კვადრატული განტოლებების ამოხსნა. წრფივი განტოლებების ამოხსნა მაგალითებით კვადრატული განტოლების ფესვები

კვადრატულ განტოლებებს სწავლობენ მე-8 კლასში, ამიტომ აქ არაფერია რთული. მათი გადაჭრის უნარი აბსოლუტურად აუცილებელია.

კვადრატული განტოლება არის ax 2 + bx + c = 0 ფორმის განტოლება, სადაც კოეფიციენტები a, b და c არის თვითნებური რიცხვები და a ≠ 0.

კონკრეტული ამოხსნის მეთოდების შესწავლამდე, გაითვალისწინეთ, რომ ყველა კვადრატული განტოლება შეიძლება დაიყოს სამ კლასად:

1. არ აქვს ფესვები;
2. აქვს ზუსტად ერთი ფესვი;
3. მათ ორი განსხვავებული ფესვი აქვთ.

ეს არის მნიშვნელოვანი განსხვავება კვადრატულ განტოლებებსა და წრფივ განტოლებებს შორის, სადაც ფესვი ყოველთვის არსებობს და უნიკალურია. როგორ განვსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას? ამისთვის არის მშვენიერი რამ - დისკრიმინანტი.

დისკრიმინანტი

მოცემული იყოს კვადრატული განტოლება ax 2 + bx + c = 0. მაშინ დისკრიმინანტი არის უბრალოდ რიცხვი D = b 2 − 4ac.

ეს ფორმულა ზეპირად უნდა იცოდეთ. საიდან მოდის, ახლა არ არის მნიშვნელოვანი. მნიშვნელოვანია კიდევ ერთი: დისკრიმინანტის ნიშნით შეგიძლიათ განსაზღვროთ რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებას. კერძოდ:

1. თუ დ< 0, корней нет;
2. თუ D = 0, არის ზუსტად ერთი ფესვი;
3. თუ D > 0, იქნება ორი ფესვი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: დისკრიმინანტი მიუთითებს ფესვების რაოდენობას და არა მათ ნიშნებს, როგორც რატომღაც ბევრს სჯერა. გადახედე მაგალითებს და შენ თვითონ მიხვდები ყველაფერს:

დავალება. რამდენი ფესვი აქვს კვადრატულ განტოლებებს:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

მოდით დავწეროთ პირველი განტოლების კოეფიციენტები და ვიპოვოთ დისკრიმინანტი:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

ასე რომ, დისკრიმინანტი დადებითია, ამიტომ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. ჩვენ ვაანალიზებთ მეორე განტოლებას ანალოგიურად:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

დისკრიმინანტი უარყოფითია, ფესვები არ არსებობს. დარჩენილი ბოლო განტოლებაა:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

დისკრიმინანტი არის ნული - ფესვი იქნება ერთი.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ კოეფიციენტები ჩამოწერილია თითოეული განტოლებისთვის. დიახ, ეს გრძელია, დიახ, დამღლელი, მაგრამ თქვენ არ აირევთ შანსებს და არ დაუშვებთ სულელ შეცდომებს. აირჩიეთ თქვენთვის: სიჩქარე ან ხარისხი.

სხვათა შორის, თუ ამას მოახდენთ, გარკვეული პერიოდის შემდეგ აღარ დაგჭირდებათ ყველა კოეფიციენტის ჩაწერა. ასეთ ოპერაციებს შეასრულებ შენს თავში. ადამიანების უმეტესობა ამის გაკეთებას იწყებს სადღაც 50-70 ამოხსნილი განტოლების შემდეგ - ზოგადად, არც ისე ბევრი.

