პირველი დონე

გეომეტრიული პროგრესია. ყოვლისმომცველი სახელმძღვანელომაგალითებით (2019)

რიცხვითი თანმიმდევრობა

მოდით დავსხდეთ და დავიწყოთ რამდენიმე რიცხვის წერა. Მაგალითად:

თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და შეიძლება იყოს რამდენიც გსურთ (ჩვენს შემთხვევაში, ისინი). რამდენი რიცხვიც არ უნდა დავწეროთ, ყოველთვის შეგვიძლია ვთქვათ, რომელია პირველი, რომელია მეორე და ასე შემდეგ ბოლომდე, ანუ შეგვიძლია მათი დათვლა. ეს არის რიცხვების თანმიმდევრობის მაგალითი:

რიცხვითი თანმიმდევრობაარის რიცხვების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს შეიძლება მიენიჭოს უნიკალური ნომერი.

მაგალითად, ჩვენი თანმიმდევრობისთვის:

მინიჭებული ნომერი სპეციფიკურია მხოლოდ ერთი რიგითი ნომრისთვის. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მიმდევრობაში არ არის სამი მეორე რიცხვი. მეორე რიცხვი (ისევე როგორც -ე რიცხვი) ყოველთვის იგივეა.

რიცხვის მქონე რიცხვს მიმდევრობის მე-მე წევრი ეწოდება.

ჩვენ ჩვეულებრივ მთელ მიმდევრობას ვუწოდებთ რაღაც ასოს (მაგალითად,) და ამ მიმდევრობის თითოეულ წევრს - იგივე ასო, ამ წევრის რიცხვის ტოლი ინდექსით: .

ჩვენს შემთხვევაში:

პროგრესირების ყველაზე გავრცელებული ტიპები არის არითმეტიკული და გეომეტრიული. ამ თემაში ვისაუბრებთ მეორე სახეობაზე - გეომეტრიული პროგრესია.

რატომ გვჭირდება გეომეტრიული პროგრესია და მისი ისტორია?

ჯერ კიდევ ძველ დროში იტალიელი მათემატიკოსი, ბერი ლეონარდო პიზაელი (უფრო ცნობილი როგორც ფიბონაჩი) ეხებოდა ვაჭრობის პრაქტიკულ საჭიროებებს. ბერს დადგა დავალება, დაედგინა, რა არის ყველაზე მცირე რაოდენობის საწონები, რომლითაც შეიძლება საქონელი აწონო? თავის ნაშრომებში ფიბონაჩი ამტკიცებს, რომ წონების ასეთი სისტემა ოპტიმალურია: ეს არის ერთ-ერთი პირველი სიტუაციიდან, როდესაც ადამიანებს უწევთ გამკლავება გეომეტრიულ პროგრესიასთან, რომლის შესახებაც ალბათ გსმენიათ და გაქვთ სულ მცირე. ზოგადი კონცეფცია. მას შემდეგ რაც სრულად გაიგებთ თემას, დაფიქრდით, რატომ არის ასეთი სისტემა ოპტიმალური?

დღეისათვის ცხოვრების პრაქტიკაში გეომეტრიული პროგრესია იჩენს თავს ბანკში ფულის დაბანდებისას, როდესაც პროცენტის ოდენობა ირიცხება წინა პერიოდის ანგარიშზე დაგროვილ თანხაზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ დადებთ ფულს შემნახველ ბანკში ვადიან დეპოზიტზე, მაშინ ერთ წელიწადში ანაბარი გაიზრდება საწყისი თანხიდან, ე.ი. ახალი თანხატოლი იქნება შენატანის გამრავლებული. კიდევ ერთ წელიწადში ეს თანხა გაიზრდება, ე.ი. იმ დროს მიღებული თანხა ისევ მრავლდება და ა.შ. მსგავსი სიტუაციაა აღწერილი გამოთვლის პრობლემებში ე.წ საერთო ინტერესი- პროცენტი აღებულია ყოველ ჯერზე ანგარიშზე არსებული თანხიდან, წინა პროცენტის გათვალისწინებით. ამ ამოცანების შესახებ ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებთ.

არსებობს კიდევ ბევრი მარტივი შემთხვევა, როდესაც გამოიყენება გეომეტრიული პროგრესია. მაგალითად, გრიპის გავრცელება: ერთმა ადამიანმა დააინფიცირა ადამიანი, მათ, თავის მხრივ, დააინფიცირეს მეორე ადამიანი და ამით ინფექციის მეორე ტალღა - ადამიანი და მათ, თავის მხრივ, დაინფიცირეს მეორე ... და ასე შემდეგ.. .

სხვათა შორის, ფინანსური პირამიდა, იგივე MMM, არის მარტივი და მშრალი გამოთვლა გეომეტრიული პროგრესიის თვისებების მიხედვით. საინტერესოა? მოდი გავარკვიოთ.

გეომეტრიული პროგრესია.

ვთქვათ, გვაქვს რიცხვების თანმიმდევრობა:

მაშინვე გიპასუხებთ, რომ ეს მარტივია და ასეთი თანმიმდევრობის სახელი არის არითმეტიკული პროგრესია მისი წევრების სხვაობით. რაც შეეხება ასეთ რამეს:

თუ წინა რიცხვს გამოაკლებთ შემდეგ რიცხვს, დაინახავთ, რომ ყოველ ჯერზე მიიღებთ ახალ განსხვავებას (და ასე შემდეგ), მაგრამ თანმიმდევრობა ნამდვილად არსებობს და ადვილად შესამჩნევია - ყოველი შემდეგი რიცხვი ჯერ უფრო დიდია ვიდრე წინა. !

ამ ტიპის თანმიმდევრობას ე.წ გეომეტრიული პროგრესიადა აღინიშნება.

გეომეტრიული პროგრესია ( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

შეზღუდვები, რომ პირველი წევრი ( ) არ არის ტოლი და არ არის შემთხვევითი. ვთქვათ, რომ არ არსებობს და პირველი წევრი მაინც ტოლია, და q არის, ჰმ.. მოდით, მაშინ გამოდის:

დამეთანხმებით, რომ ეს არ არის პროგრესი.

როგორც გესმით, იგივე შედეგებს მივიღებთ, თუ ეს არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა, მაგრამ. ამ შემთხვევაში, უბრალოდ არ იქნება პროგრესი, რადგან მთელი რიცხვების სერიაიქნება ან ყველა ნული, ან ერთი რიცხვი და ყველა სხვა ნული.

ახლა უფრო დეტალურად ვისაუბროთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელზე, ანუ დაახლოებით.

გავიმეოროთ: - ეს არის რიცხვი, რამდენჯერ იცვლება ყოველი მომდევნო ტერმინიგეომეტრიული პროგრესია.

როგორ ფიქრობთ, რა შეიძლება იყოს? ასეა, დადებითი და უარყოფითი, მაგრამ არა ნული (ამაზე ცოტა მაღლა ვისაუბრეთ).

ვთქვათ, გვაქვს დადებითი. მოდით ჩვენს შემთხვევაში, ა. რა არის მეორე ვადა და? ამაზე მარტივად შეგიძლიათ უპასუხოთ:

Კარგი. შესაბამისად, თუ, მაშინ პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითი.

რა მოხდება, თუ ის უარყოფითია? მაგალითად, ა. რა არის მეორე ვადა და?

სულ სხვა ამბავია

შეეცადეთ დათვალოთ ამ პროგრესირების ვადა. რამდენი მიიღეთ? Მე მაქვს. ამრიგად, თუ, მაშინ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ნიშნები ერთმანეთს ენაცვლება. ანუ თუ მის წევრებში ხედავთ პროგრესიას ალტერნატიული ნიშნებით, მაშინ მისი მნიშვნელი უარყოფითია. ეს ცოდნა დაგეხმარებათ გამოცადოთ საკუთარი თავი ამ თემაზე პრობლემების გადაჭრისას.

