§4. Решение уравнений в целых числах
Задача 12.
Решите в целых числах 5х²+ 5у² + 8ху + 2у – 2у + 2 = 0 .
Решение.
Если попытаться решить данное уравнение методом разложения на множители, то это достаточно трудоёмкая работа, поэтому это уравнение можно решить более изящным методом. Рассмотрим уравнение, как квадратное относительн о х 5х²+(8у-2)х+5у²+2у +2=0 , х1,2 = (1 – 4у ±√(1 – 4у) ² - 5(5у² + 2у + 2))/5 = (1 – 4у ±√ -9(у + 1)²)/5.
Данное уравнение имеет решение тогда, когда дискриминант равен нулю, т.е. –9(у + 1) = 0 , отсюда у = -1 . Если у = -1 , то х =1 .
Ответ.
Задача 13.
Решите в целых числах 3(х² + ху + у²)= х + 8у
Решение.
Рассмотрим уравнение, как квадратное относительно х 3х ² + (3у - 1)х + 3у² - 8у = 0. Найдём дискриминант уравнения D = =(3у – 1) ² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.
Данное уравн ение имеет корни, если D ³ 0 , т. е. –27у² + 90 у + 1³ 0
(-45 + √2052)/ (-27) £ у £ (-45 -√2052)/ (-27) (4)
Так как у Î Z , то условию (4) удовлетворяют только 0, 1, 2, 3 . Перебирая эти значения, получим, что уравнение в целых числах имеет решения (0; 0) и (1; 1) .
Ответ.
(0; 0) , (1; 1) .
Задача 14.
Решите уравнение 5х² - 2ху + 2у² - 2х – 2у + 1= 0.
Решение.
Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х с коэффициентами, зависящими от у, 5х² - 2(у + 1)х + 2у² – 2у + 1= 0.
Найдём четверть дискриминанта D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)² .
Отсюда следует, что уравнение имеет решение только тогда, когда -(3у – 2)² = 0 , отсюда следует у = ⅔, затем находим х = ⅓.
Ответ.
(⅓; ⅔).
Метод остатков.
Задача 15.
Решите в целых числах 3ª = 1 + у²
Решение.
Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет.
Рассмотрим случаи:
1) х Î N, y Î N (5)
Если х Î N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1 , либо 2 . Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно.
2)Если х – целое отрицательное число, y Î Z, тогда 0<3ª<1, а 1+у²³0 и равенство (5)также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение.
Ответ.
Задача 16.
Докажите, что система уравнений
ì х² - у² = 7
î z² - 2y² = 1
не имеет решений в целых числах.
Решение.
Предположим, что система разрешена. Из второго уравнения z²=2у+1, т. е. z²– нечётноё число и z -нечётное, значит z=2m+1 . Тогда y²+2m²+2m , значит, у² - чётное числои у – чётное, y = 2n, n Î Z.
x²=8n³+7, т. е. х² - нечётное число и х - нечётное число, х=2k+1, k Î Z.
Подставим значения х и у в первое уравнение, получим 2(k² + k - 2n³) = 3, что невозможно, так как левая часть делится на 2 , а правая нет.
Значит, наше предположение неверно, т.е. система не имеет решений в целых числах.
Метод бесконечного спуска.
Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться.
Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.
Задача 17.
Решить в целых числах 29х + 13у + 56z = 17 (6)
Выразим неизвестное, коэффициент при котором наименьший, через остальные неизвестные.
у=(17-29х-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13 (7)
Обозначим (4-3x-4z)/13 = t1 (8)
Из (7) следует, что t1 может принимать только целые значения. Из (8) имеем 13t1 + 3x + 4z = 14 (9)
Получим новое диофантово уравнение, но с меньшими, чем в (6) коэффициентами. Применим к (9) те же соображения: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3
(1-t1-z)/3 = t2 , t2 – целое, 3t2+t1+z = 1 (10)
В (10) коэффициент при z – неизвестном исходного уравнения равен 1 – это конечный пункт «спуска». Теперь последовательно выражаем z , x , y через t1 и t2 .
ì z = -t1 – 3t2 + 1
í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2
î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3
Итак,ì x = -3t1 + 4t2
í y = 11t1 + 4t2 - 3
î z = -t1 – 3t2 + 1
t1, t2 - любые целые числа – все целые решения уравнения (6)
Задача 18.
Решить в целых числах x³ - 3y³ - 9z³ = 0 (11)
Решение.
Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x³=3(y³-z³). Число x³ кратно 3 , значит и число х кратно 3 , т. е. х = 3х1 (12) Подставим (12) в (11) 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0 (13)
y³=3(3x1³-z³). Тогда у³ кратно 3 , значит и у кратно 3 , т. е. у=3у1 (14). Подставим (14) в (13) 9х1³ -27у1³ - 3z³=0 . Из этого уравнения следует, что z³ кратно 3, а значит и z кратно 3 , т.е. z=3z1 .
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3 , получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0)
На этапе подготовки к Единому государственному экзамену по математике ученикам старших классов необходимо обратить особое внимание на некоторые темы. В их числе решение уравнений и задач в целых числах. Опыт прошлых лет показал, что такие задания вызвали у выпускников особые затруднения. Поэтому, независимо от уровня подготовки, советуем более тщательно подойти к занятиям, обратившись к нашему порталу.
Сдавайте экзаменационное тестирование на «отлично» вместе со «Школково»!
Наш онлайн-сервис предлагает инновационный метод подготовки к итоговой аттестации. Школьные пособия не всегда находятся под рукой, а разделы в них предусматривают только повторения типовых заданий. Обращаясь к «Школково», ученики не будут испытывать проблем с поиском необходимых правил и формул для решения уравнений в целых числах. Преподаватели нашего онлайн-сервиса тщательно систематизировали и подали в наиболее доступном виде всю информацию по теме. Поэтому ученикам выпускных классов понадобиться минимальное количество времени на повторение пройденных материалов. Кроме того, каждый день школьники смогут получать новую подборку упражнений, соответствующую их текущим знаниям и навыкам.
Мы предлагаем начать с раздела «Теоретическая справка». В нем представлены все необходимые данные для подготовки к выполнению заданий. После этого переходите к разделу «Каталоги». Там вы найдете множество упражнений различного уровня сложности. Список примеров постоянно обновляется и дополняется, поэтому у вас не будет недостатка в новых заданиях. Советуем начать с самых простых и постепенно переходить к более трудным. Таким образом вы сможете выявить свои наиболее слабые стороны и сделать упор на конкретных типах заданий. Если вы видите, что примеры низкого уровня сложности не вызывают у вас никаких проблем, можете пропустить их и приступить к решению уравнений в целых числах уровня ЕГЭ.
Если какой-то пример вызвал особое затруднение, добавьте его в «Избранное». Так вы сможете вернуться к нему позже, заручившись поддержкой преподавателя или попробовать выполнить его самостоятельно после повторения правил.
Для того чтобы подготовка была более результативной, советуем обращаться к порталу «Школково» ежедневно. Уже после нескольких занятий вы заметите, что вам стали просто даваться даже примеры, ранее вызывавшие непонимание и сложности.
Обратите внимание, что на нашем сайте могут проходить подготовку к ЕГЭ абсолютно все желающие. Чтобы сохранить прогресс и каждый день получать индивидуальные задания, зарегистрируйтесь в системе. Желаем приятной подготовки!
