4. §. Egyenletek megoldása egész számokkal
12. feladat.
Oldja meg egész számokkal 5x² + 5y² + 8xy + 2y - 2y + 2 = 0.
Döntés.
Ha ezt az egyenletet faktorálással próbálja megoldani, akkor ez meglehetősen időigényes munka, így ez az egyenlet elegánsabb módszerrel is megoldható. Tekintsük az egyenletet mint négyzetes rokon ról ről x 5x² + (8y-2 )x+5év²+2év+2=0 , x1,2 \u003d (1 - 4 év ± √ (1 - 4 év) ² - 5 (5 év² + 2 év + 2)) / 5 \u003d (1 - 4 év ± √ √ -9(y + 1)²)/5.
Ennek az egyenletnek van megoldása, ha a diszkrimináns nulla, azaz. –9(y + 1) = 0, ennélfogva y = -1. Ha egy y = -1, azután x=1.
Válasz.
13. feladat.
Oldja meg egész számokkal 3(x² + xy + y²) = x + 8y
Döntés.
Tekintsük az egyenletet másodfokúnak x 3x ² + (3 év - 1) x + 3 év² - 8 év \u003d 0. Keressük az egyenlet diszkriminánsát D \u003d \u003d (3 év - 1) ² - 4 * 3 (3 év² - 8 év) \u003d 9 év 2 - 6 év + 1 - 36 év 2 + 96 év \u003d -27 év 2 + 90 év + 1.
Adott egyenlet az ötletnek gyökerei vannak, haD³0, azaz –27 év² + 90 év + 1³ 0
(-45 + √2052)/ (-27) £ y £ (-45 - √2052)/ (-27)(4)
Mint н Z, akkor csak a (4) feltétel teljesül 0, 1, 2, 3 . Ezeket az értékeket végignézve azt kapjuk, hogy az egész számokban szereplő egyenletnek vannak megoldásai (0; 0) és (1; 1) .
Válasz.
(0; 0) , (1; 1) .
14. feladat.
Oldja meg az egyenletet 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2y + 1 = 0.
Döntés.
Tekintsük ezt az egyenletet másodfokúnak a vonatkozásában x függő együtthatókkal y, 5x² - 2(y + 1) x + 2y² - 2y + 1 = 0.
Keresse meg a diszkrimináns negyedét D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².
Ebből következik, hogy az egyenletnek csak akkor van megoldása -(3y - 2)² = 0, ez azt jelenti y = ⅔, akkor megtaláljuk x = ⅓.
Válasz.
(⅓; ⅔).
maradék módszer.
15. feladat.
Oldja meg egész számokkal 3ª = 1 + y²
Döntés.
Ez egyértelmű (0; 0) ennek az egyenletnek a megoldása. Bizonyítsuk be, hogy nincs más megoldás.
Vegye figyelembe az eseteket:
1) x О N, y О N(5)
Ha egy x О N, azután 3ª osztva 3 nyom nélkül, és y² + 1-vel osztva 3 a maradékot sem adja 1 , vagy 2 . Ezért egyenlőség (5) a természeti értékekre xés nál nél lehetetlen.
2) Ha x egy negatív egész szám y О Z, azután 0<3ª<1, a 1+y²³0és az (5) egyenlőség sem lehetetlen. Ezért (0; 0) - egyetlen döntés.
Válasz.
16. feladat .
Bizonyítsuk be, hogy az egyenletrendszer
ì x² - y² = 7
î z² - 2y² = 1
nincs egész számban kifejezett megoldása.
Döntés.
Tegyük fel, hogy a rendszer engedélyezve van. A második egyenletből z²=2év+1, azaz z²– páratlan szám és z- furcsa, ez azt jelenti z=2m+1. Azután y²+2m²+2m, eszközök, y² - páros szám nál nél- még, y = 2n, n Î Z.
x²=8n³+7, azaz x² - páratlan szám és X - páratlan szám, х=2k+1, k О Z.
Cserélje ki az értékeket xés nál nél az első egyenletbe kapjuk 2(k² + k - 2n³) = 3, ami lehetetlen, mivel a bal oldal osztható vele 2 , de a megfelelő nem.
Ennélfogva téves a feltevésünk, i.e. a rendszernek nincsenek egész számban kifejezett megoldásai.
A végtelen süllyedés módszere.
Az egyenletek megoldása a végtelen leszármazás módszerével a következő séma szerint megy végbe: feltételezve, hogy az egyenletnek vannak megoldásai, valamilyen végtelen folyamatot építünk fel, miközben ennek a folyamatnak a probléma értelme szerint valahol véget kell érnie.
A végtelen süllyedés módszerét gyakran egyszerűbb formában alkalmazzák. Feltételezve, hogy már elértük a természetes célt, látjuk, hogy nem tudunk „megállni”.
17. feladat.
Oldja meg egész számokkal 29x + 13y + 56z = 17 (6)
A maradék ismeretleneken keresztül fejezzük ki az ismeretlent, amelynek együtthatója a legkisebb.
y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)
Jelöli (4-3x-4z)/13=t1(8)
A (7)-ből az következik t1 csak egész értékeket vehet fel. (8)-tól van 13t1 + 3x + 4z = 14(9)
Kapunk egy új diofantin egyenletet, de kisebb együtthatókkal, mint a (6)-ban. Ugyanezeket a szempontokat alkalmazzuk (9): x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3
(1-t1-z)/3 = t2, t2- egész, 3t2+t1+z = 1(10)
In (10) együttható at z– az eredeti egyenlet ismeretlenje egyenlő 1 - ez a „leszállás” végső pontja. Most egymás után fejezzük ki z, x, y keresztül t1és t2.
ì z = -t1 - 3t2 + 1
í x = 1 - 4t1 + t1 + 3t2 = 1 + t2 = -t1 + 4t2
î y = 1 + 6t1 - 8t2 + 4t1 + 12t2 - 4 + t1 = 11t1 + 4t2 - 3
Így, ì x = -3t1 + 4t2
í y = 11t1 + 4t2 - 3
î z = -t1 - 3t2 + 1
t1, t2- tetszőleges egész szám - a (6) egyenlet összes egész megoldása
18. feladat.
Oldja meg egész számokkal x³ – 3y³ – 9z³ = 0(11)
Döntés.
Látható, hogy a (11) egyenlet bal oldala nem alkalmas semmilyen transzformációra. Ezért az egész számok karakterének vizsgálata x³=3(y³-z³). Szám x³ többszörös 3 , tehát a szám x többszörös 3 , azaz x = 3x1(12) (12) helyett (11) 27x1³-3y³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)
y³=3(3x1³-z³). Azután y³ többszörös 3 , ami azt jelenti, és nál nél többszörös 3 , azaz y=3y1(tizennégy). (14) helyett (13) 9х1³ –27y1³ – 3z³=0. Ebből az egyenletből az következik z³ többszörös 3, és innentől z többszörös 3 , azaz z=3z1.
Így kiderült, hogy a (11) egyenletet kielégítő számok három többszörösei, és hányszorosával nem osztjuk 3 , olyan számokat kapunk, amelyek három többszörösei. Az egyetlen egész szám, amely kielégíti a hármat. Az egyetlen egész szám, amely teljesíti ezt a feltételt, a nulla, vagyis ennek az egyenletnek a megoldása (0; 0; 0)
A matematika egységes államvizsgára való felkészülés szakaszában a középiskolásoknak különös figyelmet kell fordítaniuk bizonyos témákra. Ezek közé tartozik az egyenletek és feladatok egész számokban történő megoldása. Az elmúlt évek tapasztalatai azt mutatják, hogy az ilyen jellegű feladatok különös nehézséget okoztak a végzetteknek. Ezért a felkészültségtől függetlenül azt tanácsoljuk, hogy portálunkkal vegye fel a kapcsolatot az órákkal óvatosabban.
Tedd le a vizsgát "kiváló"-val együtt "Shkolkovo"-val!
Online szolgáltatásunk innovatív módszert kínál a végső értékelésre való felkészüléshez. Az iskolai kézikönyvek nem mindig vannak kéznél, és a bennük lévő részek csak a tipikus feladatok ismétlését tartalmazzák. Shkolkovóhoz fordulva, a diákoknak nem lesz gondja megtalálni a szükséges szabályokat és képleteket az egyenletek egész számokban történő megoldásához. Online szolgáltatásunk tanárai gondosan rendszerezték és a témával kapcsolatos összes információt a lehető legjobban hozzáférhető formában közölték. Ezért a végzős hallgatóknak minimális időre lesz szükségük a tárgyalt anyagok megismétléséhez. Emellett minden nap új, aktuális tudásuknak és készségeiknek megfelelő gyakorlatsort kaphatnak majd a tanulók.
Javasoljuk, hogy kezdje az „Elméleti hivatkozás” szakaszsal. A feladatra való felkészüléshez minden szükséges adatot tartalmaz. Ezután lépjen a "Katalógusok" szakaszba. Ott sok különböző nehézségi szintű gyakorlatot találsz. A példák listája folyamatosan frissül, kiegészítve, így nem fog hiányozni az új feladatokból. Azt tanácsoljuk, hogy kezdje a legegyszerűbbekkel, és fokozatosan térjen át a nehezebbekre. Ily módon képes lesz azonosítani a leggyengébb pontjait, és bizonyos típusú feladatokra összpontosítani. Ha azt látja, hogy az alacsony bonyolultságú példák nem okoznak problémát, akkor kihagyhatja őket, és elkezdheti az egyenletek megoldását USE szintű egész számokban.
Ha bármely példa különösebb nehézséget okozott, adja hozzá a „Kedvencek” közé. Így később a tanári támogatással visszatérhet rá, vagy a szabályok átismétlése után saját maga is megpróbálhatja.
Annak érdekében, hogy a készítmény hatékonyabb legyen, azt tanácsoljuk, hogy naponta vegye fel a kapcsolatot a Shkolkovo portállal. Néhány óra után észre fogod venni, hogy még a korábban félreértést és nehézségeket okozó példákat is egyszerűen megadták neked.
Felhívjuk figyelmét, hogy weboldalunkon mindenki felkészülhet a vizsgára. Az előrehaladás mentéséhez és az egyes feladatok mindennapi fogadásához regisztráljon a rendszerben. Jó készülődést kívánunk!
