Memecahkan persamaan kuadrat. Menyelesaikan persamaan linear dengan contoh Akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dipelajari di kelas 8, jadi tidak ada yang rumit disini. Kemampuan untuk menyelesaikannya mutlak diperlukan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dengan koefisien a, b, dan c adalah bilangan sembarang, dan a ≠ 0.

Sebelum mempelajari metode penyelesaian spesifik, perhatikan bahwa semua persamaan kuadrat dapat dibagi menjadi tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Memiliki tepat satu akar;
3. Mereka mempunyai dua akar yang berbeda.

Inilah perbedaan penting antara persamaan kuadrat dan persamaan linier, yang akarnya selalu ada dan unik. Bagaimana cara menentukan berapa banyak akar suatu persamaan? Ada hal yang luar biasa untuk ini - diskriminan.

Diskriminan

Misalkan diberikan persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0. Maka diskriminannya hanyalah bilangan D = b 2 − 4ac.

Anda perlu hafal rumus ini. Dari mana asalnya tidak penting sekarang. Hal lain yang penting: dengan tanda diskriminan Anda dapat menentukan berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat. Yaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat tepat satu akar;
3. Jika D > 0 maka terdapat dua akar.

Harap dicatat: diskriminan menunjukkan jumlah akar, dan bukan tanda-tandanya sama sekali, seperti yang diyakini banyak orang karena alasan tertentu. Lihatlah contohnya dan Anda akan memahami semuanya sendiri:

Tugas. Berapa banyak akar yang dimiliki persamaan kuadrat:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Mari kita tuliskan koefisien persamaan pertama dan cari diskriminannya:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi diskriminannya positif, jadi persamaannya mempunyai dua akar yang berbeda. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
sebuah = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminannya negatif, tidak ada akarnya. Persamaan terakhir yang tersisa adalah:
sebuah = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminannya nol - akarnya akan menjadi satu.

Harap dicatat bahwa koefisien telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, itu panjang, ya, itu membosankan, tetapi Anda tidak akan mencampuradukkan peluang dan membuat kesalahan bodoh. Pilih sendiri: kecepatan atau kualitas.

Ngomong-ngomong, jika Anda sudah menguasainya, setelah beberapa saat Anda tidak perlu menuliskan semua koefisiennya. Anda akan melakukan operasi seperti itu di kepala Anda. Kebanyakan orang mulai melakukan ini setelah 50-70 persamaan terselesaikan - secara umum, tidak sebanyak itu.

Akar persamaan kuadrat

Sekarang mari kita beralih ke solusi itu sendiri. Jika diskriminan D > 0, akar-akarnya dapat dicari dengan rumus:

Rumus dasar akar-akar persamaan kuadrat

Jika D = 0, Anda dapat menggunakan salah satu rumus berikut - Anda akan mendapatkan angka yang sama yang akan menjadi jawabannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua akar. Mari kita temukan:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan tersebut kembali mempunyai dua akar. Ayo temukan mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \kiri(-1 \kanan))=3. \\ \end(sejajarkan)\]

Terakhir, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu akar. Rumus apa pun bisa digunakan. Misalnya, yang pertama:

Seperti yang Anda lihat dari contoh, semuanya sangat sederhana. Jika Anda mengetahui rumusnya dan bisa berhitung, maka tidak akan ada masalah. Paling sering, kesalahan terjadi saat mengganti koefisien negatif ke dalam rumus. Sekali lagi, teknik yang dijelaskan di atas akan membantu: lihat rumusnya secara harfiah, tuliskan setiap langkah - dan Anda akan segera menghilangkan kesalahan.

Persamaan kuadrat tidak lengkap

Kebetulan persamaan kuadrat sedikit berbeda dari yang diberikan dalam definisi. Misalnya:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan ini kehilangan salah satu sukunya. Persamaan kuadrat seperti itu bahkan lebih mudah diselesaikan daripada persamaan standar: persamaan tersebut bahkan tidak memerlukan penghitungan diskriminan. Jadi, mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, yaitu. koefisien variabel x atau unsur bebas sama dengan nol.

Tentu saja, kasus yang sangat sulit mungkin terjadi jika kedua koefisien ini sama dengan nol: b = c = 0. Dalam hal ini, persamaannya berbentuk ax 2 = 0. Jelasnya, persamaan tersebut memiliki akar tunggal: x = 0.

Mari kita pertimbangkan kasus lainnya. Misalkan b = 0, maka diperoleh persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0. Mari kita transformasikan sedikit:

Karena akar kuadrat aritmatika hanya ada pada bilangan non-negatif, persamaan terakhir hanya masuk akal untuk (−c /a) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika dalam persamaan kuadrat tidak lengkap berbentuk ax 2 + c = 0 pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0 terpenuhi, maka akan terdapat dua akar. Rumusnya diberikan di atas;
2. Jika (−c /a)< 0, корней нет.

Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak diperlukan—tidak ada perhitungan rumit sama sekali dalam persamaan kuadrat tidak lengkap. Bahkan, tidak perlu mengingat pertidaksamaan (−c /a) ≥ 0. Cukup dengan menyatakan nilai x 2 dan melihat sisi lain dari tanda sama dengan. Jika ada bilangan positif, maka akan ada dua akar. Jika negatif maka tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita lihat persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, yang unsur bebasnya sama dengan nol. Semuanya sederhana di sini: akan selalu ada dua akar. Cukup dengan memfaktorkan polinomialnya:

Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung

Produknya nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Dari sinilah akarnya berasal. Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa persamaan berikut:

Tugas. Selesaikan persamaan kuadrat:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Tidak ada akar, karena persegi tidak bisa sama dengan bilangan negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1.5.

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Menyelesaikan persamaan kelas sembilan melibatkan penggunaan banyak metode penyelesaian yang berbeda: grafik, metode penjumlahan aljabar, memasukkan variabel baru, menggunakan fungsi dan mengubah persamaan dari satu jenis ke bentuk yang lebih sederhana, dan banyak lagi. Metode penyelesaian persamaan dipilih berdasarkan data awal, jadi yang terbaik adalah memahami metode dengan jelas menggunakan contoh.

Misalkan kita diberikan persamaan dengan bentuk berikut:

\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]

Untuk menyelesaikan persamaan ini, bagi ruas kiri dan kanan dengan \

\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]

\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]

Dua akar yang dihasilkan adalah solusi persamaan ini.

Mari selesaikan persamaannya:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

Kita perlu mencari jumlah semua akar persamaan ini. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti:

Akar persamaan ini adalah 2 bilangan: -1 dan 4. Oleh karena itu:

\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatriks)\]

Jumlah ketiga akar sama dengan 4, yang akan menjadi jawaban untuk menyelesaikan persamaan ini.

Di mana saya bisa menyelesaikan persamaan online untuk kelas 9?

Anda dapat menyelesaikan persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.

Mari kita mengingat kembali sifat dasar derajat. Misalkan a > 0, b > 0, n, m adalah sembarang bilangan real. Kemudian
1) sebuah n am = sebuah n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (sebuah) m = sebuah nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\kiri(\frac(a)(b) \kanan)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) sebuah n > 1, jika sebuah > 1, n > 0

8) dan 1, n
9) sebuah > saya jika 0

Dalam prakteknya, fungsi bentuk y = a x sering digunakan, dimana a adalah bilangan positif tertentu, x adalah variabel. Fungsi seperti ini disebut indikatif. Nama ini dijelaskan oleh fakta bahwa argumen fungsi eksponensial adalah eksponen, dan basis eksponen adalah bilangan tertentu.

Definisi. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk y = a x, dengan a adalah bilangan tertentu, a > 0, \(a \neq 1\)

Fungsi eksponensial memiliki sifat-sifat berikut

1) Daerah asal fungsi eksponensial adalah himpunan semua bilangan real.
Sifat ini mengikuti fakta bahwa pangkat ax dimana a > 0 didefinisikan untuk semua bilangan real x.

2) Himpunan nilai fungsi eksponensial adalah himpunan semua bilangan positif.
Untuk memverifikasi ini, Anda perlu menunjukkan bahwa persamaan a x = b, di mana a > 0, \(a \neq 1\), tidak mempunyai akar jika \(b \leq 0\), dan mempunyai akar untuk sembarang b > 0 .

3) Fungsi eksponensial y = a x meningkat pada himpunan semua bilangan real jika a > 1, dan menurun jika 0. Hal ini mengikuti sifat-sifat derajat (8) dan (9)

Mari kita buat grafik fungsi eksponensial y = a x untuk a > 0 dan untuk 0. Dengan menggunakan sifat-sifat yang dipertimbangkan, kita perhatikan bahwa grafik fungsi y = a x untuk a > 0 melalui titik (0; 1) dan terletak di atas sumbu Sapi.
Jika x 0.
Jika x > 0 dan |x| meningkat, grafiknya naik dengan cepat.

