Gauso matricos pavyzdžiai su tirpalo determinantu. Atvirkštinis Gauso metodas

17.10.2019 -

Gauso metodas, dar vadinamas nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodu, susideda iš toliau. Naudojant elementariąsias transformacijas tiesinių lygčių sistema įvedama į tokią formą, kad jos koeficientų matrica pasirodytų trapecijos formos (toks pat kaip trikampis arba laiptuotas) arba arti trapecijos (tiesioginė Gauso metodo eiga, tada – tiesiog tiesioginis judesys). Tokios sistemos ir jos sprendimo pavyzdys parodytas aukščiau esančiame paveikslėlyje.

Tokioje sistemoje paskutinėje lygtyje yra tik vienas kintamasis ir jo reikšmę galima rasti vienareikšmiškai. Tada šio kintamojo reikšmė pakeičiama į ankstesnę lygtį ( Gauso reversas , tada – tik atvirkštinis judėjimas), iš kurio randamas ankstesnis kintamasis ir pan.

Kaip matome, trapecinėje (trikampėje) sistemoje trečioji lygtis nebeturi kintamųjų y ir x, o antroji lygtis – kintamasis x .

Sistemos matricai įgavus trapecijos formą, nebėra sunku išsiaiškinti sistemos suderinamumo klausimą, nustatyti sprendinių skaičių ir rasti pačius sprendimus.

Metodo privalumai:

sprendžiant tiesinių lygčių sistemas su daugiau nei trimis lygtimis ir nežinomaisiais, Gauso metodas nėra toks sudėtingas kaip Cramerio metodas, nes sprendžiant Gauso metodą reikia atlikti mažiau skaičiavimų;
naudodamiesi Gauso metodu, galite išspręsti neapibrėžtas tiesinių lygčių sistemas, ty turėti bendras sprendimas(ir mes jas analizuosime šioje pamokoje), o naudojant Cramerio metodą, galime teigti, kad sistema yra neapibrėžta;
galite spręsti tiesinių lygčių sistemas, kuriose nežinomųjų skaičius nelygus lygčių skaičiui (šioje pamokoje jas taip pat analizuosime);
metodas remiasi pradiniais (mokykliniais) metodais – nežinomųjų pakeitimo ir lygčių sudėjimo metodu, kuriuos palietėme atitinkamame straipsnyje.

Kad kiekvienas būtų persmelktas paprastumo, kuriuo sprendžiamos trapecijos (trikampės, žingsninės) tiesinių lygčių sistemos, pateikiame tokios sistemos sprendimą naudojant atvirkštinį eigą. Greitas sprendimasši sistema buvo parodyta paveikslėlyje pamokos pradžioje.

1 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą naudodami atvirkštinį judėjimą:

Sprendimas. Šioje trapecijos sistemoje kintamasis z yra vienareikšmiškai randama iš trečiosios lygties. Jo reikšmę pakeičiame antrąja lygtimi ir gauname kintamojo reikšmę y:

Dabar mes žinome dviejų kintamųjų reikšmes - z ir y. Mes juos pakeičiame į pirmąją lygtį ir gauname kintamojo reikšmę x:

Iš ankstesnių žingsnių išrašome lygčių sistemos sprendimą:

Norint gauti tokią trapecinę tiesinių lygčių sistemą, kurią išsprendėme labai paprastai, reikia taikyti tiesioginį judesį, susijusį su elementariomis tiesinių lygčių sistemos transformacijomis. Tai taip pat nėra labai sunku.

Tiesinių lygčių sistemos elementarios transformacijos

Kartodami mokyklinį sistemos lygčių algebrinio sudėjimo metodą, išsiaiškinome, kad prie vienos iš sistemos lygčių galima pridėti dar vieną sistemos lygtį, o kiekvieną iš lygčių galima padauginti iš kai kurių skaičių. Dėl to gauname tiesinių lygčių sistemą, lygiavertę duotajai. Joje vienoje lygtyje jau buvo tik vienas kintamasis, kurio reikšmę pakeitus kitomis lygtimis, gauname sprendimą. Toks papildymas yra vienas iš elementarios sistemos transformacijos rūšių. Naudodami Gauso metodą galime naudoti kelių tipų transformacijas.

Aukščiau pateikta animacija parodo, kaip lygčių sistema palaipsniui virsta trapecijos forma. Tai yra, tą, kurią matėte pačioje pirmoje animacijoje ir įsitikinote, kad iš jos lengva rasti visų nežinomųjų vertybes. Kaip atlikti tokią transformaciją ir, žinoma, pavyzdžiai bus aptariami toliau.

Sprendžiant tiesinių lygčių sistemas su bet kokiu lygčių skaičiumi ir nežinomiesiems lygčių sistemoje ir išplėstoje sistemos matricoje gali:

sukeisti eilutes (tai buvo paminėta pačioje šio straipsnio pradžioje);
jei dėl kitų transformacijų atsirado lygių arba proporcingų linijų, jas galima ištrinti, išskyrus vieną;
panaikinti „nulines“ eilutes, kur visi koeficientai lygūs nuliui;
padauginkite arba padalykite bet kurią eilutę iš kurio nors skaičiaus;
pridėti prie bet kurios eilutės kitą eilutę, padaugintą iš tam tikro skaičiaus.

Transformacijų rezultate gauname tiesinių lygčių sistemą, lygiavertę duotajai.

Tiesinių lygčių sistemos su kvadratine sistemos matrica sprendimo Gauso metodu algoritmas ir pavyzdžiai

Pirmiausia apsvarstykite tiesinių lygčių sistemų, kuriose nežinomųjų skaičius lygus lygčių skaičiui, sprendimą. Tokios sistemos matrica yra kvadratinė, tai yra, eilučių skaičius joje lygus stulpelių skaičiui.

2 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas mokyklos būdai, mes padauginome vieną iš lygčių terminą iš termino iš tam tikro skaičiaus, kad pirmojo kintamojo koeficientai dviejose lygtyse būtų priešingi skaičiai. Pridedant lygtis, šis kintamasis pašalinamas. Gauso metodas veikia panašiai.

Norėdami supaprastinti išvaizda sprendimus sudaryti išplėstinę sistemos matricą:

Šioje matricoje nežinomųjų koeficientai yra kairėje prieš vertikalią juostą, o laisvieji elementai yra dešinėje po vertikalios juostos.

Kad būtų patogiau dalyti kintamųjų koeficientus (kad būtų padalintas iš vieneto) sukeisti pirmą ir antrą sistemos matricos eilutes. Gauname sistemą, lygiavertę duotajai, nes tiesinių lygčių sistemoje lygtis galima pertvarkyti:

Su nauja pirmąja lygtimi pašalinti kintamąjį x iš antrosios ir visų vėlesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, pirmąją eilutę, padaugintą iš (mūsų atveju iš ), pridėkite prie antrosios matricos eilutės, o pirmąją eilutę, padaugintą iš (mūsų atveju iš ), prie trečios eilutės.