Bevezetés
Sok matematikai feladat van, amelyre egy vagy több egész szám van válaszként. Példaként említhetünk négy egész számokkal megoldott klasszikus problémát - a mérlegelés problémáját, a számfelosztás problémáját, a csereproblémát és a négy négyzet problémáját. Megjegyzendő, hogy e problémák meglehetősen egyszerű megfogalmazása ellenére nagyon nehéz megoldani őket a matematikai elemzés és a kombinatorika apparátusával. Az első két probléma megoldásának ötletei Leonhard Euler (1707–1783) svájci matematikushoz tartoznak. Leggyakrabban azonban olyan problémákat találhatunk, amelyekben az egyenletet egész (vagy természetes) számokban javasolják megoldani. Ezen egyenletek egy része meglehetősen könnyen megoldható a kiválasztási módszerrel, de ez komoly problémát vet fel - be kell bizonyítani, hogy ennek az egyenletnek minden megoldását kimerítették a kiválasztottak (vagyis nincs olyan megoldás, amely eltér a kiválasztott egyenlettől). kiválasztottak). Ez különféle technikákat igényelhet, szabványos és mesterséges. A további matematikai szakirodalom elemzése azt mutatja, hogy az ilyen jellegű feladatok meglehetősen gyakoriak a különböző évfolyamokon és különböző szintű matematikai olimpiákon, valamint az egységes matematika államvizsga (profilszintű) 19. feladatában. Ugyanakkor ezt a témát gyakorlatilag nem veszik figyelembe az iskolai matematika tanfolyamon, így a matematikai olimpián részt vevő vagy matematikából profilvizsgázó iskolások általában jelentős nehézségekkel szembesülnek az ilyen feladatok elvégzése során. Ezzel kapcsolatban tanácsos kiemelni az egyenletek egész számokban történő megoldásának alapvető módszereit, különösen azért, mert ezt a kérdést a tanulmányozott matematikai irodalom kifejezetten nem tárgyalja. A leírt probléma meghatározta a munka célját: kiemelni az egyenletek egész számokban történő megoldásának főbb módszereit. A cél eléréséhez a következő feladatokat kellett megoldani:
1) Elemezze az olimpia anyagait, valamint a matematika profilvizsga anyagait;
2) Jelöljön ki módszereket az egyenletek egész számban történő megoldására, és emelje ki az uralkodóakat;
3) A kapott eredményeket példákkal illusztrálja!
4) Készítsen több képzési feladatot ebben a témában;
5) A kidolgozott feladatok alkalmazásával határozza meg az MBOU 59. számú középiskola kilencedik osztályos tanulóinak felkészültségi fokát az ilyen jellegű problémák megoldására, és vonjon le gyakorlati következtetéseket.
Fő rész
A különféle matematikai szakirodalom elemzése azt mutatja, hogy az egyenletek egész számokban történő megoldásának módszerei közül a következőket lehet főként megkülönböztetni:
- Az egyenlet ábrázolása több tényező szorzataként, amelyek valamilyen egész számmal egyenlők;
- Az egyenlet több tag négyzetösszegeként való ábrázolása, amely valamilyen egész számmal egyenlő;
- Az oszthatóság, a faktoriális és az egzakt négyzet tulajdonságainak felhasználása;
- Fermat kis és nagy tételeinek használata;
- Végtelen süllyedés módszere;
- Egyik ismeretlen kifejezése a másikon keresztül;
- Az egyenlet másodfokú megoldása az egyik ismeretlenhez képest;
- Az egyenlet mindkét oldalának valamilyen számmal való elosztásából származó maradékok figyelembevétele.
Azonnal meg kell határozni, hogy mit értünk az egyenletek megoldásának fő módszerein. A leggyakrabban használt módszereket nevezzük főnek, ami természetesen nem zárja ki az új „váratlan” módszerek időszakos alkalmazásának lehetőségét. Emellett az esetek túlnyomó többségében ezek különféle kombinációit alkalmazzák, vagyis több módszert kombinálnak.
A módszerek kombinációjának példájaként vegyük a 2013-as matematikai USE-n javasolt egyenletet (C6. feladat).
Feladat. Oldja meg az egyenletet természetes számokban! n! + 5n + 13 = k 2 .
Döntés. Vegye figyelembe, hogy nullára végződik n> 4. Továbbá bármely n ∈ N esetén vagy 0 vagy 5 számjegyre végződik. n> 4 az egyenlet bal oldala a 3-as vagy a 8-as számmal végződik. De egyenlő a pontos négyzettel is, amely nem végződhet ezekkel a számokkal. Tehát csak négy lehetőség közül választhat: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.
Tehát az egyenletnek egyedi természetes megoldása van n = 2, k = 5.
Ez a feladat az egzakt négyzetek tulajdonságait, a faktoriális tulajdonságait és az egyenlet mindkét oldalának 10-zel való elosztásának maradékait használta.
1. feladat. n 2 - 4y! = 3.
Döntés. Először is átírjuk az eredeti egyenletet így n 2 = 4y! + 3. Ha ezt az összefüggést az osztástétel szemszögéből nézzük maradékkal, akkor láthatjuk, hogy az egyenlet bal oldalán lévő pontos négyzet 4-gyel osztva 3 maradékot ad, ami lehetetlen . Valójában bármely egész szám ábrázolható a következő négy alak egyikében:
Így a pontos négyzet 4-gyel osztva 0 vagy 1 maradékot ad. Ezért az eredeti egyenletnek nincs megoldása.
Kulcs gondolat– az egzakt négyzetek tulajdonságainak alkalmazása.
2. feladat. 8z 2 = (t!) 2 + 2.
Döntés. A közvetlen ellenőrzés ezt mutatja t= 0 és t= 1 nem megoldásai az egyenletnek. Ha egy t> 1, akkor t! páros szám, azaz így ábrázolható t! = 2s. Ebben az esetben az egyenlet 4-es alakra konvertálható z 2 = 2s 2 + 1. A kapott egyenletnek azonban nyilvánvalóan nincs megoldása, mert a bal oldalon páros, a jobb oldalon páratlan szám található.
Kulcs gondolat– faktoriális tulajdonságok alkalmazása.
3. feladat. Oldja meg az x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 egyenletet egész számokkal!
Döntés. Az eredeti egyenlet a következőképpen írható át: ( x – 1) 2 + (y + 3) 2 = 5.
Abból a feltételből következik, hogy ( x – 1), (y+ 3) egész számok. Ezért ez az egyenlet ekvivalens a következő halmazzal:
Most felírhatjuk az egyenlet összes lehetséges egész megoldását.
4. feladat. Oldja meg az egyenletet egész számokkal! zt + t – 2z = 7.
Döntés. Az eredeti egyenlet átalakítható a ( z + 1) (t– 2) = 5. Számok ( z + 1), (t– 2) egész számok, így a következő lehetőségek állnak rendelkezésre:
Tehát az egyenletnek pontosan négy egész megoldása van.
Kulcs gondolat- az egyenlet ábrázolása egész számmal egyenlő szorzat formájában.
5. feladat. Oldja meg az egyenletet egész számokkal! n(n + 1) = (2k+ 1)‼
Döntés. 2. számú k+ 1)‼ páratlan minden nem negatív érték esetén k definíció szerint (negatív k egyáltalán nincs meghatározva). Másrészt egyenlő azzal n(n+ 1), ami minden egész értékre páros k. Ellentmondás.
Kulcs gondolat– az egyenlet páros/páratlan részeinek használata.
6. feladat. Oldja meg az egyenletet egész számokkal! xy + x + 2y = 1.
Döntés. Transzformációval az egyenlet a következőre redukálható:
Ez a transzformáció a helyettesítés óta nem változtatta meg az egyenletben szereplő ismeretlenek ODZ-jét y= -1 az eredeti egyenletbe a -2 = 1 abszurd egyenlőséghez vezet. A feltétel szerint, x egy egész szám. Más szóval, egy egész szám is. De akkor a számnak egész számnak kell lennie. A tört akkor és csak akkor egész szám, ha a számláló osztható a nevezővel. A 3-as szám osztói: 1,3 -1, -3. Ezért az ismeretlennek négy esete van: y = 0, y = 2, y= –2, y = –4. Most kiszámolhatjuk az ismeretlen megfelelő értékeit x. Tehát az egyenletnek pontosan négy egész megoldása van: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).
Kulcs gondolat az egyik ismeretlen kifejezése a másik kifejezésében.
7. feladat. m= n 2 + 2.
Döntés. Ha egy m= 0, akkor az egyenlet alakot ölt n 2 = -1. Nincsenek teljes megoldásai. Ha egy m < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, nem lesz egész szám. Eszközök, m> 0. Akkor jobb oldali rész egyenlet (mint a bal oldali) 5 többszöröse lesz. De ebben az esetben n 2-t 5-tel osztva 3 maradékát kell adni, ami lehetetlen (ezt az 1. feladat megoldásánál leírt maradékok számbavételi módszere bizonyítja). Ezért ennek az egyenletnek nincs egész számban kifejezett megoldása.
Kulcs gondolat– a maradékok megtalálása az egyenlet mindkét részének valamilyen természetes számmal való elosztásából.
8. feladat. Oldja meg az egyenletet egész számokban ( x!) 4 + (y – 1) 4 = (z + 1) 4 .
Döntés. Vegye figyelembe, hogy mivel a kitevők párosak, az egyenlet a következővel ekvivalens: ( x!) 4 + |y – 1| 4 = |z+ 1| 4. Azután x!, |y – 1|, |z+ 1| - egész számok. Fermat utolsó tétele szerint azonban ezek a természetes számok nem teljesíthetik az eredeti egyenletet. Így az egyenlet egész számokban megoldhatatlan.
Kulcs gondolat- Fermat utolsó tételének használata.
9. feladat. Oldja meg az egyenletet egész számokkal! x 2 + 4y 2 = 16xy.
Döntés. A probléma feltételéből következik, hogy x- páros szám. Azután x 2 = 4x 12 . Az egyenletet formává alakítjuk x 1 2 + y 2 = 8x 1 y. Ebből az következik, hogy a számok x 1 , y azonos paritásúak. Vegyünk két esetet.
1 eset. Legyen x 1 , y- páratlan számok. Azután x 1 = 2t + 1, y = 2s+ 1. Ha ezeket a kifejezéseket behelyettesítjük az egyenletbe, a következőt kapjuk:
Végezzük el a megfelelő átalakításokat:
Ha a kapott egyenlet mindkét oldalát 2-vel csökkentjük, azt kapjuk?