Введение
Существует множество математических задач, ответами к которым служат одно или несколько целых чисел. В качестве примера можно привести четыре классические задачи, решаемые в целых числах – задача о взвешивании, задача о разбиении числа, задача о размене и задача о четырёх квадратах. Стоит отметить, что, несмотря на достаточно простую формулировку этих задач, решаются они весьма сложно, с применением аппарата математического анализа и комбинаторики. Идеи решения первых двух задач принадлежат швейцарскому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783). Однако наиболее часто можно встретить задачи, в которых предлагается решить уравнение в целых (или в натуральных) числах. Некоторые из таких уравнений довольно легко решаются методом подбора, но при этом возникает серьёзная проблема – необходимо доказать, что все решения данного уравнения исчерпываются подобранными (то есть решений, отличных от подобранных, не существует). Для этого могут потребоваться самые разнообразные приёмы, как стандартные, так и искусственные. Анализ дополнительной математической литературы показывает, что подобные задания достаточно часто встречаются в олимпиадах по математике разных лет и различных уровней, а также в задании 19 ЕГЭ по математике (профильный уровень). В то же время в школьном курсе математики данная тема практически не рассматривается, поэтому школьники, участвуя в математических олимпиадах или сдавая профильный ЕГЭ по математике, обычно сталкиваются со значительными трудностями при выполнении подобного рода заданий. В связи с этим целесообразно выделить систему основных методов решения уравнений в целых числах, тем более что в изученной математической литературе этот вопрос явно не оговаривается. Описанная проблема определила цель данной работы: выделить основные методы решения уравнений в целых числах. Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
1) Проанализировать олимпиадные материалы, а также материалы профильного ЕГЭ по математике;
2) Обозначить методы решения уравнений в целых числах и выделить преобладающие;
3) Полученные результаты проиллюстрировать примерами;
4) Составить несколько тренировочных заданий по данной теме;
5) Применяя разработанные задания, определить степень готовности учащихся девятых классов МБОУ СОШ №59 к решению подобного рода задач и сделать практические выводы.
Основная часть
Анализ разнообразной математической литературы показывает, что среди методов решения уравнений в целых числах в качестве основных можно выделить следующие:
- Представление уравнения в виде произведения нескольких множителей, равного некоторому целому числу;
- Представление уравнения в виде суммы квадратов нескольких слагаемых, равной некоторому целому числу;
- Использование свойств делимости, факториалов и точных квадратов;
- Использование Малой и Великой теорем Ферма;
- Метод бесконечного спуска;
- Выражение одной неизвестной через другую;
- Решение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных;
- Рассмотрение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое число.
Сразу же нужно оговорить, что мы понимаем под основными методами решения уравнений. Основными будем называть наиболее часто применяющиеся методы, что, конечно, не исключает возможности периодического применения новых «неожиданных» приёмов. Кроме того, причём в подавляющем большинстве случаев, применяют их различные сочетания, то есть проводят комбинирование нескольких методов.
В качестве примера сочетания методов рассмотрим уравнение, предлагавшееся на ЕГЭ по математике в 2013 году (задание С6).
Задача. Решить в натуральных числах уравнение n ! + 5n + 13 = k 2 .
Решение. Заметим, что оканчивается нулём при n > 4. Далее, при любых n ∈ N оканчивается либо цифрой 0, либо цифрой 5. Следовательно, при n > 4 левая часть уравнения оканчивается либо цифрой 3, либо цифрой 8. Но она же равна точному квадрату, который не может оканчиваться этими цифрами. Поэтому нужно перебрать только четыре варианта: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.
Значит, уравнение имеет единственное натуральное решение n = 2, k = 5.
В этой задаче использовались свойства точных квадратов, свойства факториалов, и остатки от деления обеих частей уравнения на 10.
Задача 1. n 2 - 4y ! = 3.
Решение. Сначала перепишем исходное уравнение в виде n 2 = 4y ! + 3. Если посмотреть на это соотношение с точки зрения теоремы о делении с остатком, то можно заметить, что точный квадрат, стоящий в левой части уравнения, даёт при делении на 4 остаток 3, что невозможно. Действительно, любое целое число представимо в одном из следующих четырёх видов:
Таким образом, точный квадрат при делении на 4 даёт в остатке либо 0, либо 1. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ключевая идея – применение свойств точных квадратов.
Задача 2. 8z 2 = (t !) 2 + 2.
Решение. Непосредственная проверка показывает, что t = 0 и t = 1 не являются решениями уравнения. Если t > 1, то t ! является чётным числом, то есть, оно представимо в виде t ! = 2s . В таком случае уравнение можно преобразовать к виду 4z 2 = 2s 2 + 1. Однако, полученное уравнение заведомо не имеет решений, ибо в левой части стоит чётное число, а в правой – нечётное.
Ключевая идея – применение свойств факториалов.
Задача 3. Решить в целых числах уравнение x 2 + y 2 – 2x + 6y + 5 = 0.
Решение. Исходное уравнение можно переписать следующим образом: (x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.
Из условия следует, что (x – 1), (y + 3) – целые числа. Следовательно, данное уравнение эквивалентно следующей совокупности:
Теперь можно выписать всевозможные целые решения уравнения.
Задача 4. Решить в целых числах уравнение zt + t – 2z = 7.
Решение. Исходное уравнение можно преобразовать к виду (z + 1) (t – 2) = 5. Числа (z + 1), (t – 2) являются целыми, поэтому имеют место следующие варианты:
Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения.
Ключевая идея – представление уравнения в виде произведения, равного целому числу.
Задача 5. Решить в целых числах уравнение n (n + 1) = (2k + 1)‼
Решение. Число (2k + 1)‼ нечётно при всех неотрицательных значениях k согласно определению (при отрицательных k оно вообще не определено). С другой стороны, оно равно числу n (n + 1), которое чётно при всех целых значениях k . Противоречие.
Ключевая идея – использование чётности/нечётности частей уравнения.
Задача 6. Решить в целых числах уравнение xy + x + 2y = 1.
Решение. Путём преобразований уравнение можно свести к следующему:
Данное преобразование не изменило ОДЗ неизвестных, входящих в уравнение, так как подстановка y = –1 в первоначальное уравнение приводит к абсурдному равенству –2 = 1. Согласно условию, x – целое число. Иначе говоря, тоже целое число. Но тогда число обязано быть целым. Дробь является целым числом тогда и только тогда, когда числитель делится на знаменатель. Делители числа 3: 1,3 –1, –3. Следовательно, для неизвестной возможны четыре случая: y = 0, y = 2, y = –2, y = –4. Теперь можно вычислить соответствующие значения неизвестной x . Итак, уравнение имеет ровно четыре целых решения: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).
Ключевая идея – выражение одной неизвестной через другую.
Задача 7. m = n 2 + 2.
Решение. Если m = 0, то уравнение примет вид n 2 = –1. Оно не имеет целых решений. Если m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n , не будет являться целым числом. Значит, m > 0. Тогда правая часть уравнения (как и левая) будет кратна 5. Но в таком случае n 2 при делении на 5 должно давать остаток 3, что невозможно (это доказывается методом перебора остатков, который был изложен при решении задачи 1). Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ключевая идея – нахождение остатков от деления обеих частей уравнения на некоторое натуральное число.
Задача 8. Решить в целых числах уравнение (x !) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .
Решение. Заметим, что в силу чётности показателей степеней уравнение эквивалентно следующему: (x !) 4 + |y – 1| 4 = |z + 1| 4 . Тогда x !, |y – 1|, |z + 1| – натуральные числа. Однако, согласно Великой теореме Ферма, эти натуральные числа не могут удовлетворять исходному уравнению. Таким образом, уравнение неразрешимо в целых числах.
Ключевая идея – использование Великой теоремы Ферма.
Задача 9. Решить в целых числах уравнение x 2 + 4y 2 = 16xy .
Решение. Из условия задачи следует, что x – чётное число. Тогда x 2 = 4x 1 2 . Уравнение преобразуется к виду x 1 2 + y 2 = 8x 1 y . Отсюда вытекает, что числа x 1 , y имеют одинаковую чётность. Рассмотрим два случая.
1 случай . Пусть x 1 , y – нечётные числа. Тогда x 1 = 2t + 1, y = 2s + 1. Подставляя эти выражения в уравнение, получим:
Выполним соответствующие преобразования:
Сокращая обе части полученного уравнения на 2, получим?
В левой части стоит нечётное число, а в правой – чётное. Противоречие. Значит, 1 случай невозможен.