ახლა ცოტა ვივარჯიშოთ: შეეცადეთ დაადგინოთ რომელი რიცხვითი მიმდევრობაა გეომეტრიული პროგრესია და რომელი არითმეტიკული:

Გავიგე? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

• გეომეტრიული პროგრესია - 3, 6.
• არითმეტიკული პროგრესია - 2, 4.
• ეს არ არის არც არითმეტიკული და არც გეომეტრიული პროგრესია - 1, 5, 7.

დავუბრუნდეთ ჩვენს ბოლო პროგრესიას და შევეცადოთ ვიპოვოთ მისი ტერმინი ისევე, როგორც არითმეტიკაში. როგორც თქვენ ალბათ მიხვდით, მისი პოვნის ორი გზა არსებობს.

თითოეულ წევრს თანმიმდევრულად ვამრავლებთ.

ასე რომ, აღწერილი გეომეტრიული პროგრესიის მე-მე წევრი უდრის.

როგორც უკვე მიხვდით, ახლა თქვენ თვითონ გამოიმუშავებთ ფორმულას, რომელიც დაგეხმარებათ გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრის პოვნაში. ან თქვენ უკვე გამოიტანეთ ეს თქვენთვის და აღწერეთ, როგორ უნდა იპოვოთ მე-ე წევრი ეტაპობრივად? თუ ასეა, მაშინ შეამოწმეთ თქვენი მსჯელობის სისწორე.

მოდით ავხსნათ ეს ამ პროგრესიის მე-მე წევრის პოვნის მაგალითით:

Სხვა სიტყვებით:

იპოვნეთ მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა.

მოხდა? შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

მიაქციეთ ყურადღება, რომ ზუსტად იგივე რიცხვი მიიღეთ, რაც წინა მეთოდში, როდესაც ჩვენ თანმიმდევრულად ვამრავლებთ გეომეტრიული პროგრესიის თითოეულ წინა წევრზე.
შევეცადოთ ამ ფორმულის „დეპერსონალიზაციას“ - მივიღებთ მას ზოგად ფორმაში და მივიღებთ:

მიღებული ფორმულა მართალია ყველა მნიშვნელობისთვის - როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი. თავად შეამოწმეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირობების გამოთვლით შემდეგი პირობებით: , ა.

დაითვალეთ? მოდით შევადაროთ შედეგები:

დამეთანხმებით, რომ პროგრესის წევრის პოვნა შესაძლებელი იქნებოდა წევრის მსგავსად, თუმცა არსებობს არასწორი გაანგარიშების შესაძლებლობა. და თუ ჩვენ უკვე ვიპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მე-ა ტერმინი, მაშინ რა შეიძლება იყოს უფრო ადვილი, ვიდრე ფორმულის „შეკვეცილი“ ნაწილის გამოყენება.

უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია.

ცოტა ხნის წინ, ჩვენ ვისაუბრეთ იმაზე, რაც შეიძლება იყოს ნულზე მეტი და ნაკლები, თუმცა, არსებობს განსაკუთრებული მნიშვნელობებირომლის მიხედვითაც გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება უსასრულოდ მცირდება.

როგორ ფიქრობთ, რატომ აქვს მას ასეთი სახელი?
დასაწყისისთვის, მოდით ჩამოვწეროთ წევრებისგან შემდგარი გეომეტრიული პროგრესია.
მაშინ ვთქვათ:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ყოველი მომდევნო ტერმინი ჯერებით ნაკლებია წინაზე, მაგრამ იქნება თუ არა რაიმე რიცხვი? თქვენ მაშინვე პასუხობთ - "არა". ამიტომ უსასრულოდ კლებადი - იკლებს, იკლებს, მაგრამ არასოდეს არ ხდება ნულოვანი.

იმის გასაგებად, თუ როგორ გამოიყურება ეს ვიზუალურად, შევეცადოთ დავხატოთ ჩვენი პროგრესირების გრაფიკი. ასე რომ, ჩვენს შემთხვევაში, ფორმულა იღებს შემდეგ ფორმას:

სქემებზე ჩვენ მიჩვეული ვართ დამოკიდებულების შექმნას, ამიტომ:

გამოთქმის არსი არ შეცვლილა: პირველ ჩანაწერში ჩვენ ვაჩვენეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიგით რიცხვზე, ხოლო მეორე ჩანაწერში უბრალოდ ავიღეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის მნიშვნელობა და რიგითი ნომერი დასახელდა არა როგორც, არამედ როგორც. დარჩენილია მხოლოდ გრაფიკის დახაზვა.
ვნახოთ რა გაქვთ. აი ეს სქემა მივიღე:

ნახე? ფუნქცია მცირდება, მიდრეკილია ნულისკენ, მაგრამ არასოდეს კვეთს მას, ამიტომ ის უსასრულოდ მცირდება. მოდით აღვნიშნოთ ჩვენი პუნქტები გრაფიკზე და ამავდროულად რას ნიშნავს კოორდინატი და მნიშვნელობა:

სცადეთ სქემატურად გამოსახოთ გეომეტრიული პროგრესიის გრაფიკი, თუ მისი პირველი წევრიც ტოლია. გაანალიზეთ, რა განსხვავებაა ჩვენს წინა სქემასთან?

მოახერხე? აი ეს სქემა მივიღე:

ახლა, როდესაც თქვენ სრულად გაიგეთ გეომეტრიული პროგრესიის თემის საფუძვლები: თქვენ იცით, რა არის ის, იცით, როგორ იპოვოთ მისი ტერმინი და ასევე იცით, რა არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია, მოდით გადავიდეთ მის მთავარ თვისებაზე.

გეომეტრიული პროგრესიის თვისება.

გახსოვთ არითმეტიკული პროგრესიის წევრების თვისება? დიახ, დიახ, როგორ ვიპოვოთ პროგრესიის გარკვეული რაოდენობის მნიშვნელობა, როდესაც არსებობს ამ პროგრესიის წევრების წინა და შემდგომი მნიშვნელობები. Გაიხსენა? ეს:

ახლა ჩვენ ზუსტად იგივე კითხვის წინაშე ვდგავართ გეომეტრიული პროგრესიის თვალსაზრისით. ასეთი ფორმულის გამოსაყვანად დავიწყოთ ხატვა და მსჯელობა. ნახავ, ძალიან ადვილია და თუ დაგავიწყდა, თავადაც გამოიტანე.

ავიღოთ კიდევ ერთი მარტივი გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც ვიცით და. როგორ მოვძებნოთ? არითმეტიკული პროგრესიით, ეს მარტივი და მარტივია, მაგრამ როგორ არის აქ? სინამდვილეში, გეომეტრიაშიც არაფერია რთული - თქვენ უბრალოდ უნდა დახატოთ თითოეული ჩვენთვის მოცემული მნიშვნელობა ფორმულის მიხედვით.

გეკითხებით და ახლა რა ვუყოთ? დიახ, ძალიან მარტივი. დასაწყისისთვის, მოდით გამოვსახოთ ეს ფორმულები ნახატზე და შევეცადოთ სხვადასხვა მანიპულაციების გაკეთება მათთან, რათა მივიღოთ მნიშვნელობა.

ჩვენ აბსტრაქტულნი ვართ იმ რიცხვებიდან, რომლებიც მოცემულია, ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ მხოლოდ მათ გამოხატვაზე ფორმულის საშუალებით. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ხაზგასმული მნიშვნელობა ფორთოხალი, იცის მის მიმდებარე ტერმინები. შევეცადოთ მათთან ერთად წარმოება სხვადასხვა აქტივობები, რის შედეგადაც შეგვიძლია მივიღოთ.

