Metody řešení kvadratických rovnic. Lekce informatiky "Řešení kvadratické rovnice"
Kvadratické rovnice se studují v 8. ročníku, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je zásadní.
Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a , b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.
Před studiem konkrétních metod řešení si všimneme, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:
- Nemají kořeny;
- Mají přesně jeden kořen;
- Mají dva různé kořeny.
Tohle je co důležitý rozdíl kvadratické rovnice z lineárních, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.
Diskriminační
Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0. Pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac .
Tento vzorec je třeba znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:
- Pokud D< 0, корней нет;
- Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
- Pokud D > 0, budou dva kořeny.
Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů, a vůbec ne jejich znaky, jak si z nějakého důvodu mnoho lidí myslí. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:
Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Zapíšeme koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Druhou rovnici analyzujeme stejným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Zbývá poslední rovnice:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminant je roven nule - odmocnina bude jedna.
Všimněte si, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to zdlouhavé – ale nespletete si šance a neuděláte hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.
Mimochodem, pokud „naplníte ruku“, po chvíli již nebudete muset vypisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.
Kořeny kvadratické rovnice
Nyní přejdeme k řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:
Základní vzorec kořenů kvadratická rovnice
Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců - dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2 x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
První rovnice:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:
Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]
Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:
Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazení záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže výše popsaná technika: podívejte se na vzorec doslovně, namalujte každý krok - a velmi brzy se zbavte chyb.
Neúplné kvadratické rovnice
Stává se, že kvadratická rovnice je poněkud odlišná od toho, co je uvedeno v definici. Například:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Je snadné vidět, že jeden z členů v těchto rovnicích chybí. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nepotřebují ani počítat diskriminant. Pojďme si tedy představit nový koncept:
Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.
Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy se oba tyto koeficienty rovnají nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 \u003d 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jedinou kořen: x \u003d 0.
Podívejme se na další případy. Nechť b \u003d 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c \u003d 0. Pojďme ji mírně transformovat:
Kvůli aritmetice Odmocnina existuje pouze od nezáporného čísla, poslední rovnost má smysl pouze pro (−c /a ) ≥ 0. Závěr:
- Pokud neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 + c = 0 vyhovuje nerovnosti (−c / a ) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
- Pokud (−c / a)< 0, корней нет.
Jak vidíte, diskriminant nebyl vyžadován - v neúplných kvadratických rovnicích žádný není složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud existuje kladné číslo, budou dva kořeny. Pokud je záporná, nebudou zde žádné kořeny.
Nyní se zabývejme rovnicemi tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Polynom stačí faktorizovat:
Vyjmutí společného faktoru ze závorkySoučin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule. Odtud pocházejí kořeny. Na závěr analyzujeme několik z těchto rovnic:
Úkol. Řešte kvadratické rovnice:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nejsou tam žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Programování v Lazar pro školáky.
Lekce číslo 12.
Řešení kvadratické rovnice.
Matycin Igor Vladimirovič
Učitel matematiky a informatiky
MBOU střední škola s. slečna
Účel: napsat program pro řešení kvadratické rovnice s libovolným zadáním.
Dívka 2013.
Kvadratická rovnice je jednou z nejběžnějších rovnic školního kurzu. I když je to docela snadné vyřešit, někdy je potřeba odpovědi zkontrolovat. K tomu můžete použít jednoduchý program. Jeho napsání nebude trvat dlouho.
Musíte začít samotnou kvadratickou rovnicí. Z kurzu algebry víme, že kvadratická rovnice je rovnice tvaru sekera 2 + bx + C =0, kde X - variabilní, A , b a c jsou nějaká čísla a A .
Z definice je vidět, že se v rovnici mění pouze koeficienty A , b a C . Toto jsou parametry, které zadáme do našeho programu, a k tomu si z komponent vytvoříme tři vstupní pole.
Obr 14.1 Vstupní pole pro koeficienty.
Z definice také vyplývá, že A . V tomto případě rovnice nebude kvadratická. A tuto podmínku prověříme především. Vytvořme pomocí operátoru tlačítko "Vyřešit" a jeho vývojář události-li zkontrolovat stav A . A pokud A =0 říkáme, že naše rovnice není kvadratická.Zde je obslužná rutina události pro tlačítko:procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,c:real; begin a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); if a=0 then Label4.Caption:="Rovnice není čtvercová";konec;
Rýže. 14.2 Testování existence rovnice.
