Фактически формулы (1) и (2) это краткая запись условной вероятности на основе таблицы сопряженности признаков. Вернемся к примеру, рассмотренному (рис. 1). Предположим, что нам стало известно, будто некая семья собирается купить широкоэкранный телевизор. Какова вероятность того, что эта семья действительно купит такой телевизор?

Рис. 1. Поведение покупателей широкоэкранных телевизоров

В данном случае нам необходимо вычислить условную вероятность Р (покупка совершена | покупка планировалась). Поскольку нам известно, что семья планирует покупку, выборочное пространство состоит не из всех 1000 семей, а только из тех, которые планируют покупку широкоэкранного телевизора. Из 250 таких семей 200 действительно купили этот телевизор. Следовательно, вероятность того, что семья действительно купит широкоэкранный телевизор, если она это запланировала, можно вычислить по следующей формуле:

Р (покупка совершена | покупка планировалась) = количество семей, планировавших и купивших широкоэкранный телевизор / количество семей, планировавших купить широкоэкранный телевизор = 200 / 250 = 0,8

Этот же результат дает формула (2):

где событие А заключается в том, что семья планирует покупку широкоформатного телевизора, а событие В - в том, что она его действительно купит. Подставляя в формулу реальные данные, получаем:

Дерево решений

На рис. 1 семьи разделены на четыре категории: планировавшие покупку широкоэкранного телевизора и не планировавшие, а также купившие такой телевизор и не купившие. Аналогичную классификацию можно выполнить с помощью дерева решений (рис. 2). Дерево, изображенное на рис. 2, имеет две ветви, соответствующие семьям, которые планировали приобрести широкоэкранный телевизор, и семьям, которые не делали этого. Каждая из этих ветвей разделяется на две дополнительные ветви, соответствующие семьям, купившим и не купившим широкоэкранный телевизор. Вероятности, записанные на концах двух основных ветвей, являются безусловными вероятностями событий А и А’ . Вероятности, записанные на концах четырех дополнительных ветвей, являются условными вероятностями каждой комбинации событий А и В . Условные вероятности вычисляются путем деления совместной вероятности событий на соответствующую безусловную вероятность каждого из них.

Рис. 2. Дерево решений

Например, чтобы вычислить вероятность того, что семья купит широкоэкранный телевизор, если она запланировала сделать это, следует определить вероятность события покупка запланирована и совершена , а затем поделить его на вероятность события покупка запланирована . Перемещаясь по дереву решения, изображенному на рис. 2, получаем следующий (аналогичный предыдущему) ответ:

Статистическая независимость

В примере с покупкой широкоэкранного телевизора вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор при условии, что она планировала это сделать, равна 200/250 = 0,8. Напомним, что безусловная вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор, равна 300/1000 = 0,3. Отсюда следует очень важный вывод. Априорная информация о том, что семья планировала покупку, влияет на вероятность самой покупки. Иначе говоря, эти два события зависят друг от друга. В противоположность этому примеру, существуют статистически независимые события, вероятности которых не зависят друг от друга. Статистическая независимость выражается тождеством: Р(А|В) = Р(А) , где Р(А|В) - вероятность события А при условии, что произошло событие В , Р(А) - безусловная вероятность события А.

Обратите внимание на то, что события А и В Р(А|В) = Р(А) . Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, это условие выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и В , оно будет справедливым и для любой другой комбинации. В нашем примере события покупка запланирована и покупка совершена не являются статистически независимыми, поскольку информация об одном событии влияет на вероятность другого.

Рассмотрим пример, в котором показано, как проверить статистическую независимость двух событий. Спросим у 300 семей, купивших широкоформатный телевизор, довольны ли они своей покупкой (рис. 3). Определите, связаны ли между собой степень удовлетворенности покупкой и тип телевизора.

Рис. 3. Данные, характеризующие степень удовлетворенности покупателей широкоэкранных телевизоров

Судя по этим данным,

В то же время,

Р (покупатель удовлетворен) = 240 / 300 = 0,80

Следовательно, вероятность того, что покупатель удовлетворен покупкой, и того, что семья купила HDTV-телевизор, равны между собой, и эти события являются статистически независимыми, поскольку никак не связаны между собой.

