4. Menyelesaikan Persamaan dalam Bilangan Bulat
Tugas 12.
Selesaikan dalam bilangan bulat 5x² + 5y² + 8xy + 2y - 2y + 2 = 0.
Larutan.
Jika Anda mencoba menyelesaikan persamaan ini dengan memfaktorkan, maka ini adalah pekerjaan yang agak memakan waktu, sehingga persamaan ini dapat diselesaikan dengan metode yang lebih elegan. Perhatikan persamaannya sebagai kerabat persegi tentang x 5x² + (8y-2 )x+5y²+2y+2=0 , x1.2 \u003d (1 - 4 tahun ± (1 - 4 tahun) ² - 5 (5 tahun² + 2 tahun + 2)) / 5 \u003d (1 - 4 tahun ± √ -9(y + 1)²)/5.
Persamaan ini memiliki solusi ketika diskriminan adalah nol, yaitu. –9(y + 1) = 0, karenanya y = -1. Jika y = -1, kemudian x=1.
Menjawab.
Tugas 13.
Selesaikan dalam bilangan bulat 3(x² + xy + y²) = x + 8y
Larutan.
Pertimbangkan persamaan sebagai kuadrat terhadap x 3x ² + (3y - 1) x + 3y² - 8y \u003d 0. Mari kita cari diskriminan dari persamaan D \u003d \u003d (3y - 1) ² - 4 * 3 (3y² - 8y) \u003d 9y2 - 6y + 1 - 36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1.
Diberikan persamaan ide memiliki akar, jikaD³0, yaitu –27 tahun² + 90 tahun + 1³ 0
(-45 + 2052)/ (-27) £ y £ (-45 - 2052)/ (-27)(4)
Karena Z, maka kondisi (4) hanya terpenuhi 0, 1, 2, 3 . Melalui nilai-nilai ini, kita mendapatkan bahwa persamaan dalam bilangan bulat memiliki solusi (0; 0) Dan (1; 1) .
Menjawab.
(0; 0) , (1; 1) .
Tugas 14.
Selesaikan Persamaan 5x² - 2xy + 2y² - 2x - 2y + 1 = 0.
Larutan.
Pertimbangkan persamaan ini sebagai persamaan kuadrat terhadap x dengan koefisien tergantung pada y, 5x² - 2(y + 1) x + 2y² - 2y + 1 = 0.
Temukan seperempat dari diskriminan H/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².
Oleh karena itu persamaan memiliki solusi hanya jika -(3th - 2)² = 0, ini menyiratkan y = , lalu kita temukan x = .
Menjawab.
(⅓; ⅔).
metode sisa.
Tugas 15.
Selesaikan dalam bilangan bulat 3ª = 1 + y²
Larutan.
Sudah jelas itu (0; 0) adalah solusi dari persamaan ini. Mari kita buktikan bahwa tidak ada solusi lain.
Pertimbangkan kasus:
1) x N, y N(5)
Jika x N, kemudian 3ª dibagi dengan 3 tanpa jejak, dan y² + 1 saat membagi dengan 3 memberikan sisanya baik 1 , atau 2 . Oleh karena itu, persamaan (5) untuk nilai-nilai alam x Dan pada mustahil.
2) Jika x adalah bilangan bulat negatif y Z, kemudian 0<3ª<1, tetapi 1+y²³0 dan kesetaraan (5) juga tidak mungkin. Oleh karena itu, (0; 0) - hanya keputusan.
Menjawab.
Tugas 16 .
Buktikan bahwa sistem persamaan
ì x² - y² = 7
î z² - 2y² = 1
tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Larutan.
Mari kita asumsikan sistem diaktifkan. Dari persamaan kedua z²=2y+1, yaitu z²– bilangan ganjil dan z- aneh, artinya z=2m+1. Kemudian y²+2m²+2m , cara, y² - bilangan genap pada- bahkan, y = 2n, n Z.
x²=8n³+7, yaitu x² - bilangan ganjil dan X - angka ganjil, =2k+1, k Z.
Substitusikan nilainya x Dan pada ke dalam persamaan pertama, kita mendapatkan 2(k² + k - 2n³) = 3, yang tidak mungkin karena ruas kiri habis dibagi 2 , tapi yang benar tidak.
Oleh karena itu, asumsi kami salah, yaitu sistem tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Metode penurunan tak terbatas.
Penyelesaian persamaan dengan metode penurunan tak hingga berjalan sesuai dengan skema berikut: dengan asumsi bahwa persamaan memiliki solusi, kami membangun beberapa proses tak terbatas, sementara, sesuai dengan arti masalahnya, proses ini harus berakhir di suatu tempat.
Seringkali metode keturunan tak terbatas diterapkan dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan asumsi bahwa kita telah mencapai akhir alami, kita melihat bahwa kita tidak dapat "berhenti".
Tugas 17.
Selesaikan dalam bilangan bulat 29x + 13y + 56z = 17 (6)
Kami mengungkapkan yang tidak diketahui, koefisien di mana adalah yang terkecil, melalui yang tidak diketahui yang tersisa.
y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)
Menunjukkan (4-3x-4z)/13=t1(8)
Dari (7) berikut bahwa t1 hanya dapat mengambil nilai integer. Dari (8) kita memiliki 13t1 + 3x + 4z = 14(9)
Kami memperoleh persamaan Diophantine baru, tetapi dengan koefisien yang lebih kecil daripada di (6). Kami menerapkan pertimbangan yang sama untuk (9): x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3
(1-t1-z)/3 = t2 , t2- utuh, 3t2+t1+z = 1(10)
Dalam (10) koefisien pada z– persamaan awal yang tidak diketahui sama dengan 1 - ini adalah titik akhir dari "keturunan". Sekarang kita berturut-turut mengungkapkan z, x, kamu lintas t1 Dan t2.
ì z = -t1 - 3t2 + 1
í x = 1 - 4t1 + t1 + 3t2 = 1 + t2 = -t1 + 4t2
î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3
Jadi, ì x = -3t1 + 4t2
í y = 11t1 + 4t2 - 3
î z = -t1 - 3t2 + 1
t1, t2- semua bilangan bulat - semua solusi bilangan bulat dari persamaan (6)
Tugas 18.
Selesaikan dalam bilangan bulat x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)
Larutan.
Dapat dilihat bahwa ruas kiri persamaan (11) tidak memungkinkan transformasi apapun. Oleh karena itu, memeriksa karakter bilangan bulat x³=3(y³-z³). Nomor x³ banyak 3 , jadi bilangannya x banyak 3 , yaitu x = 3x1(12) Substitusi (12) ke (11) 27x1³-3y³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)
y³=3(3x1³-z³). Kemudian kamu banyak 3 , yang artinya dan pada banyak 3 , yaitu y=3y1(empat belas). Substitusi (14) ke (13) 9х1³ -27y1³ - 3z³=0. Dari persamaan ini didapat bahwa z³ banyak 3, dan karenanya z banyak 3 , yaitu z=3z1.
Jadi, ternyata bilangan yang memenuhi persamaan (11) adalah kelipatan tiga, dan berapa kali kita tidak membaginya dengan 3 , kita mendapatkan angka yang merupakan kelipatan tiga. Satu-satunya bilangan bulat yang memenuhi tiga. Satu-satunya bilangan bulat yang memenuhi kondisi ini adalah nol, yaitu solusi persamaan ini (0; 0; 0)
Pada tahap persiapan UN Matematika, siswa SMA perlu memberikan perhatian khusus pada topik-topik tertentu. Diantaranya adalah penyelesaian persamaan dan masalah bilangan bulat. Pengalaman tahun-tahun sebelumnya telah menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu menyebabkan kesulitan khusus bagi lulusan. Oleh karena itu, terlepas dari tingkat persiapannya, kami menyarankan Anda untuk mendekati kelas lebih hati-hati dengan menghubungi portal kami.
Lulus ujian ujian dengan "sangat baik" bersama dengan "Shkolkovo"!
Layanan online kami menawarkan metode inovatif untuk mempersiapkan penilaian akhir. Buku pedoman sekolah tidak selalu tersedia, dan bagian-bagian di dalamnya hanya memberikan pengulangan tugas-tugas biasa. Beralih ke Shkolkovo, siswa tidak akan kesulitan menemukan aturan dan rumus yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat. Para guru dari layanan online kami dengan hati-hati menyusun dan menyajikan semua informasi tentang topik dalam bentuk yang paling mudah diakses. Oleh karena itu, mahasiswa pascasarjana akan membutuhkan waktu minimal untuk mengulang materi yang dibahas. Selain itu, setiap hari, siswa akan dapat menerima pilihan latihan baru yang sesuai dengan pengetahuan dan keterampilan mereka saat ini.
Kami menyarankan untuk memulai dengan bagian "Referensi Teoretis". Ini berisi semua data yang diperlukan untuk mempersiapkan tugas. Setelah itu, buka bagian "Katalog". Di sana Anda akan menemukan banyak latihan dari berbagai tingkat kesulitan. Daftar contoh terus diperbarui dan ditambah, sehingga Anda tidak akan kekurangan tugas baru. Kami menyarankan Anda untuk memulai dengan yang paling sederhana dan secara bertahap beralih ke yang lebih sulit. Dengan cara ini, Anda akan dapat mengidentifikasi titik terlemah Anda dan fokus pada jenis tugas tertentu. Jika Anda melihat bahwa contoh tingkat kerumitan yang rendah tidak menimbulkan masalah bagi Anda, Anda dapat melewatinya dan mulai menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat tingkat USE.
Jika ada contoh yang menyebabkan kesulitan tertentu, tambahkan ke "Favorit". Dengan cara ini Anda dapat kembali lagi nanti dengan dukungan guru atau mencoba melakukannya sendiri setelah mengulangi aturan.
Agar persiapan menjadi lebih efektif, kami menyarankan Anda untuk menghubungi portal Shkolkovo setiap hari. Setelah beberapa pelajaran, Anda akan melihat bahwa bahkan contoh yang sebelumnya menyebabkan kesalahpahaman dan kesulitan diberikan kepada Anda.
