Üstel denklemler ve eşitsizlikler nasıl çözülür. üstel denklemler

Bu derste, daha karmaşık üstel denklemlerin çözümünü ele alacağız, üstel fonksiyonla ilgili temel teorik hükümleri hatırlayacağız.

1. Üstel bir fonksiyonun tanımı ve özellikleri, en basit üstel denklemleri çözme tekniği

Üstel bir fonksiyonun tanımını ve ana özelliklerini hatırlayın. Tüm üstel denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünün temeli özellikler üzerinedir.

üstel fonksiyon formun bir fonksiyonudur, burada taban derecedir ve Burada x bağımsız bir değişkendir, bir argümandır; y - bağımlı değişken, fonksiyon.

Pirinç. 1. Üstel fonksiyonun grafiği

Grafik, sırasıyla birden büyük ve birden küçük, ancak sıfırdan büyük bir tabandaki üstel işlevi gösteren artan ve azalan bir üs gösterir.

Her iki eğri de (0;1) noktasından geçer

Üstel fonksiyonun özellikleri:

Alan adı: ;

Değer aralığı: ;

Fonksiyon monotondur, arttıkça artar, azaldıkça azalır.

Monotonik bir işlev, değerlerinin her birini bağımsız değişkenin tek bir değeriyle alır.

Argüman eksiden artı sonsuza yükseldiğinde, fonksiyon sıfırdan (dahil) artı sonsuza yükselir. Aksine, argüman eksiden artı sonsuza yükseldiğinde, fonksiyon sonsuzdan sıfıra düşer.

2. Tipik üstel denklemlerin çözümü

En basit üstel denklemlerin nasıl çözüleceğini hatırlayın. Çözümleri, üstel fonksiyonun monotonluğuna dayanmaktadır. Hemen hemen tüm karmaşık üstel denklemler bu tür denklemlere indirgenir.

Üslerin eşit tabanlara sahip olması, üstel fonksiyonun özelliğinden, yani monotonluğundan kaynaklanmaktadır.

Çözüm Yöntemi:

Derecelerin tabanlarını eşitleyin;

Eşit üsler.

Daha karmaşık üstel denklemlere geçelim, amacımız her birini en basitine indirgemek.

Sol taraftaki kökten kurtulalım ve dereceleri aynı tabana indirelim:

Karmaşık bir üstel denklemi basit bir denkleme indirgemek için genellikle değişkenlerin değiştirilmesi kullanılır.

Derece özelliğini kullanalım:

Bir yedek tanıtıyoruz. İzin ver o zaman. Böyle bir değiştirme ile, y'nin kesinlikle aldığı açıktır. pozitif değerler. Alırız:

Ortaya çıkan denklemi iki ile çarparız ve tüm terimleri sol tarafa aktarırız:

İlk kök, y değerlerinin aralığını karşılamaz, onu atarız. Alırız:

Dereceleri aynı göstergeye getirelim:

Bir değiştirme sunuyoruz:

bırak o zaman . Bu değiştirme ile, y'nin kesinlikle pozitif değerler aldığı açıktır. Alırız:

Benzer ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğini biliyoruz, cevabı yazıyoruz:

Köklerin doğru bulunduğundan emin olmak için Vieta teoremine göre kontrol edebilir, yani köklerin toplamını ve ürünlerini bulabilir ve denklemin ilgili katsayılarını kontrol edebilirsiniz.

Alırız:

3. İkinci dereceden homojen üstel denklemleri çözme tekniği

Aşağıdaki önemli üstel denklem türlerini inceleyelim:

Bu tür denklemlere, f ve g fonksiyonlarına göre ikinci dereceden homojen denir. Sol tarafında, g parametresiyle f'ye göre bir kare trinom veya f parametresiyle g'ye göre bir kare trinom vardır.

Çözüm Yöntemi:

Bu denklem ikinci dereceden bir denklem olarak çözülebilir, ancak tersini yapmak daha kolaydır. İki durum düşünülmelidir:

İlk durumda, alırız

İkinci durumda, en yüksek dereceye bölme hakkımız var ve şunu elde ediyoruz:

Değişkenlerin bir değişikliğini tanıtmalıyız, şunu elde ederiz: ikinci dereceden denklem göre:

f ve g fonksiyonlarının keyfi olabileceğine dikkat edin, ancak bunların üstel fonksiyonlar olduğu durumla ilgileniyoruz.

4. Homojen denklemleri çözme örnekleri

Tüm terimleri denklemin sol tarafına kaydıralım:

Üstel fonksiyonlar kesinlikle pozitif değerler aldığından, aşağıdaki durumları dikkate almadan denklemi hemen 'ye bölme hakkımız vardır:

Alırız:

Bir değiştirme sunuyoruz: (üslü fonksiyonun özelliklerine göre)

İkinci dereceden bir denklemimiz var:

Kökleri Vieta teoremine göre belirliyoruz:

İlk kök, y değerlerinin aralığını karşılamıyor, onu atıyoruz, şunu elde ediyoruz:

Derecenin özelliklerini kullanalım ve tüm dereceleri basit tabanlara indirelim:

f ve g fonksiyonlarını fark etmek kolaydır:

Üstel fonksiyonlar kesinlikle pozitif değerler aldığından, ne zaman olduğunu dikkate almadan denklemi hemen 'ye bölme hakkımız vardır.

Birçok insan üstel eşitsizliklerin çok karmaşık ve anlaşılmaz bir şey olduğunu düşünüyor. Ve onları çözmeyi öğrenmek, sadece Seçilmişlerin anlayabileceği, neredeyse büyük bir sanattır...