Правило умножения вероятностей

Формула для вычисления условной вероятности позволяет определить вероятность совместного события А и В . Разрешив формулу (1)

относительно совместной вероятности Р(А и В) , получаем общее, правило умножения вероятностей. Вероятность события А и В равна вероятности события А при условии, что наступило событие В В :

(3) Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)

Рассмотрим в качестве примера 80 семей, купивших широкоэкранный HDTV-телевизор (рис. 3). В таблице указано, что 64 семьи удовлетворены покупкой и 16 - нет. Предположим, что среди них случайным образом выбираются две семьи. Определите вероятность, что оба покупателя окажутся довольными. Используя формулу (3), получаем:

Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)

где событие А заключается в том, что вторая семья удовлетворена своей покупкой, а событие В - в том, что первая семья удовлетворена своей покупкой. Вероятность того, что первая семья удовлетворена своей покупкой, равна 64/80. Однако вероятность того, что вторая семья также удовлетворена своей покупкой, зависит от ответа первой семьи. Если первая семья после опроса не возвращается в выборку (выбор без возвращения), количество респондентов снижается до 79. Если первая семья оказалась удовлетворенной своей покупкой, вероятность того, что вторая семья также будет довольна, равна 63/79, поскольку в выборке осталось только 63 семьи, удовлетворенные своим приобретением. Таким образом, подставляя в формулу (3) конкретные данные, получим следующий ответ:

Р(А и В) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Следовательно, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 63,8%.

Предположим, что после опроса первая семья возвращается в выборку. Определите вероятность того, что обе семьи окажутся довольными своей покупкой. В этом случае вероятности того, что обе семьи удовлетворены своей покупкой одинаковы, и равны 64/80. Следовательно, Р(А и В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким образом, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 64,0%. Этот пример показывает, что выбор второй семьи не зависит от выбора первой. Таким образом, заменяя в формуле (3) условную вероятность Р(А|В) вероятностью Р(А) , мы получаем формулу умножения вероятностей независимых событий.

Правило умножения вероятностей независимых событий. Если события А и В являются статистически независимыми, вероятность события А и В равна вероятности события А , умноженной на вероятность события В .

(4) Р(А и В) = Р(А)Р(В)

Если это правило выполняется для событий А и В , значит, они являются статистически независимыми. Таким образом, существуют два способа определить статистическую независимость двух событий:

1. События А и В являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А|В) = Р(А) .
2. События А и B являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А и В) = Р(А)Р(В) .

Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, одно из этих условий выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и B , оно будет справедливым и для любой другой комбинации.

Безусловная вероятность элементарного события

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

где события B 1 , B 2 , … B k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.

Проиллюстрируем применение этой формулы на примере рис.1. Используя формулу (5), получаем:

Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)

где Р(А) - вероятность того, что покупка планировалась, Р(В 1) - вероятность того, что покупка совершена, Р(В 2) - вероятность того, что покупка не совершена.

ТЕОРЕМА БАЙЕСА

Условная вероятность события учитывает информацию о том, что произошло некое другое событие. Этот подход можно использовать как для уточнения вероятности с учетом вновь поступившей информации, так и для вычисления вероятности, что наблюдаемый эффект является следствием некоей конкретной причины. Процедура уточнения этих вероятностей называется теоремой Байеса. Впервые она была разработана Томасом Байесом в 18 веке.

Предположим, что компания, упомянутая выше, исследует рынок сбыта новой модели телевизора. В прошлом 40% телевизоров, созданных компанией, пользовались успехом, а 60% моделей признания не получили. Прежде чем объявить о выпуске новой модели, специалисты по маркетингу тщательно исследуют рынок и фиксируют спрос. В прошлом успех 80% моделей, получивших признание, прогнозировался заранее, в то же время 30% благоприятных прогнозов оказались неверными. Для новой модели отдел маркетинга дал благоприятный прогноз. Какова вероятность того, что новая модель телевизора будет пользоваться спросом?

Теорему Байеса можно вывести из определений условной вероятности (1) и (2). Чтобы вычислить вероятность Р(В|А), возьмем формулу (2):

и подставим вместо Р(А и В) значение из формулы (3):

Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)

Подставляя вместо Р(А) формулу (5), получаем теорему Байеса:

где события B 1 , В 2 , … В k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.

