ત્રિકોણમિતિ સૂત્રો: કોસાઈન, સાઈન અને ડબલ કોણની સ્પર્શક. ત્રિકોણમિતિ સૂત્ર: કોસાઈન, સાઈન અને ડબલ કોણની સ્પર્શક

ત્રિકોણમિતિમાં, ઘણા સૂત્રો યાદ રાખવા કરતાં મેળવવામાં સરળ છે. ડબલ એન્ગલનો કોસાઇન એ અદ્ભુત સૂત્ર છે! તે તમને ડિગ્રી ઘટાડવા માટેના સૂત્રો અને અડધા ખૂણા માટેના સૂત્રો મેળવવા માટે પરવાનગી આપે છે.

તેથી, આપણને ડબલ કોણ અને ત્રિકોણમિતિ એકમના કોસાઇનની જરૂર છે:

તેઓ સમાન છે: ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલામાં તે કોસાઇન અને સાઇનના ચોરસ વચ્ચેનો તફાવત છે, અને ત્રિકોણમિતિ એકમમાં તે તેમનો સરવાળો છે. જો આપણે ત્રિકોણમિતિ એકમમાંથી કોસાઇન વ્યક્ત કરીએ:

અને તેને ડબલ એંગલના કોસાઇનમાં બદલીએ, આપણને મળે છે:

આ બીજું ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલા છે:

આ સૂત્ર ઘટાડો ફોર્મ્યુલા મેળવવા માટેની ચાવી છે:

તેથી, સાઇનની ડિગ્રી ઘટાડવા માટેનું સૂત્ર છે:

જો તેમાં આલ્ફા એંગલને અડધા ખૂણાના આલ્ફા દ્વારા અડધા ભાગમાં બદલવામાં આવે છે, અને ડબલ એન્ગલ બે આલ્ફાને આલ્ફા એન્ગલ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો આપણે સાઈન માટે હાફ એન્ગલ ફોર્મ્યુલા મેળવીએ છીએ:

હવે આપણે ત્રિકોણમિતિ એકમમાંથી સાઈનને વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ:

ચાલો આ અભિવ્યક્તિને ડબલ એંગલ કોસાઈન ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

ડબલ એન્ગલના કોસાઇન માટે અમને બીજું સૂત્ર મળ્યું:

આ સૂત્ર કોસાઇનની શક્તિ અને કોસાઇન માટે અડધા કોણને ઘટાડવા માટેનું સૂત્ર શોધવા માટેની ચાવી છે.

આમ, કોસાઇનની ડિગ્રી ઘટાડવા માટેનું સૂત્ર છે:

જો આપણે α ને α/2 સાથે અને 2α ને α સાથે બદલીએ, તો આપણે કોસાઇન માટે અડધા દલીલ માટે સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

સ્પર્શક એ સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર હોવાથી, સ્પર્શક માટેનું સૂત્ર છે:

કોટેન્જેન્ટ એ કોસાઇન અને સાઇનનો ગુણોત્તર છે. તેથી, કોટેન્જેન્ટ માટેનું સૂત્ર છે:

અલબત્ત, ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાની પ્રક્રિયામાં, અડધા ખૂણા માટે સૂત્ર મેળવવાનો અથવા દર વખતે ડિગ્રી ઘટાડવાનો કોઈ અર્થ નથી. તમારી સામે સૂત્રો સાથે કાગળની શીટ મૂકવી ખૂબ સરળ છે. અને સરળીકરણ ઝડપથી આગળ વધશે, અને વિઝ્યુઅલ મેમરી મેમોરાઇઝેશન ચાલુ કરશે.

પરંતુ હજુ પણ આ સૂત્રો ઘણી વખત મેળવવા યોગ્ય છે. પછી તમને સંપૂર્ણ ખાતરી હશે કે પરીક્ષા દરમિયાન, જ્યારે ચીટ શીટનો ઉપયોગ કરવો શક્ય ન હોય, ત્યારે જો જરૂર પડશે તો તમે તેને સરળતાથી મેળવી શકશો.