A bal oldalon egy páratlan szám, a jobb oldalon pedig egy páros szám található. Ellentmondás. Tehát 1 eset lehetetlen.
2 eset. Legyen x 1 , y- páros számok. Azután x 1 = 2x 2 + 1, y = 2y egy . Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az egyenletbe, a következőt kapjuk:
Így egy egyenletet kapunk, pontosan ugyanazt, mint az előző lépésben. Hasonló módon vizsgáljuk, így a következő lépésben megkapjuk az egyenletet 
stb. Valójában ezeket az átalakításokat az ismeretlenek paritása alapján végrehajtva a következő kiterjesztéseket kapjuk: . De a mennyiségek nés k nem korlátozottak, hiszen bármelyik lépésben (tetszőlegesen nagy számmal) az előzővel ekvivalens egyenletet kapunk. Vagyis ezt a folyamatot nem lehet megállítani. Más szóval a számok x, y végtelenül sokszor oszthatók 2-vel. Ez azonban csak akkor megy végbe, ha x = y= 0. Így az egyenletnek pontosan egy egész megoldása van (0; 0).
Kulcs gondolat– a végtelen süllyedés módszerének alkalmazása.
10. feladat. Oldja meg az 5. egyenletet egész számokkal x 2 – 3xy + y 2 = 4.
Döntés. Írjuk át ezt az egyenletet 5-ös alakba x 2 – (3x)y + (y 2 – 4) = 0. Négyzetnek tekinthető az ismeretlenhez képest x. Számítsuk ki ennek az egyenletnek a diszkriminánsát:
Ahhoz, hogy az egyenletnek megoldásai legyenek, szükséges és elégséges, hogy , azaz innentől a következő lehetőségeink vannak y: y = 0, y = 1, y = –1, y= 2, y= –2.
Tehát az egyenletnek pontosan 2 egész megoldása van: (0;2), (0;–2).
Kulcs gondolat– az egyenlet másodfokúként való figyelembevétele az egyik ismeretlenhez képest.
A kísérletben a szerző által összeállított feladatokat használtuk fel, amely a következőkből állt. A kilencedik osztályos tanulóknak kidolgozott feladatokat ajánlottak fel a gyerekek e témával kapcsolatos felkészültségi szintjének azonosítására. Mindegyik hallgatónak fel kellett ajánlania egy módszert egyenletek egész számú megoldására. A kísérletben 64 diák vett részt. A kapott eredményeket az 1. táblázat tartalmazza.
ASZTAL 1
| Munka Szám | A feladatot teljesítő tanulók száma (százalék) |
Ezek a mutatók arra utalnak, hogy a kilencedikes tanulók felkészültsége ebben a témában nagyon alacsony. Ezért célszerűnek tűnik egy speciális „Egyenletek egész számokban” tanfolyam megszervezése, amelynek célja a hallgatók ismereteinek fejlesztése ezen a területen. Mindenekelőtt olyan tanulókról van szó, akik szisztematikusan vesznek részt matematikai versenyeken és olimpián, és matematikából profilvizsgát is terveznek.
megállapításait
A munka során:
1) Elemezték az olimpia anyagait, valamint HASZNÁLJON anyagokat matematika;
2) Jelöljük az egyenletek egész számban történő megoldásának módszereit, és kiemeljük az érvényesülőket;
3) A kapott eredményeket példákkal illusztráljuk;
4) Összeállított képzési feladatok kilencedikes tanulók számára;
5) Kísérletet állítottunk össze a kilencedik osztályos tanulók e témával kapcsolatos felkészültségi szintjének meghatározására;
6) A kísérlet eredményeit elemeztem és következtetéseket vontam le az egyenletek egész számban történő tanulmányozásának célszerűségéről egy matematikai szaktanfolyamon.
során kapott eredmények ez a tanulmány, használható a matematikai olimpiára, az egységes matematika államvizsgára való felkészülés során, valamint matematikaköri foglalkozások lebonyolítása során.
Bibliográfia
1. Gelfond A.O. Egyenletek megoldása egész számokban. - M.: Nauka, 1983 - 64 p.
2. Alfutova N.B. Ustinov A.V. Algebra és számelmélet. Feladatgyűjtemény matematikai iskolák számára - M.: MTsNMO, 2009 - 336 p.
3. Galperin G.A., Tolpygo A.K. Moszkva matematikai olimpiák: Könyv. diákoknak / Szerk. A.N. Kolmogorov. - M.: Felvilágosodás, 1986. - 303 p., ill.
4. Dalinger V.A. Problémák egész számokkal - Omszk: Amphora, 2010 - 132 p.
5. Yu. A. Gastev és M. L. Smolyanskii, „A néhány szó Fermat utolsó tételéről”, Kvant, 1972. augusztus.
Szójegyzék
Végtelen süllyedés módszere- P. Fermat (1601–1665) francia matematikus által kidolgozott módszer, amely abból áll, hogy egy végtelenül csökkenő természetes számsorozat megszerkesztésével ellentmondást kapunk. Egyfajta ellentmondásos bizonyítás.
Pontos (teljes) négyzet egy egész szám négyzete.
Természetes szám faktorál n az összes természetes szám szorzata 1-től n inkluzív.
Problémák az ismeretlen egész számokkal
Pavlovszkaja Nina Mihajlovna,
matematika tanár MBOU "92. számú középiskola
Kemerovo
Az egész együtthatós algebrai egyenleteket vagy algebrai egyenletrendszereket, amelyekben több ismeretlen van, mint az egyenletek száma, és amelyekre egész vagy racionális megoldást keresünk, ún. diofantin egyenletek .
Az egyenletek egész számokban történő megoldásának problémája csak az egy ismeretlennel rendelkező egyenleteknél, az elsőfokú és a két ismeretlennel rendelkező másodfokú egyenleteknél teljesen megoldott. A két vagy több ismeretlent tartalmazó másodfokú egyenletek esetében még az egész megoldások létezésének bizonyítása is nehézkes. Sőt, bebizonyosodott, hogy nincs egyetlen olyan algoritmus, amely lehetővé tenné tetszőleges diofantin-egyenletek megoldását egész számokban, véges számú lépésben.
- A legegyszerűbb diofantin egyenletek a forma egyenletei
ax + by = c , a ≠ 0; b ≠ 0
Ha egy c = 0 , akkor a megoldás nyilvánvalóan x = 0, y = 0.
Ha egy c ≠ 0 , és a megoldás (X 0 ; nál nél 0 ) , majd egy egész szám
fejsze 0 +által 0 osztva d = (a ; b) , Ezért val vel közös osztóval is oszthatónak kell lennie a és b .
Például: 3x + 6y = 5-nek nincsenek egész megoldásai, mivel (3; 6) = 3, és c = 5 nem osztható 3-mal maradék nélkül.
- Ha az egyenlet ax + by = c van megoldása (X 0 ; nál nél 0 ) , és (a ; b) = 1 , akkor az egyenlet összes megoldását a képletek adják meg x = x 0 +bn; y = y 0 – egy, ahol n tetszőleges egész megoldás.
Például: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1, tehát az egyenletnek végtelen sok megoldása van, x 0 =1; nál nél 0 =2
Fermat Nagy (Nagy) tétele kimondja: a forma egyenletének nincs megoldása természetes számokban.
Ezt a tételt Pierre Fermat olasz matematikus fogalmazta meg több mint 300 évvel ezelőtt, és csak 1993-ban bizonyították be.
Faktorizációs módszer .
1) Oldja meg az egyenletet egész számokkal!
x + y = xy.
Döntés. Az egyenletet a formába írjuk
(x - 1) (y - 1) = 1.
Két egész szám szorzata csak akkor lehet egyenlő 1-gyel, ha mindkettő egyenlő 1-gyel. Azaz az eredeti egyenlet ekvivalens a halmazzal
(0,0) és (2,2) megoldásokkal.
2. Oldja meg az egyenletet egész számokban:
3x² + 4xy - 7y² = 13.
Döntés: 3x² - 3xy + 7xy - 7y² \u003d 13,
3x(x - y) + 7y(x - y) = 13,
(x - y) (3x + 7 év) \u003d 13.
Mivel a 13-nak ±1 és ±13 egész osztója van,
1. x - y \u003d 1, 7x - 7y \u003d 7, x \u003d 2,
3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; honnan y = 1
2. x - y \u003d 13, 7x - 7y \u003d 91, x \u003d 9,2,
3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; honnan y \u003d - 3,8.
3 . x - y \u003d -1, 7x - 7y \u003d -7, x \u003d -2,
3x + 7 év \u003d -13; 3x + 7y = -13; ahonnan y = -1.
4. x - y \u003d -13, 7x - 7y \u003d -91, x \u003d -9,2,
3x + 7y \u003d -1; 3x + 7y \u003d -1; ahonnan y = 3,8.
Ezért az egyenletnek két egész megoldása van: (2;1) és (-2;-1)
3 . Oldja meg az egyenletet egész számokkal:
9x² + 4x - xy + 3y \u003d 88.
Döntés: 9x² + 4x - 88 \u003d xy - 3y,
9x² + 4x - 88 \u003d y (x - 3)
mivel az 5-nek egész osztója van ± 1 és ± 5, akkor
Az erdő széléről sok ösvény vezet a sűrűbe. Tekervényesek, összefolynak, eltávolodnak, és újra metszik egymást. Séta közben csak ezeknek az ösvényeknek a rengetegét lehet észrevenni, végigsétálni némelyiken, és nyomon követni az irányukat az erdő mélyén. Az erdő komoly tanulmányozásához az ösvényeket kell követni, miközben általában megkülönböztethetők a száraz tűlevelek és cserjék között.
Ezért szerettem volna egy olyan projektet írni, amely a modern matematika egyik lehetséges útja leírásának tekinthető.
A környező világ, a nemzetgazdasági igények, sokszor a mindennapi munkák egyre több új feladat elé állítják az embert, amelyek megoldása nem mindig kézenfekvő. Néha ez vagy az a kérdés magában rejti a válaszváltozatok halmazát, mivel nehézségek merülnek fel a felmerülő feladatok eldöntésében. Hogyan válasszuk ki a megfelelő és optimális lehetőséget?
A határozatlan egyenletek megoldása közvetlenül kapcsolódik ugyanahhoz a kérdéshez. Az ókorban is léteztek ilyen, két vagy több változót tartalmazó egyenletek, amelyekre minden egész vagy természetes megoldást meg kell találni. Például a görög matematikus, Pythagoras (Kr. e. IV. század). az alexandriai matematikus Diophantus (i.sz. II-III. század) és a hozzánk közelebb álló korszak legjobb matematikusai - P. Fermat (XVII. század), L. Euler (XVIII. század), J. L. Lagrange (XVIII. század) és mások.