Grafik fungsi y = a x pada 0 Jika x > 0 dan bertambah, maka grafik tersebut dengan cepat mendekati sumbu Ox (tanpa melintasinya). Jadi, sumbu Ox adalah asimtot horizontal dari grafik tersebut.
Jika x

Persamaan eksponensial

Mari kita perhatikan beberapa contoh persamaan eksponensial, yaitu. persamaan di mana yang tidak diketahui terkandung dalam eksponen. Penyelesaian persamaan eksponensial sering kali dilakukan dengan menyelesaikan persamaan a x = a b dimana a > 0, \(a \neq 1\), x adalah suatu bilangan yang tidak diketahui. Persamaan ini diselesaikan dengan menggunakan sifat pangkat: pangkat dengan basis yang sama a > 0, \(a \neq 1\) adalah sama jika dan hanya jika eksponennya sama.

Selesaikan persamaan 2 3x 3 x = 576
Karena 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, persamaannya dapat ditulis sebagai 8 x 3 x = 24 2, atau sebagai 24 x = 24 2, sehingga x = 2.
Jawaban x = 2

Selesaikan persamaan 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
Mengambil faktor persekutuan 3 x - 2 dari tanda kurung di sisi kiri, kita mendapatkan 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
maka 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
Jawaban x = 2

Selesaikan persamaan 3 x = 7 x
Karena \(7^x \neq 0 \) , persamaannya dapat ditulis dalam bentuk \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), dan \(\left(\frac(3) )( 7) \kanan) ^x = 1 \), x = 0
Jawab x = 0

Selesaikan persamaan 9 x - 4 3 x - 45 = 0
Dengan mengganti 3 x = t, persamaan ini direduksi menjadi persamaan kuadrat t 2 - 4t - 45 = 0. Menyelesaikan persamaan ini, kita mencari akar-akarnya: t 1 = 9, t 2 = -5, dimana 3 x = 9, 3 x = -5 .
Persamaan 3 x = 9 mempunyai akar x = 2, dan persamaan 3 x = -5 tidak mempunyai akar, karena fungsi eksponensial tidak dapat bernilai negatif.
Jawaban x = 2

Selesaikan persamaan 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, maka
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\kiri(\frac(2)(5) \kanan) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
Jawaban x = 2

Selesaikan persamaan 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
Karena 3 > 0, \(3 \neq 1\), maka persamaan aslinya ekuivalen dengan persamaan |x-1| = |x+3|
Dengan mengkuadratkan persamaan ini, kita memperoleh akibat wajarnya (x - 1) 2 = (x + 3) 2, dari mana
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
Pengecekan menunjukkan bahwa x = -1 adalah akar persamaan awal.
Jawaban x = -1

Persamaan dengan yang tidak diketahui, yang setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, mengambil bentuk

kapak + b = 0, dimana a dan b adalah bilangan sembarang, disebut persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui. Hari ini kita akan mencari cara untuk menyelesaikan persamaan linear ini.

Misalnya, semua persamaan:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - linier.

Nilai yang tidak diketahui yang mengubah persamaan menjadi persamaan yang benar disebut keputusan atau akar persamaan .

Misalnya, jika dalam persamaan 3x + 7 = 13 alih-alih x yang tidak diketahui kita mengganti angka 2, kita memperoleh persamaan yang benar 3 2 +7 = 13. Artinya nilai x = 2 adalah solusi atau akar dari persamaan tersebut.

Dan nilai x = 3 tidak mengubah persamaan 3x + 7 = 13 menjadi persamaan sejati, karena 3 2 +7 ≠ 13. Artinya nilai x = 3 bukan merupakan solusi atau akar persamaan.

Menyelesaikan persamaan linier apa pun direduksi menjadi penyelesaian persamaan bentuk

kapak + b = 0.

Mari kita pindahkan suku bebas dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tanda di depan b menjadi kebalikannya, kita peroleh

Jika a ≠ 0, maka x = ‒ b/a .

Contoh 1. Selesaikan persamaan 3x + 2 =11.

Mari kita pindahkan 2 dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tanda di depan 2 menjadi kebalikannya, kita peroleh
3x = 11 – 2.