સૌથી વધુ વારંવાર પૂછાતા પ્રશ્નો

શું આપેલા નમૂના અનુસાર દસ્તાવેજ પર સ્ટેમ્પ બનાવવું શક્ય છે? જવાબ આપો હા, તે શક્ય છે. અમારા ઈમેલ એડ્રેસ પર સ્કેન કરેલી કોપી અથવા સારી ગુણવત્તાનો ફોટો મોકલો અને અમે જરૂરી ડુપ્લિકેટ બનાવીશું.

તમે કયા પ્રકારની ચુકવણી સ્વીકારો છો? જવાબ આપો તમે કુરિયર દ્વારા પ્રાપ્ત થયા પછી, ડિપ્લોમાના અમલીકરણની ગુણવત્તા અને પૂર્ણતાની સાચીતા તપાસ્યા પછી, દસ્તાવેજ માટે ચૂકવણી કરી શકો છો. આ કેશ ઓન ડિલિવરી સેવાઓ ઓફર કરતી પોસ્ટલ કંપનીઓની ઓફિસમાં પણ કરી શકાય છે.
દસ્તાવેજો માટે ડિલિવરી અને ચુકવણીની તમામ શરતો "ચુકવણી અને વિતરણ" વિભાગમાં વર્ણવેલ છે. અમે દસ્તાવેજ માટે ડિલિવરી અને ચુકવણીની શરતોને લગતા તમારા સૂચનો સાંભળવા માટે પણ તૈયાર છીએ.

શું હું ખાતરી કરી શકું છું કે ઓર્ડર આપ્યા પછી તમે મારા પૈસા સાથે અદૃશ્ય થઈ જશો નહીં? જવાબ આપો અમારી પાસે ડિપ્લોમા ઉત્પાદનના ક્ષેત્રમાં ઘણો લાંબો અનુભવ છે. અમારી પાસે ઘણી વેબસાઇટ્સ છે જે સતત અપડેટ થતી રહે છે. અમારા નિષ્ણાતો દેશના વિવિધ ભાગોમાં કામ કરે છે, દિવસમાં 10 થી વધુ દસ્તાવેજો બનાવે છે. વર્ષોથી, અમારા દસ્તાવેજોએ ઘણા લોકોને રોજગારની સમસ્યાઓ હલ કરવામાં અથવા ઉચ્ચ પગારવાળી નોકરીઓમાં જવા માટે મદદ કરી છે. અમે ગ્રાહકોમાં વિશ્વાસ અને ઓળખ મેળવી છે, તેથી અમારા માટે આ કરવાનું કોઈ કારણ નથી. તદુપરાંત, શારીરિક રીતે આ કરવું ફક્ત અશક્ય છે: જ્યારે તમે તમારા ઓર્ડરને તમારા હાથમાં પ્રાપ્ત કરો છો ત્યારે તમે તેના માટે ચૂકવણી કરો છો, ત્યાં કોઈ પૂર્વચુકવણી નથી.

શું હું કોઈપણ યુનિવર્સિટીમાંથી ડિપ્લોમા મંગાવી શકું? જવાબ આપો સામાન્ય રીતે, હા. અમે લગભગ 12 વર્ષથી આ ક્ષેત્રમાં કામ કરી રહ્યા છીએ. આ સમય દરમિયાન, દેશની લગભગ તમામ યુનિવર્સિટીઓ દ્વારા જારી કરાયેલા દસ્તાવેજોનો લગભગ સંપૂર્ણ ડેટાબેઝ અને ઇશ્યૂના જુદા જુદા વર્ષોની રચના કરવામાં આવી હતી. તમારે ફક્ત યુનિવર્સિટી, વિશેષતા, દસ્તાવેજ પસંદ કરવાની અને ઓર્ડર ફોર્મ ભરવાની જરૂર છે.