Nyní je potřeba popsat, co se stane, pokud bude rovnice kvadratická. To bude také ve stejném prohlášení-li po slově jiný a při použití složeného operátoru.
Pokud je rovnice kvadratická, tak ji ihned vyřešíme pomocí vzorce diskriminantu a kořenů kvadratické rovnice.
Diskriminant najdeme podle vzorce: D := b * b – 4* A * C ;
Pokud je diskriminant menší než nula, pak rovnice nemá řešení. Bude to popsáno takto:
Pokud d pak označení 4. Titulek :='Rovnice nemá řešení' jiný …
A pak jiný dojde k přímému hledání kořenů rovnice pomocí vzorců:
X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;
X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;
Zde je úplný kód operátora-li :
if a=0 then Label4.Caption:="Rovnice není čtvercová" jinak
začít
D:=b*b-4*a*c;
pokud d
začít
X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;
X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;
Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);
konec;
konec;
Rýže. 14.3 pracovní okno program kvadratických rovnic.
Problém je dobře známý z matematiky. Výchozími údaji jsou zde koeficienty a, b, c. Rozhodnutí v obecný případ jsou dva kořeny x 1 a x 2 , které se počítají podle vzorců:
Všechny hodnoty použité v tomto programu jsou skutečného typu.
alg kořeny kvadratické rovnice
věc a, b, c, x1, x2, d
brzy vstup a, b, c
x1:=(-b+Öd)/(2a)
x2:=(-b–Öd)/(2a)
výstup x1, x2
Slabost takového algoritmu je viditelná pouhým okem. Nemá nejdůležitější vlastnost požadovanou pro vysoce kvalitní algoritmy: univerzálnost vzhledem k výchozím datům. Bez ohledu na hodnoty počátečních dat musí algoritmus vést k určitému výsledku a dosáhnout konce. Výsledkem může být číselná odpověď, ale také zpráva, že s takovými údaji problém nemá řešení. Zastávky uprostřed algoritmu z důvodu nemožnosti provést nějakou operaci nejsou povoleny. Stejná vlastnost se v literatuře o programování nazývá účinnost algoritmu (v každém případě je třeba získat nějaký výsledek).
Pro sestavení univerzálního algoritmu je nejprve nutné pečlivě analyzovat matematický obsah problému.
Řešení rovnice závisí na hodnotách koeficientů a, b, c. Zde je analýza tohoto problému (omezujeme se pouze na hledání skutečných kořenů):
jestliže a=0, b=0, c=0, pak libovolné x je řešením rovnice;
jestliže a=0, b=0, c¹0, pak rovnice nemá řešení;
pokud a=0, b¹0, pak se jedná o lineární rovnici, která má jedno řešení: x=–c/b;
jestliže a¹0 a d=b 2 -4ac³0, pak rovnice má dva reálné kořeny (vzorce jsou uvedeny výše);
pokud a¹0 a d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Blokové schéma algoritmu:
Stejný algoritmus v algoritmickém jazyce:
alg kořeny kvadratické rovnice
věc a, b, c, d, x1, x2
brzy vstup a, b, c
-li a=0
pak jestli b=0
pak jestli c=0
pak výstup "libovolné x je řešení"
v opačném případě výstup "žádná řešení"
v opačném případě x:= -c/b
v opačném případě d:=b2–4ac
-li a d<0
pak výstup "žádné skutečné kořeny"
v opačném případě e xl:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)
výstup "x1=",x1, "x2=",x2
Tento algoritmus znovu používá příkaz struktury větve. Obecný pohled na příkaz větve ve vývojových diagramech a v algoritmickém jazyce je následující:
Nejprve se zkontroluje „podmínka“ (vypočítá se vztah, logický výraz). Pokud je podmínka pravdivá, provede se "série 1" - sekvence příkazů označená šipkou s nápisem "yes" (kladná větev). Jinak se provede "série 2" (záporná větev). V EL se podmínka píše za služebním slovem "pokud", kladná větev - za slovem "pak", záporná větev - za slovem "jinak". Písmena "kv" označují konec větve.
