Másodfokú egyenletek megoldása. Lineáris egyenletek megoldása példákkal Másodfokú egyenlet gyökerei

A másodfokú egyenleteket 8. osztályban tanulják, tehát nincs itt semmi bonyolult. Ezek megoldásának képessége feltétlenül szükséges.

A másodfokú egyenlet ax 2 + bx + c = 0 alakú egyenlet, ahol az a, b és c együtthatók tetszőleges számok, és a ≠ 0.

A konkrét megoldási módszerek tanulmányozása előtt vegye figyelembe, hogy minden másodfokú egyenlet három osztályba osztható:

1. Nincsenek gyökerei;
2. Pontosan egy gyökér legyen;
3. Két különböző gyökerük van.

Ez egy fontos különbség a másodfokú és a lineáris egyenletek között, ahol a gyök mindig létezik és egyedi. Hogyan határozható meg, hogy egy egyenletnek hány gyöke van? Van ebben egy csodálatos dolog - diszkriminatív.

Megkülönböztető

Legyen adott az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet, ekkor a diszkrimináns egyszerűen a D = b 2 − 4ac szám.

Ezt a képletet fejből kell tudni. Hogy honnan származik, az most nem fontos. Még egy fontos dolog: a diszkrimináns előjele alapján meg lehet határozni, hogy hány gyöke van egy másodfokú egyenletnek. Ugyanis:

1. Ha D< 0, корней нет;
2. Ha D = 0, akkor pontosan egy gyök van;
3. Ha D > 0, akkor két gyök lesz.

Kérjük, vegye figyelembe: a diszkrimináns a gyökerek számát jelzi, és egyáltalán nem a jeleiket, ahogyan azt valamilyen okból sokan hiszik. Vessen egy pillantást a példákra, és mindent meg fog érteni:

Feladat. Hány gyöke van a másodfokú egyenleteknek:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Írjuk ki az első egyenlet együtthatóit, és keressük meg a diszkriminánst:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Tehát a diszkrimináns pozitív, tehát az egyenletnek két különböző gyökere van. Hasonló módon elemezzük a második egyenletet:
a = 5; b = 3; c=7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

A diszkrimináns negatív, nincsenek gyökerei. Az utolsó hátralévő egyenlet:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

A diszkrimináns nulla - a gyökér egy lesz.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy minden egyenlethez együtthatókat írtunk le. Igen, hosszú, igen, fárasztó, de nem fogod összekeverni az esélyeket és hülye hibákat elkövetni. Válassz magadnak: sebesség vagy minőség.

Mellesleg, ha rájön a dolog, egy idő után nem kell leírnia az összes együtthatót. Ilyen műveleteket hajt végre a fejében. A legtöbb ember ezt valahol 50-70 megoldott egyenlet után kezdi el – általában nem annyira.

Másodfokú egyenlet gyökerei

Most térjünk át magára a megoldásra. Ha a diszkrimináns D > 0, akkor a gyökök a következő képletekkel kereshetők:

Másodfokú egyenlet gyökeinek alapképlete

Ha D = 0, bármelyik képletet használhatja - ugyanazt a számot kapja, amely lesz a válasz. Végül, ha D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Első egyenlet:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ az egyenletnek két gyöke van. Keressük meg őket:

Második egyenlet:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ az egyenletnek ismét két gyöke van. Keressük meg őket

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(igazítás)\]

Végül a harmadik egyenlet:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ az egyenletnek egy gyöke van. Bármilyen képlet használható. Például az első:

Amint a példákból látható, minden nagyon egyszerű. Ha ismeri a képleteket és tud számolni, akkor nem lesz probléma. Leggyakrabban akkor fordulnak elő hibák, amikor negatív együtthatókat helyettesítenek a képletben. Itt is segít a fent leírt technika: nézze meg a képletet szó szerint, írjon le minden lépést - és hamarosan megszabadul a hibáktól.

Hiányos másodfokú egyenletek

Előfordul, hogy egy másodfokú egyenlet kissé eltér a definícióban megadottól. Például:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Könnyen észrevehető, hogy ezekből az egyenletekből hiányzik az egyik kifejezés. Az ilyen másodfokú egyenletek még könnyebben megoldhatók, mint a szabványosak: még a diszkrimináns kiszámítását sem igénylik. Tehát vezessünk be egy új koncepciót:

Az ax 2 + bx + c = 0 egyenletet nem teljes másodfokú egyenletnek nevezzük, ha b = 0 vagy c = 0, azaz. az x változó vagy a szabad elem együtthatója nullával egyenlő.

Természetesen nagyon nehéz eset lehetséges, ha mindkét együttható nulla: b = c = 0. Ebben az esetben az egyenlet ax 2 = 0 alakot ölt. Nyilvánvalóan egy ilyen egyenletnek egyetlen gyöke van: x = 0.

