Exponenciální funkce y. Exponenciální funkce

Exponenciální funkce je zobecnění součinu n čísel rovných a:
y (n) = a n = a a a a,
na množinu reálných čísel x :
y (x) = x.
Zde a je pevné reálné číslo, které se nazývá základ exponenciální funkce.
Také se nazývá exponenciální funkce se základem a exponenciální k základně a.

Zobecnění se provádí následovně.
Pro přirozené x = 1, 2, 3,... , exponenciální funkce je součin x faktorů:
.
Navíc má vlastnosti (1.5-8) (), které vyplývají z pravidel pro násobení čísel. Při nulových a záporných hodnotách celých čísel je exponenciální funkce určena vzorci (1,9-10). Pro zlomkové hodnoty x = m/n racionální čísla, , určuje se vzorcem (1.11). Ve skutečnosti je exponenciální funkce definována jako limita posloupnosti:
,
kde je libovolná posloupnost racionálních čísel konvergujících k x : .
Pomocí této definice je exponenciální funkce definována pro všechny a splňuje vlastnosti (1.5-8), stejně jako pro přirozené x .

Důkladná matematická formulace definice exponenciální funkce a důkaz jejích vlastností je uveden na stránce "Definice a důkaz vlastností exponenciální funkce".

Vlastnosti exponenciální funkce

Exponenciální funkce y = a x má na množině reálných čísel () následující vlastnosti:
(1.1) je definován a spojitý, pro , pro všechny ;
(1.2) když a ≠ 1 má mnoho významů;
(1.3) přísně zvyšuje v , přísně snižuje v ,
je konstantní na ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Další užitečné vzorce
.
Vzorec pro převod na exponenciální funkci s jinou mocninnou základnou:

Pro b = e dostaneme vyjádření exponenciální funkce pomocí exponentu:

Soukromé hodnoty

, , , , .

Obrázek ukazuje grafy exponenciální funkce
y (x) = x
pro čtyři hodnoty stupně základny:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Je vidět, že pro > 1 exponenciální funkce monotónně roste. Čím větší je základna stupně a, tím silnější je růst. V 0 < a < 1 exponenciální funkce je monotónně klesající. Čím menší je exponent a, tím silnější je pokles.

Stoupající klesající

Exponenciální funkce at je přísně monotónní, takže nemá žádné extrémy. Jeho hlavní vlastnosti jsou uvedeny v tabulce.

	y = a x, a > 1	y = x, 0 < a < 1
Doména	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnot	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotónní	monotónně narůstá	monotónně klesá
Nuly, y= 0	Ne	Ne
Průsečíky s osou y, x = 0	y= 1	y= 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzní funkce

Převrácená hodnota exponenciální funkce se základem stupně a je logaritmus k základu a.

Pokud, pak
.
Pokud, pak
.

Derivace exponenciální funkce

K derivování exponenciální funkce je třeba redukovat její základ na číslo e, použít tabulku derivací a pravidlo pro derivování komplexní funkce.

Chcete-li to provést, musíte použít vlastnost logaritmů
a vzorec z tabulky derivací:
.

Nechť je dána exponenciální funkce:
.
Přinášíme to na základnu e:

Aplikujeme pravidlo derivace komplexní funkce. K tomu zavedeme proměnnou

Pak

Z tabulky derivací máme (nahraďte proměnnou x za z ):
.
Protože je konstanta, derivace z vzhledem k x je
.
Podle pravidla diferenciace komplexní funkce:
.

Derivace exponenciální funkce

.
Derivát n-tého řádu:
.
Odvození vzorců >> >

Příklad derivování exponenciální funkce

Najděte derivaci funkce
y= 35 x

Rozhodnutí

Základ exponenciální funkce vyjádříme pomocí čísla e.
3 = e log 3
Pak
.
Zavádíme proměnnou
.
Pak

Z tabulky derivátů najdeme:
.
Pokud 5ln 3 je konstanta, potom derivace z vzhledem k x je:
.
Podle pravidla derivace komplexní funkce máme:
.

Odpovědět

Integrální

Výrazy z hlediska komplexních čísel

Zvažte funkci komplexní číslo z:
F (z) = az
kde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Komplexní konstantu a vyjádříme pomocí modulu r a argumentu φ :
a = r e i φ
Pak


.
Argument φ není jednoznačně definován. V obecný pohled
φ = φ 0 + 2 pn,
kde n je celé číslo. Proto funkce f (z) je také nejednoznačný. Často považován za jeho hlavní význam
.

Rozšíření v sérii

.

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semenďajev, Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol, Lan, 2009.