Pokud větve jedné větve obsahují další větve, pak má takový algoritmus strukturu vnořené větve. Právě tuto strukturu má algoritmus „kořeny kvadratické rovnice“. V něm je pro stručnost místo slov „ano“ a „ne“ použito „+“ a „-“.
Zvažte následující problém: dané kladné celé číslo n. Je nutné vypočítat n! (n-faktoriální). Připomeňme si definici faktoriálu.
Níže je blokové schéma algoritmu. Používá tři proměnné typu integer: n je argument; i je přechodná proměnná; F je výsledek. Pro kontrolu správnosti algoritmu byla vytvořena trasovací tabulka. V takové tabulce jsou pro konkrétní hodnoty počátečních dat změny v proměnných zahrnutých v algoritmu sledovány po krocích. Tato tabulka je sestavena pro případ n=3.
Stopa dokazuje správnost algoritmu. Nyní napíšeme tento algoritmus v algoritmickém jazyce.
alg Faktorový
Celý n, i, F
brzy vstup n
F:=1; i:=1
sbohem i£n, opakovat
nc F:=F'i
Tento algoritmus má cyklickou strukturu. Algoritmus používá strukturální příkaz "loop-while" nebo "loop with precondition". Obecný pohled na příkaz „loop-bye“ ve vývojových diagramech a v EL je následující:
Provádění série příkazů (tělo smyčky) se opakuje, dokud je podmínka smyčky pravdivá. Když se podmínka stane nepravdivou, smyčka se ukončí. Servisní slova "nts" a "kts" označují začátek cyklu, respektive konec cyklu.
Smyčka s předpokladem je hlavní, ale ne jedinou formou organizace cyklických algoritmů. Další možností je smyčka s dodatečnou podmínkou. Vraťme se k algoritmu řešení kvadratické rovnice. Lze k ní přistupovat z této pozice: pokud a=0, pak se již nejedná o kvadratickou rovnici a lze ji ignorovat. V tomto případě budeme předpokládat, že se uživatel při zadávání údajů spletl a měl by být vyzván k opakování zadání. Jinými slovy, algoritmus zajistí kontrolu spolehlivosti počátečních dat a poskytne uživateli příležitost opravit chybu. Přítomnost takového ovládání je dalším znakem dobré kvality programu.
Obecně je strukturní příkaz "loop with postcondition" nebo "loop-before" reprezentován následovně:
Zde se používá podmínka ukončení smyčky. Když se stane pravdou, smyčka se ukončí.
Sestavme algoritmus pro řešení následující úlohy: jsou dána dvě přirozená čísla M a N. Je potřeba vypočítat jejich největšího společného dělitele - gcd(M,N).
Tento problém se řeší pomocí metody známé jako Euklidův algoritmus. Jeho myšlenka je založena na vlastnosti, že když M>N, pak gcd(M 1) pokud jsou čísla stejná, vezměte jejich celkovou hodnotu jako odpověď; jinak pokračujte v provádění algoritmu; 2) určete větší z čísel; 3) nahraďte větší číslo rozdílem mezi větší a menší hodnotou; 4) vrátit se k provádění odstavce 1. Blokové schéma a algoritmus v AL budou následující: Algoritmus má strukturu smyčky s vnořeným větvením. Proveďte vlastní sledování tohoto algoritmu pro případ M=18, N=12. Výsledkem je gcd=6, což je samozřejmě pravda. snímek 2 Cyklus kvadratických rovnic lekcí algebry v 8. ročníku podle učebnice A.G. Mordkovič Učitel MBOU Grushevskaya střední škola Kireeva T.A. snímek 3 Cíle: představit pojmy kvadratické rovnice, kořen kvadratické rovnice; ukázat řešení kvadratických rovnic; formovat schopnost řešit kvadratické rovnice; ukázat způsob řešení úplných kvadratických rovnic pomocí vzorce kořenů kvadratické rovnice. snímek 4 snímek 5 Trochu historie Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu. Potřeba řešit rovnice nejen prvního, ale i druhého stupně byla již ve starověku vyvolána potřebou řešení problémů souvisejících s hledáním ploch zemských a zemních prací vojenského charakteru, jakož i rozvojem astronomie. a matematiky samotné. Babyloňané věděli, jak řešit kvadratické rovnice asi 2000 let před naší vírou. Aplikujeme-li moderní algebraickou