დამატება.
შევეცადოთ დავამატოთ ორი გამონათქვამი და მივიღებთ:

ამ გამოთქმიდან, როგორც ხედავთ, ვერანაირად ვერ გამოვხატავთ, შესაბამისად, შევეცდებით სხვა ვარიანტს - გამოკლებას.

გამოკლება.

როგორც ხედავთ, აქედანაც ვერ გამოვხატავთ, შესაბამისად, შევეცდებით ამ გამოთქმების ერთმანეთზე გამრავლებას.

გამრავლება.

ახლა კარგად დააკვირდით რა გვაქვს, გავამრავლოთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინები, რაც უნდა ვიპოვოთ:

გამოიცანით რაზე ვსაუბრობ? მართალია, რომ ვიპოვოთ, უნდა ავიღოთ Კვადრატული ფესვიგეომეტრიული პროგრესიის რიცხვებიდან სასურველი რიცხვის მიმდებარედ გამრავლებული ერთმანეთზე:

კარგად. თქვენ თავად გამოიტანეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისება. სცადეთ დაწეროთ ეს ფორმულა ზოგადი ხედი. მოხდა?

დაგავიწყდა პირობა როდის? იფიქრეთ იმაზე, თუ რატომ არის ეს მნიშვნელოვანი, მაგალითად, შეეცადეთ გამოთვალოთ იგი საკუთარ თავს. რა ხდება ამ შემთხვევაში? მართალია, სრული სისულელეა, რადგან ფორმულა ასე გამოიყურება:

შესაბამისად, არ დაივიწყოთ ეს შეზღუდვა.

ახლა გამოვთვალოთ რა არის

Სწორი პასუხი - ! თუ არ დაგავიწყდა მეორე შესაძლო მნიშვნელობა, მაშინ თქვენ შესანიშნავი თანამოაზრე ხართ და შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გააგრძელოთ ვარჯიში, ხოლო თუ დაგავიწყდათ, წაიკითხეთ რა არის გაანალიზებული ქვემოთ და ყურადღება მიაქციეთ, რატომ არის საჭირო პასუხში ორივე ძირის ჩაწერა.

მოდით დავხატოთ ჩვენი ორივე გეომეტრიული პროგრესია - ერთი მნიშვნელობით, მეორე კი მნიშვნელობით და შევამოწმოთ, აქვს თუ არა ორივეს არსებობის უფლება:

იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, არსებობს თუ არა ასეთი გეომეტრიული პროგრესია, საჭიროა დავინახოთ, არის თუ არა იგი ერთნაირი მის ყველა მოცემულ წევრს შორის? გამოთვალეთ q პირველი და მეორე შემთხვევებისთვის.

ნახეთ, რატომ უნდა დავწეროთ ორი პასუხი? რადგან საჭირო ტერმინის ნიშანი დამოკიდებულია იმაზე, დადებითია თუ უარყოფითი! და რადგან არ ვიცით რა არის, ორივე პასუხი უნდა დავწეროთ პლიუსით და მინუსებით.

ახლა, როცა აითვისეთ ძირითადი პუნქტები და გამოიტანეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისების ფორმულა, იპოვეთ, იცოდეთ და

შეადარეთ თქვენი პასუხები სწორ პასუხებს:

როგორ ფიქრობთ, რა მოხდება, თუ მოგვცეს არა გეომეტრიული პროგრესიის წევრების მნიშვნელობები სასურველი რიცხვის მიმდებარედ, არამედ მისგან თანაბარი მანძილით. მაგალითად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ და მივცეთ და. შეგვიძლია ამ შემთხვევაში გამოვიყენოთ ჩვენ მიერ მიღებული ფორმულა? შეეცადეთ დაადასტუროთ ან უარყოთ ეს შესაძლებლობა იმავე გზით, აღწეროთ რისგან შედგება თითოეული მნიშვნელობა, როგორც ეს გააკეთეთ ფორმულის თავიდანვე გამოყვანისას.
Რა მიიღე?

ახლა კიდევ ერთხელ დააკვირდით.
და შესაბამისად:

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ფორმულა მუშაობს არა მარტო მეზობლებთანგეომეტრიული პროგრესიის სასურველი პირობებით, არამედ თანაბარი მანძილირასაც წევრები ეძებენ.

ამრიგად, ჩვენი ორიგინალური ფორმულა ხდება:

ანუ, თუ პირველ შემთხვევაში ვთქვით, ახლა ვამბობთ, რომ ის შეიძლება ტოლი იყოს ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვზე, რომელიც ნაკლებია. მთავარია ორივე მოცემული რიცხვისთვის იყოს ერთნაირი.

ივარჯიშე ამისთვის კონკრეტული მაგალითებიუბრალოდ იყავით უკიდურესად ფრთხილად!

1. , . Პოვნა.
2. , . Პოვნა.
3. , . Პოვნა.

Გადავწყვიტე? ვიმედოვნებ, რომ იყავით ძალიან ყურადღებიანი და შენიშნეთ პატარა დაჭერა.

ჩვენ ვადარებთ შედეგებს.

პირველ ორ შემთხვევაში ჩვენ მშვიდად ვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ფორმულას და ვიღებთ შემდეგ მნიშვნელობებს:

მესამე შემთხვევაში, ჩვენ მიერ მოწოდებული ნომრების სერიული ნომრების გულდასმით გათვალისწინებისას, ჩვენ გვესმის, რომ ისინი არ არიან თანაბარი დაშორებით იმ რიცხვისგან, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ: ეს არის წინა ნომერი, მაგრამ ამოღებულია პოზიციაზე, ამიტომ შეუძლებელია. ფორმულის გამოსაყენებლად.

როგორ მოვაგვაროთ? სინამდვილეში ეს არც ისე რთულია, როგორც ჩანს! მოდით, თქვენთან ერთად ჩამოვწეროთ, რისგან შედგება თითოეული ჩვენთვის მოცემული და სასურველი რიცხვი.

ასე რომ გვაქვს და. ვნახოთ, რისი გაკეთება შეგვიძლია მათთან. მე გთავაზობთ გაყოფას. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვანაცვლებთ ჩვენს მონაცემებს ფორმულაში:

შემდეგი ნაბიჯი შეგვიძლია ვიპოვოთ - ამისათვის ჩვენ უნდა ავიღოთ მიღებული რიცხვის კუბური ფესვი.

ახლა კიდევ ერთხელ გადავხედოთ რა გვაქვს. გვაქვს, მაგრამ უნდა ვიპოვოთ და ის, თავის მხრივ, უდრის:

ჩვენ ვიპოვეთ ყველა საჭირო მონაცემი გაანგარიშებისთვის. ჩანაცვლება ფორმულაში:

ჩვენი პასუხი: .

შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ სხვა იგივე პრობლემა:
მოცემული:,
Პოვნა:

რამდენი მიიღეთ? Მე მაქვს - .

როგორც ხედავთ, სინამდვილეში გჭირდებათ დაიმახსოვრე მხოლოდ ერთი ფორმულა- . დანარჩენი თქვენ შეგიძლიათ ნებისმიერ დროს გაიყვანოთ სირთულის გარეშე. ამისათვის უბრალოდ დაწერეთ უმარტივესი გეომეტრიული პროგრესია ფურცელზე და ჩაწერეთ, რის ტოლია ზემოაღნიშნული ფორმულის მიხედვით მისი თითოეული რიცხვი.

გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ახლა განვიხილოთ ფორმულები, რომლებიც საშუალებას გვაძლევს სწრაფად გამოვთვალოთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამი მოცემულ ინტერვალში:

სასრული გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოსატანად, ჩვენ გავამრავლებთ ზემოაღნიშნული განტოლების ყველა ნაწილს. ჩვენ ვიღებთ:

დააკვირდით: რა არის საერთო ბოლო ორ ფორმულას? ასეა, საერთო წევრები, მაგალითად და ასე შემდეგ, გარდა პირველი და ბოლო წევრისა. შევეცადოთ გამოვაკლოთ 1-ლი განტოლება მე-2 განტოლებას. Რა მიიღე?

ახლა გამოხატეთ გეომეტრიული პროგრესიის წევრის ფორმულით და ჩაანაცვლეთ მიღებული გამოხატულება ჩვენს ბოლო ფორმულაში:

გამოთქმის დაჯგუფება. თქვენ უნდა მიიღოთ:

რჩება მხოლოდ გამოხატვა:

შესაბამისად, ამ შემთხვევაში.

Რა იქნება თუ? რა ფორმულა მუშაობს მაშინ? წარმოიდგინეთ გეომეტრიული პროგრესია. Როგორ გამოიყურება? სწორად იდენტური რიცხვების სერია, შესაბამისად, ფორმულა ასე გამოიყურება:

როგორც არითმეტიკული და გეომეტრიული პროგრესიით, ბევრი ლეგენდაა. ერთ-ერთი მათგანია ჭადრაკის შემქმნელი სეტის ლეგენდა.

ბევრმა იცის, რომ ჭადრაკის თამაში ინდოეთში გამოიგონეს. როდესაც ინდუის მეფე მას შეხვდა, აღფრთოვანებული იყო მისი ჭკუით და მასში შესაძლო პოზიციების მრავალფეროვნებით. როდესაც შეიტყო, რომ ის ერთ-ერთმა ქვეშევრდომმა გამოიგონა, მეფემ გადაწყვიტა მისი პირადად დაჯილდოება. დაუძახა გამომგონებელს და უბრძანა, ეთხოვა რაც სურდა, დაპირდა, რომ შეასრულებდა თუნდაც ყველაზე ოსტატურ სურვილს.

სეტამ ფიქრისთვის დრო ითხოვა და როცა მეორე დღეს სეტა მეფის წინაშე წარდგა, მან მეფე გააკვირვა მისი თხოვნის უბადლო მოკრძალებით. ჭადრაკის დაფის პირველი კვადრატისთვის ხორბლის მარცვალი სთხოვა, მეორესთვის, მესამესთვის, მეოთხესთვის და ა.შ.

მეფე განრისხდა და განდევნა სეტი და თქვა, რომ მსახურის თხოვნა არ იყო სამეფო კეთილშობილების ღირსი, მაგრამ დაჰპირდა, რომ მსახური მიიღებდა თავის მარცვლებს გამგეობის ყველა საკნისთვის.

ახლა კი ისმის კითხვა: გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულის გამოყენებით გამოთვალეთ რამდენი მარცვალი უნდა მიიღოს სეტმა?

დავიწყოთ მსჯელობა. ვინაიდან, პირობის მიხედვით, სეთმა მოითხოვა ხორბლის მარცვალი ჭადრაკის დაფის პირველი უჯრედისთვის, მეორესთვის, მესამესთვის, მეოთხესთვის და ა.შ., ჩვენ ვხედავთ, რომ პრობლემაში ჩვენ ვსაუბრობთგეომეტრიული პროგრესიის შესახებ. რა არის ამ შემთხვევაში თანაბარი?
სწორად.

ჭადრაკის დაფის სულ უჯრედები. შესაბამისად,. ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, რჩება მხოლოდ ფორმულაში ჩანაცვლება და გამოთვლა.

მოცემული რიცხვის მინიმუმ დაახლოებით "მასშტაბების" წარმოსადგენად, ჩვენ გარდაქმნით ხარისხის თვისებების გამოყენებით:

რა თქმა უნდა, თუ გინდათ, შეგიძლიათ აიღოთ კალკულატორი და გამოთვალოთ რა რიცხვი დამთავრდებათ, ხოლო თუ არა, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ ჩემი სიტყვა: გამოხატვის საბოლოო მნიშვნელობა იქნება.
ანუ:

კვინტილიონი კვადრილონი ტრილიონი მილიარდი მილიონი ათასი.

Fuh) თუ გსურთ წარმოიდგინოთ ამ რიცხვის უზარმაზარი რაოდენობა, მაშინ შეაფასეთ რა ზომის ბეღელი იქნება საჭირო მარცვლეულის მთელი ოდენობის დასატევად.
მ ბეღლის სიმაღლე და m სიგანე, მისი სიგრძე კმ-მდე უნდა გაგრძელდეს, ე.ი. ორჯერ უფრო შორს, ვიდრე დედამიწიდან მზემდე.

მეფე რომ ძლიერი იყო მათემატიკაში, მას შეეძლო მეცნიერს თავად შესთავაზოს მარცვლების დათვლა, რადგან მილიონი მარცვლების დასათვლელად მას ერთი დღე მაინც დასჭირდებოდა დაუღალავი თვლა და იმის გათვალისწინებით, რომ აუცილებელია კვინტილიონების დათვლა. მარცვლები მთელი ცხოვრება უნდა დათვალოს.

ახლა კი ჩვენ მოვაგვარებთ მარტივ ამოცანას გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამზე.
ვასია, მე-5 კლასის მოსწავლე, გრიპით დაავადდა, მაგრამ აგრძელებს სკოლაში სიარული. ყოველდღე ვასია აინფიცირებს ორ ადამიანს, რომლებიც, თავის მხრივ, კიდევ ორ ადამიანს აინფიცირებენ და ა.შ. კლასში მხოლოდ ერთი ადამიანი. რამდენ დღეში დაავადდება მთელი კლასი გრიპით?

ასე რომ, გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი არის ვასია, ანუ ადამიანი. გეომეტრიული პროგრესიის წევრი, ეს ის ორი ადამიანია, რომლებიც მან დაინფიცირდა ჩამოსვლის პირველ დღეს. პროგრესის წევრთა ჯამი უდრის მოსწავლეთა რაოდენობას 5A. შესაბამისად, ჩვენ ვსაუბრობთ პროგრესირებაზე, რომელშიც:

მოდით ჩავანაცვლოთ ჩვენი მონაცემები გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინების ჯამის ფორმულაში:

მთელი კლასი რამდენიმე დღეში დაავადდება. არ გჯერათ ფორმულების და რიცხვების? შეეცადეთ თავად წარმოაჩინოთ სტუდენტების „ინფექცია“. მოხდა? ნახეთ, როგორ გამოიყურება ჩემთვის:

თავად გამოთვალეთ რამდენი დღის განმავლობაში დაავადდებოდნენ მოსწავლეები გრიპით, თუ ყველა დააინფიცირებდა ადამიანს და კლასში იყო ადამიანი.

რა ღირებულება მიიღეთ? აღმოჩნდა, რომ ყველამ ავად გახდა ერთი დღის შემდეგ.

როგორც ხედავთ, ასეთი დავალება და მისთვის ნახატი წააგავს პირამიდას, რომელშიც ყოველი მომდევნო „მოჰყავს“ ახალ ადამიანებს. თუმცა, ადრე თუ გვიან დგება მომენტი, როცა ეს უკანასკნელი ვერავის იზიდავს. ჩვენს შემთხვევაში, თუ წარმოვიდგენთ, რომ კლასი იზოლირებულია, ადამიანი ხურავს ჯაჭვს (). ამგვარად, თუ ადამიანი ჩართული იყო ფინანსურ პირამიდაში, რომელშიც ფული იყო გაცემული, თუ თქვენ მიიყვანთ ორ სხვა მონაწილეს, მაშინ პირი (ან ზოგადი შემთხვევა) არავის მოუტანდა, შესაბამისად, დაკარგავდა ყველაფერს, რაც მათ ამ ფინანსურ თაღლითობაში ჩადეს.

