Trigonometrinės formulės: kosinusas, sinusas ir dvigubo kampo tangentas. Trigonometrinės formulės: dvigubo kampo kosinusas, sinusas ir tangentas Dvigubo kampo sinuso formulės išvedimas

Trigonometrijoje daug formulių lengviau išvesti nei įsiminti. Dvigubo kampo kosinusas yra nuostabi formulė! Tai leidžia gauti laipsnių mažinimo formules ir pusės kampų formules.

Taigi, mums reikia dvigubo kampo kosinuso ir trigonometrinio vieneto:

Jie netgi panašūs: dvigubo kampo kosinuso formulėje tai yra skirtumas tarp kosinuso ir sinuso kvadratų, o trigonometriniame vienete – jų suma. Jei kosinusą išreiškiame iš trigonometrinio vieneto:

ir pakeiskite jį į dvigubo kampo kosinusą, gauname:

Tai dar viena dvigubo kampo kosinuso formulė:

Ši formulė yra raktas į redukcijos formulę:

Taigi, sinuso laipsnio mažinimo formulė yra tokia:

Jei jame alfa kampas pakeičiamas pusės kampu alfa per pusę, o dvigubas kampas du alfa pakeičiamas alfa kampu, tada gauname sinuso pusės kampo formulę:

Dabar galime išreikšti sinusą iš trigonometrinio vieneto:

Pakeiskime šią išraišką į dvigubo kampo kosinuso formulę:

Gavome dar vieną dvigubo kampo kosinuso formulę:

Ši formulė yra raktas ieškant kosinuso galios ir pusės kampo kosinuso galios mažinimo formulės.

Taigi kosinuso laipsnio mažinimo formulė yra tokia:

Jei α pakeisime α/2, o 2α - α, gausime kosinuso pusės argumento formulę:

Kadangi liestinė yra sinuso ir kosinuso santykis, tangento formulė yra tokia:

Kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis. Taigi kotangento formulė yra tokia:

Žinoma, trigonometrinių išraiškų supaprastinimo procese nėra prasmės kiekvieną kartą išvesti pusės kampo formules arba sumažinti laipsnį. Daug lengviau prieš save padėti popieriaus lapą su formulėmis. Ir supaprastinimas judės greičiau, o vaizdinė atmintis įjungs įsiminimą.

Tačiau vis tiek verta šias formules išvesti kelis kartus. Tuomet būsite visiškai tikri, kad per egzaminą, kai nėra galimybės naudoti cheat sheet, prireikus lengvai juos gausite.

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Atsiųskite nuskaitytą kopiją ar geros kokybės nuotrauką mūsų el. pašto adresu ir mes pagaminsime reikiamą dublikatą.

Kokius mokėjimo tipus sutinkate? Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos pristatymo ir apmokėjimo už dokumentus sąlygos aprašytos skiltyje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.

Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba įvairiose šalies vietose, per dieną parengdami virš 10 dokumentų. Per daugelį metų mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti įsidarbinimo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, fiziškai to padaryti tiesiog neįmanoma: už užsakymą sumokate jį gavus į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.

Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik išbaigta beveik visų šalies universitetų išduotų dokumentų, išduotų skirtingais išdavimo metais, duomenų bazė. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.

Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų ir klaidų? Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Pastebėjus rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, tačiau apie pastebėtus trūkumus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba raštu, atsiųsdami el.
Dokumentą kuo greičiau pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Siekdami išvengti tokių nesusipratimų, prieš pildydami pirminę formą klientui el. paštu išsiunčiame būsimo dokumento maketą, kad būtų galima patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.

Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės? Atsakymas Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir pan.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. mums.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.

Naujausios apžvalgos

Torywild:

Nusprendžiau nusipirkti diplomą iš jūsų įmonės, kai persikėliau gyventi į kitą miestą ir neradau diplomo tarp savo daiktų. Be jo nebūčiau priimtas į gerą, gerai apmokamą darbą. Jūsų konsultantas patikino, kad ši informacija nėra atskleista, ir niekas neatskirs dokumento nuo originalo. Abejonių nebuvo, bet turėjau rizikuoti. Man patiko, kad nereikia išankstinio apmokėjimo. Apskritai diplomą gavau laiku ir manęs neapgavo. Ačiū!

Oksana Ivanovna:

Kai pavogė diplomą, siaubingai susierzinau. Juk kaip tik tuo metu buvau atleistas iš darbo, o dabar be aukštojo mokslo diplomo rasti gerą darbą beveik neįmanoma. Laimei, kaimynas pasiūlė susisiekti su jūsų organizacija. Iš pradžių žiūrėjau skeptiškai, bet nusprendžiau surizikuoti. Paskambinau įmonės vadovui ir paaiškinau savo situaciją. Ir man pasisekė! Jie viską padarė operatyviai, o svarbiausia – pažadėjo neatskleisti mano paslapties. Nerimavau, kad vėliau neišaiškės faktas, kad įsigijau diplomą.

