Trigonometriskās formulas: kosinuss, sinuss un dubultleņķa tangenss. Trigonometriskās formulas: dubultleņķa kosinuss, sinuss un tangenss Dubultā leņķa sinusa formulas atvasināšana

Trigonometrijā daudzas formulas ir vieglāk atvasināt nekā iegaumēt. Dubultā leņķa kosinuss ir brīnišķīga formula! Tas ļauj iegūt formulas grādu samazināšanai un formulas pusleņķiem.

Tātad, mums ir nepieciešams dubultā leņķa kosinuss un trigonometriskā vienība:

Tie ir pat līdzīgi: dubultā leņķa kosinusa formulā tā ir atšķirība starp kosinusa un sinusa kvadrātiem, bet trigonometriskajā vienībā tā ir to summa. Ja kosinusu izsakām no trigonometriskās vienības:

un aizstājot to dubultā leņķa kosinusā, mēs iegūstam:

Šī ir vēl viena dubultā leņķa kosinusa formula:

Šī formula ir atslēga reducēšanas formulas iegūšanai:

Tātad sinusa pakāpes samazināšanas formula ir:

Ja tajā alfa leņķis tiek aizstāts ar pusleņķi alfa uz pusēm un dubultleņķis divi alfa tiek aizstāts ar alfa leņķi, tad mēs iegūstam sinusa pusleņķa formulu:

Tagad mēs varam izteikt sinusu no trigonometriskās vienības:

Aizstāsim šo izteiksmi dubultā leņķa kosinusa formulā:

Mēs saņēmām vēl vienu dubultā leņķa kosinusa formulu:

Šī formula ir atslēga, lai atrastu formulu kosinusa jaudas samazināšanai un kosinusa pusleņķa samazināšanai.

Tādējādi kosinusa pakāpes samazināšanas formula ir:

Ja aizstājam α ar α/2 un 2α ar α, mēs iegūstam kosinusa pusargumenta formulu:

Tā kā tangenss ir sinusa un kosinusa attiecība, tangensa formula ir šāda:

Kotangenss ir kosinusa un sinusa attiecība. Tāpēc kotangenta formula ir šāda:

Protams, trigonometrisko izteiksmju vienkāršošanas procesā nav jēgas katru reizi atvasināt formulas pusleņķim vai samazināt grādu. Daudz vieglāk ir nolikt priekšā papīra lapu ar formulām. Un vienkāršošana virzīsies ātrāk, un vizuālā atmiņa ieslēgs iegaumēšanu.

Bet joprojām ir vērts šīs formulas iegūt vairākas reizes. Tad būsi pilnīgi pārliecināts, ka eksāmena laikā, kad nav iespējams izmantot apkrāptu lapu, tos viegli dabūsi, ja radīsies tāda nepieciešamība.

Visbiežāk uzdotie jautājumi

Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai labas kvalitātes fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi, un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.

Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat? Atbilde Samaksāt par dokumentu var, to saņemot kurjeram, pēc diploma aizpildīšanas pareizības un noformēšanas kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā “Maksājums un piegāde”. Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas noteikumiem.

Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas tīmekļa vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt nodarbinātības problēmas vai pāriet uz labāk apmaksātu darbu. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par pasūtījumu brīdī, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.

Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Vispār jā. Šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā tika izveidota gandrīz pilnīga gandrīz visu valsts augstskolu izsniegto dokumentu datubāze un par dažādiem izdošanas gadiem. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties universitāti, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.

Ko darīt, ja dokumentā atrodat drukas kļūdas un kļūdas? Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek atklāta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, Jums ir tiesības neizņemt diplomu, bet Jums par konstatētajiem defektiem jāpaziņo personīgi kurjeram vai rakstiski, nosūtot e-pastu.
Mēs labosim dokumentu pēc iespējas ātrāk un nosūtīsim atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas mēs klientam pa e-pastu nosūtām topošā dokumenta maketu, lai pārbaudītu un apstiprinātu galīgo versiju. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu, mēs arī uzņemam papildu fotoattēlus un video (arī ultravioletajā gaismā), lai jums būtu skaidrs priekšstats par to, ko jūs galu galā saņemsiet.

