அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது. அதிவேக சமன்பாடுகள்
இந்த பாடத்தில், மிகவும் சிக்கலான அதிவேக சமன்பாடுகளின் தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதிவேக செயல்பாடு தொடர்பான முக்கிய கோட்பாட்டு விதிகளை நினைவுபடுத்துவோம்.
1. அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் பண்புகள், எளிமையான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு நுட்பம்
அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறை மற்றும் முக்கிய பண்புகளை நினைவுபடுத்தவும். அனைத்து அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு பண்புகளின் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.
அதிவேக செயல்பாடு படிவத்தின் ஒரு செயல்பாடாகும், இங்கு அடிப்படையானது பட்டம் மற்றும் இங்கே x என்பது ஒரு சார்பற்ற மாறி, ஒரு வாதம்; y - சார்பு மாறி, செயல்பாடு.
அரிசி. 1. அதிவேக செயல்பாட்டின் வரைபடம்
இந்த வரைபடம் அதிகரித்துவரும் மற்றும் குறையும் அடுக்குமுறையைக் காட்டுகிறது, இது முறையே ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மற்றும் ஒன்றுக்குக் குறைவான, ஆனால் பூஜ்ஜியத்தை விட பெரிய அளவில் அதிவேக செயல்பாட்டை விளக்குகிறது.
இரண்டு வளைவுகளும் புள்ளியைக் கடந்து செல்கின்றன (0;1)
அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகள்:
களம்: ;
மதிப்புகளின் வரம்பு: ;
செயல்பாடு மோனோடோனிக், ஆக அதிகரிக்கிறது, குறைகிறது.
ஒரு மோனோடோனிக் செயல்பாடு அதன் ஒவ்வொரு மதிப்புகளையும் வாதத்தின் ஒற்றை மதிப்புடன் எடுக்கும்.
வாதமானது மைனஸிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கும் போது, செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்திலிருந்து, உள்ளடக்கிய, கூட்டல் முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கிறது. மாறாக, வாதம் மைனஸிலிருந்து பிளஸ் இன்ஃபினிட்டிக்கு அதிகரிக்கும் போது, செயல்பாடு முடிவிலியிலிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு குறைகிறது.
2. வழக்கமான அதிவேக சமன்பாடுகளின் தீர்வு
எளிமையான அதிவேக சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நினைவில் கொள்க. அவற்றின் தீர்வு அதிவேக செயல்பாட்டின் மோனோடோனிசிட்டியை அடிப்படையாகக் கொண்டது. கிட்டத்தட்ட அனைத்து சிக்கலான அதிவேக சமன்பாடுகளும் அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு குறைக்கப்படுகின்றன.
சம தளங்களைக் கொண்ட அடுக்குகளின் சமத்துவமானது அதிவேகச் செயல்பாட்டின் பண்பு, அதாவது அதன் மோனோடோனிசிட்டி காரணமாகும்.
தீர்வு முறை:
டிகிரிகளின் அடிப்படைகளை சமப்படுத்தவும்;
அடுக்குகளை சமன்.
மிகவும் சிக்கலான அதிவேக சமன்பாடுகளுக்குச் செல்வோம், அவை ஒவ்வொன்றையும் எளிமையானதாகக் குறைப்பதே எங்கள் குறிக்கோள்.
இடதுபுறத்தில் உள்ள வேரை அகற்றி, டிகிரிகளை அதே தளத்திற்குக் குறைப்போம்:
ஒரு சிக்கலான அதிவேக சமன்பாட்டை எளிமையான ஒன்றாகக் குறைக்க, மாறிகளின் மாற்றம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.
பட்டம் சொத்தை பயன்படுத்துவோம்:
நாங்கள் ஒரு மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். அப்படியானால் விடுங்கள். அத்தகைய மாற்றீடு மூலம், y கண்டிப்பாக எடுக்கிறது என்பது தெளிவாகிறது நேர்மறை மதிப்புகள். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டை இரண்டால் பெருக்கி, அனைத்து சொற்களையும் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றுகிறோம்:
முதல் ரூட் y மதிப்புகளின் இடைவெளியை பூர்த்தி செய்யவில்லை, அதை நிராகரிக்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:
டிகிரிகளை ஒரே குறிகாட்டிக்கு கொண்டு வருவோம்:
நாங்கள் ஒரு மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்:
பிறகு விடுங்கள் 
. இந்த மாற்றீட்டின் மூலம், y கண்டிப்பாக நேர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கிறது என்பது தெளிவாகிறது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
ஒத்த இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும், நாங்கள் பதிலை எழுதுகிறோம்:
வேர்கள் சரியாகக் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளதா என்பதை உறுதிப்படுத்த, நீங்கள் வியட்டா தேற்றத்தின்படி சரிபார்க்கலாம், அதாவது, வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிந்து, சமன்பாட்டின் தொடர்புடைய குணகங்களுடன் சரிபார்க்கவும்.
நாங்கள் பெறுகிறோம்:
3. இரண்டாம் பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியான அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நுட்பம்
பின்வரும் முக்கியமான வகை அதிவேக சமன்பாடுகளைப் படிப்போம்:
இந்த வகையின் சமன்பாடுகள் f மற்றும் g செயல்பாடுகளைப் பொறுத்து இரண்டாவது பட்டத்தின் ஒரே மாதிரியானவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதன் இடது பக்கத்தில் ஒரு சதுர டிரினோமியல் உள்ளது.
தீர்வு முறை:
இந்த சமன்பாட்டை ஒரு இருபடியாக தீர்க்க முடியும், ஆனால் அதை வேறு வழியில் செய்வது எளிது. இரண்டு வழக்குகளை கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்:
முதல் வழக்கில், நாம் பெறுகிறோம்
இரண்டாவது வழக்கில், மிக உயர்ந்த பட்டத்தால் வகுக்க எங்களுக்கு உரிமை உண்டு, மேலும் நாம் பெறுகிறோம்:
மாறிகளின் மாற்றத்தை நாம் அறிமுகப்படுத்த வேண்டும், நாம் பெறுகிறோம் இருபடி சமன்பாடுமரியாதையுடன்:
f மற்றும் g செயல்பாடுகள் தன்னிச்சையாக இருக்கலாம், ஆனால் இவை அதிவேக செயல்பாடுகளாக இருக்கும் போது நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம்.
4. ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்
அனைத்து விதிமுறைகளையும் சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு நகர்த்துவோம்:
அதிவேகச் சார்புகள் கண்டிப்பாக நேர்மறை மதிப்புகளைப் பெறுவதால், சமன்பாட்டை உடனடியாகப் வகுக்க எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.
நாங்கள் பெறுகிறோம்:
நாங்கள் ஒரு மாற்றீட்டை அறிமுகப்படுத்துகிறோம்: 
(அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளின்படி)
எங்களிடம் ஒரு இருபடி சமன்பாடு உள்ளது:
வியட்டா தேற்றத்தின் படி வேர்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்:
முதல் ரூட் y மதிப்புகளின் இடைவெளியை பூர்த்தி செய்யவில்லை, அதை நிராகரிக்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:
பட்டத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம் மற்றும் அனைத்து டிகிரிகளையும் எளிய அடிப்படைகளாகக் குறைப்போம்:
f மற்றும் g செயல்பாடுகளைக் கவனிப்பது எளிது:
அதிவேகச் சார்புகள் கண்டிப்பாக நேர்மறை மதிப்புகளைப் பெறுவதால், எப்பொழுது என்பதை கருத்தில் கொள்ளாமல், சமன்பாட்டை உடனடியாக வகுக்க எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.
அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள் மிகவும் சிக்கலான மற்றும் புரிந்துகொள்ள முடியாத ஒன்று என்று பலர் நினைக்கிறார்கள். அவற்றைத் தீர்க்கக் கற்றுக்கொள்வது கிட்டத்தட்ட ஒரு சிறந்த கலை, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவர்களால் மட்டுமே புரிந்து கொள்ள முடியும்.
முழு முட்டாள்தனம்! அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள் எளிதானவை. மேலும் அவை எப்பொழுதும் தீர்க்க எளிதானவை. சரி, கிட்டத்தட்ட எப்போதும். :)
இன்று நாம் இந்த தலைப்பை வெகு தொலைவில் பகுப்பாய்வு செய்வோம். பள்ளிக் கணிதத்தின் இந்தப் பகுதியைப் புரிந்துகொள்ளத் தொடங்குபவர்களுக்கு இந்தப் பாடம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். எளிமையான பணிகளில் தொடங்கி மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களுக்கு செல்லலாம். இன்று கடுமை இருக்காது, ஆனால் நீங்கள் படிக்கப் போவது அனைத்து வகையான கட்டுப்பாடு மற்றும் சுயாதீனமான வேலைகளில் உள்ள பெரும்பாலான ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க போதுமானதாக இருக்கும். மேலும் இதில் உங்கள் தேர்வும் கூட.
எப்போதும் போல, ஒரு வரையறையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். அதிவேக சமத்துவமின்மை என்பது ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டைக் கொண்ட எந்த சமத்துவமின்மையும் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அது எப்போதும் வடிவத்தின் சமத்துவமின்மைக்கு குறைக்கப்படலாம்
\[((a)^(x)) \gt b\]
$b$ இன் பங்கு சாதாரண எண்ணாக இருக்கலாம் அல்லது கடினமானதாக இருக்கலாம். உதாரணங்கள்? ஆமாம் தயவு செய்து:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ குவாட் ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2)) \lt ((4)^(\frac (4) )(எக்ஸ்))). \\\முடிவு(சீரமை)\]
பொருள் தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்: ஒரு அதிவேக செயல்பாடு $((a)^(x))$ உள்ளது, அது ஏதோ ஒன்றோடு ஒப்பிடப்பட்டு, $x$ஐக் கண்டுபிடிக்கும்படி கேட்கப்பட்டது. குறிப்பாக மருத்துவ வழக்குகள்$x$ என்ற மாறிக்கு பதிலாக, அவர்கள் சில செயல்பாடுகளை $f\left(x \right)$ வைத்து அதன் மூலம் சமத்துவமின்மையை சிறிது சிக்கலாக்கலாம். :)
நிச்சயமாக, சில சந்தர்ப்பங்களில், சமத்துவமின்மை மிகவும் கடுமையானதாக இருக்கலாம். உதாரணத்திற்கு:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
அல்லது இதுவும் கூட:
பொதுவாக, இத்தகைய ஏற்றத்தாழ்வுகளின் சிக்கலானது மிகவும் வேறுபட்டதாக இருக்கலாம், ஆனால் இறுதியில் அவை இன்னும் ஒரு எளிய கட்டுமானத்திற்கு வந்து $((a)^(x)) \gt b$. அத்தகைய வடிவமைப்பை நாங்கள் எப்படியாவது சமாளிப்போம் (குறிப்பாக மருத்துவ நிகழ்வுகளில், எதுவும் நினைவுக்கு வரும்போது, மடக்கைகள் எங்களுக்கு உதவும்). எனவே, அத்தகைய எளிய கட்டுமானங்களை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம்.
எளிமையான அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளின் தீர்வு
மிகவும் எளிமையான ஒன்றைப் பார்ப்போம். உதாரணமாக, இதோ:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
வெளிப்படையாக, வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்ணை இரண்டின் சக்தியாக மீண்டும் எழுதலாம்: $4=(2)^(2))$. எனவே, அசல் சமத்துவமின்மை மிகவும் வசதியான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதப்பட்டது:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
இப்போது $x \gt 2$ என்ற பதிலைப் பெற, டிகிரிகளின் அடிப்பகுதியில் நின்று, டியூஸ்களை "கிராஸ் அவுட்" செய்ய கைகள் அரிக்கிறது. ஆனால் எதையும் கடந்து செல்வதற்கு முன், இரண்டின் சக்திகளை நினைவில் கொள்வோம்:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அடுக்கு பெரிய எண், பெரிய வெளியீடு எண். "நன்றி, கேப்!" மாணவர்களில் ஒருவர் கூச்சலிடுவார். வித்தியாசமாக நடக்கிறதா? துரதிருஷ்டவசமாக, அது நடக்கும். உதாரணத்திற்கு:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) வலது))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\இடது(\frac(1)(2) \வலது))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
இங்கே கூட, எல்லாம் தர்க்கரீதியானது: என்ன அதிக பட்டம், அதிக முறை எண் 0.5 தன்னால் பெருக்கப்படும் (அதாவது பாதியாக வகுக்கப்படும்). இதன் விளைவாக, எண்களின் வரிசை குறைந்து வருகிறது, மேலும் முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிசைகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடு அடித்தளத்தில் மட்டுமே உள்ளது:
- பட்டத்தின் அடிப்பகுதி $a \gt 1$ எனில், அடுக்கு $n$ வளரும்போது, $((a)^(n))$ எண்ணும் வளரும்;
- மாறாக, $0 \lt a \lt 1$ எனில், அடுக்கு $n$ வளரும்போது, $((a)^(n))$ எண் குறையும்.
இந்த உண்மைகளைத் தொகுத்து, அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளின் முழு தீர்வையும் அடிப்படையாகக் கொண்ட மிக முக்கியமான அறிக்கையைப் பெறுகிறோம்:
$a \gt 1$ எனில், சமத்துவமின்மை $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ சமத்துவமின்மை $x \gt n$. $0 \lt a \lt 1$ எனில், சமத்துவமின்மை $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ சமத்துவமின்மை $x \lt n$.
வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அடிப்படை ஒன்றுக்கு மேற்பட்டதாக இருந்தால், நீங்கள் அதை வெறுமனே அகற்றலாம் - சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது. அடித்தளம் ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால், அதையும் அகற்றலாம், ஆனால் சமத்துவமின்மையின் அடையாளமும் மாற்றப்பட வேண்டும்.
$a=1$ மற்றும் $a\le 0$ விருப்பங்களை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். ஏனெனில் இந்த விஷயத்தில் நிச்சயமற்ற தன்மை உள்ளது. $(1)^(x)) \gt 3$ படிவத்தின் சமத்துவமின்மையை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்று வைத்துக்கொள்வோம்? எந்தவொரு சக்திக்கும் ஒன்று மீண்டும் ஒன்றைக் கொடுக்கும் - நாம் ஒருபோதும் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றைப் பெற மாட்டோம். அந்த. தீர்வுகள் இல்லை.
எதிர்மறை அடிப்படைகளுடன், இது இன்னும் சுவாரஸ்யமானது. எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:
\[((\இடது(-2 \வலது))^(x)) \gt 4\]
முதல் பார்வையில், எல்லாம் எளிது:
சரியா? ஆனால் இல்லை! தீர்வு தவறு என்பதை உறுதிப்படுத்த $x$ க்கு பதிலாக ஓரிரு இரட்டை மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்களை மாற்றினால் போதும். பாருங்கள்:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அறிகுறிகள் மாறி மாறி வருகின்றன. ஆனால் இன்னும் பகுதியளவு டிகிரி மற்றும் பிற தகரம் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, $(\இடது(-2 \வலது))^(\sqrt(7)))$ (இரண்டைக் கழித்தல் ஏழு என்பதன் மூலத்திற்கு உயர்த்தப்பட்டது) என்பதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது? வழி இல்லை!