Harap dicatat bahwa setiap orang dapat mempersiapkan diri untuk ujian di situs web kami. Untuk menyimpan kemajuan Anda dan menerima tugas individu setiap hari, daftar di sistem. Kami berharap Anda senang persiapan!
pengantar
Ada banyak soal matematika yang memiliki satu atau lebih bilangan bulat sebagai jawaban. Sebagai contoh, kita dapat menyebutkan empat masalah klasik yang diselesaikan dalam bilangan bulat - masalah penimbangan, masalah pembagian bilangan, masalah pertukaran, dan masalah empat kuadrat. Perlu dicatat bahwa, meskipun rumusan masalah ini agak sederhana, mereka sangat sulit untuk dipecahkan, dengan menggunakan peralatan analisis matematis dan kombinatorik. Ide untuk memecahkan dua masalah pertama adalah milik matematikawan Swiss Leonhard Euler (1707-1783). Namun, paling sering Anda dapat menemukan masalah yang diusulkan untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat (atau dalam bilangan asli). Beberapa dari persamaan ini cukup mudah diselesaikan dengan metode seleksi, tetapi ini menimbulkan masalah serius - perlu untuk membuktikan bahwa semua solusi persamaan ini habis oleh yang dipilih (yaitu, tidak ada solusi yang berbeda dari yang dipilih). Ini mungkin memerlukan berbagai teknik, baik standar maupun buatan. Analisis literatur matematika tambahan menunjukkan bahwa tugas-tugas seperti itu cukup umum dalam olimpiade matematika dari tahun yang berbeda dan tingkat yang berbeda, serta dalam tugas 19 dari Unified State Examination dalam matematika (tingkat profil). Pada saat yang sama, topik ini praktis tidak dipertimbangkan dalam kursus matematika sekolah, sehingga anak-anak sekolah, yang berpartisipasi dalam Olimpiade matematika atau mengikuti ujian profil dalam matematika, biasanya menghadapi kesulitan yang signifikan dalam menyelesaikan tugas-tugas tersebut. Dalam hal ini, disarankan untuk memilih sistem metode dasar untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat, terutama karena masalah ini tidak dibahas secara eksplisit dalam literatur matematika yang dipelajari. Masalah yang dijelaskan menentukan tujuan pekerjaan ini: untuk menyoroti metode utama untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat. Untuk mencapai tujuan ini, perlu untuk menyelesaikan tugas-tugas berikut:
1) Menganalisis materi olimpiade, serta materi ujian profil matematika;
2) Tentukan metode untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat dan sorot yang berlaku;
3) Ilustrasikan hasil yang diperoleh dengan contoh;
4) Buat beberapa tugas pelatihan tentang topik ini;
5) Menerapkan tugas yang dikembangkan, menentukan tingkat kesiapan siswa kelas sembilan sekolah menengah MBOU No 59 untuk memecahkan masalah tersebut dan menarik kesimpulan praktis.
Bagian utama
Analisis berbagai literatur matematika menunjukkan bahwa di antara metode untuk menyelesaikan persamaan dalam bilangan bulat, berikut ini dapat dibedakan sebagai yang utama:
- Representasi persamaan sebagai produk dari beberapa faktor yang sama dengan beberapa bilangan bulat;
- Representasi persamaan sebagai jumlah kuadrat dari beberapa istilah, sama dengan beberapa bilangan bulat;
- Menggunakan sifat-sifat dapat dibagi, faktorial dan kuadrat eksak;
- Penggunaan Teorema Kecil dan Besar Fermat;
- Metode keturunan tak terbatas;
- Ekspresi satu yang tidak diketahui melalui yang lain;
- Memecahkan persamaan sebagai persamaan kuadrat sehubungan dengan salah satu yang tidak diketahui;
- Pertimbangan sisa dari membagi kedua sisi persamaan dengan beberapa nomor.
Segera perlu untuk menentukan apa yang kami maksud dengan metode utama untuk menyelesaikan persamaan. Kami akan menyebut metode yang paling sering digunakan sebagai metode utama, yang, tentu saja, tidak mengecualikan kemungkinan penggunaan metode baru "tak terduga" secara berkala. Selain itu, dalam sebagian besar kasus, berbagai kombinasi mereka digunakan, yaitu, beberapa metode digabungkan.
Sebagai contoh kombinasi metode, pertimbangkan persamaan yang diusulkan di USE dalam matematika pada tahun 2013 (tugas C6).
Sebuah tugas. Selesaikan persamaan dalam bilangan asli n! + 5n + 13 = k 2 .
Larutan. Perhatikan bahwa itu berakhir dengan nol di n> 4. Selanjutnya, untuk sembarang n N, diakhiri dengan angka 0 atau angka 5. Oleh karena itu, untuk n> 4 ruas kiri persamaan berakhir dengan angka 3 atau angka 8. Tetapi juga sama dengan kuadrat eksak, yang tidak dapat diakhiri dengan angka-angka ini. Jadi hanya ada empat opsi untuk dipilih: n = 1, n = 2, n = 3, n = 4.
Jadi persamaan memiliki solusi alami yang unik n = 2, k = 5.
Soal ini menggunakan sifat-sifat kuadrat eksak, sifat-sifat faktorial, dan sisa pembagian kedua ruas persamaan dengan 10.
Tugas 1. n 2 - 4kamu! = 3.
Larutan. Pertama, kita tulis ulang persamaan aslinya menjadi n 2 = 4kamu! + 3. Jika Anda melihat hubungan ini dari sudut pandang teorema pembagian dengan sisa, maka Anda dapat melihat bahwa kuadrat yang tepat di sisi kiri persamaan memberikan sisa 3 ketika dibagi dengan 4, yang tidak mungkin . Memang, bilangan bulat apa pun dapat direpresentasikan dalam salah satu dari empat bentuk berikut:
Jadi, kuadrat eksak bila dibagi 4 memberikan sisa 0 atau 1. Oleh karena itu, persamaan aslinya tidak memiliki solusi.
Ide Kunci– penerapan sifat-sifat kuadrat eksak.
Tugas 2. 8z 2 = (T!) 2 + 2.
Larutan. Verifikasi langsung menunjukkan bahwa T= 0 dan T= 1 bukan solusi persamaan. Jika T> 1, maka T! adalah bilangan genap, yaitu dapat direpresentasikan sebagai T! = 2S. Dalam hal ini, persamaan dapat diubah menjadi bentuk 4 z 2 = 2S 2 + 1. Namun, persamaan yang dihasilkan jelas tidak memiliki solusi, karena ada bilangan genap di ruas kiri, dan bilangan ganjil di ruas kanan.
Ide Kunci– penerapan sifat-sifat faktorial.
Tugas 3. Selesaikan persamaan x 2 + y 2 - 2x + 6y + 5 = 0 dalam bilangan bulat.
Larutan. Persamaan asli dapat ditulis ulang sebagai berikut: ( x – 1) 2 + (kamu + 3) 2 = 5.
Ini mengikuti dari kondisi bahwa ( x – 1), (kamu+ 3) adalah bilangan bulat. Oleh karena itu, persamaan ini setara dengan himpunan berikut:
Sekarang kita dapat menuliskan semua kemungkinan solusi bilangan bulat dari persamaan tersebut.
Tugas 4. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat zt + T – 2z = 7.
Larutan. Persamaan awal dapat diubah ke bentuk ( z + 1) (T– 2) = 5. Bilangan ( z + 1), (T– 2) adalah bilangan bulat, jadi opsi berikut terjadi:
Jadi, persamaan tersebut memiliki tepat empat solusi bilangan bulat.
Ide Kunci- representasi persamaan dalam bentuk produk yang sama dengan bilangan bulat.
Tugas 5. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat n(n + 1) = (2k+ 1)‼
Larutan. Nomor 2 k+ 1)‼ ganjil untuk semua nilai non-negatif k menurut definisi (dengan negatif k tidak didefinisikan sama sekali). Di sisi lain, itu sama dengan n(n+ 1), yang genap untuk semua nilai integer k. Kontradiksi.
Ide Kunci– penggunaan bagian genap/ganjil dari persamaan.
Tugas 6. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat xy + x + 2kamu = 1.
Larutan. Dengan transformasi, persamaan dapat dikurangi menjadi berikut:
Transformasi ini tidak mengubah ODZ dari yang tidak diketahui yang termasuk dalam persamaan, karena substitusi kamu= -1 ke dalam persamaan asli mengarah ke persamaan absurd -2 = 1. Menurut kondisinya, x adalah bilangan bulat. Dengan kata lain, juga bilangan bulat. Tapi kemudian jumlahnya harus bilangan bulat. Pecahan adalah bilangan bulat jika dan hanya jika pembilangnya habis dibagi penyebutnya. Pembagi angka 3: 1,3 -1, -3. Oleh karena itu, ada empat kemungkinan kasus untuk yang tidak diketahui: kamu = 0, kamu = 2, kamu= –2, y = –4. Sekarang kita dapat menghitung nilai yang sesuai dari yang tidak diketahui x. Jadi, persamaan tersebut memiliki tepat empat solusi bilangan bulat: (–5;0), (–5;2), (1;–2), (1;–4).
Ide Kunci adalah ekspresi dari satu yang tidak diketahui dalam hal yang lain.
Tugas 7. M= n 2 + 2.
Larutan. Jika M= 0, maka persamaan mengambil bentuk n 2 = -1. Ia tidak memiliki seluruh solusi. Jika M < 0, то левая часть уравнения, а значит, и n, tidak akan menjadi bilangan bulat. Cara, M> 0. Kemudian bagian kanan persamaan (seperti yang kiri) akan menjadi kelipatan 5. Tetapi dalam kasus ini n 2 ketika dibagi dengan 5 harus memberikan sisa 3, yang tidak mungkin (ini dibuktikan dengan metode penghitungan sisa, yang dijelaskan dalam memecahkan masalah 1). Oleh karena itu, persamaan ini tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat.
Ide Kunci– menemukan sisa dari membagi kedua bagian persamaan dengan beberapa bilangan asli.
Tugas 8. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat ( x!) 4 + (kamu – 1) 4 = (z + 1) 4 .
Larutan. Perhatikan bahwa, karena eksponennya genap, persamaannya setara dengan yang berikut: ( x!) 4 + |kamu – 1| 4 = |z+ 1| 4 . Kemudian x!, |kamu – 1|, |z+ 1| - bilangan bulat. Namun, menurut Teorema Terakhir Fermat, bilangan asli ini tidak dapat memenuhi persamaan aslinya. Dengan demikian, persamaan tidak dapat diselesaikan dalam bilangan bulat.
Ide Kunci- Penggunaan Teorema Terakhir Fermat.
Tugas 9. Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat x 2 + 4kamu 2 = 16xy.
Larutan. Ini mengikuti dari kondisi masalah bahwa x- nomor genap. Kemudian x 2 = 4x 12 . Persamaan diubah menjadi bentuk x 1 2 + kamu 2 = 8x 1 kamu. Dari sini dapat disimpulkan bahwa angka-angka x 1 , kamu memiliki paritas yang sama. Mari kita pertimbangkan dua kasus.
1 kasus. Biarlah x 1 , kamu- angka ganjil. Kemudian x 1 = 2T + 1, kamu = 2S+ 1. Mengganti ekspresi ini ke dalam persamaan, kita mendapatkan:
Mari kita lakukan transformasi yang sesuai:
Mengurangi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 2, kita dapatkan?
Di sebelah kiri ada bilangan ganjil, dan di sebelah kanan ada bilangan genap. Kontradiksi. Jadi 1 kasus tidak mungkin.