კვადრატული განტოლების ფესვები

ახლა გადავიდეთ თავად გადაწყვეტაზე. თუ დისკრიმინანტი D > 0, ფესვები შეიძლება მოიძებნოს ფორმულების გამოყენებით:

კვადრატული განტოლების ფესვების ძირითადი ფორმულა

როდესაც D = 0, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმულა - მიიღებთ იგივე რიცხვს, რომელიც იქნება პასუხი. საბოლოოდ, თუ დ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

პირველი განტოლება:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ განტოლებას ორი ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი:

მეორე განტოლება:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ განტოლებას ისევ ორი ​​ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ისინი

\[\begin(გასწორება) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \მარჯვნივ))=3. \\ \ბოლო (გასწორება)\]

და ბოლოს, მესამე განტოლება:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი. ნებისმიერი ფორმულის გამოყენება შესაძლებელია. მაგალითად, პირველი:

როგორც მაგალითებიდან ხედავთ, ყველაფერი ძალიან მარტივია. თუ იცით ფორმულები და შეგიძლიათ დათვლა, პრობლემა არ იქნება. ყველაზე ხშირად, შეცდომები ხდება უარყოფითი კოეფიციენტების ფორმულაში ჩანაცვლებისას. აქ კიდევ, ზემოთ აღწერილი ტექნიკა დაგეხმარებათ: შეხედეთ ფორმულას სიტყვასიტყვით, ჩაწერეთ თითოეული ნაბიჯი - და ძალიან მალე თქვენ თავიდან აიცილებთ შეცდომებს.

არასრული კვადრატული განტოლებები

ეს ხდება, რომ კვადრატული განტოლება ოდნავ განსხვავდება იმისგან, რაც მოცემულია განმარტებაში. Მაგალითად:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

ადვილი შესამჩნევია, რომ ამ განტოლებებს აკლია ერთ-ერთი ტერმინი. ასეთი კვადრატული განტოლებები კიდევ უფრო ადვილად ამოსახსნელია, ვიდრე სტანდარტული: ისინი არც კი საჭიროებენ დისკრიმინანტის გამოთვლას. მაშ ასე, შემოგთავაზებთ ახალ კონცეფციას:

განტოლებას ax 2 + bx + c = 0 ეწოდება არასრული კვადრატული განტოლება, თუ b = 0 ან c = 0, ე.ი. x ცვლადის ან თავისუფალი ელემენტის კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ძალიან რთული შემთხვევა, როდესაც ორივე ეს კოეფიციენტი ნულის ტოლია: b = c = 0. ამ შემთხვევაში, განტოლება იღებს ax 2 = 0. ცხადია, ასეთ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: x. = 0.

განვიხილოთ დარჩენილი შემთხვევები. დავუშვათ b = 0, შემდეგ მივიღებთ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებას. მოდით ცოტა გადავაქციოთ:

ვინაიდან არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფითი რიცხვისთვის, ბოლო ტოლობას აქვს აზრი მხოლოდ (−c/a) ≥ 0-ისთვის. დასკვნა:

1. თუ ax 2 + c = 0 ფორმის არასრულ კვადრატულ განტოლებაში დაკმაყოფილებულია უტოლობა (−c /a) ≥ 0, იქნება ორი ფესვი. ფორმულა მოცემულია ზემოთ;
2. თუ (−c/a)< 0, корней нет.

როგორც ხედავთ, დისკრიმინანტი არ იყო საჭირო - არასრულ კვადრატულ განტოლებებში საერთოდ არ არის რთული გამოთვლები. ფაქტობრივად, არც კი არის აუცილებელი გავიხსენოთ უტოლობა (−c /a) ≥ 0. საკმარისია გამოვხატოთ მნიშვნელობა x 2 და ვნახოთ რა არის ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს. თუ არის დადებითი რიცხვი, იქნება ორი ფესვი. თუ უარყოფითია, ფესვები საერთოდ არ იქნება.

