Bendro kartotinio radimas. Kaip rasti mažiausią bendrą dviejų skaičių kartotinį
Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklisšiuos skaičius. Pažymėkite GCD(a, b).
Apsvarstykite galimybę rasti GCD naudodami dviejų natūraliųjų skaičių 18 ir 60 pavyzdį:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 ir 432
Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Išbraukus iš pirmojo skaičiaus, kurio faktoriai nėra antrame ir trečiame skaičiuose, gauname:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Dėl GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
GCD paieška naudojant Euklido algoritmą
Antrasis būdas rasti didžiausią bendrą daliklį naudojant Euklido algoritmas. Euklido algoritmas yra labiausiai efektyvus būdas radimas GCD, naudojant jį reikia nuolat rasti skaičių padalijimo likutį ir taikyti pasikartojanti formulė.
Pasikartojanti formulė GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kur a mod b yra a dalijimo iš b liekana.
Euklido algoritmas
Pavyzdys Raskite didžiausią bendrąjį skaičių daliklį 7920 ir 594
Raskime GCD( 7920 , 594 ) naudodami Euklido algoritmą, skaičiuotuvu apskaičiuosime likusią dalybos dalį.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Dėl to gauname GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Mažiausias bendras kartotinis
Norint rasti bendrą vardiklį sudėjus ir atimant trupmenas su skirtingais vardikliais, reikia žinoti ir mokėti skaičiuoti mažiausias bendras kartotinis(NOC).
Skaičiaus „a“ kartotinis yra skaičius, kuris pats dalijasi iš skaičiaus „a“ be liekanos.
Skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai (tai yra, šie skaičiai bus padalinti iš 8 be likučio): tai skaičiai 16, 24, 32 ...
9 kartotiniai: 18, 27, 36, 45…
Tam tikro skaičiaus a kartotinių yra be galo daug, priešingai nei to paties skaičiaus daliklių. Dalikliai – baigtinis skaičius.
Bendrasis dviejų natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš abiejų šių skaičių..
Mažiausias bendras kartotinis Dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris pats dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.
Kaip rasti NOC
LCM galima rasti ir parašyti dviem būdais.
Pirmasis būdas rasti LCM
Šis metodas dažniausiai naudojamas mažiems skaičiams.
- Rašome kiekvieno skaičiaus kartotinius į eilutę, kol gaunamas vienodas abiejų skaičių kartotinis.
- Skaičiaus „a“ kartotinis žymimas didžiąja raide „K“.
Pavyzdys. Raskite LCM 6 ir 8.
Antrasis būdas rasti LCM
Šį metodą patogu naudoti norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Identiškų veiksnių skaičius skaičių plėtime gali būti skirtingas.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Atsakymas: LCM (24, 60) = 120
Mažiausiojo kartotinio (LCM) radimą taip pat galite formalizuoti taip. Raskime LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Kaip matome iš skaičių išplėtimo, visi 12 faktoriai yra įtraukti į 24 (didžiausias iš skaičių) išplėtimą, todėl prie LCM pridedame tik vieną 2 iš skaičiaus 16 išplėtimo.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Atsakymas: LCM (12, 16, 24) = 48
Ypatingi NOC radimo atvejai
Pavyzdžiui, LCM(60, 15) = 60
Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių daliklių, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai.
Mūsų svetainėje taip pat galite naudoti specialų skaičiuotuvą, kad internete rastumėte rečiausią kartotinį ir patikrintumėte savo skaičiavimus.
Jei natūralusis skaičius dalijasi tik iš 1 ir savęs, tada jis vadinamas pirminiu.
Bet kuris natūralusis skaičius visada dalijasi iš 1 ir savęs.
Skaičius 2 yra mažiausias pirminis skaičius. Tai vienintelis lyginis pirminis skaičius, likusieji pirminiai skaičiai yra nelyginiai.
Yra daug pirminių skaičių, o pirmasis iš jų yra skaičius 2. Tačiau paskutinio pirminio skaičiaus nėra. Skiltyje „Studijuoti“ galite atsisiųsti pirminių skaičių lentelę iki 997.
Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų natūraliųjų skaičių.
- skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
- 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.
- išskaidyti skaičių daliklius į pirminius veiksnius;
Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi tolygiai (12 atveju tai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičiaus dalikliais.