Tekintsük a fennmaradó eseteket. Legyen b = 0, akkor egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletet kapunk. Alakítsuk át egy kicsit:

Mivel az aritmetikai négyzetgyök csak egy nem negatív szám esetében létezik, az utolsó egyenlőségnek csak akkor van értelme, ha (−c /a) ≥ 0. Következtetés:

1. Ha egy ax 2 + c = 0 alakú nem teljes másodfokú egyenletben teljesül a (−c /a) ≥ 0 egyenlőtlenség, akkor két gyöke lesz. A képlet fent van megadva;
2. Ha (-c /a)< 0, корней нет.

Amint látja, nem volt szükség diszkriminánsra – a hiányos másodfokú egyenletekben egyáltalán nincsenek bonyolult számítások. Valójában nem is szükséges megjegyezni az egyenlőtlenséget (−c /a) ≥ 0. Elég, ha kifejezzük az x 2 értéket, és megnézzük, mi van az egyenlőségjel másik oldalán. Ha van pozitív szám, akkor két gyöke lesz. Ha negatív, akkor egyáltalán nem lesznek gyökerei.

Most nézzük meg az ax 2 + bx = 0 alakú egyenleteket, amelyekben a szabad elem egyenlő nullával. Itt minden egyszerű: mindig két gyökér lesz. Elég a polinomot faktorozni:

A közös tényezőt zárójelből kivéve

A szorzat akkor nulla, ha legalább az egyik tényező nulla. Innen erednek a gyökerek. Végezetül nézzünk meg néhány ilyen egyenletet:

Feladat. Másodfokú egyenletek megoldása:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nincsenek gyökerek, mert négyzet nem lehet egyenlő negatív számmal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Az egyenletek használata széles körben elterjedt életünkben. Számos számításnál, szerkezetek építésénél és még sportolásnál is használják. Az ember az ókorban használt egyenleteket, azóta használatuk csak nőtt. A kilencedik osztályos egyenletek megoldása sokféle megoldási módszert foglal magában: grafikus, algebrai összeadási módszereket, új változók bevezetését, függvények használatát és egyenletek konvertálását egyik típusból egyszerűbbre és még sok mást. Az egyenlet megoldásának módszerét a kiindulási adatok alapján választjuk ki, így a legjobb, ha a módszereket példákon keresztül érthetően értjük.

Tegyük fel, hogy a következő formájú egyenletet kapjuk:

\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]

Az egyenlet megoldásához ossza el a bal és a jobb oldalt \

\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]

\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]

A kapott két gyök a megoldás erre az egyenletre.

Oldjuk meg az egyenletet:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

Meg kell találni ennek az egyenletnek az összes gyökének összegét. Ehhez ki kell cserélni:

Ennek az egyenletnek a gyökere 2 szám lesz: -1 és 4. Ezért:

\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmátrix)\]

Mind a 3 gyök összege 4, ez lesz a válasz az egyenlet megoldására.

Hol tudok online egyenleteket megoldani a 9. osztályhoz?

Az egyenletet a https://site weboldalunkon tudja megoldani. Az ingyenes online megoldó segítségével pillanatok alatt megoldhat bármilyen bonyolultságú online egyenletet. Mindössze annyit kell tennie, hogy egyszerűen beírja adatait a megoldóba. Weboldalunkon videós utasításokat is megtekinthet, és megtanulhatja az egyenlet megoldását. És ha továbbra is kérdései vannak, felteheti őket a VKontakte csoportunkban: http://vk.com/pocketteacher. Csatlakozz csoportunkhoz, mindig szívesen segítünk.

Emlékezzünk vissza a fokozatok alapvető tulajdonságaira. Legyen a > 0, b > 0, n, m bármilyen valós szám. Akkor
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\left(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, ha a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m, ha 0

A gyakorlatban gyakran használnak y = a x alakú függvényeket, ahol a egy adott pozitív szám, x egy változó. Az ilyen függvényeket ún jelzésértékű. Ezt az elnevezést az magyarázza, hogy az exponenciális függvény argumentuma a kitevő, a kitevő alapja pedig az adott szám.

Meghatározás. Az exponenciális függvény y = a x alakú függvény, ahol a egy adott szám, a > 0, \(a \neq 1\)

Az exponenciális függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik

1) Az exponenciális függvény definíciós tartománya az összes valós szám halmaza.
Ez a tulajdonság abból következik, hogy az a x hatvány, ahol a > 0, minden x valós számra definiálva van.