1. Exponenciální funkce je funkcí tvaru y(x) \u003d a x v závislosti na exponentu x s ​​konstantní hodnotou základny stupně a, kde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množina reálných čísel).

Zvážit graf funkce, pokud báze nesplňuje podmínku: a>0
a) a< 0
Pokud< 0 – возможно возведение в целую степень или в racionální stupeň s lichým skóre.
a = -2

Je-li a = 0, je funkce y = definována a má konstantní hodnotu 0

c) a \u003d 1
Pokud a = 1 - funkce y = je definována a má konstantní hodnotu 1

2. Zvažte exponenciální funkci podrobněji:

0

Funkční doména (OOF)

Oblast povolených funkčních hodnot (ODZ)

3. Nuly funkce (y = 0)

4. Průsečíky s osou y (x = 0)

5. Zvyšovací, klesající funkce

Jestliže , pak funkce f(x) roste
Jestliže , pak funkce f(x) klesá
Funkce y= , na 0 Funkce y \u003d pro a> 1 monotónně roste
Vyplývá to z vlastností monotónnosti stupně se skutečným exponentem.

6. Sudé, liché funkce

Funkce y = není symetrická k ose 0y a k počátku, proto není ani sudá, ani lichá. (obecná funkce)

7. Funkce y \u003d nemá žádné extrémy

8. Vlastnosti stupně s reálným exponentem:

Nechť a > 0; a≠1
b > 0; b≠1

Potom pro xϵR; yϵR:

Vlastnosti stupně monotonie:

pokud, tak
Například:

Pokud a> 0, pak .
Exponenciální funkce je spojitá v libovolném bodě ϵ R.

9. Relativní umístění funkce

Čím větší je základna a, tím blíže k osám x a y

a > 1, a = 20

Je-li a0, pak má exponenciální funkce tvar blízký y = 0.
Pokud a1, pak dále od os x a y a graf má tvar blízký funkci y \u003d 1.

Příklad 1
Plot y=

Většinové rozhodnutí matematické problémy nějak souvisí s transformací číselných, algebraických nebo funkčních výrazů. To platí zejména pro řešení. Ve variantách USE v matematice tento typ úloh zahrnuje zejména úlohu C3. Naučit se řešit úkoly C3 je důležité nejen pro účely úspěchu složení zkoušky, ale také z toho důvodu, že tato dovednost je užitečná při studiu matematického kurzu na vysoké škole.

Při plnění úkolů C3 se musíte rozhodnout různé druhy rovnice a nerovnice. Mezi nimi jsou racionální, iracionální, exponenciální, logaritmické, trigonometrické, obsahující moduly (absolutní hodnoty), stejně jako kombinované. Tento článek pojednává o hlavních typech exponenciálních rovnic a nerovnic různé metody jejich rozhodnutí. O řešení dalších typů rovnic a nerovnic si přečtěte pod nadpisem "" v článcích věnovaných metodám řešení úloh C3 z POUŽÍVEJTE možnosti matematika.

Než přistoupíte k analýze konkrétních exponenciální rovnice a nerovnice, jako učitel matematiky vám navrhuji oprášit část teoretického materiálu, který budeme potřebovat.

Exponenciální funkce

Co je to exponenciální funkce?

Funkce zobrazení y = a x, kde A> 0 a A≠ 1, tzv exponenciální funkce.

Hlavní vlastnosti exponenciální funkce y = a x:

Graf exponenciální funkce

Graf exponenciální funkce je vystavovatel:

Grafy exponenciálních funkcí (exponenty)

Řešení exponenciálních rovnic

orientační nazývané rovnice, ve kterých se neznámá proměnná nachází pouze v exponentech libovolných mocnin.

Pro řešení exponenciální rovnice musíte znát a umět používat následující jednoduchou větu:

Věta 1. exponenciální rovnice A F(X) = A G(X) (kde A > 0, A≠ 1) je ekvivalentní rovnici F(X) = G(X).

Kromě toho je užitečné zapamatovat si základní vzorce a akce se stupni:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Příklad 1Řešte rovnici:

Rozhodnutí: použijte výše uvedené vzorce a substituce:

Rovnice pak zní:

Přijato diskriminační kvadratická rovnice pozitivní:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

To znamená, že tato rovnice má dva kořeny. Najdeme je:

Když se vrátíme k substituci, dostaneme:

Druhá rovnice nemá kořeny, protože exponenciální funkce je přísně kladná v celém definičním oboru. Pojďme vyřešit to druhé:

Vezmeme-li v úvahu, co bylo řečeno ve větě 1, přejdeme k ekvivalentní rovnici: X= 3. Toto bude odpověď na úkol.

