Jak řešit exponenciální rovnice a nerovnice. exponenciální rovnice

V této lekci se budeme zabývat řešením složitějších exponenciálních rovnic, připomeneme si hlavní teoretická ustanovení týkající se exponenciální funkce.

1. Definice a vlastnosti exponenciální funkce, technika řešení nejjednodušších exponenciálních rovnic

Připomeňte si definici a hlavní vlastnosti exponenciální funkce. Právě na vlastnostech je založeno řešení všech exponenciálních rovnic a nerovnic.

Exponenciální funkce je funkcí tvaru , kde základem je stupeň a zde x je nezávislá proměnná, argument; y - závislá proměnná, funkce.

Rýže. 1. Graf exponenciální funkce

Graf ukazuje rostoucí a klesající exponent, ilustrující exponenciální funkci na bázi větší než jedna a menší než jedna, ale větší než nula.

Obě křivky procházejí bodem (0;1)

Vlastnosti exponenciální funkce:

Doména: ;

Rozsah hodnot: ;

Funkce je monotónní, zvyšuje se jako , klesá jako .

Monotónní funkce přebírá každou ze svých hodnot jedinou hodnotou argumentu.

Když se argument zvýší z mínus na plus nekonečno, funkce se zvýší z nuly včetně do plus nekonečna. Naopak, když argument roste z mínus do plus nekonečna, funkce klesá z nekonečna na nulu včetně.

2. Řešení typických exponenciálních rovnic

Připomeňte si, jak řešit nejjednodušší exponenciální rovnice. Jejich řešení je založeno na monotónnosti exponenciální funkce. Téměř všechny složité exponenciální rovnice jsou redukovány na takové rovnice.

Rovnost exponentů se stejnými základy je dána vlastností exponenciální funkce, a to její monotónností.

Metoda řešení:

Vyrovnejte základy stupňů;

Rovnocenné exponenty.

Přejděme ke složitějším exponenciálním rovnicím, naším cílem je zredukovat každou z nich na nejjednodušší.

Zbavme se kořene na levé straně a snižme stupně na stejnou základnu:

K redukci složité exponenciální rovnice na jednoduchou se často používá změna proměnných.

Použijme vlastnost stupně:

Představujeme náhradu. Nechte tedy. U takové náhrady je zřejmé, že y bere přísně kladné hodnoty. Dostaneme:

Výslednou rovnici vynásobíme dvěma a všechny členy přeneseme na levou stranu:

První kořen nesplňuje interval hodnot y, zahodíme ho. Dostaneme:

Přivedeme stupně ke stejnému indikátoru:

Představujeme náhradu:

Nechte tedy . U této náhrady je zřejmé, že y nabývá striktně kladných hodnot. Dostaneme:

Víme, jak řešit podobné kvadratické rovnice, zapíšeme odpověď:

Abyste se ujistili, že jsou kořeny nalezeny správně, můžete zkontrolovat podle věty Vieta, tedy najít součet kořenů a jejich součin a zkontrolovat pomocí odpovídajících koeficientů rovnice.

Dostaneme:

3. Technika řešení homogenních exponenciálních rovnic 2. stupně

Pojďme studovat následující důležitý typ exponenciálních rovnic:

Rovnice tohoto typu se vzhledem k funkcím f a g nazývají homogenní druhého stupně. Na jeho levé straně je čtvercový trinom vzhledem k f s parametrem g nebo čtvercový trinom vzhledem k g s parametrem f.

Metoda řešení:

Tuto rovnici lze řešit jako kvadratickou, ale jednodušší je to udělat obráceně. Je třeba zvážit dva případy:

V prvním případě dostaneme

Ve druhém případě máme právo dělit nejvyšším stupněm a dostaneme:

Měli bychom zavést změnu proměnných, dostáváme kvadratická rovnice s ohledem na:

Všimněte si, že funkce f a g mohou být libovolné, ale nás zajímá případ, kdy se jedná o exponenciální funkce.

4. Příklady řešení homogenních rovnic

Přesuňme všechny členy na levou stranu rovnice:

Protože exponenciální funkce nabývají striktně kladných hodnot, máme právo rovnici okamžitě vydělit , aniž bychom uvažovali případ, kdy:

Dostaneme:

Představujeme náhradu: (podle vlastností exponenciální funkce)

Dostali jsme kvadratickou rovnici:

Kořeny určíme podle Vietovy věty:

První kořen nesplňuje interval hodnot y, zahodíme ho, dostaneme:

Využijme vlastnosti stupně a zredukujme všechny stupně na jednoduché základy:

Je snadné si všimnout funkcí f a g:

Protože exponenciální funkce nabývají striktně kladných hodnot, máme právo rovnici okamžitě vydělit , aniž bychom uvažovali případ, kdy .