2 kasus. Biarlah x 1 , kamu- angka genap. Kemudian x 1 = 2x 2 + 1, kamu = 2kamu satu . Mensubstitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan, kita mendapatkan:
Dengan demikian, diperoleh persamaan, persis sama seperti pada langkah sebelumnya. Ini diselidiki dengan cara yang sama, sehingga pada langkah berikutnya kita memperoleh persamaan 
dll. Faktanya, dengan melakukan transformasi ini berdasarkan paritas yang tidak diketahui, kami memperoleh ekspansi berikut: . Tapi jumlahnya n Dan k tidak terbatas, karena pada langkah apa pun (dengan angka besar yang berubah-ubah) kita akan memperoleh persamaan yang setara dengan yang sebelumnya. Artinya, proses ini tidak bisa dihentikan. Dengan kata lain, angka x, kamu tak hingga berkali-kali habis dibagi 2. Tapi ini terjadi hanya dengan syarat bahwa x = kamu= 0. Dengan demikian, persamaan tersebut memiliki tepat satu solusi bilangan bulat (0; 0).
Ide Kunci- penggunaan metode keturunan tak terbatas.
Tugas 10. Selesaikan persamaan 5 dalam bilangan bulat x 2 – 3xy + kamu 2 = 4.
Larutan. Mari kita tulis ulang persamaan ini dalam bentuk 5 x 2 – (3x)kamu + (kamu 2 – 4) = 0. Ini dapat dianggap sebagai persegi sehubungan dengan yang tidak diketahui x. Mari kita hitung diskriminan dari persamaan ini:
Agar persamaan memiliki solusi, perlu dan cukup bahwa , yaitu, dari sini kita memiliki kemungkinan berikut untuk kamu: kamu = 0, kamu = 1, kamu = –1, kamu= 2, kamu= –2.
Jadi, persamaan tersebut memiliki tepat 2 solusi bilangan bulat: (0;2), (0;–2).
Ide Kunci– pertimbangan persamaan sebagai persamaan kuadrat terhadap salah satu yang tidak diketahui.
Tugas-tugas yang disusun oleh penulis digunakan dalam percobaan, yang terdiri dari berikut ini. Semua siswa kelas sembilan ditawari tugas yang dikembangkan untuk mengidentifikasi tingkat persiapan anak-anak tentang topik ini. Setiap siswa harus menawarkan metode untuk menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan. 64 siswa mengambil bagian dalam percobaan. Hasil yang diperoleh disajikan pada tabel 1.
TABEL 1
| Nomor pekerjaan | Jumlah siswa yang menyelesaikan tugas (persentase) |
Indikator-indikator ini menunjukkan bahwa tingkat persiapan siswa kelas sembilan pada topik ini sangat rendah. Oleh karena itu, tampaknya bijaksana untuk menyelenggarakan kursus khusus "Persamaan dalam Bilangan Bulat", yang bertujuan untuk meningkatkan pengetahuan siswa di bidang ini. Pertama-tama, ini adalah siswa yang secara sistematis mengikuti kompetisi dan olimpiade matematika, dan juga berencana untuk mengikuti ujian profil matematika.
kesimpulan
Selama pekerjaan ini:
1) Materi Olimpiade dianalisis, serta GUNAKAN bahan matematika;
2) Metode untuk memecahkan persamaan dalam bilangan bulat ditunjukkan dan yang umum disorot;
3) Hasil yang diperoleh diilustrasikan dengan contoh;
4) Menyusun tugas pelatihan untuk siswa kelas IX;
5) Eksperimen dilakukan untuk mengidentifikasi tingkat persiapan siswa kelas sembilan tentang topik ini;
6) Hasil percobaan dianalisis dan ditarik kesimpulan tentang kemanfaatan mempelajari persamaan bilangan bulat pada mata kuliah khusus matematika.
Hasil yang diperoleh selama pelajaran ini, dapat digunakan untuk persiapan Olimpiade matematika, Ujian Negara Terpadu dalam matematika, serta saat menyelenggarakan kelas dalam lingkaran matematika.
Bibliografi
1. Gelfond A.O. Penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat. - M.: Nauka, 1983 - 64 hal.
2. Alfutova N.B. Ustinov A.V. Aljabar dan teori bilangan. Kumpulan Soal untuk Sekolah Matematika - M.: MTsNMO, 2009 - 336 p.
3. Galperin G.A., Tolpygo A.K. Moskow olimpiade matematika: Buku. untuk siswa / Ed. SEBUAH. Kolmogorov. - M.: Pencerahan, 1986. - 303 hal., sakit.
4. Dalinger V.A. Soal bilangan bulat - Omsk: Amphora, 2010 - 132 p.
5. Yu. A. Gastev dan M. L. Smolyanskii, “A Few Words on Fermat’s Last Theorem,” Kvant, Agustus 1972.
Glosarium
Metode Keturunan Tak Terbatas- metode yang dikembangkan oleh ahli matematika Prancis P. Fermat (1601-1665), yang terdiri dari memperoleh kontradiksi dengan membangun barisan bilangan asli yang semakin berkurang. Semacam bukti dengan kontradiksi.
Kuadrat tepat (penuh) adalah kuadrat dari suatu bilangan bulat.
Faktorial dari bilangan asli n adalah produk dari semua bilangan asli dari 1 sampai n inklusif.
Masalah dengan bilangan bulat tidak diketahui
Pavlovskaya Nina Mikhailovna,
guru matematika MBOU "Sekolah Menengah No. 92
Kemerovo
Persamaan aljabar atau sistem persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat, yang memiliki lebih banyak variabel yang tidak diketahui daripada jumlah persamaan, dan yang dicari solusi bilangan bulat atau rasionalnya, disebut persamaan diophantine .
Masalah penyelesaian persamaan dalam bilangan bulat telah diselesaikan sepenuhnya hanya untuk persamaan dengan satu yang tidak diketahui, untuk persamaan tingkat pertama dan untuk persamaan tingkat kedua dengan dua yang tidak diketahui. Untuk persamaan di atas derajat kedua dengan dua atau lebih yang tidak diketahui, bahkan masalah pembuktian keberadaan solusi bilangan bulat sulit. Selain itu, telah dibuktikan bahwa tidak ada algoritma terpadu yang memungkinkan penyelesaian persamaan Diophantine arbitrer dalam bilangan bulat dalam jumlah langkah yang terbatas.
- Persamaan Diophantine yang paling sederhana adalah persamaan bentuk
kapak + oleh = c , a 0; b 0
Jika c = 0 , maka solusinya jelas x = 0, y = 0.
Jika c 0 , dan solusinya (X 0 ; pada 0 ) , maka bilangan bulat
kapak 0 +oleh 0 dibagi dengan d = (a ; b) , itu sebabnya dari juga harus dapat dibagi oleh pembagi yang sama a dan b .
Sebagai contoh: 3x + 6y = 5 tidak memiliki solusi bilangan bulat, karena (3; 6) = 3, dan c = 5 tidak habis dibagi 3 tanpa sisa.
- Jika persamaan kapak + oleh = c punya solusi (X 0 ; pada 0 ) , Dan (a ; b) = 1 , maka semua solusi persamaan diberikan oleh rumus x = x 0 + bn; y = y 0 - sebuah, di mana n adalah sembarang solusi bilangan bulat.
Sebagai contoh: 3x + 5y = 13, (3; 5) = 1, jadi persamaan tersebut memiliki banyak solusi, x 0 =1; pada 0 =2
Teorema Hebat (Hebat) Fermat menyatakan: persamaan bentuk tidak memiliki solusi dalam bilangan asli.
Teorema ini dirumuskan oleh matematikawan Italia Pierre Fermat lebih dari 300 tahun yang lalu, dan baru dibuktikan pada tahun 1993.
Metode faktorisasi .
1) Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat
x + y = xy.
Larutan. Kami menulis persamaan dalam bentuk
(x - 1)(y - 1) = 1.
Perkalian dua bilangan bulat hanya bisa sama dengan 1 jika keduanya sama dengan 1. Artinya, persamaan awal ekuivalen dengan himpunan
dengan solusi (0,0) dan (2,2).
2. Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat:
3x² + 4xy - 7y² = 13.
Larutan: 3x² - 3xy + 7xy - 7y² \u003d 13,
3x(x - y) + 7y(x - y) = 13,
(x - y) (3x + 7y) \u003d 13.
Karena 13 memiliki pembagi bilangan bulat ±1 dan ±13,
1. x - y \u003d 1, 7x - 7y \u003d 7, x \u003d 2,
3x + 7y = 13; 3x + 7y = 13; dari mana y = 1
2. x - y \u003d 13, 7x - 7y \u003d 91, x \u003d 9.2,
3x + 7y = 1; 3x + 7y = 1; dari mana y \u003d - 3,8.
3 . x - y \u003d -1, 7x - 7y \u003d -7, x \u003d -2,
3x + 7th \u003d -13; 3x + 7y = -13; dimana y = -1.
4. x - y \u003d -13, 7x - 7y \u003d -91, x \u003d -9.2,
3x + 7th \u003d -1; 3x + 7th \u003d -1; dimana y = 3,8.
Oleh karena itu, persamaan memiliki dua solusi bilangan bulat: (2;1) dan (-2;-1)
3 . Selesaikan persamaan dalam bilangan bulat:
9x² + 4x - xy + 3y \u003d 88.
Larutan: 9x² + 4x - 88 \u003d xy - 3y,
9x² + 4x - 88 \u003d y (x - 3)
karena 5 memiliki pembagi bilangan bulat ± 1 dan ± 5, maka
Banyak jalan setapak dari tepi hutan menuju semak belukar. Mereka berliku-liku, mereka bertemu, menyimpang lagi dan lagi berpotongan satu dengan yang lain. Saat berjalan-jalan, Anda hanya dapat melihat banyaknya jalur ini, berjalan di sepanjang beberapa di antaranya dan menelusuri arahnya jauh ke dalam hutan. Untuk studi hutan yang serius, Anda harus mengikuti jalan setapak, sementara mereka umumnya dapat dibedakan di antara jarum kering dan semak belukar.
Oleh karena itu, saya ingin menulis sebuah proyek yang dapat dianggap sebagai deskripsi dari salah satu kemungkinan jalan di sepanjang tepi matematika modern.
Dunia di sekitarnya, kebutuhan ekonomi nasional, dan seringkali pekerjaan sehari-hari menimbulkan semakin banyak tugas baru bagi seseorang, yang solusinya tidak selalu jelas. Kadang-kadang pertanyaan ini atau itu memiliki serangkaian varian jawaban karena adanya kesulitan dalam keputusan tugas yang ada. Bagaimana memilih opsi yang tepat dan optimal?
Solusi persamaan tak tentu berhubungan langsung dengan pertanyaan yang sama. Persamaan seperti itu, yang mengandung dua atau lebih variabel, yang diperlukan untuk menemukan semua solusi bilangan bulat atau alami, telah dipertimbangkan pada zaman kuno. Misalnya, ahli matematika Yunani Pythagoras (abad ke-4 SM). matematikawan Aleksandria Diophantus (abad II-III M) dan matematikawan terbaik di era yang lebih dekat dengan kita - P. Fermat (abad XVII), L. Euler (abad XVIII), J. L. Lagrange (abad XVIII) dan lainnya.