Kas man jādara, lai jūsu uzņēmumā pasūtītu diplomu? Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko sertifikātu utt.), jums ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu vietnē vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs varētu jums nosūtīt pieteikuma veidlapu, kas jums jāaizpilda un jānosūta atpakaļ. mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.

Jaunākās atsauksmes

Torywild:

Nolēmu iegādāties jūsu uzņēmuma diplomu, kad pārcēlos uz dzīvi citā pilsētā un neatradu savu diplomu starp savām lietām. Bez viņa es nebūtu pieņemts labam, labi atalgotam darbam. Jūsu konsultants man apliecināja, ka šī informācija netiek izpausta, un neviens neatšķirs dokumentu no oriģināla. Šaubu nebija, taču nācās riskēt. Man patika, ka nav nepieciešama priekšapmaksa. Vispār diplomu saņēmu laicīgi un netiku apmānīts. Paldies!

Oksana Ivanovna:

Kad man nozaga diplomu, es biju šausmīgi sarūgtināts. Galu galā mani tieši tajā laikā atlaida, un tagad ir gandrīz neiespējami atrast labu darbu bez augstākās izglītības diploma. Par laimi, kaimiņš ieteica sazināties ar jūsu organizāciju. Sākumā biju skeptisks, bet nolēmu riskēt. Piezvanīju uzņēmuma vadītājai un izskaidroju savu situāciju. Un man ir paveicies! Viņi visu izdarīja nekavējoties, un, pats galvenais, viņi apsolīja neizpaust manu noslēpumu. Man bija bažas, vai tas, ka esmu iegādājies diplomu, neizpaudīsies vēlāk.

Maša Kutenkova:

Paldies par darbu! Es pasūtīju diplomu no 1991. gada. Kad viņi sāka kārtot dokumentus, izrādījās, ka ir maz pieredzes, un viņiem bija vajadzīgs arī papīrs, kas apliecina izglītību. Man tāda nebija, un priekšnieks to zināja, un viņa pati ieteica jūsu uzņēmumu (acīmredzot, es neesmu līdzīgs darbiniekam). Uz dokumenta viņa man norādīja detaļas - saka, kādos gados izmanto tinti vai tinti, paraksta biezumu utt. Paldies par rūpību un kvalitāti!

LenOK:

Izlasījis stāstus par kaunpilnām darbinieku atlaišanām, kuru diplomi tika drukāti uz krāsu printera, devos pieteikties augstskolā. Diemžēl nav budžeta, nav naudas, lai mācītos, un nav naudas, lai samaksātu par sesijām, tāpēc man bija jāriskē. Lai gan es ļoti priecājos, ka satiku jūsu uzņēmumu. Lai gan mani nepieņēma darbā ar jūsu diplomu praktiskās bloka neveiksmes dēļ, tā nav jūsu vaina. Tiklīdz es atradīšu jaunu vietu, es nekavējoties došos pie jums!

Džerijs Terijs:

Skatoties ar kādu mulsumu manu kolēģi izmeta no darba par viltotu diplomu, bija bail sekot viņa piemēram. Ja nebūtu krustmātes, kas pasūtīja no jums, es nebūtu riskējusi. Viņa apliecināja, ka šeit viss ir gludi un mans vārds būs visur, kur tas būs vajadzīgs. Man bija 4 dienas, lai visu izdarītu. Paldies par ātrumu - pabeidzām to 3, kā arī paspējām rūpīgi izpētīt dokumentu viltošanas metodes, taču jūsu veidlapa nav kvalificējama kā viltota, kas nozīmē, ka tā tiks piemērota oriģinālam.