2 случай . Пусть x 1 , y – чётные числа. Тогда x 1 = 2x 2 + 1, y = 2y 1 . Подставляя эти значения в уравнение, получим:
Таким образом, получилось уравнение, точно такое же, как на предыдущем шаге. Исследуется оно аналогично, поэтому на следующем шаге получим уравнение 
и т.д. Фактически, проводя эти преобразования, опирающиеся на чётность неизвестных, мы получаем следующие разложения: . Но величины n
и k
не ограничены, так как на любом шаге (со сколь угодно большим номером) будем получать уравнение, эквивалентное предыдущему. То есть, данный процесс не может прекратиться. Другими словами, числа x
, y
бесконечно много раз делятся на 2. Но это имеет место, только при условии, что x
= y
= 0. Итак, уравнение имеет ровно одно целое решение (0; 0).
Ключевая идея – использование метода бесконечного спуска.
Задача 10. Решить в целых числах уравнение 5x 2 – 3xy + y 2 = 4.
Решение. Перепишем данное уравнение в виде 5x 2 – (3x )y + (y 2 – 4) = 0. Его можно рассмотреть как квадратное относительно неизвестной x . Вычислим дискриминант этого уравнения:
Для того чтобы уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы , то есть Отсюда имеем следующие возможности для y : y = 0, y = 1, y = –1, y = 2, y = –2.
Итак, уравнение имеет ровно 2 целых решения: (0;2), (0;–2).
Ключевая идея – рассмотрение уравнения как квадратного относительно одной из неизвестных.
Составленные автором задачи были использованы при проведении эксперимента, который состоял в следующем. Всем учащимся девятых классов были предложены разработанные задания с целью выявления уровня подготовки детей по данной теме. Каждому из учеников необходимо было предложить метод нахождения целочисленных решений уравнений. В эксперименте приняли участие 64 ученика. Полученные результаты представлены в таблице 1.
ТАБЛИЦА 1
| Номер задания | Количество учащихся, справившихся с заданием (в процентах) |
Данные показатели говорят о том, что уровень подготовки учащихся девятых классов по данной теме очень низкий. Поэтому целесообразной представляется организация спецкурса «Уравнения в целых числах», который будет направлен на усовершенствование знаний учеников в данной области. Прежде всего, это ученики, которые систематически участвуют в математических конкурсах и олимпиадах, а также планируют сдавать профильный ЕГЭ по математике.
Выводы
В ходе выполнения данной работы:
1) Проанализированы олимпиадные материалы, а также материалы ЕГЭ по математике;
2) Обозначены методы решения уравнений в целых числах и выделены преобладающие;
3) Полученные результаты проиллюстрированы примерами;
4) Составлены тренировочные задания для учащихся девятых классов;
5) Поставлен эксперимент по выявлению уровня подготовки по данной теме учащихся девятых классов;
6) Проанализированы результаты эксперимента и сделаны выводы о целесообразности изучения уравнений в целых числах на математическом спецкурсе.
Результаты, полученные в ходе данного исследования, могут быть использованы при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ по математике, а также при проведении занятий математического кружка.
Список литературы
1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1983 – 64 с.
2. Алфутова Н.Б. Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ – М.: МЦНМО, 2009 – 336 с.
3. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Кн. для учащихся / Под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1986. – 303 с., илл.
4. Далингер В.А. Задачи в целых числах – Омск: Амфора, 2010 – 132 с.
5. Гастев Ю. А., Смолянский М. Л. Несколько слов о Великой теореме Ферма // Квант, август 1972.
Глоссарий
Метод бесконечного спуска – метод, разработанный французским математиком П.Ферма (1601–1665), заключающийся в получении противоречия путём построения бесконечно убывающей последовательности натуральных чисел. Разновидность метода доказательства от противного.
Точный (полный) квадрат - квадрат целого числа.
Факториал натурального числа n - произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
Задачи с целочисленными неизвестными
Павловская Нина Михайловна,
учитель математики МБОУ «СОШ № 92
г. Кемерово
Алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющими число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения получили название диофантовых уравнений .
Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными трудной является даже задача доказательства существования целочисленных решений. Более того, доказано, что не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.
- Простейшими диофантовыми уравнениями являются уравнения вида
ax + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0
Если с = 0 , то решение очевидно х = 0, у = 0.
Если с ≠ 0 , и решение (х 0 ; у 0 ) , то целое число
ax 0 + by 0 делится на d = (a ; b) , поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b .
Например: 3х + 6у = 5 не имеет целых решений, так как (3; 6) = 3, а с = 5 не делится на 3 без остатка.
- Если уравнение ax + by = c имеет решение (х 0 ; у 0 ) , и (a ; b) = 1 , то все решения уравнения задаются формулами х = х 0 + bn; y = у 0 – an, где nлюбое целое решение.
Например: 3х + 5у = 13, (3; 5) = 1, значит уравнение имеет бесконечно много решений, х 0 =1; у 0 =2
Большая (великая) теорема Ферма гласит: уравнение вида не имеет решений в натуральных числах.
Эта теорема была сформулирована итальянским математиком Пьером Ферма более 300 лет назад, а доказана лишь в 1993 году.
Метод разложения на множители .
1) Решить в целых числах уравнение
x + y = xy.
Решение. Запишем уравнение в виде
(x - 1)(y - 1) = 1.
Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в том случае, когда оба они равны 1. Т. е. исходное уравнение равносильно совокупности
с решениями (0,0) и (2,2).
2. Решите в целых числах уравнение:
3х² + 4ху – 7у²= 13.
Решение: 3х² - 3ху + 7ху – 7у²= 13,
3х(х – у) +7у(х – у) = 13,
(х – у)(3х + 7у) = 13.
Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13,
1. х – у = 1, 7х – 7у = 7, х = 2,
3х + 7у= 13; 3х + 7у = 13; откуда у = 1
2. х – у = 13, 7х – 7у = 91, х = 9,2,
3х + 7у= 1; 3х + 7у =1; откуда у=- 3,8.
3 . х – у = -1, 7х – 7у = -7, х = -2,
3х + 7у= -13; 3х + 7у = -13; откуда у = -1.
4. х – у = -13, 7х – 7у = -91, х = -9,2,
3х + 7у= -1; 3х +7у= -1; откуда у =3,8.
Следовательно уравнение имеет два решения в целых числах: (2;1) и (-2;-1)
3 . Решите в целых числах уравнение:
9х² + 4х – ху +3у = 88.
Решение: 9х² + 4х – 88 = ху – 3у,
9х² + 4х – 88 = у(х – 3)
так как 5 имеет целые делители ± 1и ± 5, то
С опушки леса в чащу ведет множество тропинок. Они извилисты, они сходятся, расходятся вновь и снова пересекаются одна с другой. На прогулке можно только заметить обилие этих тропинок, походить по некоторым из них и проследить их направление в глубь леса. Для серьезного изучения леса нужно идти по тропинкам, пока они вообще различимы среди сухой хвои и кустарников.
Поэтому мне захотелось написать проект, который можно рассматривать как описание одной из возможных прогулок по опушке современной математики.
Окружающий мир, потребности народного хозяйства, а зачастую, и повседневные хлопоты ставят перед человеком все новые и новые задачи, решение которых не всегда очевидно. Порою тот или иной вопрос имеет под собой множество вариантов ответа, из-за чего происходят затруднения в решении поставленных задач. Как выбрать правильный и оптимальный вариант?
С этим же вопросом напрямую связано решение неопределенных уравнений. Такие уравнения, содержащие две или более переменных, для которых требуется найти все целые или натуральные решения, рассматривались еще в глубокой древности. Например, греческий математик Пифагор (IV век до н. э.). александрийский математик Диофант (II-III век н. э.) и лучшие математики более близкой нам эпохи - П. Ферма (XVII век), Л. Эйлер (XVIII век), Ж. Л. Лагранж (XVIII век) и другие.
Участвуя в Российском заочном конкурсе > г. Обнинска, Международном конкурсе - игре > и олимпиаде Уральского Федерального округа часто сталкиваюсь с такими задачами. Это связано с тем, что их решение носит творческий характер. Проблемы, возникающие при решении уравнений в целых числах, вызваны как сложностью, так и тем, что в школе им уделяется мало времени.
Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Труды его подобны сверкающему огню среди непроницаемой тьмы.
Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляют полтысячелетия! Нижняя грань определяется без труда: в своей книге о многоугольных числах Диофант неоднократно упоминает математика Гипсикла Александрийского который жил в середине 2-ого в. до н. э.
С другой стороны, в комментариях Теона Александрийского к > знаменитого астронома Птолемея помещен отрывок из сочинения Диофанта. Теон жил в середине 4-ого в. н. э. Этим определяется верхняя грань этого промежутка. Итак, 500 лет!
Французский историк науки Поль Таннри, издатель наиболее полного текста Диофанта, попытался сузить этот промежуток. В библиотеке Эскуриала он нашел отрывки из письма Михаила Пселла, византийского ученого Х1 в. , где говорится, что ученейший Анатолий после того как собрал наиболее существенные части этой науки речь идет о введении степеней неизвестного и об их (обозначении), посвятил их своему другу Диофанту. Анатолий Александрийский действительно составил >, отрывки которой приводят в дошедшей до нас сочинений Ямблих и Евсений. Но Анатолий жил в Александрии в середине 111-го в до н. э и даже более точно - до 270 года, когда он стал епископом Лаодакийским. Значит, его дружба с Диофантом, которого все называют Александрийским, должна была иметь место до этого. Итак, если знаменитый Александрийский математик и друг Анатолия по имени Диофант составляют одно лицо, то время жизни Диофанта - середина 111-го века нашей эры.
Зато место жительства Диофанта хорошо известно - Александрия, центр научной мысли и эллинистического мира.
До наших времен дошла одна из эпиграмм Палатинской Антологии:
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Используя современные методы решения уравнений можно сосчитать, сколько лет прожил Диофант.
Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:
Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:
Таким образом, Диофант прожил 84 года.
Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть из тринадцати книг, которые были объединены в >, стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебры, образцы которых мы знаем по > Евклида, его >, леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. >, несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались совершенно неизвестными.
Мы можем только гадать о её корнях, и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.
> Диофанта это сборник задач (всего 189), каждая из которых снабжена решением. Задачи в ней тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определенных, строго продуманных методах. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.
Достоверно известно своеобразное жизнеописание Диофанта, которое по преданию было высечено на его надгробии и представляло задачу-головоломку:
Эта головоломка служит примером тех задач, которые решал Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Такие задачи в настоящее время известны под названием диофантовых.
Исследования диофантовых уравнений обычно связано с большими трудностями.
В 1900 году на всемирном конгрессе математиков в Париже один из крупнейших математиков мира Давид Гильберт выделил 23 проблемы из различных областей математики. Одной из этих проблем была проблема решения диофантовых уравнений. В проблеме заключалось следующее: можно ли разрешить уравнение с произвольным числом неизвестных и целыми коэффициентами, определённым способом - с помощью алгоритма. Задача состоит в следующем: для заданного уравнения надо найти все целые или натуральные значения переменных, входящих в уравнение, при которых оно превращается в истинное равенство. Диофант придумал для таких уравнений много разнообразных приёмов решения. Ввиду бесконечного разнообразия диофантовых уравнений общего алгоритма для их решения не существует, и практически для каждого уравнения приходится изобретать индивидуальный приём.
Диофантовым уравнением 1-ой степени или линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида: ax+by=c, где a,b,c-целые, НОД(a,b)=1.
Приведу формулировки теорем, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.
Теорема 1. Если в уравнении, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.
Доказательство:
Можно считать, что а >0. Решив уравнение относительно х, получим: х=с-вуа. Докажу, что если в эту формулу вместо у подставлять все натуральные числа, меньшие а и 0, т. е. числа 0;1;2;3;. ;а-1, и каждый раз совершать деление, то все а остатков будут различны. Действительно, подставлю вместо у числа m1 и m2, меньшие а. В результате получу две дроби: с-вm1а и с-вm2а. Выполнив деление и обозначив неполные частные через q1и q2, а остатки через r1 и r2, найду с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.
Предположу, что остатки r1 и r2 равны. Тогда вычитая из первого равенства второе получу: с-вm1а- с-вm2а= q1-q2, или в(m1 - m2)а=q1-q2.
Т. к. q1-q2 - целое число, то и левая часть должна быть целой. Стало быть, вm1 - m2 должно делиться на а, т. е. разность двух натуральных чисел, каждое из которых меньше а, должна делиться на а, что невозможно. Значит, остатки r1 и r2 равны. Т. е. все остатки различны.
Т. о. я получила а различных остатков, меньших а. Но различные а натуральных чисел, не превосходящие а - это числа, 0;1;2;3;. ;а-1. Следовательно, среди остатков непременно найдется один и только один, равный нулю. Значение у, подстановка которого в выражение (с-ву)а дает остаток 0, и превращает х=(с-ву)а в целое число. Что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если в уравнении, и с не делится на, то уравнение целых решений не имеет.
Доказательство:
Пусть d=НОД(а;в), так, что а=md, b=nd, где m и n- целые числа. Тогда уравнение примет вид: mdх+ ndу=с, или d(mх+ nу)=с.
Допустив, что существуют целые числа х и у, удовлетворяющие уравнению, получаю, что коэффициент с делится на d. Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 3. Если в уравнении, и, то оно равносильно уравнению, в котором.
Теорема 4. Если в уравнении, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах:
где х0, у0 - целое решение уравнения, - любое целое число.
Сформулированные теоремы позволяют составить следующий алгоритм решения в целых числах уравнения вида.
1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b, если и с не делится на, то уравнение целых решений не имеет; если и, то
2. Разделить почленно уравнение на, получив при этом уравнение, в котором.
3. Найти целое решение (х0, у0) уравнения путем представления 1 как линейной комбинации чисел и;
4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения где х0, у0 - целое решение уравнения, - любое целое число.
2. 1 МЕТОД СПУСКА
Многие > основаны на методах решения неопределенных уравнений. Например, фокус с угадыванием даты рождения.
Предложите Вашему знакомому угадать его день рождения по сумме чисел равных произведению даты его рождения на 12 и номера месяца рождения на 31.
Для того чтобы угадать день рождения Вашего знакомого нужно решить уравнение: 12х + 31y = А.
Пусть Вам назвали число 380, т. е. имеем уравнение 12х + 31y = 380. Для того чтобы найти х и y можно рассуждать так: число 12х + 24y делится на 12, следовательно, по свойствам делимости (теорема 4. 4), числа 7y и 380 должны иметь одинаковые остатки при делении на 12. Число 380 при делении на 12 дает остаток 8, следовательно 7y при делении на 12 тоже должно давать в остатке 8, а так как y - это номер месяца, то 1
Уравнение, которое мы решили, является диофантовым уравнением 1-ой степени с двумя неизвестными. Для решения таких уравнений может быть использован, так называемый метод спуска. Алгоритм этого метода рассмотрю на конкретном уравнении 5x + 8y = 39.
1. Выберу неизвестное, имеющее наименьший коэффициент (в нашем случае это х), и выражу его через другое неизвестное:. Выделю целую часть:. Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 - 3y без остатка делится на 5.
2. Введу дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 - 3y = 5z. В результате получу уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его буду уже относительно переменной y:. Выделяя целую часть, получу:
Рассуждая аналогично предыдущему, ввожу новую переменную u: 3u = 1 - 2z.
3. Выражу неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z: =. Требуя, чтобы было целым, получу: 1 - u = 2v, откуда u = 1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.
4. Теперь необходимо >. Выражу через переменную v сначала z, потом y и затем x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.
5. Формулы x = 3+8v и y = 3 - 5v, где v - произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.
Замечание. Таким образом, метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное > по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.
2. 2 МЕТОД ПЕРЕБОРА
В клетке сидят кролики и фазаны, всего у них 18 ног. Узнать, сколько в клетке тех и других?
