketika menaikkan derajat ke pangkat, eksponen derajat ini ditambahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan ketidaksetaraan eksponensial, sangat penting untuk mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan kekuatan:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \kanan))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Sebenarnya, aturan terakhir kita baru saja melamar. Oleh karena itu, ketidaksetaraan asli kami akan ditulis ulang sebagai berikut:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Panah kanan ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Sekarang kita singkirkan deuce di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan tetap sama:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\di \left(-\infty ;\frac(2)(3) \kanan]. \\\end(align)\]

Itulah seluruh solusi! Kesulitan utama sama sekali bukan dalam fungsi eksponensial, tetapi dalam transformasi yang kompeten dari ekspresi asli: Anda harus dengan hati-hati dan secepat mungkin membawanya ke bentuknya yang paling sederhana.

Perhatikan pertidaksamaan kedua:

\[(((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Begitu-begitu. Di sini kita sedang menunggu pecahan desimal. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan kekuatan, Anda harus menyingkirkan pecahan desimal - seringkali ini adalah satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan mudah. Inilah yang akan kita singkirkan:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Panah kanan ((\left(\frac(1)(10) \kanan))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Di depan kita lagi-lagi ketidaksetaraan paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kami menghapus pangkalan, secara bersamaan mengubah tanda dari "kurang" menjadi "lebih besar", dan kami mendapatkan:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\akhir(sejajarkan)\]

Kami mendapat jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Harap dicatat bahwa jawabannya adalah himpunan, dan tidak ada konstruksi bentuk $x \lt -1$. Karena secara formal konstruksi seperti itu bukanlah suatu himpunan sama sekali, tetapi suatu pertidaksamaan terhadap variabel $x$. Ya, itu sangat sederhana, tetapi bukan itu jawabannya!

Catatan penting. Ketidaksetaraan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mengurangi kedua bagian menjadi pangkat dengan basis lebih besar dari satu. Lihatlah:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Panah kanan ((\left(((10)^(-1)) \kanan))^(1-x)) \ lt ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(2))\Panah kanan ((10)^(-1\cdot \kiri(1-x \kanan))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Setelah transformasi seperti itu, kita kembali mendapatkan pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10 > 1. Dan ini berarti Anda cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\akhir(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari kebutuhan untuk mengubah tanda dan umumnya mengingat beberapa aturan di sana. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Namun, jangan biarkan hal itu membuat Anda takut. Apa pun indikatornya, teknologi untuk mengatasi ketimpangan itu sendiri tetap sama. Oleh karena itu, kita perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4 . Mari kita tulis ulang ketidaksetaraan asli dengan mempertimbangkan fakta ini:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hore! Kami mendapatkan ketidaksetaraan kuadrat biasa! Tanda tidak berubah di mana pun, karena alasnya adalah deuce - angka yang lebih besar dari satu.

Fungsi nol pada garis bilangan

Kita susun tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - jelas grafiknya berbentuk parabola dengan cabang ke atas, jadi akan ada “plus ” di samping. Kami tertarik pada wilayah di mana fungsinya kurang dari nol, yaitu. $x\in \left(2;5 \right)$ adalah jawaban untuk masalah awal.

Akhirnya, pertimbangkan ketidaksetaraan lain:

\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di basis. Mari kita ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \kanan)))\end(align)\]

Dalam hal ini, kami memanfaatkan komentar yang dibuat sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5\u003e 1 untuk menyederhanakan keputusan kami selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \kanan))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Mari kita tulis ulang ketidaksetaraan asli, dengan mempertimbangkan kedua transformasi:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Panah kanan ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]

Basis pada kedua sisi sama dan lebih besar dari satu. Tidak ada istilah lain di kanan dan kiri, jadi kami hanya "mencoret" lima dan kami mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Di sinilah Anda harus berhati-hati. Banyak siswa suka mengekstrak Akar pangkat dua kedua bagian pertidaksamaan dan tulis sesuatu seperti $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Anda tidak boleh melakukan ini, karena akar kuadrat eksak adalah modul, dan dalam hal apa pun variabel asli:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\kanan|\]

Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kami tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kita cukup memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+1 \kanan)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(sejajarkan)$

Sekali lagi, kami menandai poin yang diperoleh pada garis bilangan dan melihat tanda-tandanya:

Harap dicatat: titik-titik diarsir.