notaci, lze říci, že v jejich klínopisných textech jsou kromě neúplných i například úplné kvadratické rovnice. snímek 6 Pravidlo pro řešení těchto rovnic, uvedené v babylonských textech, se shoduje s tím moderním, ale není známo, jak Babyloňané k tomuto pravidlu přišli. Téměř všechny dosud nalezené klínopisné texty uvádějí pouze problémy s řešeními uvedenými ve formě receptů, bez uvedení způsobu jejich nalezení. Navzdory vysokému stupni rozvoje algebry v Babylonii chybí v klínopisných textech koncept záporného čísla a obecné metody řešení kvadratických rovnic. Snímek 7 Definice 1. Kvadratická rovnice je rovnice tvaru, kde koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla a polynom se nazývá čtvercový trinom. a je první nebo nejvyšší koeficient c je druhý koeficient c je volný člen Snímek 8 Definice 2. Kvadratická rovnice se nazývá redukovaná, pokud je její vedoucí koeficient roven 1; kvadratická rovnice se nazývá neredukovaná, pokud je vedoucí koeficient jiný než 1. Příklad. 2 - 5 + 3 = 0 - neredukovaná kvadratická rovnice - redukovaná kvadratická rovnice Snímek 9 Definice 3. Úplná kvadratická rovnice je kvadratická rovnice, ve které jsou přítomny všechny tři členy. a + in + c \u003d 0 Neúplná kvadratická rovnice je rovnice, ve které nejsou přítomny všechny tři členy; je rovnice, pro kterou je alespoň jeden z koeficientů v c roven nule. Snímek 10 Metody řešení neúplných kvadratických rovnic. snímek 11 Řešte úlohy č. 24.16 (a, b) Řešte rovnici: nebo Odpovězte. nebo Odpovědět. snímek 12 Definice 4 Kořenem kvadratické rovnice je jakákoli hodnota proměnné x, při které čtvercová trojčlenka zaniká; taková hodnota proměnné x se také nazývá odmocnina čtvercového trinomu.Řešení kvadratické rovnice znamená nalezení všech jejích kořenů nebo zjištění, že žádné kořeny neexistují. snímek 13 Diskriminant kvadratické rovnice D 0 D=0 Rovnice nemá kořeny Rovnice má dva kořeny Rovnice má jeden kořen Vzorce pro kořeny kvadratické rovnice Snímek 14 D>0 kvadratická rovnice má dva kořeny, které najdeme pomocí vzorců Příklad. Řešte rovnici Řešení. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, odpověď: 1; -3 snímek 15 Algoritmus řešení kvadratické rovnice 1. Vypočítejte diskriminant D pomocí vzorce D = 2. Jestliže D 0, pak má kvadratická rovnice dva kořeny. Důležité poznámky! V termínu "kvadratická rovnice" je klíčové slovo "kvadratická". To znamená, že rovnice musí nutně obsahovat proměnnou (stejné X) ve čtverci a zároveň by neměla být X ve třetím (nebo větším) stupni. Řešení mnoha rovnic je redukováno na řešení kvadratických rovnic. Naučme se určit, že máme kvadratickou rovnici, a ne nějakou jinou. Příklad 1 Zbavte se jmenovatele a vynásobte každý člen rovnice Přesuňme vše na levou stranu a uspořádejme členy sestupně podle mocnin x Nyní můžeme s jistotou říci, že tato rovnice je kvadratická! Příklad 2 Vynásobte levou a pravou stranu: Tato rovnice, ačkoliv v ní původně byla, není čtverec! Příklad 3 Vše vynásobme: děsivé? Čtvrtý a druhý stupeň... Pokud však provedeme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchou kvadratickou rovnici: Příklad 4 Zdá se, že ano, ale pojďme se na to podívat blíže. Přesuneme vše na levou stranu: Vidíte, zmenšil se – a nyní je to jednoduchá lineární rovnice! Nyní zkuste sami určit, které z následujících rovnic jsou kvadratické a které ne: Příklady: Odpovědi: Matematici podmíněně rozdělují všechny kvadratické rovnice do následujících typů: Jsou neúplné, protože v nich chybí nějaký prvek. Ale rovnice musí vždy obsahovat x na druhou !!! Jinak to už nebude kvadratická, ale nějaká jiná rovnice. Proč přišli s takovým rozdělením? Zdálo by se, že existuje X na druhou, a dobře. Takové rozdělení je