Kvadratinių lygčių sprendimo būdai. Informatikos pamoka „Kvadratinės lygties sprendimas“
Kvadratinės lygtys tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sudėtingo. Gebėjimas juos išspręsti yra būtinas.
Kvadratinė lygtis yra ax 2 + bx + c = 0 formos lygtis, kur koeficientai a , b ir c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.
Prieš tyrinėdami konkrečius sprendimo būdus, pažymime, kad visas kvadratines lygtis galima suskirstyti į tris klases:
- Neturi šaknų;
- Jie turi tiksliai vieną šaknį;
- Jie turi dvi skirtingas šaknis.
Štai kas svarbus skirtumas kvadratines lygtis iš tiesinių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikali. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtis? Tam yra nuostabus dalykas - diskriminuojantis.
Diskriminuojantis
Tegu duota kvadratinė lygtis ax 2 + bx + c = 0. Tada diskriminantas yra tiesiog skaičius D = b 2 − 4ac .
Šią formulę reikia žinoti mintinai. Iš kur jis ateina, dabar nesvarbu. Kitas dalykas yra svarbus: pagal diskriminanto ženklą galite nustatyti, kiek šaknų turi kvadratinė lygtis. Būtent:
- Jeigu D< 0, корней нет;
- Jei D = 0, yra lygiai viena šaknis;
- Jei D > 0, bus dvi šaknys.
Atkreipkite dėmesį: diskriminantas nurodo šaknų skaičių, o ne jų ženklus, kaip dėl kokių nors priežasčių daugelis galvoja. Pažvelkite į pavyzdžius ir patys viską suprasite:
Užduotis. Kiek šaknų turi kvadratinės lygtys:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Rašome pirmosios lygties koeficientus ir randame diskriminantą:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
Taigi, diskriminantas yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Antrąją lygtį analizuojame taip pat:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Diskriminantas yra neigiamas, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Diskriminantas lygus nuliui – šaknis bus viena.
Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygčiai buvo parašyti koeficientai. Taip, jis ilgas, taip, nuobodus – bet nesumaišysite šansų ir nepadarysite kvailų klaidų. Pasirinkite patys: greitis ar kokybė.
Beje, jei „užpildysi ranką“, po kurio laiko nebereikės išrašyti visų koeficientų. Tokias operacijas atliksite savo galva. Dauguma žmonių tai pradeda daryti kažkur po 50–70 išspręstų lygčių – apskritai ne tiek daug.
Kvadratinės lygties šaknys
Dabar pereikime prie sprendimo. Jei diskriminantas D > 0, šaknis galima rasti naudojant formules:
Pagrindinė šaknų formulė kvadratinė lygtis
Kai D = 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių – gausite tą patį skaičių, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Suraskime juos:
Antroji lygtis:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Suraskime juos
\[\begin(lygiuoti) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(lygiuoti)\]
Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galima naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:
Kaip matote iš pavyzdžių, viskas labai paprasta. Jei žinai formules ir moki skaičiuoti, problemų nekils. Dažniausiai klaidos atsiranda, kai į formulę pakeičiami neigiami koeficientai. Čia vėlgi padės aukščiau aprašyta technika: pažvelkite į formulę pažodžiui, nupieškite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratykite klaidų.
Nebaigtos kvadratinės lygtys
Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis šiek tiek skiriasi nuo pateiktos apibrėžime. Pavyzdžiui:
- x2 + 9x = 0;
- x2 – 16 = 0.
Nesunku pastebėti, kad šiose lygtyse trūksta vieno iš terminų. Tokias kvadratines lygtis dar lengviau išspręsti nei standartines: joms net nereikia skaičiuoti diskriminanto. Taigi pristatykime naują koncepciją:
Lygtis ax 2 + bx + c = 0 vadinama nepilna kvadratine lygtimi, jei b = 0 arba c = 0, t.y. kintamojo x arba laisvojo elemento koeficientas lygus nuliui.
Žinoma, įmanomas labai sunkus atvejis, kai abu šie koeficientai yra lygūs nuliui: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis yra ax 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknis: x \u003d 0.
Panagrinėkime kitus atvejus. Tegu b \u003d 0, tada gauname nepilną kvadratinę lygtį, kurios forma yra ax 2 + c \u003d 0. Šiek tiek transformuokime ją:
Nes aritmetika Kvadratinė šaknis egzistuoja tik iš neneigiamo skaičiaus, paskutinė lygybė turi prasmę tik (-c /a ) ≥ 0. Išvada:
- Jei nepilna kvadratinė lygtis formos ax 2 + c = 0 tenkina nelygybę (−c / a ) ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikta aukščiau;
- Jei (-c / a )< 0, корней нет.
Kaip matote, diskriminanto neprireikė - nepilnose kvadratinėse lygtyse nėra sudėtingi skaičiavimai. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybės (−c / a ) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 reikšmę ir pamatyti, kas yra kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius, bus dvi šaknys. Jei neigiamas, šaknų iš viso nebus.