எனவே, திட்டவட்டமாக, அனைத்து அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளிலும் (மற்றும் சமன்பாடுகளிலும்) $1\ne ஒரு \gt 0$ என்று கருதுகிறோம். பின்னர் எல்லாம் மிகவும் எளிமையாக தீர்க்கப்படுகிறது:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\முடிவு(சீரமை) \வலது.\]
பொதுவாக, மீண்டும் ஒருமுறை முக்கிய விதியை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: அதிவேக சமன்பாட்டில் அடிப்படை ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், நீங்கள் அதை அகற்றலாம்; மற்றும் அடிப்படை ஒன்றுக்கு குறைவாக இருந்தால், அதை அகற்றலாம், ஆனால் இது சமத்துவமின்மையை மாற்றும்.
தீர்வு உதாரணங்கள்
எனவே, சில எளிய அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் கவனியுங்கள்:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25). \\\முடிவு(சீரமை)\]
எல்லா நிகழ்வுகளிலும் முதன்மையான பணி ஒன்றுதான்: $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ என்ற எளிய வடிவத்திற்கு ஏற்றத்தாழ்வுகளைக் குறைப்பது. இதைத்தான் இப்போது ஒவ்வொரு சமத்துவமின்மையிலும் செய்வோம், அதே நேரத்தில் சக்திகளின் பண்புகள் மற்றும் அதிவேக செயல்பாட்டை மீண்டும் செய்வோம். எனவே செல்லலாம்!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
இங்கே என்ன செய்ய முடியும்? சரி, இடதுபுறத்தில் ஏற்கனவே ஒரு ஆர்ப்பாட்ட வெளிப்பாடு உள்ளது - எதையும் மாற்ற வேண்டியதில்லை. ஆனால் வலதுபுறத்தில் ஒருவித தந்திரம் உள்ளது: ஒரு பின்னம், மற்றும் வகுப்பில் ஒரு வேர் கூட!
இருப்பினும், பின்னங்கள் மற்றும் சக்திகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\முடிவு(சீரமை)\]
இதற்கு என்ன பொருள்? முதலில், பின்னத்தை எதிர்மறை அடுக்குகளாக மாற்றுவதன் மூலம் நாம் எளிதாக அகற்றலாம். இரண்டாவதாக, வகுத்தல் வேர் என்பதால், அதை ஒரு பட்டமாக மாற்றுவது நன்றாக இருக்கும் - இந்த முறை ஒரு பகுதியளவு அடுக்குடன்.
இந்தச் செயல்களை சமத்துவமின்மையின் வலது பக்கத்தில் தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்துவோம், என்ன நடக்கிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left((2)^(\frac(\frac(\sqrt(2) \right)) 1)(3))) \வலது))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
ஒரு பட்டத்தை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தும்போது, இந்த டிகிரிகளின் அடுக்குகள் சேர்க்கப்படுகின்றன என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். பொதுவாக, அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளுடன் பணிபுரியும் போது, அதிகாரங்களுடன் பணிபுரிய குறைந்தபட்சம் எளிமையான விதிகளை அறிந்து கொள்வது முற்றிலும் அவசியம்:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left((((a))^(x)) வலது))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
உண்மையில், கடைசி விதிநாங்கள் விண்ணப்பித்துள்ளோம். எனவே, எங்கள் அசல் சமத்துவமின்மை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
இப்போது நாம் அடிவாரத்தில் உள்ள டியூஸை அகற்றுவோம். 2 > 1 முதல், சமத்துவமின்மை குறி அப்படியே உள்ளது:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
அதுதான் முழு தீர்வு! முக்கிய சிரமம் அதிவேக செயல்பாட்டில் இல்லை, ஆனால் அசல் வெளிப்பாட்டின் திறமையான மாற்றத்தில் உள்ளது: நீங்கள் கவனமாகவும் விரைவாகவும் அதன் எளிய வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும்.
இரண்டாவது சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
அதனால்-அப்படி. இங்கே நாம் தசம பின்னங்களுக்காக காத்திருக்கிறோம். நான் பல முறை கூறியது போல், சக்திகளுடன் கூடிய எந்த வெளிப்பாடுகளிலும், நீங்கள் தசம பின்னங்களை அகற்ற வேண்டும் - பெரும்பாலும் விரைவான மற்றும் எளிதான தீர்வைக் காண்பதற்கான ஒரே வழி இதுதான். நாங்கள் அகற்றுவது இங்கே:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=(\left(\frac(1)(10) \ வலது))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\இடது(\frac(1)(10) \வலது))^(2)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
எங்களுக்கு முன் மீண்டும் எளிமையான சமத்துவமின்மை உள்ளது, மேலும் அடிப்படை 1/10 உடன் கூட, அதாவது. ஒன்றுக்கும் குறைவானது. சரி, நாங்கள் அடிப்படைகளை அகற்றி, ஒரே நேரத்தில் "குறைவான" இலிருந்து "பெரிய" அடையாளத்தை மாற்றுகிறோம், மேலும் நாம் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\முடிவு(சீரமை)\]
எங்களுக்கு இறுதி விடை கிடைத்தது: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. பதில் சரியாக அமைக்கப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், எந்த வகையிலும் $x \lt -1$ படிவத்தின் கட்டுமானம் இல்லை. ஏனெனில் முறையாக அத்தகைய கட்டுமானமானது ஒரு தொகுப்பு அல்ல, மாறாக $x$ மாறியைப் பொறுத்தமட்டில் சமத்துவமின்மை. ஆம், இது மிகவும் எளிமையானது, ஆனால் அது பதில் இல்லை!
முக்கியமான குறிப்பு. இந்த சமத்துவமின்மையை மற்றொரு வழியில் தீர்க்க முடியும் - இரண்டு பகுதிகளையும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அடித்தளத்துடன் சக்தியாகக் குறைப்பதன் மூலம். பாருங்கள்:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
அத்தகைய மாற்றத்திற்குப் பிறகு, நாம் மீண்டும் ஒரு அதிவேக சமத்துவமின்மையைப் பெறுகிறோம், ஆனால் 10 > 1 அடிப்படையுடன். மேலும் இதன் பொருள் நீங்கள் பத்தை வெறுமனே கடக்க முடியும் - சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\முடிவு(சீரமை)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பதில் அதே தான். அதே நேரத்தில், அடையாளத்தை மாற்ற வேண்டிய அவசியத்திலிருந்து நாங்கள் நம்மைக் காப்பாற்றிக் கொண்டோம் மற்றும் பொதுவாக சில விதிகளை நினைவில் கொள்கிறோம். :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
இருப்பினும், அது உங்களை பயமுறுத்த வேண்டாம். குறிகாட்டிகளில் என்ன இருந்தாலும், சமத்துவமின்மையைத் தீர்ப்பதற்கான தொழில்நுட்பம் அப்படியே உள்ளது. எனவே, 16 = 2 4 என்பதை முதலில் கவனிக்கிறோம். இந்த உண்மையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அசல் சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுவோம்:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & (((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\ end(align)\]
ஹூரே! எங்களுக்கு வழக்கமான சதுர சமத்துவமின்மை கிடைத்தது! அடையாளம் எங்கும் மாறவில்லை, ஏனெனில் அடிப்படை ஒரு டியூஸ் - ஒன்றை விட பெரிய எண்.
எண் வரிசையில் பூஜ்ஜியங்களைச் செயல்படுத்துகிறது
$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளை நாங்கள் வரிசைப்படுத்துகிறோம் - வெளிப்படையாக, அதன் வரைபடம் கிளைகளுடன் கூடிய பரவளையமாக இருக்கும், எனவே “pluses இருக்கும் ” பக்கங்களிலும். செயல்பாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும் பகுதியில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், அதாவது. $x\in \left(2;5 \right)$ என்பது அசல் பிரச்சனைக்கான பதில்.