Masha Kutenkova:

Ačiū už darbą! Užsisakiau diplomą nuo 1991 m. Pradėjus kelti dokumentus paaiškėjo, kad patirties mažai, reikia ir išsilavinimą patvirtinančio popieriaus. Aš neturėjau, o viršininkė tai žinojo, ir ji pati rekomendavo jūsų įmonę (matyt, aš niekuo nepanašu į darbuotoją). Ant dokumento ji man nurodė smulkmenas – sako, kokiais metais naudoja rašalą ar rašalą, parašo storį ir pan. Ačiū už kruopštumą ir kokybę!

LenOK:

Perskaičiusi istorijas apie gėdingus darbuotojų atleidimus, kurių diplomai buvo atspausdinti spalvotu spausdintuvu, nuėjau kreiptis į universitetą. Deja, nėra nei biudžeto, nei pinigų studijoms, nei susimokėti už sesijas, todėl teko rizikuoti. Nors labai džiaugiuosi, kad sutikau jūsų kompaniją. Nors į darbą su tavo diplomu nepriėmiau dėl praktinio bloko nesėkmės, tai ne tavo kaltė. Kai tik rasiu naują vietą, nedelsdamas atvyksiu tiesiai pas jus!

Džeris Terry:

Žiūrint su kokia gėda kolega buvo išmesta iš darbo dėl netikro diplomo, buvo baisu pasekti jo pavyzdžiu. Jei ne krikšto mama, kuri pas tave užsakė, nebūčiau rizikavusi. Ji patikino, kad čia viskas sklandžiai, o mano vardas bus visur, kur tik reikės. Turėjau 4 dienas viską padaryti. Dėkojame už greitumą – jį atlikome per 3, taip pat sugebėjome kruopščiai išstudijuoti dokumentų klastojimo būdus, tačiau jūsų forma nelaikytina padirbta, vadinasi, ji bus tinkama originalui.

Andrejus:

Niekada nebūčiau pagalvojusi, kad teks nusipirkti diplomą. Po mokyklos dukra išvyko dirbti į Lenkiją, kai grįžo po 5 metų, norėjo įsidarbinti drabužių dizainere vietiniuose mados namuose. Be diplomo niekas nenorėjo jos priimti į darbą. Jis suprato, kad jei negaus šio darbo, vėl išeis. Vakarą praleidau naršydamas internete, o ryte jau buvau biure su dukros dokumentais. Po savaitės jis išsinešė su savimi diplomą, o ji pagaliau liko dirbti savo mieste norimose pareigose. Tu neįsivaizduoji, koks aš tau dėkingas!

Sudėties formulės leidžia išreikšti sin(2*a), cos(2*a) ir tan(a) naudojant kampo a trigonometrines funkcijas.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Į šias formules įdėkime a = b. Dėl to gauname šias tapatybes:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Šios tapatybės vadinamos dvigubo kampo formulėmis. Pažvelkime į kelis dvigubo kampo formulių naudojimo pavyzdžius.

1 pavyzdys. Raskite sin(2*a) reikšmę, žinant, kad cos(a) = -0,8 ir a yra 3 ketvirčio kampas. Sprendimas:

Pirmiausia apskaičiuokime nuodėmę(a). Kadangi kampas a yra trečiasis ketvirtis, sinusas trečiajame ketvirtyje bus neigiamas:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Naudodami dvigubo kampo sinuso formulę turime:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Atsakymas: sin(2*a) = 0,96.

2 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Sprendimas:

Išimkime sin(a)*cos(a) iš skliaustų. Mes gauname:

sin(a)*(cos(a)) 3 – (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 – (sin(a)) 2).

Dabar naudokime dvigubo kampo formules:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*nuodėmė(4*a).

Atsakymas: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Naudodami dvigubo kampo formules galite gauti tokias išraiškas

1 – cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Kartais sprendžiant pavyzdžius labai patogu naudoti šias formules. Apsvarstykite šį pavyzdį:

3 pavyzdys. Supaprastinkite išraišką (1-cos(a))/(1+cos(a)). Sprendimas:

Taikykime aukščiau parašytas formules reiškiniams (1-cos(a)) ir (1+cos(a)). Norėdami tai padaryti, pirmiausia pavaizduojame kampą a tokio sandauga 2*(a/2).

Dėl transformacijų gauname:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Naudodami tangento apibrėžimą turime:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Atsakymas: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

– tikrai bus užduočių apie trigonometriją. Trigonometrija dažnai nemėgstama dėl būtinybės sugrūsti daugybę sudėtingų formulių, kuriose knibžda sinusų, kosinusų, liestinių ir kotangentų. Svetainėje jau kažkada buvo patarta, kaip prisiminti pamirštą formulę, naudojant Eulerio ir Peel formulių pavyzdį.

Ir šiame straipsnyje mes stengsimės parodyti, kad pakanka tvirtai žinoti tik penkias paprastas trigonometrines formules, o likusias bendrai suprasti ir jas išvesti. Panašiai kaip su DNR: molekulė nesaugo visų baigtos gyvos būtybės brėžinių. Atvirkščiai, jame yra instrukcijos, kaip jį surinkti iš turimų aminorūgščių. Taigi trigonometrijoje, žinodami kai kuriuos bendruosius principus, visas reikalingas formules gausime iš nedidelio rinkinio tų, kurias būtina turėti omenyje.