Részvétel az orosz levelező versenyen > Obninsk, a nemzetközi versenyen - játék > és az uráli olimpián Szövetségi kerület Gyakran szembesülök ilyen problémákkal. Ez annak köszönhető, hogy a megoldásuk kreatív. Az egyenletek egész számokban történő megoldása során felmerülő problémákat egyrészt a bonyolultság, másrészt az okozza, hogy az iskolában kevés időt fordítanak rájuk.
Diophantus a tudománytörténet egyik legnehezebb rejtvényét adja elő. Nem ismerjük sem azt az időt, amikor élt, sem az elődöket, akik ugyanazon a területen dolgoztak volna. Művei olyanok, mint a szikrázó tűz az áthatolhatatlan sötétség közepette.
Fél évezred az az időszak, amikor Diophantus élhet! Az alsó határ könnyen meghatározható: a sokszögszámokról írt könyvében Diophantus többször is megemlíti az alexandriai Hypsicles matematikust, aki a Kr.e. 2. század közepén élt. időszámításunk előtt e.
Másrészt az alexandriai Theon > a híres csillagászhoz, Ptolemaioszhoz fűzött kommentjei között található egy részlet Diophantus munkájából. Theon a 4. század közepén élt. n. e. Ez határozza meg ennek az intervallumnak a felső határát. Szóval 500 év!
Paul Tannry francia tudománytörténész, Diophantus legátfogóbb szövegének kiadója, megpróbálta csökkenteni ezt a szakadékot. Az Escurial könyvtárban kivonatokat talált Michael Psellos, a 11. századi bizánci tudós leveléből. , amely szerint a legtudósabb Anatolij, miután összegyűjtötte e tudomány leglényegesebb részeit, az ismeretlen fokozatainak bemutatásáról és azokról (megnevezés) ajánlotta barátjának, Diophantusnak. Alexandriai Anatolij valóban összeállított >, melynek kivonatait Iamblich és Jevszen hozzánk eljutott művei közölték. De Anatolij Alexandriában élt a Kr.e. 111. század közepén. Kr.e. és még pontosabban - egészen 270-ig, amikor Laodacia püspöke lett. Ez azt jelenti, hogy a mindenki által alexandriainak nevezett Diophantusszal való barátsága már előtte létrejött. Tehát, ha a híres alexandriai matematikus és Anatolij barátja, Diophantus egy személy, akkor Diophantus életének ideje a 111. század közepe.
De Diophantus lakóhelye jól ismert - Alexandria, a tudományos gondolkodás és a hellenisztikus világ központja.
A nádori antológia egyik epigrammája napjainkig fennmaradt:
A sírban Diophantus hamvai nyugszanak: csodálkozz rá - és egy kő
Az elhunyt kora bölcs művészettel megmondja neki.
Az istenek akaratából gyermekként élte le élete hatodát
És találkozott a hatodik felével szöszökkel az arcán.
Csak a hetedik telt el, eljegyezte a barátnőjét.
Miután öt évet töltött vele, a bölcs megvárta a fiát.
Szeretett fia apja életének csak a felét élte le.
Apjától a korai sírja vette el.
A szülő kétszer két éve gyászolta a súlyos gyászt.
Itt láttam meg szomorú életem határát.
Használata modern módszerek egyenletek megoldásával kiszámolhatja, hány évet élt Diophantus.
Éljen Diophantus x évig. Készítsük el és oldjuk meg az egyenletet:
Szorozza meg az egyenletet 84-gyel, hogy megszabaduljon a törtektől:
Így Diophantus 84 évet élt.
A legtitokzatosabb Diophantus munkája. A tizenhárom könyvből hatra jutottunk el, amelyek >-ben egyesültek, ezeknek a könyveknek a stílusa és tartalma élesen eltér a klasszikus ókori számelméleti és algebrai munkáktól, amelyek mintáit az > Euclid, his >, lemmáiból ismerjük. Arkhimédész és Apollóniosz írásaiból. > kétségtelenül számos tanulmány eredménye volt, amelyek teljesen ismeretlenek maradtak.
Csak találgathatunk gyökereiről, és csodálkozhatunk módszereinek és eredményeinek gazdagságán és szépségén.
> A Diophantus olyan feladatok gyűjteménye (összesen 189), amelyek mindegyikére megoldást kínálnak. A benne szereplő feladatok gondosan válogatottak, és jól körülhatárolt, szigorúan átgondolt módszerek illusztrálására szolgálnak. Az ókorban szokás szerint a módszereket nem fogalmazzák meg Általános nézet, de megismétlik ugyanazon típusú problémák megoldására.
Hitelesen ismert Diophantus egy sajátos életrajza, amelyet a legenda szerint sírkövére véstek, és rejtvényes feladatot jellemeztek:
Ez a rejtvény egy példa azokra a problémákra, amelyeket Diophantus megoldott. Szakterülete az egész számokkal történő problémák megoldása. Az ilyen problémákat ma diofantin problémáknak nevezik.
A diofantini egyenletek tanulmányozása általában nagy nehézségekkel jár.
1900-ban a párizsi Matematikusok Világkongresszuson a világ egyik legnagyobb matematikusa, David Hilbert 23 problémát emelt ki a matematika különböző területeiről. Az egyik ilyen probléma a diofantusi egyenletek megoldásának problémája volt. A probléma a következő volt: meg lehet-e oldani egy egyenletet tetszőleges számú ismeretlennel és egész együtthatóval? egy bizonyos módon- algoritmus segítségével. A feladat a következő: egy adott egyenlethez meg kell találni az egyenletben szereplő változók összes egész vagy természetes értékét, amely alatt az igazi egyenlőséggé alakul. Diophantus sokféle megoldást talált ki az ilyen egyenletekre. Tekintettel a diofantini egyenletek végtelen sokféleségére általános algoritmus megoldásuk ugyanis nem létezik, és szinte minden egyenlethez egyedi technikát kell kitalálni.
Egy 1. fokú diofantin egyenlet vagy egy lineáris diofantin egyenlet két ismeretlennel a következő alakú egyenlet: ax+by=c, ahol a,b,c egész számok, gcd(a,b)=1.
Meg fogom adni azon tételek megfogalmazásait, amelyek alapján összeállítható egy algoritmus két változós, egész számban előforduló határozatlan elsőfokú egyenletek megoldására.
1. Tétel. Ha egy egyenletben, akkor az egyenletnek legalább egy megoldása van.
Bizonyíték:
Feltételezhetjük, hogy a > 0. Az x egyenlet megoldása után a következőt kapjuk: x = c-voa. Bebizonyítom, hogy ha ebben a képletben y helyett minden a-nál és 0-nál kisebb természetes számot helyettesítünk, azaz a 0; 1; 2; 3; számokat. ;a-1, és minden alkalommal, amikor osztást hajt végre, akkor minden a maradék más lesz. Valóban, y helyett az a-nál kisebb m1 és m2 számokat fogom helyettesíteni. Ennek eredményeként két törtet kapok: c-vm1a és c-vm2a. Az osztás elvégzése és a parciális hányadosok q1 és q2, a maradékok r1 és r2 jelölése után azt kapom, hogy c-vm1a = q1 + r1a, c-vm2a = q2 + r2a.
Feltételezem, hogy r1 és r2 maradékai egyenlőek. Ekkor a második egyenlőséget kivonva az elsőből a következőt kapom: c-vm1a-c-vm2a= q1-q2, vagy v(m1 - m2)a=q1-q2.
Mivel q1-q2 egész szám, ezért a bal oldalnak is egésznek kell lennie. Ezért m1-ben m2-nek oszthatónak kell lennie a-val, azaz két természetes szám különbségének, amelyek mindegyike kisebb, mint a, oszthatónak kell lennie a-val, ami lehetetlen. Ezért az r1 és r2 maradékok egyenlőek. Vagyis minden maradvány más.
Hogy. Különféle maradványokat kaptam, amelyek kisebbek, mint a. De az a-t meg nem haladó természetes számok külön a számok, 0;1;2;3;. ;a-1. Ezért a maradékok között minden bizonnyal egy és csak egy lesz egyenlő nullával. Az y értéke, amelynek behelyettesítése a (c-woo)a kifejezésben a maradék 0-t adja, és x=(c-woo)a-t egész számmá alakítja. Q.E.D.
2. Tétel. Ha az egyenletben és c nem osztható vele, akkor az egyenletnek nincs egész megoldása.
Bizonyíték:
Legyen d=gcd(a;c), így a=md, b=nd, ahol m és n egész számok. Ekkor az egyenlet a következő formában lesz: mdх+ ndу=с, vagy d(mх+ nу)=с.
Feltételezve, hogy vannak olyan x és y egész számok, amelyek kielégítik az egyenletet, akkor azt kapjuk, hogy a c együttható osztható d-vel. A kapott ellentmondás bizonyítja a tételt.
3. Tétel. Ha az és egyenletben, akkor ekvivalens azzal az egyenlettel, amelyben.
4. Tétel. Ha az egyenletben, akkor ennek az egyenletnek minden egész megoldását a képletek tartalmazzák:
ahol x0, y0 az egyenlet egész megoldása, tetszőleges egész szám.
A megfogalmazott tételek lehetővé teszik, hogy a következő algoritmust állítsuk össze egész számban lévő alak egyenleteinek megoldására.
1. Határozzuk meg az a és b számok legnagyobb közös osztóját, ha és c nem osztható -val, akkor az egyenletnek nincs egész megoldása; ha és akkor
2. Az egyenletet tagonként osszuk fel, így kapjunk egy egyenletet, amelyben.
3. Keresse meg az egyenlet egész megoldását (x0, y0) úgy, hogy 1-et és számok lineáris kombinációjaként ábrázolja;
4. Komponálás általános képlet ennek az egyenletnek egész megoldásai ahol x0, y0 - az egyenlet egész megoldása, - tetszőleges egész szám.
2. 1 LESZÁLLÍTÁSI MÓDSZER
Sok > határozatlan egyenletek megoldási módszerein alapul. Például trükk a születési dátum kitalálásával.
Kérd meg barátodat, hogy tippelje meg születésnapját a születési dátumának 12-vel és a születési hónapjának 31-gyel való szorzatával egyenlő számok összegével.
