सरासरी काय दाखवते. सारांश: आकडेवारीमध्ये वापरलेली सरासरी मूल्ये

इयत्ता 6-7 च्या गणित कार्यक्रमात अंकगणित आणि भौमितिक सरासरीचा विषय समाविष्ट केला आहे. परिच्छेद समजण्यास अगदी सोपा असल्याने, तो त्वरीत पार केला जातो आणि निष्कर्ष काढला जातो शालेय वर्षविद्यार्थी ते विसरतात. पण त्यासाठी मूलभूत आकडेवारीचे ज्ञान आवश्यक आहे परीक्षा उत्तीर्ण, तसेच आंतरराष्ट्रीय SAT परीक्षांसाठी. होय आणि साठी रोजचे जीवनविकसित विश्लेषणात्मक विचार कधीही दुखत नाही.

अंकांचे अंकगणित आणि भौमितिक माध्य कसे काढायचे

समजा संख्यांची एक शृंखला आहे: 11, 4, आणि 3. अंकगणित मध्य म्हणजे दिलेल्या संख्यांच्या संख्येने भागलेल्या सर्व संख्यांची बेरीज आहे. म्हणजेच, 11, 4, 3 या संख्येच्या बाबतीत उत्तर 6 असेल. 6 कसे प्राप्त होते?

उपाय: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

भाजकामध्ये ज्या संख्यांची सरासरी शोधायची आहे त्या संख्येइतकी संख्या असणे आवश्यक आहे. तीन संज्ञा असल्यामुळे बेरीज 3 ने भागता येते.

आता आपल्याला भौमितिक सरासरीचा सामना करणे आवश्यक आहे. समजा संख्यांची मालिका आहे: 4, 2 आणि 8.

भौमितिक माध्य हा सर्व दिलेल्या संख्यांचा गुणाकार आहे, जो दिलेल्या संख्यांच्या संख्येइतकाच अंश असलेल्या मुळाखाली आहे. म्हणजेच, 4, 2 आणि 8 च्या बाबतीत, उत्तर 4 आहे. ते कसे घडले ते येथे आहे :

उपाय: ∛(4 × 2 × 8) = 4

दोन्ही पर्यायांमध्ये, संपूर्ण उत्तरे मिळाली, कारण विशेष संख्या उदाहरण म्हणून घेतली गेली. हे नेहमीच होत नाही. बहुतेक प्रकरणांमध्ये, उत्तर गोलाकार किंवा मुळावर सोडले पाहिजे. उदाहरणार्थ, 11, 7 आणि 20 अंकांसाठी, अंकगणित सरासरी ≈ 12.67 आहे आणि भौमितिक मध्य ∛1540 आहे. आणि संख्या 6 आणि 5 साठी, उत्तरे अनुक्रमे 5.5 आणि √30 असतील.

असे घडू शकते का की अंकगणितीय माध्य भौमितिक माध्येइतके होईल?

अर्थात ते होऊ शकते. पण फक्त दोन प्रकरणांमध्ये. जर संख्यांची मालिका असेल ज्यामध्ये फक्त एक किंवा शून्य असेल. हे देखील लक्षात घेण्यासारखे आहे की उत्तर त्यांच्या संख्येवर अवलंबून नाही.

एककांसह पुरावा: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (अंकगणित सरासरी).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (भूमितीय मध्य).

शून्यासह पुरावा: (0 + 0) / 2=0 (अंकगणितीय सरासरी).

√(0 × 0) = 0 (भूमितीय मध्य).

दुसरा पर्याय नाही आणि असू शकत नाही.

गणित आणि सांख्यिकी मध्ये सरासरीअंकगणित (किंवा सहज सरासरीसंख्यांच्या संचाचा ) त्या संचातील सर्व संख्यांची बेरीज त्यांच्या संख्येने भागली जाते. अंकगणितीय सरासरी हे विशेषतः सामान्य आणि सर्वात सामान्य प्रतिनिधित्व आहे.

तुला गरज पडेल

• गणितातील ज्ञान.

सूचना

1. चार संख्यांचा संच द्या. शोधण्याची गरज आहे सरासरी अर्थहे किट. हे करण्यासाठी, आपण प्रथम या सर्व संख्यांची बेरीज शोधू. या संख्या शक्य आहेत 1, 3, 8, 7. त्यांची बेरीज S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19 सारखी आहे. संख्यांच्या संचामध्ये समान चिन्हाच्या संख्या असणे आवश्यक आहे, अन्यथा सरासरी मूल्याची गणना करताना अर्थ हरवले आहे.

2. सरासरी अर्थसंख्यांचा संच हा या संख्यांच्या संख्येने भागलेल्या S संख्यांच्या बेरजेइतका असतो. आहे, ते बाहेर वळते सरासरी अर्थसमान: 19/4 = 4.75.

3. संख्यांच्या संचासाठी, केवळ शोधणे देखील शक्य नाही सरासरीअंकगणित, पण सरासरीभौमितिक अनेक नियमित वास्तविक संख्यांचा भौमितीय मध्य म्हणजे अशी संख्या आहे जी यापैकी कोणतीही संख्या बदलू शकते जेणेकरून त्यांचे उत्पादन बदलू नये. भौमितिक मध्य G हा सूत्राद्वारे शोधला जातो: संख्यांच्या संचाच्या उत्पादनाच्या Nth अंशाचे मूळ, जेथे N ही संचातील संख्येची संख्या आहे. चला संख्यांचा समान संच पाहू: 1, 3, 8, 7. चला ते शोधूया सरासरीभौमितिक हे करण्यासाठी, आम्ही उत्पादनाची गणना करतो: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. आता क्रमांक 168 वरून तुम्हाला 4 व्या अंशाचे मूळ काढण्याची आवश्यकता आहे: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. अशा प्रकारे सरासरीसंख्यांचा भौमितिक संच 3.61 आहे.

सरासरीभूमितीय माध्य अंकगणितीय सरासरीपेक्षा कमी वारंवार वापरला जातो, परंतु ते वेळोवेळी बदलणाऱ्या निर्देशकांच्या सरासरी मूल्याची गणना करण्यासाठी उपयुक्त ठरू शकते (वैयक्तिक कर्मचार्‍याचा पगार, शैक्षणिक कामगिरीची गतिशीलता इ.).

तुला गरज पडेल

• अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटर

सूचना

1. संख्यांच्या मालिकेचा भौमितीय मध्य शोधण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम या सर्व संख्यांचा गुणाकार करणे आवश्यक आहे. समजा तुम्हाला पाच निर्देशकांचा संच दिला आहे: 12, 3, 6, 9 आणि 4. चला या सर्व संख्यांचा गुणाकार करू: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. आता परिणामी संख्येवरून मालिकेच्या घटकांच्या संख्येइतके पदवीचे मूळ काढणे आवश्यक आहे. आमच्या बाबतीत, क्रमांक 7776 वरून पाचव्या डिग्री रूटचा वापर करून काढणे आवश्यक असेल अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटर. या ऑपरेशननंतर मिळालेली संख्या - या प्रकरणात, संख्या 6 - संख्यांच्या प्रारंभिक गटासाठी भौमितीय सरासरी असेल.

3. तुमच्या हातात अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटर नसल्यास, तुम्ही Excel मधील CPGEOM फंक्शनच्या समर्थनासह किंवा भौमितिक सरासरी मूल्यांची गणना करण्यासाठी जाणूनबुजून तयार केलेल्या ऑनलाइन कॅल्क्युलेटरपैकी एक वापरून संख्यांच्या मालिकेतील भौमितिक सरासरी काढू शकता.

लक्षात ठेवा!
जर तुम्हाला 2 संख्यांसाठी प्रत्येकाचा भौमितीय मध्य शोधायचा असेल, तर तुम्हाला अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटरची गरज नाही: 2 रा अंशाचे मूळ काढा ( वर्गमुळ) सर्वात सामान्य कॅल्क्युलेटरच्या मदतीने कोणत्याही क्रमांकावरून परवानगी आहे.

उपयुक्त सल्ला
अंकगणित सरासरीच्या विरूद्ध, अभ्यास केलेल्या निर्देशकांच्या संचामधील वैयक्तिक मूल्यांमधील प्रचंड विचलन आणि चढ-उतारांमुळे भौमितिक माध्य इतका प्रभावीपणे प्रभावित होत नाही.

सरासरीमूल्य हे संख्यांच्या संचापैकी एक आहे. संख्यांच्या या संचामधील सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्यांद्वारे परिभाषित केलेल्या श्रेणीच्या बाहेर नसलेल्या संख्येचे प्रतिनिधित्व करते. सरासरीअंकगणित मूल्य हे विशेषतः सामान्यतः वापरलेली सरासरी विविधता आहे.

सूचना

1. संचातील सर्व संख्या जोडा आणि अंकगणित सरासरी मिळवण्यासाठी त्यांना पदांच्या संख्येने भागा. मोजणीच्या काही अटींवर अवलंबून, संचाच्या मूल्यांच्या संख्येने कोणत्याही संख्येचे विभाजन करणे आणि एकूण बेरीज करणे कधीकधी सोपे असते.

2. तुमच्या डोक्यात अंकगणित सरासरी मोजणे शक्य नसल्यास, Windows OS सह समाविष्ट केलेले कॅल्क्युलेटर वापरा. हे प्रोग्राम लॉन्च डायलॉगच्या समर्थनासह उघडले जाऊ शकते. हे करण्यासाठी, "बर्निंग की" WIN + R दाबा किंवा "प्रारंभ" बटणावर क्लिक करा आणि मुख्य मेनूमधून "रन" कमांड निवडा. त्यानंतर, इनपुट फील्ड कॅल्क टाइप करा आणि कीबोर्डवर एंटर दाबा किंवा "ओके" बटण क्लिक करा. हेच मुख्य मेनूद्वारे केले जाऊ शकते - ते उघडा, "सर्व प्रोग्राम्स" विभागात जा आणि "नमुनेदार" विभागांवर जा आणि "कॅल्क्युलेटर" ओळ निवडा.

3. कीबोर्डवरील प्लस की दाबून (शेवटच्या व्यतिरिक्त) किंवा कॅल्क्युलेटर इंटरफेसमधील संबंधित बटणावर क्लिक करून संचातील सर्व क्रमांक टप्प्याटप्प्याने प्रविष्ट करा. कीबोर्डवरून आणि संबंधित इंटरफेस बटणावर क्लिक करून क्रमांक प्रविष्ट करण्यास देखील अनुमती आहे.

4. स्लॅश की दाबा किंवा शेवटचे सेट मूल्य प्रविष्ट केल्यानंतर कॅल्क्युलेटर इंटरफेसमधील या चिन्हावर क्लिक करा आणि अनुक्रमातील संख्यांची संख्या टाइप करा. नंतर समान चिन्ह दाबा आणि कॅल्क्युलेटर अंकगणित सरासरी काढेल आणि प्रदर्शित करेल.

5. त्याच उद्देशासाठी स्प्रेडशीट संपादक मायक्रोसॉफ्ट एक्सेल वापरण्याची परवानगी आहे. या प्रकरणात, संपादक सुरू करा आणि समीप सेलमध्ये संख्यांच्या क्रमाची सर्व मूल्ये प्रविष्ट करा. जर, संपूर्ण संख्या प्रविष्ट केल्यानंतर, आपण एंटर किंवा डाउन किंवा उजवी बाण की दाबल्यास, संपादक स्वतः इनपुट फोकस जवळच्या सेलवर हलवेल.

6. प्रविष्ट केलेली सर्व मूल्ये निवडा आणि संपादक विंडोच्या खालच्या डाव्या कोपर्यात (स्टेटस बारमध्ये) तुम्हाला निवडलेल्या सेलसाठी अंकगणित सरासरी दिसेल.

7. जर तुम्ही फक्त अंकगणितीय सरासरी पाहू इच्छित असाल तर तुम्ही प्रविष्ट केलेल्या शेवटच्या संख्येच्या पुढील सेलवर क्लिक करा. "मूलभूत" टॅबवरील आदेशांच्या "संपादन" गटातील ग्रीक अक्षर सिग्मा (Σ) च्या प्रतिमेसह ड्रॉप-डाउन सूची विस्तृत करा. ओळ निवडा " सरासरीआणि संपादक निवडलेल्या सेलमध्ये अंकगणित सरासरी मोजण्यासाठी आवश्यक सूत्र समाविष्ट करेल. एंटर की दाबा आणि मूल्य मोजले जाईल.

गणित आणि सांख्यिकीय गणनेमध्ये मोठ्या प्रमाणावर वापरल्या जाणार्‍या मध्यवर्ती प्रवृत्तीच्या उपायांपैकी एक म्हणजे अंकगणितीय माध्य. अनेक मूल्यांसाठी अंकगणित सरासरी शोधणे खूप सोपे आहे, परंतु प्रत्येक कार्याचे स्वतःचे बारकावे असतात, ज्या तुम्हाला अचूक गणना करण्यासाठी माहित असणे आवश्यक आहे.

अंकगणित म्हणजे काय

अंकगणितीय सरासरी संख्यांच्या प्रत्येक प्रारंभिक अॅरेसाठी सरासरी मूल्य निर्धारित करते. दुसऱ्या शब्दांत, संख्यांच्या विशिष्ट संचामधून, सर्व घटकांसाठी सार्वत्रिक मूल्य निवडले जाते, ज्याची गणितीय तुलना सर्व घटकांसह अंदाजे समान असते. आर्थिक आणि सांख्यिकीय अहवाल संकलित करताना किंवा सादर केलेल्या तत्सम कौशल्यांच्या परिमाणवाचक परिणामांची गणना करताना अंकगणित सरासरीचा वापर केला जातो.

अंकगणिताचा अर्थ कसा शोधायचा

अंकांच्या अ‍ॅरेसाठी अंकगणितीय मध्याचा शोध या मूल्यांची बीजगणितीय बेरीज ठरवण्यापासून सुरू झाला पाहिजे. उदाहरणार्थ, जर अॅरेमध्ये 23, 43, 10, 74 आणि 34 संख्या असतील तर त्यांची बीजगणितीय बेरीज 184 असेल. लिहिताना, अंकगणितीय सरासरी अक्षराने दर्शविली जाते? (mu) किंवा x (डॅशसह x). पुढे, बीजगणितीय बेरीज अॅरेमधील संख्यांच्या संख्येने भागली पाहिजे. या उदाहरणात, पाच संख्या होत्या, त्यामुळे अंकगणित सरासरी 184/5 असेल आणि 36.8 असेल.

नकारात्मक संख्यांसह कार्य करण्याची वैशिष्ट्ये

अ‍ॅरेमध्ये ऋण संख्या असल्यास, समान अल्गोरिदम वापरून अंकगणितीय सरासरी आढळते. प्रोग्रामिंग वातावरणात गणना करताना किंवा कार्यामध्ये अतिरिक्त डेटा असल्यास फरक असतो. या प्रकरणांमध्ये, भिन्न चिन्हांसह संख्यांचे अंकगणितीय मध्य शोधणे तीन चरणांवर येते: 1. मानक पद्धतीने सामान्य अंकगणित सरासरी शोधणे; 2. ऋण संख्यांचा अंकगणितीय मध्य शोधणे.3. सकारात्मक संख्यांच्या अंकगणित मध्याची गणना. कोणत्याही क्रियेचे परिणाम स्वल्पविरामाने विभक्त केले जातात.

नैसर्गिक आणि दशांश अपूर्णांक

जर संख्यांचा अॅरे सादर केला असेल दशांश, पूर्णांकांच्या अंकगणितीय सरासरीची गणना करण्याच्या पद्धतीनुसार समाधान येते, परंतु निकालाच्या अचूकतेसाठी समस्येच्या आवश्यकतेनुसार एकूण कमी केले जाते. नैसर्गिक अपूर्णांकांसह कार्य करताना, ते सामान्य भाजकापर्यंत कमी केले पाहिजेत, अॅरेमधील संख्यांच्या संख्येने गुणाकार केलेला एक. परिणामाचा अंश हा प्रारंभिक अपूर्णांक घटकांच्या कमी केलेल्या अंशांची बेरीज असेल.

संख्यांचा भौमितिक माध्य केवळ संख्यांच्या निरपेक्ष मूल्यावर अवलंबून नाही तर त्यांच्या संख्येवर देखील अवलंबून असतो. भौमितिक माध्य आणि मध्यभागी गोंधळ करणे अशक्य आहे अंकगणित संख्या, ते वेगवेगळ्या पद्धतींवर आहेत या वस्तुस्थितीवरून. भौमितिक माध्य हा अंकगणितीय माध्यापेक्षा नेहमीच कमी किंवा समान असतो.

तुला गरज पडेल

• अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटर.

सूचना

1. विचारात घ्या की सामान्य स्थितीत संख्यांचा भौमितीय माध्य या संख्यांचा गुणाकार करून आणि त्यामधून संख्यांच्या संख्येशी संबंधित असलेल्या अंशाचे मूळ काढले जाते. म्हणा, जर तुम्हाला पाच संख्यांचा भौमितीय मध्य शोधायचा असेल, तर उत्पादनातून पाचव्या अंशाचे मूळ काढणे आवश्यक असेल.

2. 2 संख्यांचा भौमितीय मध्य शोधण्यासाठी, मूळ नियम वापरा. त्यांचे उत्पादन शोधा, त्यानंतर त्यामधून वर्गमूळ काढा, ज्याची संख्या दोन आहे, जी मूळच्या अंशाशी संबंधित आहे. समजा, 16 आणि 4 संख्यांचा भौमितीय मध्य शोधण्यासाठी, त्यांचे गुणाकार 16 4=64 शोधा. परिणामी संख्येवरून, वर्गमूळ काढा? 64 = 8. हे इच्छित मूल्य असेल. कृपया लक्षात घ्या की या 2 संख्यांचा अंकगणितीय माध्य मोठा आहे आणि 10 च्या बरोबरीचा आहे. जर मूळ पूर्णपणे घेतले नाही, तर एकूण संख्या आवश्यक क्रमाने पूर्ण करा.

3. 2 पेक्षा जास्त संख्यांचा भौमितीय मध्य शोधण्यासाठी, मूलभूत नियम देखील वापरा. हे करण्यासाठी, सर्व संख्यांचे गुणाकार शोधा ज्यासाठी तुम्हाला भौमितिक सरासरी शोधण्याची आवश्यकता आहे. परिणामी उत्पादनातून, संख्यांच्या संख्येइतकी पदवीचे मूळ काढा. समजा, 2, 4 आणि 64 या संख्यांचे भौमितीय मध्य शोधण्यासाठी, त्यांचे उत्पादन शोधा. २ ४ ६४=५१२. या वस्तुस्थितीवरून 3 संख्यांचा एकूण भौमितीय मध्य शोधणे आवश्यक आहे, जे उत्पादनातून तृतीय अंशाचे मूळ काढते. हे तोंडी करणे कठीण आहे, म्हणून अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटर वापरा. हे करण्यासाठी, त्यात "x^y" बटण आहे. 512 नंबर डायल करा, “x^y” बटण दाबा, नंतर नंबर 3 डायल करा आणि “1/x” बटण दाबा, 1/3 मूल्य शोधण्यासाठी, “=” बटण दाबा. आम्हाला 1/3 च्या पॉवरमध्ये 512 वाढवण्याचा परिणाम मिळतो, जो तृतीय अंशाच्या मुळाशी संबंधित आहे. ५१२^१/३=८ मिळवा. हा 2.4 आणि 64 अंकांचा भौमितीय माध्य आहे.