2) Az exponenciális függvény értékkészlete az összes pozitív szám halmaza.
Ennek ellenőrzéséhez meg kell mutatnia, hogy az a x = b egyenletnek, ahol a > 0, \(a \neq 1\), nincs gyöke, ha \(b \leq 0\), és van gyöke bármely b > 0 .

3) Az y = a x exponenciális függvény az összes valós szám halmazán növekszik, ha a > 1, és csökken, ha 0. Ez a (8) és (9) fok tulajdonságaiból következik.

Szerkesszük meg az y = a x exponenciális függvények gráfjait a > 0 és 0 esetén. A figyelembe vett tulajdonságok felhasználásával megjegyezzük, hogy az y = a x függvény grafikonja a > 0 esetén áthalad a (0; 1) ponton és felette helyezkedik el. az Ökör tengely.
Ha x 0.
Ha x > 0 és |x| növekszik, a grafikon gyorsan emelkedik.

Az y = a x függvény grafikonja 0-nál Ha x > 0 és növekszik, akkor a grafikon gyorsan megközelíti az Ox tengelyt (anélkül, hogy keresztezné azt). Így az Ox tengely a gráf vízszintes aszimptotája.
Ha x

Exponenciális egyenletek

Tekintsünk több példát az exponenciális egyenletekre, pl. olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen benne van a kitevőben. Az exponenciális egyenletek megoldása gyakran az a x = a b egyenlet megoldásához vezet, ahol a > 0, \(a \neq 1\), x egy ismeretlen. Ezt az egyenletet a hatványtulajdonság segítségével oldjuk meg: az azonos bázisú hatványok a > 0, \(a \neq 1\) akkor és csak akkor egyenlők, ha a kitevőjük egyenlő.

Oldja meg a 2 3x 3 x = 576 egyenletet
Mivel 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, az egyenlet felírható így: 8 x 3 x = 24 2, vagy 24 x = 24 2, amelyből x = 2.
Válasz x = 2

Oldja meg a 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25 egyenletet
A 3 x - 2 közös tényezőt a bal oldali zárójelekből kivéve 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
ahonnan 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Válasz x = 2

Oldja meg a 3 x = 7 x egyenletet!
Mivel \(7^x \neq 0 \) , az egyenlet \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \ alakban írható fel, amelyből \(\left(\frac(3) )( 7) \jobbra) ^x = 1 \), x = 0
Válasz x = 0

Oldja meg a 9 x - 4 3 x - 45 = 0 egyenletet
3 x = t helyettesítésével ez az egyenlet a t 2 - 4t - 45 = 0 másodfokú egyenletre redukálódik. Ezt az egyenletet megoldva megtaláljuk a gyökereit: t 1 = 9, t 2 = -5, ahonnan 3 x = 9, 3 x = -5.
A 3 x = 9 egyenlet gyöke x = 2, a 3 x = -5 egyenletnek pedig nincs gyöke, mivel az exponenciális függvény nem vehet fel negatív értékeket.
Válasz x = 2

Oldja meg a 3 egyenletet 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Írjuk fel az egyenletet a formába
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, ahonnan
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \right) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Válasz x = 2

Oldja meg a 3. |x - 1| egyenletet = 3 |x + 3|
Mivel 3 > 0, \(3 \neq 1\), akkor az eredeti egyenlet ekvivalens az |x-1| egyenlettel. = |x+3|
Ezt az egyenletet négyzetre emelve megkapjuk az (x - 1) 2 = (x + 3) 2 következményét, amelyből
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Az ellenőrzés azt mutatja, hogy x = -1 az eredeti egyenlet gyöke.
Válasz x = -1

Egy egyenlet egy ismeretlennel, amely a zárójelek felnyitásával és hasonló kifejezésekkel a következő alakot veszi fel

ax + b = 0, ahol a és b tetszőleges számok, hívjuk lineáris egyenlet egy ismeretlennel. Ma kitaláljuk, hogyan oldjuk meg ezeket a lineáris egyenleteket.

Például az összes egyenlet:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineáris.

Az ismeretlen értékét, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítja, nevezzük döntés vagy az egyenlet gyöke .

Például, ha a 3x + 7 = 13 egyenletben az ismeretlen x helyett a 2-t cseréljük be, akkor a helyes 3 2 +7 = 13 egyenlőséget kapjuk. Ez azt jelenti, hogy az x = 2 a megoldás vagy gyök. az egyenletből.

Az x = 3 érték pedig nem változtatja valódi egyenlőséggé a 3x + 7 = 13 egyenletet, mivel 3 2 +7 ≠ 13. Ez azt jelenti, hogy az x = 3 érték nem az egyenlet megoldása vagy gyöke.

Bármilyen lineáris egyenlet megoldása a forma egyenletek megoldására redukálódik

ax + b = 0.