Mnoho lidí si myslí, že exponenciální nerovnosti jsou něco tak složitého a nepochopitelného. A že naučit se je řešit je téměř velké umění, kterému jsou schopni porozumět jen Vyvolení...

Úplný nesmysl! Exponenciální nerovnosti jsou snadné. A jsou vždy snadno řešitelné. No, skoro vždy. :)

Dnes si toto téma rozebereme široko daleko. Tato lekce bude velmi užitečná pro ty, kteří právě začínají rozumět této části školní matematiky. Začněme jednoduchými úkoly a přejdeme ke složitějším problémům. Dnes to nebude žádná drsnost, ale to, co se chystáte číst, bude stačit na vyřešení většiny nerovností ve všemožném ovládání a samostatné práci. A v této zkoušce také.

Jako vždy začneme definicí. Exponenciální nerovnost je jakákoli nerovnost, která obsahuje exponenciální funkci. Jinými slovy, vždy to může být redukováno na nerovnost tvaru

\[((a)^(x)) \gt b\]

Kde role $b$ může být obyčejné číslo, nebo možná něco tvrdšího. Příklady? Ano prosím:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(X))). \\\konec (zarovnat)\]

Myslím, že význam je jasný: existuje exponenciální funkce $((a)^(x))$, je s něčím porovnána a pak požádána o nalezení $x$. Zejména klinické případy místo proměnné $x$ mohou dát nějakou funkci $f\left(x \right)$ a tím tu nerovnost trochu zkomplikovat. :)

Samozřejmě, v některých případech může nerovnost vypadat vážněji. Například:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Nebo dokonce toto:

Obecně platí, že složitost takových nerovností může být velmi odlišná, ale nakonec se stejně zvrhnou na jednoduchou konstrukci $((a)^(x)) \gt b$. A s takovým návrhem se nějak vypořádáme (zejména v klinických případech, kdy nás nic nenapadá, nám pomohou logaritmy). Proto se nyní naučíme, jak takové jednoduché konstrukce řešit.

Řešení nejjednodušších exponenciálních nerovnic

Podívejme se na něco velmi jednoduchého. Například zde je:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Je zřejmé, že číslo napravo lze přepsat jako mocninu dvou: $4=((2)^(2))$. Původní nerovnost je tedy přepsána do velmi pohodlné formy:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teď už svrbí ruce, aby "přeškrtly" dvojky, stojící v základnách stupňů, aby dostaly odpověď $x \gt 2$. Ale než něco přeškrtneme, připomeňme si mocniny dvou:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Jak vidíte, čím větší je číslo v exponentu, tím větší je výstupní číslo. "Díky, Cape!" vykřikne jeden ze studentů. Děje se to jinak? Bohužel se to stává. Například:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ right))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

I zde je vše logické: jaké více stupně, čím vícekrát se číslo 0,5 násobí samo sebou (tedy dělí na polovinu). Výsledná posloupnost čísel se tedy zmenšuje a rozdíl mezi první a druhou posloupností je pouze v základu:

• Jestliže základ stupně $a \gt 1$, pak s růstem exponentu $n$ poroste i číslo $((a)^(n))$;
• Naopak, pokud $0 \lt a \lt 1$, pak s rostoucím exponentem $n$ bude číslo $((a)^(n))$ klesat.

Shrnutím těchto faktů dostaneme nejdůležitější tvrzení, na kterém je založeno celé řešení exponenciálních nerovnic:

Jestliže $a \gt 1$, pak nerovnost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $x \gt n$. Jestliže $0 \lt a \lt 1$, pak nerovnost $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $x \lt n$.

Jinými slovy, pokud je základna větší než jedna, můžete ji jednoduše odstranit - znaménko nerovnosti se nezmění. A pokud je základna menší než jedna, lze ji také odstranit, ale bude muset být také změněno znaménko nerovnosti.

Všimněte si, že jsme nezohlednili možnosti $a=1$ a $a\le 0$. Protože v těchto případech panuje nejistota. Předpokládejme, jak vyřešit nerovnost ve tvaru $((1)^(x)) \gt 3$? Jednička k jakékoli mocnině opět dá jedničku – nikdy nedostaneme trojku nebo více. Tito. neexistují žádná řešení.

S negativními bázemi je to ještě zajímavější. Zvažte například následující nerovnost:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

Na první pohled je vše jednoduché:

Správně? Ale ne! Stačí dosadit pár sudých a pár lichých čísel místo $x$, abyste se ujistili, že řešení je špatné. Podívej se:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Šipka doprava ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(zarovnat)\]

Jak vidíte, znamení se střídají. Ale stále existují zlomkové stupně a další cín. Jak byste například nařídili počítat $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dva umocněné na odmocninu ze sedmi)? V žádném případě!

Proto pro jednoznačnost předpokládáme, že ve všech exponenciálních nerovnostech (a mimochodem také rovnicích) $1\ne a \gt 0$. A pak je vše vyřešeno velmi jednoduše:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Šipka doprava \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\konec (zarovnat) \vpravo.\]

Obecně si ještě jednou zapamatujte hlavní pravidlo: pokud je základ v exponenciální rovnici větší než jedna, můžete jej jednoduše odstranit; a pokud je základna menší než jedna, lze ji také odstranit, ale tím se změní znaménko nerovnosti.

Příklady řešení

Zvažte tedy několik jednoduchých exponenciálních nerovností:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\konec (zarovnat)\]

Primární úkol je ve všech případech stejný: snížit nerovnosti na nejjednodušší tvar $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. To teď uděláme s každou nerovností a zároveň si zopakujeme vlastnosti mocnin a exponenciální funkce. Tak pojďme!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Co se zde dá dělat? No a nalevo už máme demonstrativní výraz – není třeba nic měnit. Ale napravo je nějaké svinstvo: zlomek a dokonce i kořen ve jmenovateli!

Pamatujte však na pravidla pro práci se zlomky a mocninami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\konec (zarovnat)\]

Co to znamená? Za prvé, můžeme se zlomku snadno zbavit tím, že jej převedeme na záporný exponent. A za druhé, protože jmenovatelem je odmocnina, bylo by hezké převést jej na stupně – tentokrát se zlomkovým exponentem.

Aplikujme tyto akce postupně na pravou stranu nerovnosti a uvidíme, co se stane:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac) 1)(3))) \vpravo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \vpravo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nezapomeňte, že při zvýšení stupně na mocninu se exponenty těchto stupňů sečtou. A vůbec, při práci s exponenciálními rovnicemi a nerovnicemi je bezpodmínečně nutné znát alespoň ta nejjednodušší pravidla pro práci s mocninami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\konec (zarovnat)\]

Vlastně, poslední pravidlo právě jsme podali žádost. Proto bude naše původní nerovnost přepsána takto:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Šipka doprava ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Nyní se zbavíme dvojky na základně. Protože 2 > 1, znaménko nerovnosti zůstává stejné:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Šipka doprava x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To je celé řešení! Hlavní problém není vůbec v exponenciální funkci, ale v kompetentní transformaci původního výrazu: musíte jej pečlivě a co nejrychleji uvést do jeho nejjednodušší podoby.

Zvažte druhou nerovnost:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tak a tak. Zde čekáme na desetinné zlomky. Jak jsem již mnohokrát řekl, v jakýchkoli výrazech s mocninami byste se měli zbavit desetinných zlomků - často je to jediný způsob, jak vidět rychlé a snadné řešení. Zde je to, čeho se zbavíme:

\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ vpravo))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Šipka doprava ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\konec (zarovnat)\]

Před námi je opět nejjednodušší nerovnost a to i se základem 1/10, tzn. méně než jeden. No, odstraníme základy a současně změníme znaménko z „méně“ na „větší“ a dostaneme:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\konec (zarovnat)\]

Dostali jsme konečnou odpověď: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Upozorňujeme, že odpověď je přesně množina a v žádném případě se nejedná o konstrukci tvaru $x \lt -1$. Protože formálně taková konstrukce není vůbec množina, ale nerovnost vzhledem k proměnné $x$. Ano, je to velmi jednoduché, ale není to řešení!

Důležitá poznámka. Tato nerovnost by se dala vyřešit i jinak – zmenšením obou částí na mocninu se základnou větší než jedna. Podívej se:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po takové transformaci opět dostaneme exponenciální nerovnost, ale se základem 10 > 1. A to znamená, že stačí škrtnout desítku - znaménko nerovnosti se nezmění. Dostaneme:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\konec (zarovnat)\]

Jak vidíte, odpověď je úplně stejná. Zároveň jsme se ušetřili nutnosti měnit ceduli a obecně si tam pamatovat nějaká pravidla. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Nenechte se tím však vyděsit. Ať už je v indikátorech cokoli, technologie pro řešení samotné nerovnosti zůstává stejná. Proto si nejprve všimneme, že 16 = 2 4 . Přepišme původní nerovnost s ohledem na tuto skutečnost:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Hurá! Máme obvyklou čtvercovou nerovnost! Znak se nikde nezměnil, protože základem je dvojka - číslo větší než jedna.