ახლა ვნახოთ ax 2 + bx = 0 ფორმის განტოლებები, რომლებშიც თავისუფალი ელემენტი ნულის ტოლია. აქ ყველაფერი მარტივია: ყოველთვის იქნება ორი ფესვი. საკმარისია მრავალწევრის ფაქტორირება:

საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან

პროდუქტი ნულის ტოლია, როდესაც მინიმუმ ერთი ფაქტორი ნულის ტოლია. აქედან მოდის ფესვები. დასასრულს, მოდით შევხედოთ ამ განტოლებიდან რამდენიმეს:

დავალება. ამოხსენით კვადრატული განტოლებები:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. არ არსებობს ფესვები, რადგან კვადრატი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის ტოლი.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

განტოლებების გამოყენება ფართოდ არის გავრცელებული ჩვენს ცხოვრებაში. ისინი გამოიყენება მრავალ გამოთვლებში, სტრუქტურების მშენებლობაში და სპორტშიც კი. ადამიანი ძველ დროში იყენებდა განტოლებებს და მას შემდეგ მათი გამოყენება მხოლოდ გაიზარდა. მეცხრე კლასის განტოლებების ამოხსნა გულისხმობს ამოხსნის მრავალი განსხვავებული მეთოდის გამოყენებას: გრაფიკული, ალგებრული შეკრების მეთოდები, ახალი ცვლადების შემოღება, ფუნქციების გამოყენება და განტოლებების ერთი ტიპიდან უფრო მარტივზე გადაყვანა და მრავალი სხვა. განტოლების ამოხსნის მეთოდი შეირჩევა საწყისი მონაცემების საფუძველზე, ამიტომ უმჯობესია მაგალითების გამოყენებით მკაფიოდ გავიგოთ მეთოდები.

დავუშვათ, რომ გვეძლევა შემდეგი ფორმის განტოლება:

\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]

ამ განტოლების ამოსახსნელად მარცხენა და მარჯვენა მხარეები გაყავით \-ზე

\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]

\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]

შედეგად მიღებული ორი ფესვი არის ამ განტოლების გამოსავალი.

მოდით ამოხსნათ განტოლება:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

აუცილებელია ამ განტოლების ყველა ფესვის ჯამის პოვნა. ამისათვის თქვენ უნდა შეცვალოთ:

ამ განტოლების ფესვები იქნება 2 რიცხვი: -1 და 4. ამიტომ:

\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatrix)\]

სამივე ფესვის ჯამი 4-ის ტოლია, რაც იქნება ამ განტოლების ამოხსნის პასუხი.

სად შემიძლია გადავწყვიტო განტოლებები ონლაინ მე-9 კლასისთვის?

განტოლების ამოხსნა შეგიძლიათ ჩვენს ვებგვერდზე https://site. უფასო ონლაინ ამომხსნელი საშუალებას მოგცემთ ამოხსნათ ნებისმიერი სირთულის ონლაინ განტოლებები რამდენიმე წამში. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის უბრალოდ შეიყვანოთ თქვენი მონაცემები გადამწყვეტში. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ ვიდეო ინსტრუქციები და ისწავლოთ განტოლების ამოხსნა ჩვენს ვებგვერდზე. და თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები, შეგიძლიათ დაუსვათ ისინი ჩვენს VKontakte ჯგუფში http://vk.com/pocketteacher. შემოუერთდით ჩვენს ჯგუფს, ჩვენ ყოველთვის სიამოვნებით დაგეხმარებით.

გავიხსენოთ გრადუსების ძირითადი თვისებები. მოდით a > 0, b > 0, n, m იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი. მერე
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (აბ) n = a n b n

5) \(\ მარცხენა (\frac(a)(b) \მარჯვნივ)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, თუ a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m თუ 0

პრაქტიკაში ხშირად გამოიყენება y = a x ფორმის ფუნქციები, სადაც a არის მოცემული დადებითი რიცხვი, x არის ცვლადი. ასეთ ფუნქციებს ე.წ საჩვენებელი. ეს სახელწოდება აიხსნება იმით, რომ ექსპონენციალური ფუნქციის არგუმენტი არის მაჩვენებელი, ხოლო მაჩვენებლის საფუძველი არის მოცემული რიცხვი.

განმარტება.ექსპონენციალური ფუნქცია არის y = a x ფორმის ფუნქცია, სადაც a არის მოცემული რიცხვი, a > 0, \(a \neq 1\)

ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები

1) ექსპონენციალური ფუნქციის განსაზღვრის დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.
ეს თვისება გამომდინარეობს იქიდან, რომ x სიმძლავრე, სადაც a > 0 განისაზღვრება x ყველა რეალური რიცხვისთვის.

2) ექსპონენციალური ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე.
ამის დასადასტურებლად, თქვენ უნდა აჩვენოთ, რომ განტოლებას a x = b, სადაც a > 0, \(a \neq 1\), არ აქვს ფესვები, თუ \(b \leq 0\), და აქვს ფესვი ნებისმიერი b >სთვის. 0 .

3) ექსპონენციალური ფუნქცია y = a x იზრდება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე, თუ a > 1, და მცირდება, თუ 0. ეს გამომდინარეობს (8) და (9) ხარისხის თვისებებიდან.

ავაშენოთ y = a x ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები a > 0-სთვის და 0-ისთვის. განხილული თვისებების გამოყენებით აღვნიშნავთ, რომ y = a x ფუნქციის გრაფიკი a > 0-ისთვის გადის წერტილში (0; 1) და მდებარეობს ზემოთ. ოქსის ღერძი.
თუ x 0.
თუ x > 0 და |x| იზრდება, გრაფიკი სწრაფად იზრდება.

y = a x ფუნქციის გრაფიკი 0-ზე თუ x > 0 და იზრდება, მაშინ გრაფიკი სწრაფად უახლოვდება Ox ღერძს (მისი გადაკვეთის გარეშე). ამრიგად, Ox ღერძი არის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი.
თუ x

ექსპონენციალური განტოლებები

განვიხილოთ ექსპონენციალური განტოლების რამდენიმე მაგალითი, ე.ი. განტოლებები, რომლებშიც უცნობი შეიცავს მაჩვენებელს. ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნა ხშირად მოდის a x = a b განტოლების ამოხსნამდე, სადაც a > 0, \(a \neq 1\), x უცნობია. ეს განტოლება ამოხსნილია სიმძლავრის თვისების გამოყენებით: იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეები a > 0, \(a \neq 1\) ტოლია, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მათი მაჩვენებლები ტოლია.

ამოხსენით განტოლება 2 3x 3 x = 576
ვინაიდან 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც 8 x 3 x = 24 2, ან როგორც 24 x = 24 2, საიდანაც x = 2.
პასუხი x = 2

ამოხსენით განტოლება 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25
მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან საერთო კოეფიციენტის 3 x - 2-ის აღებით, მივიღებთ 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
საიდანაც 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
პასუხი x = 2

ამოხსენით განტოლება 3 x = 7 x
ვინაიდან \(7^x \neq 0 \) , განტოლება შეიძლება დაიწეროს სახით \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \), საიდანაც \(\left(\frac(3) )( 7) \მარჯვნივ) ^x = 1 \), x = 0
პასუხი x = 0

ამოხსენით განტოლება 9 x - 4 3 x - 45 = 0
3 x = t ჩანაცვლებით, ეს განტოლება მცირდება კვადრატულ განტოლებამდე t 2 - 4t - 45 = 0. ამ განტოლების ამოხსნით, ვპოულობთ მის ფესვებს: t 1 = 9, t 2 = -5, საიდანაც 3 x = 9, 3 x = -5.
განტოლებას 3 x = 9 აქვს ფესვი x = 2, ხოლო განტოლებას 3 x = -5 არ აქვს ფესვები, რადგან ექსპონენციალურ ფუნქციას არ შეუძლია მიიღოს უარყოფითი მნიშვნელობები.
პასუხი x = 2

ამოხსენით განტოლება 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
განტოლება დავწეროთ ფორმაში
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, საიდანაც
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\ მარცხენა (\frac(2)(5) \მარჯვნივ) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
პასუხი x = 2

ამოხსენით განტოლება 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
ვინაიდან 3 > 0, \(3 \neq 1\), მაშინ თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას |x-1| = |x+3|
ამ განტოლების კვადრატში ვიღებთ მის დასკვნას (x - 1) 2 = (x + 3) 2, საიდანაც
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
შემოწმება აჩვენებს, რომ x = -1 არის საწყისი განტოლების ფესვი.
პასუხი x = -1

განტოლება ერთი უცნობით, რომელიც ფრჩხილების გახსნის და მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ იღებს ფორმას

ცული + b = 0, სადაც a და b არის თვითნებური რიცხვები, ეწოდება წრფივი განტოლება ერთ უცნობთან. დღეს ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ეს წრფივი განტოლებები.

მაგალითად, ყველა განტოლება:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - წრფივი.

უცნობის მნიშვნელობა, რომელიც აქცევს განტოლებას ნამდვილ ტოლად, ეწოდება გადაწყვეტილება ან განტოლების ფესვი .

მაგალითად, თუ განტოლებაში 3x + 7 = 13 უცნობი x-ის ნაცვლად ჩავანაცვლებთ რიცხვს 2, მივიღებთ სწორ ტოლობას 3 2 +7 = 13. ეს ნიშნავს, რომ მნიშვნელობა x = 2 არის ამონახსნი ან ფესვი. განტოლების.

და მნიშვნელობა x = 3 არ აქცევს განტოლებას 3x + 7 = 13 ნამდვილ ტოლობაში, რადგან 3 2 +7 ≠ 13. ეს ნიშნავს, რომ მნიშვნელობა x = 3 არ არის განტოლების ამონახსნი ან ფესვი.

ნებისმიერი წრფივი განტოლების ამოხსნა მცირდება ფორმის განტოლებამდე

ცული + b = 0.

გადავიტანოთ თავისუფალი წევრი განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ, b-ის წინ ნიშნის შეცვლა საპირისპიროდ, მივიღებთ

თუ a ≠ 0, მაშინ x = ‒ b/a .

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება 3x + 2 =11.

გადავიტანოთ 2 განტოლების მარცხენა მხრიდან მარჯვნივ, შევცვალოთ ნიშანი 2-ის წინ საპირისპიროდ, მივიღებთ
3x = 11 - 2.

მოდით გავაკეთოთ გამოკლება, მაშინ
3x = 9.

x-ის საპოვნელად, თქვენ უნდა გაყოთ პროდუქტი ცნობილი ფაქტორით, ანუ
x = 9:3.

ეს ნიშნავს, რომ მნიშვნელობა x = 3 არის განტოლების ამონახსნი ან ფესვი.

პასუხი: x = 3.

თუ a = 0 და b = 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x = 0. ამ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები, ვინაიდან როცა რომელიმე რიცხვს ვამრავლებთ 0-ზე მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b ასევე უდრის 0-ს. ამ განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რიცხვი.

მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

აქ არის რამდენიმე მსგავსი ტერმინი:
0x = 0.

პასუხი: x - ნებისმიერი რიცხვი.

თუ a = 0 და b ≠ 0, მაშინ მივიღებთ განტოლებას 0x = - b. ამ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, რადგან როცა რომელიმე რიცხვს ვამრავლებთ 0-ზე, მივიღებთ 0-ს, მაგრამ b ≠ 0.

მაგალითი 3.ამოხსენით განტოლება x + 8 = x + 5.

მოდით დავაჯგუფოთ ტერმინები, რომლებიც შეიცავს უცნობებს მარცხენა მხარეს, ხოლო თავისუფალი ტერმინები მარჯვენა მხარეს:
x – x = 5 – 8.