Tamamen saçmalık! Üstel eşitsizlikler kolaydır. Ve çözmek her zaman kolaydır. Eh, neredeyse her zaman. :)

Bugün bu konuyu çok geniş bir şekilde analiz edeceğiz. Bu ders, okul matematiğinin bu bölümünü yeni anlamaya başlayanlar için çok faydalı olacaktır. Basit görevlerle başlayalım ve daha karmaşık konulara geçelim. Bugün bir sertlik olmayacak ama birazdan okuyacaklarınız her türlü denetim ve bağımsız çalışmadaki eşitsizliklerin çoğunu çözmeye yetecektir. Ve bu konuda da senin sınavın.

Her zaman olduğu gibi, bir tanımla başlayalım. Üstel bir eşitsizlik, üstel bir işlev içeren herhangi bir eşitsizliktir. Başka bir deyişle, her zaman formun bir eşitsizliğine indirgenebilir.

\[((a)^(x)) \gt b\]

$b$'ın rolü sıradan bir sayı veya belki daha zor bir şey olabilir. Örnekler? Evet lütfen:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ dörtlü ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(hiza)\]

Bence anlamı açık: $((a)^(x))$ üstel bir işlevi var, bir şeyle karşılaştırılıyor ve sonra $x$ bulması isteniyor. Özellikle klinik vakalar$x$ değişkeni yerine, $f\left(x \right)$ fonksiyonunu koyabilirler ve böylece eşitsizliği biraz daha karmaşık hale getirebilirler. :)

Elbette bazı durumlarda eşitsizlik daha şiddetli görünebilir. Örneğin:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Hatta bu:

Genel olarak, bu tür eşitsizliklerin karmaşıklığı çok farklı olabilir, ancak sonunda hala basit bir yapıya $((a)^(x)) \gt b$ gelir. Ve bir şekilde böyle bir tasarımla ilgileneceğiz (özellikle klinik durumlarda, akla hiçbir şey gelmediğinde, logaritmalar bize yardımcı olacaktır). Bu nedenle, şimdi bu tür basit yapıları nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

En basit üstel eşitsizliklerin çözümü

Çok basit bir şeye bakalım. Örneğin, burada:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Açıktır ki, sağdaki sayı ikinin kuvveti olarak yeniden yazılabilir: $4=((2)^(2))$. Böylece, orijinal eşitsizlik çok uygun bir biçimde yeniden yazılır:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Ve şimdi eller $x \gt 2$ cevabını almak için derecelerin tabanında duran ikilileri "çizmek" için can atıyor. Ama herhangi bir şeyi atlamadan önce, ikisinin güçlerini hatırlayalım:

\[((2)^(1))=2;\dörtlü ((2)^(2))=4;\dörtlü ((2)^(3))=8;\dörtlü ((2)^( 4))=16;...\]

Gördüğünüz gibi, üsteki sayı ne kadar büyükse, çıktı sayısı da o kadar büyük olur. "Teşekkürler, Kap!" öğrencilerden biri haykıracak. Farklı mı oluyor? Maalesef oluyor. Örneğin:

\[((\sol(\frac(1)(2) \sağ))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\sol(\frac(1)(2)) \ sağ))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \sağ))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Burada da her şey mantıklı: ne daha fazla derece, 0,5 sayısı kendisi ile o kadar çok çarpılır (yani ikiye bölünür). Böylece, elde edilen sayı dizisi azalmaktadır ve birinci ve ikinci diziler arasındaki fark sadece tabandadır:

• Derecenin tabanı $a \gt 1$ ise, $n$ üssü büyüdükçe, $((a)^(n))$ sayısı da büyüyecektir;
• Tersine, $0 \lt a \lt 1$ ise, $n$ üssü büyüdükçe, $((a)^(n))$ sayısı azalacaktır.

Bu gerçekleri özetleyerek, üstel eşitsizliklerin tüm çözümünün dayandığı en önemli ifadeyi elde ederiz:

$a \gt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \gt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir. $0 \lt a \lt 1$ ise, $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ eşitsizliği $x \lt n$ eşitsizliğine eşdeğerdir.

Başka bir deyişle, taban birden büyükse, basitçe kaldırabilirsiniz - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Ve taban birden küçükse, o da kaldırılabilir, ancak eşitsizliğin işaretinin de değiştirilmesi gerekecektir.

$a=1$ ve $a\le 0$ seçeneklerini dikkate almadığımızı unutmayın. Çünkü bu durumlarda belirsizlik vardır. $((1)^(x)) \gt 3$? biçimindeki bir eşitsizliğin nasıl çözüleceğini varsayalım. Herhangi bir güce bir yine bir verir - asla üç veya daha fazlasını elde edemeyiz. Onlar. çözümler yok.

Negatif temellerle, daha da ilginç. Örneğin aşağıdaki eşitsizliği ele alalım:

\[((\sol(-2 \sağ))^(x)) \gt 4\]

İlk bakışta, her şey basit:

Doğru şekilde? Ama hayır! Çözümün yanlış olduğundan emin olmak için $x$ yerine birkaç çift ve bir çift tek sayı kullanmak yeterlidir. Bir göz at:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\sol(-2 \sağ))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\sol(-2 \sağ))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\sol(-2 \sağ))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\sol(-2 \sağ))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(hiza)\]

Gördüğünüz gibi, işaretler değişiyor. Ama yine de kesirli dereceler ve diğer kalay var. Örneğin, $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (eksi iki, yedinin köküne yükseltilmiş) saymayı nasıl emredersiniz? Mümkün değil!