ყველაფერი, რაც ზემოთ ითქვა, ეხება კლებად ან მზარდ გეომეტრიულ პროგრესიას, მაგრამ, როგორც გახსოვთ, ჩვენ გვაქვს განსაკუთრებული სახეობა - უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია. როგორ გამოვთვალოთ მისი წევრების ჯამი? და რატომ აქვს ამ ტიპის პროგრესირებას გარკვეული მახასიათებლები? მოდით ერთად გავარკვიოთ.

ასე რომ, დამწყებთათვის, მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ამ სურათს უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ ჩვენი მაგალითიდან:

ახლა კი მოდით შევხედოთ გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულას, რომელიც მიღებულია ცოტა ადრე:
ან

რისკენ ვისწრაფვით? მართალია, გრაფიკი აჩვენებს, რომ ის ნულისკენ არის მიდრეკილი. ანუ როდის იქნება თითქმის თანაბარი, შესაბამისად გამოთვლების გამოთვლას მივიღებთ თითქმის. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ გვჯერა, რომ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის გამოთვლისას, ეს ფრჩხილი შეიძლება უგულებელვყოთ, რადგან ის ტოლი იქნება.

- ფორმულა არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი.

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა ცალსახად ამბობს, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ჯამი. გაუთავებელიწევრთა რაოდენობა.

თუ მითითებულია კონკრეტული რიცხვი n, მაშინ ვიყენებთ ფორმულას n ტერმინების ჯამისთვის, თუნდაც ან.

ახლა კი ვივარჯიშოთ.

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამი და.
2. იპოვეთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამი და.

იმედია ძალიან ფრთხილად იყავი. შეადარეთ ჩვენი პასუხები:

ახლა თქვენ იცით ყველაფერი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ და დროა გადავიდეთ თეორიიდან პრაქტიკაში. გამოცდაზე ნაპოვნი ყველაზე გავრცელებული ექსპონენციალური პრობლემები არის რთული პროცენტის პრობლემები. სწორედ მათზე ვისაუბრებთ.

რთული პროცენტის გამოანგარიშების პრობლემები.

თქვენ ალბათ გსმენიათ ეგრეთ წოდებული რთული პროცენტის ფორმულის შესახებ. გესმით, რას გულისხმობს იგი? თუ არა, მოდით გავარკვიოთ, რადგან თავად პროცესის გაცნობიერების შემდეგ, თქვენ მაშინვე მიხვდებით, რა შუაშია გეომეტრიული პროგრესია.

ჩვენ ყველა მივდივართ ბანკში და ვიცით, რომ არსებობს სხვადასხვა პირობებიდეპოზიტებზე: ეს არის როგორც ვადა, ასევე დამატებითი შენარჩუნება და პროცენტი ორით სხვადასხვა გზებიმისი გაანგარიშება - მარტივი და რთული.

თან მარტივი ინტერესიყველაფერი მეტ-ნაკლებად გასაგებია: ანაბრის ვადის ბოლოს პროცენტი ირიცხება ერთხელ. ანუ, თუ ვსაუბრობთ წელიწადში 100 რუბლის დადებაზე, მაშინ ისინი მხოლოდ წლის ბოლოს ჩაირიცხება. შესაბამისად, ანაბრის ბოლოს, ჩვენ მივიღებთ რუბლებს.

Საერთო ინტერესიარის ვარიანტი, რომელშიც პროცენტის კაპიტალიზაცია, ე.ი. მათი დამატება დეპოზიტის ოდენობაზე და შემოსავლის შემდგომი გამოთვლა არა დეპოზიტის საწყისი, არამედ დაგროვილი თანხიდან. კაპიტალიზაცია არ ხდება მუდმივად, მაგრამ გარკვეული პერიოდულობით. როგორც წესი, ასეთი პერიოდები თანაბარია და ყველაზე ხშირად ბანკები იყენებენ თვეს, მეოთხედს ან წელიწადში.

ვთქვათ, რომ ჩვენ ვდებთ ყველა ერთსა და იმავე რუბლს წელიწადში, მაგრამ დეპოზიტის ყოველთვიური კაპიტალიზაციით. რას ვიღებთ?

გესმის აქ ყველაფერი? თუ არა, მოდით მივყვეთ ნაბიჯ-ნაბიჯ.

ბანკში რუბლი მივიტანეთ. თვის ბოლომდე, ჩვენს ანგარიშზე უნდა გვქონდეს თანხა, რომელიც შედგება ჩვენი რუბლისგან პლუს მათზე პროცენტი, ანუ:

Ვეთანხმები?

შეგვიძლია ამოვიღოთ იგი ფრჩხილიდან და შემდეგ მივიღოთ:

დამეთანხმებით, ეს ფორმულა უკვე უფრო ჰგავს იმას, რაც დასაწყისში დავწერეთ. რჩება პროცენტებთან გამკლავება

პრობლემის პირობებში გვეუბნებიან წლიური. მოგეხსენებათ, ჩვენ არ ვამრავლებთ - ვაქცევთ პროცენტებს ათწილადები, ანუ:

მართალია? ახლა თქვენ იკითხავთ, საიდან გაჩნდა ნომერი? Ძალიან მარტივი!
ვიმეორებ: პრობლემის მდგომარეობა ამბობს წლიურიდარიცხული პროცენტი ყოველთვიური. მოგეხსენებათ, თვეში, შესაბამისად, ბანკი დაგვირიცხავს ყოველთვიურად წლიური პროცენტის ნაწილს:

მიხვდა? ახლა შეეცადეთ დაწეროთ, როგორი იქნება ფორმულის ეს ნაწილი, თუ ვამბობ, რომ პროცენტი გამოითვლება ყოველდღიურად.
მოახერხე? შევადაროთ შედეგები:

კარგად გააკეთე! დავუბრუნდეთ ჩვენს დავალებას: ჩაწერეთ რა თანხა დაირიცხება ჩვენს ანგარიშზე მეორე თვის განმავლობაში, იმის გათვალისწინებით, რომ პროცენტი ირიცხება დაგროვილი ანაბრის თანხაზე.
აი რა დამემართა:

ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ:

მე ვფიქრობ, რომ თქვენ უკვე შენიშნეთ ნიმუში და გეომეტრიული პროგრესია დაინახეთ ამ ყველაფერში. დაწერეთ რისი ტოლი იქნება მისი წევრი ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რამდენ ფულს მივიღებთ თვის ბოლოს.
დამზადებულია? შემოწმება!

როგორც ხედავთ, თუ ბანკში ერთი წლის განმავლობაში ჩადებთ ფულს უბრალო პროცენტით, მაშინ მიიღებთ რუბლებს, ხოლო თუ მას განათავსებთ ნაერთით, თქვენ მიიღებთ რუბლებს. სარგებელი მცირეა, მაგრამ ეს ხდება მხოლოდ წლის განმავლობაში, მაგრამ მეტი ხანგრძლივი პერიოდიკაპიტალიზაცია ბევრად უფრო მომგებიანია:

განვიხილოთ სხვა ტიპის რთული პროცენტის პრობლემები. იმის მერე რაც გაარკვიე, შენთვის ელემენტარული იქნება. ასე რომ, ამოცანაა:

ზვეზდამ ინდუსტრიაში ინვესტიციები 2000 წელს დაიწყო დოლარის კაპიტალით. 2001 წლიდან მოყოლებული ყოველწლიურად იღებს მოგებას, რომელიც უტოლდება წინა წლის კაპიტალს. რამდენ მოგებას მიიღებს კომპანია ზვეზდა 2003 წლის ბოლოს, თუ მოგება არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან?