აქ არის რამდენიმე მსგავსი ტერმინი:
0х = ‒ 3.

პასუხი: არ არის გამოსავალი.

ჩართულია ფიგურა 1 გვიჩვენებს წრფივი განტოლების ამოხსნის დიაგრამას

შევადგინოთ ერთი ცვლადით განტოლებების ამოხსნის ზოგადი სქემა. მოდით განვიხილოთ მე-4 მაგალითის გამოსავალი.

მაგალითი 4. დავუშვათ, ჩვენ გვჭირდება განტოლების ამოხსნა

1) გაამრავლეთ განტოლების ყველა წევრი მნიშვნელების უმცირეს საერთო ჯერადზე, რომელიც უდრის 12-ს.

2) შემცირების შემდეგ ვიღებთ
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) უცნობი და თავისუფალი ტერმინების შემცველი ტერმინების გამოსაყოფად გახსენით ფრჩხილები:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) ერთ ნაწილში დავაჯგუფოთ უცნობის შემცველი ტერმინები, ხოლო მეორეში - თავისუფალი ტერმინები:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) მოდით წარმოვადგინოთ მსგავსი ტერმინები:
- 22х = - 154.

6) გაყოფა – 22-ზე, მივიღებთ
x = 7.

როგორც ხედავთ, განტოლების ფესვი არის შვიდი.

საერთოდ ასეთი განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია შემდეგი სქემის გამოყენებით:

ა) მიიყვანეთ განტოლება მთელ რიცხვამდე;

ბ) გახსენით ფრჩხილები;

გ) განტოლების ერთ ნაწილში დააჯგუფოს უცნობის შემცველი ტერმინები, მეორეში კი თავისუფალი ტერმინები;

დ) მოიყვანოს მსგავსი წევრები;

ე) ამოხსნათ aх = b ფორმის განტოლება, რომელიც მიღებული იქნა მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ.

თუმცა, ეს სქემა არ არის აუცილებელი ყველა განტოლებისთვის. ბევრი მარტივი განტოლების ამოხსნისას თქვენ უნდა დაიწყოთ არა პირველიდან, არამედ მეორედან ( მაგალითი. 2), მესამე ( მაგალითი. 13) და მეხუთე ეტაპიდანაც კი, როგორც მე-5 მაგალითში.

მაგალითი 5.ამოხსენით განტოლება 2x = 1/4.

იპოვეთ უცნობი x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

მოდით შევხედოთ მთავარ სახელმწიფო გამოცდაში ნაპოვნი რამდენიმე წრფივი განტოლების ამოხსნას.

მაგალითი 6.ამოხსენით განტოლება 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

პასუხი: - 0,125

მაგალითი 7.ამოხსენით განტოლება – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

- 30 + 18x = 8x - 7

18x – 8x = – 7 +30

პასუხი: 2.3

მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლება

3 (3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

მაგალითი 9.იპოვეთ f(6), თუ f (x + 2) = 3 7's

გამოსავალი

ვინაიდან ჩვენ უნდა ვიპოვოთ f(6) და ვიცით f (x + 2),
შემდეგ x + 2 = 6.

ჩვენ ვხსნით წრფივ განტოლებას x + 2 = 6,
ვიღებთ x = 6 – 2, x = 4.

თუ x = 4 მაშინ
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

პასუხი: 27.

თუ ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები ან გსურთ უფრო დეტალურად გაიგოთ განტოლებების ამოხსნა, დარეგისტრირდით ჩემს გაკვეთილებზე გრაფიკში. მოხარული ვიქნები დაგეხმაროთ!

TutorOnline ასევე გირჩევთ ნახოთ ჩვენი დამრიგებლის ოლგა ალექსანდროვნას ახალი ვიდეო გაკვეთილი, რომელიც დაგეხმარებათ გაიგოთ როგორც წრფივი განტოლებები, ასევე სხვა.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.