Andrejs:

Es nekad nebūtu domājis, ka man būs jāpērk diploms. Pēc skolas mana meita devās strādāt uz Poliju, kad pēc 5 gadiem atgriezās, viņa gribēja dabūt darbu par apģērbu dizaineri vietējā modes namā. Bez diploma viņu neviens negribēja pieņemt darbā. Viņš saprata, ka, ja viņš neiegūs šo darbu, viņš atkal aizies. Vakaru pavadīju sērfojot internetā, un no rīta jau biju birojā ar meitas dokumentiem. Pēc nedēļas viņš viņai atņēma diplomu, un viņa beidzot palika strādāt savā pilsētā vēlamajā amatā. Jums nav ne jausmas, cik pateicīgs es jums esmu!

Saskaitīšanas formulas ļauj izteikt sin(2*a), cos(2*a) un tan(a) leņķa a trigonometrisko funkciju izteiksmē.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Šajās formulās ievietosim a = b. Rezultātā mēs iegūstam šādas identitātes:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Šīs identitātes sauc par dubultā leņķa formulām. Apskatīsim vairākus dubultā leņķa formulu izmantošanas piemērus.

1. piemērs. Atrodiet sin(2*a) vērtību, zinot, ka cos(a) = -0,8 un a ir 3. ceturkšņa leņķis. Risinājums:

Vispirms aprēķināsim grēku(a). Tā kā leņķis a ir trešā ceturtdaļa, sinuss trešajā ceturksnī būs negatīvs:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Izmantojot dubultā leņķa sinusa formulu, mēs iegūstam:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Atbilde: grēks(2*a) = 0,96.

2. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Risinājums:

Izņemsim sin(a)*cos(a) no iekavām. Mēs iegūstam:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Tagad izmantosim dubultā leņķa formulas:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*sin(4*a).

Atbilde: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Izmantojot dubultā leņķa formulas, varat iegūt šādas izteiksmes

1 — cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Dažreiz, risinot piemērus, ir ļoti ērti izmantot šīs formulas. Apsveriet šādu piemēru:

3. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi (1-cos(a))/(1+cos(a)). Risinājums:

Pielietosim iepriekš rakstītās formulas izteiksmēm (1-cos(a)) un (1+cos(a)). Lai to izdarītu, mēs vispirms attēlojam leņķi a šāda reizinājuma 2*(a/2) formā.

Pārveidojumu rezultātā mēs iegūstam:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Izmantojot pieskares definīciju, mēs iegūstam:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Atbilde: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

– noteikti būs uzdevumi par trigonometriju. Trigonometrija bieži vien nepatīk, jo ir nepieciešams piebāzt milzīgu skaitu sarežģītu formulu, kas ir pilnas ar sinusiem, kosinusiem, pieskarēm un kotangensiem. Vietne jau savulaik sniedza padomus, kā atcerēties aizmirstu formulu, izmantojot Eilera un Pīla formulu piemēru.

Un šajā rakstā mēs centīsimies parādīt, ka pietiek stingri zināt tikai piecas vienkāršas trigonometriskās formulas un iegūt vispārēju izpratni par pārējām un iegūt tās, ejot. Tas ir tāpat kā ar DNS: molekula neglabā pilnīgus gatavas dzīvās būtnes rasējumus. Drīzāk tajā ir norādījumi par tā salikšanu no pieejamajām aminoskābēm. Tātad trigonometrijā, zinot dažus vispārīgus principus, mēs iegūsim visas nepieciešamās formulas no neliela to formulu kopuma, kas jāpatur prātā.

Mēs paļausimies uz šādām formulām:

No sinusu un kosinusu summu formulām, zinot par kosinusa funkcijas paritāti un sinusa funkcijas dīvainību, b vietā aizstājot -b, iegūstam atšķirības formulas:

1. Starpības sinuss: grēks(a-b) = grēksacos(-b)+cosagrēks(-b) = grēksacosb-cosagrēksb
2. Atšķirības kosinuss: cos(a-b) = cosacos(-b)-grēksagrēks(-b) = cosacosb+grēksagrēksb

Ievietojot a = b vienās un tajās pašās formulās, iegūstam dubultleņķu sinusa un kosinusa formulas:

1. Dubultā leņķa sinuss: grēks2a = grēks(a+a) = grēksacosa+cosagrēksa = 2grēksacosa
2. Dubultā leņķa kosinuss: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grēksagrēksa = cos2 a-grēks2 a