Natūralaus skaičiaus a daliklis yra toks natūralusis skaičius, kuris dalija duotą skaičių „a“ be liekanos.
Natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du veiksnius, vadinamas sudėtiniu skaičiumi.
Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrus daliklius. Tai yra skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12.
Dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ bendras daliklis yra skaičius, iš kurio abu pateikti skaičiai „a“ ir „b“ dalijami be liekanos.
Didžiausias bendras daliklis(GCD) iš dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ yra didžiausias skaičius, iš kurio abu skaičiai „a“ ir „b“ dalijasi be liekanos.
Trumpai tariant, didžiausias bendras skaičių „a“ ir „b“ daliklis parašytas taip:
Pavyzdys: gcd (12; 36) = 12 .
Skaičių dalikliai sprendimo įraše žymimi didžiąja raide „D“.
Skaičiai 7 ir 9 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami abipusiai pirminiai skaičiai .
Kopirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Jų GCD yra 1.
Kaip rasti didžiausią bendrą daliklį
Norėdami rasti dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių gcd, jums reikia:
Skaičiavimai patogiai rašomi naudojant vertikalią juostą. Kairėje eilutės pusėje pirmiausia užrašykite dividendą, dešinėje - daliklį. Toliau kairiajame stulpelyje užrašome privačias reikšmes.
Iš karto paaiškinkime pavyzdžiu. Suskaidykime skaičius 28 ir 64 į pirminius koeficientus.
- Abiejuose skaičiuose pabraukite tuos pačius pirminius veiksnius.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Randame identiškų pirminių faktorių sandaugą ir užrašome atsakymą;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Atsakymas: GCD (28; 64) = 4
GCD vietą galite išdėstyti dviem būdais: stulpelyje (kaip buvo padaryta aukščiau) arba „eilėje“.
Pirmasis GCD rašymo būdas
Raskite GCD 48 ir 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Antrasis GCD rašymo būdas
Dabar parašykime GCD paieškos sprendimą eilutėje. Raskite GCD 10 ir 15.
Mūsų informacinėje svetainėje taip pat galite rasti didžiausią bendrą daliklį internete, naudodami pagalbinę programą, kad patikrintumėte savo skaičiavimus.
Mažiausio bendro kartotinio radimas, LCM radimo metodai, pavyzdžiai.
Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio, pavadinto LCM – Mažiausias dažnas kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, LCM ir GCD ryšys. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), ir Ypatingas dėmesys Pažvelkime į pavyzdžius. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, suskirstydami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.
Puslapio naršymas.
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd
Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas ryšiu tarp LCM ir GCD. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.
Raskite mažiausiąjį bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.
Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime LCM saitą su GCD, kuris išreiškiamas formule LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.
Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .
Dabar randame reikalingą mažiausią bendrą kartotinį: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Kas yra LCM(68, 34)?
Kadangi 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrą kartotinį: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .
LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Kitas būdas rasti mažiausią bendrąjį kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.
Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Iš tiesų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kas aprašyta skyriuje apie gcd radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius ).
Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto pašaliname visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė lygi mažiausiam bendrajam 75 ir 210 kartotiniui, ty LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.
Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus: 
Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .
Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas – tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Taigi LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .
LCM(441; 700) = 44 100 .
Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jeigu trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a išplėtimo, tai gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui.
Pavyzdžiui, imkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 skaidymo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).
Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.
Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 skaidymo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.
Trijų ar daugiau skaičių LCM radimas
Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliame skaičiavime m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.
Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.
Pirmiausia randame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .
Dabar randame m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.
Belieka rasti m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250) = 10, taigi LCM(3 780, 250) = 3 780 250:gcd(3 780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500. Tai yra, m 4 \u003d 94 500.
Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tuo pačiu metu reikia laikytis kita taisyklė. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.
Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.
Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.
Pirmiausia gauname šių skaičių skaidymus į pirminius veiksnius: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 yra pirminis skaičius, jis sutampa su jo išskaidymu į pirminius veiksnius) ir 143=11 13 .
Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.
Todėl LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48048 .
Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį
Kartais yra užduočių, kuriose reikia rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį, tarp kurių vienas, keli arba visi skaičiai yra neigiami. Tokiais atvejais visi neigiami skaičiai turi būti pakeisti priešingais skaičiais, po kurių turėtų būti rasta teigiamų skaičių LCM. Taip galima rasti neigiamų skaičių LCM. Pavyzdžiui, LCM(54, -34) = LCM(54, 34) ir LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
Tai galime padaryti, nes a kartotinių aibė yra tokia pati kaip −a kartotinių aibė (a ir −a yra priešingi skaičiai). Iš tiesų, tegul b yra koks nors a kartotinis, tada b dalijasi iš a, o dalijimosi sąvoka teigia, kad egzistuoja toks sveikasis skaičius q, kad b=a q . Tačiau bus teisinga ir lygybė b=(−a)·(−q), kuri, remiantis ta pačia dalijimosi samprata, reiškia, kad b dalijasi iš −a , tai yra, b yra −a kartotinis. Taip pat teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei b yra koks nors −a kartotinis, tai b taip pat yra a kartotinis.
Raskite neigiamų skaičių –145 ir –45 mažiausiąjį bendrąjį kartotinį.
Neigiamus skaičius −145 ir −45 pakeiskime jiems priešingais skaičiais 145 ir 45 . Turime LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nustačius gcd(145, 45)=5 (pavyzdžiui, naudojant Euklido algoritmą), apskaičiuojame LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305. Taigi mažiausias bendras neigiamų sveikųjų skaičių –145 ir –45 kartotinis yra 1,305 .
www.cleverstudents.ru
Mes ir toliau studijuojame skyrių. Šioje pamokoje apžvelgsime tokias sąvokas kaip GCD ir NOC.
GCD yra didžiausias bendras daliklis.
NOC yra mažiausias bendras kartotinis.
Tema gana nuobodi, bet būtina ją suprasti. Nesuprasdami šios temos, negalėsite efektyviai dirbti su trupmenomis, kurios yra tikra kliūtis matematikoje.
Didžiausias bendras daliklis
Apibrėžimas. Didžiausias bendras skaičių daliklis a ir b a ir b padalintas be liekanos.
Norėdami gerai suprasti šį apibrėžimą, vietoj kintamųjų pakeičiame a ir b bet kokie du skaičiai, pavyzdžiui, vietoj kintamojo a pakeiskite skaičių 12, o vietoj kintamojo b skaičius 9. Dabar pabandykime perskaityti šį apibrėžimą:
Didžiausias bendras skaičių daliklis 12 ir 9 yra didžiausias skaičius, kuriuo 12 ir 9 padalintas be liekanos.
Iš apibrėžimo aišku, kad kalbame apie bendrą skaičių 12 ir 9 daliklį, o šis daliklis yra didžiausias iš visų esamų daliklių. Reikia rasti šį didžiausią bendrą daliklį (gcd).
Norint rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, naudojami trys metodai. Pirmasis metodas yra gana daug laiko reikalaujantis, tačiau leidžia gerai suprasti temos esmę ir pajusti visą jos prasmę.
Antrasis ir trečiasis metodai yra gana paprasti ir leidžia greitai rasti GCD. Mes apsvarstysime visus tris būdus. O ką pritaikyti praktiškai – renkatės jūs.
Pirmasis būdas – surasti visus galimus dviejų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų. Panagrinėkime šį metodą šiame pavyzdyje: Raskite didžiausią skaičių 12 ir 9 bendrąjį daliklį.
Pirmiausia randame visus galimus skaičiaus 12 daliklius. Norėdami tai padaryti, 12 padalijame į visus daliklius diapazone nuo 1 iki 12. Jei daliklis leidžia padalyti 12 be liekanos, tada paryškinsime jį mėlyna spalva ir skliausteliuose pateikti atitinkamą paaiškinimą.
