Kvadratinių lygčių sprendimas. Tiesinių lygčių sprendimas su pavyzdžiais Kvadratinės lygties šaknys

Kvadratinės lygtys mokomos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.

Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a, b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, atkreipkite dėmesį, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. turėti tiksliai vieną šaknį;
3. Jie turi dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių lygčių ir tiesinių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.

Diskriminuojantis

Tegu kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac.

Šią formulę turite žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:

1. Jeigu D< 0, корней нет;
2. Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
3. Jei D > 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis žmonių tiki. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:

Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:

1. x 2 – 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Išrašykime pirmosios lygties koeficientus ir raskime diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Taigi diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame panašiai:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė likusi lygtis yra tokia:
a = 1; b = –6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantas yra nulis – šaknis bus viena.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienos lygties koeficientai buvo užrašyti. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus, bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.

Beje, jei susigausite, po kurio laiko nereikės visų koeficientų užrašinėti. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.

Kvadratinės lygties šaknys

Dabar pereikime prie paties sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:

Pagrindinė kvadratinės lygties šaknų formulė

Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris ir bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = –3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:

Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda pakeičiant neigiamus koeficientus į formulę. Čia vėl padės aukščiau aprašyta technika: pažiūrėkite į formulę pažodžiui, užrašykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratysite klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi, pristatykime naują koncepciją:

Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.

Žinoma, galimas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai lygūs nuliui: b = c = 0. Šiuo atveju lygtis įgauna formą ax 2 = 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknį: x = 0.

Panagrinėkime likusius atvejus. Tegu b = 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį formos ax 2 + c = 0. Truputį transformuokime:

Kadangi aritmetinė kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik tada, kai (-c /a) ≥ 0. Išvada:

1. Jeigu nepilnoje kvadratinėje lygtyje ax 2 + c = 0 tenkinama nelygybė (−c /a) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
2. Jei (-c /a)< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminanto neprireikė – neišsamiose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingų skaičiavimų. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c /a) ≥ 0. Pakanka išreikšti reikšmę x 2 ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei jis neigiamas, šaknų iš viso nebus.

Dabar pažiūrėkime į ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka įskaičiuoti daugianarį:

Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustų

Produktas lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, pažvelkime į kelias iš šių lygčių:

Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = –1,5.

Lygčių naudojimas yra plačiai paplitęs mūsų gyvenime. Jie naudojami atliekant daugybę skaičiavimų, statant konstrukcijas ir net sportuojant. Žmogus senovėje naudojo lygtis, o nuo to laiko jų vartojimas tik išaugo. Sprendžiant devintos klasės lygtis reikia naudoti daugybę skirtingų sprendimo būdų: grafinius, algebrinius sudėjimo metodus, naujų kintamųjų įvedimą, funkcijų naudojimą ir lygčių konvertavimą iš vieno tipo į paprastesnę ir daug daugiau. Lygties sprendimo būdas parenkamas remiantis pradiniais duomenimis, todėl geriausia metodus aiškiai suprasti naudojant pavyzdžius.

Tarkime, kad gauname tokios formos lygtį:

\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]

Norėdami išspręsti šią lygtį, padalykite kairę ir dešinę puses iš \

\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]

\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]

Gautos dvi šaknys yra šios lygties sprendimas.

Išspręskime lygtį:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

Būtina rasti visų šios lygties šaknų sumą. Norėdami tai padaryti, turite pakeisti:

Šios lygties šaknis sudarys 2 skaičiai: -1 ir 4. Todėl:

\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatrix)\]

Visų 3 šaknų suma yra lygi 4, tai bus atsakymas į šios lygties sprendimą.

Kur galiu internete išspręsti lygtis 9 klasei?

Galite išspręsti lygtį mūsų svetainėje https://site. Nemokamas internetinis sprendėjas leis per kelias sekundes išspręsti bet kokio sudėtingumo internetines lygtis. Viskas, ką jums reikia padaryti, tai tiesiog įvesti savo duomenis į sprendiklį. Taip pat galite peržiūrėti vaizdo įrašo instrukcijas ir sužinoti, kaip išspręsti lygtį mūsų svetainėje. Ir jei vis dar turite klausimų, galite juos užduoti mūsų VKontakte grupėje http://vk.com/pocketteacher. Prisijunkite prie mūsų grupės, mes visada džiaugiamės galėdami jums padėti.

Prisiminkime pagrindines laipsnių savybes. Tegul a > 0, b > 0, n, m yra bet kokie realieji skaičiai. Tada
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, jei a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m, jei 0

Praktikoje dažnai naudojamos y = a x formos funkcijos, kur a yra duotas teigiamas skaičius, x yra kintamasis. Tokios funkcijos vadinamos orientacinis. Šis pavadinimas paaiškinamas tuo, kad eksponentinės funkcijos argumentas yra rodiklis, o eksponento bazė yra duotas skaičius.