Berpartisipasi dalam Kompetisi Korespondensi Rusia > Obninsk, Kompetisi Internasional - Permainan > dan Olimpiade Ural Distrik Federal Saya sering menghadapi masalah seperti itu. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa solusi mereka adalah kreatif. Masalah yang muncul ketika memecahkan persamaan dalam bilangan bulat disebabkan oleh kompleksitas dan fakta bahwa sedikit waktu yang dihabiskan untuk mereka di sekolah.
Diophantus menyajikan salah satu teka-teki paling sulit dalam sejarah sains. Kami tidak tahu kapan dia tinggal, atau para pendahulu yang akan bekerja di daerah yang sama. Karya-karyanya seperti api yang berkilauan di tengah kegelapan yang tak tertembus.
Periode waktu ketika Diophantus bisa hidup adalah setengah milenium! Batas bawah mudah ditentukan: dalam bukunya tentang bilangan poligonal, Diophantus berulang kali menyebutkan ahli matematika Hypsicles dari Alexandria, yang hidup pada pertengahan abad ke-2 SM. SM e.
Di sisi lain, dalam komentar Theon of Alexandria kepada > astronom terkenal Ptolemy, ada kutipan dari karya Diophantus. Theon hidup di pertengahan abad ke-4. n. e. Ini mendefinisikan batas atas interval ini. Jadi, 500 tahun!
Sejarawan sains Prancis Paul Tannry, penerbit teks Diophantus yang paling komprehensif, telah berusaha mempersempit kesenjangan ini. Di perpustakaan Escurial, ia menemukan kutipan dari surat dari Michael Psellos, seorang sarjana Bizantium dari abad ke-11. , yang mengatakan bahwa Anatoly yang paling terpelajar, setelah mengumpulkan bagian terpenting dari ilmu ini, ini adalah tentang memperkenalkan derajat yang tidak diketahui dan tentang mereka (penunjukan), mendedikasikannya kepada temannya Diophantus. Anatoly dari Alexandria benar-benar menyusun >, kutipannya diberikan dalam karya Iamblich dan Yevseny yang telah sampai kepada kita. Tetapi Anatoly tinggal di Alexandria pada pertengahan abad ke-111 SM. SM dan bahkan lebih tepatnya - sampai 270, ketika ia menjadi uskup Laodacia. Ini berarti bahwa persahabatannya dengan Diophantus, yang oleh semua orang disebut Aleksandria, pasti terjadi sebelum itu. Jadi, jika matematikawan Aleksandria terkenal dan teman Anatoly bernama Diophantus adalah satu orang, maka waktu hidup Diophantus adalah pertengahan abad ke-111 Masehi.
Tetapi tempat tinggal Diophantus terkenal - Alexandria, pusat pemikiran ilmiah dan dunia Helenistik.
Salah satu epigram Antologi Palatine telah bertahan hingga zaman kita:
Makam itu meletakkan abu Diophantus: kagumi dia - dan sebuah batu
Usia orang yang meninggal akan memberitahunya dengan seni yang bijaksana.
Atas kehendak para dewa, dia menjalani seperenam dari hidupnya sebagai seorang anak
Dan dia bertemu setengah dari keenam dengan bulu di pipinya.
Baru ketujuh berlalu, dia bertunangan dengan pacarnya.
Setelah menghabiskan lima tahun bersamanya, orang bijak itu menunggu putranya.
Putra kesayangannya hanya menjalani separuh hidup ayahnya.
Dia diambil dari ayahnya oleh kuburan awalnya.
Dua kali dua tahun orang tua meratapi kesedihan yang berat.
Di sini saya melihat batas hidup saya yang menyedihkan.
Menggunakan metode modern memecahkan persamaan, Anda dapat menghitung berapa tahun Diophantus hidup.
Biarkan Diophantus hidup x tahun. Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:
Kalikan persamaan dengan 84 untuk menghilangkan pecahan:
Jadi, Diophantus hidup selama 84 tahun.
Yang paling misterius adalah karya Diophantus. Kami telah sampai pada enam dari tiga belas buku yang digabungkan dalam >, gaya dan isi buku-buku ini sangat berbeda dari karya-karya kuno klasik tentang teori bilangan dan aljabar, contoh yang kita ketahui dari > Euclid, nya >, lemma dari tulisan Archimedes dan Apollonius. >, tidak diragukan lagi, adalah hasil dari banyak penelitian yang sama sekali tidak diketahui.
Kita hanya bisa berspekulasi tentang akarnya, dan mengagumi kekayaan dan keindahan metode dan hasilnya.
> Diophantus adalah kumpulan masalah (total 189), yang masing-masing dilengkapi dengan solusi. Tugas-tugas di dalamnya dipilih dengan cermat dan berfungsi untuk menggambarkan metode yang terdefinisi dengan baik dan dipikirkan secara ketat. Seperti kebiasaan di zaman kuno, metode tidak dirumuskan dalam pandangan umum, tetapi diulang untuk memecahkan jenis masalah yang sama.
Biografi aneh Diophantus diketahui secara otentik, yang, menurut legenda, diukir di batu nisannya dan mewakili tugas teka-teki:
Teka-teki ini adalah contoh masalah yang dipecahkan Diophantus. Dia mengkhususkan diri dalam memecahkan masalah dalam bilangan bulat. Masalah seperti itu sekarang dikenal sebagai masalah diophantine.
Studi tentang persamaan Diophantine biasanya dikaitkan dengan kesulitan besar.
Pada tahun 1900, di Kongres Dunia Matematikawan di Paris, salah satu matematikawan terbesar di dunia, David Hilbert, memilih 23 masalah dari berbagai bidang matematika. Salah satu masalah tersebut adalah masalah penyelesaian persamaan Diophantine. Masalahnya adalah sebagai berikut: apakah mungkin untuk menyelesaikan persamaan dengan jumlah acak yang tidak diketahui dan koefisien bilangan bulat, dengan cara tertentu- menggunakan algoritma. Tugasnya adalah sebagai berikut: untuk persamaan yang diberikan, perlu untuk menemukan semua bilangan bulat atau nilai alami dari variabel yang termasuk dalam persamaan, di mana ia berubah menjadi persamaan sejati. Diophantus datang dengan banyak solusi yang berbeda untuk persamaan tersebut. Mengingat variasi tak terbatas dari persamaan Diophantine algoritma umum karena solusinya tidak ada, dan untuk hampir setiap persamaan Anda harus menemukan teknik individual.
Persamaan Diophantine derajat 1 atau persamaan Diophantine linier dengan dua tidak diketahui adalah persamaan bentuk: ax+by=c, di mana a,b,c adalah bilangan bulat, gcd(a,b)=1.
Saya akan memberikan rumusan teorema, yang dengannya algoritma untuk menyelesaikan persamaan tak tentu tingkat pertama dalam dua variabel dalam bilangan bulat dapat dikompilasi.
Teorema 1. Jika dalam suatu persamaan, maka persamaan tersebut memiliki setidaknya satu solusi.
Bukti:
Kita dapat mengasumsikan bahwa a > 0. Setelah menyelesaikan persamaan untuk x, kita mendapatkan: x = c-voa. Saya akan membuktikan bahwa jika dalam rumus ini alih-alih y kita substitusikan semua bilangan asli kurang dari a dan 0, yaitu bilangan 0; 1; 2; 3;. ;a-1, dan setiap kali Anda melakukan pembagian, maka semua sisa akan berbeda. Memang, saya akan mengganti y angka m1 dan m2 kurang dari a. Hasilnya, saya mendapatkan dua pecahan: c-vm1a dan c-vm2a. Setelah melakukan pembagian dan menunjukkan hasil bagi sebagian melalui q1 dan q2, dan sisanya melalui r1 dan r2, saya akan menemukan c-vm1a = q1 + r1a, c-vm2a = q2 + r2a.
Saya akan berasumsi bahwa sisa r1 dan r2 adalah sama. Kemudian, mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, saya mendapatkan: c-vm1a-c-vm2a= q1-q2, atau v(m1 - m2)a=q1-q2.
Karena q1-q2 adalah bilangan bulat, maka ruas kiri juga harus bilangan bulat. Oleh karena itu, dalam m1 - m2 harus habis dibagi a, yaitu selisih dua bilangan asli, yang masing-masing kurang dari a, harus habis dibagi a, yang tidak mungkin. Jadi, sisa r1 dan r2 adalah sama. Artinya, semua residu berbeda.
Itu. Saya menerima berbagai residu, lebih kecil dari a. Tetapi pembeda a dari bilangan asli yang tidak melebihi a adalah bilangan, 0;1;2;3;. ;a-1. Oleh karena itu, di antara sisa pasti akan ada satu dan hanya satu yang sama dengan nol. Nilai y, yang substitusinya dalam ekspresi (c-woo)a memberikan sisa 0, dan mengubah x=(c-woo)a menjadi bilangan bulat. Q.E.D.
Teorema 2. Jika dalam persamaan, dan c tidak habis dibagi, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat.
Bukti:
Misalkan d=gcd(a;c), sehingga a=md, b=nd, di mana m dan n adalah bilangan bulat. Maka persamaannya akan berbentuk: mdх+ ndу=с, atau d(mх+ nу)=с.
Dengan asumsi bahwa ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan, saya mendapatkan bahwa koefisien c habis dibagi d. Kontradiksi yang dihasilkan membuktikan teorema.
Teorema 3. Jika dalam persamaan dan, maka ekuivalen dengan persamaan di mana.
Teorema 4. Jika dalam persamaan, maka semua solusi bilangan bulat dari persamaan ini terdapat dalam rumus:
di mana x0, y0 adalah solusi bilangan bulat dari persamaan, adalah bilangan bulat apa pun.
Teorema yang dirumuskan memungkinkan kita untuk menyusun algoritma berikut untuk menyelesaikan persamaan bentuk dalam bilangan bulat.
1. Tentukan pembagi persekutuan terbesar dari bilangan a dan b, jika dan c tidak habis dibagi, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi bilangan bulat; jika dan kemudian
2. Bagilah suku persamaan demi suku menjadi, sehingga diperoleh persamaan di mana.
3. Temukan solusi bilangan bulat (x0, y0) dari persamaan dengan menyatakan 1 sebagai kombinasi linier angka dan;
4. Tulis rumus umum solusi bilangan bulat dari persamaan ini di mana x0, y0 - solusi bilangan bulat dari persamaan, - bilangan bulat apa pun.
2. 1 METODE PENURUNAN
Banyak > didasarkan pada metode untuk memecahkan persamaan tak tentu. Misalnya, trik dengan menebak tanggal lahir.
Undang teman Anda untuk menebak ulang tahunnya dengan jumlah angka yang sama dengan produk tanggal lahirnya dengan 12 dan jumlah bulan lahir dengan 31.
Untuk menebak ulang tahun teman Anda, Anda harus menyelesaikan persamaan: 12x + 31y = A.