Составлю уравнение с двумя неизвестными, в котором х - число кроликов, а у - число фазанов:
4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.
Ответ. 1)1 кролик и 7 фазанов; 2) 2 кролика и 5 фазанов; 3) 3 кролика и 3 фазана; 4) 4 кролика и 1 фазан.
1. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
3. 1 Решение линейных уравнений с двумя неизвестными
1. Решить уравнение 407х - 2816y = 33 в целых числах.
Воспользуюсь составленным алгоритмом.
1. Используя алгоритм Евклида, найду наибольший общий делитель чисел 407 и 2816:
2816 = 407·6 + 374;
407 = 374·1 + 33;
374 = 33·11 + 11;
Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11.
2. Разделю обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х - 256y = 3, причем (37, 256) = 1
3. С помощью алгоритма Евклида найду линейное представление числа 1 через числа 37 и 256.
256 = 37·6 + 34;
Выражу 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам буду выражать 3; 34 и полученные выражения подставлю в выражение для 1.
1 = 34 - 3·11 = 34 - (37 - 34·1) ·11 = 34·12 - 37·11 = (256 - 37·6) ·12 - 37·11 =
83·37 - 256·(- 12)
Таким образом, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, следовательно пара чисел х0 = - 83 и у0 = - 12 есть решение уравнения 37х - 256y = 3.
4. Запишу общую формулу решений первоначального уравнения где t - любое целое число.
Ответ. (-83c+bt; -12с-at), t є Z.
Замечание. Можно доказать, что если пара (х1,y1) - целое решение уравнения, где, то все целые решения этого уравнения находятся по формулам: х=х1+bty=y1-at
2. Решить уравнение 14x - 33y=32 в целых числах.
Решение: x = (32 + 33y) : 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z
Перебор от 1 до 13
При y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Подставлю в исходное уравнение y = 2
14x = 32 +33 [. ] 2
14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7
Найду все целые решения по найденному частному:
14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x - 7) - 33(y - 2)=0
14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z
Подставлю в исходное уравнение:
14(33k + 7) - 33y = 32
14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, где k є Z. Эти формулы задают общее решение исходного уравнения.
Ответ. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.
3. Решить уравнение x - 3y = 15 в целых числах.
Найду НОД(1,3)=1
Определю частное решение: x=(15+3y):1 используя метод перебора, нахожу значение y=0 тогда x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) - частное решение.
Все остальные решения находятся по формулам: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z при k=0, получаю частное решение (15;0)
Ответ: (3k+15; k), k є Z.
4. Решить уравнение 7x - y = 3в целых числах.
Найду НОД(7; -1)=1
Определю частное решение: x = (3+y):7
Используя метод перебора, находим значение y є y = 4, x = 1
Значит, (1;4) - частное решение.
Все остальные решения нахожу по формулам: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z
Ответ: (k+1;7k+4); k є Z.
5. Решить уравнение 15x+11 y = 14 целых числах.
Найду НОД(15; -14)=1
Определю частное решение: x = (14 - 11y):15
Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 4, x = -2
(-2;4) - частное решение.
Все остальные решения нахожу по формулам: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z
Ответ: (-11k-2; 15k+4); k є Z.
6. Решить уравнение 3x - 2y = 12 целых числах.
Найду НОД(3; 2)=1
Определю частное решение: x = (12+2y):3
Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 0, x = 4
(4;0) - частное решение.
Все остальные решения нахожу по формулам: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z
Ответ: (2k+4; 3k); k є Z.
7. Решите в целых числах уравнение xy = x + y.
Имею ху - х - у + 1 = 1 или (х - 1)(у - 1) = 1
Поэтому х - 1 = 1, у - 1 = 1, откуда х = 2, у = 2 или х - 1 = - 1, у - 1 = - 1, откуда х = 0, у = 0 других решений в целых числах данное уравнение не имеет.
Ответ. 0;0;(2;2).
8. Решите в целых числах уравнение 60х - 77у = 1.
Разрешу это уравнение относительно х: х = (77у + 1) / 60 = (60у + (17у +1)) / 60 = у + (17у + 1) / 60.
Пусть (17у + 1) / 60 = z, тогда у = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Если обозначить (9z - 1) / 17 через t, то z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Наконец, пусть (- t + 1) / 9 = n, тогда t = 1- 9n. Так как я нахожу только целые решения уравнения, то z, t, n должны быть целыми числами.
Таким образом, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, а поэтому у = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, х = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Итак, если х и у - целые решения данного уравнения, то найдется такое целое число n, что х = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Обратно если у = 9 - 77n, х = 7 - 60n, то, очевидно, х, у - целые. Проверка показывает, что они удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.
9. Решить уравнение 2x+11y =24 в целых числах.
Найду НОД(2; 11)=1
Определю частное решение: x = (24-11y):2
Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 0, x = 12
(12;0) - частное решение.
Все остальные решения нахожу по формулам: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z
Ответ:(-11k+12; 2k); k є Z.
10. Решить уравнение 19x - 7y = 100 в целых числах.
Найду НОД(19; -7)=1
Определю частное решение: x = (100+7y):19
Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 2, x = 6
(6;2) - частное решение.
Все остальные решения нахожу по формулам: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z
Ответ:(7k+6; 19k+2); kє Z.
11. Решить уравнение 24x - 6y = 144 в целых числах
Найду НОД(24; 6)=3.
Уравнение не имеет решений, потому что НОД(24; 6)!=1.
Ответ. Решений нет.
12. Решить уравнение в целых числах.
Преобразую отношение коэффициентов при неизвестных.
Прежде всего, выделю целую часть неправильной дроби;
Правильную дробь заменю равной ей дробью.
Тогда получу.
Проделаю такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью.
Теперь исходная дробь примет вид:
Повторяя те же рассуждения для дроби,получаю.
Выделяя целую часть неправильной дроби, приду к окончательному результату:
Я получила выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превращу получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычту ее из исходной дроби.
Приведу полученное выражение к общему знаменателю и отброшу его, тогда
Из сопоставления полученного равенства с уравнением следует, что, будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в,.
Ответ. (9+52t; 22+127t), t є Z.
Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепyую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.
13. Решить уравнение 3ху + 2х + 3у = 0 в целых числах.
3ху + 2х + 3у =3ху + 2х + 3у + 2 - 2 = 3у(х + 1) + 2(х + 1) - 2 =
=(х + 1)(3у + 2) - 2,
(х + 1)(3у + 2) = 2,
3у + 2 = 1 или 3у + 1 = 2 или 3у + 1 = -1 или 3у + 1 = -2 х + 1 = 2, х + 1 =1, х + 1 = -2, х + 1 = -1; х = 2 или х = 0 или х = -3 или х = -2 у cent z, у = 0, у = -1, у cent z.
Ответ: (0;0);(-3;-1).
14. Решить уравнение у - х - ху = 2 в целых числах.
Решение: у - ху - х + 1 = 3, (у + 1)(1 - х) = 3,
3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).
у + 1 = 1 или у + 1 = 3 или у + 1 = -1 или у + 1 = -3
1 - х =3, 1 - х =1, 1 - х = -3, 1 - х = -1.
у = 0 или у = 2 или у = -2 или у = -4 х =-2, х = 0, х = 4, х = 2
Ответ: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Решить уравнение у + 4х + 2ху = 0 в целых числах.
Решение: у + 4х + 2ху + 2 - 2 = 0, (2х + 1)(2 + у) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2х + 1= 1 или 2х + 1= 2 или 2х + 1= -1 или 2х + 1= -2
2 + у = 2, 2 + у = 1, 2 + у = -2, 2 + у = -1; у = 0 или у = -1 или у = -4 или у = -3 х = 0, х cent Z, х = -1, х cent Z.
Ответ: (-1;-4);(0;0).
16. Решить в целых числах уравнение 5х + 10у = 21.
5(х + 2у) = 21, т. к. 21 != 5n, то корней нет.
Ответ. Корней нет.