4. अभियांत्रिकी कॅल्क्युलेटरच्या सहाय्याने, वेगळ्या पद्धतीचा वापर करून भौमितिक माध्य शोधणे शक्य आहे. कीबोर्डवरील लॉग बटण शोधा. त्यानंतर, सर्व संख्यांचे लॉगरिदम घ्या, त्यांची बेरीज शोधा आणि त्यास संख्यांच्या संख्येने भागा. परिणामी संख्येवरून, अँटिलोगॅरिथम घ्या. हा अंकांचा भौमितीय मध्य असेल. समजा, समान संख्या 2, 4 आणि 64 चे भौमितीय मध्य शोधण्यासाठी, कॅल्क्युलेटरवर ऑपरेशन्सचा एक संच बनवा. नंबर 2 डायल करा, नंतर लॉग बटण दाबा, "+" बटण दाबा, क्रमांक 4 डायल करा आणि लॉग दाबा आणि पुन्हा "+" दाबा, 64 डायल करा, लॉग दाबा आणि "=" दाबा. परिणाम संख्या 2, 4 आणि 64 च्या दशांश लॉगरिदमच्या बेरजेएवढी संख्या असेल. परिणामी संख्येला 3 ने विभाजित करा, कारण ही संख्या आहे ज्याद्वारे भौमितिक माध्य शोधला आहे. एकूण मधून, रजिस्टर बटण टॉगल करून अँटिलॉगरिथम घ्या आणि तीच लॉग की वापरा. परिणाम क्रमांक 8 असेल, हा इच्छित भौमितीय सरासरी आहे.

लक्षात ठेवा!
सरासरी मूल्य सेटमधील सर्वात मोठ्या संख्येपेक्षा मोठे आणि सर्वात लहान पेक्षा लहान असू शकत नाही.

उपयुक्त सल्ला
गणितीय आकडेवारीमध्ये, प्रमाणाच्या सरासरी मूल्याला गणितीय अपेक्षा म्हणतात.

सरासरी मूल्य- हे एक सामान्यीकरण सूचक आहे जे विशिष्ट परिमाणवाचक गुणधर्मानुसार गुणात्मक एकसंध लोकसंख्या दर्शवते. उदाहरणार्थ, सरासरी वयचोरीसाठी दोषी ठरलेल्या व्यक्ती.

न्यायिक आकडेवारीमध्ये, वैशिष्ट्यांसाठी सरासरी वापरली जातात:

या श्रेणीतील प्रकरणांचा विचार करण्याच्या सरासरी अटी;

मध्यम आकाराचा दावा;

प्रति केस प्रतिवादींची सरासरी संख्या;

नुकसानाची सरासरी रक्कम;

न्यायाधीशांचा सरासरी कामाचा ताण इ.

सरासरी मूल्य नेहमी नाव दिले जाते आणि लोकसंख्येच्या स्वतंत्र युनिटच्या गुणधर्माप्रमाणेच त्याचे परिमाण असते. प्रत्येक सरासरी मूल्यअभ्यास केलेल्या लोकसंख्येचे कोणत्याही एका भिन्न गुणधर्मानुसार वैशिष्ट्यीकृत करते, म्हणून, कोणत्याही सरासरीच्या मागे, अभ्यास केलेल्या गुणधर्मानुसार या लोकसंख्येच्या एककांच्या वितरणाची मालिका असते. सरासरीच्या प्रकाराची निवड निर्देशकाची सामग्री आणि सरासरी मोजण्यासाठी प्रारंभिक डेटाद्वारे निर्धारित केली जाते.

सांख्यिकीय अभ्यासामध्ये वापरल्या जाणार्‍या सर्व प्रकारच्या सरासरी दोन श्रेणींमध्ये मोडतात:

1) शक्ती सरासरी;

2) संरचनात्मक सरासरी.

सरासरीच्या पहिल्या श्रेणीमध्ये हे समाविष्ट आहे: अंकगणित मीन, हार्मोनिक मीन, भौमितिक मीन आणि रूट म्हणजे चौरस . दुसरी श्रेणी आहे फॅशनआणि मध्यक. शिवाय, प्रत्येक सूचीबद्ध प्रकारच्या उर्जा सरासरीचे दोन प्रकार असू शकतात: सोपे आणि भारित . साधा फॉर्मसरासरी मूल्य हे अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्याचे सरासरी मूल्य प्राप्त करण्यासाठी वापरले जाते जेव्हा गणना असंगठित सांख्यिकीय डेटावर केली जाते किंवा जेव्हा लोकसंख्येतील प्रत्येक प्रकार फक्त एकदाच होतो. भारित सरासरी ही मूल्ये आहेत जी विचारात घेतात की वैशिष्ट्याच्या मूल्यांच्या पर्यायांमध्ये भिन्न संख्या असू शकतात आणि म्हणून प्रत्येक पर्यायाला संबंधित वारंवारतेने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या शब्दांत, प्रत्येक पर्याय त्याच्या वारंवारतेनुसार "वजन" केला जातो. वारंवारतेला सांख्यिकीय वजन म्हणतात.

साधे अंकगणित सरासरी- माध्यमाचा सर्वात सामान्य प्रकार. हे विभाजित केलेल्या वैयक्तिक वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्यांच्या बेरजेइतके आहे एकूण संख्याही मूल्ये:

कुठे x 1 , x 2 , … , x N- व्हेरिएबल विशेषता (पर्याय) ची वैयक्तिक मूल्ये आणि N - लोकसंख्या एककांची संख्या.

अंकगणित भारित सरासरीजेव्हा डेटा वितरण मालिका किंवा गटांच्या स्वरूपात सादर केला जातो तेव्हा वापरला जातो. हे सर्व पर्यायांच्या फ्रिक्वेन्सीच्या बेरजेने भागून, पर्यायांच्या उत्पादनांची आणि त्यांच्या संबंधित फ्रिक्वेन्सीची बेरीज म्हणून मोजले जाते:

कुठे x i- अर्थ iवैशिष्ट्याचे -वे रूपे; fi- वारंवारता iव्या पर्याय.