Karena kami menyelesaikan pertidaksamaan tak tegas, semua titik pada grafik diarsir. Oleh karena itu, jawabannya adalah: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bukan interval, tetapi segmen.

Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam pertidaksamaan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini bermuara pada algoritma sederhana:

• Temukan basis di mana kita akan mengurangi semua derajat;
• Lakukan transformasi dengan cermat untuk mendapatkan pertidaksamaan dalam bentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tentu saja, alih-alih variabel $x$ dan $n$, ada fungsi yang jauh lebih kompleks, tetapi ini tidak mengubah artinya;
• Coret dasar derajat. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika basis $a \lt 1$.

Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua hal lain yang akan diberitahukan kepada Anda tentang topik ini hanyalah trik dan trik khusus untuk menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Inilah salah satu trik yang akan kita bicarakan sekarang. :)

metode rasionalisasi

Pertimbangkan kumpulan ketidaksetaraan lain:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Nah, apa yang spesial dari mereka? Mereka juga ringan. Meskipun, berhenti! Apakah pi dipangkatkan? Omong kosong macam apa?

Dan bagaimana cara menaikkan angka $2\sqrt(3)-3$ menjadi pangkat? Atau $3-2\sqrt(2)$? Penyusun masalah jelas minum terlalu banyak "Hawthorn" sebelum duduk untuk bekerja. :)

Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Biarkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi dari bentuk $((a)^(x))$, di mana basis $a$ adalah bilangan positif apa pun, kecuali satu. Angka positif - kita sudah tahu ini. Angka $2\sqrt(3)-3$ dan $3-2\sqrt(2)$ juga positif - ini mudah dilihat jika kita membandingkannya dengan nol.

Ternyata semua ketidaksetaraan yang "mengerikan" ini tidak berbeda dengan yang sederhana yang dibahas di atas? Dan mereka melakukannya dengan cara yang sama? Ya, benar sekali. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan satu trik yang menghemat banyak waktu untuk pekerjaan mandiri dan ujian. Kami akan berbicara tentang metode rasionalisasi. Jadi perhatian:

Setiap pertidaksamaan eksponensial dalam bentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.

Itulah seluruh metode. :) Apakah Anda berpikir bahwa akan ada semacam permainan berikutnya? Tidak ada yang seperti ini! Tetapi fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Panah Bawah \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Di sini tidak ada lagi fungsi eksponensial! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Tapi ada masalah baru: apa yang harus dilakukan dengan pengali sialan \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Kami tidak tahu apa nilai pasti dari pi. Namun, kapten tampaknya mengisyaratkan yang sudah jelas:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\kira-kira 3,14... \gt 3\Panah kanan \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Secara umum, nilai eksak dari tidak terlalu mengganggu kita - hanya penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan itu:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, pada titik tertentu, kami harus membagi dengan minus satu, dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat sesuai dengan teorema Vieta - jelas bahwa akarnya sama dengan $((x)_(1))=5$ dan $((x)_(2))=- 1$. Kemudian semuanya diselesaikan dengan metode interval klasik:

Kami memecahkan pertidaksamaan dengan metode interval

Semua poin tertusuk karena ketidaksetaraan asli ketat. Kami tertarik pada area dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $x\in \left(-1;5 \right)$. Itu solusinya. :)

Mari kita beralih ke tugas berikutnya:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Semuanya sederhana di sini, karena ada unit di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satuan adalah bilangan apa pun yang dipangkatkan ke nol. Bahkan jika angka ini adalah ekspresi irasional, berdiri di pangkalan di sebelah kiri:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\kanan))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\akhir(sejajarkan)\]