જો તમને દસ્તાવેજમાં લખાણમાં ભૂલો અને ભૂલો જણાય તો શું કરવું? જવાબ આપો અમારી કુરિયર અથવા પોસ્ટલ કંપની પાસેથી દસ્તાવેજ પ્રાપ્ત કરતી વખતે, અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે બધી વિગતો કાળજીપૂર્વક તપાસો. જો ટાઈપો, ભૂલ અથવા અચોક્કસતા મળી આવે, તો તમને ડિપ્લોમા ન લેવાનો અધિકાર છે, પરંતુ તમારે કુરિયરને વ્યક્તિગત રૂપે અથવા ઇમેઇલ મોકલીને લેખિતમાં શોધાયેલ ખામીઓ સૂચવવી આવશ્યક છે.
અમે શક્ય તેટલી વહેલી તકે દસ્તાવેજને સુધારીશું અને તેને ઉલ્લેખિત સરનામા પર ફરીથી મોકલીશું. અલબત્ત, શિપિંગ અમારી કંપની દ્વારા ચૂકવવામાં આવશે.
આવી ગેરસમજને ટાળવા માટે, મૂળ ફોર્મ ભરતા પહેલા, અમે ગ્રાહકને અંતિમ સંસ્કરણની ચકાસણી અને મંજૂરી માટે ભાવિ દસ્તાવેજનો મોક-અપ ઇમેઇલ કરીએ છીએ. કુરિયર અથવા મેઇલ દ્વારા દસ્તાવેજ મોકલતા પહેલા, અમે વધારાના ફોટા અને વિડિયો (અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશ સહિત) પણ લઈએ છીએ જેથી કરીને તમને અંતમાં શું પ્રાપ્ત થશે તેનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ આવે.

તમારી કંપનીમાંથી ડિપ્લોમા મંગાવવા માટે મારે શું કરવું જોઈએ? જવાબ આપો દસ્તાવેજ (પ્રમાણપત્ર, ડિપ્લોમા, શૈક્ષણિક પ્રમાણપત્ર, વગેરે) ઑર્ડર કરવા માટે, તમારે અમારી વેબસાઇટ પર ઑનલાઇન ઑર્ડર ફોર્મ ભરવું પડશે અથવા તમારો ઇમેઇલ પ્રદાન કરવો પડશે જેથી અમે તમને એક અરજી ફોર્મ મોકલી શકીએ, જે તમારે ભરીને પાછા મોકલવાની જરૂર છે. અમારા માટે.
જો તમને ખબર ન હોય કે ઓર્ડર ફોર્મ/પ્રશ્નાવલિના કોઈપણ ક્ષેત્રમાં શું સૂચવવું, તો તેને ખાલી છોડી દો. તેથી, અમે ફોન પર બધી ખૂટતી માહિતીને સ્પષ્ટ કરીશું.

નવીનતમ સમીક્ષાઓ

ટોરીવાઇલ્ડ:

જ્યારે હું બીજા શહેરમાં ગયો અને મારી વસ્તુઓ વચ્ચે મારો ડિપ્લોમા ન મળ્યો ત્યારે મેં તમારી કંપનીમાંથી ડિપ્લોમા ખરીદવાનું નક્કી કર્યું. તેના વિના, મને સારી, સારા પગારવાળી નોકરી માટે રાખવામાં આવ્યો ન હોત. તમારા સલાહકારે મને ખાતરી આપી કે આ માહિતી જાહેર કરવામાં આવી નથી, અને કોઈ પણ દસ્તાવેજને મૂળથી અલગ કરશે નહીં. ત્યાં કોઈ શંકા ન હતી, પરંતુ મારે જોખમ લેવું પડ્યું. મને ગમ્યું કે કોઈ પૂર્વચુકવણીની જરૂર નથી. સામાન્ય રીતે, મને સમયસર મારો ડિપ્લોમા મળ્યો અને મને છેતરવામાં આવ્યો ન હતો. આભાર!