இறுதியாக, மற்றொரு சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\]
மீண்டும் நாம் அடிவாரத்தில் ஒரு தசம பின்னம் கொண்ட ஒரு அதிவேக செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம். இந்த பின்னத்தை பொதுவான பின்னமாக மாற்றுவோம்:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2)))=((\இடது((5)^(-1)) \வலது))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
இந்த வழக்கில், நாங்கள் முன்பு கூறிய கருத்தைப் பயன்படுத்திக் கொண்டோம் - எங்கள் மேலும் முடிவை எளிதாக்கும் வகையில் அடிப்படையை எண் 5\u003e 1 ஆகக் குறைத்தோம். வலது பக்கத்திலும் அதையே செய்வோம்:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=(\left(((5)^(-1)) \ வலது))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
இரண்டு மாற்றங்களையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு அசல் சமத்துவமின்மையை மீண்டும் எழுதுவோம்:
\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
இரண்டு பக்கங்களிலும் உள்ள தளங்கள் ஒரே மாதிரியானவை மற்றும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்டவை. வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் வேறு எந்த சொற்களும் இல்லை, எனவே நாம் ஐந்துகளை "குறுக்கு" மற்றும் மிகவும் எளிமையான வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & (((x)^(2))\le 1. \\\ end(align)\]
இங்குதான் நீங்கள் கவனமாக இருக்க வேண்டும். பல மாணவர்கள் வெறுமனே பிரித்தெடுக்க விரும்புகிறார்கள் சதுர வேர்சமத்துவமின்மையின் இரு பகுதிகளும் மற்றும் $x\le 1\Rightarrow x\in \\இடது(-\infty ;-1 \right]$ போன்றவற்றை எழுதவும். நீங்கள் இதைச் செய்யவே கூடாது, ஏனெனில் துல்லியமான சதுரத்தின் மூலமானது தொகுதி, மற்றும் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும் அசல் மாறி:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\இடது| x\வலது|\]
இருப்பினும், தொகுதிகளுடன் பணிபுரிவது மிகவும் இனிமையான அனுபவம் அல்ல, இல்லையா? அதனால் நாங்கள் வேலை செய்ய மாட்டோம். அதற்கு பதிலாக, எல்லா விதிமுறைகளையும் இடதுபுறமாக நகர்த்தி, இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்தி வழக்கமான சமத்துவமின்மையைத் தீர்க்கிறோம்:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\ end(align)$
மீண்டும், எண் வரிசையில் பெறப்பட்ட புள்ளிகளைக் குறிக்கிறோம் மற்றும் அறிகுறிகளைப் பார்க்கிறோம்:
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: புள்ளிகள் நிழலாடப்பட்டுள்ளன. கடுமையான சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்த்து வருவதால், வரைபடத்தில் உள்ள அனைத்து புள்ளிகளும் நிழலாடப்பட்டுள்ளன. எனவே, பதில்: $x\in \left[ -1;1 \right]$ என்பது ஒரு இடைவெளி அல்ல, ஒரு பிரிவு.
பொதுவாக, அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை என்பதை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன். இன்று நாம் செய்த அனைத்து மாற்றங்களின் அர்த்தமும் ஒரு எளிய வழிமுறைக்கு கீழே கொதித்தது:
- அனைத்து டிகிரிகளையும் குறைக்கும் அடிப்படையைக் கண்டறியவும்;
- $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ வடிவத்தின் சமத்துவமின்மையை பெற, மாற்றங்களை கவனமாகச் செய்யவும். நிச்சயமாக, $x$ மற்றும் $n$ மாறிகளுக்குப் பதிலாக, மிகவும் சிக்கலான செயல்பாடுகள் இருக்கலாம், ஆனால் இது அர்த்தத்தை மாற்றாது;
- டிகிரிகளின் தளங்களைக் கடக்கவும். இந்த வழக்கில், அடிப்படை $a \lt 1$ எனில் சமத்துவமின்மை குறி மாறலாம்.
உண்மையில், இது போன்ற அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளையும் தீர்ப்பதற்கான ஒரு உலகளாவிய வழிமுறையாகும். இந்த தலைப்பில் உங்களுக்கு சொல்லப்படும் மற்ற அனைத்தும் மாற்றத்தை எளிதாக்குவதற்கும் விரைவுபடுத்துவதற்கும் குறிப்பிட்ட தந்திரங்கள் மற்றும் தந்திரங்கள் மட்டுமே. அந்த தந்திரங்களில் ஒன்று இங்கே நாம் இப்போது பேசுவோம். :)
பகுத்தறிவு முறை
மற்றொரு சமத்துவமின்மையைக் கவனியுங்கள்:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^((((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
சரி, அவற்றில் என்ன சிறப்பு? அவை எடை குறைந்ததாகவும் இருக்கும். இருந்தாலும், நிறுத்து! பை ஒரு சக்தியாக உயர்த்தப்பட்டதா? என்ன வகையான முட்டாள்தனம்?
மேலும் $2\sqrt(3)-3$ என்ற எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது எப்படி? அல்லது $3-2\sqrt(2)$? பிரச்சனைகளை தொகுத்தவர்கள் வேலையில் அமர்வதற்கு முன் அதிகமாக "ஹாவ்தோர்ன்" குடித்துள்ளனர். :)
உண்மையில், இந்த பணிகளில் எந்த தவறும் இல்லை. நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்: அதிவேக சார்பு என்பது $((a)^(x))$ வடிவத்தின் வெளிப்பாடாகும், இதில் $a$ என்பது ஒரு நேர்மறை எண்ணாகும், ஒன்றைத் தவிர. எண் π நேர்மறை - இது எங்களுக்கு முன்பே தெரியும். $2\sqrt(3)-3$ மற்றும் $3-2\sqrt(2)$ ஆகிய எண்களும் நேர்மறையாக உள்ளன - அவற்றை பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் இதைப் பார்ப்பது எளிது.
இந்த "திகிலூட்டும்" ஏற்றத்தாழ்வுகள் அனைத்தும் மேலே விவாதிக்கப்பட்ட எளியவற்றிலிருந்து வேறுபட்டவை அல்ல என்று மாறிவிடும்? அவர்கள் அதை அதே வழியில் செய்கிறார்களா? ஆம், முற்றிலும் சரி. இருப்பினும், அவர்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி, சுயாதீனமான வேலை மற்றும் தேர்வுகளில் நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்தும் ஒரு தந்திரத்தை நான் கருத்தில் கொள்ள விரும்புகிறேன். பகுத்தறிவு முறையைப் பற்றி பேசுவோம். எனவே கவனம்:
$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ வடிவத்தின் எந்த அதிவேக சமத்துவமின்மையும் சமத்துவமின்மை $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ வலது) \gt 0 $.