Funkce nuly na číselné ose

Uspořádáme znaménka funkce $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - samozřejmě, že její graf bude parabola s větvemi nahoru, takže tam budou „plusy " na stranách. Zajímá nás oblast, kde je funkce menší než nula, tzn. $x\in \left(2;5 \right)$ je odpověď na původní problém.

Nakonec zvažte další nerovnost:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Opět vidíme exponenciální funkci s desetinným zlomkem v základu. Převedeme tento zlomek na společný zlomek:

\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0) ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

V tomto případě jsme využili výše uvedené poznámky - snížili jsme základnu na číslo 5\u003e 1, abychom zjednodušili naše další rozhodování. Udělejme to samé s pravou stranou:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Přepišme původní nerovnost s ohledem na obě transformace:

\[((0,2)^(1+((x)^(2)))\ge \frac(1)(25)\Šipka doprava ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \vpravo)))\ge ((5)^(-2))\]

Báze na obou stranách jsou stejné a větší než jedna. Napravo a nalevo nejsou žádné další výrazy, takže jen „přeškrtneme“ pětky a dostaneme velmi jednoduchý výraz:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(zarovnat)\]

Zde musíte být opatrní. Mnoho studentů rádo jednoduše extrahuje Odmocnina obě části nerovnosti a napište něco jako $x\le 1\Šipka doprava x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Nikdy byste to neměli dělat, protože kořenem přesného čtverce je modul a v žádném případě původní proměnná:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\vpravo|\]

Práce s moduly však není nejpříjemnější zážitek, že? Takže nebudeme pracovat. Místo toho jednoduše přesuneme všechny členy doleva a vyřešíme obvyklou nerovnost pomocí intervalové metody:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(zarovnat)$

Získané body opět označíme na číselné ose a podíváme se na znaménka:

Poznámka: tečky jsou stínované.

Protože jsme řešili nepřísnou nerovnici, všechny body v grafu jsou stínované. Odpověď tedy bude: $x\in \left[ -1;1 \right]$ není interval, ale segment.

Obecně bych rád poznamenal, že v exponenciálních nerovnostech není nic složitého. Význam všech transformací, které jsme dnes provedli, se scvrkává na jednoduchý algoritmus:

• Najděte základnu, na kterou snížíme všechny stupně;
• Opatrně provádějte transformace, abyste získali nerovnost ve tvaru $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Samozřejmě místo proměnných $x$ a $n$ mohou existovat mnohem složitější funkce, ale to nic nemění na významu;
• Přeškrtněte základy stupňů. V tomto případě se znaménko nerovnosti může změnit, pokud je základ $a \lt 1$.

Ve skutečnosti se jedná o univerzální algoritmus pro řešení všech takových nerovností. A vše ostatní, co vám na toto téma bude řečeno, jsou jen konkrétní triky a triky, jak proměnu zjednodušit a urychlit. Tady je jeden z těch triků, o kterých si teď povíme. :)

racionalizační metoda

Zvažte další várku nerovností:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

No, co je na nich tak zvláštního? Jsou také lehké. I když, přestaň! Je pí povýšeno na moc? Jaký nesmysl?

A jak zvýšit číslo $2\sqrt(3)-3$ na mocninu? Nebo $3-2\sqrt(2)$? Kompilátoři problémů evidentně pili příliš mnoho "Hloh", než se posadili k práci. :)

Ve skutečnosti na těchto úkolech není nic špatného. Dovolte mi připomenout: exponenciální funkce je výraz ve tvaru $((a)^(x))$, kde základ $a$ je libovolné kladné číslo, kromě jedničky. Číslo π je kladné – to už víme. Čísla $2\sqrt(3)-3$ a $3-2\sqrt(2)$ jsou také kladná – to lze snadno zjistit, když je porovnáme s nulou.

Ukazuje se, že všechny tyto „děsivé“ nerovnosti se neliší od jednoduchých výše uvedených? A dělají to stejně? Ano, naprosto správně. Na jejich příkladu bych se ale rád zamyslel nad jedním trikem, který ušetří spoustu času na samostatnou práci a zkoušky. Budeme mluvit o metodě racionalizace. Takže pozor:

Jakákoli exponenciální nerovnost ve tvaru $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ je ekvivalentní nerovnosti $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ vpravo) \gt 0 $.