Odpovědět: X = 3.

Příklad 2Řešte rovnici:

Rozhodnutí: rovnice nemá žádná omezení na oblast přípustných hodnot, protože radikální výraz má smysl pro jakoukoli hodnotu X(exponenciální funkce y = 9 4 -X kladná a nerovná se nule).

Rovnici řešíme ekvivalentními transformacemi pomocí pravidel násobení a dělení mocnin:

Poslední přechod byl proveden v souladu s větou 1.

Odpovědět:X= 6.

Příklad 3Řešte rovnici:

Rozhodnutí: obě strany původní rovnice lze vydělit 0,2 X. Tento přechod bude ekvivalentní, protože tento výraz je větší než nula pro jakoukoli hodnotu X(exponenciální funkce je na svém definičním oboru striktně kladná). Pak má rovnice tvar:

Odpovědět: X = 0.

Příklad 4Řešte rovnici:

Rozhodnutí: rovnici zjednodušíme na elementární ekvivalentními transformacemi pomocí pravidel dělení a násobení mocnin uvedených na začátku článku:

Dělení obou stran rovnice 4 X, stejně jako v předchozím příkladu, je ekvivalentní transformace, protože tento výraz se pro žádné hodnoty nerovná nule X.

Odpovědět: X = 0.

Příklad 5Řešte rovnici:

Rozhodnutí: funkce y = 3X, stojící na levé straně rovnice, se zvyšuje. Funkce y = —X-2/3, stojící na pravé straně rovnice, klesá. To znamená, že pokud se grafy těchto funkcí protínají, tak maximálně v jednom bodě. V tomto případě lze snadno uhodnout, že se grafy v bodě protínají X= -1. Jiné kořeny nebudou.

Odpovědět: X = -1.

Příklad 6Řešte rovnici:

Rozhodnutí: rovnici zjednodušujeme ekvivalentními transformacemi, přičemž máme všude na paměti, že exponenciální funkce je přísně větší než nula pro jakoukoli hodnotu X a pomocí pravidel pro výpočet součinu a dílčích mocnin uvedených na začátku článku:

Odpovědět: X = 2.

Řešení exponenciálních nerovností

orientační tzv. nerovnice, ve kterých je neznámá proměnná obsažena pouze v exponentech některých mocnin.

Pro řešení exponenciální nerovnosti je nutná znalost následující věty:

Věta 2. Pokud A> 1, pak nerovnost A F(X) > A G(X) je ekvivalentní nerovnosti stejného významu: F(X) > G(X). Pokud 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) je ekvivalentní nerovnosti opačného významu: F(X) < G(X).

Příklad 7 Vyřešte nerovnost:

Rozhodnutí: představují původní nerovnost ve tvaru:

Vydělte obě části této nerovnosti 3 2 X, a (vzhledem k pozitivnosti funkce y= 3 2X) znaménko nerovnosti se nezmění:

Použijeme substituci:

Pak má nerovnost tvar:

Řešením nerovnosti je tedy interval:

přechodem na zpětnou substituci dostaneme:

Levá nerovnost se díky kladnosti exponenciální funkce plní automaticky. Pomocí dobře známé vlastnosti logaritmu přejdeme k ekvivalentní nerovnosti:

Protože základem stupně je číslo větší než jedna, ekvivalentem (podle věty 2) bude přechod k následující nerovnosti:

Tak se konečně dočkáme Odpovědět:

Příklad 8 Vyřešte nerovnost:

Rozhodnutí: pomocí vlastností násobení a dělení mocnin přepíšeme nerovnici ve tvaru:

Představme si novou proměnnou:

S touto substitucí má nerovnost tvar:

Vynásobíme-li čitatele a jmenovatele zlomku 7, dostaneme následující ekvivalentní nerovnost:

Nerovnost je tedy splněna následujícími hodnotami proměnné t:

Poté, když se vrátíme k substituci, dostaneme:

Protože základ stupně je zde větší než jedna, je ekvivalentní (podle věty 2) přejít na nerovnost:

Konečně se dostáváme Odpovědět:

Příklad 9 Vyřešte nerovnost:

Rozhodnutí:

Obě strany nerovnosti rozdělíme výrazem:

Je vždy větší než nula (protože exponenciální funkce je kladná), takže znaménko nerovnosti není třeba měnit. Dostaneme:

t , které jsou v intervalu:

Přejdeme-li k obrácené substituci, zjistíme, že původní nerovnost se rozdělí na dva případy:

První nerovnost nemá řešení kvůli kladnosti exponenciální funkce. Pojďme vyřešit to druhé:

Příklad 10 Vyřešte nerovnost:

Rozhodnutí:

Větve paraboly y = 2X+2-X 2 směřují dolů, proto je shora ohraničena hodnotou, které dosáhne ve svém vrcholu:

Větve paraboly y = X 2 -2X+2, které je v indikátoru, směřují nahoru, což znamená, že je zdola omezeno hodnotou, které dosáhne v horní části:

Zároveň se ukazuje, že funkce je zespodu ohraničená y = 3 X 2 -2X+2 na pravé straně rovnice. Dosahuje své nejmenší hodnoty ve stejném bodě jako parabola v indexu a tato hodnota je rovna 3 1 = 3. Původní nerovnost tedy může být pravdivá pouze tehdy, pokud funkce vlevo a funkce vpravo převezmou hodnota , rovna 3 (průsečík rozsahů těchto funkcí je pouze toto číslo). Tato podmínka je splněna v jediném bodě X = 1.

Odpovědět: X= 1.

Chcete-li se naučit, jak řešit exponenciální rovnice a nerovnosti jejich řešení je potřeba neustále trénovat. V této obtížné věci různé učební pomůcky, problémové knihy ze základní matematiky, sbírky soutěžních úloh, hodiny matematiky ve škole i individuální lekce s odborným lektorem. Upřímně vám přeji úspěch ve vaší přípravě a skvělé výsledky u zkoušky.

Sergej Valerijevič

P.S. Vážení hosté! Požadavky na řešení vašich rovnic prosím nepište do komentářů. Bohužel na to nemám vůbec čas. Takové zprávy budou smazány. Přečtěte si prosím článek. Možná v něm najdete odpovědi na otázky, které vám nedovolily vyřešit váš úkol vlastními silami.

Lekce #2

Téma: Exponenciální funkce, její vlastnosti a graf.

Cílová: Zkontrolujte kvalitu asimilace konceptu "exponenciální funkce"; rozvíjet dovednosti v rozpoznávání exponenciální funkce, v používání jejích vlastností a grafů, naučit studenty používat analytické a grafické formy záznamu exponenciální funkce; zajistit pracovní prostředí ve třídě.

Zařízení: deska, plakáty

Formulář lekce: třída

Typ lekce: praktická lekce

Typ lekce: lekce nácviku dovedností

Plán lekce

1. Organizační moment

2. Samostatná práce a ověřování domácí práce

3. Řešení problémů

4. Shrnutí

5. Domácí úkol

Během vyučování.

1. Organizační moment :

Ahoj. Otevřete sešity, zapište si dnešní datum a téma lekce „Exponenciální funkce“. Dnes budeme pokračovat ve studiu exponenciální funkce, jejích vlastností a grafu.

2. Samostatná práce a kontrola domácích úkolů .

Cílová: zkontrolovat kvalitu asimilace pojmu "exponenciální funkce" a zkontrolovat splnění teoretické části domácího úkolu

Metoda: testový úkol, frontální průzkum

Za domácí úkol jste dostali čísla z učebnice a odstavec z učebnice. Provedení čísel z učebnice nyní nebudeme kontrolovat, ale sešity odevzdáte na konci lekce. Nyní bude teorie testována formou malého testu. Úkol je pro všechny stejný: dostanete seznam funkcí, musíte zjistit, které z nich jsou orientační (podtrhnout je). A vedle exponenciální funkce je potřeba napsat, zda je rostoucí nebo klesající.

Možnost 1 Odpovědět b) D) - exponenciální, klesající	Možnost 2 Odpovědět D) - exponenciální, klesající D) - orientační, zvyšující se
Možnost 3 Odpovědět ALE) - orientační, zvyšující se b) - exponenciální, klesající	Možnost 4 Odpovědět ALE) - exponenciální, klesající V) - orientační, zvyšující se

Nyní si společně připomeňme, jaká funkce se nazývá exponenciální?

Funkce tvaru , kde a , se nazývá exponenciální funkce.

Jaký je rozsah této funkce?

Všechna reálná čísla.

Jaký je rozsah exponenciální funkce?

Všechna kladná reálná čísla.

Sníží se, pokud je základ větší než nula, ale menší než jedna.

Kdy exponenciální funkce klesá na svém definičním oboru?

Zvyšuje se, pokud je základ větší než jedna.

3. Řešení problémů

cílová: rozvíjet dovednosti v rozpoznávání exponenciální funkce, v používání jejích vlastností a grafů, naučit studenty používat analytické a grafické formy záznamu exponenciální funkce

Metoda: ukázka řešení typických problémů učitelem, ústní práce, práce u tabule, práce v sešitu, rozhovor učitele se žáky.