ઓક્સાના ઇવાનોવના:

જ્યારે મારો ડિપ્લોમા ચોરાઈ ગયો, ત્યારે હું ખૂબ જ પરેશાન થઈ ગયો. છેવટે, મને તે સમયે જ કાઢી મૂકવામાં આવ્યો હતો, અને હવે ઉચ્ચ શિક્ષણના ડિપ્લોમા વિના સારી નોકરી મેળવવી લગભગ અશક્ય છે. સદનસીબે, એક પાડોશીએ તમારી સંસ્થાનો સંપર્ક કરવાનું સૂચન કર્યું. શરૂઆતમાં હું શંકાશીલ હતો, પરંતુ જોખમ લેવાનું નક્કી કર્યું. મેં કંપની મેનેજરને ફોન કરીને મારી પરિસ્થિતિ સમજાવી. અને હું નસીબદાર છું! તેઓએ તરત જ બધું કર્યું, અને સૌથી અગત્યનું, તેઓએ મારું રહસ્ય જાહેર ન કરવાનું વચન આપ્યું. મને ચિંતા હતી કે મેં ડિપ્લોમા ખરીદ્યો છે તે હકીકત પછીથી બહાર નહીં આવે.

માશા કુટેન્કોવા:

કામ માટે આભાર! મેં 1991 થી ડિપ્લોમાનો ઓર્ડર આપ્યો. જ્યારે તેઓએ દસ્તાવેજો ઉભા કરવાનું શરૂ કર્યું, ત્યારે તે બહાર આવ્યું કે ત્યાં થોડો અનુભવ હતો, અને તેમને તેમના શિક્ષણની પુષ્ટિ કરતા કાગળની પણ જરૂર હતી. મારી પાસે એક નથી, અને બોસ આ જાણતા હતા, અને તેણીએ જાતે જ તમારી કંપનીની ભલામણ કરી હતી (દેખીતી રીતે, હું કોઈ કર્મચારી જેવો નથી). દસ્તાવેજ પર, તેણીએ મને વિગતો દર્શાવી - તેઓ કહે છે કે તેઓ કયા વર્ષોમાં શાહી અથવા શાહીનો ઉપયોગ કરે છે, સહીની જાડાઈ વગેરે. સાવચેતી અને ગુણવત્તા માટે આભાર!

લેનોક:

કર્મચારીઓની શરમજનક બરતરફી વિશેની વાર્તાઓ વાંચ્યા પછી, જેમના ડિપ્લોમા કલર પ્રિન્ટર પર છાપવામાં આવ્યા હતા, હું યુનિવર્સિટીમાં અરજી કરવા ગયો. અરે, ત્યાં કોઈ બજેટ નથી, અભ્યાસ માટે પૈસા નથી અને સત્રો માટે ચૂકવણી કરવા માટે પૈસા નથી, તેથી મારે જોખમ લેવું પડ્યું. જોકે હું તમારી કંપનીને મળ્યો તેનો મને ખૂબ આનંદ છે. જો કે પ્રેક્ટિકલ બ્લોકની નિષ્ફળતાને કારણે મને તમારા ડિપ્લોમા સાથે રાખવામાં આવ્યો ન હતો, તે તમારી ભૂલ નથી. જલદી મને નવી જગ્યા મળશે, હું વિલંબ કર્યા વિના સીધો તમારી પાસે આવીશ!

જેરી ટેરી:

નકલી ડિપ્લોમા માટે મારા સાથીદારને કેટલી શરમ સાથે કામમાંથી કાઢી મૂકવામાં આવ્યો હતો તે જોવું, તેના ઉદાહરણને અનુસરવું ડરામણું હતું. જો તે ગોડમધર ન હોત જેણે તમારી પાસેથી આદેશ આપ્યો હોત, તો મેં જોખમ ન લીધું હોત. તેણીએ ખાતરી આપી કે અહીં બધું સરળ છે, અને મારું નામ જ્યાં જરૂર હશે ત્યાં હશે. મારી પાસે બધું કરવા માટે 4 દિવસ હતા. તમારી ઝડપ બદલ આભાર - અમે તેને 3 માં પૂર્ણ કર્યું છે, અને દસ્તાવેજો બનાવટી બનાવવાની પદ્ધતિઓનો ઝીણવટપૂર્વક અભ્યાસ કરવામાં પણ વ્યવસ્થાપિત છે, પરંતુ તમારું ફોર્મ નકલી તરીકે લાયક નથી, જેનો અર્થ છે કે તે મૂળ માટે પાસ થશે.