To je celá metoda :) Mysleli jste, že bude nějaká další hra? Nic takového! Tento jednoduchý fakt, napsaný doslova na jednom řádku, nám ale značně zjednoduší práci. Podívej se:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matice)\]

Zde již nejsou žádné exponenciální funkce! A nemusíte si pamatovat, zda se znak mění nebo ne. Ale existuje nový problém: co dělat s tou zkurvenou násobilkou \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nevíme, jaká je přesná hodnota pí. Zdá se však, že kapitán naznačuje zřejmé:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\cca 3,14... \gt 3\Šipka doprava \text()\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]

Obecně nás přesná hodnota π moc netrápí – důležité je pouze to, abychom pochopili, že v každém případě $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. je kladná konstanta a můžeme jí vydělit obě strany nerovnosti:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak vidíte, v určitém okamžiku jsme museli dělit mínus jedna a znaménko nerovnosti se změnilo. Na konci jsem rozšířil čtvercovou trojčlenku podle Vietovy věty - je zřejmé, že kořeny se rovnají $((x)_(1))=5$ a $((x)_(2))=- 1 $. Pak se vše řeší klasickou metodou intervalů:

Nerovnici řešíme metodou intervalů

Všechny body jsou proražené, protože původní nerovnost je přísná. Zajímá nás oblast se zápornými hodnotami, takže odpověď je $x\in \left(-1;5 \right)$. To je řešení. :)

Pojďme k dalšímu úkolu:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Zde je vše jednoduché, protože vpravo je jednotka. A pamatujeme si, že jednotka je jakékoli číslo umocněné na nulu. I když je toto číslo iracionální výraz, stojící na základně vlevo:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\konec (zarovnat)\]

Pojďme si tedy racionalizovat:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Zbývá se vypořádat pouze s příznaky. Násobič $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ neobsahuje proměnnou $x$ - je to jen konstanta a musíme zjistit její znaménko. Chcete-li to provést, poznamenejte si následující:

\[\begin(matice) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \vpravo)=0 \\\konec (matice)\]

Ukazuje se, že druhý faktor není jen konstanta, ale záporná konstanta! A při jejím dělení se znaménko původní nerovnosti změní na opačné:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Nyní je vše zcela zřejmé. Kořeny čtvercový trojčlen vpravo: $((x)_(1))=0$ a $((x)_(2))=2$. Označíme je na číselné ose a podíváme se na znaménka funkce $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Případ, kdy nás zajímají laterální intervaly

Zajímají nás intervaly označené znaménkem plus. Zbývá jen napsat odpověď:

Pojďme k dalšímu příkladu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ vpravo))^(16-x)))\]

Zde je vše zcela zřejmé: základy jsou mocniny stejného čísla. Proto vše stručně napíšu:

\[\begin(matice) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \vpravo))^((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ vlevo(16-x\vpravo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak vidíte, v procesu transformací jsme museli násobit záporným číslem, takže se změnilo znaménko nerovnosti. Na úplný závěr jsem opět aplikoval Vietovu větu na faktorizaci čtvercového trinomu. Ve výsledku bude odpověď následující: $x\in \left(-8;4 \right)$ - kdo si to přeje, může si to ověřit nakreslením číselné osy, vyznačením bodů a spočtením znamének. Mezitím přejdeme k poslední nerovnosti z naší „množiny“:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Jak vidíte, základ je opět iracionální číslo a jednotka je opět vpravo. Proto naši exponenciální nerovnost přepíšeme takto:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ vpravo))^(0))\]

Pojďme si to racionalizovat:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Je však zcela zřejmé, že $1-\sqrt(2) \lt 0$, protože $\sqrt(2)\cca 1,4... \gt 1$. Druhým faktorem je tedy opět záporná konstanta, kterou lze obě části nerovnosti dělit:

\[\začátek(matice) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\konec(matice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(zarovnat)\]

Změňte na jinou základnu

Samostatným problémem při řešení exponenciálních nerovností je hledání „správného“ základu. Bohužel na první pohled na úkol není zdaleka vždy zřejmé, co si vzít za základ a co udělat jako míru tohoto základu.

Ale nebojte se: žádná magie a „tajné“ technologie zde neexistují. V matematice lze jakoukoli dovednost, kterou nelze algoritmizovat, snadno rozvíjet praxí. K tomu ale musíte řešit problémy různé úrovně potíže. Jedná se například o:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ konec(zarovnat)\]

Složitý? děsivé? Ano, je to jednodušší než kuře na asfaltu! Zkusme to. První nerovnost:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

No, myslím, že zde je vše jasné:

Přepíšeme původní nerovnost a vše zredukujeme na základní „dvě“:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Šipka doprava \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Ano, ano, pochopili jste správně: právě jsem použil výše popsanou racionalizační metodu. Nyní musíme pracovat opatrně: dostali jsme zlomkovou racionální nerovnost (to je ta, která má ve jmenovateli proměnnou), takže než něco přirovnáte k nule, musíte vše zredukovat na společného jmenovatele a zbavit se konstantního faktoru .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Nyní použijeme standardní intervalovou metodu. Nuly v čitateli: $x=\pm 4$. Jmenovatel jde na nulu pouze tehdy, když $x=0$. Celkem jsou na číselné ose tři body, které by měly být vyznačeny (všechny body jsou vyraženy, protože znak nerovnosti je přísný). Dostaneme:

Složitější případ: tři kořeny

Jak asi tušíte, šrafování označuje intervaly, ve kterých výraz nalevo nabývá záporných hodnot. Do konečné odpovědi tedy vstoupí dva intervaly najednou:

Konce intervalů nejsou v odpovědi zahrnuty, protože původní nerovnost byla přísná. Není vyžadováno žádné další ověřování této odpovědi. V tomto ohledu jsou exponenciální nerovnosti mnohem jednodušší než logaritmické: žádné DPV, žádná omezení atd.

Pojďme k dalšímu úkolu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Ani zde nejsou žádné problémy, protože již víme, že $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, takže celá nerovnost může být přepsána takto:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Šipka doprava ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2\vpravo)\vpravo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Pozor: ve třetím řádku jsem se rozhodl neztrácet čas maličkostmi a rovnou vše vydělit (−2). Minul šel do první závorky (teď jsou plusy všude) a dvojka byla snížena konstantním násobičem. To je přesně to, co byste měli udělat při skutečných výpočtech na nezávislých a kontrolní práce- není třeba malovat přímo každou akci a transformaci.

Dále přichází na řadu známá metoda intervalů. Nuly v čitateli: ale žádné nejsou. Protože diskriminant bude negativní. Na druhé straně je jmenovatel nastaven na nulu pouze tehdy, když $x=0$ — stejně jako minule. Je jasné, že zlomek bude mít kladné hodnoty vpravo od $x=0$ a záporné hodnoty vlevo. Protože nás zajímají pouze záporné hodnoty, konečná odpověď je $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

A co by se mělo dělat s desetinnými zlomky v exponenciálních nerovnostech? Správně: zbavte se jich přeměnou na obyčejné. Tady překládáme:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Šipka doprava ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \vpravo))^(x)). \\\konec (zarovnat)\]

No, co jsme dostali v základech exponenciálních funkcí? A dostali jsme dvě vzájemně reciproká čísla:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Šipka doprava ((\left(\frac(25)(4) \ vpravo))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \vpravo))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]

Původní nerovnost lze tedy přepsat takto:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\konec (zarovnat)\]

Samozřejmě, že při násobení mocnin se stejným základem se jejich ukazatele sčítají, což se stalo v druhém řádku. Navíc jsme znázornili jednotku vpravo, také jako sílu v základu 4/25. Zbývá jen racionalizovat:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Všimněte si, že $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tzn. druhý faktor je záporná konstanta a když se jí vydělí, znaménko nerovnosti se změní:

\[\begin(zarovnat) & x+1-0\le 0\Šipka doprava x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(zarovnat)\]

Konečně poslední nerovnost z aktuální "množiny":

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

V zásadě je zde také myšlenka řešení jasná: všechny exponenciální funkce, které tvoří nerovnost, musí být sníženy na základ "3". Ale k tomu si musíte trochu pohrát s kořeny a stupni:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\konec (zarovnat)\]

Vzhledem k těmto skutečnostem lze původní nerovnost přepsat takto:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2)) \vpravo))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\konec (zarovnat)\]

Věnujte pozornost 2. a 3. řádku výpočtů: než uděláte něco s nerovností, nezapomeňte to uvést do tvaru, o kterém jsme mluvili od samého začátku lekce: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Pokud máte levý nebo pravý levý multiplikátor, extra konstanty atd., nelze provést racionalizaci a „přeškrtnutí“ pozemků! Nesčetné množství úkolů bylo provedeno špatně kvůli nepochopení tohoto prostého faktu. Sám tento problém neustále pozoruji u svých studentů, když právě začínáme analyzovat exponenciální a logaritmické nerovnosti.

Ale zpět k našemu úkolu. Pokusme se tentokrát obejít bez racionalizace. Připomínáme: základna stupně je větší než jedna, takže trojky lze jednoduše přeškrtnout - znaménko nerovnosti se nezmění. Dostaneme:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(zarovnat)\]

To je vše. Konečná odpověď: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Zvýraznění stabilního výrazu a nahrazení proměnné

Na závěr navrhuji vyřešit ještě čtyři exponenciální nerovnice, které jsou již pro nepřipravené studenty značně obtížné. Abyste se s nimi vyrovnali, musíte si pamatovat pravidla pro práci s tituly. Zejména uvedení společných faktorů ze závorek.