způsobeno metodami řešení. Zvažme každý z nich podrobněji. Nejprve se zaměřme na řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou mnohem jednodušší! Neúplné kvadratické rovnice jsou typů: 1. i. Protože víme, jak vzít druhou odmocninu, vyjádřeme se z této rovnice Výraz může být negativní nebo pozitivní. Druhé číslo nemůže být záporné, protože při vynásobení dvou záporných nebo dvou kladných čísel bude výsledkem vždy kladné číslo, takže: pokud, pak rovnice nemá řešení. A pokud, pak dostaneme dva kořeny. Tyto vzorce se nemusí učit nazpaměť. Hlavní věc je, že byste měli vždy vědět a pamatovat si, že to nemůže být méně. Zkusme vyřešit nějaké příklady. Příklad 5: Vyřešte rovnici Nyní zbývá extrahovat kořen z levé a pravé části. Koneckonců, pamatujete si, jak extrahovat kořeny? Odpovědět: Nikdy nezapomínejte na kořeny se záporným znaménkem!!! Příklad 6: Vyřešte rovnici Odpovědět: Příklad 7: Vyřešte rovnici Au! Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice žádné kořeny! Pro takové rovnice, ve kterých nejsou žádné kořeny, přišli matematici se speciální ikonou - (prázdná množina). A odpověď lze napsat takto: Odpovědět: Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny. Neexistují zde žádná omezení, protože jsme nevytáhli kořen. Vyřešte rovnici Vyjmeme společný faktor ze závorek: Tím pádem, Tato rovnice má dva kořeny. Odpovědět: Nejjednodušší typ neúplných kvadratických rovnic (ačkoli jsou všechny jednoduché, že?). Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen: Zde se obejdeme bez příkladů. Připomínáme, že úplná kvadratická rovnice je rovnice tvaru rovnice kde Řešení úplných kvadratických rovnic je o něco složitější (jen o trochu) než ty uvedené. Pamatovat, jakákoli kvadratická rovnice může být vyřešena pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné. Zbytek metod vám pomůže udělat to rychleji, ale pokud máte problémy s kvadratickými rovnicemi, nejprve si osvojte řešení pomocí diskriminantu. Řešení kvadratických rovnic tímto způsobem je velmi jednoduché, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a pár vzorců. Pokud, pak má rovnice kořen. Zvláštní pozornost by měla být věnována kroku. Diskriminant () nám říká počet kořenů rovnice. Vraťme se k našim rovnicím a podívejme se na několik příkladů. Příklad 9: Vyřešte rovnici Krok 1 přeskočit. Krok 2 Hledání diskriminantu: Rovnice má tedy dva kořeny. Krok 3 Odpovědět: Příklad 10: Vyřešte rovnici Rovnice je ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočit. Krok 2 Hledání diskriminantu: Rovnice má tedy jeden kořen. Odpovědět: Příklad 11: Vyřešte rovnici Rovnice je ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočit. Krok 2 Hledání diskriminantu: To znamená, že nebudeme schopni extrahovat kořen z diskriminantu. Neexistují žádné kořeny rovnice. Nyní víme, jak takové odpovědi správně zapsat. Odpovědět:žádné kořeny Pokud si pamatujete, pak existuje takový typ rovnic, které se nazývají redukované (když koeficient a je roven): Takové rovnice se velmi snadno řeší pomocí Vietovy věty: Součet kořenů daný kvadratická rovnice se rovná a součin kořenů se rovná. Příklad 12: Vyřešte rovnici Tato rovnice je vhodná pro řešení pomocí Vietovy věty, protože . Součet kořenů rovnice je, tzn. dostaneme první rovnici: A produkt je: Pojďme vytvořit a vyřešit systém: a jsou řešením systému: Odpovědět: ; . Příklad 13: Vyřešte rovnici Odpovědět: Příklad 14: Vyřešte rovnici Rovnice je redukována, což znamená: Odpovědět: Jinými slovy, kvadratická rovnice je rovnice tvaru, kde navíc - neznámá, - nějaká čísla. Číslo se nazývá nejvyšší resp první koeficient kvadratická rovnice, - druhý koeficient, a - volný člen. Proč? Protože pokud, rovnice se okamžitě stane lineární, protože zmizí. V tomto případě a může být rovno nule. V této stolici se rovnice nazývá neúplná. Pokud jsou všechny termíny na místě, to znamená, že rovnice je kompletní. Pro začátek si rozebereme metody řešení neúplných kvadratických rovnic - jsou jednodušší. Lze rozlišit následující typy rovnic: I. , v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají. II. , v této rovnici je koeficient roven. III. , v této rovnici je volný člen roven. Nyní zvažte řešení každého z těchto podtypů. Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen: Číslo na druhou nemůže být záporné, protože při vynásobení dvou záporných nebo dvou kladných čísel bude výsledkem vždy kladné číslo. Tak: jestliže, pak rovnice nemá řešení; máme-li dva kořeny Tyto vzorce se nemusí učit nazpaměť. Hlavní věc k zapamatování je, že to nemůže být méně. Příklady: Řešení: Odpovědět: Nikdy nezapomeňte na kořeny se záporným znaménkem! Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice žádné kořeny. Abychom stručně napsali, že problém nemá řešení, použijeme ikonu prázdné sady. Odpovědět: Takže tato rovnice má dva kořeny: a. Odpovědět: Vyjmeme společný faktor ze závorek: Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. To znamená, že rovnice má řešení, když: Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny: a. Příklad: Vyřešte rovnici. Rozhodnutí: Rozložíme levou stranu rovnice na faktor a najdeme kořeny: Odpovědět: Řešení kvadratických rovnic tímto způsobem je snadné, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a pár vzorců. Pamatujte, že pomocí diskriminantu lze vyřešit jakoukoli kvadratickou rovnici! Dokonce neúplné. Všimli jste si kořene diskriminantu v kořenovém vzorci? Ale diskriminant může být negativní. Co dělat? Musíme věnovat zvláštní pozornost kroku 2. Diskriminant nám říká počet kořenů rovnice. Takové kořeny se nazývají dvojité kořeny. Proč existují různé počty kořenů? Vraťme se ke geometrickému významu kvadratické rovnice. Grafem funkce je parabola: V konkrétním případě, což je kvadratická rovnice, . A to znamená, že kořeny kvadratické rovnice jsou průsečíky s osou x (osou). Parabola nemusí vůbec protínat osu, nebo ji může protínat v jednom (když vrchol paraboly leží na ose) nebo dvou bodech. Kromě toho je koeficient zodpovědný za směr větví paraboly. Pokud, pak větve paraboly směřují nahoru a pokud - pak dolů. Příklady: Řešení: Odpovědět: Odpovědět: . Odpovědět: To znamená, že neexistují žádná řešení. Odpovědět: . Použití Vietova teorému je velmi snadné: stačí vybrat dvojici čísel, jejichž součin se rovná volnému členu rovnice a součet se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem. Je důležité si uvědomit, že Vietův teorém lze aplikovat pouze na něj dané kvadratické rovnice (). Podívejme se na několik příkladů: Příklad č. 1: Vyřešte rovnici. Rozhodnutí: Tato rovnice je vhodná pro řešení pomocí Vietovy věty, protože . Další koeficienty: ; . Součet kořenů rovnice je: A produkt je: Vyberme takové dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a zkontrolujme, zda se jejich součet rovná: a jsou řešením systému: Tak a jsou kořeny naší rovnice. Odpovědět: ; . Příklad č. 2: Rozhodnutí: Vybereme takové dvojice čísel, které dávají součin, a pak zkontrolujeme, zda se jejich součet rovná: a: dát celkem. a: dát celkem. Chcete-li to získat, stačí změnit znaky údajných kořenů: a koneckonců i produkt. Odpovědět: Příklad č. 3: Rozhodnutí: Volný člen rovnice je záporný, a proto je součin kořenů záporné číslo. To je možné pouze tehdy, je-li jeden z kořenů záporný a druhý kladný. Takže součet kořenů je rozdíly jejich modulů. Vybíráme takové dvojice čísel, které dávají součin a jejichž rozdíl je roven: a: jejich