17. Решить уравнение 3х + 9у = 51в натуральных числах.
3(х + 3у) = 3∙17, х = 17 - 3у, у = 1, х = 14; у = 2, х = 11; у = 3, х = 8; у = 4, х = 5; у = 5, х = 2; у = 6, х = -1, -1cent N.
Ответ:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14;1).
18. Решить уравнение 7х+5у=232 в целых числах.
Решу это уравнение относительно того из неизвестных, при котором находится наименьший (по модулю) коэффициент, т. е. в данном случае относительно у: у=232-7х5.
Подставлю в это выражение вместо х числа: 0;1;2;3;4. Получаю: х=0, у=2325=4625, х=1, у=232-75=45, х=2, у=232-145=43,6, х=3, у=232-215=42,2, х=4, у=232-285=40,8
Ответ. (1;45).
19. Решить в целых числах уравнение 3x + 4y + 5xy = 6.
Имею 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
Делители 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 нахожу, что при m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 решениями будут: x = -1, -2, 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.
Итак, данное уравнение имеет 4 решения в целых числах и ни одного в натуральных.
Ответ. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Решить уравнение 8х+65у=81в натуральных числах.
81⋮НОД(8;65)=>
8х=81-65у х=81-65у8=16+65-65у8=2+65(1-у)8.
Пусть 1-у8=t, t Є Z. х=2+65t>0у=1-8t>0
65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.
При t=0 х=2у=1
Ответ. (2;1).
21. Найти целые неотрицательные решения уравнения 3х+7у=250.
250⋮НОД(3;7) =>уравнение можно решить в целых числах.
х=250-7у3=243+7-7у3=81+7(1-у)3.
Пусть 1-у3=t, t Є Z.
х=81+7t>=0у=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
х=81+7tу=1-3t t=-11 х=4у=34 t=-10 х=11у=31 t=-9 х=18у=28 t=-8 х=25у=25 t=-7 х=32у=22 t=-6 х=39у=19 t=-5 х=46у=16 t=-4 х=53у=13 t=-3 х=60у=10 t=-2 х=67у=7 t=-1 х=74у=4 t=0 х=81у=1
Ответ. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Решить уравнение ху+х+у3=1988 в целых числах.
Умножим обе части уравнения на 3. Получим:
3х+3ху+у=5964
3х+3ху+у+1=5965
(3х+1)+(3ух+у)=5965
(3х+1) + у(3х+1)=5965
(3х+1)(у+1)=5965
5965=1∙5965 или 5965=5965∙1 или 5965=-1∙(-5965) или 5965=-5965∙(-1) или 5965=5∙1193 или 5965=1193∙1 или 5965=-5∙(-1193) или 5965=-1193∙(-5)
1)3х+1=1у+1=5965 2) 3х+1=5965у+1=1 х=0у=5964 х=1988у=0
3) 3х+1=5у+1=1193 4) 3х+1=1193у+1=5 решений в целых числах нет решений в целых числах нет
5) 3х+1=-1у+1=-5965 6) 3х+1=-5965у+1=-1 решений в целых числах нет решений в целых числах нет
7) 3х+1=-5у+1=-1193 8) 3х+1=-1193у+1=-5 х=-2у=1194 х=-398у=-6
Ответ. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3. 2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Существует несколько типов задач, чаще всего это задачи олимпиадного характера, которые сводятся к решению диофантовых уравнений. Например: а) Задачи по размену суммы денег определённого достоинства.
б) Задачи на переливание, на деление предметов.
1. Купили 390 цветных карандашей в коробках по 7 и по 12 карандашей. Сколько тех и других коробок купили?
Обозначу: x коробок по 7 карандашей, y коробок по 12 карандашей.
Составлю уравнение:7x + 12y = 390
Найду НОД(7; 12)=1
Определю частное решение: x = (390 - 12y):7
Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 1, x = 54
(54;1) - частное решение.
Все остальные решения нахожу по формулам: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z
Я нашла множество решений уравнения. Учитывая условия задачи, определю возможное количество тех и других коробок.
Ответ. Можно купить: 54 коробки по7 карандашей и 1 коробку по 12 карандашей или 42 коробки по 7карандашей и 8 коробок по 12 карандашей, или 30 коробок по 7 карандашей и 15 коробок по 12 карандашей, или 28 коробок по 7 карандашей и 22 коробки по 12 карандашей, или 6 коробок по 7 карандашей и 29 коробок по 12 карандашей.
2. Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а периметр треугольника равен 30 см. Найдите все стороны треугольника.
Обозначу: x см - один катет, (x+7) см - другой катет, y см - гипотенуза
Составлю и решу диофантово уравнение: x+(x+7)+y=30
Найду НОД(2; 1)=1
Определю частное решение: x = (23 - y):2
Используя метод перебора, нахожу значение y =1 y = 1, x = 11
(11;1) - частное решение.
Все остальные решения уравнения нахожу по формулам: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k
Учитывая, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, приходим к выводу, что существует три треугольника со сторонами 7, 9 и 14; 6, 11 и 13; 5, 13 и 12. По условию задачи дан прямоугольный треугольник. Это треугольник со сторонами 5, 13 и 12 (выполняется теорема Пифагора).
Ответ: Один катет равен 5см, другой - 12 см, гипотенуза - 13 см.
3. Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Пусть мальчиков x, а девочек y, при этом x и y - натуральные числа. Составлю уравнение:
Решаю методом подбора: x
6 Только при x = 4 второе неизвестное получает целое положительное значение (y = 6). При любом другом значении x число y будет либо дробным, либо отрицательным. Следовательно, задача имеет одно единственное решение.
Ответ. 4 мальчика и 6 девочек.
4. Можно ли сформировать набор из карандашей стоимостью 3 рубля и ручек стоимостью 6 рублей на сумму 20 рублей?
Пусть количество карандашей в наборе x, а ручек - y.
Составлю уравнение:
При любых целых числах x и y левая часть уравнения должна делиться на 3; правая часть при этом не делится на 3. Это означает, что не существует таких целых x и y, которые удовлетворяли бы нашему уравнению. Это уравнение неразрешимо в целых числах. Сформировать такой набор невозможно.
Ответ. Решений нет.
5. Найти натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 - остаток 3.
Обозначу искомое число через x. Если частное от деления x на 3 обозначу через y, а частное от деления на 5 - через z, то получу: х=3у+2х=5z+3
По смыслу задачи x, y и z должны быть натуральными числами. Значит, нужно решить в целых числах неопределенную систему уравнений.
При любых целых y и z , будет целым и x. Вычту из второго уравнения первое и получу:
5z - 3y + 1 = 0.
Найдя все целые положительные y и z, сразу получу и все целые положительные значения x.
Из этого уравнения нахожу:
Одно решение очевидно: при z = 1 получим y = 2, и x и y целые. Им соответствует решение x = 8.
Найду остальные решения. Для этого введу вспомогательное неизвестное u, полагая z = 1 + u. Получу:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, т. е. 5u = 3y - 6 или 5u = 3(y - 2).
Правая часть последнего уравнения при любом целом y делится на 3. Значит, и левая часть должна делиться на 3. Но число 5 - взаимно-простое с числом 3; поэтому u должно разделиться на 3, т. е. иметь вид 3n, где n - целое число. В этом случае y будет равняться
15n/3 + 2 = 5n + 2, т. е. тоже целому числу. Итак, z = 1 + u = 1 + 3n, откуда x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Получилось не одно, а бесконечное множество значений для x: x = 8 + 15n, где n - целое число (положительное или ноль):
Ответ. х=8+15n; n є 0;1;2;.
6. Подданные привезли в дар шаху 300 драгоценных камней: в маленьких шкатулках по 15 штук в каждой и в больших - по 40 штук. Сколько было тех и других шкатулок, если известно, что маленьких было меньше, чем больших?
Обозначу за х количество маленьких шкатулок, а за у - количество больших.
15х+40у=300. Сокращу на 5.