Vlastnosti exponenciální funkce lze využít při porovnávání 2 a více čísel. Například: č. 000. Porovnejte hodnoty a pokud a) ..gif" width="37" height="20 src=">, pak je to docela ošemetná práce: museli bychom vzít odmocninu z 3 a 9 a porovnat je. Ale víme, že se to zvyšuje. je ve vlastní frontě znamená, že když se argument zvyšuje, hodnota funkce se zvyšuje, to znamená, že nám stačí porovnat hodnoty argumentu mezi sebou a samozřejmě, že (lze demonstrovat na plakátu s rostoucí exponenciální funkcí). A vždy při řešení takových příkladů nejprve určete základ exponenciální funkce, porovnejte s 1, určete monotónnost a přejděte k porovnávání argumentů. V případě klesající funkce: s rostoucím argumentem hodnota funkce klesá, proto se při přechodu od nerovnosti argumentů k nerovnosti funkcí změní znaménko nerovnosti. Poté řešíme ústně: b)

-

V)

-

G)

-

- č. 000. Porovnejte čísla: a) a

Funkce se tedy zvyšuje

proč?

Zvýšení funkce a

Funkce tedy klesá

Obě funkce se zvětšují v celém svém oboru definice, protože jsou exponenciální se základem větším než jedna.

jaký to má smysl?

Vytváříme grafy:

Která funkce roste rychleji při snaze https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Která funkce klesá rychleji při snaze https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Na intervalu, která z funkcí má větší hodnotu v konkrétním bodě?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Nejprve zjistíme rozsah těchto funkcí. shodovat se?

Ano, doménou těchto funkcí jsou všechna reálná čísla.

Pojmenujte rozsah každé z těchto funkcí.

Rozsahy těchto funkcí se shodují: všechna kladná reálná čísla.

Určete typ monotónnosti každé z funkcí.

Všechny tři funkce klesají v celé své definiční oblasti, protože jsou exponenciální se základem menším než jedna a větším než nula.

Jaký je singulární bod grafu exponenciální funkce?

jaký to má smysl?

Bez ohledu na základ stupně exponenciální funkce, pokud je exponent 0, pak je hodnota této funkce 1.

Vytváříme grafy:

Pojďme analyzovat grafy. Kolik průsečíků mají grafy funkcí?

Která funkce se při snaze rychleji snižuje? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Která funkce roste rychleji, když se snažíte? https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif

Na intervalu, která z funkcí má v určitém bodě největší hodnotu?

Na intervalu, která z funkcí má v určitém bodě největší hodnotu?

Proč exponenciální funkce s různé důvody mají pouze jeden průsečík?

Exponenciální funkce jsou přísně monotónní v celé své definiční oblasti, takže se mohou protínat pouze v jednom bodě.

Další úkol se zaměří na použití této vlastnosti. č. 000. Najděte největší a nejmenší hodnotu danou funkci v daném intervalu a). Připomeňme, že přísně monotónní funkce nabývá minimální a maximální hodnoty na konci daného intervalu. A pokud funkce roste, pak její největší hodnota bude na pravém konci segmentu a nejmenší na levém konci segmentu (ukázka na plakátu s použitím exponenciální funkce jako příkladu). Pokud je funkce klesající, pak její největší hodnota bude na levém konci segmentu a nejmenší na pravém konci segmentu (ukázka na plakátu s použitím exponenciální funkce jako příkladu). Funkce se zvyšuje, protože proto nejmenší hodnota funkce bude v bodě https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Body b) , v) d) vyřešte sešity samostatně, zkontrolujeme ústně.

Žáci řeší úlohu ve svém sešitu

Snižující funkce

Snižující funkce největší hodnota funkce na segmentu nejmenší hodnota funkce na segmentu

Zvyšující se funkce nejmenší hodnota funkce na segmentu největší hodnota funkce na segmentu

- № 000. Najděte největší a nejmenší hodnotu dané funkce na daném intervalu a) . Tento úkol je téměř stejný jako ten předchozí. Ale zde není uveden segment, ale paprsek. Víme, že funkce se zvyšuje a nemá ani největší, ani nejmenší hodnotu na celé číselné řadě https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> a má tendenci k , tj. na paprsku má funkce v tendenci k 0, ale nemá svou nejmenší hodnotu, ale má největší hodnotu v bodě . body b) , v) , G) Vyřešte si vlastní sešity, zkontrolujeme to ústně.