அதுதான் முழு முறை.:) அடுத்த விளையாட்டு ஏதாவது இருக்கும் என்று நினைத்தீர்களா? இப்படி எதுவும் இல்லை! ஆனால் ஒரு வரியில் எழுதப்பட்ட இந்த எளிய உண்மை, எங்கள் வேலையை பெரிதும் எளிதாக்கும். பாருங்கள்:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \கீழ் \\ \இடது(x+7-\left(((x)^(2))) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\ end(matrix)\]
இங்கே மேலும் அதிவேக செயல்பாடுகள் இல்லை! அடையாளம் மாறுகிறதா இல்லையா என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டியதில்லை. ஆனால் இருக்கிறது புதிய பிரச்சனை: ஃபக்கிங் பெருக்கியை என்ன செய்வது \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? பையின் சரியான மதிப்பு என்னவென்று எங்களுக்குத் தெரியாது. இருப்பினும், கேப்டன் வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடுகிறார்:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\தோராயமாக 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
பொதுவாக, π இன் சரியான மதிப்பு நம்மை அதிகம் தொந்தரவு செய்யாது - எந்த விஷயத்திலும் $\text( )\!\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 என்பதைப் புரிந்துகொள்வது மட்டுமே முக்கியம். $, t.e. ஒரு நேர்மறை மாறிலி, மற்றும் சமத்துவமின்மையின் இரு பக்கங்களையும் அதன் மூலம் நாம் பிரிக்கலாம்:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & (((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு குறிப்பிட்ட கட்டத்தில், மைனஸ் ஒன்றால் வகுக்க வேண்டியிருந்தது, சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறியது. இறுதியில், நான் வியட்டா தேற்றத்தின்படி சதுர முக்கோணத்தை விரிவுபடுத்தினேன் - வேர்கள் $((x)_(1))=5$ மற்றும் $((x)_(2))=-க்கு சமம் என்பது வெளிப்படையானது. 1$. பின்னர் எல்லாம் இடைவெளிகளின் கிளாசிக்கல் முறையால் தீர்க்கப்படுகிறது:
இடைவெளிகளின் முறை மூலம் சமத்துவமின்மையை நாங்கள் தீர்க்கிறோம் அசல் சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருப்பதால் அனைத்து புள்ளிகளும் துளையிடப்படுகின்றன. எதிர்மறை மதிப்புகள் உள்ள பகுதியில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம், எனவே பதில் $x\in \இடது(-1;5 \right)$. அதுதான் தீர்வு. :)
அடுத்த பணிக்குச் செல்வோம்:
\[(\இடது(2\sqrt(3)-3 \வலது))^((((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
இங்கே எல்லாம் எளிது, ஏனென்றால் வலதுபுறத்தில் ஒரு அலகு உள்ளது. ஒரு யூனிட் என்பது பூஜ்ஜியத்தின் சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட எந்த எண்ணையும் நாம் நினைவில் கொள்கிறோம். இந்த எண் ஒரு பகுத்தறிவற்ற வெளிப்பாடாக இருந்தாலும், இடதுபுறத்தில் அடிவாரத்தில் நிற்கிறது:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\வலது))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^((((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right))^(0)); \\\முடிவு(சீரமை)\]
எனவே பகுத்தறிவு செய்வோம்:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
இது அறிகுறிகளை சமாளிக்க மட்டுமே உள்ளது. பெருக்கி $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ மாறி $x$ ஐக் கொண்டிருக்கவில்லை - இது ஒரு மாறிலி மட்டுமே, அதன் அடையாளத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதைச் செய்ய, பின்வருவனவற்றைக் கவனியுங்கள்:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\ end(matrix)\]
இரண்டாவது காரணி ஒரு நிலையானது அல்ல, ஆனால் எதிர்மறை மாறிலி என்று மாறிவிடும்! அதை வகுத்தால், அசல் சமத்துவமின்மையின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும்:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & (((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
இப்போது எல்லாம் மிகவும் தெளிவாகிறது. வேர்கள் சதுர முக்கோணம்வலதுபுறம்: $((x)_(1))=0$ மற்றும் $((x)_(2))=2$. நாம் அவற்றை எண் வரிசையில் குறிக்கிறோம் மற்றும் செயல்பாட்டின் அறிகுறிகளைப் பார்க்கிறோம் $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
பக்கவாட்டு இடைவெளிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக இருக்கும்போது வழக்கு கூட்டல் குறியுடன் குறிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். பதிலை எழுதுவது மட்டுமே உள்ளது:
அடுத்த உதாரணத்திற்கு செல்லலாம்:
\[(\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^((((x)^(2))+2x)) \gt ((\இடது(\frac(1)(9)) \ வலது))^(16-x))\]
சரி, இங்கே எல்லாம் மிகவும் தெளிவாக உள்ளது: அடிப்படைகள் அதே எண்ணின் சக்திகள். எனவே, எல்லாவற்றையும் சுருக்கமாக எழுதுகிறேன்:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \கீழ் \\ ((\இடது((3)^(-1)) \வலது))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\இடது((3)^(-2)) \வலது))^(16-x)) \\\ end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ இடது(16-x\வலது))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில், நாம் எதிர்மறை எண்ணால் பெருக்க வேண்டியிருந்தது, எனவே சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறியது. இறுதியில், நான் மீண்டும் ஒரு சதுர முக்கோணத்தை காரணியாக்க வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினேன். இதன் விளைவாக, பதில் பின்வருவனவாக இருக்கும்: $x\in \left(-8;4 \right)$ - விரும்புவோர் எண் கோடு வரைந்து, புள்ளிகளைக் குறிப்பதன் மூலமும், அடையாளங்களை எண்ணுவதன் மூலமும் இதைச் சரிபார்க்கலாம். இதற்கிடையில், எங்கள் "தொகுப்பில்" இருந்து கடைசி சமத்துவமின்மைக்கு செல்வோம்:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அடிப்படை மீண்டும் ஒரு பகுத்தறிவற்ற எண், மற்றும் அலகு மீண்டும் வலதுபுறத்தில் உள்ளது. எனவே, எங்கள் அதிவேக சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\[(\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) வலது))^(0))\]
பகுத்தறிவு செய்வோம்:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
இருப்பினும், $1-\sqrt(2) \lt 0$, $\sqrt(2)\தோராயமாக 1.4... \gt 1$ என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது. எனவே, இரண்டாவது காரணி மீண்டும் ஒரு எதிர்மறை மாறிலி ஆகும், இதன் மூலம் சமத்துவமின்மையின் இரு பகுதிகளையும் பிரிக்கலாம்:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & (((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\ end(align)\]
மற்றொரு தளத்திற்கு மாற்றவும்
அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் ஒரு தனி சிக்கல் "சரியான" அடிப்படைக்கான தேடலாகும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, பணியின் முதல் பார்வையில், எதை ஒரு அடிப்படையாக எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும், இந்த அடிப்படையில் என்ன செய்ய வேண்டும் என்பது எப்போதும் தெளிவாகத் தெரியவில்லை.