अशाप्रकारे, प्रत्येक व्हेरियंटचे मूल्य त्याच्या वारंवारतेनुसार वजन केले जाते, म्हणूनच फ्रिक्वेन्सीला कधीकधी सांख्यिकीय वजन म्हटले जाते.

टिप्पणी.कधी आम्ही बोलत आहोतअंकगणित माध्य बद्दल त्याचा प्रकार निर्दिष्ट न करता, साधा अंकगणितीय माध्य म्हणजे.

तक्ता 12

निर्णय.गणनासाठी, आम्ही अंकगणित भारित सरासरीचे सूत्र वापरतो:

अशा प्रकारे, प्रत्येक फौजदारी खटल्यात सरासरी दोन प्रतिवादी आहेत.

जर सरासरी मूल्याची गणना मध्यांतर वितरण मालिकेच्या स्वरूपात गटबद्ध केलेल्या डेटानुसार केली गेली असेल, तर प्रथम तुम्हाला प्रत्येक अंतराल x "i ची मध्यवर्ती मूल्ये निर्धारित करणे आवश्यक आहे आणि नंतर सरासरी मूल्याची गणना करा. भारित अंकगणित सरासरी सूत्र, ज्यामध्ये x i च्या जागी x" i आहे.

उदाहरण.चोरीसाठी दोषी ठरलेल्या गुन्हेगारांच्या वयावरील डेटा टेबलमध्ये सादर केला आहे:

तक्ता 13

चोरीसाठी दोषी ठरलेल्या गुन्हेगारांचे सरासरी वय ठरवा.

निर्णय.मध्यांतर भिन्नता मालिकेवर आधारित गुन्हेगारांचे सरासरी वय निर्धारित करण्यासाठी, आपण प्रथम मध्यांतरांची मूल्ये शोधणे आवश्यक आहे. आम्हाला मध्यांतर मालिका दिली जात असल्याने प्रथम उघडाआणि शेवटचे मध्यांतर, नंतर या मध्यांतरांची मूल्ये समीप बंद मध्यांतरांच्या मूल्यांच्या बरोबरीने घेतली जातात. आमच्या बाबतीत, पहिल्या आणि शेवटच्या मध्यांतरांचे मूल्य 10 आहे.

आता आम्ही भारित अंकगणित सरासरी सूत्र वापरून गुन्हेगारांचे सरासरी वय शोधतो:

अशा प्रकारे, चोरीसाठी दोषी ठरलेल्या गुन्हेगारांचे सरासरी वय अंदाजे 27 वर्षे आहे.

सरासरी हार्मोनिक साधे वैशिष्ट्याच्या परस्पर मूल्यांच्या अंकगणितीय मध्याचे परस्पर आहे:

कुठे १/ x iपर्यायांचे परस्पर आहेत आणि N ही लोकसंख्या एककांची संख्या आहे.

उदाहरण.फौजदारी खटल्यांचा विचार करताना जिल्हा न्यायालयातील न्यायाधीशांवरील सरासरी वार्षिक कामाचा भार निश्चित करण्यासाठी या न्यायालयातील 5 न्यायाधीशांच्या कार्यभाराचे सर्वेक्षण करण्यात आले. सर्वेक्षण केलेल्या प्रत्येक न्यायाधीशासाठी एका फौजदारी खटल्यात घालवलेला सरासरी वेळ समान (दिवसांमध्ये): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. एकासाठी सरासरी खर्च शोधा फौजदारी खटले आणि फौजदारी खटल्यांचा विचार करताना या जिल्हा न्यायालयाच्या न्यायाधीशांवर सरासरी वार्षिक कामाचा भार.

निर्णय.एका गुन्हेगारी खटल्यात घालवलेला सरासरी वेळ निर्धारित करण्यासाठी, आम्ही हार्मोनिक साधे सूत्र वापरतो:

उदाहरणातील गणिते सोपी करण्यासाठी, आठवड्याच्या शेवटी 365 च्या बरोबरीने वर्षातील दिवसांची संख्या घेऊ (याचा गणना पद्धतीवर परिणाम होत नाही आणि सराव मध्ये समान निर्देशकाची गणना करताना, कामकाजाच्या संख्येची जागा घेणे आवश्यक आहे. 365 दिवसांऐवजी विशिष्ट वर्षातील दिवस). मग फौजदारी खटल्यांचा विचार करताना या जिल्हा न्यायालयाच्या न्यायाधीशांसाठी सरासरी वार्षिक कार्यभार असेल: 365 (दिवस): 5.56 ≈ 65.6 (केस).

एका फौजदारी खटल्यात घालवलेला सरासरी वेळ ठरवण्यासाठी जर आम्ही साधे अंकगणितीय सूत्र वापरले तर आम्हाला मिळेल:

365 (दिवस): 5.64 ≈ 64.7 (केस), उदा. न्यायाधीशांसाठी सरासरी कामाचा ताण कमी होता.

चला या दृष्टिकोनाची वैधता तपासूया. हे करण्यासाठी, आम्ही प्रत्येक न्यायाधीशासाठी एका फौजदारी खटल्यासाठी खर्च केलेल्या वेळेचा डेटा वापरतो आणि त्या प्रत्येकाने दरवर्षी विचारात घेतलेल्या गुन्हेगारी प्रकरणांची संख्या मोजतो.

त्यानुसार आम्हाला मिळते:

365(दिवस) : 6 ≈ 61 (केस), 365 (दिवस) : 5.6 ≈ 65.2 (केस), 365 (दिवस) : 6.3 ≈ 58 (केस),

३६५(दिवस) : ४.९ ≈ ७४.५ (केस), ३६५ (दिवस) : ५.४ ≈ ६८ (केस).

आता आम्ही फौजदारी खटल्यांचा विचार करताना या जिल्हा न्यायालयाच्या न्यायाधीशांसाठी सरासरी वार्षिक वर्कलोडची गणना करतो:

त्या. हार्मोनिक मीन वापरताना सरासरी वार्षिक भार समान असतो.

अशा प्रकारे, या प्रकरणात अंकगणित सरासरीचा वापर बेकायदेशीर आहे.