ზვეზდას კომპანიის კაპიტალი 2000 წ.
- ზვეზდას კომპანიის კაპიტალი 2001 წელს.
- ზვეზდას კომპანიის კაპიტალი 2002 წელს.
- ზვეზდას კომპანიის კაპიტალი 2003 წელს.

ან შეგვიძლია მოკლედ დავწეროთ:

ჩვენი შემთხვევისთვის:

2000, 2001, 2002 და 2003 წწ.

შესაბამისად:
რუბლი
გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემაში არ გვაქვს გაყოფა არც მიერ და არც მიერ, რადგან პროცენტი მოცემულია ყოველწლიურად და ის გამოითვლება ყოველწლიურად. ანუ რთული პროცენტის ამოცანის წაკითხვისას მიაქციეთ ყურადღება, რა პროცენტია მოცემული და რა პერიოდშია დარიცხული და მხოლოდ ამის შემდეგ გადადით გამოთვლებზე.
ახლა თქვენ იცით ყველაფერი გეომეტრიული პროგრესიის შესახებ.

Ვარჯიში.

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის ტერმინი, თუ ცნობილია, რომ და
2. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრთა ჯამი, თუ ცნობილია, რომ და
3. MDM Capital-მა ინდუსტრიაში ინვესტიცია 2003 წელს დაიწყო დოლარის კაპიტალით. 2004 წლიდან მას ყოველწლიურად აქვს მოგება, რომელიც უტოლდება წინა წლის კაპიტალს. კომპანია „MSK Cash Flows“-მა ინდუსტრიაში ინვესტირება დაიწყო 2005 წელს $10000 ოდენობით, დაიწყო მოგების მიღება 2006 წელს ოდენობით. რამდენი დოლარით აღემატება ერთი კომპანიის კაპიტალი მეორის კაპიტალს 2007 წლის ბოლოს, თუ მოგება არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან?

პასუხები:

1. ვინაიდან პრობლემის პირობა არ ამბობს, რომ პროგრესია უსასრულოა და საჭიროა მისი წევრების კონკრეტული რაოდენობის ჯამის პოვნა, გამოთვლა ხორციელდება ფორმულის მიხედვით:
2. 
   კომპანია "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 წწ.
   - იზრდება 100%-ით, ანუ 2-ჯერ.
   შესაბამისად:
   რუბლი
   MSK ფულადი ნაკადები:

   2005, 2006, 2007 წწ.
   - იზრდება, ანუ ჯერ.
   შესაბამისად:
   რუბლი
   რუბლი

შევაჯამოთ.

1) გეომეტრიული პროგრესია ( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

2) გეომეტრიული პროგრესიის წევრების განტოლება -.

3) შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, გარდა და.

• თუ, მაშინ პროგრესიის ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითი;
• თუ, მაშინ პროგრესის ყველა მომდევნო წევრი ალტერნატიული ნიშნები;
• როდესაც - პროგრესიას ეწოდება უსასრულოდ კლებადი.

4) , at - გეომეტრიული პროგრესიის თვისება (მეზობელი ტერმინები)

ან
, ზე (თანაბარი მანძილით)

როდესაც იპოვით, არ დაგავიწყდეთ ორი პასუხი უნდა იყოს..

Მაგალითად,

5) გეომეტრიული პროგრესიის წევრების ჯამი გამოითვლება ფორმულით:
ან

თუ პროგრესი უსასრულოდ მცირდება, მაშინ:
ან

ᲛᲜᲘᲨᲕᲜᲔᲚᲝᲕᲐᲜᲘ!ჩვენ ვიყენებთ უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამის ფორმულას მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობა ცალსახად აცხადებს, რომ აუცილებელია უსასრულო რაოდენობის ტერმინების ჯამის პოვნა.

6) რთული პროცენტის ამოცანები ასევე გამოითვლება გეომეტრიული პროგრესიის მე-1 წევრის ფორმულის მიხედვით, იმ პირობით, რომ სახსრები არ იქნა ამოღებული მიმოქცევიდან:

გეომეტრიული პროგრესია. მოკლედ მთავარის შესახებ

გეომეტრიული პროგრესია( ) არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის პირველი წევრი განსხვავდება ნულისაგან და ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. ამ ნომერს ეძახიან გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიშეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა, გარდა და.

• თუ, მაშინ პროგრესის ყველა მომდევნო წევრს აქვს ერთი და იგივე ნიშანი - ისინი დადებითია;
• თუ, მაშინ პროგრესირების ყველა მომდევნო წევრი ალტერნატიული ნიშნებით;
• როდესაც - პროგრესიას ეწოდება უსასრულოდ კლებადი.

გეომეტრიული პროგრესიის წევრების განტოლება - .

გეომეტრიული პროგრესიის წევრთა ჯამიგამოითვლება ფორმულით:
ან

მათემატიკა არის რაადამიანები აკონტროლებენ ბუნებას და საკუთარ თავს.

საბჭოთა მათემატიკოსი, აკადემიკოსი ა.ნ. კოლმოგოროვი

გეომეტრიული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანებთან ერთად, მათემატიკაში შესასვლელ ტესტებში ასევე გავრცელებულია დავალებები, რომლებიც დაკავშირებულია გეომეტრიული პროგრესიის კონცეფციასთან. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიის თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების კარგი უნარები.

ეს სტატია ეძღვნება გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებების პრეზენტაციას. ასევე მოცემულია ტიპიური პრობლემების გადაჭრის მაგალითები, ნასესხები მათემატიკაში შესასვლელი ტესტების ამოცანებიდან.

მოდით წინასწარ აღვნიშნოთ გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და გავიხსენოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები და განცხადებები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება.ციფრულ მიმდევრობას გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება, თუ მისი ყოველი რიცხვი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესიისთვისფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) არის გეომეტრიული პროგრესიის მთავარი თვისება: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი წევრების გეომეტრიულ საშუალოს და .

Შენიშვნა, რომ სწორედ ამ თვისების გამო განსახილველ პროგრესიას ეწოდება „გეომეტრიული“.

ზემოთ (1) და (2) ფორმულები შეჯამებულია შემდეგნაირად:

, (3)

ჯამის გამოსათვლელადპირველი გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიფორმულა გამოიყენება

თუ დავნიშნავთ

სად . ვინაიდან ფორმულა (6) არის (5) ფორმულის განზოგადება.

იმ შემთხვევაში, როცა და გეომეტრიული პროგრესიაუსასრულოდ მცირდება. ჯამის გამოსათვლელადუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრის ფორმულა გამოიყენება

. (7)

Მაგალითად , ფორმულის გამოყენებით (7), შეიძლება აჩვენოთ, რა

სად . ეს ტოლობები მიიღება ფორმულიდან (7) იმ პირობით, რომ , (პირველი თანასწორობა) და , (მეორე ტოლობა).

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება. თუ, მაშინ,

თეორემა დადასტურდა.

გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითების განხილვაზე თემაზე „გეომეტრიული პროგრესია“.

მაგალითი 1მოცემული: , და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.თუ ფორმულა (5) გამოიყენება, მაშინ

პასუხი:.

მაგალითი 2დაე და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.ვინაიდან და , ვიყენებთ ფორმულებს (5), (6) და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის მეორე განტოლება (9) იყოფა პირველზე, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს . განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ (9) სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს.