Bu nedenle, kesinlik için, tüm üstel eşitsizliklerde (ve bu arada denklemlerde de) $1\ne a \gt 0$ olduğunu varsayıyoruz. Ve sonra her şey çok basit bir şekilde çözüldü:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \sağ), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \sağ). \\\end(hiza) \sağ.\]

Genel olarak, ana kuralı bir kez daha hatırlayın: üstel denklemdeki taban birden büyükse, basitçe kaldırabilirsiniz; ve taban birden küçükse, kaldırılabilir, ancak bu eşitsizlik işaretini değiştirecektir.

Çözüm örnekleri

Bu nedenle, birkaç basit üstel eşitsizliği düşünün:

\[\begin(hizalama) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25). \\\end(hiza)\]

Birincil görev her durumda aynıdır: eşitsizlikleri en basit $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçimine indirmek. Şimdi her eşitsizlikle yapacağımız şey bu ve aynı zamanda üslerin özelliklerini ve üstel işlevi tekrarlayacağız. O zaman hadi gidelim!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Burada ne yapılabilir? Eh, solda zaten açıklayıcı bir ifademiz var - hiçbir şeyin değiştirilmesi gerekmiyor. Ama sağda bir tür saçmalık var: bir kesir ve hatta paydada bir kök!

Ancak, kesirler ve kuvvetlerle çalışma kurallarını unutmayın:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(hiza)\]

Bu ne anlama geliyor? İlk olarak, kesri negatif üs haline getirerek kolayca kurtulabiliriz. İkincisi, payda kök olduğundan, onu bir dereceye çevirmek güzel olurdu - bu sefer kesirli bir üsle.

Bu eylemleri sırayla eşitsizliğin sağ tarafına uygulayalım ve ne olduğunu görelim:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\sol(\sqrt(2) \sağ))^(-1))=((\sol((2)^(\frac( 1)(3))) \sağ))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \sol(-1 \sağ)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken bu derecelerin üslerinin toplandığını unutmayınız. Ve genel olarak, üstel denklemler ve eşitsizliklerle çalışırken, kuvvetlerle çalışmak için en azından en basit kuralları bilmek kesinlikle gereklidir:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\sol(((a)^(x)) \sağ))^(y))=((a)^(x\cdot y))). \\\end(hiza)\]

Aslında, son kural az önce başvurduk. Bu nedenle, orijinal eşitsizliğimiz aşağıdaki gibi yeniden yazılacaktır:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frak(1)(3)))\]

Şimdi tabandaki ikiliden kurtuluyoruz. 2 > 1 olduğundan eşitsizlik işareti aynı kalır:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \sağ]. \\\end(hiza)\]

Bütün çözüm bu! Asıl zorluk, üstel fonksiyonda değil, orijinal ifadenin yetkin dönüşümünde: onu en basit biçimine dikkatlice ve mümkün olduğunca çabuk getirmeniz gerekir.

İkinci eşitsizliği düşünün:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Şöyle böyle. Burada ondalık kesirleri bekliyoruz. Birçok kez söylediğim gibi, güçlü ifadelerde ondalık kesirlerden kurtulmalısınız - genellikle bu, hızlı ve kolay bir çözüm görmenin tek yoludur. İşte bunlardan kurtulacağız:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10)) \ sağ))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \sağ))^(1-x)) \lt ( (\sol(\frac(1)(10) \sağ))^(2)). \\\end(hiza)\]

Önümüzde yine en basit eşitsizlik var ve hatta 1/10 bazında, yani. birden az. Eh, üsleri kaldırıyoruz, aynı anda işareti "daha az" dan "daha büyük" e değiştiriyoruz ve şunu elde ediyoruz:

\[\begin(hizalama) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(hiza)\]

Son yanıtı aldık: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Lütfen cevabın tam olarak küme olduğunu ve hiçbir durumda $x \lt -1$ formunun yapısı olmadığını unutmayın. Çünkü resmi olarak böyle bir yapı bir küme değil, $x$ değişkenine göre bir eşitsizliktir. Evet, çok basit, ama cevap bu değil!

Önemli Not. Bu eşitsizlik başka bir şekilde çözülebilirdi - her iki parçayı da tabanı birden büyük olan bir güce indirgemek. Bir göz at:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \sağ))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \sağ))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \sağ))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Böyle bir dönüşümden sonra, yine üstel bir eşitsizlik elde ederiz, ancak tabanı 10 > 1'dir. Bu, on'u basitçe aşabileceğiniz anlamına gelir - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Alırız:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(hiza)\]

Gördüğünüz gibi, cevap tamamen aynı. Aynı zamanda kendimizi tabela değiştirme ihtiyacından kurtardık ve genellikle oradaki bazı kuralları hatırlıyoruz. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Ancak, bunun sizi korkutmasına izin vermeyin. Göstergelerde ne varsa, eşitsizliği çözme teknolojisi aynı kalır. Bu nedenle, önce 16 = 2 4 olduğuna dikkat edelim. Bu gerçeği dikkate alarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(hizalama)\]

Yaşasın! Her zamanki kare eşitsizliği elde ettik! Taban bir ikili olduğu için işaret hiçbir yerde değişmedi - birden büyük bir sayı.

Sayı doğrusunda fonksiyon sıfırları

$f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ fonksiyonunun işaretlerini düzenleriz - açıkçası, grafiği dalları yukarıda olan bir parabol olacaktır, dolayısıyla “artılar” olacaktır. "yanlarda. Fonksiyonun sıfırdan küçük olduğu bölge ile ilgileniyoruz, yani. $x\in \left(2;5 \right)$ asıl sorunun cevabıdır.