Biarkan nomor 380 dipanggil untuk Anda, yaitu kita memiliki persamaan 12x + 31y = 380. Untuk menemukan x dan y, kita dapat berdebat sebagai berikut: bilangan 12x + 24y habis dibagi 12, oleh karena itu, menurut pembagian sifat (teorema 4. 4), angka 7y dan 380 harus memiliki sisa yang sama jika dibagi 12. Bilangan 380 jika dibagi 12 memberikan sisa 8, jadi 7y ketika dibagi 12 juga harus memiliki sisa 8, dan karena y adalah jumlah bulan, maka 1
Persamaan yang telah kita selesaikan adalah persamaan Diophantine derajat 1 dengan dua yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, yang disebut metode keturunan dapat digunakan. Saya akan mempertimbangkan algoritma metode ini pada persamaan tertentu 5x + 8y = 39.
1. Saya akan memilih yang tidak diketahui yang memiliki koefisien terkecil (dalam kasus kami, ini adalah x), dan menyatakannya dalam hal lain yang tidak diketahui :. Saya akan memilih seluruh bagian: Jelas, x akan bilangan bulat jika ekspresinya bilangan bulat, yang, pada gilirannya, akan menjadi kasus ketika angka 4 - 3y habis dibagi 5 tanpa sisa.
2. Saya akan memperkenalkan variabel integer tambahan z sebagai berikut: 4 - 3y = 5z. Akibatnya, saya akan mendapatkan persamaan dengan jenis yang sama dengan yang asli, tetapi dengan koefisien yang lebih kecil. Saya akan menyelesaikannya sehubungan dengan variabel y:. Memilih bagian integer, saya mendapatkan:
Berdebat mirip dengan yang sebelumnya, saya memperkenalkan variabel baru u: 3u = 1 - 2z.
3. Nyatakan yang tidak diketahui dengan koefisien terkecil, dalam hal ini variabel z: =. Menuntut bahwa itu menjadi bilangan bulat, saya mendapatkan: 1 - u = 2v, dari mana u = 1 - 2v. Tidak ada tembakan lagi, penurunan sudah berakhir.
4. Sekarang Anda membutuhkan >. Nyatakan melalui variabel v terlebih dahulu z, lalu y, lalu x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.
5. Rumus x = 3+8v dan y = 3 - 5v, di mana v adalah bilangan bulat arbitrer, mewakili keputusan bersama persamaan asli dalam bilangan bulat.
Komentar. Dengan demikian, metode penurunan melibatkan pertama-tama secara berurutan mengekspresikan satu variabel melalui variabel lain sampai tidak ada pecahan yang tersisa dalam representasi variabel, dan kemudian berurutan > sepanjang rantai persamaan untuk mendapatkan solusi umum persamaan.
2. 2 METODE MASUK
Kelinci dan burung pegar duduk di dalam sangkar, mereka memiliki total 18 kaki. Cari tahu berapa banyak dari mereka dan yang lainnya di dalam sel?
Saya akan menulis persamaan dengan dua yang tidak diketahui, di mana x adalah jumlah kelinci, dan y adalah jumlah burung pegar:
4x + 2y = 18, atau 2x + y = 9.
Menjawab. 1) 1 kelinci dan 7 burung pegar; 2) 2 kelinci dan 5 burung pegar; 3) 3 kelinci dan 3 burung pegar; 4) 4 kelinci dan 1 burung pegar.
1. BAGIAN PRAKTIS
3. 1 Solusi persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui
1. Selesaikan persamaan 407x - 2816y = 33 dalam bilangan bulat.
Saya akan menggunakan algoritma yang dikembangkan.
1. Dengan menggunakan algoritma Euclid, saya akan menemukan pembagi persekutuan terbesar dari angka 407 dan 2816:
2816 = 407 6 + 374;
407 = 374 1 + 33;
374 = 33 11 + 11;
Jadi (407.2816) = 11, dan 33 habis dibagi 11.
2. Saya membagi kedua bagian dari persamaan asli dengan 11, kita mendapatkan persamaan 37x - 256y = 3, dan (37, 256) = 1
3. Dengan menggunakan algoritma Euclidean, saya akan menemukan representasi linier dari angka 1 hingga angka 37 dan 256.
256 = 37 6 + 34;
Saya akan menyatakan 1 dari persamaan terakhir, kemudian secara berurutan naik persamaan saya akan menyatakan 3; 34 dan mengganti ekspresi yang dihasilkan dalam ekspresi untuk 1.
1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =
83 37 - 256 (- 12)
Jadi, 37 (- 83) - 256 (- 12) \u003d 1, oleh karena itu pasangan angka x0 \u003d - 83 dan y0 \u003d - 12 adalah solusi untuk persamaan 37x - 256y \u003d 3.
4. Saya akan menuliskan rumus umum untuk solusi persamaan awal di mana t adalah sembarang bilangan bulat.
Menjawab. (-83c + bt; -12c-at), t Z.
Komentar. Dapat dibuktikan bahwa jika pasangan (x1,y1) adalah solusi bilangan bulat dari persamaan, dimana, maka semua solusi bilangan bulat dari persamaan ini ditemukan dengan rumus: x=x1+bty=y1-at
2. Selesaikan persamaan 14x - 33y=32 dalam bilangan bulat.
Solusi: x = (32 + 33y): 14
(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ]2 tahun + 5 tahun + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y+2=p; p z
Cari dari 1 sampai 13
Untuk y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14
Substitusi ke persamaan awal y = 2
14x = 32 +33[. ]2
14x = 32 + 66x = 98: 14 = 7
Saya akan menemukan semua solusi bilangan bulat untuk hasil bagi yang ditemukan:
14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32
14(x - 7) - 33(y - 2)=0
14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k = Z
Substitusi ke persamaan awal:
14(33k + 7) - 33y = 32
14. 33k + 98 - 33y = 32y = 14k + 2; x = 33k + 7, di mana k Z. Rumus ini menentukan solusi umum dari persamaan asli.
Menjawab. (33k + 7; 14k + 2), k = Z.
3. Selesaikan persamaan x - 3y = 15 dalam bilangan bulat.
Temukan gcd(1,3)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x=(15+3y)::1 menggunakan metode enumerasi, saya menemukan nilai y=0 lalu x=(15+3 [. ] 0) =15
(15; 0) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x=3k + 15, k Z y=1k+0=k, k Z pada k=0, saya mendapatkan solusi tertentu (15;0)
Jawaban: (3k+15; k), k Z.
4. Selesaikan persamaan 7x - y = 3 dalam bilangan bulat.
Cari KPK(7; -1)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (3+y):7
Dengan menggunakan metode pencacahan, kami menemukan nilai y y = 4, x = 1
Oleh karena itu, (1;4) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x = 1k + 1, k Z y = 7k + 4, k Z
Jawaban: (k+1;7k+4); k = Z
5. Selesaikan persamaan 15x+11 y = 14 bilangan bulat.
Cari KPK(15; -14)=1
Saya akan menentukan solusi tertentu: x = (14 - 11y):15
Menggunakan metode enumerasi, saya menemukan nilai y y \u003d 4, x \u003d -2
(-2;4) - solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x = -11k - 2, k Z y =15k + 4, k Z
Jawaban: (-11k-2; 15k+4); k = Z
6. Selesaikan persamaan 3x - 2y = 12 bilangan bulat.
Temukan gcd(3; 2)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (12+2y):3
Menggunakan metode enumerasi, saya menemukan nilai y y \u003d 0, x \u003d 4
(4;0) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x = 2k + 4, k Z y = 3k, k Z
Jawaban: (2k+4; 3k); k = Z
7. Selesaikan dalam bilangan bulat persamaan xy = x + y.
Saya memiliki xy - x - y + 1 = 1 atau (x - 1)(y - 1) = 1
Jadi x - 1 = 1, y - 1 = 1, dari mana x = 2, y = 2 atau x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, dari mana x = 0, y = 0 solusi lain dalam bilangan bulat diberikan persamaan tidak.
Menjawab. 0,0;(2;2).
8. Selesaikan dalam bilangan bulat persamaan 60x - 77y \u003d 1.
Biarkan saya memecahkan persamaan ini untuk x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y + 1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.
Misal (17y + 1) / 60 = z, maka y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Jika dinotasikan (9z - 1) / 17 dengan t, maka z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Akhirnya, misalkan (- t + 1) / 9 = n, maka t = 1- 9n. Karena saya hanya menemukan solusi bilangan bulat untuk persamaan, z, t, n harus bilangan bulat.
Jadi, z \u003d 2 - 18n + 2 \u003d 2 - 17n, dan karenanya y \u003d 6 - 51n + 1 - 9n \u003d 7 - 60n, x \u003d 2 - 17n + 7 - 60n \u003d 9 - 77n. Jadi, jika x dan y adalah solusi bilangan bulat dari persamaan ini, maka ada bilangan bulat n sehingga x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Sebaliknya, jika y \u003d 9 - 77n, x \u003d 7 - 60n, maka, jelas, x, y adalah bilangan bulat. Verifikasi menunjukkan bahwa mereka memenuhi persamaan asli.
Menjawab. (9 - 77n; 7 - 60n)); n = Z.
9. Selesaikan persamaan 2x+11y =24 dalam bilangan bulat.
Cari KPK(2; 11)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (24-11y):2
Menggunakan metode enumerasi, saya menemukan nilai y y \u003d 0, x \u003d 12
(12;0) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x = -11k + 12, k Z y = 2k + 0=2k, k Z
Jawaban:(-11k+12; 2k); k = Z
10. Selesaikan persamaan 19x - 7y = 100 dalam bilangan bulat.
Cari KPK(19; -7)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (100+7y):19
Menggunakan metode enumerasi, saya menemukan nilai y y \u003d 2, x \u003d 6
(6;2) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x = 7k + 6, k Z y = 19k + 2, k Z
Jawaban:(7k+6; 19k+2); ke Z.
11. Selesaikan persamaan 24x - 6y = 144 dalam bilangan bulat
Cari KPK(24; 6)=3.
Persamaan tidak memiliki solusi karena gcd(24; 6)!=1.
Menjawab. Tidak ada solusi.
12. Memecahkan persamaan dalam bilangan bulat.
Saya akan mengubah rasio koefisien untuk yang tidak diketahui.
Pertama-tama, saya akan menyoroti bagian bilangan bulat dari pecahan tidak wajar;
Ganti pecahan biasa dengan pecahan yang sama.
Lalu aku akan mendapatkannya.
Saya akan melakukan transformasi yang sama dengan pecahan yang salah yang diperoleh penyebutnya.
Sekarang pecahan aslinya akan berbentuk:
Mengulangi alasan yang sama untuk pecahan, saya mengerti.
Memilih bagian bilangan bulat dari pecahan yang tidak tepat, saya akan sampai pada hasil akhir:
Saya mendapat ekspresi yang disebut fraksi lanjutan atau lanjutan terakhir. Setelah membuang tautan terakhir dari pecahan lanjutan ini - seperlima, saya akan mengubah pecahan lanjutan baru yang dihasilkan menjadi pecahan sederhana dan menguranginya dari pecahan aslinya.