Jadi mari kita rasionalkan:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \kiri(2\sqrt(3)-4 \kanan) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tetap hanya berurusan dengan tanda-tanda. Pengganda $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ tidak mengandung variabel $x$ - itu hanya sebuah konstanta, dan kita perlu mencari tahu tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \kanan)=0 \\\end(matriks)\]

Ternyata faktor kedua bukan hanya konstanta, tetapi konstanta negatif! Dan saat membaginya, tanda pertidaksamaan asli akan berubah menjadi kebalikannya:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\kiri(x-2 \kanan) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Sekarang semuanya menjadi sangat jelas. Akar trinomial persegi di sebelah kanan: $((x)_(1))=0$ dan $((x)_(2))=2$. Kami menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Kasus ketika kita tertarik pada interval lateral

Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda tambah. Tetap hanya untuk menuliskan jawabannya:

Mari kita beralih ke contoh berikutnya:

\[((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]

Nah, semuanya cukup jelas di sini: basis adalah kekuatan dari nomor yang sama. Karena itu, saya akan menulis semuanya secara singkat:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Panah Bawah \\ ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matrix)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kiri(16-x\kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, dalam proses transformasi, kami harus mengalikan dengan angka negatif, sehingga tanda pertidaksamaan berubah. Di bagian paling akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial persegi. Hasilnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $x\in \left(-8;4 \right)$ - mereka yang ingin dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik dan menghitung tanda. Sementara itu, kita akan beralih ke pertidaksamaan terakhir dari "set" kita:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Seperti yang Anda lihat, basis sekali lagi merupakan bilangan irasional, dan satuannya lagi di sebelah kanan. Oleh karena itu, kami menulis ulang ketidaksetaraan eksponensial kami sebagai berikut:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]

Mari kita rasionalkan:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \kiri(2-2\sqrt(2) \kanan) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Namun, cukup jelas bahwa $1-\sqrt(2) \lt 0$, karena $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Oleh karena itu, faktor kedua lagi-lagi merupakan konstanta negatif, yang dengannya kedua bagian pertidaksamaan dapat dibagi:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\akhir(matriks)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\kiri(x-3 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]

Ubah ke pangkalan lain

Masalah terpisah dalam memecahkan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian dasar yang "benar". Sayangnya, pada pandangan pertama pada tugas, jauh dari selalu jelas apa yang harus diambil sebagai dasar, dan apa yang harus dilakukan sebagai tingkat dasar ini.

Tapi jangan khawatir: tidak ada teknologi ajaib dan "rahasia" di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritmakan dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini Anda harus menyelesaikan masalah level yang berbeda kesulitan. Misalnya, ini adalah:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \kanan))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ akhir (sejajarkan)\]

Rumit? Menakutkan? Ya, itu lebih mudah daripada ayam di aspal! Mari mencoba. Ketimpangan pertama:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Yah, saya pikir semuanya sudah jelas di sini:

Kami menulis ulang ketidaksetaraan asli, mengurangi semuanya menjadi basis "dua":

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Panah kanan \kiri(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \kanan)\cdot \kiri(2-1 \kanan) \lt 0\]

Ya, ya, Anda mengerti dengan benar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita mendapatkan ketidaksetaraan fraksional-rasional (ini adalah yang memiliki variabel dalam penyebut), jadi sebelum menyamakan sesuatu menjadi nol, Anda perlu mengurangi semuanya menjadi penyebut yang sama dan menyingkirkan faktor konstanta .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \kanan)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Sekarang kita menggunakan metode interval standar. Pembilang nol: $x=\pm 4$. Penyebut menjadi nol hanya jika $x=0$. Secara total, ada tiga titik yang harus ditandai pada garis bilangan (semua titik dicoret, karena tanda pertidaksamaan itu ketat). Kita mendapatkan:

Kasus yang lebih rumit: tiga akar

Seperti yang Anda duga, penetasan menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri mengambil nilai negatif. Oleh karena itu, dua interval akan masuk ke jawaban akhir sekaligus:

Ujung interval tidak termasuk dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya ketat. Tidak diperlukan validasi lebih lanjut dari jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada DPV, tidak ada batasan, dll.