Apibrėžimas. Eksponentinė funkcija yra y = a x formos funkcija, kur a yra duotas skaičius, a > 0, \(a \neq 1\)

Eksponentinė funkcija turi šias savybes

1) Eksponentinės funkcijos apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.
Ši savybė išplaukia iš to, kad laipsnis a x, kai a > 0, yra apibrėžtas visiems realiesiems skaičiams x.

2) Eksponentinės funkcijos reikšmių rinkinys yra visų teigiamų skaičių rinkinys.
Norėdami tai patikrinti, turite parodyti, kad lygtis a x = b, kur a > 0, \(a \neq 1\), neturi šaknų, jei \(b \leq 0\), ir turi bet kurio b > šaknį. 0 .

3) Eksponentinė funkcija y = a x didėja visų realiųjų skaičių aibėje, jei a > 1, ir mažėja, jei 0. Tai išplaukia iš (8) ir (9) laipsnio savybių.

Sukurkime eksponentinių funkcijų y = a x grafikus, kai a > 0 ir 0. Naudodami nagrinėjamas savybes pažymime, kad funkcijos y = a x grafikas, kai a > 0 eina per tašką (0; 1) ir yra aukščiau. Jaučio ašis.
Jei x 0.
Jei x > 0 ir |x| didėja, grafikas greitai kyla.

Funkcijos y = a x grafikas esant 0 Jei x > 0 ir didėja, tai grafikas greitai priartėja prie Ox ašies (jos nekertant). Taigi, Ox ašis yra horizontali grafiko asimptotė.
Jei x

Eksponentinės lygtys

Panagrinėkime kelis eksponentinių lygčių pavyzdžius, t.y. lygtys, kurių eksponente yra nežinomasis. Sprendžiant eksponentines lygtis dažnai reikia išspręsti lygtį a x = a b, kur a > 0, \(a \neq 1\), x yra nežinomas. Ši lygtis išspręsta naudojant galios savybę: laipsniai su ta pačia baze a > 0, \(a \neq 1\) yra lygūs tada ir tik tada, kai jų eksponentai yra lygūs.

Išspręskite lygtį 2 3x 3 x = 576
Kadangi 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, lygtį galima parašyti kaip 8 x 3 x = 24 2 arba 24 x = 24 2, iš kurios x = 2.
Atsakymas x = 2

Išspręskite lygtį 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Iš kairėje pusėje esančių skliaustų paėmę bendrą koeficientą 3 x - 2, gauname 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
iš kur 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Atsakymas x = 2

Išspręskite lygtį 3 x = 7 x
Kadangi \(7^x \neq 0 \) , lygtis gali būti parašyta tokia forma \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), iš kurios \(\left(\frac(3) )( 7) \dešinė) ^x = 1 \), x = 0
Atsakymas x = 0

Išspręskite lygtį 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Pakeitus 3 x = t, ši lygtis redukuojama į kvadratinę lygtį t 2 - 4t - 45 = 0. Išspręsdami šią lygtį, randame jos šaknis: t 1 = 9, t 2 = -5, iš kur 3 x = 9, 3 x = -5 .
Lygtis 3 x = 9 turi šaknį x = 2, o lygtis 3 x = -5 neturi šaknų, nes eksponentinė funkcija negali turėti neigiamų verčių.
Atsakymas x = 2

Išspręskite lygtį 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Parašykime lygtį į formą
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, iš kur
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Atsakymas x = 2

Išspręskite lygtį 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Kadangi 3 > 0, \(3 \neq 1\), pradinė lygtis yra lygi |x-1| = |x+3|
Padėdami šią lygtį kvadratu, gauname jos išvadą (x - 1) 2 = (x + 3) 2, iš kurios
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Patikrinimas rodo, kad x = -1 yra pradinės lygties šaknis.
Atsakymas x = -1

Lygtis su vienu nežinomuoju, kuri, atidarius skliaustus ir suvedus panašius terminus, įgauna formą

ax + b = 0, kur a ir b yra savavališki skaičiai, vadinamas tiesinė lygtis su vienu nepažįstamu. Šiandien išsiaiškinsime, kaip išspręsti šias tiesines lygtis.

Pavyzdžiui, visos lygtys:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) – tiesinis.

Nežinomo reikšmė, kuri lygtį paverčia tikrąja lygybe, vadinama sprendimas arba lygties šaknis .

Pavyzdžiui, jei lygtyje 3x + 7 = 13 vietoj nežinomo x pakeičiame skaičių 2, gauname teisingą lygybę 3 2 +7 = 13. Tai reiškia, kad reikšmė x = 2 yra sprendinys arba šaknis lygties.