Saya akan membawa ekspresi yang dihasilkan ke penyebut yang sama dan membuangnya, lalu
Dari perbandingan persamaan yang dihasilkan dengan persamaan, maka, akan menjadi solusi untuk persamaan ini dan, menurut teorema, semua solusinya akan terkandung dalam,.
Menjawab. (9+52t; 22+127t), t Z.
Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dalam kasus umum untuk menemukan solusi persamaan, perlu untuk memperluas rasio koefisien yang tidak diketahui menjadi fraksi lanjutan, membuang tautan terakhirnya dan melakukan perhitungan yang serupa dengan yang dilakukan di atas.
13. Selesaikan persamaan 3xy + 2x + 3y = 0 dalam bilangan bulat.
3xy + 2x + 3y = 3xy + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =
\u003d (x + 1) (3y + 2) - 2,
(x + 1)(3y + 2) = 2,
3y + 2 = 1 atau 3y + 1 = 2 atau 3y + 1 = -1 atau 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 = 1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 atau x = 0 atau x = -3 atau x = -2 y sen z, y = 0, y = -1, y sen z.
Jawaban: (0;0);(-3;-1).
14. Selesaikan persamaan y - x - xy \u003d 2 dalam bilangan bulat.
Solusi: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1) (1 - x) = 3,
3 = 1 3 = 3 1 = (-1) (-3) = (-3) (-1).
y + 1 = 1 atau y + 1 = 3 atau y + 1 = -1 atau y + 1 = -3
1 - x \u003d 3, 1 - x \u003d 1, 1 - x \u003d -3, 1 - x \u003d -1.
y = 0 atau y = 2 atau y = -2 atau y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2
Jawaban: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).
15. Selesaikan persamaan y + 4x + 2xy = 0 dalam bilangan bulat.
Solusi: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,
2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).
2x + 1= 1 atau 2x + 1= 2 atau 2x + 1= -1 atau 2x + 1= -2
2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 atau y = -1 atau y = -4 atau y = -3 x = 0, x sen Z, x = -1, x sen Z.
Jawaban: (-1;-4);(0;0).
16. Selesaikan dalam bilangan bulat persamaan 5x + 10y = 21.
5(x + 2y) = 21, karena 21 != 5n, maka tidak ada akar-akarnya.
Menjawab. Tidak ada akar.
17. Selesaikan persamaan 3x + 9y = 51 dalam bilangan asli.
3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y=2, x=11; y=3, x=8; y=4, x=5; y=5, x=2; y = 6, x = -1, -1sen N.
Jawaban:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14;1).
18. Selesaikan persamaan 7x + 5y \u003d 232 dalam bilangan bulat.
Saya akan memecahkan persamaan ini sehubungan dengan yang tidak diketahui, di mana koefisien (modulo) terkecil ditemukan, yaitu, dalam hal ini, relatif terhadap y: y \u003d 232-7x5.
Saya akan mengganti ekspresi ini sebagai ganti x angka: 0; 1; 2; 3; 4. Saya mendapatkan: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40.8
Menjawab. (1;45).
19. Selesaikan persamaan 3x + 4y + 5xy = 6 dalam bilangan bulat.
Saya memiliki 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn
Pembagi 42: - + - (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).
x = m - 45, y = n - 35 Saya menemukan bahwa dengan m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 solusinya adalah: x = -1, - 2, 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.
Jadi, persamaan ini memiliki 4 solusi dalam bilangan bulat dan tidak ada solusi dalam bilangan asli.
Menjawab. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).
20. Selesaikan persamaan 8x + 65y = 81 dalam bilangan asli.
81⋮GCD(8;65)=>
8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.
Misalkan 1-y8=t, t Z. x=2+65t>0y=1-8t>0
65t>-2-8t>-1t>-265tt=0.
Pada t=0 x=2y=1
Menjawab. (2;1).
21. Temukan solusi bilangan bulat non-negatif dari persamaan 3x+7y=250.
250⋮gcd(3;7) => persamaan dapat diselesaikan dalam bilangan bulat.
x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.
Misalkan 1-y3=t, t Z.
x=81+7t>=0y=1-3t>=0
7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.
x=81+7ty=1-3t t=-11 x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1
Menjawab. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.
22. Selesaikan persamaan xy+x+y3=1988 dalam bilangan bulat.
Kalikan kedua ruas persamaan dengan 3. Kita peroleh:
3x+3xy+y=5964
3x+3xy+y+1=5965
(3x+1)+(3yx+y)=5965
(3x+1) + y(3x+1)=5965
(3x+1)(y+1)=5965
5965=1∙5965 atau 5965=5965∙1 atau 5965=-1∙(-5965) atau 5965=-5965∙(-1) atau 5965=5∙1193 atau 5965=1193∙1 atau 5965=-5∙( -1193) atau 5965=-1193∙(-5)
1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0
3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 solusi bilangan bulat Tidak ada solusi bilangan bulat tidak
5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 solusi bilangan bulat Tidak ada solusi bilangan bulat tidak
7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6
Menjawab. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).
3.2 PEMECAHAN MASALAH
Ada beberapa jenis masalah, paling sering ini adalah masalah yang bersifat olimpiade, yang direduksi menjadi penyelesaian persamaan Diophantine. Contoh: a) Tugas menukarkan sejumlah uang pecahan tertentu.
b) Tugas transfusi, untuk membagi benda.
1. Membeli 390 pensil warna dalam kotak berisi 7 dan 12 pensil. Berapa banyak dari kotak itu yang Anda beli?
Saya akan menunjukkan: x kotak 7 pensil, y kotak 12 pensil.
Saya akan membuat persamaan: 7x + 12y = 390
Cari KPK(7; 12)=1
Saya akan menentukan solusi tertentu: x = (390 - 12y):7
Menggunakan metode enumerasi, saya menemukan nilai y y \u003d 1, x \u003d 54
(54;1) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x = -12k + 54, k Z y = 7k + 1, k Z
Saya menemukan banyak solusi untuk persamaan tersebut. Mengingat kondisi masalah, saya akan menentukan kemungkinan jumlah kotak itu dan kotak lainnya.
Menjawab. Anda dapat membeli: 54 kotak berisi 7 pensil dan 1 kotak berisi 12 pensil atau 42 kotak berisi 7 pensil dan 8 kotak berisi 12 pensil, atau 30 kotak berisi 7 pensil dan 15 kotak berisi 12 pensil, atau 28 kotak berisi 7 pensil dan 22 kotak 12 pensil, atau 6 kotak berisi 7 pensil dan 29 kotak berisi 12 pensil.
2. Salah satu kaki segitiga siku-siku lebih panjang 7 cm dari yang lain, dan keliling segitiga adalah 30 cm. Hitung semua sisi segitiga.
Saya akan menunjukkan: x cm - satu kaki, (x + 7) cm - kaki lainnya, y cm - sisi miring
Tulis dan selesaikan persamaan Diophantine: x+(x+7)+y=30
Temukan gcd(2; 1)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (23 - y):2
Menggunakan metode iterasi, saya menemukan nilai y =1 y = 1, x = 11
(11;1) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain dari persamaan ditemukan dengan rumus: x = -k + 11, k Z y = 2k + 1, k Z k
Mengingat bahwa salah satu sisi segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya, kami menyimpulkan bahwa ada tiga segitiga dengan sisi 7, 9 dan 14; 6, 11 dan 13; 5, 13 dan 12. Dengan kondisi masalah, segitiga siku-siku diberikan. Ini adalah segitiga dengan sisi 5, 13 dan 12 (teorema Pythagoras berlaku).
Jawaban: Satu kaki 5 cm, yang lain 12 cm, sisi miring 13 cm.
3. Beberapa anak sedang memetik apel. Setiap anak laki-laki mengumpulkan 21 kg, dan anak perempuan 15 kg. Secara total, mereka mengumpulkan 174 kg. Berapa banyak anak laki-laki dan berapa banyak anak perempuan yang memetik apel?
Biarkan anak laki-laki menjadi x dan anak perempuan y, di mana x dan y adalah bilangan asli. Saya akan membuat persamaan:
Saya memecahkan dengan metode seleksi: x
6 Hanya ketika x = 4 tidak diketahui kedua mendapatkan nilai bilangan bulat positif (y = 6). Untuk nilai x lainnya, bilangan y akan berupa pecahan atau negatif. Oleh karena itu, masalahnya memiliki satu solusi unik.
Menjawab. 4 laki-laki dan 6 perempuan.
4. Apakah mungkin untuk membentuk satu set pensil senilai 3 rubel dan pena senilai 6 rubel senilai 20 rubel?
Misalkan jumlah pensil dalam himpunan adalah x dan jumlah pena y.
Saya akan membuat persamaan:
Untuk sembarang bilangan bulat x dan y, ruas kiri persamaan harus habis dibagi 3; ruas kanan tidak habis dibagi 3. Ini berarti tidak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi persamaan kita. Persamaan ini tidak dapat diselesaikan dalam bilangan bulat. Tidak mungkin membentuk himpunan seperti itu.
Menjawab. Tidak ada solusi.
5. Temukan bilangan asli yang, jika dibagi 3, memberikan sisa 2, dan ketika dibagi 5, sisa 3.
Saya akan menunjukkan nomor yang diinginkan dengan x. Jika saya menyatakan hasil bagi dari membagi x dengan 3 dengan y, dan hasil bagi dari membagi dengan 5 dengan z, maka saya mendapatkan: x=3y+2x=5z+3
Menurut arti dari soal, x, y dan z harus bilangan asli. Jadi, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan tak tentu dalam bilangan bulat.
Untuk sembarang bilangan bulat y dan z , x juga akan menjadi bilangan bulat. Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan dapatkan:
5z - 3y + 1 = 0.
Setelah menemukan semua bilangan bulat positif y dan z, saya akan segera mendapatkan semua bilangan bulat nilai positif x.
Dari persamaan ini saya menemukan:
Salah satu solusinya jelas: untuk z = 1 kita mendapatkan y = 2, dan x dan y adalah bilangan bulat. Mereka sesuai dengan solusi x = 8.
Saya akan mencari solusi lain. Untuk melakukan ini, saya memperkenalkan u tambahan yang tidak diketahui, mengatur z = 1 + u. Aku akan menerima:
5(1 + u) - 3y + 1 = 0, yaitu 5u = 3y - 6 atau 5u = 3(y - 2).
Ruas kanan persamaan terakhir untuk sembarang bilangan bulat y habis dibagi 3. Oleh karena itu, ruas kiri juga harus habis dibagi 3. Tetapi bilangan 5 adalah koprima dengan bilangan 3; jadi u harus habis dibagi 3, yaitu harus dalam bentuk 3n, di mana n adalah bilangan bulat. Dalam hal ini, y akan sama dengan
15n/3 + 2 = 5n + 2, yaitu juga bilangan bulat. Jadi, z = 1 + u = 1 + 3n, dari mana x = 5z + 3 = 8 + 15n.
Ternyata bukan satu, tetapi kumpulan nilai tak terbatas untuk x: x = 8 + 15n, di mana n adalah bilangan bulat (positif atau nol):
Menjawab. x=8+15n; n = 0;1;2;.
6. Subyek membawa 300 sebagai hadiah untuk Shah batu mulia: dalam kotak kecil masing-masing 15 buah dan dalam kotak besar berisi 40 buah. Berapa banyak dari peti mati ini dan peti mati lainnya, jika diketahui ada lebih sedikit peti mati daripada peti mati besar?
Saya akan menunjukkan dengan x jumlah kotak kecil, dan dengan y - jumlah kotak besar.
15x + 40y = 300. Saya akan memotongnya menjadi 5.
3x+8y=60x=60-8y3 x=60-6y-2y3
X=20-2y-2y3
Agar nilai pecahan menjadi bilangan bulat, 2y harus merupakan kelipatan dari 3, yaitu 2y \u003d 3s.
Ekspresikan variabel y dan ekstrak bagian integernya:
Z harus kelipatan 2, yaitu z=2u.
Nyatakan variabel x dan y dalam suku u:
X=20-2y-2y3
=20-2∙3u-2∙3u3
Tulis dan selesaikan sistem pertidaksamaan:
Saya akan menulis seluruh solusi: 1; 2. Sekarang cari nilai x dan y untuk u=1; 2.
1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3
2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6
Menjawab. 4 kotak kecil; 6 kotak besar.
7. Dua mobil Ural 5557 diberikan, mobil-mobil itu dikirim dalam penerbangan Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. Secara total, dibutuhkan 4 ton bahan bakar solar dan 2 pengemudi untuk menyelesaikan penerbangan ini. Perlu untuk menentukan biaya transportasi, yaitu biaya 1 ton bahan bakar diesel dan upah pengemudi yang melakukan penerbangan ini, jika diketahui bahwa total biaya adalah 76.000 rubel.
Biarkan x rubel menjadi biaya 1 ton bahan bakar diesel, dan y rubel menjadi upah pengemudi. Kemudian (4x + 2y) rubel - dihabiskan untuk penerbangan. Dan sesuai dengan kondisi masalahnya, 76.000 rubel dihabiskan.
Saya mendapatkan persamaan:
Untuk memecahkan persamaan ini, metode enumerasi akan menjadi proses yang melelahkan. Jadi saya akan menggunakan >.
Saya akan mengungkapkan variabel y melalui x: , pilih bagian integer, saya akan mendapatkan: (1).
Agar nilai pecahan menjadi bilangan bulat, 2x harus merupakan kelipatan dari 4. Yaitu, 2x \u003d 4z, di mana z adalah bilangan bulat. Dari sini:
Saya akan mengganti nilai x dalam ekspresi (1):
Karena x, y 0, maka 19000 z 0, oleh karena itu, memberikan nilai bilangan bulat zdari 0 hingga 19000, saya akan mendapatkan nilai x dan y berikut: z
Dari data biaya transportasi saat ini, diketahui bahwa 1 ton bahan bakar diesel (x) berharga 18.000 rubel. , dan remunerasi pengemudi yang melakukan penerbangan (y) adalah 10.000 rubel. (data adalah perkiraan). Menurut tabel, kami menemukan bahwa nilai x sama dengan 18000 dan nilai y sama dengan 10000 sesuai dengan nilai z sama dengan 9000, memang :;.
8. Dalam berapa cara Anda dapat mengumpulkan jumlah 27 rubel. , memiliki banyak koin dua rubel dan lima rubel?
Menunjukkan: x koin dua rubel dan y koin lima rubel
Saya akan membuat persamaan, dengan mempertimbangkan kondisi masalah 2x + 5y = 27.
Cari KPK(2;5)=1
Saya akan mendefinisikan solusi tertentu: x = (27-5y):2
Menggunakan metode enumerasi, saya menemukan nilai y y \u003d 1, x \u003d 11
(11;1) adalah solusi khusus.
Semua solusi lain ditemukan dengan rumus: x = -5k + 11, k Z y = 2k + 1, k Z
Persamaan ini memiliki banyak solusi. Mari kita temukan semua cara Anda dapat mengumpulkan jumlah 27 rubel dengan koin yang ditawarkan. k
Menjawab. Ada tiga cara di mana Anda dapat mengumpulkan jumlah ini, memiliki banyak koin dua rubel dan lima rubel.
9. Katakanlah gurita dan bintang laut hidup di akuarium. Gurita memiliki 8 kaki, dan bintang laut memiliki 5 kaki. Total ada 39 kaki. Berapa banyak hewan di akuarium?
Misalkan x adalah jumlah bintang laut dan y adalah jumlah gurita. Kemudian semua gurita memiliki 8 kaki, dan semua bintang memiliki 5 kaki.
Saya akan membuat persamaan: 5x + 8y = 39.
Saya perhatikan bahwa jumlah hewan tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat atau negatif. Oleh karena itu, jika x adalah bilangan bulat non-negatif, maka y \u003d (39 - 5x) / 8 juga harus bilangan bulat dan bukan negatif, yang berarti bahwa ekspresi 39 - 5x harus dibagi 8 tanpa sisa. enumerasi opsi menunjukkan bahwa ini hanya mungkin jika x = 3, maka y = 3.
Jawab: (3; 3).
10. Sebuah pabrik mebel memproduksi bangku berkaki tiga dan empat. Sang master membuat 18 kaki. Berapa banyak bangku yang dapat dibuat agar semua kaki digunakan?
Misalkan x adalah jumlah bangku berkaki tiga dan y adalah jumlah bangku berkaki empat. Jadi, 3x + 4y = 18.
Saya punya, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.
saya mendapatkan: x = 2; y=3 atau x=6; y=0.
Tidak ada solusi lain karena x adalah 6.
Menjawab. 2;3;(6;0).
11. Apakah mungkin untuk menampung 718 orang di kabin dengan 4 dan 8 tempat tidur, sehingga tidak ada kursi kosong di kabin?
Biarkan kabin 4 tempat tidur menjadi x, dan kabin 8 tempat tidur - y, maka:
2(x + 2y) = 309
Menjawab. Hal ini dilarang.
12. Buktikan bahwa tidak ada titik dengan koordinat bilangan bulat pada garis 124x + 216y = 515.
PPB(124;216) = 4, 515 != 4n, jadi tidak ada solusi bilangan bulat.
Menjawab. Tidak ada solusi.
13. Biaya barang adalah 23 rubel, pembeli hanya memiliki 2 rubel, dan kasir 5 rubel. Bisakah saya melakukan pembelian tanpa menukarkan uang terlebih dahulu?
Misalkan x adalah jumlah 2 koin rubel, y adalah jumlah 5 koin rubel, maka 2x - 5y = 23, di mana x,y = N.
Saya mendapatkan: 2x = 23 + 5y, dari mana x = 23 + 5y2 = 11 + 2y + (1 + y)2 x akan menjadi bilangan bulat jika 1 + y2 adalah bilangan bulat.
1 + y2 = t, dimana t Euro Z, maka y = 2t - 1.
x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.
Ke. x = 5t + 9, a y = 2t - 1, dimana t z.
Masalahnya memiliki banyak solusi bilangan bulat. Yang paling sederhana di t = 1, x =14, y = 1, yaitu pembeli akan memberikan empat belas koin 2-rubel dan menerima kembalian satu koin 5-rubel.
Menjawab. Bisa.
14. Saat mengaudit buku perdagangan toko, salah satu entri ternyata diisi dengan tinta dan terlihat seperti ini:
> Tidak mungkin untuk mengetahui jumlah meter yang terjual, tetapi dapat dipastikan bahwa jumlahnya bukanlah pecahan; dalam jumlah yang diterima, dimungkinkan untuk membedakan hanya tiga digit terakhir, dan juga untuk menetapkan bahwa ada tiga digit lain di depannya. Apakah mungkin untuk memulihkan catatan dari data ini?
Misalkan banyaknya meter adalah x, maka harga pokok barang dalam kopecks adalah 4936x. Kami akan menunjukkan tiga digit yang diisi dalam jumlah sebagai y, ini adalah jumlah ribu kopeck, dan seluruh jumlah dalam kopeck akan dinyatakan sebagai berikut (1000y + 728).
Saya mendapatkan persamaan 4936x \u003d 1000y + 728, saya membaginya dengan 8.
617x - 125y = 91, dimana x,y = z, x,y
125th \u003d 617x - 91th \u003d 5x - 1 +34 - 8x125 \u003d 5x - 1 + 2 17 - 4x125 \u003d
5x - 1 + 2t, di mana t = 17 - 4x125, t Euro Z.
Dari persamaan t \u003d (17 - 4x) / 125 saya mendapatkan x \u003d 4 - 31t + 1 - t4 \u003d
4 - 31t + t1, dimana t1 = 1 - t4, maka t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.
Dengan syarat saya tahu itu 100
100 = 234/617 dan t1
Ini berarti bahwa 98 meter dilepaskan dalam jumlah 4837,28 rubel. Rekor telah dipulihkan.
Menjawab. Dilepas 98 meter.
15. Diperlukan untuk membeli 40 lembar perangko untuk satu rubel - kopeck, 4 kopeck dan 12 kopeck. Berapa banyak perangko dari setiap denominasi yang dapat Anda beli?
Dua persamaan dapat dibuat: x + 4y + 12z = 100 dan x + y + z = 40, di mana x adalah jumlah tanda sen, y adalah tanda 4 sen, z adalah tanda 12 sen. Saya mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama dan mendapatkan:
3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11 z3.
Misal z3 = t, z = 3t, dimana t Euro Z. Maka didapat jika x + y + z = 40 dan z = 3t, dan y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.
Karena x >= 0, y >= 0, z >= 0, maka 0
Kemudian, masing-masing, saya mendapatkan: t \u003d 0, x \u003d 20, y \u003d 20, z \u003d 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.
Jadi, pembelian prangko hanya dapat dilakukan dengan dua cara, dan jika Anda menetapkan persyaratan bahwa setidaknya satu prangko untuk setiap pecahan dibeli, hanya satu cara.
Menjawab. 28 prangko untuk 1 kopeck, 9 prangko untuk 4 kopeck dan 3 prangko untuk 12 kopeck.
16. Siswa diberi tugas sebanyak 20 tugas. Untuk setiap yang diselesaikan dengan benar, ia menerima 8 poin, untuk setiap yang tidak diselesaikan, ia dikurangi 5 poin. Untuk tugas yang tidak dia lakukan - 0 poin. Siswa itu mencetak total 13 poin. Berapa banyak tugas yang dia ambil?
Biarkan masalah diselesaikan dengan benar - x, dan salah diselesaikan - y, tidak dianggap - z.
Maka x + y + z = 20, dan 8x - 5y = 13.
y \u003d 8x - 135 \u003d x - 2 + 3 (x - 1) 5 \u003d x - 2 + 3t, di mana t \u003d x - 15, dan x \u003d 5t + 1.
Dengan syarat x + y
Jawaban: siswa berusaha memecahkan 13 masalah, menyelesaikan 6, tidak mengatasi 7.