ज्या प्रकरणांमध्ये वैशिष्ट्याची रूपे ज्ञात आहेत, त्यांची व्हॉल्यूमेट्रिक मूल्ये (फ्रिक्वेंसीनुसार व्हेरियंटचे उत्पादन), परंतु फ्रिक्वेन्सी स्वतःच अज्ञात आहेत, हार्मोनिक भारित सरासरी सूत्र लागू केले जाते:

,

कुठे x iवैशिष्ट्य पर्यायांची मूल्ये आहेत आणि w i ही पर्यायांची व्हॉल्यूमेट्रिक मूल्ये आहेत ( w i = x i f i).

उदाहरण.पेनटेंशरी सिस्टमच्या विविध संस्थांनी उत्पादित केलेल्या समान प्रकारच्या वस्तूंच्या युनिटच्या किंमतीवरील डेटा आणि त्याच्या अंमलबजावणीची मात्रा तक्ता 14 मध्ये दिली आहे.

तक्ता 14

शोधण्यासाठी सरासरी किंमतवस्तूंची विक्री.

निर्णय.सरासरी किमतीची गणना करताना, आम्ही विक्री केलेल्या युनिट्सच्या संख्येशी विक्री केलेल्या रकमेचे गुणोत्तर वापरणे आवश्यक आहे. आम्हाला विकल्या गेलेल्या युनिट्सची संख्या माहित नाही, परंतु आम्हाला मालाच्या विक्रीचे प्रमाण माहित आहे. म्हणून, विकल्या गेलेल्या वस्तूंची सरासरी किंमत शोधण्यासाठी, आम्ही हार्मोनिक वजनित सरासरी सूत्र वापरतो. आम्हाला मिळते

तुम्ही येथे अंकगणित सरासरी सूत्र वापरल्यास, तुम्हाला सरासरी किंमत मिळू शकते जी अवास्तव असेल:

भौमितिक मध्यमवैशिष्ट्य प्रकारांच्या सर्व मूल्यांच्या उत्पादनातून अंश N चे मूळ काढून गणना केली जाते:

,

कुठे x 1 , x 2 , … , x N- व्हेरिएबल वैशिष्ट्याची वैयक्तिक मूल्ये (पर्याय), आणि

एन- लोकसंख्या युनिट्सची संख्या.

या प्रकारची सरासरी वेळ मालिकेतील सरासरी वाढ दर मोजण्यासाठी वापरली जाते.

रूट म्हणजे चौरससरासरी मोजण्यासाठी वापरले जाते प्रमाणित विचलन, जे भिन्नतेचे सूचक आहे आणि खाली चर्चा केली जाईल.

लोकसंख्येची रचना निश्चित करण्यासाठी, विशेष सरासरी वापरली जातात, ज्यात समाविष्ट आहे मध्यक आणि फॅशन , किंवा तथाकथित संरचनात्मक सरासरी. विशेषता मूल्यांच्या सर्व प्रकारांच्या वापरावर आधारित अंकगणितीय माध्य मोजला असल्यास, मध्यक आणि मोड रँक केलेल्या (ऑर्डर केलेल्या) मालिकेतील विशिष्ट सरासरी स्थान व्यापलेल्या वेरिएंटचे मूल्य दर्शवतात. सांख्यिकीय लोकसंख्येच्या युनिट्सचा क्रम अभ्यासाधीन वैशिष्ट्यांच्या रूपांच्या चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने केला जाऊ शकतो.

मध्यक (मी)हे मूल्य रँक केलेल्या मालिकेच्या मध्यभागी असलेल्या प्रकाराशी संबंधित आहे. अशाप्रकारे, रँक केलेल्या मालिकेचा मध्यक हा प्रकार आहे, ज्याच्या दोन्ही बाजूंना या मालिकेत लोकसंख्येची समान संख्या असावी.

मध्यक शोधण्यासाठी, तुम्हाला प्रथम सूत्र वापरून रँक केलेल्या मालिकेतील त्याचा अनुक्रमांक निश्चित करणे आवश्यक आहे:

जेथे N हा मालिकेचा खंड आहे (लोकसंख्या एककांची संख्या).

जर मालिकेत सदस्यांची विषम संख्या असेल, तर मध्यक हा N Me या क्रमांकाच्या व्हेरिएंटच्या बरोबरीचा असेल. मालिकेत सदस्यांची सम संख्या असल्यास, मध्यभागी मध्यभागी असलेल्या दोन समीप पर्यायांचा अंकगणितीय माध्य म्हणून परिभाषित केला जातो.

उदाहरण.क्रमांकित मालिका 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 दिली आहे. मालिकेचा खंड N = 9 आहे, ज्याचा अर्थ N Me = (9 + 1) / 2 = 5 आहे. म्हणून, मी = 6, म्हणजे . पाचवा पर्याय. जर पंक्ती 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16 दिली असेल, म्हणजे. सदस्यांची सम संख्या असलेली मालिका (N = 8), नंतर N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. तर मध्यक चौथ्या आणि पाचव्या पर्यायांच्या अर्ध्या बेरजेइतके आहे, म्हणजे. मी = (9 + 11) / 2 = 10.

भिन्न भिन्नता मालिकेमध्ये, मध्यक हा संचित फ्रिक्वेन्सीद्वारे निर्धारित केला जातो. व्हेरिएंट फ्रिक्वेन्सी, पहिल्यापासून सुरू होणारी, मध्य संख्या ओलांडली जाईपर्यंत बेरीज केली जाते. शेवटच्या बेरीज पर्यायांचे मूल्य मध्यक असेल.

उदाहरण.तक्ता 12 मधील डेटा वापरून प्रति फौजदारी खटल्यातील प्रतिवादींची सरासरी संख्या शोधा.

निर्णय.या प्रकरणात, भिन्नता मालिकेची मात्रा N = 154 आहे, म्हणून, N मी = (154 + 1) / 2 = 77.5. पहिल्या आणि दुसऱ्या पर्यायांच्या फ्रिक्वेन्सीचा सारांश, आम्हाला मिळते: 75 + 43 = 118, म्हणजे. आम्ही सरासरी संख्या ओलांडली आहे. तर मी = २.

वितरणाच्या अंतराल भिन्नता मालिकेत, प्रथम मध्यांतर ज्यामध्ये स्थित असेल ते दर्शवा. त्याला बोलावले आहे मध्यक . हा पहिला मध्यांतर आहे ज्याची संचयी वारंवारता मध्यांतर भिन्नता मालिकेच्या अर्ध्या खंडापेक्षा जास्त आहे. मग मध्यकाचे संख्यात्मक मूल्य सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते:

कुठे x मी- मध्यांतराची खालची मर्यादा; i - मध्यांतराचे मूल्य; एस मी-1- मध्यांतराच्या आधीच्या मध्यांतराची संचित वारंवारता; f मी- मध्यांतराची वारंवारता.

