आकृत्यांच्या क्षेत्रासाठी सामान्य सूत्र. सूत्र: खोलीचे क्षेत्रफळ आणि त्याचे परिमाण

पृथ्वीचे मोजमाप कसे करावे याचे ज्ञान पुरातन काळामध्ये दिसून आले आणि हळूहळू भूमितीच्या विज्ञानात आकार घेतला. ग्रीक भाषेतून, या शब्दाचे भाषांतर "जमीन सर्वेक्षण" असे केले जाते.

पृथ्वीच्या सपाट क्षेत्राच्या लांबी आणि रुंदीचे मोजमाप म्हणजे क्षेत्रफळ. गणितात, हे सहसा दर्शविले जाते लॅटिन अक्षरएस (इंग्रजी "स्क्वेअर" - "क्षेत्र", "चौरस") किंवा ग्रीक अक्षर σ (सिग्मा). S हे विमानावरील आकृतीचे क्षेत्रफळ किंवा शरीराच्या पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ दर्शवते आणि σ हे भौतिकशास्त्रातील वायरचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे. ही मुख्य चिन्हे आहेत, जरी इतर असू शकतात, उदाहरणार्थ, सामग्रीच्या ताकदीच्या क्षेत्रात, A हे प्रोफाइलचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र आहे.

गणना सूत्रे

साध्या आकृत्यांचे क्षेत्र जाणून घेतल्यास, आपण अधिक जटिल गोष्टींचे मापदंड शोधू शकता.. प्राचीन गणितज्ञांनी सूत्रे विकसित केली ज्याद्वारे त्यांची सहज गणना केली जाऊ शकते. अशा आकृत्या म्हणजे त्रिकोण, चतुर्भुज, बहुभुज, वर्तुळ.

जटिल सपाट आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, ते त्रिकोण, ट्रॅपेझॉइड किंवा आयत यांसारख्या अनेक साध्या आकारांमध्ये विभागले गेले आहे. मग गणितीय पद्धतीया आकृतीच्या क्षेत्रफळासाठी एक सूत्र काढा. अशीच पद्धत केवळ भूमितीमध्येच नाही तर वक्रांनी बांधलेल्या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी गणितीय विश्लेषणात देखील वापरली जाते.

त्रिकोण

चला सर्वात सोप्या आकाराने सुरुवात करूया - एक त्रिकोण. ते आयताकृती, समद्विभुज आणि समभुज आहेत. AB=a, BC=b आणि AC=c (∆ ABC) बाजू असलेला कोणताही ABC त्रिकोण घ्या. त्याचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, शालेय गणिताच्या अभ्यासक्रमातून ज्ञात सायन्स आणि कोसाइनचे प्रमेय आठवूया. सर्व गणिते सोडून, ​​आम्ही खालील सूत्रांवर पोहोचतो:

• S=√ - हेरॉनचे सूत्र सर्वांना माहीत आहे, जेथे p=(a+b+c)/2 - त्रिकोणाचा अर्धा परिमिती;
• S=a h/2, जेथे h ही उंची a कडे कमी केली जाते;
• S=a b (sin γ)/2, जेथे γ हा a आणि b बाजूंमधील कोन आहे;
• S=a b/2 जर ∆ ABC आयताकृती असेल (येथे a आणि b पाय आहेत);
• S=b² (sin (2 β))/2 जर ∆ ABC समद्विभुज असेल (येथे b हा “हिप्स” पैकी एक आहे, β हा त्रिकोणाच्या “हिप्स” मधील कोन आहे);
• S=a² √¾ जर ∆ ABC समभुज असेल (येथे a त्रिकोणाची बाजू आहे).

चतुर्भुज

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d सह एक चतुर्भुज ABCD असू द्या. अनियंत्रित 4-गोनचे S क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, आपल्याला त्यास कर्णरेषेने दोन त्रिकोणांमध्ये विभागणे आवश्यक आहे ज्यांचे क्षेत्रफळ S1 आणि S2 मध्ये आहेत. सामान्य केससमान नाही.