Mari kita beralih ke tugas berikutnya:

\[((\left(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tidak ada masalah di sini juga, karena kita sudah tahu bahwa $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, jadi seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Panah kanan ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\kiri(-2\kanan)\kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Harap dicatat: di baris ketiga, saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya dengan (−2). Minul masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan deuce dikurangi dengan pengganda konstan. Inilah tepatnya yang harus Anda lakukan ketika membuat perhitungan nyata pada independen dan pekerjaan kontrol- tidak perlu melukis langsung setiap aksi dan transformasi.

Selanjutnya, metode interval yang sudah dikenal ikut bermain. Nol pembilang: tetapi tidak ada. Karena diskriminan akan negatif. Pada gilirannya, penyebut disetel ke nol hanya ketika $x=0$ — seperti terakhir kali. Nah, jelas bahwa pecahan akan mengambil nilai positif di sebelah kanan $x=0$, dan yang negatif di sebelah kiri. Karena kita hanya tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \kanan))^(x))\ge 1\]

Dan apa yang harus dilakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Itu benar: singkirkan mereka dengan mengubahnya menjadi yang biasa. Berikut kami terjemahkan:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Panah kanan ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))=((\kiri(\ frac(25)(4) \kanan))^(x)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Nah, apa yang kita dapatkan di basis fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling timbal balik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(-1))\Panah kanan ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kiri(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]

Dengan demikian, pertidaksamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0) ). \\\akhir(sejajarkan)\]

Tentu saja, ketika mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah, yang terjadi di baris kedua. Selain itu, kami telah mewakili unit di sebelah kanan, juga sebagai kekuatan di basis 4/25. Tetap hanya untuk merasionalisasi:

\[((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Perhatikan bahwa $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, mis. faktor kedua adalah konstanta negatif, dan ketika dibagi dengannya, tanda pertidaksamaan akan berubah:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\di \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Akhirnya, ketidaksetaraan terakhir dari "set" saat ini:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Pada prinsipnya, ide solusi di sini juga jelas: semua fungsi eksponensial yang membentuk pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis "3". Tetapi untuk ini, Anda harus sedikit mengutak-atik akar dan derajat:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Mengingat fakta-fakta ini, ketidaksetaraan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\akhir(sejajarkan)\]

Perhatikan perhitungan baris ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan sesuatu dengan ketidaksetaraan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang telah kita bicarakan sejak awal pelajaran: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Selama Anda memiliki pengganda kiri atau kanan kiri, konstanta ekstra, dll., tidak ada rasionalisasi dan "mencoret" alasan yang dapat dilakukan! Tugas yang tak terhitung jumlahnya telah dilakukan salah karena kesalahpahaman fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini dengan siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik.

Tapi kembali ke tugas kita. Mari kita coba kali ini lakukan tanpa rasionalisasi. Kami ingat: basis derajat lebih besar dari satu, sehingga tiga kali lipat dapat dengan mudah dicoret - tanda ketidaksetaraan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Itu saja. Jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Menyoroti ekspresi stabil dan mengganti variabel

Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk menyelesaikan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak siap. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan gelar. Secara khusus, menempatkan faktor-faktor umum di luar tanda kurung.

Tetapi yang paling penting adalah belajar memahami: apa sebenarnya yang bisa dikurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - dapat dilambangkan dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugas-tugasnya:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Mari kita mulai dengan baris pertama. Mari kita tulis pertidaksamaan ini secara terpisah:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Perhatikan bahwa $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, jadi sisi kanan dapat ditulis ulang:

Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain kecuali $((5)^(x+1))$ dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $x$ tidak muncul di tempat lain, jadi mari kita perkenalkan variabel baru: $((5)^(x+1))=t$. Kami mendapatkan konstruksi berikut:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Kami kembali ke variabel asli ($t=((5)^(x+1))$), dan pada saat yang sama ingat bahwa 1=5 0 . Kita punya:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\akhir(sejajarkan)\]

Itulah seluruh solusi! Jawaban: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Mari kita beralih ke pertidaksamaan kedua:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Kemudian sisi kiri dapat ditulis ulang:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \benar. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Panah kanan x\in \kiri[ 2;+\infty \kanan). \\\akhir(sejajarkan)\]

Ini kira-kira bagaimana Anda perlu membuat keputusan tentang kontrol nyata dan pekerjaan mandiri.