Tai įmanoma, nes

Jei mūsų sistemoje buvo daugiau nei trys lygtys, tada prie visų vėlesnių lygčių reikia pridėti pirmąją eilutę, padaugintą iš atitinkamų koeficientų santykio, paimto su minuso ženklu.

Dėl to gauname matricą, lygiavertę duotai naujos lygčių sistemos sistemai, kurioje visos lygtys, pradedant nuo antrosios nėra kintamojo x :

Norėdami supaprastinti antrąją gautos sistemos eilutę, padauginame ją iš ir vėl gauname lygčių sistemos matricą, lygiavertę šiai sistemai:

Dabar, paliekant pirmąją gautos sistemos lygtį nepakeistą, naudodamiesi antrąja lygtimi, pašaliname kintamąjį y iš visų vėlesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, pridėkite antrąją eilutę, padaugintą iš (mūsų atveju, iš ), prie trečios sistemos matricos eilutės.

Jei mūsų sistemoje buvo daugiau nei trys lygtys, tada prie visų paskesnių lygčių reikia pridėti antrą eilutę, padaugintą iš atitinkamų koeficientų santykio, paimto su minuso ženklu.

Dėl to vėl gauname sistemos matricą, lygiavertę nurodytai tiesinių lygčių sistemai:

Gavome trapecinę tiesinių lygčių sistemą, lygiavertę pateiktajai:

Jei lygčių ir kintamųjų skaičius yra didesnis nei mūsų pavyzdyje, tai nuoseklaus kintamųjų pašalinimo procesas tęsiasi tol, kol sistemos matrica tampa trapecijos formos, kaip mūsų demonstraciniame pavyzdyje.

Išeitį rasime „nuo galo“ – atvirkščiai. Už tai iš paskutinės lygties nustatome z:
.
Pakeitus šią reikšmę į ankstesnę lygtį, rasti y:

Iš pirmosios lygties rasti x:

Atsakymas: šios lygčių sistemos sprendimas - .

: tokiu atveju bus pateiktas toks pat atsakymas, jei sistema turi unikalų sprendimą. Jei sistema turi begalinį sprendinių skaičių, tai bus ir atsakymas, ir tai yra penktosios šios pamokos dalies tema.

Pats išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu, o tada pažiūrėkite į sprendimą

Prieš mus vėl yra nuoseklios ir apibrėžtos tiesinių lygčių sistemos pavyzdys, kurioje lygčių skaičius yra lygus nežinomųjų skaičiui. Skirtumas nuo mūsų demonstracinio pavyzdžio nuo algoritmo yra tas, kad jau yra keturios lygtys ir keturi nežinomieji.

4 pavyzdys Gauso metodu išspręskite tiesinių lygčių sistemą:

Dabar turite naudoti antrąją lygtį, kad neįtrauktumėte kintamojo iš tolesnių lygčių. Atlikime parengiamuosius darbus. Kad būtų patogiau nustatyti koeficientų santykį, antros eilutės antrame stulpelyje turite gauti vienetą. Norėdami tai padaryti, iš antrosios eilės atimkite trečią eilutę ir gautą antrąją eilutę padauginkite iš -1.

Dabar atlikime faktinį kintamojo pašalinimą iš trečiosios ir ketvirtosios lygčių. Norėdami tai padaryti, į trečią eilutę pridėkite antrąjį, padaugintą iš , o antrąjį, padaugintą iš , prie ketvirtosios.

Dabar, naudodami trečiąją lygtį, pašaliname kintamąjį iš ketvirtosios lygties. Norėdami tai padaryti, prie ketvirtos eilutės pridėkite trečią, padaugintą iš . Gauname trapecijos formos išplėstą matricą.

Gavome lygčių sistemą, kuri yra lygiavertė pateiktai sistemai:

Todėl gautos ir pateiktos sistemos yra nuoseklios ir apibrėžtos. Mes randame galutinį sprendimą „nuo galo“. Iš ketvirtosios lygties galime tiesiogiai išreikšti kintamojo "x four" reikšmę:

Šią reikšmę pakeičiame trečiąja sistemos lygtimi ir gauname

Galiausiai vertės pakeitimas

Pirmoje lygtyje pateikiama

kur randame "x first":

Atsakymas: Ši lygčių sistema turi vienintelis sprendimas .

Taip pat sistemos sprendimą galite patikrinti skaičiuotuvu, kuris sprendžia Cramerio metodu: tokiu atveju bus pateiktas toks pat atsakymas, jei sistema turi unikalų sprendimą.

Taikomųjų uždavinių sprendimas Gauso metodu lydinių uždavinio pavyzdyje

Realiems fizinio pasaulio objektams modeliuoti naudojamos tiesinių lygčių sistemos. Išspręskime vieną iš šių problemų – lydiniams. Panašios užduotys – užduotys mišiniams, atskirų prekių savikaina ar savitasis svoris prekių grupėje ir panašiai.

5 pavyzdys Trijų lydinio dalių bendra masė yra 150 kg. Pirmajame lydinyje yra 60% vario, antrajame - 30%, trečiame - 10%. Tuo pačiu metu antrajame ir trečiame lydinyje vario yra 28,4 kg mažiau nei pirmame lydinyje, o trečiajame lydinyje vario yra 6,2 kg mažiau nei antrajame. Raskite kiekvieno lydinio gabalo masę.

Sprendimas. Sudarome tiesinių lygčių sistemą:

Antrąją ir trečiąją lygtis padauginus iš 10, gauname lygiavertę tiesinių lygčių sistemą:

Sudarome išplėstinę sistemos matricą:

Dėmesio, tiesioginis judesys. Pridėjus (mūsų atveju atimant) vieną eilutę, padaugintą iš skaičiaus (taikome du kartus), su išplėstine sistemos matrica įvyksta šios transformacijos:

Tiesusis bėgimas baigėsi. Gavome išplėstą trapecijos formos matricą.

Naudokime atvirkščiai. Mes randame sprendimą nuo galo. Mes tai matome.

Iš antrosios lygties randame

Iš trečiosios lygties -

Taip pat sistemos sprendimą galite patikrinti skaičiuotuvu, kuris sprendžia Cramerio metodu: tokiu atveju bus pateiktas toks pat atsakymas, jei sistema turi unikalų sprendimą.

Gauso metodo paprastumą liudija faktas, kad vokiečių matematikas Carlas Friedrichas Gaussas jį išrado vos 15 minučių. Be jo vardo metodo, iš Gauso kūrinio, posakis „Neturėtume maišyti to, kas mums atrodo neįtikėtina ir nenatūralu, su absoliučiai neįmanomu“. trumpa instrukcija už atradimus.

Daugelyje taikomų uždavinių trečiojo apribojimo, tai yra trečiosios lygties, gali nebūti, tuomet reikia Gauso metodu išspręsti dviejų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą arba, atvirkščiai, nežinomųjų yra mažiau nei lygčių. Dabar pradedame spręsti tokias lygčių sistemas.

Naudodami Gauso metodą galite nustatyti, ar kuri nors sistema yra nuosekli, ar nenuosekli n tiesines lygtis su n kintamieji.

Gauso metodas ir tiesinių lygčių sistemos su begaliniu sprendinių skaičiumi

Kitas pavyzdys yra nuosekli, bet neapibrėžta tiesinių lygčių sistema, tai yra, ji turi begalinį sprendinių skaičių.

Atlikus transformacijas išplėstoje sistemos matricoje (eilių permutavimas, eilučių padauginimas ir padalijimas iš tam tikro skaičiaus, vienos eilutės pridėjimas prie kitos), formos eilutės

Jei visose lygtyse turinčios formą

Laisvieji nariai lygūs nuliui, tai reiškia, kad sistema yra neapibrėžta, tai yra, ji turi begalinį sprendinių skaičių, o tokio tipo lygtys yra „perteklinės“ ir neįtraukiamos į sistemą.

6 pavyzdys

Sprendimas. Sudarykime išplėstinę sistemos matricą. Tada, naudodami pirmąją lygtį, pašaliname kintamąjį iš paskesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, į antrą, trečią ir ketvirtą eilutes pridėkite pirmąją, padaugintą iš atitinkamai:

Dabar pridėkime antrąją eilutę prie trečios ir ketvirtos.

Dėl to mes pasiekiame sistemą

Paskutinės dvi lygtys tapo formos lygtimis. Šios lygtys yra patenkintos bet kokioms nežinomųjų reikšmėms ir gali būti atmestos.

Norėdami patenkinti antrąją lygtį, galime pasirinkti savavališkas ir reikšmes, tada reikšmė bus nustatyta vienareikšmiškai: . Iš pirmosios lygties taip pat vienareikšmiškai randama reikšmė: .

Tiek duotoji, tiek paskutinė sistemos yra suderinamos, bet neapibrėžtos, ir formulės

savavališkai ir pateikite visus pateiktos sistemos sprendimus.

Gauso metodas ir tiesinių lygčių sistemos, neturinčios sprendinių

Šis pavyzdys yra nenuosekli tiesinių lygčių sistema, tai yra, ji neturi sprendimų. Atsakymas į tokias problemas formuluojamas taip: sistema neturi sprendimų.

Kaip jau minėta pirmajame pavyzdyje, atlikus transformacijas išplėstoje sistemos matricoje, formos eilutės

atitinkančios formos lygtį

Jei tarp jų yra bent viena lygtis su ne nuliu laisvuoju nariu (t. y. ), tai ši lygčių sistema yra nenuosekli, tai yra, ji neturi sprendinių, ir tai užbaigia jos sprendimą.

7 pavyzdys Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu:

Sprendimas. Sudarome išplėstinę sistemos matricą. Naudodami pirmąją lygtį, kintamąjį neįtraukiame iš paskesnių lygčių. Norėdami tai padaryti, į antrąją eilutę pridėkite pirmąjį, padaugintą iš, pirmąjį, padaugintą iš trečiosios, o pirmąjį, padaugintą iš ketvirtos eilės.

Dabar turite naudoti antrąją lygtį, kad neįtrauktumėte kintamojo iš tolesnių lygčių. Norėdami gauti sveikų skaičių koeficientų santykius, sukeičiame antrąją ir trečiąją sistemos išplėstinės matricos eilutes.

Norėdami neįtraukti iš trečiosios ir ketvirtosios lygčių, į trečią eilutę pridėkite antrąją, padaugintą iš , o antrąją, padaugintą iš , į ketvirtą eilutę.

Dabar, naudodami trečiąją lygtį, pašaliname kintamąjį iš ketvirtosios lygties. Norėdami tai padaryti, prie ketvirtos eilutės pridėkite trečią, padaugintą iš .

Taigi pateikta sistema yra lygiavertė:

Gauta sistema yra nenuosekli, nes paskutinė jos lygtis negali būti patenkinta jokiomis nežinomųjų reikšmėmis. Todėl ši sistema neturi sprendimų.

Švietimo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

Gairės

už temą „Gauso metodas tiesinių sistemų sprendimui

lygtys“ pateikė Buhalterinės apskaitos fakulteto studentai pravaikštos forma išsilavinimas (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Ekvivalentinės lygčių sistemos

Dvi tiesinių lygčių sistemos vadinamos lygiavertėmis, jei kiekvienas iš jų yra kitos. Tiesinių lygčių sistemos sprendimo procesas susideda iš nuoseklaus jos transformavimo į lygiavertę sistemą, naudojant vadinamąją. elementarios transformacijos , kurie yra:

1) bet kurių dviejų sistemos lygčių permutacija;

2) bet kurios sistemos lygties abiejų dalių dauginimas iš ne nulinio skaičiaus;

3) prie bet kurios lygties pridedant kitą lygtį, padaugintą iš bet kurio skaičiaus;

4) lygties, susidedančios iš nulių, išbraukimas, t.y. tipo lygtis.

Gauso eliminacija

Apsvarstykite sistemą m tiesines lygtis su n nežinomas:

Gauso metodo arba nuoseklaus nežinomųjų išskyrimo metodo esmė yra tokia.

Pirma, elementariųjų transformacijų pagalba nežinomasis pašalinamas iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Tokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso pašalinimo žingsnis . Nežinomasis vadinamas skiriamąjį kintamąjį pirmajame transformacijos etape. Koeficientas vadinamas skiriamosios gebos koeficientas , vadinama pirmoji lygtis sprendžiant lygtį , o koeficientų stulpelis ties įgalinti stulpelį .

Atliekant vieną Gauso pašalinimo žingsnį, reikia naudoti šias taisykles:

1) sprendžiamosios lygties koeficientai ir laisvasis terminas lieka nepakitę;

2) skyros stulpelio, esančio žemiau skiriamojo koeficiento, koeficientai virsta nuliu;

3) visi kiti koeficientai ir laisvieji laipsniai pirmoje pakopoje apskaičiuojami pagal stačiakampio taisyklę:

, kur i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Panašias transformacijas atliekame antrojoje sistemos lygtyje. Tai sukels sistemą, kurioje nežinomasis bus neįtrauktas į visas lygtis, išskyrus pirmąsias dvi. Dėl tokių transformacijų per kiekvieną sistemos lygtį (tiesioginė Gauso metodo eiga) pradinė sistema redukuojama į lygiavertę vieno iš šių tipų pakopų sistemą.

Atvirkštinis Gauso metodas

Žingsnių sistema

turi trikampio formą ir viskas (i=1,2,…,n). Tokia sistema turi unikalų sprendimą. Nežinomieji nustatomi pradedant nuo paskutinės lygties (Gauso metodo atvirkštinė dalis).

Žingsnių sistema turi formą

kur , t.y. sistemos lygčių skaičius yra mažesnis arba lygus nežinomųjų skaičiui. Ši sistema neturi sprendimų, nes paskutinė lygtis negalios jokioms kintamojo reikšmėms.

Pakopinio vaizdo sistema

turi begalę sprendimų. Pagal paskutinę lygtį nežinomasis išreiškiamas nežinomaisiais . Tada vietoj nežinomo jo išraiška nežinomaisiais pakeičiama į priešpaskutinę lygtį . Tęsiant atvirkštinę Gauso metodo eigą, nežinomieji galima išreikšti nežinomaisiais . Šiuo atveju nežinomas paskambino Laisvas ir gali turėti bet kokią reikšmę ir nežinomą pagrindinis.

Praktiškai sprendžiant sistemas, patogu visas transformacijas atlikti ne lygčių sistema, o išplėstine sistemos matrica, susidedančia iš nežinomųjų koeficientų ir laisvųjų terminų stulpelio.

1 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Sudarykime išplėstinę sistemos matricą ir atliksime elementarias transformacijas:

Išplėstoje sistemos matricoje skaičius 3 (jis paryškintas) yra skiriamosios gebos koeficientas, pirmoji eilutė yra skiriamosios gebos eilutė, o pirmoji stulpelis yra skiriamosios gebos stulpelis. Pereinant į kitą matricą, sprendžiamoji eilutė nesikeičia, visi sprendžiamojo stulpelio elementai, esantys po sprendžiamuoju elementu, pakeičiami nuliais. O visi kiti matricos elementai perskaičiuojami pagal keturkampę taisyklę. Vietoj elemento 4 antroje eilutėje rašome , vietoj elemento -3 antroje eilutėje bus rašoma ir tt Taigi bus gauta antroji matrica. Šios matricos antroje eilutėje bus 18 skiriamojo elemento numeris. Norėdami sudaryti kitą (trečiąją matricą), antrą eilutę paliekame nepakeistą, stulpelyje po sprendžiamuoju elementu rašome nulį ir perskaičiuojame likusius du elementus: vietoj skaičiaus 1 rašome , o vietoj skaičiaus 16 rašome .

Dėl to pradinė sistema sumažinama iki lygiavertės

Iš trečiosios lygties randame . Pakeiskite šią reikšmę antrąja lygtimi: y=3. Rastas reikšmes pakeiskite į pirmąją lygtį y ir z: , x=2.

Taigi šios lygčių sistemos sprendimas yra x=2, y=3, .

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Atlikime elementarias transformacijas išplėstoje sistemos matricoje:

Antroje matricoje kiekvienas trečiosios eilutės elementas yra padalintas iš 2.

Ketvirtoje matricoje kiekvienas trečios ir ketvirtos eilučių elementas buvo padalintas iš 11.

. Gauta matrica atitinka lygčių sistemą

Išspręsdami šią sistemą, randame , , .

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Parašykime išplėstinę sistemos matricą ir atliksime elementarias transformacijas:

Antroje matricoje kiekvienas antros, trečios ir ketvirtos eilučių elementas buvo padalintas iš 7.

Dėl to lygčių sistema

lygiavertis originalui.

Kadangi lygčių yra dviem mažiau nei nežinomųjų, tai iš antrosios lygties . Pirmoje lygtyje pakeiskite išraišką: , .

Taigi formulės pateikite bendrą šios lygčių sistemos sprendinį. Nežinomi ir nemokami ir gali turėti bet kokią vertę.

Tegu pvz. Tada ir . Sprendimas yra vienas iš konkrečių sistemos sprendimų, kurių yra begalė.

Žinių savikontrolės klausimai

1) Kokios tiesinių sistemų transformacijos vadinamos elementariosiomis?

2) Kokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso eliminacijos žingsniu?

3) Kas yra skiriamieji kintamieji, skiriamieji koeficientai, skiriamieji stulpeliai?

4) Kokios taisyklės turėtų būti taikomos atliekant vieną Gauso eliminacijos žingsnį?

Carlas Friedrichas Gaussas, didžiausias matematikas ilgam laikui dvejojo tarp filosofijos ir matematikos. Galbūt būtent tokia mąstysena leido jam taip pastebimai „pasitraukti“ iš pasaulio mokslo. Visų pirma, sukūrus „Gausso metodą“ ...

Beveik 4 metus šios svetainės straipsniai buvo susiję su mokyklinis išsilavinimas, daugiausia iš filosofijos pusės, (nesupratimo) principai, įvesti į vaikų protus. Ateina laikas daugiau specifikos, pavyzdžių ir metodų... Tikiu, kad tai yra požiūris į pažįstamą, painų ir svarbu gyvenimo srityse duoda geriausių rezultatų.

Mes, žmonės, esame taip sutvarkyti, kad ir kiek apie tai kalbėtum abstraktus mąstymas, bet supratimas visada vyksta per pavyzdžius. Jei nėra pavyzdžių, tai neįmanoma pagauti principų... Kaip neįmanoma būti kalno viršūnėje kitaip, nei perėjus visą jo šlaitą nuo papėdės.

Tas pats su mokykla: kol kas gyvos istorijos nepakanka, kad mes instinktyviai ir toliau laikome tai vieta, kur vaikai mokomi suprasti.

Pavyzdžiui, mokyti Gauso metodo...

Gauso metodas mokyklos 5 klasėje

Iš karto padarysiu išlygą: Gauso metodas turi daug platesnį pritaikymą, pavyzdžiui, sprendžiant tiesinių lygčių sistemos. Tai, apie ką kalbėsime, vyksta 5 klasėje. tai pradėti, supratus kurį, daug lengviau suprasti „išplėstines parinktis“. Šiame straipsnyje mes kalbame apie Gauso metodas (metodas) ieškant serijos sumos

Štai pavyzdys, kurį mano jauniausias sūnus atsinešė iš mokyklos, lankydamas Maskvos gimnazijos 5 klasę.

Gauso metodo demonstravimas mokykloje

Matematikos mokytojas naudoja interaktyvią lentą ( šiuolaikiniai metodai treniruotė) vaikams parodė mažojo Gauso „metodo sukūrimo“ istorijos pristatymą.

Mokyklos mokytoja plakė mažąjį Carlą (pasenęs metodas, dabar mokyklose nenaudojamas) už tai, kad

užuot sudėję skaičius nuo 1 iki 100, kad surastumėte jų sumą pastebėjo kad skaičių poros, vienodai nutolusios nuo aritmetinės progresijos kraštų, sumuojasi į tą patį skaičių. pavyzdžiui, 100 ir 1, 99 ir 2. Suskaičiavęs tokių porų skaičių mažasis Gaussas beveik akimirksniu išsprendė mokytojo pasiūlytą uždavinį. Už tai jam buvo įvykdyta mirties bausmė nustebusios visuomenės akivaizdoje. Likusiesiems galvoti buvo nepagarbu.

Ką padarė mažasis Gaussas išvystyta skaičiaus jausmas? Pastebėjo kažkokia savybė skaičių serija su pastoviu žingsniu (aritmetine progresija). Ir būtent tai vėliau padarė jį puikiu mokslininku, galintis pastebėti, turintis jausmas, supratimo instinktas.

Tai yra matematikos vertybė, kuri vystosi gebėjimas matyti apskritai, ypač abstraktus mąstymas. Todėl dauguma tėvų ir darbdavių instinktyviai laiko matematiką svarbia disciplina ...

„Matematikos reikėtų mokyti vėliau, kad sutvarkytų mintis.
M.V. Lomonosovas“.

Tačiau pasekėjai tų, kurie plakė būsimus genijus, Metodą pavertė priešingu. Kaip prieš 35 metus sakė mano vadovas: „Jie išmoko klausimą“. Arba, kaip vakar pasakė mano jauniausias sūnus apie Gauso metodą: „Gal neverta iš to daryti didelio mokslo, ar ne?

„Mokslininkų“ kūrybiškumo pasekmės matomos dabartinės mokyklinės matematikos lygyje, jos mokymo ir daugumos „Mokslų karalienės“ supratimo lygyje.

Vis dėlto, tęskime...

Gauso metodo aiškinimo metodai mokyklos 5 klasėje

Maskvos gimnazijos matematikos mokytojas, Vilenkino būdu aiškindamas Gauso metodą, užduotį apsunkino.

Ką daryti, jei aritmetinės progresijos skirtumas (žingsnis) yra ne vienas, o kitas skaičius? Pavyzdžiui, 20.

Užduotis, kurią jis davė penktokams:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prieš susipažindami su gimnazijos metodu, pažvelkime į internetą: kaip tai daro mokyklos mokytojai - matematikos mokytojai? ..

Gauso metodas: 1 paaiškinimas

Gerai žinomas dėstytojas savo YOUTUBE kanale pateikia tokius argumentus:

Parašykime skaičius nuo 1 iki 100 taip:

pirmiausia skaičių serija nuo 1 iki 50, o griežtai po ja kita skaičių serija nuo 50 iki 100, bet atvirkštine tvarka.

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Atkreipkite dėmesį: kiekvienos skaičių poros iš viršutinės ir apatinės eilučių suma yra tokia pati ir lygi 101! Suskaičiuokime porų skaičių, tai yra 50 ir padauginkite vienos poros sumą iš porų skaičiaus! Voila: The atsakymas paruoštas!"

„Jei nesugebėjai suprasti, nenusimink!“ – aiškindamasis tris kartus pakartojo mokytojas. „Šį metodą įveiksite 9 klasėje!

Gauso metodas: 2 paaiškinimas

Kitas dėstytojas, mažiau žinomas (sprendžiant pagal peržiūrų skaičių) laikosi moksliškesnio požiūrio, siūlydamas 5 taškų sprendimo algoritmą, kuris turi būti pildomas nuosekliai.

Nežinantiems: 5 yra vienas iš Fibonačio skaičių, kuris tradiciškai laikomas stebuklingu. Pavyzdžiui, 5 žingsnių metodas visada yra moksliškesnis nei 6 žingsnių metodas. ... Ir vargu ar tai atsitiktinumas, greičiausiai Autorius yra paslėptas Fibonačio teorijos šalininkas

Pateikta aritmetinė progresija: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Eilučių skaičių sumos nustatymo algoritmas Gauso metodu:

1 veiksmas: perrašykite pateiktą skaičių seką atvirkščiai, tiksliai pagal pirmąją.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

2 veiksmas: apskaičiuokite skaičių porų, išdėstytų vertikaliomis eilėmis, sumas: 260.

3 veiksmas: suskaičiuokite, kiek tokių porų yra skaičių serijoje. Norėdami tai padaryti, atimkite minimumą iš didžiausio skaičių serijų skaičiaus ir padalykite iš žingsnio dydžio: (256 - 4) / 6 = 42.

Tuo pačiu metu reikia atsiminti apie plius viena taisyklė : prie gauto koeficiento reikia pridėti vieną: kitaip gausime rezultatą, kuris yra vienu mažesnis už tikrąjį porų skaičių: 42 + 1 = 43.

4 veiksmas: vienos skaičių poros sumą padauginkite iš porų skaičiaus: 260 x 43 = 11 180

5 veiksmas: kadangi apskaičiavome sumą skaičių poros, tada gautą sumą reikia padalyti iš dviejų: 11 180 / 2 = 5590.

Tai norima aritmetinės progresijos suma nuo 4 iki 256 su 6 skirtumu!

Gauso metodas: paaiškinimas Maskvos gimnazijos 5 klasėje

Štai kaip reikėjo išspręsti serijos sumos radimo problemą:

20+40+60+ ... +460+480+500

Maskvos gimnazijos 5 klasėje Vilenkino vadovėlis (pagal sūnų).

Parodęs pristatymą, matematikos mokytojas parodė porą Gauso pavyzdžių ir davė klasei užduotį surasti skaičių sumą iš eilės su žingsniu 20.

Tam reikėjo šių dalykų:

1 žingsnis: būtinai užsirašykite visus eilėje esančius skaičius į sąsiuvinį nuo 20 iki 500 (didinant po 20).

2 žingsnis: parašykite iš eilės einančius terminus - skaičių poras: pirmasis su paskutiniu, antrasis su priešpaskutiniu ir t.t. ir apskaičiuoti jų sumas.

3 veiksmas: apskaičiuokite „sumų sumą“ ir raskite visos serijos sumą.

Kaip matote, jis yra kompaktiškesnis ir efektyvi technika: skaičius 3 taip pat yra Fibonačio sekos narys

Mano komentarai apie mokyklinę Gauso metodo versiją

Didysis matematikas tikrai būtų pasirinkęs filosofiją, jei būtų numatęs, kuo jo „metodą“ pavers jo pasekėjai. vokiečių kalbos mokytoja kurie nuplakė Karlą lazdomis. Jis būtų matęs simboliką, dialektinę spiralę ir nemirštantį „mokytojų“ kvailumą. bando išmatuoti gyvos matematinės minties harmoniją su nesusipratimo algebra ....

Beje, ar žinai. kad mūsų švietimo sistemos šaknys yra XVIII–XIX amžiaus vokiečių mokykloje?

Tačiau Gaussas pasirinko matematiką.

Kokia jo metodo esmė?

AT supaprastinimas. AT stebėjimas ir fiksavimas paprasti skaičių modeliai. AT sausą mokyklinę aritmetiką paverčiant įdomi ir smagi veikla , suaktyvina norą tęsti smegenyse ir neblokuoja brangiai kainuojančios protinės veiklos.

Ar galima apskaičiuoti aritmetinės progresijos skaičių sumą naudojant vieną iš aukščiau pateiktų "Gauso metodo modifikacijų" akimirksniu? Pagal „algoritmus“ mažasis Karlas būtų garantuotas vengęs pliaukštelėjimo, išsiugdęs priešiškumą matematikai ir užgniaužęs savo kūrybinius impulsus.

Kodėl korepetitorius taip primygtinai patarė penktokams „nebijoti nesuprasti“ metodo, įtikindamas, kad „tokias“ problemas išspręs jau 9 klasėje? Psichologiškai neraštingas veiksmas. Buvo gera mintis pastebėti: "Iki jau 5 klasėje galite išspręskite problemas, kurias įveiksite tik po 4 metų! Kokie jūs geri bičiuliai!"

Norint naudoti Gauso metodą, pakanka 3 klasės lygio kai normalūs vaikai jau moka sudėti, dauginti ir dalyti 2-3 skaitmenų skaičius. Problemos kyla dėl suaugusių mokytojų, kurie „neįeina“, kaip paprastai paaiškinti paprasčiausius dalykus žmonių kalba, ne tik matematiniai... Nesugeba domėtis matematika ir visiškai atgrasyti net „gebančiųjų“.

Arba, kaip komentavo mano sūnus, „padaryk iš to didelį mokslą“.

Kaip į bendras atvejis) išsiaiškinkite, ant kurio numerio turėtumėte „išvynioti“ skaičių įrašą metodu Nr. 1?

Ką daryti, jei serialo narių skaičius yra nelyginis?

Kam paversti „Taisykle plius 1“ tai, ką vaikas gali tiesiog padaryti asimiliuoti net pirmoje klasėje, jei būtų išsiugdęs „skaičiaus pojūtį“, ir neprisiminė„skaičiuoti į dešimt“?

Ir galiausiai: kur dingo ZERO – puikus išradimas, kuriam daugiau nei 2000 metų ir kurio šiuolaikiniai matematikos mokytojai vengia naudoti?!

Gauso metodas, mano paaiškinimai

Su žmona šį „metodą“ paaiškinome savo vaikui, atrodo, dar prieš mokyklą...

Paprastumas vietoj sudėtingumo ar klausimų žaidimas – atsakymai

""Žiūrėk, čia yra skaičiai nuo 1 iki 100. Ką tu matai?"

Tai ne apie tai, ką vaikas mato. Triukas yra priversti jį atrodyti.

"Kaip galite juos sujungti?" Sūnus pagavo, kad tokie klausimai neužduodami „tiesiog taip“ ir reikia žiūrėti į klausimą „kažkaip kitaip, kitaip, nei jis paprastai daro“

Nesvarbu, ar vaikas iš karto pamato sprendimą, mažai tikėtina. Svarbu, kad jis nustojo bijoti žiūrėti, arba kaip aš sakau: „perkėlė užduotį“. Tai yra kelio į supratimą pradžia

"Kas lengviau: pridėti, pavyzdžiui, 5 ir 6, ar 5 ir 95?" Vadovaujantis klausimas... Bet juk bet koks mokymas nusileidžia tam, kad žmogus „vedamas“ iki „atsakymo“ – bet kokiu jam priimtinu būdu.

Šiame etape jau gali kilti spėlionių, kaip „sutaupyti“ skaičiuojant.

Viskas, ką padarėme, yra užuomina: „frontalinis, tiesinis“ skaičiavimo metodas nėra vienintelis įmanomas. Jei vaikas tai sutrumpino, vėliau jis sugalvos daug daugiau tokių metodų, nes tai įdomu!!! Ir tikrai išvengs matematikos „nesusipratimo“, nejaus jai pasibjaurėjimo. Jis laimėjo pergalę!

Jeigu atrado kūdikį kad pridėti skaičių poras, kurios sudaro šimtą, yra nereikšminga užduotis "aritmetinė progresija su skirtumu 1"- gana niūrus ir vaikui neįdomus dalykas - staiga suteikė jam gyvybę . Iš chaoso atsirado tvarka, ir tai visada entuziastinga: tokie mes esame!

Greitas klausimas: kodėl po vaiko įžvalgos jį vėl reikia įvaryti į sausų algoritmų rėmus, kurie šiuo atveju taip pat funkciškai nenaudingi?!

Kam kvailai perrašyti eilės numeriai sąsiuvinyje: kad net galintys neturėtų nė vienos galimybės suprasti? Žinoma, statistiškai, bet masinis švietimas yra orientuotas į „statistiką“ ...

Kur dingo nulis?

Ir vis dėlto, sudėjus skaičius, kurie sudaro 100, protui yra daug priimtiniau nei duoti 101 ...

"Mokyklos Gauso metodas" reikalauja būtent to: be proto sulankstyti vienodu atstumu nuo skaičių poros progresijos centro, Nesvarbu kas.

O jei pažiūrėsi?

Vis tiek nulis didžiausias išradimasžmonija, kuriai daugiau nei 2000 metų. O matematikos mokytojai ir toliau jį ignoruoja.

Daug lengviau skaičių seriją, prasidedančią nuo 1, paversti seka, prasidedančia nuo 0. Suma nepasikeis, tiesa? Reikia nustoti „mąstyti vadovėliuose“ ir pradėti ieškoti... Ir pamatyti, kad poras, kurių suma yra 101, galima visiškai pakeisti poromis, kurių suma yra 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kaip panaikinti „taisyklę plius 1“?

Tiesą sakant, pirmą kartą apie tokią taisyklę išgirdau iš „YouTube“ mokytojo ...

Ką vis tiek daryti, kai reikia nustatyti serijos narių skaičių?

Žiūrint į seką:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

o kai visiškai pavargęs, tada paprastesnėje eilėje:

1, 2, 3, 4, 5

ir aš suprantu: jei atimsi vieną iš 5, gauni 4, bet man visiškai aišku pamatyti 5 skaičiai! Todėl jūs turite pridėti vieną! Skaičių pojūtis išsivystė pradinė mokykla, siūlo: net jei serijos narių yra visas „Google“ (nuo 10 iki šimtosios galios), modelis išliks toks pat.

Velniop taisykles?..

Taip kad per porą – trejus metus užpildyti visą tarpą tarp kaktos ir pakaušio ir nustoti galvoti? Kaip užsidirbti duonos ir sviesto? Juk lygiomis gretomis judame į skaitmeninės ekonomikos erą!

Daugiau apie Gauso mokyklinį metodą: „kam iš to daryti mokslą? ..“

Ne veltui įdėjau ekrano kopiją iš sūnaus užrašų knygelės...

"Kas buvo pamokoje?"

"Na, aš iš karto suskaičiavau, pakėliau ranką, bet ji nepaklausė. Todėl, kol kiti skaičiavo, pradėjau daryti DZ rusiškai, kad negaiščiau laiko. Tada, kai kiti baigė rašyti (?? ?), ji pakvietė mane į lentą. Aš atsakiau."

„Teisingai, parodyk, kaip išsprendei“, – pasakė mokytojas. Aš parodžiau. Ji pasakė: „Negerai, reikia skaičiuoti, kaip aš parodžiau!

"Gerai, kad nepadėjau dviračio. Ir priverčiau mane užrašyti "sprendimo procesą" savaip į sąsiuvinį. Kam iš to daryti didelį mokslą? ..

Pagrindinis matematikos mokytojo nusikaltimas

vargu ar po to tą atvejį Carlas Gaussas patyrė didelę pagarbą mokyklos matematikos mokytojui. Bet jei jis žinotų kaip to mokytojo pasekėjai iškreipti metodo esmę... jis būtų riaumojęs iš pasipiktinimo ir per Pasaulio intelektinės nuosavybės organizaciją WIPO laimėjęs draudimą naudoti savo geras vardas mokykliniuose vadovėliuose!

Ką pagrindinė klaida mokyklos požiūris? Arba, kaip aš sakiau, nusikaltimas mokyklos mokytojai matematika vs vaikai?

Nesusipratimo algoritmas

Ką veikia mokyklų metodininkai, kurių didžioji dauguma nemoka mąstyti?

Sukurkite metodus ir algoritmus (žr.). tai gynybinė reakcija, apsauganti mokytojus nuo kritikos („Viskas daroma pagal...“), o vaikus nuo supratimo. Ir taip – iš noro kritikuoti mokytojus!(Antrasis biurokratinės „išminties“ vedinys, mokslinis požiūris į problemą). Žmogus, kuris nesuvokia prasmės, kaltins savo nesusipratimą, o ne mokyklos sistemos kvailumą.

Kas vyksta: tėvai kaltina vaikus, o mokytojus... tas pats vaikams, kurie „nesupranta matematikos!

Ar tu nuovokus?

Ką padarė mažasis Karlas?

Visiškai netradiciškai priartėjo prie šabloninės užduoties. Tai yra Jo požiūrio kvintesencija. tai pagrindinis dalykas, kurio reikia mokyti mokykloje, yra mąstyti ne vadovėliais, o galva. Žinoma, yra ir instrumentinis komponentas, kurį galima panaudoti... ieškant paprastesnis ir veiksmingi metodai sąskaitas.

Gauso metodas pagal Vilenkiną

Mokykloje jie moko, kad Gauso metodas yra

poromis rasti skaičių sumas vienodu atstumu nuo skaičių eilutės kraštų, būtinai pradedant nuo kraštų!

rasti tokių porų skaičių ir pan.

ką, jei elementų skaičius eilutėje yra nelyginis, kaip ir užduotyje, kuri buvo paskirta sūnui? ..

Šiuo atveju „gudrybė“ yra ta turėtumėte rasti „papildomą“ serijos numerį ir pridėkite prie porų sumos. Mūsų pavyzdyje šis skaičius yra 260.

Kaip atrasti? Visų skaičių porų perrašymas į sąsiuvinį!(Todėl mokytojas privertė vaikus dirbti šį kvailą darbą, bandydamas Gauso metodu išmokyti „kūrybiškumo“... Ir štai kodėl toks „metodas“ praktiškai nepritaikomas didelėms duomenų eilutėms, Ir štai kodėl tai ne Gauso metodas metodas).

Šiek tiek kūrybiškumo mokyklos rutinoje...

Sūnus pasielgė kitaip.

Iš pradžių jis pastebėjo, kad lengviau padauginti skaičių 500, o ne 520.

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Tada jis suprato: žingsnių skaičius pasirodė nelyginis: 500 / 20 = 25.

Tada jis prie serijos pradžios pridėjo NULIS (nors buvo galima atmesti paskutinį serijos terminą, kuris taip pat užtikrintų paritetą) ir pridėjo skaičius, iš viso gaudamas 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 žingsniai yra 13 porų „penkių šimtų“: 13 x 500 = 6500 ..

Jei išmestume paskutinę serijos narę, tada bus 12 porų, tačiau nepamirškime prie skaičiavimo rezultato pridėti „išmestų“ penkių šimtų. Tada: (12 x 500) + 500 = 6500!

Lengva, tiesa?

Tačiau praktiškai tai darosi dar lengviau, o tai leidžia 2-3 minutes skirti nuotoliniam tyrimui rusų kalba, o likusios „skaičiuoja“. Be to, išlaikomas metodikos žingsnių skaičius: 5, o tai neleidžia kritikuoti požiūrio už nemoksliškumą.

Akivaizdu, kad šis metodas yra paprastesnis, greitesnis ir universalesnis pagal Metodo stilių. Bet... mokytoja ne tik nepagyrė, bet ir privertė perrašyti „teisingai“ (žr. ekrano kopiją). Tai reiškia, kad ji desperatiškai bandė užgniaužti kūrybinį impulsą ir gebėjimą suprasti matematiką! Matyt, norėdama vėliau įsidarbinti mokytoju... Ji užpuolė ne tą...

Viską, ką taip ilgai ir nuobodžiai aprašiau, galima paaiškinti normalus vaikas maksimalus pusvalandis. Kartu su pavyzdžiais.

Ir kad jis niekada to nepamirštų.

Ir bus žingsnis supratimo link...ne tik matematika.

Pripažinkite: kiek kartų per savo gyvenimą pridėjote Gauso metodu? Ir aš niekada!

Bet supratimo instinktas, kuri vystosi (arba užgęsta) mokymosi procese matematiniai metodai mokykloje... O!.. Tai tikrai nepakeičiamas dalykas!

Ypač visuotinės skaitmenizacijos amžiuje, į kurį tyliai įžengėme griežtai vadovaujant partijai ir vyriausybei.

Keletas žodžių mokytojų gynybai...

Nesąžininga ir neteisinga visą atsakomybę už tokį mokymo stilių priskirti tik mokyklos mokytojams. Sistema veikia.

Kai kurie mokytojai supranta to, kas vyksta absurdą, bet ką daryti? Švietimo įstatymas, federaliniai švietimo standartai, metodai, pamokų kortelės... Viskas turi būti daroma "pagal ir remiantis" ir viskas turi būti dokumentuota. Atsitraukite – stovėjo eilėje dėl atleidimo. Nebūkime veidmainiai: Maskvos mokytojų atlyginimas labai geras... Jei atleis, kur dėtis?..

Todėl ši svetainė ne apie švietimą. Jis yra apie individualus išsilavinimas, tik galimas būdas išeiti iš minios Z karta ...

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu. Tarkime, kad turime rasti sistemos sprendimą n tiesines lygtis su n nežinomi kintamieji
kurios pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirma, x 1 iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios, tada x2 visų lygčių, pradedant trečiąja ir taip toliau, kol paskutinėje lygtyje lieka tik nežinomas kintamasis x n. Toks sistemos lygčių transformavimo procesas, skirtas nuosekliai pašalinti nežinomus kintamuosius, vadinamas tiesioginis Gauso metodas. Baigęs smūgis į priekį Rastas Gauso metodas iš paskutinės lygties x n, apskaičiuojama ši vertė iš priešpaskutinės lygties xn-1, ir taip toliau, randama nuo pirmosios lygties x 1. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti pertvarkydami sistemos lygtis. Pašalinkite nežinomą kintamąjį x 1 nuo visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, pirmąją lygtį, padaugintą iš, pridėkite prie antrosios sistemos lygties, pirmąją, padaugintą iš, pridėkite prie trečiosios lygties ir tt n-oji pridėkite pirmąją lygtį, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur .

Jei išreikštume, gautume tą patį rezultatą x 1 per kitus nežinomus kintamuosius pirmoje sistemos lygtyje ir gauta išraiška buvo pakeista į visas kitas lygtis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukti iš visų lygčių, pradedant antrąja.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su gautos sistemos dalimi, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, pridėkite antrąjį, padaugintą iš, prie trečiosios sistemos lygties, antrąjį, padaugintą iš, pridėkite prie ketvirtosios lygties ir tt n-oji pridėkite antrą lygtį, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur . Taigi kintamasis x2 neįtraukti iš visų lygčių, pradedant trečiąja.

Toliau pereiname prie nežinomybės pašalinimo x 3, o su paveiksle pažymėta sistemos dalimi elgiamės panašiai

Taigi tęsiame tiesioginę Gauso metodo eigą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinę Gauso metodo eigą: apskaičiuojame x n iš paskutinės lygties kaip , naudojant gautą reikšmę x n rasti xn-1 iš priešpaskutinės lygties ir pan., randame x 1 nuo pirmosios lygties.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Vienas iš paprasčiausių būdų išspręsti tiesinių lygčių sistemą yra metodas, pagrįstas determinantų ( Cramerio taisyklė). Jo privalumas tas, kad leidžia iš karto įrašyti sprendimą, ypač patogu tais atvejais, kai sistemos koeficientai yra ne skaičiai, o kažkokie parametrai. Jo trūkumas yra skaičiavimų sudėtingumas esant dideliam lygčių skaičiui, be to, Cramerio taisyklė nėra tiesiogiai taikoma sistemoms, kuriose lygčių skaičius nesutampa su nežinomųjų skaičiumi. Tokiais atvejais jis dažniausiai naudojamas Gauso metodas.

Vadinamos tiesinių lygčių sistemos, turinčios tą patį sprendinių rinkinį lygiavertis. Akivaizdu, kad tiesinės sistemos sprendinių aibė nepasikeis, jei kurios nors lygtys bus sukeistos, arba vieną iš lygčių padauginus iš kokio nors ne nulio skaičiaus, arba vieną lygtį pridėjus prie kitos.

Gauso metodas (nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas) slypi tame, kad elementariųjų transformacijų pagalba sistema redukuojama į lygiavertę pakopinę sistemą. Pirma, naudojant 1 lygtį, x 1 visų vėlesnių sistemos lygčių. Tada, naudodami 2-ąją lygtį, pašaliname x 2 iš 3 ir visos vėlesnės lygtys. Šis procesas, vadinamas tiesioginis Gauso metodas, tęsiasi tol, kol kairėje paskutinės lygties pusėje lieka tik vienas nežinomasis x n. Po to jis gaminamas Gauso reversas– išspręsdami paskutinę lygtį, randame x n; po to, naudodami šią reikšmę, apskaičiuojame iš priešpaskutinės lygties x n-1 ir kt. Paskutinį kartą randame x 1 iš pirmosios lygties.

Gauso transformacijas patogu atlikti atliekant transformacijas ne pačiomis lygtimis, o jų koeficientų matricomis. Apsvarstykite matricą:

paskambino išplėstinė matricų sistema, nes be pagrindinės sistemos matricos joje yra laisvųjų narių stulpelis. Gauso metodas pagrįstas pagrindinės sistemos matricos suvedimu į trikampę formą (arba trapecijos formą nekvadratinių sistemų atveju), naudojant išplėstinės sistemos matricos elementariąsias eilučių transformacijas (!).

5.1 pavyzdys. Išspręskite sistemą Gauso metodu:

Sprendimas. Išrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami pirmą eilutę, likusius elementus nustatysime į nulį:

pirmojo stulpelio 2, 3 ir 4 eilutėse gauname nulius:

Dabar mums reikia, kad visi antrojo stulpelio, esančio po 2-ąja eilute, elementai būtų lygūs nuliui. Norėdami tai padaryti, antrą eilutę galite padauginti iš -4/7 ir pridėti prie 3 eilutės. Tačiau, kad nesusitvarkytume su trupmenomis, antrojo stulpelio 2-oje eilutėje sukursime vienetą ir tik

Dabar, norėdami gauti trikampę matricą, turite nuluoti 3 stulpelio ketvirtos eilutės elementą, tam galite padauginti trečią eilutę iš 8/54 ir pridėti ją prie ketvirtosios. Tačiau, kad nesusidurtume su trupmenomis, sukeisime 3 ir 4 eilutes bei 3 ir 4 stulpelius ir tik po to iš naujo nustatysime nurodytą elementą. Atkreipkite dėmesį, kad pertvarkant stulpelius atitinkami kintamieji sukeičiami ir tai reikia atsiminti; kitų elementariųjų transformacijų su stulpeliais (sudėti ir dauginti iš skaičiaus) atlikti negalima!

Paskutinė supaprastinta matrica atitinka lygčių sistemą, lygiavertę pradinei:

Iš čia, naudojant atvirkštinę Gauso metodo eigą, randame iš ketvirtosios lygties x 3 = -1; nuo trečio x 4 = -2, nuo antrojo x 2 = 2 ir iš pirmosios lygties x 1 = 1. Matricos formoje atsakymas rašomas kaip

Svarstėme atvejį, kai sistema yra apibrėžta, t.y. kai yra tik vienas sprendimas. Pažiūrėkime, kas atsitiks, jei sistema yra nenuosekli arba neapibrėžta.

5.2 pavyzdys. Ištirkite sistemą naudodami Gauso metodą:

Sprendimas. Išrašome ir transformuojame padidintą sistemos matricą

Rašome supaprastintą lygčių sistemą:

Čia paskutinėje lygtyje paaiškėjo, kad 0=4, t.y. prieštaravimas. Todėl sistema neturi sprendimo, t.y. ji yra nesuderinamas. à

5.3 pavyzdys. Ištirkite ir išspręskite sistemą naudodami Gauso metodą:

Sprendimas. Išrašome ir transformuojame išplėstinę sistemos matricą:

Dėl transformacijų paskutinėje eilutėje buvo gauti tik nuliai. Tai reiškia, kad lygčių skaičius sumažėjo vienu:

Taigi po supaprastinimų lieka dvi lygtys, o keturi nežinomieji, t.y. du nežinomi „papildomi“. Tegul „perteklinis“, arba, kaip sakoma, laisvieji kintamieji, valia x 3 ir x keturi . Tada

Darant prielaidą x 3 = 2a ir x 4 = b, mes gauname x 2 = 1–a ir x 1 = 2b–a; arba matricos pavidalu

Taip parašytas sprendimas vadinamas bendras, kadangi, nurodant parametrus a ir b įvairios reikšmės, galite aprašyti viską galimi sprendimai sistemos. a