उदाहरण.तक्ता 13 मध्ये सादर केलेल्या आकडेवारीवर आधारित, चोरीसाठी दोषी ठरलेल्या गुन्हेगारांचे मध्यम वय शोधा.

निर्णय.सांख्यिकीय डेटा मध्यांतर भिन्नता मालिकेद्वारे दर्शविला जातो, ज्याचा अर्थ असा आहे की आम्ही प्रथम मध्यांतर निर्धारित करतो. लोकसंख्येचे प्रमाण N = 162, म्हणून, मध्यांतर मध्यांतर 18-28 आहे, कारण हा पहिला मध्यांतर आहे, ज्याची संचित वारंवारता (15 + 90 = 105) मध्यांतर भिन्नता मालिकेच्या अर्ध्या खंडाच्या (162: 2 = 81) ओलांडते. आता मध्यकाचे संख्यात्मक मूल्य वरील सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते:

अशा प्रकारे, चोरीच्या दोषींपैकी निम्मे हे 25 वर्षांपेक्षा कमी वयाचे आहेत.

फॅशन (Mo)विशेषताचे मूल्य नाव द्या, जे बहुतेक वेळा लोकसंख्येच्या युनिट्समध्ये आढळते. सर्वात जास्त वितरण असलेल्या वैशिष्ट्याचे मूल्य ओळखण्यासाठी फॅशनचा वापर केला जातो. एका वेगळ्या मालिकेसाठी, मोड हा उच्च वारंवारता असलेला प्रकार असेल. उदाहरणार्थ, तक्ता 3 मध्ये सादर केलेल्या वेगळ्या मालिकेसाठी मो= 1, पर्यायांचे हे मूल्य सर्वोच्च वारंवारतेशी संबंधित असल्याने - 75. मध्यांतर मालिकेचा मोड निश्चित करण्यासाठी, प्रथम निर्धारित करा मॉडेल मध्यांतर (सर्वोच्च वारंवारता असलेले मध्यांतर). नंतर, या मध्यांतरामध्ये, वैशिष्ट्याचे मूल्य आढळते, जे एक मोड असू शकते.

त्याचे मूल्य सूत्रानुसार आढळते:

कुठे x मो- मोडल मध्यांतराची खालची मर्यादा; i - मोडल अंतरालचे मूल्य; f मो- मोडल अंतराल वारंवारता; f Mo-1- मॉडेलच्या आधीच्या मध्यांतराची वारंवारता; f Mo+1- मोडल नंतर मध्यांतराची वारंवारता.

उदाहरण.चोरीसाठी दोषी ठरलेल्या गुन्हेगारांची वयाची पद्धत शोधा, ज्यावरील डेटा तक्ता 13 मध्ये सादर केला आहे.

निर्णय.सर्वोच्च वारंवारता मध्यांतर 18-28 शी संबंधित आहे, म्हणून, मोड या मध्यांतरात असणे आवश्यक आहे. त्याचे मूल्य वरील सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते:

अशा प्रकारे, चोरीच्या गुन्ह्यांमध्ये दोषी ठरलेल्या गुन्हेगारांची संख्या 24 वर्षांची आहे.

सरासरी मूल्य अभ्यासाखाली असलेल्या घटनेच्या संपूर्णतेचे सामान्यीकरण वैशिष्ट्य देते. तथापि, समान सरासरी मूल्यांसह दोन लोकसंख्या अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्याच्या मूल्यातील चढ-उतार (भिन्नता) च्या प्रमाणात एकमेकांपासून लक्षणीय भिन्न असू शकतात. उदाहरणार्थ, एका कोर्टात कारावासाच्या खालील अटी नियुक्त केल्या होत्या: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 वर्षे आणि दुसर्यामध्ये - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 वर्षे जुने. दोन्ही प्रकरणांमध्ये, अंकगणित सरासरी 6.7 वर्षे आहे. तथापि, सरासरी मूल्याच्या सापेक्ष तुरुंगवासाच्या नियुक्त कालावधीच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या प्रसारामध्ये हे एकत्रीकरण एकमेकांपासून लक्षणीय भिन्न आहेत.

आणि पहिल्या न्यायालयासाठी, जिथे हा फरक खूप मोठा आहे, तुरुंगवासाची सरासरी मुदत संपूर्ण लोकसंख्येला चांगले प्रतिबिंबित करत नाही. अशाप्रकारे, जर गुणधर्माची वैयक्तिक मूल्ये एकमेकांपेक्षा थोडी वेगळी असतील, तर अंकगणितीय सरासरी या लोकसंख्येच्या गुणधर्मांचे बऱ्यापैकी सूचक वैशिष्ट्य असेल. अन्यथा, अंकगणित सरासरी हे या लोकसंख्येचे अविश्वसनीय वैशिष्ट्य असेल आणि व्यवहारात त्याचा वापर अप्रभावी आहे. म्हणून, अभ्यास केलेल्या वैशिष्ट्यांच्या मूल्यांमधील फरक विचारात घेणे आवश्यक आहे.

तफावत- हे समान कालावधीत किंवा वेळेत दिलेल्या लोकसंख्येच्या वेगवेगळ्या युनिट्समधील वैशिष्ट्यांच्या मूल्यांमधील फरक आहेत. "भिन्नता" हा शब्द लॅटिन मूळचा आहे - भिन्नता, ज्याचा अर्थ फरक, बदल, चढ-उतार. हे या वस्तुस्थितीच्या परिणामी उद्भवते की गुणधर्माची वैयक्तिक मूल्ये विविध घटकांच्या (अटी) एकत्रित प्रभावाखाली तयार होतात, जी प्रत्येक वैयक्तिक प्रकरणात वेगवेगळ्या प्रकारे एकत्र केली जातात. वैशिष्ट्यातील फरक मोजण्यासाठी, विविध निरपेक्ष आणि संबंधित निर्देशक वापरले जातात.

भिन्नतेच्या मुख्य निर्देशकांमध्ये खालील गोष्टींचा समावेश आहे:

1) भिन्नतेची श्रेणी;

2) सरासरी रेखीय विचलन;

3) फैलाव;

4) मानक विचलन;

5) भिन्नतेचे गुणांक.