3х+8у=60 х=60-8у3 х=60-6у-2у3
Х=20-2у-2у3
Чтобы значение дроби было целым числом, надо чтобы 2у было кратным 3, т. е. 2у=3с.
Выражу переменную у и выделю целую часть:
Z должно быть кратно 2, т. е. z=2u.
Выражу переменные х и у через u:
Х=20-2у-2у3
Х=20-2∙3u-2∙3u3
Составлю и решу систему неравенств:
Выпишу целые решения: 1; 2. Теперь найду значения х и у при u=1; 2.
1) х1=20-8∙1=20-8=12 у1=3∙1=3
2) х2=20-8∙2=20-16=4 у2=3∙2=6
Ответ. 4 маленькие шкатулки; 6 больших шкатулок.
7. Даны два автомобиля Урал 5557, автомобили отправили в рейс Краснотурьинск - Пермь - Краснотурьинск. Всего понадобилось 4 т дизельного топлива и 2 водителя, чтобы выполнить этот рейс. Нужно определить транспортные затраты, а именно стоимость 1 т дизельного топлива и оплату труда водителей, выполняющих этот рейс, если известно, что всего затрачено 76000 р.
Пусть х рублей - стоимость 1 т дизельного топлива, а у рублей - оплата труда водителей. Тогда (4х + 2у) рублей - затрачено на выполнение рейса. А по условию задачи затрачено 76000 р.
Получу уравнение:
Для решения этого уравнения метод перебора окажется трудоемким процессом. Так что воспользуюсь методом >.
Выражу переменную у через х: , выделю целую часть, получу: (1).
Чтобы значение дроби было целым числом, нужно чтобы, 2х было кратно 4. Т. е. 2х = 4z, где z - целое число. Отсюда:
Значение х подставлю в выражение (1):
Т. к. х, у 0, то 19000 z 0, следовательно, придавая z целые значения от 0 до 19000, получу следующие значения x и y: z
Из настоящих данных о транспортных затратах известно, что 1 т дизельного топлива (х) стоит 18000 р. , а оплата труда водителей, выполняющих рейс (у) составляет 10000 р. (данные взяты приближенно). По таблице найдем, что значению х, равному 18000 и значению у, равному 10000 соответствует значение z, равное 9000, действительно: ;.
8. Сколькими способами можно набрать сумму 27р. , имея достаточно много двухрублёвых и пятирублёвых монет?
Обозначу: x двухрублёвых монет и y пятирублёвых монет
Составлю уравнение, учитывая условие задачи 2x +5y = 27.
Найду НОД(2;5)=1
Определю частное решение: x = (27-5y):2
Используя метод перебора, нахожу значение y є y = 1, x = 11
(11;1) - частное решение.
Все остальные решения находятся по формулам: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z
Данное уравнение имеет множество решений. Найдём все способы, с помощью которых можно набрать сумму 27 рублей предложенными монетами. k
Ответ. Существует три способа, которыми можно набрать данную сумму, имея достаточно много двухрублёвых и пятирублёвых монет.
9. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд - по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?
Пусть х - количество морских звёзд, у - количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног.
Составлю уравнение: 5х + 8у = 39.
Замечу, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х - целое неотрицательное число, то и у=(39 - 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.
Ответ: (3; 3).
10. На мебельной фабрике изготовляют табуреты с тремя и с четырьмя ножками. Мастер сделал 18 ножек. Какое количество табуретов можно изготовить так, чтобы использовать все ножки?
Пусть x - количество трехногих табуретов, а у - количество четырехногих. Тогда, 3x + 4y = 18.
Имею, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.
Получаю: x = 2; y = 3 или x = 6; y = 0.
Других решений нет, так как x 6.
Ответ. 2;3;(6;0).
11. Можно ли разместить 718 человек в 4-х и 8 - ми местных каютах, так что бы в каютах не было свободных мест?
Пусть 4-х местных кают - х, а 8-ми местных - у, тогда:
2(х + 2у) = 309
Ответ. Нельзя.
12. Доказать, что на прямой 124х + 216у = 515 нет ни одной точки с целочисленными координатами.
НОД(124;216) = 4, 515 != 4n, значит, целочисленных решений нет.
Ответ. Решений нет.
13. Стоимость товара 23 рубля, покупатель имеет только 2-х рублевые, а кассир 5-ти рублевые монеты. Можно ли осуществить покупку без предварительного размена денег?
Пусть х - количество 2-х рублевых монет, у - количество 5-ти рублевых монет, тогда 2х - 5у = 23, где х,у є N.
Получаю: 2х = 23 + 5у, откуда х =23 + 5у2 =11 + 2у + (1 + у)2 х будет целым, если 1 + у2 есть число целое.
1 + у2 = t, где t Euro Z, тогда у = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + у2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
T. o. x = 5t + 9, a y = 2t - 1, где t є z.
Задача имеет множество целочисленных решений. Простейшее из них при t = 1, x =14, y = 1, т. е. покупатель даст четырнадцать 2-х рублёвых монет и получит сдачу одну 5-ти рублёвую монету.
Ответ. Можно.
14. При ревизии торговых книг магазина одна из записей оказалась залитой чернилами и имела такой вид:
> Невозможно было разобрать число проданных метров, но было несомненно, что число это не дробное; в вырученной сумме можно было различить только три последние цифры, да установить еще, что перед ними были три какие-то другие цифры. Можно ли по этим данным восстановить запись?
Пусть число метров было х, тогда стоимость товара в копейках - 4936х. Три залитые цифры в сумме обозначим за у, это число тысяч копеек, а вся сумма в копейках выразится так (1000у + 728).
Получаю уравнение 4936х = 1000у + 728, поделю его на 8.
617х - 125у = 91, где х,у є z, x,y
125у =617х - 91 у = 5х - 1 +34 - 8х125 = 5х - 1 + 2 17 - 4х125 =
5х - 1 + 2t, где t = 17 - 4х125, t Euro Z.
Из уравнения t = (17 - 4х)/125 получаю х = 4 - 31t + 1 - t4 =
4 - 31t + t1, где t1 = 1 - t4, отсюда t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.
По условию знаю, что 100
100 = 234/617 и t1
Значит, было отпущено 98 метров на сумму 4837,28 рублей. Запись восстановлена.
Ответ. Отпущено 98 метров.
15. Требуется на один рубль купить 40 штук почтовых марок - копеечных, 4- копеечных и 12 - копеечных. Сколько марок каждого достоинства можно купить?
Можно составить два уравнения: x + 4у + 12z = 100 и x + y + z = 40, где х - число копеечных марок, у - 4-копеечных, z - 12-копеечных. Вычитаю из первого уравнения второе получаю:
3у + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.
Пусть z3 = t, z = 3t, где t Euro Z. Тогда получаю, если х + у + z = 40 и z = 3t, а у = 20 - 11t, х = 20 + 8t.
Т. к. х >= 0, у >= 0, z >= 0, то 0
Тогда соответственно получаю: t = 0, х = 20, у = 20, z= 0; t = 1, х = 28, у = 9, z = 3.
Итак, покупка марок может быть произведена только двумя способами, а если поставить условие, чтобы была куплена хотя бы одна марка каждого достоинства, - только одним способом.
Ответ. 28 марок по 1 копейке, 9 марок по 4 копейки и 3 марки по 12 копеек.
16. Ученику дали задание из 20 задач. За каждую верно решенную он получает 8 баллов, за каждую, не решенную, с него снимают 5 баллов. За задачу, за которую он не брался - 0 баллов. Ученик в сумме набрал 13 баллов. Сколько задач он брался решать?
Пусть верно решенных задач - х, а неверно решенных - у, не рассмотренных - z.
Тогда х + у + z = 20, а 8х - 5у = 13.
у = 8х - 135= х - 2 +3(х - 1)5 = х - 2 + 3t, где t = х - 15, а х = 5t + 1.
По условию х + у
Ответ: ученик брался решать 13 задач, 6 решил, с 7 не справился.