नंतर, सूत्रे वापरून, त्यांची गणना करा आणि त्यांना जोडा, म्हणजे S=S1+S2. तथापि, जर क्वाड एका विशिष्ट वर्गाशी संबंधित असेल, तर त्याचे क्षेत्र पूर्वी ज्ञात सूत्र वापरून शोधले जाऊ शकते:

• S=(a+c) h/2=e h, जर चतुर्भुज समलंब चौकोन असेल (येथे a आणि c हे पाया आहेत, e ही समलंब रेषा आहे, h ही समलंबाच्या पायांपैकी एकापर्यंत कमी केलेली उंची आहे. ;
• S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, जर ABCD समांतरभुज चौकोन असेल (येथे φ हा बाजू a आणि b मधील कोन आहे, h ही बाजू a कडे कमी केलेली उंची आहे, d1 आणि d2 कर्ण आहेत);
• S=a b=d²/2 जर ABCD आयत असेल (d एक कर्ण असेल);
• S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2 जर ABCD समभुज चौकोन असेल (a समभुज चौकोनाची बाजू आहे, φ त्याच्या कोपऱ्यांपैकी एक आहे, P परिमिती आहे);
• S=a²=P²/16=d²/2 जर ABCD हा वर्ग असेल.

बहुभुज

एन-गॉनचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी, गणितज्ञ त्याचे सर्वात सोप्या भागामध्ये विभाजन करतात समान आकडे- त्रिकोण, त्या प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ शोधा आणि नंतर त्यांना जोडा. परंतु जर बहुभुज नियमित वर्गाशी संबंधित असेल तर सूत्र वापरले जाते:

S \u003d a n h / 2 \u003d a² n / \u003d P² /, जेथे n ही बहुभुजाच्या शिरोबिंदूंची (किंवा बाजूंची) संख्या आहे, a ही n-gon ची बाजू आहे, P ही त्याची परिमिती आहे, h हे अपोथेम आहे , म्हणजे 90° च्या कोनात बहुभुजाच्या मध्यभागी त्याच्या एका बाजूने काढलेला खंड.

एक वर्तुळ

वर्तुळ हा एक परिपूर्ण बहुभुज आहे ज्याच्या असंख्य बाजू आहेत.. आपल्याला बहुभुज क्षेत्र सूत्रामध्ये उजवीकडील अभिव्यक्तीची मर्यादा अनंताकडे झुकणाऱ्या n बाजूंच्या संख्येसह मोजण्याची आवश्यकता आहे. या प्रकरणात, बहुभुजाची परिमिती त्रिज्या R च्या वर्तुळाच्या लांबीमध्ये बदलेल, जी आपल्या वर्तुळाची सीमा असेल आणि P=2 π R च्या बरोबरीची होईल. वरील सूत्रामध्ये ही अभिव्यक्ती बदला. आम्हाला मिळेल:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

या अभिव्यक्तीची मर्यादा n→∞ म्हणून शोधू. हे करण्यासाठी, आम्ही लक्षात घेतो की n→∞ साठी lim (cos (180°/n)) cos 0°=1 (lim हे मर्यादेचे चिन्ह आहे) आणि n→∞ साठी lim = lim आहे. 1/π च्या बरोबरी (आम्ही π rad=180° गुणोत्तर वापरून डिग्री मापाचे रेडियनमध्ये भाषांतर केले आहे आणि x→∞ वर पहिले उल्लेखनीय मर्यादा लिम (sin x)/x=1 लागू केले आहे). प्राप्त मूल्यांना S साठी शेवटच्या अभिव्यक्तीमध्ये बदलून, आम्ही सुप्रसिद्ध सूत्रावर पोहोचतो:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

युनिट्स

मापनाची प्रणाली आणि नॉन-सिस्टम एकके लागू केली जातात. सिस्टम युनिट्सना SI (सिस्टम इंटरनॅशनल) म्हणून संबोधले जाते. हे आहे चौरस मीटर(चौरस मीटर, m²) आणि त्यातून मिळवलेली एकके: mm², cm², km².