Nah, mari kita coba sesuatu yang lebih sulit. Sebagai contoh, berikut adalah ketidaksetaraan:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Apa masalah yang terjadi di sini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 \u003d 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(selaraskan )\]

Seperti yang Anda lihat, pada awalnya kami membawa semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami perhatikan bahwa suku pertama mudah direduksi menjadi suku kedua - cukup dengan memperluas eksponennya. Sekarang kita dapat dengan aman memperkenalkan variabel baru: $((5)^(2x+2))=t$, dan seluruh ketidaksetaraan akan ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Sekali lagi, tidak masalah! Jawaban akhir: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Pindah ke ketidaksetaraan terakhir dalam pelajaran hari ini:

\[((\left(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Hal pertama yang harus diperhatikan adalah, tentu saja, desimal di dasar derajat pertama. Hal ini diperlukan untuk menyingkirkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \kanan))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Panah kanan ((16)^(x+1,5))=((\kiri(((2)^(4)) \kanan))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Hebat, kami telah mengambil langkah pertama - semuanya mengarah ke fondasi yang sama. Sekarang kita perlu menyoroti ekspresi stabil. Perhatikan bahwa $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jika kita memasukkan variabel baru $((2)^(4x+6))=t$, maka pertidaksamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\akhir(sejajarkan)\]

Secara alami, pertanyaan mungkin muncul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8 ? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui kekuatan dua (dan pada saat yang sama kekuatan tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (Anda dapat membagi, karena 256 adalah bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(selaraskan )\]

Hal yang sama dengan tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah kekuatannya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, kelimanya juga punya gelar “indah” yang perlu kamu ketahui:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\akhir(sejajarkan)\]

Tentu saja, semua angka ini, jika diinginkan, dapat dipulihkan dalam pikiran, hanya dengan mengalikannya satu sama lain secara berurutan. Namun, ketika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan setiap pertidaksamaan berikutnya lebih sulit daripada yang sebelumnya, maka hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa angka di sana. Dan dalam pengertian ini, masalah ini lebih kompleks daripada ketidaksetaraan "klasik", yang diselesaikan dengan metode interval.

Pelajaran dan presentasi dengan topik: "Persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial"

Bahan tambahan
Pengguna yang terhormat, jangan lupa untuk meninggalkan komentar, umpan balik, saran Anda! Semua bahan diperiksa oleh program antivirus.

Alat peraga dan simulator di toko online "Integral" untuk kelas 11
Manual interaktif untuk kelas 9-11 "Trigonometri"
Manual interaktif untuk kelas 10-11 "Logaritma"

Definisi persamaan eksponensial

Kawan, kami mempelajari fungsi eksponensial, mempelajari propertinya dan membuat grafik, menganalisis contoh persamaan di mana fungsi eksponensial ditemukan. Hari ini kita akan mempelajari persamaan eksponensial dan pertidaksamaan.

Definisi. Persamaan bentuk: $a^(f(x))=a^(g(x))$, dengan $a>0$, $a≠1$ disebut persamaan eksponensial.

Mengingat teorema yang kita pelajari dalam topik "Fungsi eksponensial", kita dapat memperkenalkan teorema baru:
Dalil. persamaan eksponensial$a^(f(x))=a^(g(x))$, dengan $a>0$, $a≠1$ ekuivalen dengan persamaan $f(x)=g(x)$.

Contoh persamaan eksponensial

Contoh.
Selesaikan Persamaan:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Keputusan.
a) Kita tahu betul bahwa $27=3^3$.
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $3^(3x-3)=3^3$.
Dengan menggunakan teorema di atas, kita mendapatkan bahwa persamaan kita direduksi menjadi persamaan $3x-3=3$, menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan $x=2$.
Jawab: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Maka persamaan kita dapat ditulis ulang: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.