17. Иванушка Дурачок бьется со Змеем Горынычем, у которого 2001 голова. Махнув мечем налево, Иван срубает 10 голов, а взамен вырастают 16. Махнув, мечем направо - срубает15, вырастают - 6. Если все головы срублены - новых не вырастает. Махать можно в произвольном порядке, но если голов меньше 15, то только налево, а если меньше 10, то вообще нельзя. Может ли Иванушка Дурачок победить Змея Горыныча?
Переформулирую задачу: можно ли срубить 1986 голов? Тогда, оставшиеся 15, Иван срубит одним ударом направо и новых не вырастет.
Пусть х - число ударов направо, а у - число ударов налево, тогда 1986 - 9х + 6у = 0.
Поделю всё уравнение на 6, получу
3х - 2у = 662.
у = 3х - 6622= х - 331 + х2.
Пусть х2 = t, тогда x = 2t, a y = 3t - 331.
Т. к. х >= 0, у >= 0, то t >= 111, отсюда t = 111, х = 222, у = 2.
Получаю: ударив 220 раз направо, Иван срубает 1980 голов и у Змея остаётся 21 голова; затем 2 удара налево и у Змея вырастают 12 голов, всего их становится 33; следующие 2 удара направо лишают Змея 18 голов и оставшиеся 15 Иван срубает последним ударом направо и новых голов уже не вырастает.
Ответ: 220 ударов направо, 2 удара налево и ещё 3 удара направо.
18. У игрального кубика грани пронумерованы - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из 5 таких кубиков сложили башню и сосчитали сумму очков на всех видимых гранях, после того как сняли верхний куб сумма уменьшилась на 19, какое число оказалось на верхней грани верхнего куба?
Сумма очков одного куба - 21.
Пусть х - количество очков на нижней грани верхнего куба, а у - количество очков на верхней грани следующего куба. При снятии верхнего куба, пропадают очки 5 граней верхнего куба, сумма очков которых (21 - х), а появляется грань на которой у очков, значит, сумма очков уменьшилась на (21 - х) - у, а по условию это 19, отсюда:
(21 - х) - у = 19, х + у = 2.
Отсюда у = 2 - х, а по условию 1
19. Некто купил 30 птиц за 30 монет одного достоинства. За каждых 3 воробьёв уплачена одна монета, за 2 снегиря - 1 монета, за 1 голубя - 2 монеты. Сколько птиц каждого вида было?
Пусть воробьёв было - х, снегирей - у, а голубей - z. Тогда, согласно условию х + у + z = 30 и 13x + 12y + 2z = 30.
Получаю х + у + z = 30 и 2x + 3y + 12z = 180, или y + 10z = 120, y = 120 - 10z, где по условию х
Отсюда следующие варианты (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).
Ответ: воробьев - 0, снегирей - 20, голубей - 10; воробьев - 9, снегирей - 10, голубей - 11; воробьев - 18, снегирей - 0, голубей - 12.
20. Найти все двухзначные числа, каждое из которых, будучи уменьшено на 2, равно упятеренному произведению своих цифр.
Пусть ху искомые двузначные числа.
Для уравнения ху - 2 = 5ху, или (10х + у) - 5ху = 2 S = 0 и все натуральные решения найду из множества (х; 2).
Т. к. х - первая цифра двухзначных чисел, то она может принимать только 9 значений.
Т. о. , искомыми числами будут: 12, 22, 32,. , 92.
Ответ. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см так, чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?
Пусть х- число частей проволоки длиной 15 см, у- число частей проволоки длиной 12 см. Составлю уравнение:
15х+12у=102 /:3
4х+3у=34 х=34-4у5=6+4-4у5=6+4(1-у)5.
Пусть 1-у5=t х=6+4t>0у=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.
Если t=0, то х=6у=1
Если t=-1, то х=2у=6
Ответ. Задача имеет два решения:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Пете в 1987 году было столько лет, какова сумма цифр года его рождения. В каком году он родился?
Пусть Петя родился в 19ху году. Тогда в 1987 году ему было 1987-19ху, или (1+9+х+у) лет. Имеем уравнение:
87-(10х+у)=10+х+у
77-11х=2у у=77-11х2=38-11х-12.
Учитывая, что х и у - цифры десятичной системы счисления, то подбором находим: х=3, у=1.
Ответ. Петя родился в 1970 году.
23. Некто покупает в магазине вещь стоимостью 19 р. У него имеются лишь 15-трехрублевок, у кассира же лишь 20-пятирублевок. Можно ли расплатиться и как?
Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения: 3x - 5y = 19, где x
Ввиду того, что x>0 и y > 0 и учитывая условия задачи, легко установить, что 0
Отсюда вытекает 2 возможных значения: x
Ответ. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества на чашечных весах, имея только 4 гири весом в 3 г и 7 гирь весом в 5г?
Для этого нужно решить уравнение:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Итак, x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
Из условий задачи вытекает, что y1 нельзя давать отрицательные значения. Далее должно быть y1
Ответ. 1 гиря в 3 г и 5 гирь в 5 г.
25. Покупатель приобрел в магазине на 21 р. товара. Но у него в наличии денежные знаки только 5 - рублевого достоинства, а у кассира - 3 - рублевого. Требуется знать, можно ли при наличии денег расплатиться с кассиром и как именно?
Пусть x - число 5 - рублевок, y - 3 - рублевок.
По условию x > 0, y > 0, значит.
Кроме того, t - четное, иначе ни x, ни y не будет целыми.
При t = 4, 6, 8,. имеем: t
Ответ. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. Имеется 110 листов бумаги. Требуется из них сшить тетради по 8 листов и по 10 листов в каждой. Сколько надо сшить тех и других?
Пусть x - число 8 - листовых тетрадей, y - число 10 - листовых тетрадей.
Значит t = 0 или t = - 1
Ответ. 5;7;(10;3).
27. Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Тех, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (x) на 12 и номера месяца (y) на 31.
Пусть сумма произведений, о которых идет речь, равна 330. Найти дату рождения.
Решим неопределенное уравнение: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3
Итак, дата рождения: 12 число 6 - го месяца.
28. Можно ли двухрублевыми и пятирублевыми монетами набрать сумму в 51 рубль? Если можно, то сколько существует способов?
Пусть было х - двухрублевых монет, а пятирублевых - у монет.
Пусть 1+у2=z, тогда
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Ответ: 5 способов.
29. Можно ли разложить две сотни яиц в коробки по 10 и по 12 штук? Если можно, то найдите все такие способы.
Пусть было х коробок по 10 штук и у коробок по 12 штук. Составлю уравнение: z = 1, 2, 3
Ответ: 14;5;8;10;(2;15)
30. Представьте число 257 в виде суммы двух натуральных слагаемых: а) одно из которых кратное 3, а другое - 4; б) одно из которых кратное 5, а другое - 8.
Ответ: 1) 249 и 8; 2) 225 и 32.
В задачах на неопределенные уравнения я столкнулась с самыми разнообразными случаями: задача может быть совсем неразрешимой (Задача 4), может иметь бесконечное множество решений (Задача 2), может иметь несколько определенных решений; в частности, она может иметь одно единственное решение (Задача 1).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Цель, которую я поставила перед собой, мной реализована. Работа над проектом вызвала интерес и увлекла меня. Эта работа потребовала от меня не только определенных математических знаний и настойчивости, но и дала мне возможность почувствовать огромную радость самостоятельного открытия.
Диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, поэтому они развивают логическое мышление, повышают уровень математической культуры, прививают навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.
При решении уравнений и задач, сводящихся к диофантовым уравнениям, применяются свойства простых чисел, метод разложения многочлена на множители, метод перебора, метод спуска и алгоритм Евклида. На мой взгляд, метод спуска самый сложный. А симпатичнее для меня оказался метод перебора.
В работе мною решено 54 задачи.
Эта работа способствовала более глубокому пониманию школьной программы и расширению кругозора.
Данный материал будет полезен учащимся, интересующихся математикой. Его можно использовать на некоторых уроках и на факультативных занятиях.