Введем следующие обозначения: событие S - телевизор пользуется спросом , событие S’ - телевизор не пользуется спросом , событие F - благоприятный прогноз , событие F’ - неблагоприятный прогноз . Допустим, что P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Применяя теорему Байеса получаем:

Вероятность спроса на новую модель телевизора при условии благоприятного прогноза равна 0,64. Таким образом, вероятность отсутствия спроса при условии благоприятного прогноза равна 1–0,64=0,36. Процесс вычислений представлен на рис. 4.

Рис. 4. (а) Вычисления по формуле Байеса для оценки вероятности спроса телевизоров; (б) Дерево решения при исследовании спроса на новую модель телевизора

Рассмотрим пример применения теоремы Байеса для медицинской диагностики. Вероятность того, что человек страдает от определенного заболевания, равна 0,03. Медицинский тест позволяет проверить, так ли это. Если человек действительно болен, вероятность точного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он действительно болен) равна 0,9. Если человек здоров, вероятность ложноположительного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он здоров) равна 0,02. Допустим, что медицинский тест дал положительный результат. Какова вероятность того, что человек действительно болен? Какова вероятность точного диагноза?

Введем следующие обозначения: событие D - человек болен , событие D’ - человек здоров , событие Т - диагноз положительный , событие Т’ - диагноз отрицательный . Из условия задачи следует, что Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Применяя формулу (6), получаем:

Вероятность того, что при положительном диагнозе человек действительно болен, равна 0,582 (см. также рис. 5). Обратите внимание на то, что знаменатель формулы Байеса равен вероятности положительного диагноза, т.е. 0,0464.

Вероятность противоположного события

Рассмотрим некоторое случайное событие A , и пусть его вероятность p(A) известна. Тогда вероятность противоположного события определяется по формуле

. (1.8)

Доказательство. Вспомним, что по аксиоме 3 для несовместных событий

p(A+B) = p(A) + p(B) .

В силу несовместности A и

Следствие. , то есть вероятность невозможного события равна нулю.

С помощью формулы (1.8) определяется, например, вероятность промахнуться, если известна вероятность попадания (или, наоборот, вероятность попадания, если известна вероятность промаха; например, если вероятность попадания для орудия 0,9, вероятность промаха для него (1 – 0,9 = 0,1).

1. Вероятность суммы двух событий

Здесь уместно будет напомнить, что для несовместных событий эта формула имеет вид:

Пример. Завод производит 85% продукции первого сорта и 10% - второго. Остальные изделия считаются браком. Какова вероятность, что взяв наудачу изделие, мы получим брак?

Решение. P = 1 – (0,85 + 0,1) = 0,05.

Вероятность суммы двух любых случайных событий равна

Доказательство. Представим событие A + B в виде суммы несовместных событий

Учитывая несовместность A и , получим согласно аксиоме 3

Аналогично находим

Подставляя последнее в предыдущую формулу, получим искомую (1.10) (рис 2).

Пример. Из 20 студентов 5 человек сдали на двойку экзамен по истории, 4 – по английскому языку, причем, 3 студента получили двойки по обоим предметам. Каков процент студентов в группе, не имеющих двоек по этим предметам?

Решение. P = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0,7 (70%).

1. Условная вероятность

В некоторых случаях необходимо определить вероятность случайного события B при условии, что произошло случайное событие A , имеющее ненулевую вероятность. То, что событие A произошло, сужает пространство элементарных событий до множества A , соответствующего этому событию. Дальнейшие рассуждения проведём на примере классической схемы. Пусть Wсостоит из n равновозможных элементарных событий (исходов) и событию A благоприятствует m(A) , а событию AB - m(AB) исходов. Обозначим условную вероятность события B при условии, что A произошло, - p(B|A). По определению,

= .

Если A произошло, то реализован один из m(A) исходов и событие B может произойти, только если произойдёт один из исходов, благоприятствующих AB ; таких исходов m(AB) . Поэтому естественно положить условную вероятность события B при условии, что A произошло, равной отношению

Обобщая, дадим общее определение: условной вероятностью события B при условии, что событие A с ненулевой вероятностью произошло, называется

. (1.11)

Легко можно проверить, что введённое таким образом определение удовлетворяет всем аксиомам и, следовательно, справедливы все ранее доказанные теоремы.

Часто условную вероятность p(B|A) можно легко найти из условия задачи, в более сложных случаях приходится пользоваться определением (1.11).