rozdíl je - nevhodný; a: - nevhodné; a: - nevhodné; a: - vhodné. Zbývá pouze připomenout, že jeden z kořenů je negativní. Protože jejich součet se musí rovnat, pak odmocnina, která je v absolutní hodnotě menší, musí být záporná: . Kontrolujeme: Odpovědět: Příklad č. 4: Vyřešte rovnici. Rozhodnutí: Rovnice je redukována, což znamená: Volný termín je záporný, a proto je součin kořenů záporný. A to je možné pouze tehdy, když jeden kořen rovnice je záporný a druhý kladný. Vybereme takové dvojice čísel, jejichž součin je stejný, a pak určíme, které kořeny by měly mít záporné znaménko: Je zřejmé, že pouze kořeny a jsou vhodné pro první podmínku: Odpovědět: Příklad č. 5: Vyřešte rovnici. Rozhodnutí: Rovnice je redukována, což znamená: Součet kořenů je záporný, což znamená, že alespoň jeden z kořenů je záporný. Ale protože jejich produkt je pozitivní, znamená to, že oba kořeny jsou mínusové. Vybíráme takové dvojice čísel, jejichž součin je roven: Je zřejmé, že kořeny jsou čísla a. Odpovědět: Souhlas, je to velmi pohodlné - vymýšlet kořeny ústně, místo počítání tohoto ošklivého diskriminantu. Snažte se co nejčastěji používat Vietovu větu. Ale teorém Vieta je potřebný, aby se usnadnilo a urychlilo hledání kořenů. Aby bylo pro vás jeho používání výhodné, musíte akce převést do automatizace. A k tomu vyřešte dalších pět příkladů. Ale nepodvádějte: nemůžete použít diskriminant! Pouze Vietův teorém: Řešení úkolů pro samostatnou práci: Úkol 1. ((x)^(2))-8x+12=0 Podle Vietovy věty: Jako obvykle začínáme výběr s produktem: Nevhodné, protože množství; : množství je to, co potřebujete. Odpovědět: ; . Úkol 2. A opět naše oblíbená Vieta věta: součet by měl vyjít, ale součin se rovná. Ale protože by to nemělo být, ale, měníme znaménka kořenů: a (celkem). Odpovědět: ; . Úkol 3. Hmm... Kde to je? Je nutné převést všechny termíny do jedné části: Součet kořenů se rovná součinu. Ano, přestaň! Rovnice není dána. Ale Vietův teorém je použitelný pouze v daných rovnicích. Nejprve tedy musíte přinést rovnici. Pokud to nemůžete vyvolat, zahoďte tuto myšlenku a vyřešte ji jiným způsobem (například pomocí diskriminantu). Dovolte mi, abych vám připomněl, že přinést kvadratickou rovnici znamená, že se vedoucí koeficient rovná: Pokuta. Potom se součet kořenů rovná a součin. Tady je to snazší vyzvednout: přeci jen - prvočíslo (omlouvám se za tautologii). Odpovědět: ; . Úkol 4. Volný termín je záporný. co je na tom tak zvláštního? A skutečnost, že kořeny budou různých znamení. A nyní, během výběru, nekontrolujeme součet kořenů, ale rozdíl mezi jejich moduly: tento rozdíl je roven, ale součin. Kořeny jsou tedy stejné a, ale jeden z nich je s mínusem. Vietův teorém nám říká, že součet kořenů se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem, tzn. To znamená, že menší kořen bude mít mínus: a od. Odpovědět: ; . Úkol 5. Co je potřeba udělat jako první? Správně, dejte rovnici: Opět: vybereme faktory čísla a jejich rozdíl by se měl rovnat: Kořeny jsou stejné a, ale jeden z nich je mínus. Který? Jejich součet se musí rovnat, což znamená, že s mínusem bude větší odmocnina. Odpovědět: ; . Pokud jsou všechny členy obsahující neznámou reprezentovány jako členy ze vzorců zkráceného násobení - druhá mocnina součtu nebo rozdílu -, pak po změně proměnných lze rovnici reprezentovat jako neúplnou kvadratickou rovnici typu. Například: Příklad 1: Řešte rovnici: . Rozhodnutí: Odpovědět: Příklad 2: Řešte rovnici: . Rozhodnutí: Odpovědět: Obecně bude transformace vypadat takto: Z toho vyplývá: . Nepřipomíná vám to nic? To je diskriminant! Přesně tak byl získán diskriminační vzorec. Kvadratická rovnice je rovnice tvaru, kde je neznámá, jsou koeficienty kvadratické rovnice, je volný člen. Kompletní kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficienty nerovnají nule. Redukovaná kvadratická rovnice- rovnice, ve které je koeficient, tj.: . Neúplná kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule: 1. Algoritmus pro řešení neúplných kvadratických rovnic 1.1. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde: 1) Vyjádřete neznámé: , 2) Zkontrolujte znaménko výrazu: 1.2. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde: 1) Vyjmeme společný faktor ze závorek: , 2) Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Rovnice má tedy dva kořeny: 1.3. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde: Tato rovnice má vždy pouze jeden kořen: . 2. Algoritmus pro řešení úplných kvadratických rovnic ve tvaru kde 2.1. Řešení pomocí diskriminantu 1) Uveďme rovnici do standardního tvaru: , 2) Vypočítejte diskriminant pomocí vzorce: , který udává počet kořenů rovnice: 3) Najděte kořeny rovnice: 2.2. Řešení pomocí Vietovy věty Součet kořenů redukované kvadratické rovnice (rovnice tvaru kde) je roven a součin kořenů je roven, tzn. , a. 2.3. Plně čtvercové řešení Má-li kvadratická rovnice tvaru kořeny, lze ji zapsat ve tvaru: . No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, pak jste velmi cool. Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud jste dočetli až do konce, pak jste v těch 5%! Teď to nejdůležitější. Přišel jsi na teorii na toto téma. A opakuji, je to...je to prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků. Problém je, že to nemusí stačit... Proč? Za úspěšné složení zkoušky, za přijetí do ústavu na rozpočet a HLAVNĚ na doživotí. Nebudu vás o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno... Lidé, kteří získali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří ho nezískali. Toto je statistika. Ale to není to hlavní. Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím... Ale zamyslete se sami... Co je potřeba k tomu, abyste byli u zkoušky lepší než ostatní a nakonec... šťastnější? VYPLNI SI RUKU, ŘEŠENÍ PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU. U zkoušky se vás nebudou ptát na teorii. Budete potřebovat řešit problémy včas. A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo ji prostě včas neuděláte. Je to jako ve sportu – pro jistotu je potřeba opakovat mnohokrát. Najděte sbírku, kdekoli chcete nutně s řešeními, podrobným rozborem a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout! Naše úkoly můžete využít (není nutné) a určitě je doporučujeme. Abyste mohli pomoci s našimi úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete. Jak? Jsou dvě možnosti: Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít. Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po celou dobu životnosti webu. Závěrem... Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Jen nepřestávejte s teorií. „Rozumím“ a „Vím, jak řešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí. Najděte problémy a řešte je!
1. Pokud místo vzorců vidíte abrakadabra, vymažte mezipaměť. Jak to udělat ve vašem prohlížeči je napsáno zde:
2. Než začnete číst článek, věnujte pozornost našemu navigátoru pro nejužitečnější zdrojŘešení neúplných kvadratických rovnic
Příklad 8:Řešení úplných kvadratických rovnic
1. Řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu.
2. Řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty.
KVADRATICKÉ ROVNICE. STŘEDNÍ ÚROVEŇ
Co je to kvadratická rovnice?
Řešení různých typů kvadratických rovnic
Metody řešení neúplných kvadratických rovnic:
Metody řešení úplných kvadratických rovnic:
1. Diskriminační
2. Vietova věta
Dovolte mi to shrnout:
3. Metoda výběru plného čtverce
KVADRATICKÉ ROVNICE. KRÁTCE O HLAVNÍM