ஆனால் கவலைப்பட வேண்டாம்: இங்கே மந்திரம் மற்றும் "ரகசிய" தொழில்நுட்பங்கள் இல்லை. கணிதத்தில், அல்காரிதமைஸ் செய்ய முடியாத எந்தத் திறமையையும் பயிற்சியின் மூலம் எளிதாக வளர்க்க முடியும். ஆனால் இதற்கு நீங்கள் பிரச்சினைகளை தீர்க்க வேண்டும் வெவ்வேறு நிலைகள்சிரமங்கள். உதாரணமாக, இவை:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ முடிவு(சீரமைப்பு)\]
சிக்கலானதா? பயங்கரமா? ஆம், நிலக்கீல் மீது கோழியை விட இது எளிதானது! நாம் முயற்சிப்போம். முதல் சமத்துவமின்மை:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
சரி, இங்கே எல்லாம் தெளிவாக இருப்பதாக நான் நினைக்கிறேன்:
அசல் சமத்துவமின்மையை நாங்கள் மீண்டும் எழுதுகிறோம், எல்லாவற்றையும் அடிப்படை "இரண்டு" ஆகக் குறைக்கிறோம்:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \வலது)\cdot \இடது(2-1 \வலது) \lt 0\]
ஆம், ஆம், நீங்கள் சரியாகப் புரிந்துகொண்டீர்கள்: மேலே விவரிக்கப்பட்ட பகுத்தறிவு முறையைப் பயன்படுத்தினேன். இப்போது நாம் கவனமாக வேலை செய்ய வேண்டும்: நாம் ஒரு பகுதியளவு-பகுத்தறிவு சமத்துவமின்மையைப் பெற்றுள்ளோம் (இது வகுப்பில் மாறி உள்ளது), எனவே எதையாவது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்படுத்துவதற்கு முன், நீங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரு பொதுவான வகுப்பாகக் குறைத்து நிலையான காரணியிலிருந்து விடுபட வேண்டும். .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
இப்போது நாம் நிலையான இடைவெளி முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். எண் பூஜ்ஜியங்கள்: $x=\pm 4$. $x=0$ ஆக இருக்கும் போது மட்டுமே வகுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு செல்லும். மொத்தத்தில், எண் வரிசையில் மூன்று புள்ளிகள் குறிக்கப்பட வேண்டும் (அனைத்து புள்ளிகளும் குத்தப்படுகின்றன, ஏனெனில் சமத்துவமின்மை அடையாளம் கண்டிப்பாக உள்ளது). நாங்கள் பெறுகிறோம்:
மிகவும் சிக்கலான வழக்கு: மூன்று வேர்கள் நீங்கள் யூகித்தபடி, குஞ்சு பொரிப்பது இடதுபுறத்தில் உள்ள வெளிப்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்கும் இடைவெளிகளைக் குறிக்கிறது. எனவே, இரண்டு இடைவெளிகள் ஒரே நேரத்தில் இறுதிப் பதிலுக்குச் செல்லும்:
அசல் சமத்துவமின்மை கடுமையாக இருந்ததால், இடைவெளிகளின் முனைகள் பதிலில் சேர்க்கப்படவில்லை. இந்த பதிலை மேலும் சரிபார்க்க தேவையில்லை. இது சம்பந்தமாக, அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள் மடக்கைகளை விட மிகவும் எளிமையானவை: டிபிவி இல்லை, கட்டுப்பாடுகள் இல்லை, முதலியன.
அடுத்த பணிக்குச் செல்வோம்:
\[((\இடது(\frac(1)(3) \வலது))^(\frac(3)(x))\ge ((3)^(2+x))\]
இங்கும் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை, ஏனெனில் $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ என்று எங்களுக்கு முன்பே தெரியும், எனவே முழு சமத்துவமின்மையையும் இப்படி மாற்றி எழுதலாம்:
\[\தொடங்கு(சீரமை) & ((\இடது((3)^(-1)) \வலது))^(\frac(3)(x))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\இடது(-2\வலது)\வலது. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: மூன்றாவது வரியில், அற்ப விஷயங்களில் நேரத்தை வீணாக்க வேண்டாம் என்று முடிவு செய்தேன், உடனடியாக எல்லாவற்றையும் (−2) மூலம் வகுக்கிறேன். மினுல் முதல் அடைப்புக்குறிக்குள் சென்றது (இப்போது எல்லா இடங்களிலும் பிளஸ்கள் உள்ளன), மேலும் டியூஸ் ஒரு நிலையான பெருக்கியுடன் குறைக்கப்பட்டது. சுயாதீனமான மற்றும் உண்மையான கணக்கீடுகளை செய்யும் போது நீங்கள் செய்ய வேண்டியது இதுதான் கட்டுப்பாட்டு வேலை- ஒவ்வொரு செயலையும் மாற்றத்தையும் நேரடியாக சித்தரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.
அடுத்து, இடைவெளிகளின் பழக்கமான முறை செயல்பாட்டுக்கு வருகிறது. எண் பூஜ்ஜியங்கள்: ஆனால் எதுவும் இல்லை. ஏனெனில் பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருக்கும். இதையொட்டி, கடந்த முறை போலவே $x=0$ ஆக இருக்கும் போது மட்டும் வகுப்பு பூஜ்ஜியமாக அமைக்கப்படும். சரி, பின்னம் நேர்மறை மதிப்புகளை $x=0$ க்கு வலதுபுறமாகவும், எதிர்மறை மதிப்புகளை இடதுபுறமாகவும் எடுக்கும் என்பது தெளிவாகிறது. எதிர்மறை மதிப்புகளில் மட்டுமே நாங்கள் ஆர்வமாக இருப்பதால், இறுதி பதில் $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
மற்றும் அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளில் தசம பின்னங்களுடன் என்ன செய்ய வேண்டும்? அது சரி: அவற்றை சாதாரணமாக மாற்றுவதன் மூலம் அவற்றை அகற்றவும். இங்கே நாம் மொழிபெயர்க்கிறோம்:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=(\left(\ frac(25)(4) \வலது))^(x)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
சரி, அதிவேக செயல்பாடுகளின் அடிப்படைகளில் நாம் என்ன பெற்றோம்? எங்களுக்கு இரண்டு பரஸ்பர பரஸ்பர எண்கள் கிடைத்துள்ளன:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4)) \ வலது))^(x))=(\இடது((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(-1)) \right))^(x))=((\\ இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(-x))\]
எனவே, அசல் சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\தொடங்கு(சீரமை) & ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(1+2x))\cdot ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(x+1))\ge ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(0) ) \\\முடிவு(சீரமை)\]
நிச்சயமாக, அதே அடித்தளத்துடன் சக்திகளை பெருக்கும்போது, அவற்றின் குறிகாட்டிகள் சேர்க்கப்படுகின்றன, இது இரண்டாவது வரியில் நடந்தது. கூடுதலாக, நாங்கள் வலதுபுறத்தில் உள்ள யூனிட்டைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தியுள்ளோம், மேலும் அடிப்படை 4/25 இல் ஒரு சக்தியாகவும் இருந்தோம். இது பகுத்தறிவு செய்ய மட்டுமே உள்ளது:
\[(\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(x+1))\ge ((\இடது(\frac(4)(25) \வலது))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, அதாவது. இரண்டாவது காரணி எதிர்மறை மாறிலி, மற்றும் அதை வகுத்தால், சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறும்:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
இறுதியாக, தற்போதைய "தொகுப்பில்" இருந்து கடைசி சமத்துவமின்மை:
\[(\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
கொள்கையளவில், இங்கே ஒரு தீர்வின் யோசனையும் தெளிவாக உள்ளது: சமத்துவமின்மையை உருவாக்கும் அனைத்து அதிவேக செயல்பாடுகளும் அடிப்படை "3" க்கு குறைக்கப்பட வேண்டும். ஆனால் இதற்காக நீங்கள் வேர்கள் மற்றும் டிகிரிகளுடன் சிறிது டிங்கர் செய்ய வேண்டும்:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
இந்த உண்மைகளின் அடிப்படையில், அசல் சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\தொடங்கு(சீரமை) & (\இடது(((3)^(\frac(8)(3))) \வலது))^(-x)) \lt ((\இடது((3)) ^(2)) \வலது))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\முடிவு(சீரமை)\]
கணக்கீடுகளின் 2 வது மற்றும் 3 வது வரிகளுக்கு கவனம் செலுத்துங்கள்: சமத்துவமின்மையுடன் ஏதாவது செய்வதற்கு முன், பாடத்தின் ஆரம்பத்திலிருந்தே நாம் பேசிய படிவத்திற்கு அதைக் கொண்டு வர மறக்காதீர்கள்: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. உங்களிடம் இடது அல்லது வலது இடது பெருக்கிகள், கூடுதல் மாறிலிகள் போன்றவை இருக்கும் வரை, எந்த ஒரு பகுத்தறிவு மற்றும் "கிராஸ் அவுட்" அடிப்படையில் செய்ய முடியாது! இந்த எளிய உண்மையின் தவறான புரிதலால் எண்ணற்ற பணிகள் தவறாக செய்யப்பட்டுள்ளன. அதிவேக மற்றும் மடக்கை ஏற்றத்தாழ்வுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்யத் தொடங்கும் போது, எனது மாணவர்களுடன் இந்த சிக்கலை நான் தொடர்ந்து கவனிக்கிறேன்.