चौरस मिलिमीटर (मिमी²) मध्ये, उदाहरणार्थ, ते इलेक्ट्रिकल अभियांत्रिकीमध्ये वायरचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र मोजतात, स्क्वेअर सेंटीमीटर (सेमी²) मध्ये - स्ट्रक्चरल मेकॅनिक्समध्ये बीमचा क्रॉस सेक्शन, स्क्वेअर मीटर (m²) मध्ये ) - एक अपार्टमेंट किंवा घर, चौरस किलोमीटर (किमी²) मध्ये - भूगोलातील एक प्रदेश.

तथापि, मोजमापाची नॉन-सिस्टीमिक युनिट्स कधीकधी वापरली जातात, जसे की: विणकाम, एआर (अ), हेक्टर (हे) आणि एकर (एसी). आम्ही खालील गुणोत्तर देतो:

• 1 विणणे \u003d 1 a \u003d 100 m² \u003d 0.01 हेक्टर;
• 1 हेक्टर = 100 a = 100 एकर = 10000 m² = 0.01 km² = 2.471 म्हणून;
• 1 ac = 4046.856 m² = 40.47 a = 40.47 एकर = 0.405 हेक्टर.

चौरस भौमितिक आकार- द्विमितीय जागेत त्यांचे आकार दर्शविणारी संख्यात्मक मूल्ये. हे मूल्य सिस्टम आणि नॉन-सिस्टम युनिट्समध्ये मोजले जाऊ शकते. तर, उदाहरणार्थ, क्षेत्रफळाचे एक ऑफ-सिस्टम युनिट शंभर, एक हेक्टर आहे. जर मोजलेली पृष्ठभाग जमिनीचा तुकडा असेल तर ही स्थिती आहे. क्षेत्रफळाचे सिस्टीम युनिट लांबीचा चौरस आहे. एसआय प्रणालीमध्ये, सपाट पृष्ठभागाच्या क्षेत्रफळाचे एकक एक चौरस मीटर आहे हे लक्षात घेण्याची प्रथा आहे. CGS मध्ये, क्षेत्रफळाचे एकक चौरस सेंटीमीटरमध्ये व्यक्त केले जाते.

भूमिती आणि क्षेत्र सूत्रे अतूटपणे जोडलेली आहेत. हे कनेक्शन या वस्तुस्थितीत आहे की सपाट आकृत्यांच्या क्षेत्रांची गणना त्यांच्या अनुप्रयोगावर तंतोतंत आधारित आहे. अनेक आकृत्यांसाठी, अनेक पर्याय प्राप्त केले जातात, त्यानुसार त्यांचे चौरस आकार मोजले जातात. प्रॉब्लेम स्टेटमेंटमधील डेटाच्या आधारे, आम्ही ते सोडवण्याचा सर्वात सोपा मार्ग ठरवू शकतो. हे गणना सुलभ करते आणि गणना त्रुटींची संभाव्यता कमीतकमी कमी करते. हे करण्यासाठी, भूमितीमधील आकृत्यांचे मुख्य क्षेत्र विचारात घ्या.

कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी सूत्रे अनेक प्रकारे सादर केली जातात:

1) त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ पाया a आणि h उंचीवरून मोजले जाते. पाया ही आकृतीची बाजू आहे ज्यावर उंची कमी केली आहे. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

2) कर्ण आधार मानल्यास काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अगदी त्याच प्रकारे मोजले जाते. तथापि, जर पाय आधार म्हणून घेतला असेल, तर काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ अर्धवट केलेल्या पायांच्या गुणाकाराइतके असेल.

कोणत्याही त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची सूत्रे तिथेच संपत नाहीत. आणखी एक अभिव्यक्ती समाविष्टीत आहे बाजू a, bआणि a आणि b मधील γ कोनाचे सायनसॉइडल कार्य. साइनचे मूल्य टेबलमध्ये आढळते. हे कॅल्क्युलेटर वापरून देखील शोधले जाऊ शकते. मग त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आहे:

या समानतेनुसार, आपण हे देखील सुनिश्चित करू शकता की काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्र पायांच्या लांबीद्वारे निर्धारित केले जाते. कारण कोन γ हा काटकोन आहे, म्हणून काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ साइन फंक्शनने गुणाकार न करता मोजले जाते.