આન્દ્રે:

મેં ક્યારેય વિચાર્યું ન હતું કે મારે ડિપ્લોમા ખરીદવો પડશે. શાળા પછી, મારી પુત્રી કામ કરવા પોલેન્ડ ગઈ; જ્યારે તે 5 વર્ષ પછી પાછી આવી, ત્યારે તે સ્થાનિક ફેશન હાઉસમાં કપડાં ડિઝાઇનર તરીકે નોકરી મેળવવા માંગતી હતી. ડિપ્લોમા વિના, કોઈ તેને નોકરી પર રાખવા માંગતું ન હતું. તે સમજી ગયો કે જો તેને આ નોકરી નહીં મળે, તો તે ફરીથી છોડી દેશે. મેં સાંજ ઇન્ટરનેટ સર્ફિંગમાં વિતાવી, અને સવારે હું પહેલેથી જ મારી પુત્રીના દસ્તાવેજો સાથે ઓફિસમાં હતો. એક અઠવાડિયા પછી, તેણે તેની સાથે તેનો ડિપ્લોમા લઈ લીધો, અને તે આખરે તેના શહેરમાં ઇચ્છિત સ્થિતિમાં કામ કરવા માટે રોકાઈ ગઈ. તમને ખ્યાલ નથી કે હું તમારો કેટલો આભારી છું!

એડિશન ફોર્મ્યુલા તમને કોણ a ના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો દ્વારા sin(2*a), cos(2*a) અને tan(a) ને વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

ચાલો આ સૂત્રોમાં a = b મૂકીએ. પરિણામે, અમે નીચેની ઓળખ મેળવીએ છીએ:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

આ ઓળખને ડબલ એન્ગલ ફોર્મ્યુલા કહેવામાં આવે છે. ચાલો ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાના ઘણા ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1. sin(2*a) નું મૂલ્ય શોધો, જાણીને કે cos(a) = -0.8 અને a એ 3જી ક્વાર્ટરનો કોણ છે. ઉકેલ:

પહેલા આપણે પાપ(એ) ની ગણતરી કરીએ. કોણ a એ ત્રીજો ક્વાર્ટર હોવાથી, ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં સાઈન ઋણ હશે:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.

ડબલ એંગલ સાઈન ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને અમારી પાસે છે:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96 .

જવાબ: sin(2*a) = 0.96.

ઉદાહરણ 2. sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો. ઉકેલ:

ચાલો sin(a)*cos(a) ને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ. અમને મળે છે:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

હવે ચાલો ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*sin(4*a).

જવાબ: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને તમે નીચેના અભિવ્યક્તિઓ મેળવી શકો છો

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

કેટલીકવાર ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો ખૂબ અનુકૂળ છે. નીચેના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લો:

ઉદાહરણ 3.અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો (1-cos(a))/(1+cos(a)). ઉકેલ:

ચાલો (1-cos(a)) અને (1+cos(a)) માટે ઉપર લખેલા સૂત્રો લાગુ કરીએ. આ કરવા માટે, આપણે સૌ પ્રથમ નીચેના ઉત્પાદન 2*(a/2) ના સ્વરૂપમાં કોણ a રજૂ ​​કરીએ છીએ.

પરિવર્તનના પરિણામે આપણને મળે છે:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

સ્પર્શકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને આપણી પાસે છે:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

જવાબ: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

- ત્રિકોણમિતિ પર ચોક્કસપણે કાર્યો હશે. સાઇન્સ, કોસાઇન્સ, ટેન્જેન્ટ્સ અને કોટેન્જેન્ટ્સથી ભરપૂર અસંખ્ય મુશ્કેલ ફોર્મ્યુલાને ક્રેમ કરવાની જરૂરિયાત માટે ત્રિકોણમિતિને ઘણીવાર નાપસંદ કરવામાં આવે છે. સાઇટે પહેલેથી જ એકવાર યુલર અને પીલ ફોર્મ્યુલાના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને ભૂલી ગયેલા ફોર્મ્યુલાને કેવી રીતે યાદ રાખવું તે અંગે સલાહ આપી હતી.