Dabar panagrinėkime ax 2 + bx = 0 formos lygtis, kuriose laisvasis elementas lygus nuliui. Čia viskas paprasta: visada bus dvi šaknys. Pakanka daugianarį koeficientuoti:
Bendrojo faktoriaus išėmimas iš skliaustųProduktas yra lygus nuliui, kai bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Štai iš kur kyla šaknys. Apibendrinant, mes išanalizuosime kelias iš šių lygčių:
Užduotis. Išspręskite kvadratines lygtis:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nėra šaknų, nes kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
Programavimas į Lozorius moksleiviams.
Pamoka numeris 12.
Kvadratinės lygties sprendimas.
Matytsinas Igoris Vladimirovičius
Matematikos ir informatikos mokytojas
MBOU vidurinė mokykla su. mergina
Tikslas: parašyti kvadratinės lygties sprendimo programą su bet kokia įvestimi.
Mergina 2013 m.
Kvadratinė lygtis yra viena iš labiausiai paplitusių mokyklos kursų lygčių. Nors tai gana paprasta išspręsti, kartais reikia patikrinti atsakymus. Tam galite naudoti paprastą programą. Parašyti ilgai neužtruks.
Turite pradėti nuo pačios kvadratinės lygties. Iš algebros kurso žinome, kad kvadratinė lygtis yra formos lygtis kirvis 2 + bx + c =0, kur x - kintamasis, a , b ir c yra kai kurie skaičiai ir a .
Iš apibrėžimo matyti, kad lygtyje kinta tik koeficientai a , b ir c . Tai yra parametrai, kuriuos įvesime į savo programą ir tam iš komponentų sukursime tris įvesties laukus.
14.1 pav. Koeficientų įvesties laukai.
Iš apibrėžimo taip pat išplaukia, kad a . Šiuo atveju lygtis nebus kvadratinė. Ir mes pirmiausia patikrinsime šią sąlygą. Sukurkime mygtuką „Spręsti“ ir jo įvykių kūrėją naudodami operatorių jeigu patikrinkite būklę a . Ir jeigu a =0 sakome, kad mūsų lygtis nėra kvadratinė.Čia yra mygtuko įvykių tvarkytuvė:procedūra TForm1.Button1Click(Siuntėjas: TOobjektas); var a,b,c:real; begin a:=strtofloat(redaguoti1.tekstas); b:=strtofloat(redaguoti2.tekstas); c:=strtofloat(redaguoti3.tekstas); jei a=0, tada Label4.Caption:="Lygtis nėra kvadratinė";pabaiga;
Ryžiai. 14.2 Lygties egzistavimo patikrinimas.
Dabar reikia apibūdinti, kas atsitiks, jei lygtis bus kvadratinė. Tai taip pat bus tame pačiame pareiškime jeigu po žodžio Kitas ir naudojant sudėtinį operatorių.
Jei lygtis yra kvadratinė, tada ją iš karto išspręsime naudodami diskriminanto formulę ir kvadratinės lygties šaknis.
Diskriminantą randame pagal formulę: D := b * b – 4* a * c ;
Jei diskriminantas yra mažesnis už nulį, tai lygtis neturi sprendinių. Jis bus aprašytas taip:
Jei d tada etiketė 4. Antraštė :='Lygtis neturi sprendimų' Kitas …
Ir tada Kitas bus tiesioginė lygties šaknų paieška naudojant formules:
X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;
X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;
Čia yra visas operatoriaus kodas jeigu :
jei a=0, tada Label4.Caption:="Lygtis nėra kvadratas" else
pradėti
D:=b*b-4*a*c;
jei d
pradėti
X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;
X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;
Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);
pabaiga;
pabaiga;
Ryžiai. 14.3 veikiantis langas kvadratinių lygčių programa.
Problema gerai žinoma iš matematikos. Pradiniai duomenys čia yra koeficientai a, b, c. Sprendimas bendras atvejis yra dvi šaknys x 1 ir x 2 , kurios apskaičiuojamos pagal formules:
Visos šioje programoje naudojamos reikšmės yra tikrojo tipo.
alg kvadratinės lygties šaknys
dalykas a, b, c, x1, x2, d
ankstiįvestis a, b, c
x1:=(-b+Öd)/(2a)
x2:=(-b–Öd)/(2a)
išvestis x1, x2
Tokio algoritmo silpnumas matomas plika akimi. Jis neturi svarbiausios savybės, reikalingos aukštos kokybės algoritmams: universalumo pradinių duomenų atžvilgiu. Kad ir kokios būtų pradinių duomenų reikšmės, algoritmas turi pasiekti tam tikrą rezultatą ir pasiekti pabaigą. Rezultatas gali būti skaitinis atsakymas, bet tai gali būti ir pranešimas, kad su tokiais duomenimis problema neturi sprendimo. Sustojimai algoritmo viduryje dėl to, kad neįmanoma atlikti kokios nors operacijos, neleidžiami. Ta pati savybė programavimo literatūroje vadinama algoritmo efektyvumu (bet kuriuo atveju reikia gauti kažkokį rezultatą).