3) एक विशेष केस विचारात घ्या - एक नियमित त्रिकोण, ज्याची बाजू अ स्थितीनुसार ओळखली जाते किंवा सोडवताना त्याची लांबी शोधली जाऊ शकते. भूमितीच्या समस्येतील आकृतीबद्दल अधिक काही माहिती नाही. मग या स्थितीत क्षेत्र कसे शोधायचे? या प्रकरणात, नियमित त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी सूत्र लागू केले आहे:

आयत

आयताचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे आणि समान शिरोबिंदू असलेल्या बाजूंचे परिमाण कसे वापरायचे? गणनासाठी अभिव्यक्ती आहे:

जर तुम्हाला आयताचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी कर्णांची लांबी वापरायची असेल, तर तुम्हाला ते छेदतात तेव्हा तयार होणाऱ्या कोनाचे साइन फंक्शन आवश्यक आहे. आयताच्या क्षेत्रासाठी सूत्र आहे:

चौरस

चौरसाचे क्षेत्रफळ बाजूच्या लांबीची दुसरी शक्ती म्हणून परिभाषित केले आहे:

आयताला चौरस म्हणतात या व्याख्येवरून पुरावा मिळतो. सर्व बाजू एक चौरस बनवतात समान आकार. म्हणून, अशा आयताच्या क्षेत्रफळाची गणना एकास दुसर्‍याने गुणाकार करण्यासाठी, म्हणजे, बाजूच्या दुसर्‍या शक्तीपर्यंत कमी केली जाते. आणि चौरसाचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र इच्छित फॉर्म घेईल.

चौरसाचे क्षेत्रफळ दुसर्‍या मार्गाने मिळू शकते, उदाहरणार्थ, आपण कर्ण वापरल्यास:

वर्तुळाने बांधलेल्या विमानाच्या भागाद्वारे तयार केलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे मोजायचे? क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, सूत्रे आहेत:

समांतरभुज चौकोन

समांतरभुज चौकोनासाठी, सूत्रामध्ये बाजू, उंची आणि गणितीय क्रिया - गुणाकाराची रेषीय परिमाणे असतात. जर उंची माहित नसेल तर समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? गणना करण्याचा दुसरा मार्ग आहे. हे एक निश्चित मूल्य घेईल, जे घेईल त्रिकोणमितीय कार्यसमीप बाजूंनी तयार केलेला कोन, तसेच त्यांची लांबी.

समांतरभुज चौकोनाच्या क्षेत्रासाठी सूत्रे आहेत:

समभुज चौकोन

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ कर्णांसह साध्या गणितीय क्रियांचा वापर करून निर्धारित केले जाते. d1 आणि d2 वरील कर्णरेषे काटकोनात छेदतात या वस्तुस्थितीवर पुरावा अवलंबून आहे. साइन्सचे सारणी ते काटकोनासाठी दर्शवते दिलेले कार्यएक समान आहे. म्हणून, समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ दुसर्‍या प्रकारे देखील शोधता येते. हे सिद्ध करणे देखील अवघड नाही, कारण त्याच्या बाजूंची लांबी समान आहे. नंतर समांतरभुज चौकोनासाठी समान अभिव्यक्तीमध्ये त्यांचे उत्पादन बदला. अखेरीस, या विशिष्ट आकृतीचा एक विशेष केस एक समभुज चौकोन आहे. येथे γ हा समभुज चौकोनाचा आतील कोन आहे. समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे ठरवले जाते:

ट्रॅपेझ

ट्रॅपेझॉइडचे क्षेत्रफळ (a आणि b) द्वारे कसे शोधायचे, जर त्यांची लांबी समस्येमध्ये दर्शविली असेल? येथे, h उंचीच्या लांबीच्या ज्ञात मूल्याशिवाय, अशा ट्रॅपेझॉइडच्या क्षेत्राची गणना करणे शक्य होणार नाही. कारण या मूल्यामध्ये गणनासाठी अभिव्यक्ती समाविष्ट आहे:

आयताकृती ट्रॅपेझॉइडचा चौरस आकार देखील त्याच प्रकारे मोजला जाऊ शकतो. त्याच वेळी, हे लक्षात घेतले जाते की आयताकृती ट्रॅपेझॉइडमध्ये, उंची आणि बाजूच्या संकल्पना एकत्र केल्या जातात. म्हणून, आयताकृती ट्रॅपेझॉइडसाठी, आपल्याला उंचीऐवजी बाजूची लांबी निर्दिष्ट करणे आवश्यक आहे.

सिलेंडर आणि समांतर पाईप केलेले

संपूर्ण सिलेंडरच्या पृष्ठभागाची गणना करण्यासाठी काय आवश्यक आहे ते विचारात घ्या. या आकृतीचे क्षेत्रफळ वर्तुळांची एक जोडी आहे, ज्याला बेस म्हणतात आणि बाजूचा पृष्ठभाग आहे. वर्तुळ तयार करणाऱ्या वर्तुळांची त्रिज्या लांबी r च्या बरोबर असते. सिलेंडरच्या क्षेत्रासाठी, खालील गणना केली जाते:

चेहऱ्याच्या तीन जोड्या असलेल्या समांतर पाईपचे क्षेत्र कसे शोधायचे? त्याची मोजमाप विशिष्ट जोडीशी सुसंगत आहे. विरुद्ध असलेल्या चेहऱ्यांचे पॅरामीटर्स समान असतात. प्रथम S(1), S(2), S(3) - असमान चेहऱ्यांचे चौरस परिमाण शोधा. मग समांतर पाईपचे पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ:

रिंग

समान केंद्र असलेली दोन वर्तुळे एक रिंग बनवतात. ते रिंगचे क्षेत्र देखील मर्यादित करतात. या प्रकरणात, दोन्ही गणना सूत्रे प्रत्येक वर्तुळाची परिमाणे विचारात घेतात. पहिला, जो रिंगच्या क्षेत्रफळाची गणना करतो, त्यात मोठा R आणि लहान r त्रिज्या असतो. अधिक वेळा त्यांना बाह्य आणि अंतर्गत म्हणतात. दुसऱ्या अभिव्यक्तीमध्ये, मोठा D आणि लहान d व्यास वापरून रिंग क्षेत्र मोजले जाते. अशा प्रकारे, ज्ञात त्रिज्यानुसार रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे मोजले जाते:

व्यासाच्या लांबीचा वापर करून रिंगचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे निर्धारित केले जाते:

बहुभुज

ज्याचा आकार योग्य नाही अशा बहुभुजाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? सामान्य सूत्रक्षेत्रासाठी असे कोणतेही आकडे नाहीत. परंतु जर ते समन्वयित विमानावर चित्रित केले गेले असेल, उदाहरणार्थ, ते चेकर्ड पेपर असू शकते, तर या प्रकरणात पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? येथे ते एक पद्धत वापरतात ज्यास अंदाजे आकृती मोजण्याची आवश्यकता नसते. ते असे करतात: जर त्यांना सेलच्या कोपऱ्यात पडलेले बिंदू सापडले किंवा पूर्णांक समन्वय आहेत, तर फक्त तेच विचारात घेतले जातात. नंतर क्षेत्र काय आहे हे शोधण्यासाठी, पिकने सिद्ध केलेले सूत्र वापरा. पॉलीलाइनच्या आत असलेल्या पॉईंट्सची संख्या त्यात असलेल्या अर्ध्या बिंदूंसह जोडणे आवश्यक आहे आणि एक वजा करणे आवश्यक आहे, म्हणजे या प्रकारे गणना केली जाते:

जेथे सी, डी - अनुक्रमे आत आणि संपूर्ण पॉलीलाइनवर स्थित बिंदूंची संख्या.

भूमितीच्या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, तुम्हाला सूत्रे माहित असणे आवश्यक आहे - जसे की त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ किंवा समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ - तसेच साध्या युक्त्याज्याबद्दल आपण बोलू.

प्रथम, आकृत्यांच्या क्षेत्रांची सूत्रे जाणून घेऊ. आम्ही त्यांना विशेषतः सोयीस्कर टेबलमध्ये गोळा केले आहे. मुद्रित करा, शिका आणि अर्ज करा!

अर्थात, सर्व भूमिती सूत्रे आपल्या टेबलमध्ये नाहीत. उदाहरणार्थ, गणितातील प्रोफाइल परीक्षेच्या दुसऱ्या भागात भूमिती आणि स्टिरीओमेट्रीमधील समस्या सोडवण्यासाठी, त्रिकोणाच्या क्षेत्रासाठी इतर सूत्रे देखील वापरली जातात. आम्ही तुम्हाला त्यांच्याबद्दल नक्कीच सांगू.

परंतु जर तुम्हाला ट्रॅपेझॉइड किंवा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ नसून काही जटिल आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधण्याची आवश्यकता असेल तर? तेथे आहे सार्वत्रिक मार्ग! आम्ही त्यांना FIPI टास्क बँकेतील उदाहरणे वापरून दाखवू.

1. नॉन-स्टँडर्ड आकृतीचे क्षेत्रफळ कसे शोधायचे? उदाहरणार्थ, एक अनियंत्रित चतुर्भुज? एक साधे तंत्र - ही आकृती आपल्या सर्वांना माहीत असलेल्यांमध्ये मोडू आणि त्याचे क्षेत्रफळ शोधू - या आकृत्यांच्या क्षेत्रांची बेरीज म्हणून.

या चतुर्भुजाला क्षैतिज रेषेने समान आधार असलेल्या दोन त्रिकोणांमध्ये विभाजित करा. या त्रिकोणांची उंची आणि . मग चौकोनाचे क्षेत्रफळ दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाच्या बेरजेइतके असते: .

उत्तर:.

2. काही प्रकरणांमध्ये, आकृतीचे क्षेत्रफळ कोणत्याही क्षेत्राचा फरक म्हणून दर्शविले जाऊ शकते.

या त्रिकोणातील पाया आणि उंची किती समान आहेत हे मोजणे इतके सोपे नाही! परंतु आपण असे म्हणू शकतो की त्याचे क्षेत्रफळ एक बाजू असलेल्या चौरसाचे क्षेत्रफळ आणि तीन काटकोन त्रिकोण यांच्यातील फरकाइतके आहे. त्यांना चित्रात पहा? आम्हाला मिळते: .

उत्तर:.

3. कधीकधी एखाद्या कार्यामध्ये संपूर्ण आकृतीचे क्षेत्रफळ शोधणे आवश्यक नसते, परंतु त्याच्या भागाचा. सहसा आपण सेक्टरच्या क्षेत्रफळाबद्दल बोलत असतो - वर्तुळाचा भाग. त्रिज्येच्या वर्तुळाच्या सेक्टरचे क्षेत्रफळ शोधा, ज्याची कमानी लांबी समान आहे.

या चित्रात आपल्याला वर्तुळाचा काही भाग दिसतो. संपूर्ण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ समान आहे, पासून. वर्तुळाचा कोणता भाग चित्रित केला आहे हे शोधणे बाकी आहे. संपूर्ण वर्तुळाची लांबी (पासून) असल्याने आणि या क्षेत्राच्या कमानीची लांबी समान असल्याने, कमानीची लांबी संपूर्ण वर्तुळाच्या लांबीपेक्षा कित्येक पट कमी आहे. हा कंस ज्या कोनावर बसतो तो कोन पूर्ण वर्तुळापेक्षा (म्हणजे अंश) देखील कमी असतो. याचा अर्थ सेक्टरचे क्षेत्रफळ संपूर्ण वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाच्या कितीतरी पटीने कमी असेल.