12: 1 = 12
(12 padalintas iš 1 be liekanos, todėl 1 yra 12 daliklis)
12: 2 = 6
(12 padalintas iš 2 be liekanos, todėl 2 yra 12 daliklis)
12: 3 = 4
(12 padalintas iš 3 be liekanos, todėl 3 yra 12 daliklis)
12: 4 = 3
(12 padalintas iš 4 be liekanos, todėl 4 yra 12 daliklis)
12:5 = 2 (2 liko)
(12 nėra padalintas iš 5 be liekanos, todėl 5 nėra 12 daliklis)
12: 6 = 2
(12 padalintas iš 6 be liekanos, todėl 6 yra 12 daliklis)
12: 7 = 1 (likę 5)
(12 nėra padalintas iš 7 be liekanos, todėl 7 nėra 12 daliklis)
12: 8 = 1 (liko 4)
(12 nėra padalintas iš 8 be liekanos, todėl 8 nėra 12 daliklis)
12:9 = 1 (likę 3)
(12 nėra padalintas iš 9 be liekanos, todėl 9 nėra 12 daliklis)
12: 10 = 1 (2 liko)
(12 nėra padalintas iš 10 be liekanos, todėl 10 nėra 12 daliklis)
12:11 = 1 (1 liko)
(12 nėra padalintas iš 11 be liekanos, todėl 11 nėra 12 daliklis)
12: 12 = 1
(12 padalintas iš 12 be liekanos, todėl 12 yra 12 daliklis)
Dabar suraskime skaičiaus 9 daliklius. Norėdami tai padaryti, patikrinkite visus daliklius nuo 1 iki 9
9: 1 = 9
(9 padalintas iš 1 be liekanos, todėl 1 yra 9 daliklis)
9: 2 = 4 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 2 be liekanos, todėl 2 nėra 9 daliklis)
9: 3 = 3
(9 padalintas iš 3 be liekanos, todėl 3 yra 9 daliklis)
9: 4 = 2 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 4 be liekanos, todėl 4 nėra 9 daliklis)
9:5 = 1 (likę 4)
(9 nėra padalintas iš 5 be liekanos, todėl 5 nėra 9 daliklis)
9: 6 = 1 (liko 3)
(9 nepadalijo iš 6 be liekanos, todėl 6 nėra 9 daliklis)
9:7 = 1 (2 liko)
(9 nėra padalintas iš 7 be liekanos, todėl 7 nėra 9 daliklis)
9:8 = 1 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 8 be liekanos, todėl 8 nėra 9 daliklis)
9: 9 = 1
(9 padalintas iš 9 be liekanos, todėl 9 yra 9 daliklis)
Dabar užrašykite abiejų skaičių daliklius. Mėlyna spalva pažymėti skaičiai yra dalikliai. Išrašykime juos:
Išrašę daliklius, galite iš karto nustatyti, kuris iš jų yra didžiausias ir labiausiai paplitęs.
Pagal apibrėžimą didžiausias bendras 12 ir 9 daliklis yra skaičius, iš kurio 12 ir 9 dalijasi tolygiai. Didžiausias ir bendras skaičių 12 ir 9 daliklis yra skaičius 3
Ir skaičius 12, ir skaičius 9 dalijasi iš 3 be liekanos:
Taigi gcd (12 ir 9) = 3
Antrasis būdas rasti GCD
Dabar apsvarstykite antrąjį būdą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. Šio metodo esmė – išskaidyti abu skaičius į pirminius veiksnius ir padauginti bendruosius.
1 pavyzdys. Raskite skaičių 24 ir 18 GCD
Pirmiausia abu skaičius suskaidykime į pirminius veiksnius:
Dabar padauginame jų bendrus veiksnius. Kad nesusipainiotumėte, galima pabrėžti bendrus veiksnius.
Mes žiūrime į skaičiaus 24 skaidymą. Jo pirmasis koeficientas yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu:
Vėlgi žiūrime į skaičiaus 24 skaidymą. Jo antrasis koeficientas taip pat yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad antrą kartą jo nėra. Tada nieko neryškiname.
Kitų dviejų skaičiaus 24 išplėtime trūksta ir skaičiaus 18 išplėtime.
Pereiname prie paskutinio skaičiaus 24 skaidymo veiksnio. Tai yra koeficientas 3. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu tris:
Taigi, bendri skaičių 24 ir 18 faktoriai yra koeficientai 2 ir 3. Norint gauti GCD, šiuos veiksnius reikia padauginti:
Taigi gcd (24 ir 18) = 6
Trečias būdas rasti GCD
Dabar apsvarstykite trečiąjį būdą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. Šio metodo esmė slypi tame, kad skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendro daliklio, yra išskaidomi į pirminius veiksnius. Tada iš pirmojo skaičiaus dekompozicijos išbraukiami veiksniai, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus skaidymą. Likę pirmojo išplėtimo skaičiai padauginami ir gaunamas GCD.