Norint sukurti universalų algoritmą, pirmiausia reikia atidžiai išanalizuoti matematinį problemos turinį.
Lygties sprendimas priklauso nuo koeficientų a, b, c verčių. Štai šios problemos analizė (mes apsiribojame tik tikrų šaknų paieška):
jei a=0, b=0, c=0, tai bet kuris x yra lygties sprendinys;
jei a=0, b=0, c¹0, tai lygtis neturi sprendinių;
jei a=0, b¹0, tai tai tiesinė lygtis, turinti vieną sprendinį: x=–c/b;
jei a¹0 ir d=b 2 -4ac³0, tai lygtis turi dvi realias šaknis (formulės pateiktos aukščiau);
jei a¹0 ir d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Algoritmo blokinė schema:
Tas pats algoritmas algoritmine kalba:
alg kvadratinės lygties šaknys
dalykas a, b, c, d, x1, x2
ankstiįvestis a, b, c
jeigu a=0
tada jei b = 0
tada jei c=0
tada išvestis "bet koks x yra sprendimas"
kitaip išvestis „nėra sprendimų“
kitaip x:= -c/b
kitaip d:=b2–4ac
jeigu ir d<0
tada išvestis "nėra tikrų šaknų"
kitaip e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)
išvestis „x1=“, x1, „x2=“, x2
Šis algoritmas naudojamas pakartotinai šakos struktūros komanda. Bendras atšakos komandos vaizdas struktūrinėse diagramose ir algoritmine kalba yra toks:
Pirmiausia patikrinama „sąlyga“ (apskaičiuojamas ryšys, loginė išraiška). Jei sąlyga teisinga, tada vykdoma „serija 1“ – komandų seka, pažymėta rodykle su užrašu „taip“ (teigiama šaka). Kitu atveju vykdoma „2 serija“ (neigiama šaka). EL sąlyga rašoma po tarnybinio žodžio „jei“, teigiama šaka – po žodžio „tada“, neigiama šaka – po žodžio „kitaip“. Raidės „kv“ nurodo šakos galą.
Jei vienos šakos šakose yra kitų šakų, tada toks algoritmas turi struktūrą įdėtos šakos. Būtent tokią struktūrą turi algoritmas „kvadratinės lygties šaknys“. Jame, siekiant trumpumo, vietoj žodžių „taip“ ir „ne“ atitinkamai naudojami „+“ ir „-“.
Apsvarstykite šią problemą: pateiktas teigiamas sveikasis skaičius n. Būtina apskaičiuoti n! (n faktorinis). Prisiminkite faktorialo apibrėžimą.
Žemiau yra algoritmo blokinė schema. Jame naudojami trys sveikųjų skaičių tipo kintamieji: n yra argumentas; i yra tarpinis kintamasis; F yra rezultatas. Algoritmo teisingumui patikrinti buvo sukurta sekimo lentelė. Tokioje lentelėje konkrečioms pradinių duomenų reikšmėms į algoritmą įtrauktų kintamųjų pokyčiai atsekami žingsniais. Ši lentelė sudaryta atvejui n=3.
Pėdsakas įrodo algoritmo teisingumą. Dabar parašykime šį algoritmą algoritmine kalba.
alg Faktorinis
visas n, i, F
ankstiįvestis n
F:=1; aš:=1
Ate aš £n, kartoti
nc F:=F'i
Šis algoritmas turi ciklinę struktūrą. Algoritmas naudoja struktūrinę komandą "ciklas-while" arba "ciklas su išankstine sąlyga". Bendras komandos „loop-bye“ vaizdas struktūrinėse diagramose ir EL yra toks:
Komandų serijos (ciklo korpuso) vykdymas kartojamas, kol ciklo sąlyga yra teisinga. Kai sąlyga tampa klaidinga, ciklas baigiasi. Tarnybiniai žodžiai „nts“ ir „kts“ atitinkamai žymi ciklo pradžią ir ciklo pabaigą.
Ciklas su prielaida yra pagrindinė, bet ne vienintelė ciklinių algoritmų organizavimo forma. Kitas variantas yra kilpa su sąlyga. Grįžkime prie kvadratinės lygties sprendimo algoritmo. Tai galima padaryti iš šios pozicijos: jei a=0, tai nebėra kvadratinė lygtis ir į ją galima nekreipti dėmesio. Tokiu atveju manysime, kad vartotojas suklydo įvesdamas duomenis ir turėtų būti paragintas pakartoti įvedimą. Kitaip tariant, algoritmas užtikrins pradinių duomenų patikimumo kontrolę, suteikiant vartotojui galimybę ištaisyti klaidą. Tokios kontrolės buvimas yra dar vienas geros programos kokybės požymis.