जर तुम्ही स्वतः दुरुस्ती करण्याची योजना आखत असाल तर तुम्हाला इमारत आणि परिष्करण सामग्रीचा अंदाज लावावा लागेल. हे करण्यासाठी, आपण ज्या खोलीत दुरुस्ती करण्याची योजना आखत आहात त्या खोलीच्या क्षेत्राची गणना करणे आवश्यक आहे. यामध्ये मुख्य सहाय्यक हा खास तयार केलेला फॉर्म्युला आहे. खोलीचे क्षेत्रफळ, म्हणजे त्याची गणना, आपल्याला बांधकाम साहित्यावर भरपूर पैसे वाचविण्यास आणि जारी केलेल्या आर्थिक संसाधनांना अधिक आवश्यक दिशेने निर्देशित करण्यास अनुमती देईल.

खोलीचा भौमितिक आकार

खोलीचे क्षेत्रफळ मोजण्याचे सूत्र थेट त्याच्या आकारावर अवलंबून असते. घरगुती संरचनांसाठी सर्वात वैशिष्ट्यपूर्ण आयताकृती आणि चौरस खोल्या आहेत. तथापि, पुनर्विकासादरम्यान, मानक फॉर्म विकृत होऊ शकतो. खोल्या आहेत:

• आयताकृती.
• चौरस.
• जटिल कॉन्फिगरेशन (उदाहरणार्थ, गोल).
• niches आणि ledges सह.

त्यांच्यापैकी प्रत्येकाची स्वतःची गणना वैशिष्ट्ये आहेत, परंतु, नियम म्हणून, समान सूत्र वापरले जाते. कोणत्याही आकाराच्या आणि आकाराच्या खोलीचे क्षेत्रफळ, एक किंवा दुसर्या मार्गाने मोजले जाऊ शकते.

आयताकृती किंवा चौकोनी खोली

आयताकृती किंवा चौरस खोलीच्या क्षेत्राची गणना करण्यासाठी, शाळेच्या भूमितीचे धडे लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे. म्हणून, खोलीचे क्षेत्रफळ निश्चित करणे आपल्यासाठी कठीण होऊ नये. गणना सूत्र असे दिसते:

एस रूम = A*B, कुठे

A खोलीची लांबी आहे.

B खोलीची रुंदी आहे.

ही मूल्ये मोजण्यासाठी, आपल्याला नियमित टेप मापनाची आवश्यकता असेल. सर्वात अचूक गणना करण्यासाठी, दोन्ही बाजूंच्या भिंतीचे मोजमाप करणे योग्य आहे. जर मूल्ये एकत्र होत नाहीत, तर परिणामी डेटाची सरासरी आधार म्हणून घ्या. परंतु लक्षात ठेवा की कोणत्याही गणनेमध्ये त्यांच्या स्वतःच्या त्रुटी आहेत, म्हणून सामग्री मार्जिनसह खरेदी केली पाहिजे.

एक जटिल कॉन्फिगरेशन असलेली खोली

जर तुमची खोली "नमुनेदार" च्या व्याख्येखाली येत नसेल, म्हणजे. वर्तुळ, त्रिकोण, बहुभुज असा आकार आहे, तर तुम्हाला गणनासाठी वेगळ्या सूत्राची आवश्यकता असू शकते. आपण अशा वैशिष्ट्यांसह खोलीचे क्षेत्र सशर्तपणे आयताकृती घटकांमध्ये विभाजित करण्याचा प्रयत्न करू शकता आणि मानक पद्धतीने गणना करू शकता. हे आपल्यासाठी शक्य नसल्यास, खालील पद्धती वापरा:

• वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सूत्र:

एस रूम \u003d π * R 2, कुठे

R खोलीची त्रिज्या आहे.

• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याचे सूत्र आहे:

एस रूम = √ (P (P - A) x (P - B) x (P - C)), कुठे

P हा त्रिकोणाचा अर्धा परिमिती आहे.

A, B, C या त्याच्या बाजूंच्या लांबी आहेत.