ஆனால் எங்கள் பணிக்குத் திரும்பு. பகுத்தறிவு இல்லாமல் செய்ய இந்த முறை முயற்சிப்போம். நாங்கள் நினைவுகூருகிறோம்: பட்டத்தின் அடிப்படை ஒன்று விட அதிகமாக உள்ளது, எனவே மும்மடங்குகளை வெறுமனே கடக்க முடியும் - சமத்துவமின்மை அடையாளம் மாறாது. நாங்கள் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\ end(align)\]
அவ்வளவுதான். இறுதி பதில்: $x\in \இடது(-\infty ;3 \right)$.
நிலையான வெளிப்பாட்டை முன்னிலைப்படுத்துதல் மற்றும் மாறியை மாற்றுதல்
முடிவில், இன்னும் நான்கு அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க நான் முன்மொழிகிறேன், அவை ஏற்கனவே ஆயத்தமில்லாத மாணவர்களுக்கு மிகவும் கடினமாக உள்ளன. அவற்றைச் சமாளிக்க, டிகிரிகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். குறிப்பாக, பொதுவான காரணிகளை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது.
ஆனால் மிக முக்கியமான விஷயம் புரிந்து கொள்ள கற்றுக்கொள்வது: சரியாக என்ன அடைப்புக்குறிக்குள் இருக்க முடியும். அத்தகைய வெளிப்பாடு நிலையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது - இது ஒரு புதிய மாறியால் குறிக்கப்படலாம், இதனால் அதிவேக செயல்பாட்டிலிருந்து விடுபடலாம். எனவே, பணிகளைப் பார்ப்போம்:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
முதல் வரியில் இருந்து ஆரம்பிக்கலாம். இந்த சமத்துவமின்மையை தனித்தனியாக எழுதுவோம்:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, எனவே வலது பக்கம்மீண்டும் எழுதலாம்:
சமத்துவமின்மையில் $((5)^(x+1))$ தவிர வேறு எந்த அதிவேக செயல்பாடுகளும் இல்லை என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பொதுவாக, $x$ என்ற மாறி வேறு எங்கும் ஏற்படாது, எனவே ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம்: $((5)^(x+1))=t$. நாங்கள் பின்வரும் கட்டுமானத்தைப் பெறுகிறோம்:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\ end(align)\]
அசல் மாறிக்கு ($t=(5)^(x+1))$) திரும்புவோம், அதே நேரத்தில் 1=5 0 என்பதை நினைவில் கொள்க. எங்களிடம் உள்ளது:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\முடிவு(சீரமை)\]
அதுதான் முழு தீர்வு! பதில்: $x\in \இடது[ -1;+\infty \right)$. இரண்டாவது சமத்துவமின்மைக்கு செல்லலாம்:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
இங்கே எல்லாம் ஒன்றுதான். $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . பின்னர் இடது பக்கத்தை மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\முடிவு(சீரமை)\]
உண்மையான கட்டுப்பாடு மற்றும் சுயாதீனமான வேலை குறித்த முடிவை நீங்கள் எடுக்க வேண்டிய தோராயமாக இதுதான்.
சரி, இன்னும் கடினமான ஒன்றை முயற்சிப்போம். உதாரணமாக, இங்கே ஒரு சமத்துவமின்மை உள்ளது:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
இங்கு என்ன பிரச்சனை? முதலாவதாக, இடதுபுறத்தில் உள்ள அதிவேக செயல்பாடுகளின் அடிப்படைகள் வேறுபட்டவை: 5 மற்றும் 25. இருப்பினும், 25 \u003d 5 2, எனவே முதல் காலத்தை மாற்றலாம்:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\ end(align )\]
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முதலில் நாங்கள் எல்லாவற்றையும் ஒரே தளத்திற்கு கொண்டு வந்தோம், பின்னர் முதல் சொல் எளிதாக இரண்டாவது நிலைக்கு குறைக்கப்படுவதை நாங்கள் கவனித்தோம் - அதிவேகத்தை விரிவுபடுத்தினால் போதும். இப்போது நாம் ஒரு புதிய மாறியை பாதுகாப்பாக அறிமுகப்படுத்தலாம்: $((5)^(2x+2))=t$, மேலும் முழு சமத்துவமின்மையும் இவ்வாறு மீண்டும் எழுதப்படும்:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\ end(align)\]
மீண்டும், பிரச்சனை இல்லை! இறுதி பதில்: $x\in \இடது[ 1;+\infty \right)$. இன்றைய பாடத்தில் இறுதி சமத்துவமின்மைக்கு நகர்கிறது:
\[((\இடது(0,5 \வலது))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
கவனிக்க வேண்டிய முதல் விஷயம், நிச்சயமாக, தசமமுதல் பட்டத்தின் அடிப்பகுதியில். அதை அகற்றுவது அவசியம், அதே நேரத்தில் அனைத்து அதிவேக செயல்பாடுகளையும் ஒரே தளத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும் - எண் "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=(2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=(\இடது(((2)^(-1)) \வலது))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\ரைட்டாரோ ((16)^(x+1,5))=((\இடது((2)^(4)) \வலது))^( x+1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\ end(align)\]
பெரியது, நாங்கள் முதல் படியை எடுத்துள்ளோம் - எல்லாமே ஒரே அடித்தளத்திற்கு வழிவகுத்தது. இப்போது நாம் நிலையான வெளிப்பாட்டை முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். கவனிக்கவும் $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. நாம் ஒரு புதிய மாறி $((2)^(4x+6))=t$ ஐ அறிமுகப்படுத்தினால், அசல் சமத்துவமின்மையை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\முடிவு(சீரமை)\]
இயற்கையாகவே, கேள்வி எழலாம்: 256 = 2 8 என்பதை எப்படி கண்டுபிடித்தோம்? துரதிர்ஷ்டவசமாக, இங்கே நீங்கள் இரண்டு சக்திகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும் (அதே நேரத்தில் மூன்று மற்றும் ஐந்து சக்திகள்). சரி, அல்லது 256 ஐ 2 ஆல் வகுக்கவும் (நீங்கள் வகுக்கலாம், 256 ஒரு இரட்டை எண் என்பதால்) முடிவு கிடைக்கும் வரை. இது இப்படி இருக்கும்:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
மூன்றிலும் இதேதான் (எண்கள் 9, 27, 81 மற்றும் 243 ஆகியவை அதன் சக்திகள்), மற்றும் ஏழு (எண்கள் 49 மற்றும் 343 ஆகியவை நினைவில் கொள்வது நன்றாக இருக்கும்). சரி, ஐவருக்கும் "அழகான" பட்டங்கள் உள்ளன, அவை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\முடிவு(சீரமை)\]
நிச்சயமாக, இந்த எண்கள் அனைத்தையும், விரும்பியிருந்தால், மனதில் மீட்டெடுக்க முடியும், அவற்றை ஒன்றன்பின் ஒன்றாகப் பெருக்குவதன் மூலம். இருப்பினும், நீங்கள் பல அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்க வேண்டியிருக்கும் போது, அடுத்தவை ஒவ்வொன்றும் முந்தையதை விட கடினமாக இருக்கும் போது, நீங்கள் கடைசியாக சிந்திக்க விரும்புவது அங்குள்ள சில எண்களின் சக்திகள். இந்த அர்த்தத்தில், இந்த சிக்கல்கள் "கிளாசிக்கல்" ஏற்றத்தாழ்வுகளை விட மிகவும் சிக்கலானவை, அவை இடைவெளி முறையால் தீர்க்கப்படுகின்றன.