Apskritai struktūrinė komanda "ciklas su sąlyga" arba "ciklas prieš" vaizduojama taip:
Čia naudojama kilpos užbaigimo sąlyga. Kai tai tampa tiesa, ciklas baigiasi.
Sudarykite algoritmą, kaip išspręsti šią problemą: duoti du natūralieji skaičiai M ir N. Reikia apskaičiuoti didžiausią jų bendrą daliklį - gcd(M,N).
Ši problema išspręsta naudojant metodą, žinomą kaip Euklido algoritmas. Jo idėja pagrįsta savybe, kad jei M>N, tada gcd(M 1) jei skaičiai yra lygūs, kaip atsakymą paimkite bendrą jų reikšmę; kitu atveju tęsti algoritmo vykdymą; 2) nustatyti didesnį iš skaičių; 3) pakeiskite didesnį skaičių skirtumu tarp didesnės ir mažesnės reikšmės; 4) grįžti prie 1 dalies įgyvendinimo. AL blokinė schema ir algoritmas bus tokie: Algoritmas turi kilpos struktūrą su įdėtomis šakomis. Atlikite šio algoritmo atsekimą, jei M=18, N=12. Rezultatas yra gcd=6, o tai akivaizdžiai tiesa. skaidrė 2 Kvadratinių lygčių ciklas algebros pamokų 8 klasėje pagal vadovėlį A.G. Mordkovičius Mokytojas MBOU Grushevskaya vidurinė mokykla Kireeva T.A. skaidrė 3 Uždaviniai: supažindinti su kvadratinės lygties sąvokomis, kvadratinės lygties šaknimi; parodyti kvadratinių lygčių sprendinius; formuoti gebėjimą spręsti kvadratines lygtis; parodykite būdą, kaip išspręsti visas kvadratines lygtis, naudojant kvadratinės lygties šaknų formulę. skaidrė 4 skaidrė 5 Šiek tiek istorijos Kvadratinės lygtys senovės Babilone. Poreikį spręsti ne tik pirmojo, bet ir antrojo laipsnio lygtis dar senovėje lėmė poreikis spręsti problemas, susijusias su karinio pobūdžio žemės plotų ir žemės darbų paieška, astronomijos raida. ir pati matematika. Babiloniečiai mokėjo spręsti kvadratines lygtis maždaug 2000 metų prieš mūsų tikėjimą. Taikant šiuolaikinį algebrinį žymėjimą, galima teigti, kad jų dantiraščio tekstuose, be nepilnų, yra ir tokių, pavyzdžiui, pilnųjų kvadratinių lygčių. skaidrė 6 Šių lygčių sprendimo taisyklė, išdėstyta babiloniečių tekstuose, sutampa su šiuolaikine, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai priėjo prie šios taisyklės. Beveik visuose iki šiol rastuose dantiraščio tekstuose pateikiamos tik receptų forma pateiktų sprendimų problemos, nenurodant, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto algebros išsivystymo lygio Babilonijoje, neigiamo skaičiaus sąvokos ir bendrųjų kvadratinių lygčių sprendimo metodų cuneiforminiuose tekstuose nėra. 7 skaidrė Apibrėžimas 1. Kvadratinė lygtis yra tokios formos lygtis, kurioje koeficientai a, b, c yra bet kokie realieji skaičiai, o daugianario vadinamas kvadratiniu trinario. a yra pirmasis arba didžiausias koeficientas c yra antrasis koeficientas c yra laisvasis narys 8 skaidrė Apibrėžimas 2. Kvadratinė lygtis vadinama redukuota, jei jos pirmaujantis koeficientas lygus 1; kvadratinė lygtis vadinama neredukuota, jei pirmaujantis koeficientas skiriasi nuo 1. Pavyzdys. 2 - 5 + 3 = 0 - neredukuota kvadratinė lygtis - sumažinta kvadratinė lygtis 9 skaidrė 3 apibrėžimas. Pilna kvadratinė lygtis yra kvadratinė lygtis, kurioje yra visi trys nariai. a + in + c \u003d 0 Nebaigta kvadratinė lygtis yra lygtis, kurioje nėra visų trijų narių; yra lygtis, kuriai bent vienas iš, c koeficientų yra lygus nuliui. 10 skaidrė Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo būdai. skaidrė 11 Išspręskite užduotis Nr. 24.16 (a, b) Išspręskite lygtį: arba Atsakymas. arba Atsakymas. skaidrė 12 4 apibrėžimas Kvadratinės lygties šaknis yra bet kokia kintamojo x reikšmė, kuriai esant kvadratinis trinaris išnyksta; tokia kintamojo x reikšmė dar vadinama kvadratinio trinalio šaknimi Išspręsti kvadratinę lygtį reiškia surasti visas jos šaknis arba nustatyti, kad šaknų nėra. skaidrė 13 Kvadratinės lygties diskriminantas D 0 D=0 Lygtis neturi šaknų Lygtis turi dvi šaknis Lygtis turi vieną šaknį Kvadratinės lygties šaknų formulės 14 skaidrė D>0 kvadratinė lygtis turi dvi šaknis, kurios randamos pagal formules Pavyzdys. Išspręskite lygtį Sprendimas. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Atsakymas: 1; -3 skaidrė 15 Kvadratinės lygties sprendimo algoritmas 1. Apskaičiuokite diskriminantą D pagal formulę D = 2. Jei D 0, tai kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Svarbios pastabos! Sąvokoje „kvadratinė lygtis“ pagrindinis žodis yra „kvadratinė“. Tai reiškia, kad lygtyje būtinai turi būti kintamasis (tas pats X) kvadrate ir tuo pačiu metu neturėtų būti X trečiajame (ar didesniame) laipsnyje. Daugelio lygčių sprendimas redukuojamas į kvadratinių lygčių sprendinį. Išmokime nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kokią nors kitą. 1 pavyzdys Atsikratykite vardiklio ir kiekvieną lygties narį padauginkite iš Viską perkelkime į kairę pusę ir sudėkime terminus x laipsnių mažėjimo tvarka Dabar galime drąsiai teigti, kad ši lygtis yra kvadratinė! 2 pavyzdys Padauginkite kairę ir dešinę puses iš: Ši lygtis, nors ir iš pradžių joje buvo, nėra kvadratas! 3 pavyzdys Padauginkime viską iš: Baugus? Ketvirtasis ir antrasis laipsniai... Tačiau jei pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį: 4 pavyzdys Atrodo, kad taip, bet pažiūrėkime atidžiau. Viską perkelkime į kairę pusę: Matote, ji susitraukė – ir dabar tai paprasta tiesinė lygtis! Dabar pabandykite patys nustatyti, kurios iš šių lygčių yra kvadratinės, o kurios ne: Pavyzdžiai: Atsakymai: Matematikai sąlyginai padalija visas kvadratines lygtis į šiuos tipus: Jie yra neišsamūs, nes juose trūksta kažkokio elemento. Bet lygtyje visada turi būti x kvadratas !!! Priešingu atveju tai bus nebe kvadratinė, o kažkokia kita lygtis. Kodėl jie sugalvojo tokį skirstymą? Atrodytų, kad yra X kvadratas, ir gerai. Toks padalijimas yra dėl sprendimo būdų. Panagrinėkime kiekvieną iš jų išsamiau. Pirma, sutelkime dėmesį į nepilnų kvadratinių lygčių sprendimą – jos daug paprastesnės! Neišsamios kvadratinės lygtys yra šių tipų: 1. i. Kadangi žinome, kaip paimti kvadratinę šaknį, išreikškime iš šios lygties Išraiška gali būti neigiama arba teigiama. Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius visada bus teigiamas skaičius, taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių. Ir jei, tada mes gauname dvi šaknis. Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia, kad visada turėtumėte žinoti ir atsiminti, kad jo negali būti mažiau. Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių. 5 pavyzdys: Išspręskite lygtį Dabar belieka ištraukti šaknį iš kairės ir dešinės dalių. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis? Atsakymas: Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!!! 6 pavyzdys: Išspręskite lygtį Atsakymas: 7 pavyzdys: Išspręskite lygtį Ach! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis jokių šaknų! Tokioms lygtims, kuriose nėra šaknų, matematikai sugalvojo specialią piktogramą - (tuščias rinkinys). O atsakymą galima parašyti taip: Atsakymas: Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes mes neištraukėme šaknies. Išspręskite lygtį Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų: Taigi, Ši lygtis turi dvi šaknis. Atsakymas: Paprasčiausias nepilnų kvadratinių lygčių tipas (nors visos paprastos, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: Čia apsieisime be pavyzdžių. Primename, kad visa kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur Išspręsti visas kvadratines lygtis yra šiek tiek sudėtingesnis (tik šiek tiek) nei pateiktas. Prisiminti, bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas. Likę metodai padės tai padaryti greičiau, bet jei kyla problemų dėl kvadratinių lygčių, pirmiausia įvaldykite sprendimą naudodami diskriminantą. Spręsti kvadratines lygtis tokiu būdu yra labai paprasta, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Jei, tai lygtis turi šaknį.Ypatingą dėmesį reikia skirti žingsniui. Diskriminantas () nurodo lygties šaknų skaičių. Grįžkime prie savo lygčių ir pažvelkime į keletą pavyzdžių. 9 pavyzdys: Išspręskite lygtį 1 žingsnis praleisti. 2 žingsnis Raskite diskriminantą: Taigi lygtis turi dvi šaknis. 3 veiksmas Atsakymas: 10 pavyzdys: Išspręskite lygtį Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti. 2 žingsnis Raskite diskriminantą: Taigi lygtis turi vieną šaknį. Atsakymas: 11 pavyzdys: Išspręskite lygtį Lygtis yra standartinės formos, taigi 1 žingsnis praleisti. 