Ahhoz, hogy kitalálja barátja születésnapját, meg kell oldania a következő egyenletet: 12x + 31y = A.
Legyen a 380-as szám, vagyis a 12x + 31y = 380 egyenletünk van. Az x és y megkereséséhez a következőképpen érvelhetünk: a 12x + 24y szám osztható 12-vel, tehát az oszthatóság szerint. tulajdonságok (4. 4. tétel), a 7y és a 380 számok maradékának azonosnak kell lennie, ha 12-vel osztjuk. A 380-as szám 12-vel osztva 8-at ad maradékként, így a 7y-nek 12-vel osztva szintén 8-nak kell maradnia. és mivel y a hónap száma, akkor 1
Az általunk megoldott egyenlet egy 1. fokú diofantini egyenlet két ismeretlennel. Az ilyen egyenletek megoldására az úgynevezett leszálló módszer használható. Ennek a módszernek az algoritmusát egy adott 5x + 8y = 39 egyenletre fogom vizsgálni.
1. Kiválasztom azt az ismeretlent, amelynek a legkisebb együtthatója (esetünkben ez x), és egy másik ismeretlennel fejezem ki:. A teljes részt kiemelném: Nyilvánvaló, hogy x egész szám lesz, ha a kifejezés egész, ami viszont akkor lesz, ha a 4 - 3y szám maradék nélkül osztható 5-tel.
2. Bevezetek egy további z egész változót a következőképpen: 4 - 3y = 5z. Ennek eredményeként az eredetivel azonos típusú egyenletet kapok, de kisebb együtthatókkal. Az y: változóra tekintettel fogom megoldani. Az egész részt kiválasztva a következőt kapom:
Az előzőhöz hasonlóan érvelve bevezetek egy új u változót: 3u = 1 - 2z.
3. Fejezzük ki az ismeretlent a legkisebb együtthatóval, ebben az esetben a z változóval: =. Megkövetelve, hogy egész szám legyen, azt kapom, hogy 1 - u = 2v, ahonnan u = 1 - 2v. Nincs több lövés, vége az ereszkedésnek.
4. Most szüksége van >. Fejezd ki a v változón keresztül először z, majd y, majd x: z = = = 3v - 1; = 3-5V.
5. Az x = 3+8v és y = 3 - 5v képletek, ahol v egy tetszőleges egész szám, azt jelentik közös döntés az eredeti egyenlet egész számokban.
Megjegyzés. Így a leszármazási módszer abból áll, hogy először szekvenciálisan fejezzük ki az egyik változót a másikon keresztül, amíg a változó reprezentációjában már nem marad törtrész, majd szekvenciális > az egyenlőséglánc mentén, hogy általános megoldást kapjunk az egyenletre.
2. 2 BELÉPÉSI MÓD
Nyulak és fácánok egy ketrecben ülnek, összesen 18 lábuk van. Tudja meg, hányan vannak közülük és mások a cellában?
Felírok egy egyenletet két ismeretlennel, amelyben x a nyulak, y pedig a fácánok száma:
4x + 2y = 18 vagy 2x + y = 9.
Válasz. 1) 1 nyúl és 7 fácán; 2) 2 nyúl és 5 fácán; 3) 3 nyúl és 3 fácán; 4) 4 nyúl és 1 fácán.
1. GYAKORLATI RÉSZ
3. 1 Lineáris egyenletek megoldása két ismeretlennel
1. Oldja meg a 407x - 2816y = 33 egyenletet egész számokkal!
A kidolgozott algoritmust fogom használni.
1. Az Euklidész algoritmus segítségével megkeresem a 407 és 2816 számok legnagyobb közös osztóját:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Ezért (407,2816) = 11, és a 33 osztható 11-gyel.
2. Az eredeti egyenlet mindkét részét elosztom 11-gyel, így a 37x - 256y = 3 egyenletet kapjuk, és (37, 256) = 1
3. Az euklideszi algoritmus segítségével megkeresem az 1-es szám lineáris ábrázolását a 37-es és 256-os számokon keresztül.
256 = 37 6 + 34;
Az utolsó egyenlőségből 1-et fogok kifejezni, majd az egyenlőségeket felfelé haladva 3-at fogok kifejezni; 34-et, és a kapott kifejezéseket a kifejezésben helyettesítse 1-gyel.
1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =
83 37-256 (-12)
Így 37 (- 83) - 256 (- 12) \u003d 1, ezért az x0 \u003d - 83 és y0 \u003d - 12 számpár a 37x - 256y \u003d 3 egyenlet megoldása.
4. Felírom az eredeti egyenlet megoldásainak általános képletét, ahol t tetszőleges egész szám.
Válasz. (-83c + bt; -12c-at), t є Z.
Megjegyzés. Bebizonyítható, hogy ha az (x1,y1) pár az egyenlet egész megoldása, ahol, akkor ennek az egyenletnek minden egész megoldása megtalálható a következő képletekkel: x=x1+bty=y1-at
2. Oldja meg a 14x - 33y=32 egyenletet egész számokkal!
Megoldás: x = (32 + 33y) : 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ]2év + 5év + 14[. ] 2 + 4 = 14 (2 év + 2) + 5 év + 4; 2y+2=p; p z
Keresés 1-től 13-ig
ha y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Helyettesítsd be az eredeti egyenletben y = 2
14x = 32 +33 [. ]2
14x = 32 + 66x = 98: 14 = 7
Megkeresem a talált hányados összes egész megoldását:
14 (x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x-7)-33(y-2)=0
14 (x - 7) = 33 (y - 2) -> 14 (x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33 k + 7; k = Z
Csere az eredeti egyenletben:
14 (33k + 7) - 33y = 32
14. 33 ezer + 98 - 33 év = 32 év = 14 ezer + 2; x = 33k + 7, ahol k є Z. Ezek a képletek határozzák meg az eredeti egyenlet általános megoldását.
Válasz. (33k + 7; 14k + 2), k = Z.
3. Oldja meg az x - 3y = 15 egyenletet egész számokkal!
Keresse meg a gcd(1,3)=1-et
Definiálok egy konkrét megoldást: x=(15+3y):1 a felsorolási módszerrel, az y=0 értéket kapom, majd az x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) egy speciális megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z k=0-nál, egy adott megoldást kapok (15;0)
Válasz: (3k+15; k), k є Z.
4. Oldja meg a 7x - y = 3 egyenletet egész számokkal!
Keresse meg a GCD(7; -1)=1-et
Meghatározok egy konkrét megoldást: x = (3+y):7
A felsorolási módszerrel az y є y = 4, x = 1 értéket találjuk
Ezért (1;4) egy speciális megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z
Válasz: (k+1;7k+4); k = Z.
5. Oldja meg a 15x+11 y = 14 egész egyenletet!
Keresse meg a GCD(15; -14)=1-et
Meghatározok egy konkrét megoldást: x = (14 - 11y):15
A számozási módszerrel megtalálom az y є y \u003d 4, x \u003d -2 értékét
(-2;4) - konkrét megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z
Válasz: (-11k-2; 15k+4); k = Z.
6. Oldja meg a 3x - 2y = 12 egész egyenletet!
Keresse meg a gcd(3; 2)=1-et
Meghatározok egy konkrét megoldást: x = (12+2y):3
A felsorolási módszerrel megtalálom az y є y \u003d 0, x \u003d 4 értékét
(4;0) egy speciális megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z
Válasz: (2k+4; 3k); k = Z.
7. Oldja meg egész számokban az xy = x + y egyenletet!
xy - x - y + 1 = 1 vagy (x - 1) (y - 1) = 1
Ezért x - 1 = 1, y - 1 = 1, ahonnan x = 2, y = 2 vagy x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, ahonnan x = 0, y = 0 egyéb egész számokban megadott egyenlet nem.
Válasz. 0;0;(2;2).
8. Oldja meg egész számokkal a 60x - 77y \u003d 1 egyenletet.
Hadd oldjam meg ezt az egyenletet x-re: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y + 1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.
Legyen (17y + 1) / 60 = z, akkor y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Ha a (9z - 1) / 17-et t-vel jelöljük, akkor z = (17t) + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Végül legyen (- t + 1) / 9 = n, majd t = 1-9n. Mivel az egyenletre csak egész számú megoldást találok, z, t, n egész számnak kell lennie.
Így z \u003d 2 - 18n + 2 \u003d 2 - 17n, és ezért y \u003d 6 - 51n + 1 - 9n \u003d 7 - 60n, x \u003d 2 - 17n d 2 - 17n + 7 - 07n + 7 - 0 . Tehát, ha x és y egész számú megoldása ennek az egyenletnek, akkor van olyan n egész szám, amelyre x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Ezzel szemben, ha y \u003d 9 - 77n, x \u003d 7 - 60n, akkor nyilvánvalóan x, y egész számok. Az ellenőrzés azt mutatja, hogy megfelelnek az eredeti egyenletnek.
Válasz. (9-77n; 7-60n)); n = Z.
9. Oldja meg a 2x+11y =24 egyenletet egész számokkal!
Keresse meg a GCD(2; 11)=1 értéket
Meghatározok egy konkrét megoldást: x = (24-11y):2
A felsorolási módszerrel megtalálom az y є y \u003d 0, x \u003d 12 értékét
(12;0) egy speciális megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0 = 2k, k є Z
Válasz:(-11k+12; 2k); k = Z.
10. Oldja meg a 19x - 7y = 100 egyenletet egész számokkal!
Keresse meg a GCD(19; -7)=1-et
Meghatározok egy konkrét megoldást: x = (100+7y):19
A felsorolási módszerrel megtalálom az y є y \u003d 2, x \u003d 6 értékét
(6;2) egy speciális megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z
Válasz:(7k+6; 19k+2); ke Z.
11. Oldja meg a 24x - 6y = 144 egyenletet egész számokkal
Keresse meg a GCD(24; 6)=3 értéket.
Az egyenletnek nincs megoldása, mert gcd(24; 6)!=1.
Válasz. Nincsenek megoldások.
12. Oldja meg az egyenletet egész számokban!
Átalakítom az együtthatók arányát ismeretlenekre.
Először is kiemelem a helytelen tört egész részét;
Cserélje ki a megfelelő törtet egyenlő törttel.
Akkor megszerzem.
Ugyanezeket az átalakításokat a nevezőben kapott rossz törttel fogom elvégezni.
Most az eredeti tört alakja a következő:
Megismételve ugyanazt az érvelést a törtre, értem.
A nem megfelelő tört egész részét kiválasztva a végeredményhez jutok:
Kaptam egy kifejezést, amelyet a végső folytatásnak vagy folytatásnak hívnak. Miután elvetettem ennek a folytatólagos törtnek az utolsó láncszemét - egyötödét, a kapott új folyamatos törtet egyszerűvé alakítom, és kivonom az eredeti törtből.
A kapott kifejezést közös nevezőre hozom, majd elveszem
A kapott egyenlőség és az egyenlet összehasonlításából az következik, hogy lesz ennek az egyenletnek a megoldása, és a tétel szerint minden megoldása benne lesz,.
Válasz. (9+52t; 22+127t), t є Z.
A kapott eredmény arra utal, hogy in általános eset az egyenlet megoldásához ki kell terjeszteni az ismeretlenek együtthatóinak arányát egy folyamatos törtté, el kell vetni az utolsó linkjét, és a fentiekhez hasonló számításokat kell végezni.
13. Oldja meg a 3xy + 2x + 3y = 0 egyenletet egész számokkal!
3xy + 2x + 3y = 3xy + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y (x + 1) + 2 (x + 1) - 2 =
\u003d (x + 1) (3 év + 2) - 2,
(x + 1) (3y + 2) = 2,
3y + 2 = 1 vagy 3y + 1 = 2 vagy 3y + 1 = -1 vagy 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 = 1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 vagy x = 0 vagy x = -3 vagy x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.
Válasz: (0;0);(-3;-1).
14. Oldja meg az y - x - xy \u003d 2 egyenletet egész számokkal!
Megoldás: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1) (1 - x) = 3,
3 = 1 3 = 3 1 = (-1) (-3) = (-3) (-1).
y + 1 = 1 vagy y + 1 = 3 vagy y + 1 = -1 vagy y + 1 = -3
1 - x \u003d 3, 1 - x \u003d 1, 1 - x \u003d -3, 1 - x \u003d -1.
y = 0 vagy y = 2 vagy y = -2 vagy y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2
Válasz: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Oldja meg az y + 4x + 2xy = 0 egyenletet egész számokkal!
Megoldás: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1) (2 + y) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2x + 1 = 1 vagy 2x + 1 = 2 vagy 2x + 1 = -1 vagy 2x + 1 = -2
2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 vagy y = -1 vagy y = -4 vagy y = -3 x = 0, x Z cent, x = -1, x Z cent.
Válasz: (-1;-4);(0;0).
16. Oldja meg egész számokban az 5x + 10y = 21 egyenletet!
5(x + 2y) = 21, mert 21 != 5n, akkor nincsenek gyökök.
Válasz. Nincsenek gyökerek.
17. Oldja meg a 3x + 9y = 51 egyenletet természetes számokban!
3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y=2, x=11; y=3, x=8; y=4, x=5; y=5, x=2; y = 6, x = -1, -1 cent N.
Válasz:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14;1).
18. Oldja meg a 7x + 5y \u003d 232 egyenletet egész számokkal!
Ezt az egyenletet az ismeretlenekre vonatkoztatva fogom megoldani, amelyeknél a legkisebb (modulo) együttható található, azaz ebben az esetben y-hoz képest: y \u003d 232-7x5.
Ebben a kifejezésben az x szám helyett behelyettesítem: 0; 1; 2; 3; 4. A következőt kapom: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43,6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8
Válasz. (1;45).
19. Oldja meg a 3x + 4y + 5xy = 6 egyenletet egész számokkal!
Nekem 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
42. osztó: - + - (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 Azt tapasztalom, hogy m = -1, -6, 14, -21 esetén n = -42, -7, 3, -2 a megoldások: x = -1, - 2, 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.
Tehát ennek az egyenletnek 4 megoldása van egész számokban, és egy sem természetes számokban.
Válasz. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Oldja meg a 8x + 65y = 81 egyenletet természetes számokban!
81⋮GCD(8;65)=>
8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.
Legyen 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0
65t>-2-8t>-1 t>-265t t=0.
Amikor t=0 x=2y=1
Válasz. (2;1).
21. Keresse meg a 3x+7y=250 egyenlet egész számú nemnegatív megoldását!
250⋮gcd(3;7) => az egyenlet egész számokban is megoldható.
x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.
Legyen 1-y3=t, t Є Z.
x=81+7t>=0y=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
x=81+7ty=1-3t t=-11 x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1
Válasz. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Oldja meg az xy+x+y3=1988 egyenletet egész számokban!
Az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk 3-mal.
3x+3xy+y=5964
3x+3xy+y+1=5965
(3x+1)+(3yx+y)=5965
(3x+1) + y(3x+1)=5965
(3x+1)(y+1)=5965
5965=1∙5965 vagy 5965=5965∙1 vagy 5965=-1∙(-5965) vagy 5965=-5965∙(-1) vagy 5965=5∙1193 vagy 5965=1193∙61 -1193) vagy 5965=-1193∙(-5)
1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0
3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 megoldás egész számban nincs megoldás egész számban nem
5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 megoldás egész számban nincs megoldás egész számban nem
7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6
Válasz. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3.2 PROBLÉMAMEGOLDÁS
Többféle feladat létezik, leggyakrabban olimpiai jellegű feladatok, amelyek a diofantin egyenletek megoldására redukálódnak. Például: a) Egy bizonyos címletű pénzösszeg átváltásának feladatai.
b) Transzfúziós feladatok, tárgyak felosztása.
1. Vásárolt 390 db színes ceruzát 7 db és 12 db ceruzadobozban. Hány dobozt vettél ebből?
Jelölni fogom: x doboz 7 ceruzával, y doboz 12 ceruzával.
Megalkotom az egyenletet: 7x + 12y = 390
Keresse meg a GCD(7; 12)=1 értéket
Meghatározok egy konkrét megoldást: x = (390 - 12y):7
A felsorolási módszerrel megtalálom az y є y \u003d 1, x \u003d 54 értékét
(54;1) egy sajátos megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z
Sok megoldást találtam az egyenletre. Tekintettel a probléma körülményeire, meg fogom határozni ezek és a többi doboz lehetséges számát.
Válasz. Megvásárolható: 54 doboz 7 ceruzával és 1 doboz 12 ceruzával vagy 42 doboz 7 ceruzával és 8 doboz 12 ceruzával, vagy 30 doboz 7 ceruzával és 15 doboz 12 ceruzával vagy 28 doboz 7 ceruzával és 22 dobozzal. 12 ceruzából, vagy 6 doboz 7 ceruzából és 29 doboz 12 ceruzából.
2. Egy derékszögű háromszög egyik szára 7 cm-rel hosszabb, mint a másik, a háromszög kerülete 30 cm. Határozzuk meg a háromszög összes oldalát!
Jelölni fogom: x cm - egyik láb, (x + 7) cm - másik láb, y cm - hipotenúza
Állítsa össze és oldja meg a Diofantusz egyenletet: x+(x+7)+y=30
Keresse meg a gcd(2; 1)=1 értéket
Meg fogok határozni egy konkrét megoldást: x = (23 - y):2
Az iterációs módszerrel megkeresem az y =1 y = 1, x = 11 értéket
(11;1) egy speciális megoldás.
Az egyenlet összes többi megoldását a következő képletekkel találjuk meg: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k
Figyelembe véve, hogy a háromszög bármely oldala kisebb, mint a másik két oldal összege, arra a következtetésre jutunk, hogy három háromszög 7, 9 és 14 oldalú; 6., 11. és 13.; 5, 13 és 12. A feladat feltételével egy derékszögű háromszög adott. Ez egy háromszög, amelynek oldalai 5, 13 és 12 (Pitagorasz tétele érvényes).
Válasz: Az egyik láb 5 cm, a másik 12 cm, az alsó rész 13 cm.
3. Több gyerek almát szedett. Minden fiú 21, a lány 15 kg-ot gyűjtött. Összesen 174 kg-ot gyűjtöttek. Hány fiú és hány lány szedett almát?
Legyen a fiúk x, a lányok pedig y, ahol x és y természetes számok. Készítek egy egyenletet:
Kiválasztási módszerrel oldom meg: x
6 Csak ha x = 4, a második ismeretlen kap pozitív egész értéket (y = 6). Minden más x érték esetén az y szám tört vagy negatív lesz. Ezért a problémának egyetlen egyedi megoldása van.
Válasz. 4 fiú és 6 lány.
4. Készíthető-e 3 rubel értékű ceruzakészlet és 20 rubel értékű 6 rubel értékű toll?
Legyen a készletben lévő ceruzák száma x, a tollak száma pedig y.
Készítek egy egyenletet:
Bármely x és y egész szám esetén az egyenlet bal oldalának oszthatónak kell lennie 3-mal; a jobb oldal nem osztható 3-mal. Ez azt jelenti, hogy nincsenek olyan x és y egész számok, amelyek kielégítenék az egyenletünket. Ez az egyenlet egész számokban megoldhatatlan. Lehetetlen ilyen halmazt alkotni.
Válasz. Nincsenek megoldások.
5. Keress egy természetes számot, amelyet 3-mal elosztva 2, 5-tel osztva pedig 3 maradékát adjuk.
A kívánt számot x-szel jelölöm. Ha az x 3-mal való osztásának hányadosát jelölöm y-vel, az 5-tel való osztását pedig z-vel, akkor azt kapom, hogy x=3y+2x=5z+3
A feladat jelentése szerint x, y és z természetes számok. Tehát meg kell oldanunk egy határozatlan egyenletrendszert egész számokban.
Bármilyen y és z egész szám esetén x is egész szám lesz. Vonjuk ki az első egyenletet a második egyenletből, és kapjuk:
5z - 3y + 1 = 0.
Miután megtaláltam az összes y és z pozitív egész számot, azonnal megkapom az összes egész számot pozitív értékeket x.
Ebből az egyenletből a következőket kapom:
Egy megoldás kézenfekvő: z = 1 esetén y = 2, x és y pedig egész számok. Ezek megfelelnek az x = 8 megoldásnak.
Majd találok más megoldásokat. Ehhez bevezetek egy ismeretlen u segédelemet, z = 1 + u beállítással. Én fogok kapni:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, azaz 5u = 3y - 6 vagy 5u = 3 (y - 2).
Bármely y egész szám utolsó egyenletének jobb oldala osztható 3-mal. Ezért a bal oldalnak is oszthatónak kell lennie 3-mal. De az 5-ös szám a 3-mal együtt prím; tehát u-nak oszthatónak kell lennie 3-mal, azaz 3n alakúnak kell lennie, ahol n egész szám. Ebben az esetben y egyenlő lesz
15n/3 + 2 = 5n + 2, azaz szintén egész szám. Tehát z = 1 + u = 1 + 3n, ahonnan x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Kiderült, hogy nem egy, hanem egy végtelen értékkészlet x-hez: x = 8 + 15n, ahol n egész szám (pozitív vagy nulla):
Válasz. x=8+15n; n = 0; 1; 2;.
6. Az alanyok 300-at hoztak ajándékba a sahnak drágakövek: egyenként 15 darabos kis dobozokban és 40 darabos nagy dobozokban. Hány volt ott ezekből és más koporsókból, ha ismert, hogy kevesebb volt a kicsi, mint a nagy?
x-szel jelölöm a kis dobozok számát, és y-vel - a nagyok számát.
15x + 40y = 300. 5-tel csökkentem.
3x+8y=60x=60-8y3 x=60-6y-2y3
X=20-2y-2y3
Ahhoz, hogy a tört értéke egész szám legyen, szükséges, hogy 2y 3 többszöröse legyen, azaz 2y \u003d 3s.
Fejezd ki az y változót és vond ki az egész részt:
Z-nek 2 többszörösének kell lennie, azaz z=2u.
Fejezd ki az x és y változókat u-val:
X=20-2y-2y3
Х=20-2∙3u-2∙3u3
Írj és oldj meg egy egyenlőtlenségrendszert:
Kiírom a teljes megoldásokat: 1; 2. Most keresse meg x és y értékét, ha u=1; 2.
1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3
2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6
Válasz. 4 kis doboz; 6 nagy doboz.
7. Két Ural 5557-es autót adtak, az autókat a Krasznoturinszk - Perm - Krasznoturinszk járatra küldték. Összesen 4 tonna gázolajra és 2 sofőrre volt szükség ennek a repülésnek a teljesítéséhez. Ha ismert, hogy összesen 76 000 rubelt költöttek el, meg kell határozni a szállítási költségeket, nevezetesen 1 tonna dízel üzemanyag költségét és az ezt a járatot végző járművezetők bérét.
Legyen x rubel 1 tonna gázolaj költsége, y rubel pedig a sofőrök bére. Aztán (4x + 2 év) rubel - a repülésre költött. És a probléma állapotának megfelelően 76 000 rubelt költöttek el.
Megkapom az egyenletet:
Ennek az egyenletnek a megoldása a számlálási módszer munkaigényes folyamat lesz. Tehát a >-t fogom használni.
Az y változót x-en keresztül fejezem ki: , válassza ki az egész részt, a következőt kapom: (1).
Ahhoz, hogy a tört értéke egész szám legyen, szükséges, hogy 2x 4 többszöröse legyen. Vagyis 2x \u003d 4z, ahol z egész szám. Innen:
Az x értéket az (1) kifejezésben helyettesítem:
Mivel x, y 0, majd 19000 z 0, ezért z egész számot megadva 0 és 19000 között a következő x és y értékeket kapom: z
A szállítási költségek jelenlegi adataiból ismert, hogy 1 tonna gázolaj (x) 18 000 rubelbe kerül. , az (y) repülést végrehajtó járművezetők díjazása pedig 10 000 rubel. (az adatok hozzávetőlegesek). A táblázat szerint azt találjuk, hogy az 18000-nel egyenlő x és az 10000-rel egyenlő y érték a 9000-rel egyenlő z értéknek felel meg, sőt:;.
8. Hányféleképpen gyűjtheti össze a 27 rubelt. , sok két- és ötrubeles érméje van?
Jelölje: x kétrubeles érme és y ötrubeles érme
Összeállítok egy egyenletet, figyelembe véve a 2x + 5y = 27 feladat feltételét.
Keresse meg a GCD(2;5)=1-et
Meghatározok egy konkrét megoldást: x = (27-5y):2
A felsorolási módszerrel megtalálom az y є y \u003d 1, x \u003d 11 értékét
(11;1) egy speciális megoldás.
Az összes többi megoldást a következő képletekkel találjuk meg: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z
Ennek az egyenletnek sok megoldása van. Nézzük meg az összes módot, amellyel összegyűjtheti a 27 rubelt a felajánlott érmékkel. k
Válasz. Háromféleképpen gyűjtheti össze ezt az összeget, sok két- és ötrubeles érmével.
9. Tegyük fel, hogy polipok és tengeri csillagok élnek egy akváriumban. A polipoknak 8 lába van, a tengeri csillagoknak 5. Összesen 39 lába van. Hány állat van az akváriumban?
Legyen x a tengeri csillagok száma, y pedig a polipok száma. Ekkor minden polipnak 8 lába van, és minden csillagnak 5 lába van.
Készítek egy egyenletet: 5x + 8y = 39.
Megjegyzem, hogy az állatok száma nem fejezhető ki nem egész vagy negatív számokkal. Ezért, ha x egy nem negatív egész szám, akkor y \u003d (39 - 5x) / 8-nak is egésznek és nem negatívnak kell lennie, ami azt jelenti, hogy a 39 - 5x kifejezést maradék nélkül el kell osztani 8-cal. Az opciók felsorolása azt mutatja, hogy ez csak akkor lehetséges, ha x = 3, akkor y = 3.
Válasz: (3; 3).
10. Egy bútorgyár három- és négylábú zsámolyt gyárt. A mester 18 lábat készített. Hány széklet készíthető úgy, hogy az összes lábat használjuk?
Legyen x a háromlábú zsámolyok száma, y pedig a négylábúak száma. Ekkor 3x + 4y = 18.
Van, 4 év =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.
így kapom: x = 2; y=3 vagy x=6; y=0.
Nincs más megoldás, mivel x 6.
Válasz. 2;3;(6;0).
11. Lehetőség van 718 fő elhelyezésére 4 és 8 férőhelyes kabinokban, hogy a kabinokban ne legyen üres ülőhely?
Legyen a 4 ágyas kabinok x, a 8 ágyas kabinok pedig - y, akkor:
2(x + 2y) = 309
Válasz. Ez tiltott.
12. Bizonyítsuk be, hogy a 124x + 216y = 515 egyenesen nincsenek egész koordinátájú pontok.
GCD(124;216) = 4, 515 != 4n, tehát nincsenek egész megoldások.
Válasz. Nincsenek megoldások.
13. Az áru ára 23 rubel, a vevőnek csak 2 rubel, a pénztárosnak 5 rubel. Vásárolhatok pénzváltás nélkül?
Legyen x a 2 rubeles érme száma, y az 5 rubeles érme száma, akkor 2x - 5y = 23, ahol x,y = N.
A következőt kapom: 2x = 23 + 5y, ahonnan x = 23 + 5y2 = 11 + 2y + (1 + y)2 x egész szám lesz, ha 1 + y2 egész szám.
1 + y2 = t, ahol t Euro Z, akkor y = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
Nak nek. x = 5t + 9, a y = 2t - 1, ahol t є z.
A feladatnak sok egész számú megoldása van. A legegyszerűbb közülük t = 1, x =14, y = 1, azaz a vevő tizennégy 2 rubeles érmét ad, és egy 5 rubeles érmét kap.
Válasz. Tud.
14. Az üzlet kereskedési könyveinek auditálásakor az egyik bejegyzés tintával telinek bizonyult, és így nézett ki:
> Az eladott méterek számát nem lehetett megállapítani, de az biztos, hogy a szám nem töredék; a bevételben csak az utolsó három számjegyet lehetett megkülönböztetni, és azt is megállapítani, hogy előttük van még három számjegy. Ezekből az adatokból vissza lehet állítani a rekordot?
Legyen a méterek száma x, akkor az áru kopejkában kifejezett ára 4936x. Az összegben szereplő három kitöltött számjegyet y-val jelöljük, ez az ezer kopejka száma, és a teljes kopejkás összeget a következőképpen fejezzük ki (1000y + 728).
Megkapom a 4936x \u003d 1000y + 728 egyenletet, elosztom 8-cal.
617x - 125y = 91, ahol x,y = z, x,y
125y \u003d 617x - 91y \u003d 5x - 1 +34 - 8x125 \u003d 5x - 1 + 2 17 - 4x125 \u003d
5x - 1 + 2t, ahol t = 17 - 4x125, t Euro Z.
A t \u003d (17 - 4x) / 125 egyenletből azt kapom, hogy x \u003d 4 - 31t + 1 - t4 \u003d
4 - 31t + t1, ahol t1 = 1 - t4, tehát t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.
Feltétel alapján tudom, hogy 100
100 = 234/617 és t1
Ez azt jelenti, hogy 98 métert bocsátottak ki 4837,28 rubel értékben. A rekord helyreállt.
Válasz. 98 métert engedtek el.
15. Egy rubelért 40 darab bélyeget kell vásárolni - kopeck, 4 kopeck és 12 kopeck. Egy-egy címletből hány bélyeget vásárolhat?
Két egyenlet készíthető: x + 4y + 12z = 100 és x + y + z = 40, ahol x a filléres márkák száma, y a 4 penny márkák, z a 12 penny márkák. Kivonom a második egyenletet az első egyenletből, és megkapom:
3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11 z3.
Legyen z3 = t, z = 3t, ahol t Euro Z. Ekkor azt kapom, ha x + y + z = 40 és z = 3t, és y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.
Mivel x >= 0, y >= 0, z >= 0, akkor 0
Ezután rendre a következőket kapom: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.
A bélyegvásárlás tehát csak kétféleképpen történhet, és ha feltételként szabja meg, hogy minden címletből legalább egy bélyeget vásároljon, akkor csak egy módon.
Válasz. 28 bélyeg 1 kopejkáért, 9 bélyeg 4 kopejkáért és 3 bélyeg 12 kopejkáért.
16. A tanuló 20 feladatból álló feladatot kapott. Minden helyesen megoldottért 8 pontot kap, minden meg nem oldottért 5 pontot levonnak. Olyan feladatért, amelyre nem vállalkozott - 0 pont. A tanuló összesen 13 pontot ért el. Hány feladatot vállalt el?
Legyen helyesen megoldott feladatok - x, és helytelenül megoldott - y, nem vették - z.