தலைப்பில் பாடம் மற்றும் விளக்கக்காட்சி: "அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்"
கூடுதல் பொருட்கள்
அன்பான பயனர்களே, உங்கள் கருத்துகள், கருத்துகள், பரிந்துரைகளை மறக்க வேண்டாம்! அனைத்து பொருட்களும் வைரஸ் தடுப்பு நிரலால் சரிபார்க்கப்படுகின்றன.
11 ஆம் வகுப்புக்கான ஆன்லைன் ஸ்டோரில் "இன்டெக்ரல்" இல் கற்பித்தல் எய்ட்ஸ் மற்றும் சிமுலேட்டர்கள்
9-11 கிரேடுகளுக்கான ஊடாடும் கையேடு "முக்கோணவியல்"
10-11 கிரேடுகளுக்கான ஊடாடும் கையேடு "மடக்கை"
அதிவேக சமன்பாடுகளின் வரையறை
நண்பர்களே, நாங்கள் அதிவேக செயல்பாடுகளை ஆய்வு செய்தோம், அவற்றின் பண்புகள் மற்றும் வரைபடங்களை உருவாக்கினோம், அதிவேக செயல்பாடுகளை எதிர்கொள்ளும் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை பகுப்பாய்வு செய்தோம். இன்று நாம் அதிவேக சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் படிப்போம்.வரையறை. படிவத்தின் சமன்பாடுகள்: $a^(f(x))=a^(g(x))$, இங்கு $a>0$, $a≠1$ ஆகியவை அதிவேக சமன்பாடுகள் எனப்படும்.
"அதிவேக செயல்பாடு" என்ற தலைப்பில் நாங்கள் படித்த தேற்றங்களை நினைவில் வைத்துக் கொண்டு, ஒரு புதிய தேற்றத்தை அறிமுகப்படுத்தலாம்:
தேற்றம். அதிவேக சமன்பாடு$a^(f(x))=a^(g(x))$, இங்கு $a>0$, $a≠1$ என்பது $f(x)=g(x)$ சமன்பாட்டிற்கு சமம்.
அதிவேக சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்
உதாரணமாக.சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும்:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
முடிவு.
a) $27=3^3$ என்பது எங்களுக்கு நன்றாகத் தெரியும்.
நமது சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்: $3^(3x-3)=3^3$.
மேலே உள்ள தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நமது சமன்பாடு $3x-3=3$ சமன்பாட்டிற்குக் குறைவதைப் பெறுகிறோம், இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்த்தால், $x=2$ கிடைக்கும்.
பதில்: $x=2$.
B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
பின்னர் நமது சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதலாம்: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$.
பதில்: $x=0$.
C) அசல் சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சமம்: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ மற்றும் $x_2=-3$.
பதில்: $x_1=6$ மற்றும் $x_2=-3$.
உதாரணமாக.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
முடிவு:
நாங்கள் தொடர்ச்சியான செயல்களைச் செய்து, எங்கள் சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் ஒரே தளத்திற்குக் கொண்டு வருவோம்.
இடது பக்கத்தில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளைச் செய்வோம்:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
வலது பக்கம் செல்லலாம்:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
அசல் சமன்பாடு சமன்பாட்டிற்கு சமம்:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
பதில்: $x=0$.
உதாரணமாக.
சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
முடிவு:
நமது சமன்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
மாறிகளை மாற்றுவோம், $a=3^x$ எனலாம்.
புதிய மாறிகளில், சமன்பாடு படிவத்தை எடுக்கும்: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ மற்றும் $a_2=3$.
மாறிகளின் தலைகீழ் மாற்றத்தைச் செய்வோம்: $3^x=-12$ மற்றும் $3^x=3$.
கடந்த பாடத்தில், அதிவேக வெளிப்பாடுகள் நேர்மறையான மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும் என்பதை நாங்கள் கற்றுக்கொண்டோம், வரைபடத்தை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இதன் பொருள் முதல் சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை, இரண்டாவது சமன்பாட்டில் ஒரு தீர்வு உள்ளது: $x=1$.
பதில்: $x=1$.
அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிகளின் குறிப்பை உருவாக்குவோம்:
1. கிராஃபிக் முறை.சமன்பாட்டின் இரு பகுதிகளையும் செயல்பாடுகளாகக் குறிப்பிடுகிறோம் மற்றும் அவற்றின் வரைபடங்களை உருவாக்குகிறோம், வரைபடங்களின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளைக் கண்டறியவும். (கடந்த பாடத்தில் இந்த முறையைப் பயன்படுத்தினோம்).
2. குறிகாட்டிகளின் சமத்துவத்தின் கொள்கை.ஒரே அடிப்படைகளைக் கொண்ட இரண்டு வெளிப்பாடுகள் சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இந்த அடிப்படைகளின் டிகிரி (அதிவேகங்கள்) சமமாக இருந்தால் மட்டுமே. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. மாறிகள் முறை மாற்றம். இந்த முறைசமன்பாடு, மாறிகளை மாற்றும் போது, அதன் வடிவத்தை எளிதாக்குகிறது மற்றும் தீர்க்க மிகவும் எளிதாக இருந்தால் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும்.
உதாரணமாக.
சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்: $\தொடங்கு (வழக்குகள்) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \முடிவு(வழக்குகள்)$.
முடிவு.
கணினியின் இரண்டு சமன்பாடுகளையும் தனித்தனியாகக் கருதுங்கள்:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
மாறிகள் மாற்றும் முறையைப் பயன்படுத்துவோம், $y=2^(x+y)$.
பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ மற்றும் $y_2=-3$.
ஆரம்ப மாறிகளுக்கு செல்லலாம், முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து $x+y=2$ கிடைக்கும். இரண்டாவது சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. பின்னர் நமது ஆரம்ப சமன்பாடு அமைப்பு முறைக்கு சமமானது: $\begin (வழக்குகள்) x+3y=0, \\ x+y=2. \முடிவு(வழக்குகள்)$.
முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கழித்தால், நாம் பெறுவோம்: $\begin (வழக்குகள்) 2y=-2, \\ x+y=2. \முடிவு(வழக்குகள்)$.
$\தொடங்கு (வழக்குகள்) y=-1, \\ x=3. \முடிவு(வழக்குகள்)$.
பதில்: $(3;-1)$.
அதிவேக ஏற்றத்தாழ்வுகள்
ஏற்றத்தாழ்வுகளுக்குச் செல்வோம். ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்கும் போது, பட்டத்தின் அடிப்படைக்கு கவனம் செலுத்த வேண்டியது அவசியம். ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்க்கும் போது நிகழ்வுகளின் வளர்ச்சிக்கு இரண்டு சாத்தியமான காட்சிகள் உள்ளன.தேற்றம். $a>1$ எனில், அதிவேக சமத்துவமின்மை $a^(f(x))>a^(g(x))$ சமத்துவமின்மை $f(x)>g(x)$ க்கு சமம்.
$0 என்றால்
உதாரணமாக.
ஏற்றத்தாழ்வுகளை தீர்க்க:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
முடிவு.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
நமது சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) நமது சமன்பாட்டில், டிகிரி குறைவாக உள்ள அடிப்படை 1 ஐ விட, ஒரு சமத்துவமின்மையை சமமானதாக மாற்றும் போது, அடையாளத்தை மாற்றுவது அவசியம்.
$2x-4>2$.
$x>3$.
C) நமது சமத்துவமின்மை சமத்துவமின்மைக்கு சமம்:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
இடைவெளி தீர்வு முறையைப் பயன்படுத்துவோம்:
பதில்: $(-∞;-5]U)