Son olarak, başka bir eşitsizliği düşünün:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\]

Yine tabanında ondalık kesirli üstel bir fonksiyon görüyoruz. Bu kesri ortak bir kesre çevirelim:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2)))=((\sol(((5)^(-1)) \sağ))^(1+((x)^(2)) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \sağ)))\end(hizalama)\]

Bu durumda, daha önce yapılan açıklamadan faydalandık - sonraki kararımızı basitleştirmek için tabanı 5\u003e 1 sayısına indirdik. Aynı şeyi sağ taraf için de yapalım:

\[\frac(1)(25)=((\sol(\frac(1)(5) \sağ))^(2))=((\sol(((5)^(-1)) \ sağ))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Her iki dönüşümü de hesaba katarak orijinal eşitsizliği yeniden yazalım:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \sağ))\ge ((5)^(-2))\]

Her iki taraftaki tabanlar aynı ve birden büyüktür. Sağda ve solda başka terim yok, bu yüzden beşlileri “çarpıyoruz” ve çok basit bir ifade elde ediyoruz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \sağ)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\dörtlü \sol| \cdot \sol(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(hizalama)\]

Dikkatli olmanız gereken yer burasıdır. Birçok öğrenci basitçe çıkarmayı sever Kare kök eşitsizliğin her iki bölümünü de yazın ve $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ gibi bir şey yazın. Tam karenin kökü modül olduğundan bunu asla yapmamalısınız ve hiçbir durumda orijinal değişken:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\sol| x\sağ|\]

Ancak modüllerle çalışmak en keyifli deneyim değil, değil mi? Yani çalışmayacağız. Bunun yerine, tüm terimleri sola kaydırır ve normal eşitsizliği aralık yöntemini kullanarak çözeriz:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \sağ)\left(x+1 \sağ)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(hiza)$

Yine, elde edilen noktaları sayı doğrusunda işaretliyoruz ve işaretlere bakıyoruz:

Lütfen dikkat: noktalar gölgelidir.

Kesin olmayan bir eşitsizliği çözdüğümüz için grafikteki tüm noktalar gölgeli. Bu nedenle, cevap şöyle olacaktır: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bir aralık değil, bir segmenttir.

Genel olarak, üstel eşitsizliklerde karmaşık bir şey olmadığını belirtmek isterim. Bugün gerçekleştirdiğimiz tüm dönüşümlerin anlamı basit bir algoritmaya indirgeniyor:

• Tüm dereceleri düşüreceğimiz tabanı bulun;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçiminde bir eşitsizlik elde etmek için dönüşümleri dikkatli bir şekilde gerçekleştirin. Elbette $x$ ve $n$ değişkenleri yerine çok daha karmaşık fonksiyonlar olabilir ama bu anlamı değiştirmez;
• Derecelerin tabanlarını çaprazlayın. Bu durumda, eğer taban $a \lt 1$ ise eşitsizlik işareti değişebilir.

Aslında bu, tüm bu eşitsizlikleri çözmek için evrensel bir algoritmadır. Ve bu konuda size söylenecek diğer her şey, dönüşümü basitleştirmek ve hızlandırmak için yalnızca belirli püf noktaları ve püf noktalarıdır. İşte şimdi bahsedeceğimiz numaralardan biri. :)

rasyonelleştirme yöntemi

Başka bir eşitsizlik kümesini düşünün:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\sol(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\sol(\frac(1)(3) \sağ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\sol(\frac(1)(9)) \sağ))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(hizalama)\]

Peki, onlar hakkında bu kadar özel olan ne? Ayrıca hafiftirler. Yine de dur! Pi bir güce yükseltildi mi? Ne tür bir saçmalık?

Ve 2\sqrt(3)-3$ sayısını bir güce nasıl yükseltebilirim? Veya $3-2\sqrt(2)$? Sorunları derleyenler işe oturmadan önce çok fazla "Alıç" içtiler. :)

Aslında, bu görevlerde yanlış bir şey yok. Size hatırlatmama izin verin: üstel bir işlev, $((a)^(x))$ formunun bir ifadesidir, burada $a$ tabanı bir hariç herhangi bir pozitif sayıdır. π sayısı pozitiftir - bunu zaten biliyoruz. $2\sqrt(3)-3$ ve $3-2\sqrt(2)$ sayıları da pozitiftir - bunları sıfırla karşılaştırırsak bunu görmek kolaydır.

Tüm bu “korkunç” eşitsizliklerin yukarıda tartışılan basit eşitsizliklerden farklı olmadığı ortaya çıktı mı? Ve aynı şekilde mi yapıyorlar? Evet, kesinlikle doğru. Ancak, örneklerini kullanarak, bağımsız çalışma ve sınavlarda çok zaman kazandıran bir numarayı düşünmek istiyorum. Rasyonelleştirme yöntemi hakkında konuşacağız. Yani dikkat:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ biçimindeki herhangi bir üstel eşitsizlik, $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) eşitsizliğine eşdeğerdir sağ) \gt 0 $.

Bütün yöntem bu. :) Bir sonraki oyunun bir tür olacağını düşündünüz mü? Hiçbir şey böyle değil! Ancak kelimenin tam anlamıyla bir satırda yazılan bu basit gerçek, işimizi büyük ölçüde basitleştirecektir. Bir göz at:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \sağ) \gt 0 \\\end(matris)\]

Burada artık üstel işlevler yok! Ve işaretin değişip değişmediğini hatırlamak zorunda değilsiniz. Ama orada yeni sorun: \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] lanet çarpanıyla ne yapmalı? Pi'nin tam değerinin ne olduğunu bilmiyoruz. Ancak, kaptan bariz olanı ima ediyor gibi görünüyor:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\yaklaşık 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Genel olarak, π'nin tam değeri bizi fazla rahatsız etmez - bizim için yalnızca $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 olduğunu anlamamız önemlidir. $, t.e. pozitif bir sabittir ve eşitsizliğin her iki tarafını da ona bölebiliriz:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \sağ) \gt 0 \\ & x+7-\sol(((x)^(2))-3x+2 \sağ) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\dörtlü \sol| \cdot \sol(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \sağ)\left(x+1 \sağ) \lt 0. \\\end(hiza)\]

Gördüğünüz gibi belli bir noktada eksi bire bölmek zorunda kaldık ve eşitsizlik işareti değişti. Sonunda, kare trinomiyi Vieta teoremine göre genişlettim - köklerin $((x)_(1))=5$ ve $((x)_(2))=-'ye eşit olduğu açıktır. 1$. Sonra her şey klasik aralık yöntemiyle çözülür:

Eşitsizliği aralık yöntemiyle çözüyoruz

Orijinal eşitsizlik katı olduğu için tüm noktalar delinir. Negatif değerlere sahip alanla ilgileniyoruz, dolayısıyla cevap $x\in \left(-1;5 \right)$ şeklindedir. Çözüm budur. :)

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\sol(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Burada her şey basit çünkü sağda bir birim var. Ve bir birimin sıfırın gücüne yükseltilmiş herhangi bir sayı olduğunu hatırlıyoruz. Bu sayı irrasyonel bir ifade olsa bile solda tabanda durarak:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\sağ))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \sağ))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \sağ))^(0)); \\\end(hiza)\]

Öyleyse rasyonelleştirelim:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \sağ)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \sağ) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \sağ)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \sağ) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \sağ)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \sağ) \lt 0. \\\end(hizalama)\ ]

Sadece işaretlerle başa çıkmak için kalır. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ çarpanı $x$ değişkenini içermez - bu sadece bir sabit ve işaretini bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için aşağıdakilere dikkat edin:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \sağ) \lt 2\cdot \left(2 -2 \sağ)=0 \\\end(matris)\]

İkinci faktörün sadece bir sabit değil, aynı zamanda negatif bir sabit olduğu ortaya çıktı! Ve ona bölerken, orijinal eşitsizliğin işareti tam tersine değişecektir:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \sağ)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \sağ) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\sol(x-2 \sağ) \gt 0. \\\end(hizalama)\]

Şimdi her şey oldukça açık hale geliyor. kökler kare üç terimli sağda: $((x)_(1))=0$ ve $((x)_(2))=2$. Bunları sayı doğrusunda işaretliyoruz ve $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ fonksiyonunun işaretlerine bakıyoruz:

Yanal aralıklarla ilgilendiğimiz durum

Artı işaretiyle işaretlenmiş aralıklarla ilgileniyoruz. Sadece cevabı yazmak için kalır:

Bir sonraki örneğe geçelim:

\[((\sol(\frac(1)(3) \sağ))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\sol(\frac(1)(9) \ sağ))^(16-x))\]

Pekala, burada her şey oldukça açık: bazlar aynı sayının kuvvetleridir. Bu nedenle, her şeyi kısaca yazacağım:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\sol(((3)^(-1)) \sağ))^(((x)^(2)) )+2x)) \gt ((\sol((3)^(-2)) \sağ))^(16-x)) \\\end(matris)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \sağ))) \gt ((3)^(-2\cdot \ sol(16-x\sağ))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \sağ) \sağ)\cdot \left(3-1 \sağ) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\dörtlü \sol| \cdot \sol(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \sağ)\left(x-4 \sağ) \lt 0. \\\end(hizalama)\]

Gördüğünüz gibi, dönüşüm sürecinde negatif bir sayı ile çarpmamız gerekiyordu, bu yüzden eşitsizlik işareti değişti. En sonunda, bir kare üç terimliyi çarpanlara ayırmak için Vieta teoremini tekrar uyguladım. Sonuç olarak, cevap şu olacaktır: $x\in \left(-8;4 \right)$ - isteyenler bir sayı doğrusu çizerek, noktaları işaretleyerek ve işaretleri sayarak bunu doğrulayabilirler. Bu arada, “kümemizden” son eşitsizliğe geçeceğiz:

\[((\sol(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Gördüğünüz gibi, taban yine irrasyonel bir sayıdır ve birim yine sağdadır. Bu nedenle, üstel eşitsizliğimizi aşağıdaki gibi yeniden yazıyoruz:

\[((\sol(3-2\sqrt(2) \sağ))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\sol(3-2\sqrt(2) \ doğru))^(0))\]

rasyonalize edelim:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \sağ)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \sağ) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \sağ)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \sağ) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \sağ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \sağ) \lt 0. \\\end(hizalama)\ ]

Ancak, $\sqrt(2)\yaklaşık 1.4... \gt 1$ olduğundan $1-\sqrt(2) \lt 0$ olduğu oldukça açıktır. Bu nedenle, ikinci faktör yine eşitsizliğin her iki bölümünün de bölünebileceği negatif bir sabittir:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \sağ)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \sağ) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matris)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\dörtlü \sol| \cdot \sol(-1 \sağ) \sağ. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\sol(x-3 \sağ) \lt 0. \\\end(hizalama)\]

Başka bir tabana geç

Üstel eşitsizliklerin çözümünde ayrı bir sorun, “doğru” temeli aramaktır. Ne yazık ki, göreve ilk bakışta neyin temel alınacağı ve bu temelin derecesi olarak ne yapılacağı her zaman açık değildir.

Ancak endişelenmeyin: burada sihir ve "gizli" teknolojiler yok. Matematikte, algoritmalaştırılamayan herhangi bir beceri uygulama yoluyla kolayca geliştirilebilir. Ama bunun için sorunları çözmelisin farklı seviyeler zorluklar. Örneğin, bunlar:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\sol(\frac(1)(3) \sağ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\sol(0,16 \sağ))^(1+2x))\cdot ((\sol(6,25 \sağ))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \sağ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ bitir(hizala)\]

Karmaşık? Korkutucu? Evet, asfaltta tavuktan daha kolay! Hadi deneyelim. Birinci eşitsizlik:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Bence burada her şey açık:

Her şeyi "iki" tabanına indirerek orijinal eşitsizliği yeniden yazıyoruz:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \sağ)\cdot \sol(2-1 \sağ) \lt 0\]

Evet evet doğru anladınız: Az önce yukarıda anlatılan rasyonalizasyon yöntemini uyguladım. Şimdi dikkatli çalışmamız gerekiyor: kesirli-rasyonel bir eşitsizliğimiz var (bu paydada değişken olan bir eşitsizlik), bu yüzden bir şeyi sıfıra eşitlemeden önce, her şeyi ortak bir paydaya indirgemeniz ve sabit faktörden kurtulmanız gerekir. .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \sağ)\cdot \left(2-1 \sağ) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \sağ)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(hizalama)\]

Şimdi standart aralık yöntemini kullanıyoruz. Pay sıfırları: $x=\pm 4$. Payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfıra gider. Toplamda, sayı doğrusunda işaretlenmesi gereken üç nokta vardır (eşitsizlik işareti katı olduğu için tüm noktalar zımbalanmıştır). Alırız:

Daha karmaşık durum: üç kök

Tahmin edebileceğiniz gibi tarama, soldaki ifadenin negatif değerler aldığı aralıkları işaretler. Bu nedenle, son cevaba aynı anda iki aralık girecektir:

Orijinal eşitsizlik katı olduğu için aralıkların uçları cevaba dahil edilmemiştir. Bu cevabın daha fazla doğrulanmasına gerek yoktur. Bu bağlamda, üstel eşitsizlikler logaritmik olanlardan çok daha basittir: DPV yok, kısıtlama yok, vb.

Bir sonraki göreve geçelim:

\[((\sol(\frac(1)(3) \sağ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

$\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ olduğunu zaten bildiğimiz için burada da sorun yok, dolayısıyla tüm eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

\[\begin(hizalama) & ((\sol((3)^(-1)) \sağ))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \sol(-\frac(3)(x)-\sol(2+x \sağ) \sağ)\cdot \sol(3-1 \sağ)\ge 0; \\ & \sol(-\frac(3)(x)-2-x \sağ)\cdot 2\ge 0;\dörtlü \sol| :\sol(-2\sağ)\sağ. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(hizalama)\]

Lütfen dikkat: üçüncü satırda, önemsiz şeylerle zaman kaybetmemeye ve her şeyi hemen (−2)'ye bölmeye karar verdim. Minul ilk parantez içine girdi (şimdi her yerde artılar var) ve ikili sabit bir çarpanla azaldı. Bağımsız ve bağımsız üzerinde gerçek hesaplamalar yaparken yapmanız gereken tam olarak budur. kontrol işi- Her eylemi ve dönüşümü doğrudan boyamaya gerek yok.

Ardından, tanıdık aralık yöntemi devreye giriyor. Payın sıfırları: ama hiçbiri yok. Çünkü diskriminant negatif olacaktır. Buna karşılık, payda yalnızca $x=0$ olduğunda sıfıra ayarlanır - tıpkı geçen seferki gibi. Pekala, kesrin $x=0$'ın sağında pozitif, solunda ise negatif değerler alacağı açıktır. Yalnızca negatif değerlerle ilgilendiğimiz için, son yanıt $x\in \left(-\infty ;0 \right)$ olur.

\[((\sol(0,16 \sağ))^(1+2x))\cdot ((\sol(6,25 \sağ))^(x))\ge 1\]

Ve üstel eşitsizliklerde ondalık kesirlerle ne yapılmalı? Bu doğru: onları sıradan olanlara dönüştürerek onlardan kurtulun. İşte tercüme ediyoruz:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \sağ))^(1+2x)) =((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\sol(6,25 \sağ))^(x))=((\left(\ frak(25)(4) \sağ))^(x))). \\\end(hiza)\]

Peki, üstel fonksiyonların tabanlarında ne elde ettik? Ve karşılıklı iki sayı elde ettik:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ sağ))^(x))=((\sol(((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-1)) \sağ))^(x))=((\ sol(\frac(4)(25) \sağ))^(-x))\]

Böylece, orijinal eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \sağ) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(1+2x+\sol(-x \sağ)))\ge ((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(0)); \\ & ((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(x+1))\ge ((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(0) ). \\\end(hiza)\]

Tabii ki, aynı tabanla güçleri çarparken, ikinci satırda olan göstergeleri toplanır. Ayrıca sağdaki birimi de 4/25 tabanında bir güç olarak temsil ettik. Sadece rasyonelleştirmek için kalır:

\[((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(x+1))\ge ((\sol(\frac(4)(25) \sağ))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \sağ)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \sağ)\ge 0\]

$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yani ikinci faktör negatif bir sabittir ve ona bölündüğünde eşitsizlik işareti değişecektir:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \sağ]. \\\end(hiza)\]

Son olarak, mevcut "küme"deki son eşitsizlik:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \sağ))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Prensip olarak, burada bir çözüm fikri de açıktır: eşitsizliği oluşturan tüm üstel fonksiyonlar "3" tabanına indirilmelidir. Ancak bunun için kökler ve derecelerle biraz uğraşmanız gerekiyor:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\dörtlü 81=((3)^(4)). \\\end(hiza)\]

Bu gerçekler göz önüne alındığında, orijinal eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((\left((3)^(\frac(8)(3))) \sağ))^(-x)) \lt ((\left(((3))) ^(2)) \sağ))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x))). \\\end(hiza)\]

Hesaplamaların 2. ve 3. satırlarına dikkat edin: eşitsizliği olan bir şey yapmadan önce, onu dersin başından beri bahsettiğimiz forma getirdiğinizden emin olun: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Sol veya sağ sol çarpanlarınız, ekstra sabitleriniz vb. olduğu sürece, gerekçelerin hiçbir rasyonalizasyonu ve "çıkartılması" yapılamaz! Bu basit gerçeğin yanlış anlaşılmasından dolayı sayısız görev yanlış yapılmıştır. Üstel ve logaritmik eşitsizlikleri henüz analiz etmeye başladığımızda, öğrencilerimde bu sorunu sürekli gözlemliyorum.

Ama görevimize geri dönelim. Bu sefer rasyonalizasyon olmadan yapmaya çalışalım. Hatırlıyoruz: derecenin tabanı birden büyüktür, bu nedenle üçlüler basitçe çizilebilir - eşitsizlik işareti değişmeyecektir. Alırız:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(hizalama)\]

Bu kadar. Son cevap: $x\in \sol(-\infty ;3 \sağ)$.

Kararlı bir ifadeyi vurgulama ve bir değişkeni değiştirme

Sonuç olarak, hazırlıksız öğrenciler için zaten oldukça zor olan dört üstel eşitsizliği daha çözmeyi öneriyorum. Onlarla başa çıkmak için derecelerle çalışma kurallarını hatırlamanız gerekir. Özellikle ortak çarpanları parantezlerden çıkarmak.

Ancak en önemli şey, anlamayı öğrenmektir: tam olarak ne parantez içine alınabilir. Böyle bir ifadeye kararlı denir - yeni bir değişkenle gösterilebilir ve böylece üstel fonksiyondan kurtulur. Öyleyse, görevlere bakalım:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\sol(0,5 \sağ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(hiza)\]

İlk satırdan başlayalım. Bu eşitsizliği ayrı ayrı yazalım:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ olduğuna dikkat edin. Sağ Taraf yeniden yazılabilir:

Eşitsizlikte $((5)^(x+1))$ dışında başka üstel işlev olmadığına dikkat edin. Ve genel olarak, $x$ değişkeni başka hiçbir yerde oluşmaz, bu yüzden yeni bir değişken tanıtalım: $((5)^(x+1))=t$. Aşağıdaki yapıyı elde ederiz:

\[\begin(hizalama) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(hiza)\]

Orijinal değişkene ($t=((5)^(x+1))$) dönüyoruz ve aynı zamanda 1=5 0 olduğunu hatırlıyoruz. Sahibiz:

\[\begin(hizalama) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(hiza)\]

Bütün çözüm bu! Cevap: $x\in \sol[ -1;+\infty \sağ)$. İkinci eşitsizliğe geçelim:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Burada her şey aynı. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ olduğuna dikkat edin. Sonra sol taraf yeniden yazılabilir:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \sağ. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \sol[ 2;+\infty \sağ). \\\end(hiza)\]

Gerçek kontrol ve bağımsız çalışma hakkında bir karar vermeniz gereken yaklaşık olarak budur.

Peki, daha zor bir şey deneyelim. Örneğin, burada bir eşitsizlik var:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Burada sorun nedir? Her şeyden önce, soldaki üstel işlevlerin tabanları farklıdır: 5 ve 25. Ancak, 25 \u003d 5 2, bu nedenle ilk terim dönüştürülebilir:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \sağ))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(hizalama )\]

Gördüğünüz gibi, ilk başta her şeyi aynı tabana getirdik ve sonra ilk terimin kolayca ikinciye indirgendiğini fark ettik - sadece üssü genişletmek yeterli. Şimdi yeni bir değişkeni güvenle tanıtabiliriz: $((5)^(2x+2))=t$ ve tüm eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(hizalama) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(hizalama)\]

Yine, sorun yok! Son cevap: $x\in \sol[ 1;+\infty \sağ)$. Bugünkü derste son eşitsizliğe geçelim:

\[((\sol(0,5 \sağ))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Dikkat edilmesi gereken ilk şey, elbette, ondalık birinci derecenin temelinde. Ondan kurtulmak ve aynı zamanda tüm üstel işlevleri aynı tabana getirmek gerekir - "2" sayısı:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\sol(0,5 \sağ))^(-4x- 8))=((\sol(((2)^(-1)) \sağ))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\sol(((2)^(4)) \sağ))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(hizalama)\]

Harika, ilk adımı attık - her şey aynı temele ulaştı. Şimdi kararlı ifadeyi vurgulamamız gerekiyor. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ olduğuna dikkat edin. Yeni bir $((2)^(4x+6))=t$ değişkeni tanıtırsak, orijinal eşitsizlik aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

\[\begin(hizalama) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\end(hiza)\]

Doğal olarak şu soru ortaya çıkabilir: 256 = 2 8 olduğunu nasıl anladık? Ne yazık ki, burada sadece ikinin güçlerini (ve aynı zamanda üç ve beşin güçlerini) bilmeniz gerekiyor. Peki, ya da 256'yı 2'ye bölün (256'yı çift sayı olduğu için bölebilirsiniz) sonucu elde edene kadar. Bunun gibi bir şey görünecek:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(hizalama )\]

Aynısı üç (9, 27, 81 ve 243 sayıları güçleridir) ve yedi (49 ve 343 sayıları da hatırlamak güzel olurdu) için geçerlidir. Beşinin de bilmeniz gereken “güzel” dereceleri var:

\[\begin(hizalama) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(hiza)\]

Elbette dilerseniz tüm bu sayıları tek tek çarparak zihninizde canlandırabilirsiniz. Bununla birlikte, birkaç üstel eşitsizliği çözmeniz gerektiğinde ve sonrakilerin her biri bir öncekinden daha zor olduğunda, düşünmek istediğiniz son şey oradaki bazı sayıların kuvvetleridir. Ve bu anlamda, bu problemler, aralık yöntemiyle çözülen "klasik" eşitsizliklerden daha karmaşıktır.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Üslü denklemler ve üstel eşitsizlikler"

Ilave malzemeler
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

11. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
9-11 "Trigonometri" sınıfları için etkileşimli kılavuz
10-11 "Logaritmalar" sınıfları için etkileşimli kılavuz

Üstel denklemlerin tanımı

Beyler, üstel fonksiyonları inceledik, özelliklerini öğrendik ve grafikler oluşturduk, üstel fonksiyonların karşılaştığı denklem örneklerini inceledik. Bugün üstel denklemleri ve eşitsizlikleri inceleyeceğiz.