Kalau begitu, mari kita lakukan pengurangan
3x = 9.

Untuk mencari x, Anda perlu membagi hasil kali dengan faktor yang diketahui, yaitu
x = 9:3.

Artinya nilai x = 3 merupakan solusi atau akar persamaan.

Jawaban: x = 3.

Jika a = 0 dan b = 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x = 0. Persamaan ini memiliki banyak solusi yang tak terhingga, karena ketika kita mengalikan suatu bilangan dengan 0 kita mendapatkan 0, tetapi b juga sama dengan 0. Penyelesaian persamaan ini adalah bilangan apa pun.

Contoh 2. Selesaikan persamaan 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

Mari kita perluas tanda kurungnya:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Berikut beberapa istilah serupa:
0x = 0.

Jawaban: x - nomor berapa saja.

Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka kita mendapatkan persamaan 0x = - b. Persamaan ini tidak mempunyai solusi, karena ketika kita mengalikan bilangan apa pun dengan 0 kita mendapatkan 0, tetapi b ≠ 0.

Contoh 3. Selesaikan persamaan x + 8 = x + 5.

Mari kita kelompokkan suku-suku yang mengandung yang tidak diketahui di sisi kiri, dan suku-suku bebas di sisi kanan:
x – x = 5 – 8.

Berikut beberapa istilah serupa:
0х = ‒ 3.

Jawaban: tidak ada solusi.

Pada Gambar 1 menunjukkan diagram untuk menyelesaikan persamaan linier

Mari kita buat skema umum untuk menyelesaikan persamaan dengan satu variabel. Mari kita perhatikan solusi Contoh 4.

Contoh 4. Misalkan kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut

1) Kalikan semua suku persamaan dengan kelipatan persekutuan terkecil penyebutnya, sama dengan 12.

2) Setelah pengurangan kita dapatkan
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) Untuk memisahkan suku yang mengandung suku tidak diketahui dan suku bebas, buka tanda kurung:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) Mari kita kelompokkan di satu bagian suku-suku yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui, dan di bagian lain - suku-suku bebas:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) Mari kita sajikan istilah serupa:
- 22х = - 154.

6) Bagi dengan – 22, Kita peroleh
x = 7.

Seperti yang Anda lihat, akar persamaannya adalah tujuh.

Umumnya seperti itu persamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan skema berikut:

a) membawa persamaan ke bentuk bilangan bulatnya;

b) buka tanda kurung;

c) mengelompokkan suku-suku yang mengandung suku-suku yang tidak diketahui di satu bagian persamaan, dan suku-suku bebas di bagian lain;

d) mendatangkan anggota serupa;

e) menyelesaikan persamaan bentuk aх = b, yang diperoleh setelah membawa suku-suku sejenis.

Namun, skema ini tidak diperlukan untuk setiap persamaan. Saat menyelesaikan banyak persamaan sederhana, Anda harus memulai bukan dari persamaan pertama, tetapi dari persamaan kedua ( Contoh. 2), ketiga ( Contoh. 13) dan bahkan dari tahap kelima, seperti pada contoh 5.

Contoh 5. Selesaikan persamaan 2x = 1/4.

Carilah x = 1/4:2 yang belum diketahui,
x = 1/8 .

Mari kita lihat penyelesaian beberapa persamaan linier yang ditemukan dalam ujian utama negara bagian.

Contoh 6. Selesaikan persamaan 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Jawaban: - 0,125

Contoh 7. Selesaikan persamaan – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Jawaban: 2.3

Contoh 8. Selesaikan persamaannya

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Contoh 9. Tentukan f(6) jika f (x + 2) = 3 7

Larutan

Karena kita perlu mencari f(6), dan kita mengetahui f (x + 2),
maka x + 2 = 6.

Kita selesaikan persamaan linear x + 2 = 6,
kita mendapatkan x = 6 – 2, x = 4.

Jika x = 4 maka
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Jawaban: 27.

Jika Anda masih memiliki pertanyaan atau ingin memahami penyelesaian persamaan secara lebih menyeluruh, daftarlah untuk pelajaran saya di JADWAL. Saya akan dengan senang hati membantu Anda!

TutorOnline juga merekomendasikan menonton video pelajaran baru dari tutor kami Olga Alexandrovna, yang akan membantu Anda memahami persamaan linier dan lainnya.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.