Mozgassuk a szabad tagot az egyenlet bal oldaláról jobbra, a b előtti jelet az ellenkezőjére változtatva kapjuk

Ha a ≠ 0, akkor x = ‒ b/a .

1. példa Oldja meg a 3x + 2 =11 egyenletet.

Mozgassuk a 2-t az egyenlet bal oldaláról jobbra, a 2 előtti jelet az ellenkezőjére változtatva kapjuk
3x = 11-2.

Akkor végezzük a kivonást
3x = 9.

Az x megtalálásához el kell osztani a szorzatot egy ismert tényezővel, azaz
x = 9:3.

Ez azt jelenti, hogy az x = 3 érték az egyenlet megoldása vagy gyöke.

Válasz: x = 3.

Ha a = 0 és b = 0, akkor a 0x = 0 egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van, hiszen ha tetszőleges számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b is egyenlő 0-val. Ennek az egyenletnek a megoldása tetszőleges szám.

2. példa Oldja meg az 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 egyenletet.

Bővítsük ki a zárójeleket:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Íme néhány hasonló kifejezés:
0x = 0.

Válasz: x - tetszőleges szám.

Ha a = 0 és b ≠ 0, akkor a 0x = - b egyenletet kapjuk. Ennek az egyenletnek nincs megoldása, hiszen ha tetszőleges számot megszorozunk 0-val, akkor 0-t kapunk, de b ≠ 0.

3. példa Oldja meg az x + 8 = x + 5 egyenletet!

Csoportosítsuk az ismeretleneket a bal oldalon, a szabad kifejezéseket pedig a jobb oldalon:
x – x = 5 – 8.

Íme néhány hasonló kifejezés:
0х = ‒ 3.

Válasz: nincs megoldás.

Tovább 1.ábra ábrát mutat egy lineáris egyenlet megoldásához

Készítsünk egy általános sémát egy változós egyenletek megoldására. Tekintsük a 4. példa megoldását.

4. példa Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk az egyenletet

1) Szorozzuk meg az egyenlet összes tagját a nevezők legkisebb közös többszörösével, ami egyenlő 12-vel.

2) Redukció után kapjuk
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Az ismeretlen és szabad kifejezéseket tartalmazó kifejezések elkülönítéséhez nyissa meg a zárójeleket:
4x - 16 + 6x + 6 - 12 = 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) Csoportosítsuk az egyik részbe az ismeretleneket, a másikba a szabad kifejezéseket:
4x + 6x - 30x - 24x + 22x = ‒ 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Mutassunk be hasonló kifejezéseket:
- 22х = -154.

6) Oszd el - 22-vel, megkapjuk
x = 7.

Amint látja, az egyenlet gyökere hét.

Általában ilyen egyenletek az alábbi séma segítségével oldhatók meg:

a) hozza az egyenletet egész alakjába;

b) nyissa ki a zárójeleket;

c) csoportosítsa az egyenlet egyik részében az ismeretlent, a másikban a szabad tagokat tartalmazó tagokat;

d) hasonló tagokat hozni;

e) oldjunk meg egy aх = b alakú egyenletet, amelyet hasonló tagok hozása után kaptunk.

Ez a séma azonban nem szükséges minden egyenlethez. Sok egyszerűbb egyenlet megoldásánál nem az elsőből kell kiindulni, hanem a másodikból ( Példa. 2), harmadik ( Példa. 13) és még az ötödik szakasztól is, mint az 5. példában.

5. példa. Oldja meg a 2x = 1/4 egyenletet!

Keresse meg az ismeretlent x = 1/4:2,
x = 1/8 .

Nézzünk meg néhány lineáris egyenlet megoldását a fő államvizsgán.

6. példa. Oldja meg a 2 (x + 3) = 5 – 6x egyenletet.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5-6

Válasz: - 0,125

7. példa. Oldja meg a – 6 (5 – 3x) = 8x – 7 egyenletet.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Válasz: 2.3

8. példa. Oldja meg az egyenletet

3 (3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

9. példa. Határozzuk meg az f(6)-ot, ha f(x + 2) = 3 7-es

Megoldás

Mivel meg kell találnunk f(6), és tudjuk, hogy f (x + 2),
akkor x + 2 = 6.

Megoldjuk az x + 2 = 6 lineáris egyenletet,
x = 6 – 2, x = 4.

Ha x = 4, akkor
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Válasz: 27.

Ha van még kérdése, vagy szeretné alaposabban megérteni az egyenletek megoldását, jelentkezzen az óráimra az ÜTEMEZÉSBEN. Szívesen segítek!

A TutorOnline azt is javasolja, hogy nézzen meg Olga Alexandrovna oktatónk új videóleckét, amely segít megérteni a lineáris egyenleteket és másokat is.

weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.