અને આ લેખમાં આપણે એ બતાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું કે માત્ર પાંચ સરળ ત્રિકોણમિતિ સૂત્રોને નિશ્ચિતપણે જાણવું પૂરતું છે, અને બાકીની સામાન્ય સમજ છે અને જેમ જેમ તમે જાઓ તેમ તેમ મેળવી લઈશું. તે ડીએનએ જેવું છે: પરમાણુ સમાપ્ત જીવંત પ્રાણીની સંપૂર્ણ બ્લુપ્રિન્ટ્સ સંગ્રહિત કરતું નથી. તેના બદલે, તેમાં ઉપલબ્ધ એમિનો એસિડમાંથી તેને એસેમ્બલ કરવા માટેની સૂચનાઓ છે. તેથી ત્રિકોણમિતિમાં, કેટલાક સામાન્ય સિદ્ધાંતોને જાણીને, આપણે બધા જરૂરી સૂત્રો મેળવીશું જે ધ્યાનમાં રાખવા જોઈએ.

અમે નીચેના સૂત્રો પર આધાર રાખીશું:

સાઈન અને કોસાઈન સરવાળો માટેના સૂત્રોમાંથી, કોસાઈન ફંક્શનની સમાનતા અને સાઈન ફંક્શનની વિચિત્રતા વિશે જાણીને, b ને બદલે -b બદલીને, આપણે તફાવતો માટેના સૂત્રો મેળવીએ છીએ:

1. તફાવતની સાઈન: પાપ(a-b) = પાપacos(-બી)+cosaપાપ(-બી) = પાપacosb-cosaપાપb
2. તફાવતનો કોસાઇન: cos(a-b) = cosacos(-બી)-પાપaપાપ(-બી) = cosacosb+પાપaપાપb

a = b ને સમાન સૂત્રોમાં મૂકીને, આપણે બે ખૂણાઓના સાઈન અને કોસાઈન માટેના સૂત્રો મેળવીએ છીએ:

1. ડબલ એન્ગલની સાઈન: પાપ2a = પાપ(a+a) = પાપacosa+cosaપાપa = 2પાપacosa
2. ડબલ કોણનો કોસાઇન: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-પાપaપાપa = cos2 એ-પાપ2 એ

અન્ય બહુવિધ ખૂણાઓ માટેના સૂત્રો સમાન રીતે મેળવવામાં આવે છે:

1. ત્રિકોણની સાઈન: પાપ3a = પાપ(2a+a) = પાપ2acosa+cos2aપાપa = (2પાપacosa)cosa+(cos2 એ-પાપ2 એ)પાપa = 2પાપacos2 એ+પાપacos2 એ-પાપ 3 એ = 3 પાપacos2 એ-પાપ 3 એ = 3 પાપa(1-પાપ2 એ)-પાપ 3 એ = 3 પાપa-4પાપ 3a
2. ટ્રિપલ એંગલનો કોસાઇન: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-પાપ2aપાપa = (cos2 એ-પાપ2 એ)cosa-(2પાપacosa)પાપa = cos 3 a- પાપ2 એcosa-2પાપ2 એcosa = cos 3 એ-3 પાપ2 એcosa = cos 3 a-3(1- cos2 એ)cosa = 4cos 3 એ-3 cosa

આપણે આગળ વધીએ તે પહેલાં, ચાલો એક સમસ્યા જોઈએ.
આપેલ: કોણ તીવ્ર છે.
તેની કોસાઇન શોધો જો
એક વિદ્યાર્થી દ્વારા આપવામાં આવેલ ઉકેલ:
કારણ કે , તે પાપa= 3,એ cosa = 4.
(ગણિતની રમૂજમાંથી)