Пример. В урне лежит N шаров, из них n белых и N-n черных. Из нее достают шар и, не кладя его обратно (выборка без возвращения ), достают еще один. Чему равна вероятность того, что оба шара белые?

Решение. При решении этой задачи применим и классическое определение вероятности, и правило произведения: обозначим через A событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар (тогда – первым вынули черный шар), а через B – событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

.

Легко видеть, что вероятность того, что три вынутые подряд (без возвращения) шара белые:

и т.д.

Пример. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил только 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй. Определить вероятность того, что второй билет окажется счастливым.

Решение. Пусть событие A заключается в том, что первый вытащенный билет оказался для студента ²плохим², а B - второй - ²хорошим². Поскольку после наступления события A один из ²плохих² уже извлечён, то остаётся всего 29 билетов, из которых 25 студент знает. Отсюда искомая вероятность, предполагая, что появление любого билета равновозможно и они обратно не возвращаются, равна .

1. Вероятность произведения

Соотношение (1.11), предполагая, что p(A) или p(B) не равны нулю, можно записать в виде

Это соотношение называют теоремой о вероятности произведения двух событий , которая может быть обобщена на любое число множителей, например, для трёх она имеет вид

Пример. По условиям предыдущего примера найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Решение. Пусть события A и B заключаются в том, что, соответственно, первый и второй билеты ²хорошие². Тогда – появление ²плохого² билета в первый раз. Экзамен будет сдан, если произойдёт событие A или одновременно и B . То есть искомое событие С - успешная сдача экзамена – выражается следующим образом: C = A + .Отсюда

Здесь мы воспользовались несовместностью A и , а следовательно, несовместностью A и , теоремами о вероятности суммы и произведения и классическим определением вероятности при подсчёте p(A) и .

Эту задачу можно решить и проще, если воспользоваться теоремой о вероятности противоположного события:

1. Независимость событий

Случайные события A и B назовём независимыми , если

Для независимых событий из (1.11) следует, что ; справедливо и обратное утверждение.

Независимость событий означает, что наступление события A не изменяет вероятности появления события B, то есть условная вероятность равна безусловной.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример с урной, содержащей N шаров, из которых n белых, но изменим опыт: вынув шар, мы кладем его обратно и только затем вынимаем следующий (выборка с возвращением ).

A - событие, состоящее в том, что первым вынули белый шар, - событие, состоящее в том, что первым вынули черный шар, а B - событие, состоящее в том, что вторым вынули белый шар; тогда

то есть в этом случае события A и В независимы.

Таким образом, при выборке с возвращением события при втором вынимании шара не зависят от событий первого вынимания, а при выборке без возвращения это не так. Однако при больших N и n эти вероятности очень близки к друг другу. Этим пользуются, так как иногда производят выборку без возвращения (например, при контроле качества, когда тестирование объекта приводит к его разрушению), а расчеты проводят по формулам для выборки с возвращением, которые проще.

На практике при расчете вероятностей часто пользуются правилом, согласно которому из физической независимости событий следует их независимость в теоретико-вероятностном смысле.

Пример. Вероятность того, что человек в возрасте 60 лет не умрет в ближайший год, равна 0,91. Страховая компания страхует на год жизнь двух людей 60-ти лет.

Вероятность того, что ни один из них не умрет: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Вероятность того, что они оба умрут:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Вероятность того, что умрет хотя бы один :

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Вероятность того, что умрет один :

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Систему событий A 1 , A 2 ,..., A n назовём независимой в совокупности, если вероятность произведения равна произведению вероятностей для любой комбинации сомножителей из этой системы. В этом случае, в частности,

Пример. Шифр сейфа состоит из семи десятичных цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

В каждой из 7 позиций можно набрать любую из 10 цифр 0,1,2,...,9, всего 10 7 чисел, начиная с 0000000 и кончая 9999999.

Пример. Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и трех цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Пример. В более общем виде задача о страховке: вероятность того, что человек в возрасте … лет не умрет в ближайший год, равна p. Страховая компания страхует на год жизнь n людей этого возраста.

Вероятность того, что ни один из них не умрет: pn (не придется платить страховую премию никому).

Вероятность того, что умрет хотя бы один : 1 – p n (предстоят выплаты).

Вероятность того, что они все умрут: (1 – p) n (самые большие выплаты).