Tanım. $a^(f(x))=a^(g(x))$ biçimindeki denklemler, burada $a>0$, $a≠1$ üstel denklemler olarak adlandırılır.

"Üslü fonksiyon" konusunda incelediğimiz teoremleri hatırlayarak yeni bir teorem verebiliriz:
Teorem. üstel denklem$a^(f(x))=a^(g(x))$, burada $a>0$, $a≠1$, $f(x)=g(x)$ denklemine eşdeğerdir.

Üstel denklem örnekleri

Misal.
Denklemleri Çöz:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Karar.
a) $27=3^3$ olduğunu gayet iyi biliyoruz.
Denklemimizi yeniden yazalım: $3^(3x-3)=3^3$.
Yukarıdaki teoremi kullanarak, denklemimizin 3x-3=3$ denklemine indirgendiğini elde ederiz, bu denklemi çözerek $x=2$ elde ederiz.
Cevap: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
O zaman denklemimiz yeniden yazılabilir: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=0.2$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

C) Orijinal denklem şu denkleme eşdeğerdir: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ ve $x_2=-3$.
Cevap: $x_1=6$ ve $x_2=-3$.

Misal.
Şu denklemi çözün: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
Karar:
Sırayla bir dizi eylem gerçekleştireceğiz ve denklemimizin her iki bölümünü de aynı tabanlara getireceğiz.
Sol tarafta bir dizi işlem gerçekleştirelim:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1)) (4)))^x$.
Sağ tarafa geçelim:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Orijinal denklem denkleme eşdeğerdir:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Cevap: $x=0$.

Misal.
Denklemi çözün: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Karar:
Denklemimizi yeniden yazalım: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Değişkenlerde bir değişiklik yapalım, $a=3^x$ olsun.
Yeni değişkenlerde denklem şu şekilde olacaktır: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ ve $a_2=3$.
Değişkenlerin tersini yapalım: $3^x=-12$ ve $3^x=3$.
Son dersimizde üstel ifadelerin ancak pozitif değerler alabileceğini öğrendik, grafiği hatırlayın. Bu, birinci denklemin çözümü olmadığı, ikinci denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir: $x=1$.
Cevap: $x=1$.

Üstel denklemleri çözmenin yollarına dair bir not yazalım:
1. Grafik yöntemi. Denklemin her iki bölümünü de fonksiyon olarak temsil ediyoruz ve grafiklerini oluşturuyoruz, grafiklerin kesişme noktalarını buluyoruz. (Bu yöntemi son derste kullandık).
2. Göstergelerin eşitliği ilkesi.İlke, aynı tabanlara sahip iki ifadenin, ancak ve ancak bu tabanların dereceleri (üsleri) eşit olduğunda eşit olduğu gerçeğine dayanır. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Değişkenlerin değiştirilmesi yöntemi. Bu method Denklem değişkenleri değiştirirken şeklini basitleştiriyorsa ve çözülmesi çok daha kolaysa kullanılmalıdır.

Misal.
Denklem sistemini çözün: $\begin (durumlar) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(durumlar)$.
Karar.
Sistemin her iki denklemini ayrı ayrı düşünün:
27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
İkinci denklemi düşünün:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Değişkenlerin değiştirilmesi yöntemini kullanalım, $y=2^(x+y)$ olsun.
O zaman denklem şu şekli alacaktır:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ ve $y_2=-3$.
Başlangıç ​​değişkenlerine geçelim, ilk denklemden $x+y=2$ elde ederiz. İkinci denklemin çözümü yoktur. O zaman ilk denklem sistemimiz sisteme eşdeğerdir: $\begin (durumlar) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(durumlar)$.
İkinci denklemi birinci denklemden çıkarın, şunu elde ederiz: $\begin (durumlar) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(durumlar)$.
$\başlangıç ​​(durumlar) y=-1, \\ x=3. \end(durumlar)$.
Cevap: $(3;-1)$.

üstel eşitsizlikler

Gelelim eşitsizliklere. Eşitsizlikleri çözerken derecenin tabanına dikkat etmek gerekir. Eşitsizlikleri çözerken olayların gelişmesi için iki olası senaryo vardır.

Teorem. $a>1$ ise, $a^(f(x))>a^(g(x))$ üstel eşitsizliği $f(x)>g(x)$ eşitsizliğine eşdeğerdir.
0 dolar ise a^(g(x))$, $f(x) ile eşdeğerdir

Misal.
Eşitsizlikleri çözün:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Karar.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşittir:
2x+3>4$.
2x>1$.
$x>0.5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Denklemimizde, derecesi daha küçük olan taban 1'den büyükse, bir eşitsizliği eşdeğeri ile değiştirirken işareti değiştirmek gerekir.
2x-4>2$.
$x>3$.

C) Eşitsizliğimiz eşitsizliğe eşittir:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Aralıklı çözüm yöntemini kullanalım:
Cevap: $(-∞;-5]U)