Pavyzdžiui, tokiu būdu suraskime skaičių 28 ir 16 GCD. Pirmiausia šiuos skaičius išskaidome į pirminius veiksnius:
Gavome du išplėtimus: ir
Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo numerio išplėtimas neapima septynių. Ištrinsime jį iš pirmojo išplėtimo:
Dabar padauginame likusius veiksnius ir gauname GCD:
Skaičius 4 yra didžiausias bendras skaičių 28 ir 16 daliklis. Abu šie skaičiai dalijasi iš 4 be liekanos:
2 pavyzdys Raskite skaičių 100 ir 40 GCD
Apskaičiuojant skaičių 100
Apskaičiuojant skaičių 40
Gavome du išplėtimus:
Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima vieno penketuko (yra tik vienas penketas). Ištriname jį iš pirmojo išskaidymo
Padauginkite likusius skaičius:
Gavome atsakymą 20. Taigi skaičius 20 yra didžiausias bendras skaičių 100 ir 40 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 20 be liekanos:
GCD (100 ir 40) = 20.
3 pavyzdys Raskite skaičių 72 ir 128 gcd
Apskaičiuojant skaičių 72
Apskaičiuojant skaičių 128
2×2×2×2×2×2×2
Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima dviejų trynukų (jų visai nėra). Mes ištriname juos iš pirmojo skilimo:
Gavome atsakymą 8. Taigi skaičius 8 yra didžiausias bendras skaičių 72 ir 128 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 8 be liekanos:
GCD (72 ir 128) = 8
Kelių skaičių GCD paieška
Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Tam skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendrojo daliklio, išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga.
Pavyzdžiui, suraskime skaičių 18, 24 ir 36 GCD
Skaičiaus 18 faktorius
Skaičiaus 24 faktorius
Faktoringas skaičius 36
Gavome tris išplėtimus:
Dabar pasirenkame ir pabrėžiame bendrus šių skaičių veiksnius. Į visus tris skaičius turi būti įtraukti bendri veiksniai:
Matome, kad bendri skaičių 18, 24 ir 36 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Padauginus šiuos veiksnius, gauname ieškomą GCD:
Gavome atsakymą 6. Taigi skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 18, 24 ir 36 daliklis. Šie trys skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:
GCD (18, 24 ir 36) = 6
2 pavyzdys Raskite gcd skaičiams 12, 24, 36 ir 42
Išskaidykime kiekvieną skaičių. Tada randame šių skaičių bendrųjų veiksnių sandaugą.
Skaičiaus 12 faktorius
Faktoringas skaičius 42
Gavome keturis išplėtimus:
Dabar pasirenkame ir pabrėžiame bendrus šių skaičių veiksnius. Į visus keturis skaičius turi būti įtraukti bendri veiksniai:
Matome, kad bendri skaičių 12, 24, 36 ir 42 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Padauginę šiuos veiksnius, gauname ieškomą GCD:
Gavome atsakymą 6. Taigi skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 12, 24, 36 ir 42 daliklis. Šie skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:
gcd(12, 24, 36 ir 42) = 6
Iš ankstesnės pamokos žinome, kad jei koks nors skaičius padalytas iš kito be liekanos, jis vadinamas šio skaičiaus kartotiniu.
Pasirodo, kartotinis gali būti bendras keliems skaičiams. O dabar mus domina dviejų skaičių kartotinis, nors jis turėtų būti kuo mažesnis.
Apibrėžimas. Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). a ir b- a ir b a ir numeris b.
Apibrėžimas apima du kintamuosius a ir b. Šiuos kintamuosius pakeiskime bet kuriais dviem skaičiais. Pavyzdžiui, vietoj kintamojo a vietoj kintamojo pakeiskite skaičių 9 ir b pakeiskime skaičių 12. Dabar pabandykime perskaityti apibrėžimą:
Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). 9 ir 12 - yra mažiausias skaičius, kuris yra kartotinis 9 ir 12 . Kitaip tariant, tai toks mažas skaičius, kuris dalijasi iš skaičiaus be liekanos 9 ir ant numerio 12 .