म्हणून P \u003d A + B + C / 2

गणना करण्याच्या प्रक्रियेत आपल्याला काही अडचणी येत असल्यास, स्वत: ला छळणे आणि व्यावसायिकांकडे वळणे चांगले नाही.

ledges आणि niches सह खोली क्षेत्र

बहुतेकदा भिंती सजावटीच्या घटकांनी विविध कोनाडे किंवा लेजच्या स्वरूपात सजवल्या जातात. तसेच, त्यांची उपस्थिती आपल्या खोलीतील काही अनैसथेटिक घटक लपविण्याच्या आवश्यकतेमुळे असू शकते. आपल्या भिंतीवर लेजेस किंवा कोनाड्यांची उपस्थिती म्हणजे गणना टप्प्याटप्प्याने केली पाहिजे. त्या. प्रथम, भिंतीच्या सपाट भागाचे क्षेत्रफळ आढळते आणि नंतर त्यात कोनाडा किंवा काठाचे क्षेत्र जोडले जाते.

भिंतीचे क्षेत्र सूत्रानुसार आढळते:

S भिंती \u003d P x C, कुठे

पी - परिमिती

सी - उंची

आपल्याला खिडक्या आणि दारे यांच्या उपस्थितीचा देखील विचार करणे आवश्यक आहे. त्यांचे क्षेत्र परिणामी मूल्यातून वजा करणे आवश्यक आहे.

बहु-स्तरीय कमाल मर्यादा असलेली खोली

बहु-स्तरीय कमाल मर्यादा गणनामध्ये तितकी गुंतागुंत करत नाही जितकी ती पहिल्या दृष्टीक्षेपात दिसते. जर त्याची साधी रचना असेल, तर कोनाडा आणि लेजेसद्वारे गुंतागुंतीच्या भिंतींचे क्षेत्रफळ शोधण्याच्या तत्त्वावर गणना केली जाऊ शकते.

तथापि, जर तुमच्या कमाल मर्यादेच्या डिझाइनमध्ये आर्क्युएट आणि अनड्युलेटिंग घटक असतील, तर मजल्यावरील क्षेत्र वापरून त्याचे क्षेत्रफळ निश्चित करणे अधिक योग्य आहे. यासाठी आपल्याला आवश्यक आहे:

1. भिंतींच्या सर्व सरळ विभागांचे परिमाण शोधा.
2. मजला क्षेत्र शोधा.
3. उभ्या विभागांची लांबी आणि उंची गुणाकार करा.
4. मजल्याच्या क्षेत्रासह परिणामी मूल्याची बेरीज करा.

एकूण निर्धारित करण्यासाठी चरण-दर-चरण सूचना

मजल्याची जागा

1. अनावश्यक गोष्टींपासून खोली मुक्त करा. मोजण्याच्या प्रक्रियेत, आपल्याला आपल्या खोलीच्या सर्व भागात विनामूल्य प्रवेशाची आवश्यकता असेल, म्हणून आपल्याला यामध्ये व्यत्यय आणू शकतील अशा प्रत्येक गोष्टीपासून मुक्त होणे आवश्यक आहे.
2. खोलीला दृष्यदृष्ट्या योग्य आणि विभागांमध्ये विभाजित करा अनियमित आकार. जर तुमच्या खोलीत काटेकोरपणे चौरस किंवा आयताकृती आकार असेल तर ही पायरी वगळली जाऊ शकते.
3. खोलीचे अनियंत्रित लेआउट बनवा. हे रेखाचित्र आवश्यक आहे जेणेकरून सर्व डेटा नेहमी आपल्या बोटांच्या टोकावर असेल. तसेच, हे आपल्याला असंख्य मोजमापांमध्ये गोंधळून जाण्याची संधी देणार नाही.
4. मोजमाप अनेक वेळा घेणे आवश्यक आहे. गणनेतील चुका टाळण्यासाठी हा एक महत्त्वाचा नियम आहे. तसेच तुम्ही वापरत असाल तर बीम भिंतीच्या पृष्ठभागावर सपाट असल्याची खात्री करा.
5. खोलीचे एकूण क्षेत्रफळ शोधा. खोलीच्या एकूण क्षेत्रफळाचे सूत्र म्हणजे खोलीच्या वैयक्तिक विभागातील सर्व क्षेत्रांची बेरीज शोधणे. त्या. S एकूण = S भिंती + S मजले + S छत