Formulas citiem vairākiem leņķiem tiek iegūtas līdzīgi:

1. Trīskāršā leņķa sinuss: grēks3a = grēks(2a+a) = grēks2acosa+cos2agrēksa = (2grēksacosa)cosa+(cos2 a-grēks2 a)grēksa = 2grēksacos2 a+grēksacos2 a-grēks 3a = 3 grēksacos2 a-grēks 3a = 3 grēksa(1-grēks2 a)-grēks 3a = 3 grēksa-4grēks 3a
2. Trīskāršā leņķa kosinuss: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grēks2agrēksa = (cos2 a-grēks2 a)cosa-(2grēksacosa)grēksa = cos 3 a- grēks2 acosa-2grēks2 acosa = cos 3.a-3 grēks2 acosa = cos 3a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3.a-3 cosa

Pirms turpinām, apskatīsim vienu problēmu.
Ņemot vērā: leņķis ir akūts.
Atrodi tā kosinusu, ja
Viena studenta sniegtais risinājums:
Jo , Tas grēksa= 3,a cosa = 4.
(No matemātikas humora)

Tātad pieskares definīcija šo funkciju saista gan ar sinusu, gan kosinusu. Bet jūs varat iegūt formulu, kas pieskares saiti tikai ar kosinusu. Lai to iegūtu, mēs ņemam galveno trigonometrisko identitāti: grēks 2 a+cos 2 a= 1 un daliet to ar cos 2 a. Mēs iegūstam:

Tātad šīs problēmas risinājums būtu šāds:

(Tā kā leņķis ir akūts, tad, ekstrahējot sakni, tiek ņemta + zīme)

Summas tangensa formula ir vēl viena, kuru ir grūti atcerēties. Izvadīsim to šādi:

Uzreiz tiek parādīts un

No dubultleņķa kosinusa formulas var iegūt sinusa un kosinusa formulas pusleņķim. Lai to izdarītu, izmantojiet dubultā leņķa kosinusa formulas kreiso pusi:
cos2 a = cos 2 a-grēks 2 a
pievienojam vienu, un pa labi - trigonometrisko vienību, t.i. sinusa un kosinusa kvadrātu summa.
cos2a+1 = cos2 a-grēks2 a+cos2 a+grēks2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Izsakot cosa cauri cos2 a un veicot mainīgo lielumu maiņu, mēs iegūstam:

Zīme tiek ņemta atkarībā no kvadranta.

Līdzīgi, atņemot vienu no vienādības kreisās puses un sinusa un kosinusa kvadrātu summu no labās puses, mēs iegūstam:
cos2a-1 = cos2 a-grēks2 a-cos2 a-grēks2 a
2grēks 2 a = 1-cos2 a

Un visbeidzot, lai trigonometrisko funkciju summu pārvērstu produktā, mēs izmantojam šādu paņēmienu. Pieņemsim, ka sinusu summa ir jāatspoguļo kā reizinājums grēksa+grēksb. Ieviesīsim mainīgos x un y tā, lai a = x+y, b+x-y. Tad
grēksa+grēksb = grēks(x+y)+ grēks(x-y) = grēks x cos y+ cos x grēks y+ grēks x cos y- cos x grēks y=2 grēks x cos y. Tagad izteiksim x un y a un b izteiksmē.

Tā kā a = x+y, b = x-y, tad . Tāpēc

Jūs varat nekavējoties izņemt

1. Formula sadalīšanai sinusa un kosinusa produkti V summa: grēksacosb = 0.5(grēks(a+b)+grēks(a-b))

Mēs iesakām pašiem vingrināties un atvasināt formulas sinusu starpības un kosinusu summas un starpības pārvēršanai reizinājumā, kā arī sinusu un kosinusu reizinājumu sadalīšanai summā. Pabeidzot šos vingrinājumus, jūs rūpīgi apgūsit trigonometrisko formulu atvasināšanas prasmi un nepazudīsit pat visgrūtākajā ieskaitē, olimpiādē vai testēšanā.