Iš apibrėžimo aišku, kad LCM yra mažiausias skaičius, kuris be likučio dalijasi iš 9 ir 12. Šį LCM reikia rasti.
Yra du būdai, kaip rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM). Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada iš šių kartotinių pasirinkti tokį skaičių, kuris bus bendras ir skaičiams, ir mažas. Taikykime šį metodą.
Visų pirma, suraskime pirmuosius skaičiaus 9 kartotinius. Norėdami rasti 9 kartotinius, turite paeiliui padauginti šį devynis iš skaičių nuo 1 iki 9. Gauti atsakymai bus skaičiaus 9 kartotiniai. Taigi , Pradėkime. Keletas bus paryškintas raudonai:
Dabar randame skaičiaus 12 kartotinius. Norėdami tai padaryti, 12 padauginame iš visų skaičių nuo 1 iki 12 paeiliui.
Apsvarstykite tris būdus, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį.
Faktoringo nustatymas
Pirmasis būdas yra rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, įtraukiant pateiktus skaičius į pirminius veiksnius.
Tarkime, kad turime rasti skaičių LCM: 99, 30 ir 28. Norėdami tai padaryti, kiekvieną iš šių skaičių išskaidome į pirminius veiksnius:
Kad norimas skaičius dalytųsi iš 99, 30 ir 28, būtina ir pakanka, kad į jį būtų įtraukti visi pirminiai šių daliklių koeficientai. Norėdami tai padaryti, turime paimti visus pirminius šių skaičių veiksnius iki didžiausios galios ir padauginti juos kartu:
2 2 3 2 5 7 11 = 13 860
Taigi LCM (99, 30, 28) = 13 860. Joks kitas skaičius, mažesnis nei 13 860, nėra tolygiai dalijamas iš 99, 30 arba 28.
Norėdami rasti mažiausią bendrąjį nurodytų skaičių kartotinį, turite juos išskaidyti į pirminius veiksnius, tada paimkite kiekvieną pirminį koeficientą su didžiausiu rodikliu, su kuriuo jis atsiranda, ir padauginkite šiuos veiksnius kartu.
Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių koeficientų, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai. Pavyzdžiui, trys skaičiai: 20, 49 ir 33 yra pirminiai. Taigi
LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.
Tą patį reikėtų daryti ir ieškant mažiausio bendro įvairių pirminių skaičių kartotinio. Pavyzdžiui, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.
Rasti atrankos būdu
Antrasis būdas – derinant surasti mažiausią bendrą kartotinį.
1 pavyzdys. Kai didžiausias iš pateiktų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų duotųjų skaičių, tai šių skaičių LCM yra lygus didesniajam iš jų. Pavyzdžiui, duoti keturi skaičiai: 60, 30, 10 ir 6. Kiekvienas iš jų dalijasi iš 60, todėl:
NOC(60; 30; 10; 6) = 60
Kitais atvejais, norint rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojama tokia procedūra:
- Iš pateiktų skaičių nustatykite didžiausią skaičių.
- Toliau randame skaičius, kurie yra didžiausio skaičiaus kartotiniai, padauginame jį iš natūraliųjų skaičių didėjančia tvarka ir patikriname, ar likę pateikti skaičiai dalijasi iš gautos sandaugos.
2 pavyzdys. Duoti trys skaičiai 24, 3 ir 18. Nustatykite didžiausią iš jų – tai skaičius 24. Tada raskite 24 kartotinius, patikrindami, ar kiekvienas iš jų dalijasi iš 18 ir iš 3:
24 1 = 24 dalijasi iš 3, bet nesidalija iš 18.
24 2 = 48 – dalijasi iš 3, bet nesidali iš 18.
24 3 \u003d 72 - dalijasi iš 3 ir 18.
Taigi LCM(24, 3, 18) = 72.
Ieškoti pagal nuoseklųjį radinį LCM
Trečias būdas yra rasti mažiausią bendrą kartotinį, paeiliui surandant LCM.
Dviejų pateiktų skaičių LCM yra lygi šių skaičių sandaugai, padalytai iš didžiausio bendro daliklio.
1 pavyzdys. Raskite dviejų nurodytų skaičių LCM: 12 ir 8. Nustatykite jų didžiausią bendrą daliklį: GCD (12, 8) = 4. Padauginkite šiuos skaičius:
Mes suskirstome produktą į jų GCD:
Taigi LCM(12, 8) = 24.
Norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, naudojama tokia procedūra:
- Pirmiausia randamas bet kurių dviejų pateiktų skaičių LCM.
- Tada rasto mažiausio bendro kartotinio ir trečiojo duoto skaičiaus LCM.
- Tada gauto mažiausio bendro kartotinio ir ketvirtojo skaičiaus LCM ir pan.
- Taigi LCM paieška tęsiasi tol, kol yra skaičių.
2 pavyzdys. Raskime trijų pateiktų skaičių LCM: 12, 8 ir 9. Skaičių 12 ir 8 LCM jau radome ankstesniame pavyzdyje (tai skaičius 24). Belieka rasti mažiausią bendrą 24 kartotinį ir trečiąjį duotąjį skaičių – 9. Nustatykite didžiausią jų bendrą daliklį: gcd (24, 9) = 3. LCM padauginkite iš 9:
Mes suskirstome produktą į jų GCD:
Taigi LCM(12, 8, 9) = 72.
Mažiausias bendras dviejų skaičių kartotinis yra tiesiogiai susijęs su didžiausiu bendruoju tų skaičių dalikliu. Tai ryšys tarp GCD ir NOC apibrėžiamas tokia teorema.
Teorema.
Mažiausias dviejų teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinis yra lygus skaičių a ir b sandaugai, padalytai iš didžiausio skaičiaus a ir b bendro daliklio, tai yra, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Įrodymas.
Leisti būti M yra tam tikras skaičių a ir b kartotinis. Tai yra, M dalijasi iš a, o pagal dalijimosi apibrėžimą yra koks nors sveikasis skaičius k, kad lygybė M=a·k yra teisinga. Bet M taip pat dalijasi iš b, tada a k dalijasi iš b.
Pažymėkite gcd(a, b) kaip d . Tada galime užrašyti lygybes a=a 1 ·d ir b=b 1 ·d, o a 1 =a:d ir b 1 =b:d bus pirminiai skaičiai. Todėl ankstesnėje pastraipoje gautą sąlygą, kad a k dalijasi iš b, galima performuluoti taip: a 1 d k dalijasi iš b 1 d , ir tai dėl dalumo savybių yra lygiavertė sąlygai, kad a 1 k dalijasi iš b vieneto.
Taip pat turime užrašyti dvi svarbias nagrinėjamos teoremos pasekmes.
Dviejų skaičių bendrieji kartotiniai yra tokie patys kaip jų mažiausio bendro kartotiniai.
Tai tiesa, nes bet kuris bendras M skaičių a ir b kartotinis apibrėžiamas lygybe M=LCM(a, b) t kai kuriai sveikojo skaičiaus reikšmei t .
Kopirminių teigiamų skaičių a ir b mažiausias bendras kartotinis yra lygus jų sandaugai.
Šio fakto priežastis yra gana akivaizdi. Kadangi a ir b yra pirminiai, tada gcd(a, b)=1 , todėl LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.
Mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis
Mažiausio trijų ar daugiau skaičių bendro kartotinio radimas gali būti sumažintas iki dviejų skaičių LCM iš eilės. Kaip tai daroma, parodyta sekančioje teoremoje: a 1 , a 2 , …, a k sutampa su bendraisiais skaičių m k-1 kartotiniais, o a k , todėl sutampa su m k kartotiniais. O kadangi mažiausias teigiamas skaičiaus m k kartotinis yra pats skaičius m k, tai skaičių a 1 , a 2 , …, a k mažiausias bendras kartotinis yra m k .
Bibliografija.
- Vilenkinas N.Ya. ir tt Matematika. 6 klasė: vadovėlis ugdymo įstaigoms.
- Vinogradovas I.M. Skaičių teorijos pagrindai.
- Mikhelovičius Sh.Kh. Skaičių teorija.
- Kulikovas L.Ya. ir kt.. Algebros ir skaičių teorijos uždavinių rinkinys: Pamoka fizikos ir matematikos studentams. pedagoginių institutų specialybės.
Internetinė skaičiuoklė leidžia greitai rasti didžiausią bendrąjį daliklį ir mažiausią bendrąjį dviejų ar bet kurio kito skaičių kartotinį.