તેથી, સ્પર્શકની વ્યાખ્યા આ કાર્યને સાઈન અને કોસાઈન બંને સાથે સંબંધિત છે. પરંતુ તમે એક સૂત્ર મેળવી શકો છો જે સ્પર્શકને માત્ર કોસાઇન સાથે સંબંધિત છે. તેને મેળવવા માટે, અમે મુખ્ય ત્રિકોણમિતિ ઓળખ લઈએ છીએ: પાપ 2 a+cos 2 a= 1 અને તેને વડે વિભાજીત કરો cos 2 a. અમને મળે છે:

તેથી આ સમસ્યાનો ઉકેલ આ હશે:

(કોણ તીવ્ર હોવાને કારણે, મૂળને બહાર કાઢતી વખતે, + ચિહ્ન લેવામાં આવે છે)

સરવાળાના સ્પર્શક માટેનું સૂત્ર એ બીજું છે જે યાદ રાખવું મુશ્કેલ છે. ચાલો તેને આ રીતે આઉટપુટ કરીએ:

તરત જ પ્રદર્શિત અને

ડબલ એંગલ માટે કોસાઈન ફોર્મ્યુલામાંથી, તમે અડધા ખૂણા માટે સાઈન અને કોસાઈન ફોર્મ્યુલા મેળવી શકો છો. આ કરવા માટે, ડબલ એંગલ કોસાઇન ફોર્મ્યુલાની ડાબી બાજુએ:
cos2 a = cos 2 a-પાપ 2 a
અમે એક ઉમેરીએ છીએ, અને જમણી બાજુએ - એક ત્રિકોણમિતિ એકમ, એટલે કે. સાઈન અને કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો.
cos2a+1 = cos2 એ-પાપ2 એ+cos2 એ+પાપ2 એ
2cos 2 a = cos2 a+1
વ્યક્ત કરે છે cosaદ્વારા cos2 aઅને ચલોમાં ફેરફાર કરવાથી, અમને મળે છે:

ચિહ્ન ચતુર્થાંશના આધારે લેવામાં આવે છે.

એ જ રીતે, સમાનતાની ડાબી બાજુમાંથી એક બાદબાકી અને જમણી બાજુથી સાઈન અને કોસાઈનના વર્ગોના સરવાળાને બાદ કરીએ તો આપણને મળે છે:
cos2a-1 = cos2 એ-પાપ2 એ-cos2 એ-પાપ2 એ
2પાપ 2 a = 1-cos2 a

અને અંતે, ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના સરવાળાને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, અમે નીચેની તકનીકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ચાલો કહીએ કે આપણે સાઇનના સરવાળાને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવાની જરૂર છે પાપa+પાપb. ચાલો x અને y ચલોનો પરિચય કરીએ જેમ કે a = x+y, b+x-y. પછી
પાપa+પાપb = પાપ(x+y)+ પાપ(x-y) = પાપ x cos y+ cos x પાપ y+ પાપ x cos y- cos x પાપ y=2 પાપ x cos y. ચાલો હવે a અને b ના સંદર્ભમાં x અને y ને વ્યક્ત કરીએ.

ત્યારથી a = x+y, b = x-y, પછી. એ કારણે

તમે તરત જ પાછી ખેંચી શકો છો

1. પાર્ટીશન માટે ફોર્મ્યુલા સાઈન અને કોસાઈનના ઉત્પાદનોવી રકમ: પાપacosb = 0.5(પાપ(a+b)+પાપ(a-b))

અમે ભલામણ કરીએ છીએ કે તમે સાઈન્સના તફાવત અને કોસાઈનના સરવાળા અને તફાવતને ઉત્પાદનમાં રૂપાંતરિત કરવા તેમજ સાઈન અને કોસાઈનના ઉત્પાદનોને સરવાળામાં વિભાજીત કરવા માટે તમે જાતે જ સૂત્રોનો અભ્યાસ કરો અને મેળવો. આ કસરતો પૂર્ણ કર્યા પછી, તમે ત્રિકોણમિતિના સૂત્રો મેળવવાના કૌશલ્યમાં સંપૂર્ણ રીતે નિપુણતા પ્રાપ્ત કરશો અને સૌથી મુશ્કેલ કસોટી, ઓલિમ્પિયાડ અથવા પરીક્ષણમાં પણ તમે ખોવાઈ જશો નહીં.