Remsimės šiomis formulėmis:

Iš sinuso ir kosinuso sumų formulių, žinodami apie kosinuso funkcijos paritetą ir sinuso funkcijos nelygumą, vietoj b pakeitę -b, gauname skirtumų formules:

1. Skirtumo sinusas: nuodėmė(a–b) = nuodėmėacos(-b)+cosanuodėmė(-b) = nuodėmėacosb-cosanuodėmėb
2. Skirtumo kosinusas: cos(a–b) = cosacos(-b)-nuodėmėanuodėmė(-b) = cosacosb+nuodėmėanuodėmėb

Įdėję a = b į tas pačias formules, gauname dvigubų kampų sinuso ir kosinuso formules:

1. Dvigubo kampo sinusas: nuodėmė2a = nuodėmė(a+a) = nuodėmėacosa+cosanuodėmėa = 2nuodėmėacosa
2. Dvigubo kampo kosinusas: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-nuodėmėanuodėmėa = cos2a-nuodėmė2a

Kitų kelių kampų formulės gaunamos panašiai:

1. Trigubo kampo sinusas: nuodėmė3a = nuodėmė(2a+a) = nuodėmė2acosa+cos2anuodėmėa = (2nuodėmėacosa)cosa+(cos2a-nuodėmė2a)nuodėmėa = 2nuodėmėacos2a+nuodėmėacos2a-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėacos2a-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėa(1-nuodėmė2a)-nuodėmė 3a = 3 nuodėmėa-4nuodėmė 3a
2. Trigubo kampo kosinusas: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-nuodėmė2anuodėmėa = (cos2a-nuodėmė2a)cosa-(2nuodėmėacosa)nuodėmėa = cos 3 a- nuodėmė2acosa-2nuodėmė2acosa = cos 3 a-3 nuodėmė2acosa = cos 3a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Prieš eidami toliau, pažvelkime į vieną problemą.
Duota: kampas smailus.
Raskite jo kosinusą, jei
Vieno studento pateiktas sprendimas:
Nes , Tai nuodėmėa= 3,a cosa = 4.
(Iš matematikos humoro)

Taigi, tangento apibrėžimas susieja šią funkciją ir su sinusu, ir su kosinusu. Bet jūs galite gauti formulę, kuri sietų liestinę tik su kosinusu. Norėdami jį gauti, imame pagrindinę trigonometrinę tapatybę: nuodėmė 2 a+cos 2 a= 1 ir padalinkite jį iš cos 2 a. Mes gauname:

Taigi šios problemos sprendimas būtų toks:

(Kadangi kampas smailus, ištraukiant šaknį, imamas + ženklas)

Sumos tangento formulė yra dar viena, kurią sunku prisiminti. Išveskime taip:

Iš karto rodomas ir

Iš dvigubo kampo kosinuso formulės galite gauti sinuso ir kosinuso formules puskampiams. Norėdami tai padaryti, taikykite kairėje dvigubo kampo kosinuso formulės pusėje:
cos2 a = cos 2 a-nuodėmė 2 a
pridedame vieną, o į dešinę - trigonometrinį vienetą, t.y. sinuso ir kosinuso kvadratų suma.
cos2a+1 = cos2a-nuodėmė2a+cos2a+nuodėmė2a
2cos 2 a = cos2 a+1
Išreiškiantis cosa per cos2 a ir atlikę kintamųjų pakeitimą, gauname:

Ženklas imamas priklausomai nuo kvadranto.

Panašiai, atėmę vieną iš kairės lygybės pusės ir sinuso bei kosinuso kvadratų sumą iš dešinės, gauname:
cos2a-1 = cos2a-nuodėmė2a-cos2a-nuodėmė2a
2nuodėmė 2 a = 1-cos2 a

Ir galiausiai, norėdami paversti trigonometrinių funkcijų sumą į produktą, naudojame šią techniką. Tarkime, kad sinusų sumą reikia pavaizduoti kaip sandaugą nuodėmėa+nuodėmėb. Įveskime kintamuosius x ir y taip, kad a = x+y, b+x-y. Tada
nuodėmėa+nuodėmėb = nuodėmė(x+y)+ nuodėmė(x-y) = nuodėmė x cos y+ cos x nuodėmė y+ nuodėmė x cos y- cos x nuodėmė y = 2 nuodėmė x cos y. Dabar išreikškime x ir y a ir b atžvilgiu.

Kadangi a = x+y, b = x-y, tada . Štai kodėl

Galite nedelsiant atsiimti

1. Perskirstymo formulė sinuso ir kosinuso sandaugai V suma: nuodėmėacosb = 0.5(nuodėmė(a+b)+nuodėmė(a–b))

Rekomenduojame patiems pasipraktikuoti ir išvesti formules sinusų skirtumui ir kosinusų sumai bei skirtumui paversti sandaugą, taip pat sinusų ir kosinusų sandaugoms padalyti į sumą. Atlikę šiuos pratimus, puikiai įvaldysite trigonometrinių formulių išvedimo įgūdžius ir nepasiklysite net sunkiausiame teste, olimpiadoje ar testuose.