Skaičiuoklė GCD ir NOC paieškai
Raskite GCD ir NOC
GCD ir NOC rasta: 6433
Kaip naudotis skaičiuokle
- Įvesties lauke įveskite skaičius
- Įvedus neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
- paspauskite mygtuką "Rasti GCD ir NOC"
Kaip įvesti skaičius
- Skaičiai įvedami atskirti tarpais, taškais arba kableliais
- Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl rasti ilgų skaičių gcd ir lcm nebus sunku
Kas yra NOD ir NOK?
Didžiausias bendras daliklis iš kelių skaičių yra didžiausias natūralusis sveikasis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis keli skaičiai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.
Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?
Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungus galima patikrinti dalijimąsi iš kai kurių iš jų ir jų derinių.
Kai kurie skaičių dalijimosi ženklai
1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 ženklas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.
2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 ženklas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 3. Taigi, norėdami nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, turite apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma pasirodė labai didelė, galite pakartoti tą patį procesą. vėl.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: skaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.
3. Skaičiaus dalijimosi iš 5 ženklas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.
4. Skaičiaus dalijimosi iš 9 ženklas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatykite, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: apskaičiuojame skaitmenų sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.
Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM
Kaip rasti dviejų skaičių GCD
Dauguma paprastu būdu apskaičiuojant didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, reikia rasti visus galimus tų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų.
Apsvarstykite šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:
- Suskirstome abu skaičius: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
- Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
- Apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 \u003d 4 - tai didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.
Kaip rasti dviejų skaičių LCM
Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų tokį skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. Antrasis – rasti šių skaičių GCD. Tiesiog pasvarstykime.
Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:
- Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28 36 = 1008
- Jau žinoma, kad gcd(28, 36) yra 4
- LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .
GCD ir LCM radimas keliems numeriams
Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Tam skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendrojo daliklio, išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Be to, norėdami rasti kelių skaičių GCD, galite naudoti šį ryšį: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).
Panašus ryšys taip pat taikomas mažiausiam bendrajam skaičių kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.
- Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
- Raskime bendrus veiksnius: 1, 2 ir 2 .
- Jų produktas duos gcd: 1 2 2 = 4
- Dabar suraskime LCM: tam pirmiausia randame LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
- Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12.
- LCM(12; 32; 36) = 96 36 / 12 = 288 .
Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio antraštėje LCM – mažiausias kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), ir ypatingą dėmesį skirkite pavyzdžių sprendimui. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, suskirstydami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.
Puslapio naršymas.
Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd
Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas ryšiu tarp LCM ir GCD. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.
Pavyzdys.
Raskite mažiausiąjį bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime formule išreikštą ryšį tarp LCM ir GCD LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.
Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .
Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70) = 126 70: GCM(126, 70) = 126 70:14=630 .
Atsakymas:
LCM(126, 70)=630 .
Pavyzdys.
Kas yra LCM(68, 34)?
Sprendimas.
Kaip 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(68, 34) = 68 34: LCM (68, 34) = 68 34:34=68 .
Atsakymas:
LCM(68, 34)=68 .
Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .
LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Kitas būdas rasti mažiausią bendrąjį kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.
Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Iš tiesų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kas aprašyta skyriuje apie gcd radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius ).
Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto pašaliname visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė lygi mažiausiam skaičių 75 ir 210 bendrajam kartotiniui, ty LCM(75; 210) = 2 3 5 5 7 = 1 050.
Pavyzdys.
Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.
Sprendimas.
Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:
Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .
Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas – tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Taigi, LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atsakymas:
LCM(441; 700) = 44 100 .
Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a skaidymo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..
Pavyzdžiui, imkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 skaidymo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 skaidymo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.
Atsakymas:
LCM(84, 648) = 4 536 .
Trijų ar daugiau skaičių LCM radimas
Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Teorema.
Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliame skaičiavime m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.
Pavyzdys.
Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Pirmiausia randame m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: LCM(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .
Dabar randame m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.
Liko rasti m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250)=10, iš kur gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10 = 94 500 . Tai yra, m 4 \u003d 94 500.
Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.
Atsakymas:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju reikia laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.
Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname šių skaičių išplėtimus į pirminius veiksnius: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 pirminiai koeficientai) ir 143=11 13 .
Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7 ) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.