17. Ivanushka si Bodoh bertarung dengan Serpent Gorynych, yang memiliki kepala tahun 2001. Melambaikan pedangnya ke kiri, Ivan memotong 10 kepala, dan 16 tumbuh kembali. Melambaikan pedangnya ke kanan, ia menebang 15, dan 6 tumbuh. Jika semua kepala ditebang, tidak ada yang baru tumbuh. Anda dapat melambai dalam urutan apa pun, tetapi jika ada kurang dari 15 kepala, maka hanya ke kiri, dan jika kurang dari 10, maka Anda tidak bisa sama sekali. Bisakah Ivanushka si Bodoh mengalahkan Zmey Gorynych?
Izinkan saya merumuskan kembali masalahnya: apakah mungkin untuk menebang 1986 kepala? Kemudian, 15 sisanya, Ivan akan menebang dengan satu pukulan ke kanan dan tidak ada yang baru akan tumbuh.
Misalkan x adalah jumlah pukulan ke kanan dan y jumlah pukulan ke kiri, maka 1986 - 9x + 6y = 0.
Bagilah seluruh persamaan dengan 6 dan Anda mendapatkan
3x - 2y = 662.
y \u003d 3x - 6622 \u003d x - 331 + x2.
Misalkan x2 = t, maka x = 2t, dan y = 3t - 331.
Karena x >= 0, y >= 0, maka t >= 111, maka t = 111, x = 222, y = 2.
Saya mendapatkan: memukul 220 kali ke kanan, Ivan memotong 1980 kepala dan Ular memiliki 21 kepala tersisa; kemudian 2 pukulan ke kiri dan Ular tumbuh 12 kepala, total 33; 2 pukulan berikutnya ke kanan membuat Ular kehilangan 18 kepala dan sisanya 15 Ivan menebas dengan pukulan terakhir ke kanan dan tidak ada kepala baru yang tumbuh.
Jawab: 220 pukulan ke kanan, 2 pukulan ke kiri dan 3 pukulan lagi ke kanan.
18. Lakukan dadu wajah diberi nomor - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Dari 5 kubus tersebut, mereka membangun sebuah menara dan menghitung jumlah poin pada semua wajah yang terlihat, setelah menghapus kubus atas, jumlahnya berkurang 19, berapa nomor berada di muka atas kubus atas?
Jumlah titik satu kubus adalah 21.
Misalkan x adalah jumlah titik pada permukaan bawah kubus atas, dan y adalah jumlah titik pada permukaan atas kubus berikutnya. Ketika kubus atas dihilangkan, titik-titik dari 5 wajah kubus atas menghilang, jumlah titik-titiknya adalah (21 - x), dan sebuah wajah yang memiliki titik-titik itu muncul, yang berarti bahwa jumlah titik-titiknya adalah telah berkurang (21 - x) - y, dan dengan syarat 19, maka :
(21 - x) - y \u003d 19, x + y \u003d 2.
Karenanya y \u003d 2 - x, dan dengan syarat 1
19. Seseorang membeli 30 burung seharga 30 koin dengan nilai yang sama. Untuk setiap 3 burung pipit, satu koin dibayarkan, untuk 2 bullfinches - 1 koin, untuk 1 merpati - 2 koin. Berapa banyak burung dari masing-masing spesies yang ada?
Biarkan ada burung pipit - x, banteng - y, dan merpati - z. Kemudian, sesuai dengan kondisi x + y + z = 30 dan 13x + 12y + 2z = 30.
Saya mendapatkan x + y + z = 30 dan 2x + 3y + 12z = 180, atau y + 10z = 120, y = 120 - 10z, di mana x
Oleh karena itu pilihan berikut (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).
Jawaban: burung pipit - 0, bullfinches - 20, merpati - 10; burung pipit - 9, bullfinches - 10, merpati - 11; burung pipit - 18, bullfinches - 0, merpati - 12.
20. Temukan semua bilangan dua digit, yang masing-masing, jika dikurangi 2, sama dengan lima kali perkalian digit-digitnya.
Biarkan xy menjadi angka dua digit yang diperlukan.
Untuk persamaan xy - 2 \u003d 5xy, atau (10x + y) - 5xy \u003d 2 S \u003d 0 dan saya akan menemukan semua solusi alami dari himpunan (x; 2).
Karena x adalah digit pertama dari dua digit angka, itu hanya dapat mengambil 9 nilai.
Itu. , angka yang diinginkan adalah: 12, 22, 32,. , 92.
Menjawab. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.
21. Sepotong kawat dengan panjang 102 cm harus dipotong-potong dengan panjang 15 cm dan 12 cm agar seluruh kawat terpakai. Bagaimana cara melakukannya?
Misal x adalah banyaknya keping kawat yang panjangnya 15 cm, y banyaknya keping kawat yang panjangnya 12 cm, maka akan dibuat persamaan :
15x+12y=102 /:3
4x+3y=34x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.
Misalkan 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1.5t t=0;-1.
Jika t=0, maka x=6y=1
Jika t=-1, maka x=2y=6
Menjawab. Masalahnya memiliki dua solusi:
1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.
22. Petya pada tahun 1987 setua jumlah angka tahun kelahirannya. Di tahun berapa dia lahir?
Biarkan Petya lahir di tahun ke-19. Kemudian pada tahun 1987 dia berusia 1987-19xy, atau (1+9+x+y) tahun. Kami memiliki persamaan:
87-(10x+y)=10+x+y
77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.
Mengingat x dan y adalah angka-angka dari sistem bilangan desimal, maka dengan pemilihan kita menemukan: x=3, y=1.
Menjawab. Petya lahir pada tahun 1970.
23. Seseorang membeli sesuatu di toko senilai 19 rubel. Dia hanya memiliki 15 uang kertas tiga rubel, sedangkan kasir hanya memiliki 20 uang kertas lima rubel. Bisakah saya membayar dan bagaimana caranya?
Masalahnya direduksi menjadi penyelesaian persamaan Diophantine dalam bilangan bulat positif: 3x - 5y = 19, di mana x
Mengingat fakta bahwa x>0 dan y > 0 dan dengan mempertimbangkan kondisi masalah, mudah untuk menetapkan bahwa 0
Ini menyiratkan 2 nilai yang mungkin: x
Menjawab. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.
24. Apakah mungkin untuk menimbang 28 g zat tertentu pada neraca panci, yang hanya memiliki 4 bobot dengan berat 3 g dan 7 bobot dengan berat 5 g?
Untuk melakukan ini, Anda perlu menyelesaikan persamaan:
x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.
Jadi x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.
Ini mengikuti dari kondisi masalah bahwa y1 tidak dapat diberikan nilai negatif. Selanjutnya harus y1
Menjawab. 1 bobot dalam 3 g dan 5 bobot dalam 5 g.
25. Pembeli membeli di toko seharga 21 p. barang-barang. Tapi dia punya stok uang kertas hanya 5 - denominasi rubel, dan kasir - 3 - rubel. Hal ini diperlukan untuk mengetahui apakah mungkin untuk membayar kasir jika ada uang dan bagaimana tepatnya?
Biarkan x menjadi angka 5 - rubel, y - 3 - rubel.
Dengan syarat x > 0, y > 0, jadi.
Juga, t genap, jika tidak, baik x maupun y tidak akan menjadi bilangan bulat.
Untuk t = 4, 6, 8,. kita punya: t
Menjawab. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).
26. Ada 110 lembar kertas. Mereka diharuskan menjahit buku catatan masing-masing 8 lembar dan 10 lembar. Berapa banyak yang Anda butuhkan untuk menjahit keduanya?
Misalkan x adalah jumlah buku catatan 8 lembar, y adalah jumlah buku catatan 10 lembar.
Jadi t = 0 atau t = - 1
Menjawab. 5;7; (10;3).
27. Banyak cara kuno untuk menebak angka dan tanggal lahir didasarkan pada penyelesaian persamaan Diophantine. Mereka, misalnya, untuk menebak tanggal lahir (bulan dan hari) lawan bicara, cukup untuk mengetahui darinya jumlah yang diterima dari penambahan dua produk: jumlah tanggal (x) dengan 12 dan nomor bulan (y) dengan 31.
Biarkan jumlah produk tentang yang dalam pertanyaan, sama dengan 330. Temukan tanggal lahir.
Selesaikan persamaan tak tentu: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =
27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3
Jadi, tanggal lahir: hari ke-12 bulan ke-6.
28. Apakah mungkin untuk mendapatkan 51 rubel dengan koin dua rubel dan lima rubel? Jika ada, ada berapa cara?
Biarkan ada x - koin dua rubel, dan koin lima rubel - koin y.
Misalkan 1+y2=z, maka
=> z = 1, 2, 3, 4, 5
Jawaban: 5 cara.
29. Apakah mungkin untuk mengatur dua ratus telur dalam kotak berisi 10 dan 12 buah? Jika memungkinkan, temukan semua cara seperti itu.
Misalkan ada x kotak berisi 10 buah dan y kotak berisi 12 buah. Saya akan membuat persamaan: z = 1, 2, 3
Jawaban: 14;5;8;10;(2;15)
30. Tunjukkan bilangan 257 sebagai jumlah dari dua suku asli: a) salah satunya adalah kelipatan 3, dan yang lainnya - 4; b) salah satunya adalah kelipatan 5 dan yang lainnya adalah kelipatan 8.
Jawaban: 1) 249 dan 8; 2) 225 dan 32.
Dalam masalah persamaan tak tentu, saya menemukan berbagai macam kasus: masalah mungkin sama sekali tidak terpecahkan (Masalah 4), mungkin memiliki jumlah solusi tak terbatas (Masalah 2), mungkin memiliki beberapa solusi pasti; khususnya, dapat memiliki satu solusi tunggal (Masalah 1).
KESIMPULAN
Tujuan yang saya tetapkan untuk diri saya sendiri telah tercapai. Pekerjaan pada proyek tersebut membangkitkan minat saya dan membuat saya terpesona. Pekerjaan ini menuntut dari saya tidak hanya pengetahuan dan ketekunan matematika tertentu, tetapi juga memberi saya kesempatan untuk merasakan kegembiraan besar dari penemuan mandiri.
Persamaan diophantine ditemukan dalam tugas-tugas Olimpiade, sehingga mereka berkembang berpikir logis, meningkatkan tingkat budaya matematika, menanamkan keterampilan mandiri pekerjaan penelitian dalam matematika.
Saat memecahkan persamaan dan masalah yang direduksi menjadi persamaan Diophantine, sifat-sifatnya bilangan prima, metode faktorisasi polinomial, metode pencacahan, metode keturunan dan algoritma Euclid. Menurut saya, metode keturunan adalah yang paling sulit. Dan metode pencacahan ternyata lebih cantik bagi saya.
Dalam pekerjaan saya memecahkan 54 masalah.
Karya ini berkontribusi pada pemahaman yang lebih dalam kurikulum sekolah dan memperluas cakrawala.
Materi ini akan bermanfaat bagi siswa yang tertarik dengan matematika. Ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran dan dalam kegiatan ekstrakurikuler.