Ale nejdůležitější je naučit se rozumět: co přesně může být závorkové. Takový výraz se nazývá stabilní – lze jej označit novou proměnnou a zbavit se tak exponenciální funkce. Pojďme se tedy podívat na úkoly:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Začněme úplně prvním řádkem. Zapišme tuto nerovnost samostatně:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Všimněte si, že $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, takže pravá strana lze přepsat:

Všimněte si, že neexistují žádné další exponenciální funkce kromě $((5)^(x+1))$ v nerovnosti. A obecně platí, že proměnná $x$ se nikde jinde nevyskytuje, takže zaveďme novou proměnnou: $((5)^(x+1))=t$. Získáme následující konstrukci:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(zarovnat)\]

Vrátíme se k původní proměnné ($t=((5)^(x+1))$), a zároveň si pamatujeme, že 1=5 0 . My máme:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\konec (zarovnat)\]

To je celé řešení! Odpověď: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Pojďme k druhé nerovnosti:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Všechno je tu stejné. Všimněte si, že $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Poté lze levou stranu přepsat:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \vpravo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Šipka doprava ((3)^(x))\ge 9\Šipka doprava ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Šipka doprava x\v \left[ 2;+\infty \vpravo). \\\konec (zarovnat)\]

Přibližně takto potřebujete vypracovat rozhodnutí o skutečné kontrole a samostatné práci.

No, zkusíme něco těžšího. Zde je například nerovnost:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

co je tady za problém? Za prvé, základy exponenciálních funkcí vlevo jsou různé: 5 a 25. Nicméně 25 \u003d 5 2, takže první člen lze transformovat:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(zarovnat )\]

Jak vidíte, nejprve jsme vše přivedli na stejný základ a pak jsme si všimli, že první člen se snadno redukuje na druhý - stačí pouze rozšířit exponent. Nyní můžeme bezpečně zavést novou proměnnou: $((5)^(2x+2))=t$ a celá nerovnost bude přepsána takto:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(zarovnat)\]

Opět žádný problém! Konečná odpověď: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Přejdeme ke konečné nerovnosti v dnešní lekci:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

První věc, kterou je třeba poznamenat, je samozřejmě desetinný na základně prvního stupně. Je potřeba se toho zbavit a zároveň přivést všechny exponenciální funkce na stejný základ - číslo "2":

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Šipka doprava ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Šipka doprava ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Skvělé, udělali jsme první krok – vše vedlo ke stejnému základu. Nyní musíme zdůraznit stabilní výraz. Všimněte si, že $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Pokud zavedeme novou proměnnou $((2)^(4x+6))=t$, pak lze původní nerovnost přepsat takto:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\konec (zarovnat)\]

Přirozeně může vyvstat otázka: jak jsme zjistili, že 256 = 2 8 ? Bohužel zde stačí znát mocniny dvojky (a zároveň i mocniny trojky a pětky). Nebo rozdělte 256 2 (můžete dělit, protože 256 je sudé číslo), dokud nedostaneme výsledek. Bude to vypadat nějak takto:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Stejně tak je to s trojkou (čísla 9, 27, 81 a 243 jsou její mocniny) a se sedmičkou (čísla 49 a 343 by bylo také hezké si zapamatovat). Těch pět má také „krásné“ stupně, které potřebujete vědět:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\konec (zarovnat)\]

Samozřejmě, že všechna tato čísla, je-li to žádoucí, lze v mysli obnovit jednoduše jejich postupným násobením mezi sebou. Když však musíte vyřešit několik exponenciálních nerovností a každá další je obtížnější než ta předchozí, pak to poslední, na co byste chtěli myslet, jsou mocniny tamních čísel. A v tomto smyslu jsou tyto úlohy složitější než „klasické“ nerovnice, které se řeší intervalovou metodou.

Lekce a prezentace na téma: "Exponenciální rovnice a exponenciální nerovnice"

Doplňkové materiály
Vážení uživatelé, nezapomeňte zanechat své komentáře, zpětnou vazbu, návrhy! Všechny materiály jsou kontrolovány antivirovým programem.

Učební pomůcky a simulátory v internetovém obchodě "Integral" pro ročník 11
Interaktivní příručka pro třídy 9-11 "Trigonometrie"
Interaktivní příručka pro třídy 10-11 "Logaritmy"

Definice exponenciálních rovnic

Chlapi, studovali jsme exponenciální funkce, učili se jejich vlastnosti a sestavovali grafy, analyzovali příklady rovnic, ve kterých se exponenciální funkce vyskytují. Dnes budeme studovat exponenciální rovnice a nerovnice.

Definice. Rovnice ve tvaru: $a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a>0$, $a≠1$ se nazývají exponenciální rovnice.

Když si vzpomeneme na věty, které jsme studovali v tématu "Exponenciální funkce", můžeme zavést novou větu:
Teorém. exponenciální rovnice$a^(f(x))=a^(g(x))$, kde $a>0$, $a≠1$ je ekvivalentní rovnici $f(x)=g(x)$.

Příklady exponenciálních rovnic

Příklad.
Řešte rovnice:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Rozhodnutí.
a) Dobře víme, že $27=3^3$.
Přepišme naši rovnici: $3^(3x-3)=3^3$.
Pomocí výše uvedené věty dostaneme, že naše rovnice se redukuje na rovnici $3x-3=3$, vyřešením této rovnice dostaneme $x=2$.
Odpověď: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Potom lze naši rovnici přepsat: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0,2=$0,2.
$x=0$.
Odpověď: $x=0$.

C) Původní rovnice je ekvivalentní rovnici: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ a $x_2=-3$.
Odpověď: $x_1=6$ a $x_2=-3$.

Příklad.
Řešte rovnici: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Rozhodnutí:
Postupně provedeme řadu akcí a přivedeme obě části naší rovnice na stejné základy.
Proveďme řadu operací na levé straně:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Pojďme na pravou stranu:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) 16 $*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Původní rovnice je ekvivalentní rovnici:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Odpověď: $x=0$.

Příklad.
Vyřešte rovnici: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Rozhodnutí:
Přepišme naši rovnici: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Udělejme změnu proměnných, nechť $a=3^x$.
V nových proměnných bude mít rovnice tvar: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ a $a_2=3$.
Proveďme opačnou změnu proměnných: $3^x=-12$ a $3^x=3$.
V minulé lekci jsme se naučili, že exponenciální výrazy mohou nabývat pouze kladných hodnot, zapamatujte si graf. To znamená, že první rovnice nemá řešení, druhá rovnice má jedno řešení: $x=1$.
Odpověď: $x=1$.

Pojďme si udělat poznámku o způsobech řešení exponenciálních rovnic:
1. Grafická metoda. Představujeme obě části rovnice jako funkce a sestavujeme jejich grafy, najdeme průsečíky grafů. (Tuto metodu jsme použili v minulé lekci).
2. Princip rovnosti ukazatelů. Princip je založen na tom, že dva výrazy se stejnými základy jsou si rovny právě tehdy, když jsou stupně (exponenty) těchto základů stejné. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda změny proměnných. Tato metoda by se mělo použít, pokud rovnice při změně proměnných zjednodušuje svůj tvar a je mnohem snáze řešitelná.

Příklad.
Vyřešte soustavu rovnic: $\začátek (případy) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end(cases)$.
Rozhodnutí.
Zvažte obě rovnice systému samostatně:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Zvažte druhou rovnici:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12 $.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Použijme metodu změny proměnných, nechť $y=2^(x+y)$.
Potom bude mít rovnice tvar:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ a $y_2=-3$.
Přejdeme k počátečním proměnným, z první rovnice dostaneme $x+y=2$. Druhá rovnice nemá řešení. Pak je naše počáteční soustava rovnic ekvivalentní soustavě: $\begin (případy) x+3y=0, \\ x+y=2. \end(cases)$.
Odečtením druhé rovnice od první rovnice dostaneme: $\begin (případy) 2y=-2, \\ x+y=2. \end(cases)$.
$\begin (případy) y=-1, \\ x=3. \end(cases)$.
Odpověď: $(3;-1)$.

exponenciální nerovnosti

Přejděme k nerovnostem. Při řešení nerovností je třeba dávat pozor na základ stupně. Při řešení nerovností jsou možné dva scénáře vývoje událostí.

Teorém. Pokud $a>1$, pak exponenciální nerovnost $a^(f(x))>a^(g(x))$ je ekvivalentní nerovnosti $f(x)>g(x)$.
Pokud $ 0 a^(g(x))$ je ekvivalentní $f(x)

Příklad.
Řešit nerovnosti:
a) $3^(2x+3)>81 $.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Rozhodnutí.
a) $3^(2x+3)>81 $.
$3^(2x+3)>3^4 $.
Naše nerovnost je ekvivalentní nerovnosti:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$ x > 0,5 $.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) V naší rovnici je základ o stupni menší než 1, pak při nahrazení nerovnosti ekvivalentní je nutné změnit znaménko.
$2x-4>2$.
$ x > 3 $.

C) Naše nerovnost je ekvivalentní nerovnosti:
$x^2+6x≥4x+15 $.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Použijme metodu intervalového řešení:
Odpověď: $(-∞;-5]U)