C) Persamaan aslinya setara dengan persamaan: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ dan $x_2=-3$.
Jawaban: $x_1=6$ dan $x_2=-3$.

Contoh.
Selesaikan persamaan: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Keputusan:
Kami akan secara berurutan melakukan serangkaian tindakan dan membawa kedua bagian persamaan kami ke basis yang sama.
Mari kita lakukan serangkaian operasi di sisi kiri:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Mari kita beralih ke sisi kanan:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Persamaan asli setara dengan persamaan:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Jawaban: $x=0$.

Contoh.
Selesaikan persamaan: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Keputusan:
Mari kita tulis ulang persamaan kita: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Mari kita membuat perubahan variabel, misalkan $a=3^x$.
Dalam variabel baru, persamaan akan berbentuk: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ dan $a_2=3$.
Mari kita lakukan perubahan kebalikan dari variabel: $3^x=-12$ dan $3^x=3$.
Dalam pelajaran terakhir, kita belajar bahwa ekspresi eksponensial hanya dapat mengambil nilai positif, ingat grafiknya. Ini berarti persamaan pertama tidak memiliki solusi, persamaan kedua memiliki satu solusi: $x=1$.
Jawaban: $x=1$.

Mari kita membuat catatan tentang cara-cara untuk menyelesaikan persamaan eksponensial:
1. Metode grafis. Kami mewakili kedua bagian persamaan sebagai fungsi dan membangun grafiknya, menemukan titik persimpangan grafik. (Kami menggunakan metode ini dalam pelajaran terakhir).
2. Prinsip kesetaraan indikator. Prinsip ini didasarkan pada kenyataan bahwa dua ekspresi dengan basis yang sama adalah sama jika dan hanya jika derajat (eksponen) dari basis ini sama. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metode perubahan variabel. Metode ini harus digunakan jika persamaan, ketika mengubah variabel, menyederhanakan bentuknya dan lebih mudah untuk dipecahkan.

Contoh.
Memecahkan sistem persamaan: $\begin (kasus) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(kasus)$.
Keputusan.
Pertimbangkan kedua persamaan sistem secara terpisah:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3th)*3^x=3^0$.
$3^(3th+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Perhatikan persamaan kedua:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Mari kita gunakan metode perubahan variabel, misalkan $y=2^(x+y)$.
Maka persamaan akan berbentuk:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ dan $y_2=-3$.
Mari kita beralih ke variabel awal, dari persamaan pertama kita mendapatkan $x+y=2$. Persamaan kedua tidak memiliki solusi. Maka sistem persamaan awal kita ekuivalen dengan sistem: $\begin (kasus) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(kasus)$.
Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita peroleh: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(kasus)$.
$\begin (kasus) y=-1, \\ x=3. \end(kasus)$.
Jawaban: $(3;-1)$.

pertidaksamaan eksponensial

Mari kita beralih ke ketidaksetaraan. Saat memecahkan ketidaksetaraan, perlu memperhatikan dasar derajat. Ada dua skenario yang mungkin untuk pengembangan peristiwa ketika memecahkan ketidaksetaraan.

Dalil. Jika $a>1$, maka pertidaksamaan eksponensial $a^(f(x))>a^(g(x))$ sama dengan pertidaksamaan $f(x)>g(x)$.
Jika $0 a^(g(x))$ sama dengan $f(x)

Contoh.
Memecahkan ketidaksetaraan:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Keputusan.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Ketimpangan kita setara dengan pertidaksamaan:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dalam persamaan kita, basis dengan derajat lebih kecil dari 1, maka saat mengganti pertidaksamaan dengan pertidaksamaan yang ekuivalen, tandanya perlu diubah.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Pertidaksamaan kita setara dengan pertidaksamaan:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Mari kita gunakan metode solusi interval:
Jawaban: $(-∞;-5]U)