Вероятность того, что умрет один : n × (1 – p) × p n-1 (если людей пронумеровать, то тот, кто умрет, может иметь номер 1, 2,…,n – это n разных событий, каждое из которых имеет вероятность (1 – p) × p n-1).

1. Формула полной вероятности

Пусть события H 1 , H 2 , ... , H n удовлетворяют условиям

Если , и .

Такую совокупность называют полной группой событий .

Предположим, что известны вероятности p (H i ), p (A/H i ). В этом случае применима формула полной вероятности

. (1.14)

Доказательство. Воспользуемся тем, что H i (их обычно называют гипотезами ) попарно несовместны (следовательно несовместны и H i × A ), и их сумма есть достоверное событие

Эта схема имеет место всегда, когда можно говорить о разбиении всего пространства событий на несколько, вообще говоря, разнородных областей. В экономике это – разбиение страны или района на регионы разного размера и разных условий, когда известна доля каждого региона p(H i) и вероятность (доля) какого-то параметра в каждом регионе (например, процент безработных – в каждом регионе он свой) – p(A/H i) . На складе может лежать продукция с трех разных заводов, поставляющих разное количество продукции с разной долей брака и т.д.

Пример. Литье в болванках поступает из двух цехов в третий: 70% из первого и 30% из второго. При этом продукция первого цеха имеет 10% брака, а второго – 20%. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка имеет дефект.

Решение: p(H 1) = 0,7; p(H 2) = 0,3; p(A/H 1) = 0,1; p(A/H 2) = 0,2;

P = 0,7 × 0.1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (в среднем 13% болванок в третьем цехе дефектны).

Математическая модель может быть, например, такой: имеется несколько урн разного состава; в первой урне n 1 шаров, из которых m 1 белых, и т.д. По формуле полной вероятности ищется вероятность, выбрав наугад урну, достать из нее белый шар.

По этой же схеме решаются задачи и в общем случае.

Пример. Вернемся к примеру с урной, содержащей N шаров, из которых n белых. Достаем из нее (без возвращения) два шара. Какова вероятность, что второй шар белый?

Решение. H 1 – первый шар белый; p(H 1)=n/N;

H 2 – первый шар черный; p(H 2)=(N-n)/N;

В - второй шар белый; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H 2)=n/(N-1);

Эта же модель может быть применена при решении такой задачи: из N билетов студент выучил только n. Что ему выгоднее – тянуть билет самым первым или вторым? Оказывается, в любом случае он с вероятностью n/N вытянет хороший билет и с вероятностью (N-n)/N – плохой.

Пример. Определить вероятность того, что путник, вышедший из пункта А, попадёт в пункт В, если на развилке дорог он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной). Схема дорог указана на рис. 1.3.

Решение. Пусть приход путника в пункты H 1 , H 2 , H 3 и H 4 будет соответствующими гипотезами. Очевидно, они образуют полную группу событий и по условию задачи

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Все направления из А для путника равновозможны). Согласно схеме дорог условные вероятности попадания в B при условии, что путник прошёл через H i , равны:

Применяя формулу полной вероятности, получим

1. Формула Байеса

Предположим, что выполняются условия предыдущего пункта и дополнительно известно, что событие A произошло. Найдём вероятность того, что при этом была реализована гипотеза H k. По определению условной вероятности

. (1.15)

Полученное соотношение называют формулой Байеса . Она позволяет по известным
(до проведения опыта) априорным вероятностям гипотез p(H i) и условным вероятностям p(A|H i) определить условную вероятность p(H k |A) , которую называют апостериорной (то есть полученной при условии, что в результате опыта событие A уже произошло).

Пример. 30% пациентов, поступивших в больницу, принадлежат первой социальной группе, 20% - второй и 50% - третьей. Вероятность заболевания туберкулёзом для представителя каждой социальной группы, соответственно, равна 0,02, 0,03 и 0,01. Проведенные анализы для случайно выбранного пациента показали наличие туберкулёза. Найти вероятность того, что это представитель третьей группы.

В экономике, так же как и в других областях человеческой деятельности или в природе, постоянно приходится иметь дело с событиями, которые невозможно точно предсказать. Так, объем продаж товара зависит от спроса, который может существенно изменяться, и от ряда других факторов, которые учесть практически нереально. Поэтому при организации производства и осуществлении продаж приходится прогнозировать исход такой деятельности на основе либо собственного предыдущего опыта, либо аналогичного опыта других людей, либо интуиции, которая в значительной степени тоже опирается на опытные данные.