2. თუ , მაშინ .

მაგალითი 3დაე , და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.ფორმულიდან (2) გამომდინარეობს, რომ ან. მას შემდეგ ან .

პირობით. თუმცა , ამიტომ . რადგან და, მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუ სისტემის მეორე განტოლება იყოფა პირველზე, მაშინ ან .

ვინაიდან განტოლებას აქვს ერთი შესაფერისი ფესვი. ამ შემთხვევაში, სისტემის პირველი განტოლება გულისხმობს.

ფორმულის (7) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 4მოცემული: და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.Მას შემდეგ .

იმიტომ რომ, მაშინ ან

ფორმულის მიხედვით (2) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ ან .

თუმცა, პირობით, ამიტომ.

მაგალითი 5ცნობილია რომ . Პოვნა .

გადაწყვეტილება. თეორემის მიხედვით გვაქვს ორი ტოლობა

მას შემდეგ ან . იმიტომ რომ, მაშინ.

პასუხი:.

მაგალითი 6მოცემული: და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ

Მას შემდეგ . მას შემდეგ, რაც და, მაშინ.

მაგალითი 7დაე და . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.ფორმულის მიხედვით (1) შეგვიძლია დავწეროთ

ამიტომ გვაქვს ან . ცნობილია რომ და , ამიტომ და .

პასუხი:.

მაგალითი 8იპოვეთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ

და .

გადაწყვეტილება. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობსდა . აქედან და პრობლემის მდგომარეობიდან ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველი განტოლება კვადრატია, და შემდეგ გაყავით მიღებული განტოლება მეორე განტოლებაზე, შემდეგ მივიღებთ

ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა, , არის გეომეტრიული პროგრესია.

გადაწყვეტილება.დაე , და . ფორმულის მიხედვით (2), რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას, შეგვიძლია დავწეროთ ან .

აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის ფესვებიადა .

შევამოწმოთ: თუ, შემდეგ და ; თუ , მაშინ და .

პირველ შემთხვევაში გვაქვსდა , და მეორეში - და .

პასუხი: ,.

მაგალითი 10განტოლების ამოხსნა

, (11)

სად და.

გადაწყვეტილება. განტოლების (11) მარცხენა მხარე არის უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომელშიც და , იმ პირობით: და .

ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, რა . ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (11) იღებს ფორმასან . შესაფერისი ფესვი კვადრატული განტოლებაარის

პასუხი:.

მაგალითი 11.პ დადებითი რიცხვების თანმიმდევრობააყალიბებს არითმეტიკულ პროგრესიას, ა - გეომეტრიული პროგრესია, რა შუაშია . Პოვნა .

გადაწყვეტილება.როგორც არითმეტიკული თანმიმდევრობა, მაშინ (არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება). Იმდენად, რამდენადაც, მაშინ ან . ეს გულისხმობს, რომ გეომეტრიული პროგრესია არის. ფორმულის მიხედვით (2), მაშინ ჩვენ ვწერთ რომ .

მას შემდეგ და მერე . იმ შემთხვევაში გამოთქმაიღებს ფორმას ან. პირობით, ასე რომ განტოლებიდანვიღებთ მხოლოდ გადაწყვეტილებაგანსახილველი პრობლემა, ე.ი. .

პასუხი:.

მაგალითი 12.ჯამის გამოთვლა

. (12)

გადაწყვეტილება. გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე (12) 5-ზე და მიიღეთ

თუ გამოვაკლებთ (12) გამოსახულებას, მაშინ

ან .

გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (7) და ვიღებთ. Მას შემდეგ .

პასუხი:.

აქ მოყვანილი პრობლემის გადაჭრის მაგალითები გამოსადეგი იქნება აპლიკანტებისთვის მისაღები გამოცდებისთვის მომზადებისას. პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, ასოცირდება გეომეტრიულ პროგრესირებასთან, შეიძლება გამოყენებულ იქნას სასწავლო გიდებირეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული უმაღლეს სასწავლებლებში აბიტურიენტებისთვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: დამატებითი სექციები სკოლის სასწავლო გეგმა. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. სრული კურსიელემენტარული მათემატიკა ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. - 208გვ.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები?

დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

გეომეტრიული პროგრესიაარანაკლებ მნიშვნელოვანია მათემატიკაში, ვიდრე არითმეტიკაში. გეომეტრიული პროგრესია არის b1, b2,..., b[n] რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლის ყოველი შემდეგი წევრი მიიღება წინას მუდმივ რიცხვზე გამრავლებით. ამ რიცხვს, რომელიც ასევე ახასიათებს პროგრესის ზრდის ან შემცირების ტემპს, ე.წ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიდა აღვნიშნავთ

გეომეტრიული პროგრესიის სრული მინიჭებისთვის, გარდა მნიშვნელისა, აუცილებელია მისი პირველი წევრის ცოდნა ან განსაზღვრა. ამისთვის დადებითი ღირებულებამნიშვნელის პროგრესია არის მონოტონური მიმდევრობა და თუ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა მონოტონურად მცირდება და მონოტონურად იზრდება. შემთხვევა, როდესაც მნიშვნელი ერთის ტოლია, პრაქტიკაში არ განიხილება, რადგან გვაქვს იდენტური რიცხვების თანმიმდევრობა და მათი ჯამი პრაქტიკული ინტერესი არ არის.

გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინიგამოითვლება ფორმულის მიხედვით

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამიგანისაზღვრება ფორმულით

განვიხილოთ კლასიკური გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანების გადაწყვეტილებები. დავიწყოთ ყველაზე მარტივი გაგებით.

მაგალითი 1. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრია 27, ხოლო მნიშვნელი არის 1/3. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი.

ამოხსნა: ფორმის პირობას ვწერთ

გამოთვლებისთვის ვიყენებთ გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულას

მასზე დაყრდნობით ვხვდებით პროგრესიის უცნობ წევრებს

როგორც ხედავთ, გეომეტრიული პროგრესიის პირობების გამოთვლა არ არის რთული. თავად პროგრესი ასე გამოიყურება

მაგალითი 2. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი სამი წევრი მოცემულია: 6; -12; 24. იპოვე მნიშვნელი და მეშვიდე წევრი.

ამოხსნა: ჩვენ ვიანგარიშებთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელს მისი განმარტების საფუძველზე

მივიღეთ ალტერნატიული გეომეტრიული პროგრესია, რომლის მნიშვნელი არის -2. მეშვიდე წევრი გამოითვლება ფორმულით

ამ ამოცანაზე მოგვარებულია.

მაგალითი 3. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია მისი ორი წევრის მიერ . იპოვეთ პროგრესიის მეათე წევრი.

გადაწყვეტილება:

მოდით დავწეროთ მოცემული მნიშვნელობები ფორმულების საშუალებით

წესების მიხედვით, უნდა იპოვო მნიშვნელი და შემდეგ მოძებნო სასურველი ღირებულება, მაგრამ მეათე ვადით გვაქვს

იგივე ფორმულის მიღება შესაძლებელია შეყვანის მონაცემებით მარტივი მანიპულაციების საფუძველზე. სერიის მეექვსე წევრს ვყოფთ მეორეზე, შედეგად ვიღებთ

თუ მიღებული მნიშვნელობა გამრავლებულია მეექვსე წევრზე, მივიღებთ მეათეს

ამრიგად, ასეთი პრობლემებისთვის, მარტივი გარდაქმნების დახმარებით სწრაფი გზაშეგიძლიათ იპოვოთ სწორი გამოსავალი.

მაგალითი 4. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია განმეორებადი ფორმულებით

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი და პირველი ექვსი წევრის ჯამი.