Ekkor x + y + z = 20, és 8x - 5y = 13.
y \u003d 8x - 135 \u003d x - 2 + 3 (x - 1) 5 \u003d x - 2 + 3t, ahol t \u003d x - 15, és x \u003d 5t + 1.
Az x + y feltétel szerint
Válasz: a tanuló 13 feladat megoldását vállalta, 6-ot megoldott, 7-tel nem birkózott meg.
17. Ivanushka a Bolond a Gorynych Serpent-szel küzd, akinek 2001-es feje van. Iván kardjával balra integetve levág 10 fejet, és cserébe megnő 16. Jobbra hadonászva kardját levágja 15-öt, és 6-ot növeszt. Ha az összes fejet levágják, nem nő új. Integethet bármilyen sorrendben, de ha 15-nél kevesebb fej van, akkor csak balra, ha pedig 10-nél kevesebb, akkor egyáltalán nem. Vajon Ivanuska, a Bolond legyőzheti Zmey Gorynychot?
Hadd fogalmazzam újra a problémát: le lehet-e vágni 1986-os fejeket? Aztán a maradék 15-öt Iván egy ütéssel jobbra vágja, és nem fognak újak nőni.
Legyen x a jobb oldali és y a bal oldali ütések száma, akkor 1986 - 9x + 6y = 0.
Osszuk el az egész egyenletet 6-tal, és megkapjuk
3x - 2y = 662.
y \u003d 3x - 6622 \u003d x - 331 + x2.
Legyen x2 = t, akkor x = 2t, és y = 3t - 331.
Mivel x >= 0, y >= 0, akkor t >= 111, ezért t = 111, x = 222, y = 2.
Megkapom: 220-szor jobbra ütve Iván 1980 fejet vág le, a Kígyónak pedig 21 feje maradt; majd 2 ütés balra, és a kígyó 12 fejet növeszt, összesen 33-at; a következő 2 ütés jobbra megfosztja a kígyót 18 fejétől, a maradék 15 Ivan pedig az utolsó ütéssel jobbra vágja le, és nem nő új fej.
Válasz: 220 ütés jobbra, 2 ütés balra és további 3 ütés jobbra.
18. Tedd dobókocka a lapok számozottak - 1, 2, 3, 4, 5, 6. 5 ilyen kockából építettek egy tornyot és megszámolták az összes látható lapon a pontok összegét, a felső kocka eltávolítása után az összeg 19-cel csökkent, mit szám volt a felső kocka felső oldalán?
Egy kocka pontjainak összege 21.
Legyen x a felső kocka alsó lapján lévő pontok száma, y pedig a következő kocka felső lapján lévő pontok száma. A felső kocka eltávolításakor a felső kocka 5 lapjának pontjai eltűnnek, amelyek pontjainak összege (21 - x), és megjelenik egy lap, amelyen a pontok vannak, ami azt jelenti, hogy a pontok összege (21 - x) - y-val csökkent, és feltétel szerint 19, ezért:
(21 - x) - y \u003d 19, x + y \u003d 2.
Ezért y \u003d 2 - x, és az 1. feltétel szerint
19. Valaki 30 madarat vett 30 azonos értékű pénzérméért. Minden 3 verébért egy érmét fizetnek, 2 süvöltőért - 1 érmét, 1 galambért - 2 érmét. Hány madár volt az egyes fajokból?
Legyenek verebek - x, süvöltők - y és galambok - z. Ekkor az x + y + z = 30 és 13x + 12y + 2z = 30 feltétel szerint.
x + y + z = 30 és 2x + 3y + 12z = 180, vagy y + 10z = 120, y = 120 - 10z, ahol x
Ezért a következő opciók (0;20;10); (9; 10; 11); (18;0;12).
Válasz: verebek - 0, süvöltők - 20, galambok - 10; verebek - 9, süvöltők - 10, galambok - 11; verebek - 18, süvöltők - 0, galambok - 12.
20. Határozzuk meg az összes kétjegyű számot, amelyek mindegyike 2-vel csökkentve a számjegyei szorzatának ötszörösével egyenlő!
Legyen xy a szükséges kétjegyű számok.
Az xy - 2 \u003d 5xy vagy (10x + y) - 5xy \u003d 2 S \u003d 0 egyenlethez az összes természetes megoldást megtalálom az (x; 2) halmazból.
Mivel x a kétjegyű számok első számjegye, csak 9 értéket vehet fel.
Hogy. , a kívánt számok a következők lesznek: 12, 22, 32,. , 92.
Válasz. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Egy 102 cm-es drótdarabot 15 cm-es és 12 cm-es darabokra kell vágni, hogy az összes vezetéket felhasználják. Hogyan kell csinálni?
Legyen x a 15 cm hosszú huzaldarabok száma, y a 12 cm hosszú huzaldarabok száma. Megalkotom az egyenletet:
15x+12y=102 /:3
4x+3y=34x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.
Legyen 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.
Ha t=0, akkor x=6y=1
Ha t=-1, akkor x=2y=6
Válasz. A problémának két megoldása van:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Petya 1987-ben annyi idős volt, mint a születési év számjegyeinek összege. Melyik évben született?
Petya szülessen a 19. évben. Aztán 1987-ben 1987-19xy, vagyis (1+9+x+y) éves volt. Van egy egyenletünk:
87-(10x+y)=10+x+y
77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.
Tekintettel arra, hogy x és y a decimális számrendszer számjegyei, akkor kiválasztással azt kapjuk, hogy x=3, y=1.
Válasz. Petya 1970-ben született.
23. Valaki vásárol egy dolgot egy boltban 19 rubel értékben. Neki csak 15 háromrubeles bankjegye van, míg a pénztárosnak csak 20 ötrubeles bankjegye van. Fizethetek és hogyan?
A feladat leredukálódik a Diofantusz egyenlet pozitív egész számokban való megoldására: 3x - 5y = 19, ahol x
Tekintettel arra, hogy x>0 és y > 0, és figyelembe véve a probléma feltételeit, könnyen megállapítható, hogy 0
Ez azt jelenti, hogy 2 lehetséges értékek: x
Válasz. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Lehetséges-e 28 g-ot lemérni egy bizonyos anyagból egy serpenyős mérlegen, amelynek csak 4 3 g-os és 7 5 g-os súlya van?
Ehhez meg kell oldania a következő egyenletet:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Tehát x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
A feladat feltételeiből következik, hogy y1-nek nem adható negatív érték. Következő legyen y1
Válasz. 1 súly 3 g-ban és 5 súly 5 g-ban.
25. A vevő az üzletben vásárolt 21 p.-ért. áruk. De van raktáron bankjegyek csak 5 - rubel címlet, és a pénztáros - 3 - rubel. Tudni kell, hogy lehet-e fizetni a pénztárosnak, ha van pénz, és pontosan hogyan?
Legyen x az 5 - rubel, y - 3 - rubel.
Feltétel szerint x > 0, y > 0, tehát.
Ezenkívül t páros, különben sem x, sem y nem lennének egész számok.
Ha t = 4, 6, 8,. nálunk van: t
Válasz. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. 110 papírlap van. Egyenként 8 lapos és 10 lapos füzetet kell varrniuk. Mennyibe kell varrni mindkettőt?
Legyen x a 8 lapos füzetek száma, y a 10 lapos füzetek száma.
Tehát t = 0 vagy t = - 1
Válasz. 5;7;(10;3).
27. Számos ősi módszer a számok és születési dátumok kitalálására a diofantusi egyenletek megoldásán alapul. Például a beszélgetőpartner születési dátumának (hónap és nap) kitalálásához elegendő megtudni tőle a két termék összeadásával kapott összeget: a dátum számát (x) 12-vel. a hónap számát (y) pedig 31-gyel.
Legyen azoknak a termékeknek az összege, amelyekről kérdéses, egyenlő 330. Keresse meg a születési dátumot.
Oldja meg a határozatlan egyenletet: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 3 2y = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36 év 3 + 90 + 5 év 3 - 12 = 105 - 31 év 3 x = 12 év 3 - 30, y = 105 - 31 év 3
Tehát születési dátum: a 6. hónap 12. napja.
28. Lehet-e keresni 51 rubelt két- és ötrubeles érmékkel? Ha igen, hány módja van?
Legyen x - kétrubeles érme, és ötrubeles érme - y érme.
Legyen 1+y2=z, akkor
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Válasz: 5 módon.
29. El lehet-e helyezni kétszáz tojást 10 és 12 darabos dobozokba? Ha lehetséges, találjon meg minden ilyen módot.
Legyen x 10 darabos doboz és y 12 darabos doboz. Készítek egy egyenletet: z = 1, 2, 3
Válasz: 14;5;8;10;(2;15)
30. Mutassa be a 257-es számot két természetes tag összegeként: a) amelyek közül az egyik többszöröse 3, a másik pedig 4; b) amelyek közül az egyik 5-nek, a másik pedig 8-nak többszöröse.
Válasz: 1) 249 és 8; 2) 225 és 32.
A határozatlan egyenletekre vonatkozó feladatok során sokféle esettel találkoztam: egy probléma lehet teljesen megoldhatatlan (4. feladat), lehet végtelen számú megoldása (2. feladat), lehet több határozott megoldása is; konkrétan egyetlen megoldása lehet (1. feladat).
KÖVETKEZTETÉS
A cél, amit kitűztem magam elé, megvalósult. A projekten végzett munka felkeltette az érdeklődésemet és lenyűgözött. Ez a munka nemcsak bizonyos matematikai tudást és kitartást követelt meg tőlem, hanem lehetőséget adott arra is, hogy átérezhessem az önálló felfedezés nagy örömét.
A diofantin egyenletek az olimpiai feladatokban találhatók, így fejlődnek logikus gondolkodás, a matematikai kultúra szintjének növelése, önálló képességek elsajátítása kutatómunka a matematikában.
Diofantini egyenletekre redukáló egyenletek és feladatok megoldása során a tulajdonságok prímszámok, polinomi faktorizációs módszer, számbavételi módszer, leszármazási módszer és Euklidész algoritmusa. Véleményem szerint az ereszkedési módszer a legnehezebb. A felsorolási módszer pedig szebbnek bizonyult számomra.
A munkában 54 feladatot oldottam meg.
Ez a munka hozzájárult a mélyebb megértéshez iskolai tananyagés a látókör bővülése.
Ez az anyag hasznos lesz a matematika iránt érdeklődő diákok számára. Egyes órákon és tanórán kívüli foglalkozásokon is használható.