Чтобы каким-то образом оценить рассматриваемое событие, необходимо учитывать или специально организовывать условия, в которых фиксируется это событие.

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента .

Событие называется случайным , если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным , если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным , если оно не может появиться в этом опыте.

Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

Алгебра событий

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в одном и том же опыте. Так, наличие двух и трех автомашин в одном магазине для продажи в одно и то же время — это два несовместных события.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий

В качестве примера суммы событий можно назвать наличие в магазине хотя бы одного из двух товаров.

Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий

Событие, состоящее в появлении одновременно в магазине двух товаров является произведением событий: -появление одного товара, — появление другого товара.

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

Пример. В порту имеется два причала для приема судов. Можно рассмотреть три события: — отсутствие судов у причалов, — присутствие одного судна у одного из причалов, — присутствие двух судов у двух причалов. Эти три события образуют полную группу событий.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу.

Если одно из событий, являющихся противоположными, обозначить через , то противоположное событие обычно обозначают через .

Классическое и статистическое определения вероятности события

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое .

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее
количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

где — вероятность события , — число благоприятствующих событию исходов, — общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.

Относительная частота появления события вычисляется по формуле

где - число появления события в серии из опытов (испытаний).

Статистическое определение . Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота при неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события принимается относительная частота при достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Все на свете происходит детерминировано или случайно…
Аристотель

Вероятность: основные правила

Теория вероятностей вычисляет вероятности различных событий. Основным в теории вероятностей является понятие случайного события.

Например, вы бросаете монету, она случайным образом падает на герб или решку. Заранее вы не знаете, на какую сторону монета упадет. Вы заключаете договор страхования, заранее вы не знаете, будут или нет проводиться выплаты.

В актуарных расчетах нужно уметь оценивать вероятность различных событий, поэтому теория вероятностей играет ключевую роль. Ни одна другая область математики не может оперировать с вероятностями событий.

Рассмотрим более подробно подбрасывание монеты. Имеется 2 взаимно исключающих исхода: выпадение герба или выпадение решки. Исход бросания является случайным, так как наблюдатель не может проанализировать и учесть все факторы, которые влияют на результат. Какова вероятность выпадения герба? Большинство ответит ½, но почему?

Пусть формально А обозначает выпадение герба. Пусть монета бросается n раз. Тогда вероятность события А можно определить как долю тех бросков, в результате которых выпадает герб:

где n общее количество бросков, n(A) число выпадений герба.

Отношение (1) называется частотой события А в длинной серии испытаний.

Оказывается, в различных сериях испытаний соответствующая частота при больших n группируется около некоторой постоянной величины Р(А) . Эта величина называется вероятностью события А и обозначается буквой Р - сокращение от английского слова probability - вероятность .

Формально имеем:

(2)

Этот закон называется законом больших чисел.

Если монета правильная (симметричная), то вероятность выпадения герба равняется вероятности выпадения решки и равняется ½.

Пусть А и В некоторые события, например, произошел или нет страховой случай. Объединением двух событий называется событие, состоящее в выполнении события А , события В , или обоих событий вместе. Пересечением двух событий А и В называется событие, состоящее в осуществлении как события А , так и события В .

Основные правила исчисления вероятностей событий следующие:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

2. Пусть А и В два события, тогда:

Читается так: вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность пересечения событий. Если события являются несовместными или непересекающимися, то вероятность объединения (суммы) двух событий равна сумме вероятностей. Этот закон называется законом сложения вероятностей .

Мы говорим, что события является достоверным, если его вероятность равна 1. При анализе тех или иных явлений возникает вопрос, как влияет наступление события В на наступление события А . Для этого вводится условная вероятность :

(4)

Читается так: вероятность наступления А при условии В равняется вероятности пересечения А и В , деленной на вероятность события В .
В формуле (4) предполагается, что вероятность события В больше нуля.

Формулу (4) можно записать также в виде:

(5)

Это формула умножения вероятностей.

Условную вероятность называют также апостериорной вероятностью события А - вероятность наступления А после наступления В .

В этом случае саму вероятность называют априорной вероятностью. Имеется еще несколько важных формул, которые интенсивно используются в актуарных расчетах.

Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимно исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо. Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности :

(6)

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

Формула Байеса

Формула Байеса позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А .

Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

Рассмотрим следующую практическую задачу.

Задача 1

Предположим, произошла авиакатастрофа и эксперты заняты исследованием ее причин. Заранее известны 4 причины, по которым произошла катастрофа: либо причина, либо , либо , либо . По имеющейся статистике эти причины имеют следующие вероятности:

При осмотре места катастрофы найдены следы воспламенения горючего, согласно статистике вероятность этого события при тех или иных причинах такая:

Вопрос: какая причина катастрофы наиболее вероятна?

Вычислим вероятности причин при условия наступления события А .

Отсюда видно, что наиболее вероятной является первая причина, так как ее вероятность максимальна.

Задача 2

Рассмотрим посадку самолета на аэродром.

При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1 . Во втором случае - Р2 . Ясно, что P1>P2 .

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р . Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3 , причем Р3<Р2 . Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Найти вероятность благополучной посадки самолета.

Нужно найти вероятность .

Имеются два взаимно исключающих варианта: приборы слепой посадки действуют, приборы слепой посадки отказали, поэтому имеем:

Отсюда по формуле полной вероятности:

Задача 3

Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года равна 0.01 Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.

Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли в течение года?

Варианты ответов: (А) 5%, (Б) 20%, (В) 36 %, (Г) 56%, (Д) 90%.

Решение

Введём события:

Условие задачи означает, что

Кроме того, поскольку события и образуют полную группу попарно несовместимых событий, то .
Интересующая нас вероятность - это .

Используя формулу Байеса, мы имеем:

поэтому верным является вариант (В ).

Задача 4

Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.

50% всех застрахованных являются стандартными, 40% - привилегированными и 10% - ультрапривилегированными.

Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного - 0.005, а для ультра привилегированного - 0.001.

Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?

Решение

Введем в рассмотрение следующие события:

В терминах этих событий интересующая нас вероятность - это . По условию:

Поскольку события , , образуют полную группу попарно несовместимых событий, используя формулу Байеса мы имеем:

Случайные величины и их характеристики

Пусть некоторая случайная величина, например, ущерб от пожара или величина страховых выплат.
Случайная величина полностью характеризуется своей функцией распределения.

Определение. Функция называется функцией распределения случайной величины ξ .

Определение. Если существует такая функция , что для произвольных a выполнено

то говорят, что случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятности f(x) .

Определение. Пусть . Для непрерывной функции распределения F теоретической α-квантилью называется решение уравнения .

Такое решение может быть не единственным.

Квантиль уровня ½ называется теоретической медианой , квантили уровней ¼ и ¾ - нижней и верхней квартилями соответственно.

В актуарных приложениях важную роль играет неравенство Чебышева:

при любом

Символ математического ожидания.

Читается так: вероятность того, что модуль больше меньше или равняется математическому ожиданию величины модуль , деленному на .

Время жизни как случайная величина

Неопределенность момента смерти является основным фактором риска при страховании жизни.

Относительно момента смерти отдельного человека нельзя сказать ничего определенного. Однако если мы имеем дело с большой однородной группой людей и не интересуемся судьбой отдельных людей из этой группы, то мы находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.

Соответственно, мы можем говорить о продолжительности жизни как о случайной величине Т.

Функция выживания

В теории вероятностей описывают стохастическую природу любой случайной величины Т функцией распределения F (x), которая определяется как вероятность того, что случайная величина Т меньше, чем число x :

.

В актуарной математике приятно работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительной жизни - это вероятность того, что человек доживет до возраста x лет.

называется функцией выживания (survival function ):

Функция выживания обладает следующими свойствами:

В таблицах продолжительности жизни обычно считают, что существует некоторый предельный возраст (limiting age ) (как правило, лет) и соответственно при x >.

При описании смертности аналитическими законами обычно считают, что время жизни неограниченно, однако подбирают вид и параметры законов так, чтобы вероятность жизни свыше некоторого возраста была пренебрежимо мала.

Функция выживания имеет простой статистический смысл.

Допустим, что мы наблюдаем за группой из новорожденных (как правило, ), которых мы наблюдаем и можем фиксировать моменты их смерти.

Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте через . Тогда:

.

Символ E здесь и ниже используется для обозначения математического ожидания.

Итак, функция выживания равна средней доле доживших до возраста из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с только что введенной величиной (зафиксировав начальный размер группы ).

Функция выживания может быть восстановлена по плотности:

Характеристики продолжительности жизни

С практической точки зрения важны следующие характеристики:

1 . Среднее время жизни

,
2 . Дисперсия времени жизни

,
где
,

Хотите узнать, какие математические шансы на успех вашей ставки? Тогда для вас есть две хорошие новости. Первая: чтобы посчитать проходимость, не нужно проводить сложные расчеты и тратить большое количество времени. Достаточно воспользоваться простыми формулами, работа с которыми займёт пару минут. Вторая: после прочтения этой статьи вы с лёгкостью сможете рассчитывать вероятность прохода любой вашей сделки.

Чтобы верно определить проходимость, нужно сделать три шага:

• Рассчитать процент вероятности исхода события по мнению букмекерской конторы;
• Вычислить вероятность по статистическим данным самостоятельно;
• Узнать ценность ставки, учитывая обе вероятности.

Рассмотрим подробно каждый из шагов, применяя не только формулы, но и примеры.

Быстрый переход

Подсчёт вероятности, заложенной в букмекерские коэффициенты

Первый шаг – необходимо узнать, с какой вероятностью оценивает шансы на тот или иной исход сам букмекер. Ведь понятно, что кэфы букмекерские конторы не ставят просто так. Для этого пользуемся следующей формулой:

P Б =(1/K)*100%,

где P Б – вероятность исхода по мнению букмекерской конторы;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, на победу лондонского Арсенала в поединке против Баварии коэффициент 4. Это значит, что вероятность его виктории БК расценивают как (1/4)*100%=25%. Или же Джокович играет против Южного. На победу Новака множитель 1.2, его шансы равны (1/1.2)*100%=83%.

Так оценивает шансы на успех каждого игрока и команды сама БК. Осуществив первый шаг, переходим ко второму.

Расчёт вероятности события игроком

Второй пункт нашего плана – собственная оценка вероятности события. Так как мы не можем учесть математически такие параметры как мотивация, игровой тонус, то воспользуемся упрощённой моделью и будем пользоваться только статистикой предыдущих встреч. Для расчёта статистической вероятности исхода применяем формулу:

P И =(УМ/М)*100%,

где P И – вероятность события по мнению игрока;

УМ – количество успешных матчей, в которых такое событие происходило;

М – общее количество матчей.

Чтобы было понятней, приведём примеры. Энди Маррей и Рафаэль Надаль сыграли между собой 14 матчей. В 6 из них был зафиксирован тотал меньше 21 по геймам, в 8 – тотал больше. Необходимо узнать вероятность того, что следующий поединок будет сыгран на тотал больше: (8/14)*100=57%. Валенсия сыграла на Месталье против Атлетико 74 матча, в которых одержала 29 побед. Вероятность победы Валенсии: (29/74)*100%=39%.

И это все мы узнаем только благодаря статистике предыдущих игр! Естественно, что на какую-то новую команду или игрока такую вероятность просчитать не получится, поэтому такая стратегия ставок подойдет только для матчей, в которых соперники встречаются не первый раз. Теперь мы умеем определять букмекерскую и собственную вероятности исходов, и у нас есть все знания, чтобы перейти к последнему шагу.

Определение ценности ставки

Ценность (валуйность) пари и проходимость имеют непосредственную связь: чем выше валуйность, тем выше шанс на проход. Рассчитывается ценность следующим образом:

V= P И *K-100%,

где V – ценность;

P И – вероятность исхода по мнению беттера;

K – коэффициент БК на исход.

Допустим, мы хотим поставить на победу Милана в матче против Ромы и подчитали, что вероятность победы «красно-черных» 45%. Букмекер предлагает нам на это исход коэффициент 2.5. Будет ли такое пари ценным? Проводим расчёты: V=45%*2.5-100%=12.5%. Отлично, перед нами ценная ставка с хорошими шансами на проход.

Возьмём другой случай. Мария Шарапова играет против Петры Квитовой. Мы хотим заключить сделку на победу Марии, вероятность которой по нашим расчетам 60%. Конторы предлагают на этот исход множитель 1.5. Определяем валуйность: V=60%*1.5-100=-10%. Как видим, ценности эта ставка не представляет и от неё следует воздержаться.