გადაწყვეტილება:

მოცემულ მონაცემებს განტოლებათა სისტემის სახით ვწერთ

გამოთქვით მნიშვნელი მეორე განტოლების პირველზე გაყოფით

იპოვეთ პროგრესიის პირველი წევრი პირველი განტოლებიდან

გამოთვალეთ შემდეგი ხუთი წევრი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად

ინსტრუქცია

10, 30, 90, 270...

საჭიროა გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელის პოვნა.
გადაწყვეტილება:

1 ვარიანტი. ავიღოთ პროგრესიის თვითნებური წევრი (მაგალითად, 90) და გავყოთ წინაზე (30): 90/30=3.

თუ ცნობილია გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე წევრის ჯამი ან კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი, მაშინ პროგრესიის მნიშვნელის საპოვნელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულები:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), სადაც Sn არის გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი და
S = b1/(1-q), სადაც S არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი (პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი ერთზე ნაკლები მნიშვნელით).
მაგალითი.

კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი უდრის ერთს, ხოლო მისი ყველა წევრის ჯამი უდრის ორს.

საჭიროა ამ პროგრესიის მნიშვნელის დადგენა.
გადაწყვეტილება:

ჩაანაცვლეთ ამოცანის მონაცემები ფორმულაში. მიიღეთ:
2=1/(1-q), საიდანაც – q=1/2.

პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა. გეომეტრიულ პროგრესიაში ყოველი მომდევნო წევრი მიიღება წინას გარკვეულ რიცხვზე q-ზე გამრავლებით, რომელსაც პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

ინსტრუქცია

თუ ცნობილია b(n+1) და b(n) გეომეტრიული ორი მეზობელი წევრი, მნიშვნელის მისაღებად საჭიროა დიდი რიცხვის მქონე რიცხვი გავყოთ მის წინაზე: q=b(n). +1)/b(n). ეს გამომდინარეობს პროგრესიის და მისი მნიშვნელის განმარტებიდან. მნიშვნელოვანი პირობაარის პირველი წევრის უტოლობა ნული და პროგრესიის მნიშვნელი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ითვლება განუსაზღვრელი.

ამრიგად, პროგრესიის წევრებს შორის მყარდება შემდეგი მიმართებები: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 ფორმულით q^(n-1) შეიძლება გამოითვალოს გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, რომელშიც ცნობილია q მნიშვნელი და წევრი b1. ასევე, თითოეული პროგრესიის მოდული უდრის მისი მეზობელი წევრების საშუალოს: |b(n)|=√, შესაბამისად პროგრესიამ მიიღო თავისი .

გეომეტრიული პროგრესიის ანალოგი ყველაზე მარტივია ექსპონენციალური ფუნქცია y=a^x, სადაც x არის მაჩვენებელში, a არის რაღაც რიცხვი. ამ შემთხვევაში პროგრესიის მნიშვნელი ემთხვევა პირველ წევრს და უდრის რიცხვს a. y ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება გავიგოთ როგორც მე-2 ტერმინიპროგრესიები, თუ არგუმენტი x მიიღება როგორც ნატურალური რიცხვი n (მრიცხველი).

არსებობს გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამისთვის: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). ეს ფორმულა მოქმედებს q≠1-ისთვის. თუ q=1, მაშინ პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება S(n)=n b1 ფორმულით. სხვათა შორის, პროგრესიას დაერქმევა ზრდა q ერთზე მეტი და დადებითი b1. როდესაც პროგრესიის მნიშვნელი, მოდული არ აღემატება ერთს, პროგრესიას დაერქმევა კლებადი.

გეომეტრიული პროგრესიის განსაკუთრებული შემთხვევაა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია (b.u.g.p.). ფაქტია, რომ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრები ისევ და ისევ შემცირდებიან, მაგრამ არასოდეს მიაღწევენ ნულს. ამის მიუხედავად, შესაძლებელია ასეთი პროგრესიის ყველა ტერმინის ჯამის პოვნა. იგი განისაზღვრება S=b1/(1-q) ფორმულით. სულ n წევრი უსასრულოა.

იმისათვის, რომ წარმოიდგინოთ, თუ როგორ შეგიძლიათ დაამატოთ უსასრულო რიცხვი და არ მიიღოთ უსასრულობა, გამოაცხეთ ტორტი. ნახევარი გაჭერით. შემდეგ გაჭერით 1/2 ნახევარი და ა.შ. ნაჭრები, რომლებსაც მიიღებთ, სხვა არაფერია, თუ არა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრები 1/2 მნიშვნელით. თუ ყველა ამ ნაჭერს ერთად დააკავშირებთ, მიიღებთ ორიგინალურ ნამცხვარს.

გეომეტრიის პრობლემები არის სპეციალური სავარჯიშო, რომელიც მოითხოვს სივრცით აზროვნებას. თუ ვერ ამოხსნით გეომეტრიულს დავალებაშეეცადეთ დაიცვას ქვემოთ მოცემული წესები.

ინსტრუქცია

ძალიან ყურადღებით წაიკითხეთ პრობლემის მდგომარეობა, თუ რამე არ გახსოვთ ან ვერ გაიგეთ, ხელახლა წაიკითხეთ.

შეეცადეთ დაადგინოთ რა სახის გეომეტრიული პრობლემებია ეს, მაგალითად: გამოთვლითი, როდესაც გჭირდებათ გარკვეული მნიშვნელობის გარკვევა, ამოცანები მსჯელობის ლოგიკური ჯაჭვის მოთხოვნისთვის, ამოცანები კომპასისა და მმართველის გამოყენებით მშენებლობისთვის. მეტი დავალება შერეული ტიპი. როგორც კი გაარკვიეთ პრობლემის ტიპი, შეეცადეთ იფიქროთ ლოგიკურად.

გამოიყენეთ ამ პრობლემისთვის საჭირო თეორემა, თუ არსებობს ეჭვი ან საერთოდ არ არის ვარიანტები, მაშინ შეეცადეთ დაიმახსოვროთ თეორია, რომელიც შეისწავლეთ შესაბამის თემაზე.

შეადგინეთ პრობლემის მონახაზიც. შეეცადეთ გამოიყენოთ ცნობილი მეთოდები თქვენი გადაწყვეტის სისწორის შესამოწმებლად.

დაასრულეთ ამოცანის ამოხსნა აკურატულად რვეულში, ბლომების და დარტყმების გარეშე და რაც მთავარია - ალბათ დრო და ძალისხმევა დასჭირდება პირველი გეომეტრიული ამოცანების ამოხსნას. თუმცა, როგორც კი დაასრულებთ ამ პროცესს, დაიწყებთ დაწკაპუნებას ისეთ ამოცანებს, როგორიცაა თხილი და გაერთობით ამის გაკეთებას!

გეომეტრიული პროგრესია არის b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) რიცხვების თანმიმდევრობა, რომ b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიის თითოეული წევრი მიიღება წინადან მისი გამრავლებით პროგრესიის q რაიმე არანულოვან მნიშვნელზე.

ინსტრუქცია

პროგრესიის ამოცანები ყველაზე ხშირად წყდება სისტემის შედგენით და დაცვით b1 პროგრესიის პირველი წევრისა და პროგრესიის q მნიშვნელის მიმართ. განტოლებების დასაწერად სასარგებლოა რამდენიმე ფორმულის დამახსოვრება.

როგორ გამოვხატოთ პროგრესიის n-ე წევრი პროგრესიის პირველი წევრისა და პროგრესიის მნიშვნელის მეშვეობით: b(n)=b1*q^(n-1).

ცალკე განვიხილოთ შემთხვევა |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии