فرمول های مثلثاتی: کسینوس، سینوس و مماس زاویه دوتایی. فرمول های مثلثاتی: کسینوس، سینوس و مماس زاویه مضاعف استخراج فرمول سینوس زاویه دوتایی

در مثلثات، بسیاری از فرمول ها آسان تر از به خاطر سپردن هستند. کسینوس زاویه دوتایی یک فرمول فوق العاده است! این به شما امکان می دهد فرمول هایی را برای کاهش درجه و فرمول هایی برای نیم زوایای بدست آورید.

بنابراین، ما به کسینوس زاویه دوتایی و واحد مثلثاتی نیاز داریم:

آنها حتی شبیه هم هستند: در فرمول کسینوس دو زاویه ای اختلاف بین مجذورهای کسینوس و سینوس است و در واحد مثلثاتی مجموع آنهاست. اگر کسینوس را از واحد مثلثاتی بیان کنیم:

و آن را با کسینوس زاویه دوتایی جایگزین کنیم، به دست می آوریم:

این یکی دیگر از فرمول کسینوس دو زاویه است:

این فرمول کلید به دست آوردن فرمول کاهش است:

بنابراین، فرمول کاهش درجه سینوس به صورت زیر است:

اگر در آن زاویه آلفا با نیم زاویه آلفا به نصف جایگزین شود و زاویه دو آلفا با زاویه آلفا جایگزین شود، فرمول نیم زاویه را برای سینوس به دست می آوریم:

اکنون می توانیم سینوس را از واحد مثلثاتی بیان کنیم:

بیایید این عبارت را با فرمول کسینوس دو زاویه جایگزین کنیم:

ما فرمول دیگری برای کسینوس زاویه دوتایی گرفتیم:

این فرمول کلید یافتن فرمول کاهش توان کسینوس و نیم زاویه برای کسینوس است.

بنابراین، فرمول کاهش درجه کسینوس به صورت زیر است:

اگر α/2 و 2α را با α جایگزین کنیم، فرمول نیم آرگومان برای کسینوس را بدست می آوریم:

از آنجایی که مماس نسبت سینوس به کسینوس است، فرمول مماس به صورت زیر است:

کوتانژانت نسبت کسینوس به سینوس است. بنابراین، فرمول کوتانژانت به صورت زیر است:

البته در فرآیند ساده سازی عبارات مثلثاتی، استخراج فرمول نیم زاویه یا کاهش هر بار یک درجه فایده ای ندارد. قرار دادن یک ورق کاغذ با فرمول ها در مقابل شما بسیار ساده تر است. و ساده سازی سریعتر حرکت می کند و حافظه بصری حفظ را روشن می کند.

اما هنوز ارزش چندین بار استخراج این فرمول ها را دارد. آن وقت کاملا مطمئن خواهید بود که در حین امتحان که امکان استفاده از برگه تقلب وجود ندارد، در صورت نیاز به راحتی آنها را دریافت خواهید کرد.

متداول ترین سوالات

آیا می توان با توجه به نمونه ارائه شده روی سند مهر زد؟ پاسخ بله امکانش هست. یک کپی اسکن شده یا یک عکس با کیفیت خوب را به آدرس ایمیل ما بفرستید و ما کپی لازم را انجام خواهیم داد.

شما چه نوع پرداختی را قبول می کنید؟ پاسخ پس از بررسی صحت تکمیل و کیفیت اجرای مدرک می توانید هزینه سند را پس از دریافت توسط پیک پرداخت نمایید. این را می توان در دفتر شرکت های پستی که خدمات تحویل نقدی ارائه می دهند نیز انجام داد.
کلیه شرایط تحویل و پرداخت اسناد در بخش "پرداخت و تحویل" توضیح داده شده است. همچنین آماده شنیدن پیشنهادات شما در خصوص شرایط تحویل و پرداخت سند هستیم.

آیا می توانم مطمئن باشم که پس از ثبت سفارش با پول من ناپدید نمی شوید؟ پاسخ ما تجربه بسیار طولانی در زمینه تولید دیپلم داریم. ما چندین وب سایت داریم که دائما به روز می شوند. متخصصان ما در نقاط مختلف کشور کار می کنند و روزانه بیش از 10 سند تولید می کنند. در طول سال ها، اسناد ما به بسیاری از افراد کمک کرده است تا مشکلات شغلی را حل کنند یا به مشاغل پردرآمدتر بروند. ما اعتماد و شناخت را در بین مشتریان به دست آورده ایم، بنابراین هیچ دلیلی برای انجام این کار وجود ندارد. علاوه بر این، انجام این کار به صورت فیزیکی غیرممکن است: شما هزینه سفارش خود را در لحظه دریافت آن در دستان خود پرداخت می کنید، هیچ پیش پرداختی وجود ندارد.

آیا می توانم از هر دانشگاهی دیپلم سفارش دهم؟ پاسخ به طور کلی، بله. ما نزدیک به 12 سال است که در این زمینه کار می کنیم. در این مدت بانک اطلاعاتی تقریباً کاملی از مدارک صادر شده توسط تقریباً تمامی دانشگاه های کشور و برای سال های مختلف صدور تشکیل شد. تنها چیزی که نیاز دارید انتخاب دانشگاه، تخصص، مدرک و تکمیل فرم سفارش است.

در صورت مشاهده اشتباهات تایپی و خطا در یک سند چه باید کرد؟ پاسخ هنگام دریافت سند از پیک یا شرکت پست ما، توصیه می کنیم تمام جزئیات را به دقت بررسی کنید. در صورت کشف اشتباه تایپی، اشتباه یا عدم دقت، حق عدم تحویل مدرک را دارید، اما باید ایرادات شناسایی شده را شخصاً به پیک یا کتباً با ارسال ایمیل اعلام کنید.
ما سند را در اسرع وقت تصحیح کرده و مجدداً به آدرس مشخص شده ارسال می کنیم. البته هزینه ارسال به عهده شرکت ما خواهد بود.
برای جلوگیری از چنین سوءتفاهماتی، قبل از پر کردن فرم اصلی، ماکتی از سند آینده را برای بررسی و تایید نسخه نهایی به مشتری ایمیل می کنیم. قبل از ارسال سند از طریق پیک یا پست، عکس‌ها و فیلم‌های اضافی (از جمله در نور ماوراء بنفش) را نیز می‌گیریم تا شما تصور واضحی از آنچه در پایان دریافت خواهید کرد داشته باشید.

برای سفارش دیپلم از شرکت شما چه کار کنم؟ پاسخ برای سفارش سند (گواهی، دیپلم، گواهی تحصیلی و غیره) باید فرم سفارش آنلاین موجود در وب سایت ما را پر کنید یا ایمیل خود را ارائه دهید تا بتوانیم یک فرم درخواست را برای شما ارسال کنیم که باید آن را پر کرده و ارسال کنید. به ما.
اگر نمی دانید در هر قسمت از فرم سفارش/پرسشنامه چه چیزی را مشخص کنید، آنها را خالی بگذارید. بنابراین، ما تمام اطلاعات گم شده را از طریق تلفن روشن خواهیم کرد.

آخرین بررسی ها

توری وایلد:

وقتی به شهر دیگری نقل مکان کردم و نتوانستم دیپلمم را بین وسایلم پیدا کنم، تصمیم گرفتم از شرکت شما مدرک بخرم. بدون او من برای یک کار خوب و با درآمد خوب استخدام نمی شدم. مشاور شما به من اطمینان داد که این اطلاعات فاش نشده است و هیچ کس سند را از اصل تشخیص نخواهد داد. هیچ شکی وجود نداشت، اما باید ریسک می کردم. من دوست داشتم که هیچ پیش پرداختی لازم نیست. در کل دیپلمم را به موقع گرفتم و فریب نخوردم. متشکرم!

اوکسانا ایوانونا:

وقتی دیپلمم را دزدیدند به شدت ناراحت شدم. از این گذشته ، من دقیقاً در آن زمان اخراج شدم و اکنون تقریباً غیرممکن است که یک شغل خوب بدون دیپلم تحصیلات عالی پیدا کنم. خوشبختانه، یکی از همسایگان پیشنهاد کرد با سازمان شما تماس بگیرید. در ابتدا شک داشتم، اما تصمیم گرفتم ریسک کنم. با مدیر شرکت تماس گرفتم و شرایطم را توضیح دادم. و من خوش شانسم! آنها همه کارها را به سرعت انجام دادند و مهمتر از همه، آنها قول دادند که راز من را فاش نکنند. من نگران بودم که این حقیقت که دیپلم را خریده بودم بعداً بیرون نیاید.

ماشا کوتنکووا:

با تشکر از کار! من از سال 91 دیپلم سفارش دادم. وقتی آنها شروع به جمع آوری اسناد کردند، معلوم شد که تجربه کمی وجود دارد، و آنها همچنین به مقاله ای نیاز داشتند که تحصیلات خود را تأیید کند. من یکی نداشتم و رئیس این را می دانست و او خودش شرکت شما را توصیه کرد (ظاهراً من شبیه کارمند نیستم). روی سند، او جزئیات را به من اشاره کرد - می گویند در چه سال هایی از جوهر یا جوهر استفاده می کنند، ضخامت امضا و غیره. ممنون از دقت و کیفیت!

LenOK:

پس از خواندن داستان هایی در مورد اخراج شرم آور کارمندانی که مدارک آنها روی چاپگر رنگی چاپ شده بود، برای درخواست به دانشگاه رفتم. افسوس که نه بودجه ای وجود دارد، نه پولی برای مطالعه و نه پولی برای پرداخت جلسات، بنابراین مجبور شدم ریسک کنم. گرچه خیلی خوشحالم که با شرکت شما آشنا شدم. با اینکه به دلیل عدم موفقیت در بلوک عملی با مدرک دیپلم شما استخدام نشدم، تقصیر شما نیست. به محض اینکه یک مکان جدید پیدا کردم، بدون معطلی مستقیم به سراغ شما خواهم آمد!

جری تری:

تماشای اینکه با چه شرمندگی همکارم را به خاطر مدرک جعلی از کار بیرون انداختند، الگوبرداری از او ترسناک بود. اگر مادرخوانده ای که به شما سفارش کرده نبود، ریسک نمی کردم. او اطمینان داد که اینجا همه چیز صاف است و نام من در هر جایی که لازم باشد وجود خواهد داشت. من 4 روز فرصت داشتم تا همه کارها را انجام دهم. از سرعت شما متشکریم - ما آن را در 3 کامل کردیم و همچنین موفق شدیم روش های جعل اسناد را با دقت مطالعه کنیم ، اما فرم شما جعلی نیست ، به این معنی که برای نسخه اصلی تصویب می شود.

آندری:

هیچ وقت فکر نمی کردم که باید مدرک بخرم. بعد از مدرسه، دخترم برای کار به لهستان رفت، وقتی 5 سال بعد برگشت، می خواست به عنوان طراح لباس در یک خانه مد محلی شغلی پیدا کند. بدون مدرک، هیچ کس نمی خواست او را استخدام کند. او فهمید که اگر این شغل را نگیرد، دوباره می رود. عصر را به گشت و گذار در اینترنت گذراندم و صبح با مدارک دخترم در دفتر بودم. یک هفته بعد مدرک دیپلم را با خود برد و در نهایت در شهر خود در موقعیت مورد نظر ماندگار شد. نمیدونی چقدر ازت ممنونم!

فرمول های جمع به شما امکان می دهند sin(2*a)، cos(2*a) و tan(a) را از طریق توابع مثلثاتی زاویه a بیان کنید.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

اجازه دهید a = b را در این فرمول ها قرار دهیم. در نتیجه، ما هویت های زیر را به دست می آوریم:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

به این هویت ها فرمول های دو زاویه ای می گویند. بیایید به چندین مثال از استفاده از فرمول های زاویه دوتایی نگاه کنیم.

مثال 1.مقدار sin(2*a) را بیابید، با دانستن اینکه cos(a) = 0.8- و a زاویه ربع سوم است. راه حل:

ابتدا sin(a) را محاسبه می کنیم. از آنجایی که زاویه a ربع سوم است، سینوس در ربع سوم منفی خواهد بود:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

با استفاده از فرمول سینوس دو زاویه داریم:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 .

پاسخ: sin(2*a) = 0.96.

مثال 2.عبارت sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) را ساده کنید. راه حل:

بیایید sin(a)*cos(a) را از پرانتز خارج کنیم. ما گرفتیم:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

حالا بیایید از فرمول های زاویه دوتایی استفاده کنیم:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*سین(4*a).

پاسخ: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

با استفاده از فرمول های زاویه دوتایی می توانید عبارات زیر را بدست آورید

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2،

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

گاهی اوقات هنگام حل مثال ها استفاده از این فرمول ها بسیار راحت است. به مثال زیر توجه کنید:

مثال 3.عبارت (1-cos(a))/(1+cos(a)) را ساده کنید. راه حل:

بیایید فرمول های نوشته شده در بالا را برای عبارات (1-cos(a)) و (1+cos(a)) اعمال کنیم. برای این کار ابتدا زاویه a را به شکل حاصلضرب 2*(a/2) نشان می دهیم.

در نتیجه تحولات به دست می آوریم:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)،

با استفاده از تعریف مماس داریم:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

پاسخ: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

- مطمئناً وظایفی در مورد مثلثات وجود خواهد داشت. مثلثات معمولاً به دلیل نیاز به جمع کردن تعداد زیادی فرمول دشوار، مملو از سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و کوتانژانت ها مورد علاقه نیست. این سایت قبلاً با استفاده از مثال فرمول های اویلر و پیل توصیه هایی در مورد نحوه به خاطر سپردن فرمول فراموش شده ارائه کرده است.

و در این مقاله سعی خواهیم کرد نشان دهیم که کافی است فقط پنج فرمول مثلثاتی ساده را با قاطعیت بدانید و از بقیه درک کلی داشته باشید و در حین حرکت آنها را استخراج کنید. مانند DNA است: مولکول نقشه های کامل یک موجود زنده را ذخیره نمی کند. بلکه حاوی دستورالعمل هایی برای مونتاژ آن از اسیدهای آمینه موجود است. بنابراین در مثلثات، با دانستن برخی اصول کلی، تمام فرمول های لازم را از مجموعه کوچکی از مواردی که باید در نظر داشته باشید، بدست می آوریم.

ما بر فرمول های زیر تکیه خواهیم کرد:

از فرمول‌های مجموع سینوس و کسینوس، با دانستن برابری تابع کسینوس و عجیب بودن تابع سینوس، با جایگزینی -b به جای b، فرمول‌هایی را برای تفاوت‌ها به دست می‌آوریم:

1. دلیل تفاوت: گناه(الف-ب) = گناهآcos(-ب)+cosآگناه(-ب) = گناهآcosب-cosآگناهب
2. کسینوس تفاوت: cos(الف-ب) = cosآcos(-ب)-گناهآگناه(-ب) = cosآcosب+گناهآگناهب

با قرار دادن a = b در فرمول های مشابه، فرمول های سینوس و کسینوس زاویه های دوتایی را به دست می آوریم:

1. سینوس زاویه دوتایی: گناه2a = گناه(a+a) = گناهآcosآ+cosآگناهآ = 2گناهآcosآ
2. کسینوس زاویه دوتایی: cos2a = cos(a+a) = cosآcosآ-گناهآگناهآ = cos2 الف-گناه2 الف

فرمول زوایای چندگانه دیگر نیز به همین صورت به دست می آید:

1. سینوس زاویه سه گانه: گناه3a = گناه(2a+a) = گناه2acosآ+cos2aگناهآ = (2گناهآcosآ)cosآ+(cos2 الف-گناه2 الف)گناهآ = 2گناهآcos2 الف+گناهآcos2 الف-گناه 3 a = 3 گناهآcos2 الف-گناه 3 a = 3 گناهآ(1-گناه2 الف)-گناه 3 a = 3 گناهآ-4گناه 3a
2. کسینوس زاویه سه گانه: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosآ-گناه2aگناهآ = (cos2 الف-گناه2 الف)cosآ-(2گناهآcosآ)گناهآ = cos 3 الف- گناه2 الفcosآ-2گناه2 الفcosآ = cos 3 الف-3 گناه2 الفcosآ = cos 3 a-3(1- cos2 الف)cosآ = 4cos 3 الف-3 cosآ

قبل از اینکه به ادامه مطلب بپردازیم، اجازه دهید یک مشکل را بررسی کنیم.
با توجه به: زاویه حاد است.
کسینوس آن را پیدا کنید اگر
راه حل ارائه شده توسط یک دانش آموز:
زیرا ، آن گناهآ= 3، a cosآ = 4.
(از طنز ریاضی)

بنابراین، تعریف مماس این تابع را به سینوس و کسینوس مرتبط می کند. اما می توانید فرمولی بدست آورید که مماس را فقط به کسینوس مرتبط می کند. برای استخراج آن، هویت مثلثاتی اصلی را در نظر می گیریم: گناه 2 آ+cos 2 آ= 1 و تقسیم آن بر cos 2 آ. ما گرفتیم:

بنابراین راه حل این مشکل این خواهد بود:

(از آنجایی که زاویه تند است، هنگام استخراج ریشه علامت + گرفته می شود)

فرمول مماس مجموع فرمول دیگری است که به خاطر سپردن آن دشوار است. بیایید آن را به این صورت خروجی بگیریم:

بلافاصله نمایش داده می شود و

از فرمول کسینوس برای زاویه مضاعف، می توانید فرمول سینوس و کسینوس را برای نیم زاویه به دست آورید. برای انجام این کار، در سمت چپ فرمول کسینوس دو زاویه:
cos2 آ = cos 2 آ-گناه 2 آ
ما یک را اضافه می کنیم، و به سمت راست - یک واحد مثلثاتی، یعنی. مجموع مجذورات سینوس و کسینوس
cos2a+1 = cos2 الف-گناه2 الف+cos2 الف+گناه2 الف
2cos 2 آ = cos2 آ+1
بیان کننده cosآاز طریق cos2 آو با انجام تغییر متغیرها، دریافت می کنیم:

علامت بسته به ربع گرفته می شود.

به همین ترتیب، با کم کردن یک از سمت چپ تساوی و مجموع مجذورات سینوس و کسینوس از سمت راست، به دست می‌آید:
cos2a-1 = cos2 الف-گناه2 الف-cos2 الف-گناه2 الف
2گناه 2 آ = 1-cos2 آ

و در نهایت برای تبدیل مجموع توابع مثلثاتی به حاصل ضرب از تکنیک زیر استفاده می کنیم. فرض کنید باید مجموع سینوس ها را به عنوان یک محصول نمایش دهیم گناهآ+گناهب. بیایید متغیرهای x و y را طوری معرفی کنیم که a = x+y، b+x-y. سپس
گناهآ+گناهب = گناه(x+y)+ گناه(x-y) = گناهایکس cos y+ cosایکس گناه y+ گناهایکس cos y- cosایکس گناه y=2 گناهایکس cos y اکنون x و y را بر حسب a و b بیان می کنیم.

از آنجایی که a = x+y، b = x-y، پس . از همین رو

شما می توانید بلافاصله پس بگیرید

1. فرمول پارتیشن بندی محصولات سینوس و کسینوس V میزان: گناهآcosب = 0.5(گناه(a+b)+گناه(الف-ب))

توصیه می کنیم برای تبدیل تفاضل سینوس ها و مجموع و تفاضل کسینوس ها به حاصل ضرب و همچنین برای تقسیم حاصل از سینوس ها و کسینوس ها به مجموع فرمول هایی را خودتان تمرین و استخراج کنید. با انجام این تمرین ها، مهارت استخراج فرمول های مثلثاتی را کاملاً مسلط خواهید کرد و حتی در سخت ترین آزمون، المپیاد یا تست زنی گم نمی شوید.