2 žingsnis Raskite diskriminantą: Tai reiškia, kad mes negalėsime išgauti šaknies iš diskriminanto. Lygties šaknų nėra. Dabar mes žinome, kaip teisingai užrašyti tokius atsakymus. Atsakymas: jokių šaknų Jei prisimenate, yra tokio tipo lygtys, kurios vadinamos sumažintomis (kai koeficientas a yra lygus): Tokias lygtis labai lengva išspręsti naudojant Vietos teoremą: Šaknų suma duota kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų sandauga yra lygi. 12 pavyzdys: Išspręskite lygtį Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes . Lygties šaknų suma yra, t.y. gauname pirmąją lygtį: O produktas yra: Sukurkime ir išspręskime sistemą: ir yra sistemos sprendimas: Atsakymas: ; . 13 pavyzdys: Išspręskite lygtį Atsakymas: 14 pavyzdys: Išspręskite lygtį Lygtis sumažinama, o tai reiškia: Atsakymas: Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur - nežinomas, - kai kurie skaičiai, be to. Skaičius vadinamas didžiausiu arba pirmasis koeficientas kvadratinė lygtis, - antrasis koeficientas, a - nemokamas narys. Kodėl? Nes jei, lygtis iš karto taps tiesinė, nes išnyks. Šiuo atveju ir gali būti lygus nuliui. Šioje išmatų lygtis vadinama nepilna. Jei visi terminai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta. Pirmiausia išanalizuosime nepilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdus - jie yra paprastesni. Galima išskirti šiuos lygčių tipus: I. , šioje lygtyje koeficientas ir laisvasis narys yra lygūs. II. , šioje lygtyje koeficientas yra lygus. III. , šioje lygtyje laisvasis narys yra lygus. Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą. Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: Skaičius kvadratu negali būti neigiamas, nes padauginus du neigiamus arba du teigiamus skaičius, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Taigi: jei, tai lygtis neturi sprendinių; jei turime dvi šaknis Šių formulių nereikia įsiminti. Svarbiausia atsiminti, kad jo negali būti mažiau. Pavyzdžiai: Sprendimai: Atsakymas: Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu! Skaičiaus kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia, kad lygtis jokių šaknų. Norėdami trumpai parašyti, kad problema neturi sprendimų, naudojame tuščio rinkinio piktogramą. Atsakymas: Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir. Atsakymas: Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų: Produktas yra lygus nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai: Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir. Pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas: Suskaičiuojame kairę lygties pusę ir randame šaknis: Atsakymas: Tokiu būdu kvadratines lygtis išspręsti nesunku, svarbiausia atsiminti veiksmų seką ir porą formulių. Atminkite, kad bet kurią kvadratinę lygtį galima išspręsti naudojant diskriminantą! Net nepilnas. Ar pastebėjote diskriminanto šaknį šaknies formulėje? Tačiau diskriminantas gali būti neigiamas. Ką daryti? Ypatingą dėmesį turime skirti 2 žingsniui. Diskriminantas nurodo lygties šaknų skaičių. Tokios šaknys vadinamos dvigubomis šaknimis. Kodėl yra skirtingas šaknų skaičius? Pereikime prie kvadratinės lygties geometrinės reikšmės. Funkcijos grafikas yra parabolė: Konkrečiu atveju, kuris yra kvadratinė lygtis, . O tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra susikirtimo su x ašimi (ašiu) taškai. Parabolė gali išvis nekirsti ašies arba susikirsti viename (kai parabolės viršus guli ant ašies) arba dviejuose taškuose. Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolės šakų kryptį. Jei, tai parabolės šakos nukreiptos į viršų, o jei - tada žemyn. Pavyzdžiai: Sprendimai: Atsakymas: Atsakymas:. Atsakymas: Tai reiškia, kad sprendimų nėra. Atsakymas:. Naudoti Vietos teoremą labai paprasta: tereikia pasirinkti skaičių porą, kurios sandauga būtų lygi laisvajam lygties nariui, o suma lygi antrajam koeficientui, paimtam su priešingu ženklu. Svarbu atsiminti, kad Vietos teorema gali būti taikoma tik pateiktos kvadratinės lygtys (). Pažvelkime į kelis pavyzdžius: 1 pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas: Ši lygtis tinka sprendimui naudojant Vietos teoremą, nes . Kiti koeficientai: ; . Lygties šaknų suma yra tokia: O produktas yra: Išsirinkime tokias skaičių poras, kurių sandauga lygi, ir patikrinkime, ar jų suma lygi: ir yra sistemos sprendimas: Taigi ir yra mūsų lygties šaknys. Atsakymas: ; . 