O reikšmė x = 3 nepaverčia lygties 3x + 7 = 13 tikrąja lygybe, nes 3 2 +7 ≠ 13. Tai reiškia, kad reikšmė x = 3 nėra lygties sprendinys ar šaknis.

Bet kokių tiesinių lygčių sprendimas redukuojasi iki formos lygčių sprendimo

ax + b = 0.

Perkelkime laisvąjį terminą iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeitę ženklą priešais b į priešingą, gausime

Jei a ≠ 0, tai x = ‒ b/a .

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį 3x + 2 =11.

Perkelkime 2 iš kairės lygties pusės į dešinę, pakeitę ženklą priešais 2 į priešingą, gausime
3x = 11–2.

Tada atlikime atimtį
3x = 9.

Norėdami rasti x, turite padalyti sandaugą iš žinomo koeficiento, ty
x = 9:3.

Tai reiškia, kad reikšmė x = 3 yra lygties sprendimas arba šaknis.

Atsakymas: x = 3.

Jei a = 0 ir b = 0, tada gauname lygtį 0x = 0. Ši lygtis turi be galo daug sprendinių, nes bet kurį skaičių padauginus iš 0 gauname 0, bet b taip pat lygus 0. Šios lygties sprendimas yra bet koks skaičius.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį 5 (x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Išplėskime skliaustus:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Štai keletas panašių terminų:
0x = 0.

Atsakymas: x – bet koks skaičius.

Jei a = 0 ir b ≠ 0, tada gauname lygtį 0x = - b. Ši lygtis neturi sprendinių, nes bet kurį skaičių padauginus iš 0 gauname 0, bet b ≠ 0.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį x + 8 = x + 5.

Sugrupuokime terminus, kurių kairėje pusėje yra nežinomųjų, o dešinėje – laisvus terminus:
x – x = 5 – 8.

Štai keletas panašių terminų:
0х = ‒ 3.

Atsakymas: nėra sprendimų.

Įjungta figūra 1 parodyta tiesinės lygties sprendimo schema

Paruoškime bendrą lygčių su vienu kintamuoju sprendimo schemą. Panagrinėkime 4 pavyzdžio sprendimą.

4 pavyzdys. Tarkime, kad turime išspręsti lygtį

1) Padauginkite visus lygties narius iš mažiausio bendro vardiklių kartotinio, lygaus 12.

2) Sumažinus gauname
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Norėdami atskirti terminus, kuriuose yra nežinomų ir laisvų terminų, atidarykite skliaustus:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Vienoje dalyje sugrupuokime terminus, kuriuose yra nežinomųjų, o kitoje - laisvuosius:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = ‒ 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Pateiksime panašius terminus:
- 22x = -154.

6) Padalinkite iš – 22, gauname
x = 7.

Kaip matote, lygties šaknis yra septyni.

Paprastai tokie lygtis galima išspręsti naudojant šią schemą:

a) perkelkite lygtį į sveikąjį skaičių;

b) atidarykite skliaustus;

c) sugrupuokite terminus, kuriuose yra nežinomasis vienoje lygties dalyje, o laisvuosius – kitoje;

d) atsivesti panašius narius;

e) išspręskite aх = b formos lygtį, kuri gauta atvedus panašius terminus.

Tačiau ši schema nėra būtina kiekvienai lygčiai. Sprendžiant daug paprastesnių lygčių, reikia pradėti ne nuo pirmos, o nuo antrosios ( Pavyzdys. 2), trečias ( Pavyzdys. 13) ir net nuo penktojo etapo, kaip nurodyta 5 pavyzdyje.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2x = 1/4.

Raskite nežinomą x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

Pažvelkime į kai kurių tiesinių lygčių, rastų pagrindiniame valstybiniame egzamine, sprendimą.

6 pavyzdys. Išspręskite lygtį 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Atsakymas: - 0,125

7 pavyzdys. Išspręskite lygtį – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Atsakymas: 2.3

8 pavyzdys. Išspręskite lygtį

3 (3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

9 pavyzdys. Raskite f(6), jei f (x + 2) = 3 7

Sprendimas

Kadangi turime rasti f (6), ir mes žinome f (x + 2),
tada x + 2 = 6.

Išsprendžiame tiesinę lygtį x + 2 = 6,
gauname x = 6 – 2, x = 4.

Jei x = 4, tada
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Atsakymas: 27.

Jei vis dar turite klausimų ar norite nuodugniau suprasti lygčių sprendimą, užsiregistruokite į mano pamokas TVARKARAŠYBĖJE. Mielai jums padėsiu!

„TutorOnline“ taip pat rekomenduoja žiūrėti naują vaizdo įrašą, kurį parašė mūsų dėstytojas Olga Aleksandrovna, kuri padės suprasti tiek tiesines lygtis, tiek kitas.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.