2 pavyzdys: Sprendimas: Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje, ir patikriname, ar jų suma yra lygi: ir: duoti iš viso. ir: duoti iš viso. Norint jį gauti, tereikia pakeisti tariamų šaknų požymius: ir, galų gale, produktą. Atsakymas: 3 pavyzdys: Sprendimas: Laisvasis lygties narys yra neigiamas, taigi šaknų sandauga yra neigiamas skaičius. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei viena iš šaknų yra neigiama, o kita - teigiama. Taigi šaknų suma yra jų modulių skirtumai. Parenkame tokias skaičių poras, kurios pateikiamos sandaugoje ir kurių skirtumas lygus: ir: jų skirtumas yra - netinka; ir: - netinka; ir: - netinka; ir: - tinka. Belieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turi būti lygi, tai šaknis, kuri yra mažesnė absoliučia verte, turi būti neigiama: . Mes tikriname: Atsakymas: 4 pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas: Lygtis sumažinama, o tai reiškia: Laisvasis terminas yra neigiamas, taigi ir šaknų sandauga yra neigiama. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena lygties šaknis yra neigiama, o kita – teigiama. Mes pasirenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi, ir tada nustatome, kurios šaknys turi turėti neigiamą ženklą: Akivaizdu, kad tik šaknys ir tinka pirmajai sąlygai: Atsakymas: 5 pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas: Lygtis sumažinama, o tai reiškia: Šaknų suma yra neigiama, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų produktas yra teigiamas, tai reiškia, kad abi šaknys yra minusinės. Parenkame tokias skaičių poras, kurių sandauga yra lygi: Akivaizdu, kad šaknys yra skaičiai ir. Atsakymas: Sutikite, labai patogu – sugalvoti šaknis žodžiu, o ne skaičiuoti šį bjaurų diskriminantą. Stenkitės kuo dažniau naudoti Vietos teoremą. Tačiau Vieta teorema reikalinga, kad būtų lengviau ir greičiau rasti šaknis. Kad jį naudoti būtų pelninga, turite automatizuoti veiksmus. Ir tam išspręskite dar penkis pavyzdžius. Tačiau neapgaudinėkite: jūs negalite naudoti diskriminanto! Tik Vietos teorema: Savarankiško darbo užduočių sprendimai: Užduotis 1. ((x)^(2))-8x+12=0 Pagal Vietos teoremą: Kaip įprasta, atranką pradedame nuo prekės: Netinka, nes kiekis; : suma yra tokia, kokios jums reikia. Atsakymas: ; . 2 užduotis. Ir vėl mūsų mėgstamiausia Vietos teorema: suma turėtų pasirodyti, bet sandauga lygi. Bet kadangi turėtų būti ne, o, keičiame šaknų ženklus: ir (iš viso). Atsakymas: ; . 3 užduotis. Hmm... Kur tai yra? Būtina visas sąlygas perkelti į vieną dalį: Šaknų suma lygi sandaugai. Taip, sustok! Lygtis nepateikta. Tačiau Vietos teorema taikoma tik pateiktose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pateikti lygtį. Jei negalite to iškelti, atsisakykite šios idėjos ir išspręskite ją kitu būdu (pavyzdžiui, per diskriminantą). Leiskite jums priminti, kad pateikti kvadratinę lygtį reiškia pirminį koeficientą padaryti lygų: gerai. Tada šaknų suma lygi, o sandauga. Čia pasiimti lengviau: juk – pirminis skaičius (atsiprašau už tautologiją). Atsakymas: ; . 4 užduotis. Laisvas terminas yra neigiamas. Kuo jis ypatingas? Ir tai, kad šaknys bus skirtingų ženklų. O dabar atrankos metu tikriname ne šaknų sumą, o skirtumą tarp jų modulių: šis skirtumas lygus, bet sandauga. Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra su minusu. Vietos teorema sako, kad šaknų suma yra lygi antrajam koeficientui su priešingu ženklu, ty. Tai reiškia, kad mažesnė šaknis turės minusą: ir, kadangi. Atsakymas: ; . 5 užduotis. Ką pirmiausia reikia padaryti? Teisingai, pateikite lygtį: Vėlgi: pasirenkame skaičiaus veiksnius, o jų skirtumas turi būti lygus: Šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų yra minusas. Kuris? Jų suma turi būti lygi, o tai reiškia, kad su minusu bus didesnė šaknis. Atsakymas: ; . Jei visi terminai, turintys nežinomąjį, yra vaizduojami kaip terminai iš sutrumpintos daugybos formulių – sumos arba skirtumo kvadratu, tai pasikeitus kintamiesiems, lygtis gali būti vaizduojama kaip nepilna kvadratinė tokio tipo lygtis. Pavyzdžiui: 1 pavyzdys: Išspręskite lygtį: . Sprendimas: Atsakymas: 2 pavyzdys: Išspręskite lygtį: . Sprendimas: Atsakymas: Apskritai transformacija atrodys taip: Tai reiškia:. Ar tai nieko neprimena? Tai diskriminantas! Būtent taip buvo gauta diskriminanto formulė. Kvadratinė lygtis yra formos lygtis, kur yra nežinomasis, yra kvadratinės lygties koeficientai, yra laisvasis narys. Pilna kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientai nėra lygūs nuliui. Sumažinta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas, tai yra: . Nebaigta kvadratinė lygtis- lygtis, kurioje koeficientas ir (arba) laisvasis narys c yra lygūs nuliui: 1. Nepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimo algoritmas 1.1. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur: 1) Išreikškite nežinomybę: , 2) Patikrinkite išraiškos ženklą: 1.2. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur: 1) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų: , 2) sandauga lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Todėl lygtis turi dvi šaknis: 1.3. Nebaigta kvadratinė formos lygtis, kur: Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį: . 2. Algoritmas sprendžiant pilnąsias kvadratines lygtis formos kur 2.1. Sprendimas naudojant diskriminantą 1) Perkelkime lygtį į standartinę formą: , 2) Apskaičiuokite diskriminantą pagal formulę: , kuri nurodo lygties šaknų skaičių: 3) Raskite lygties šaknis: 2.2. Sprendimas naudojant Vietos teoremą Sumažintos kvadratinės lygties (formos lygties, kur) šaknų suma yra lygi, o šaknų sandauga lygi, t.y. , a. 2.3. Pilno kvadrato sprendimas Jei formos kvadratinė lygtis turi šaknis, tada ją galima parašyti tokia forma: . Na, tema baigta. Jei skaitote šias eilutes, esate labai šaunus. Nes tik 5% žmonių sugeba ką nors įvaldyti patys. Ir jei perskaitėte iki galo, tada esate 5%! Dabar svarbiausia. Jūs supratote teoriją šia tema. Ir, kartoju, tai... tai tiesiog super! Tu jau esi geresnis už didžiąją daugumą tavo bendraamžių. Problema ta, kad to gali nepakakti... Kam? Už sėkmingą egzamino išlaikymą, įstojimą į institutą už biudžetą ir, SVARBIAUSIA, iki gyvos galvos. Niekuo tavęs neįtikinsiu, pasakysiu tik vieną dalyką... Žmonės, gavę gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie jo negavo. Tai yra statistika. Tačiau tai nėra pagrindinis dalykas. Svarbiausia, kad jie būtų LAIMINGESNI (yra tokių tyrimų). Galbūt todėl, kad prieš juos atsiveria daug daugiau galimybių ir gyvenimas tampa šviesesnis? nezinau... Bet pagalvok pats... Ko reikia, kad egzamino metu būtumėte geresni už kitus ir galiausiai būtumėte... laimingesni? UŽPILDYK RANKĄ, SPRENDŽI ŠIOS TEmos problemas. Egzamine jums nebus klausiama teorijos. Jums reikės laiku išspręsti problemas. Ir, jei jų neišsprendėte (DAUG!), tikrai kur nors padarysite kvailą klaidą arba tiesiog nepadarysite jos laiku. Tai kaip sporte – reikia daug kartų kartoti, kad laimėtum užtikrintai. Raskite kolekciją bet kur, kur norite būtinai su sprendimais, detalia analize ir nuspręsk, nuspręsk, nuspręsk! Galite pasinaudoti mūsų užduotimis (nebūtina) ir mes jas tikrai rekomenduojame. Kad galėtumėte pasinaudoti mūsų užduotimis, turite padėti pratęsti šiuo metu skaitomo YouClever vadovėlio gyvavimo laiką. Kaip? Yra dvi parinktys: Taip, vadovėlyje turime 99 tokius straipsnius ir iš karto galima atidaryti visas užduotis ir visus paslėptus tekstus. Prieiga prie visų paslėptų užduočių suteikiama visą svetainės veikimo laiką. Apibendrinant... Jei jums nepatinka mūsų užduotys, susiraskite kitus. Tiesiog nesustokite ties teorija. „Supratau“ ir „Aš žinau, kaip išspręsti“ yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų. Raskite problemas ir spręskite!
1. Jei vietoj formulių matote abrakadabra, išvalykite talpyklą. Kaip tai padaryti savo naršyklėje, parašyta čia:
2. Prieš pradėdami skaityti straipsnį, atkreipkite dėmesį į mūsų navigatorių, kuriame rasite naudingiausią šaltinįNepilniųjų kvadratinių lygčių sprendimas
8 pavyzdys:Pilnų kvadratinių lygčių sprendimas
1. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant diskriminantą.
2. Kvadratinių lygčių sprendimas naudojant Vietos teoremą.
Kvadratinės LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS
Kas yra kvadratinė lygtis?
Įvairių tipų kvadratinių lygčių sprendimai
Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:
Pilnų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:
1. Diskriminantas
2. Vietos teorema
Leiskite man apibendrinti:
3. Pilno kvadrato pasirinkimo būdas
Kvadratinės LYGTYBĖS. TRUMPAI APIE PAGRINDINĮ