चला त्या प्रत्येकावर थोडक्यात विचार करूया.

स्पॅन भिन्नता R हे मोजणीच्या सुलभतेच्या दृष्टीने सर्वात प्रवेशयोग्य परिपूर्ण सूचक आहे, जे या लोकसंख्येच्या एककांसाठी विशेषताच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान मूल्यांमधील फरक म्हणून परिभाषित केले आहे:

भिन्नतेची श्रेणी (उतारांची श्रेणी) - महत्वाचे सूचकचिन्हाचे चढउतार, परंतु ते केवळ अत्यंत विचलन पाहणे शक्य करते, जे त्याच्या अनुप्रयोगाची व्याप्ती मर्यादित करते. गुणांच्या चढ-उतारावर आधारित भिन्नतेचे अधिक अचूक वर्णन करण्यासाठी, इतर निर्देशक वापरले जातात.

सरासरी रेखीय विचलनसरासरीपासून गुणविशेषाच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या विचलनाच्या परिपूर्ण मूल्यांचे अंकगणितीय माध्य दर्शवते आणि सूत्रांद्वारे निर्धारित केले जाते:

1) च्या साठी गटबद्ध न केलेला डेटा

2) च्या साठी भिन्नता मालिका

तथापि, भिन्नतेचे सर्वात मोठ्या प्रमाणावर वापरले जाणारे माप आहे फैलाव . हे त्याच्या सरासरी मूल्याच्या तुलनेत अभ्यासलेल्या वैशिष्ट्याच्या मूल्यांच्या प्रसाराचे मोजमाप दर्शवते. विचलन वर्गाची सरासरी म्हणून भिन्नता परिभाषित केली जाते.

साधा फरकगट न केलेल्या डेटासाठी:

.

भारित भिन्नताभिन्नता मालिकेसाठी:

टिप्पणी.सराव मध्ये, भिन्नता मोजण्यासाठी खालील सूत्रे वापरणे चांगले आहे:

साध्या भिन्नतेसाठी

.

भारित भिन्नता साठी

प्रमाणित विचलनविचरणाचे वर्गमूळ आहे:

मानक विचलन हे सरासरीच्या विश्वासार्हतेचे मोजमाप आहे. प्रमाण विचलन जितके लहान असेल तितकी लोकसंख्या अधिक एकसंध असेल आणि अंकगणित सरासरी संपूर्ण लोकसंख्या दर्शवते.

वर विचारात घेतलेले फैलाव उपाय (परिवर्तनाची श्रेणी, भिन्नता, मानक विचलन) हे परिपूर्ण निर्देशक आहेत, ज्याद्वारे एखाद्या वैशिष्ट्याच्या चढ-उताराचे प्रमाण निश्चित करणे नेहमीच शक्य नसते. काही समस्यांमध्ये, सापेक्ष स्कॅटरिंग निर्देशांक वापरणे आवश्यक आहे, त्यापैकी एक आहे भिन्नतेचे गुणांक.

भिन्नतेचे गुणांक- अंकगणित सरासरीच्या मानक विचलनाच्या गुणोत्तराची टक्केवारी म्हणून व्यक्त केले:

भिन्नतेचा गुणांक केवळ भिन्नतेच्या तुलनात्मक मूल्यांकनासाठी वापरला जात नाही भिन्न चिन्हेकिंवा वेगवेगळ्या लोकसंख्येमध्ये समान वैशिष्ट्य, परंतु लोकसंख्येच्या एकसंधतेचे वैशिष्ट्य देखील. जर भिन्नतेचे गुणांक 33% पेक्षा जास्त नसेल (सामान्य वितरणाच्या जवळच्या वितरणासाठी) तर सांख्यिकीय लोकसंख्या परिमाणात्मक एकसमान मानली जाते.

उदाहरण.दंडात्मक प्रणालीच्या सुधारात्मक संस्थेमध्ये न्यायालयाने ठोठावलेल्या 50 दोषींच्या तुरुंगवासाच्या अटींबद्दल खालील डेटा आहे: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. तुरुंगवासाच्या अटींनुसार वितरणाची मालिका तयार करा.

2. सरासरी, भिन्नता आणि मानक विचलन शोधा.

3. भिन्नतेच्या गुणांकाची गणना करा आणि अभ्यास केलेल्या लोकसंख्येच्या एकसंधता किंवा विषमतेबद्दल निष्कर्ष काढा.

निर्णय.एक स्वतंत्र वितरण मालिका तयार करण्यासाठी, रूपे आणि वारंवारता निश्चित करणे आवश्यक आहे. या समस्येतील भिन्नता म्हणजे तुरुंगवासाची मुदत आणि वारंवारता ही वैयक्तिक भिन्नतेची संख्या आहे. फ्रिक्वेन्सीची गणना केल्यावर, आम्हाला खालील स्वतंत्र वितरण मालिका मिळते:

मध्य आणि भिन्नता शोधा. सांख्यिकीय डेटा वेगळ्या भिन्नता मालिकेद्वारे दर्शविला जात असल्याने, आम्ही त्यांची गणना करण्यासाठी अंकगणित भारित सरासरी आणि भिन्नता यांची सूत्रे वापरू. आम्हाला मिळते:

= = 4,1;

= 5,21.

आता आम्ही मानक विचलनाची गणना करतो:

आम्हाला फरकाचा गुणांक सापडतो:

परिणामी, सांख्यिकीय लोकसंख्या परिमाणात्मकदृष्ट्या विषम आहे.

सरासरी मूल्यांबद्दल बोलणे सुरू करून, बहुतेकदा ते आठवतात की त्यांनी शाळेतून कसे पदवी प्राप्त केली आणि प्रवेश केला शैक्षणिक संस्था. त्यानंतर, प्रमाणपत्रानुसार, सरासरी गुणांची गणना केली गेली: सर्व ग्रेड (दोन्ही चांगले आणि फार चांगले नाहीत) जोडले गेले, परिणामी रक्कम त्यांच्या संख्येने विभागली गेली. अशा प्रकारे सर्वात सोपा प्रकार सरासरी काढला जातो, ज्याला साधी अंकगणित सरासरी म्हणतात. सराव मध्ये, आकडेवारी वापरली जाते विविध प्रकारचेसरासरी: अंकगणित, हार्मोनिक, भूमितीय, चतुर्भुज, संरचनात्मक सरासरी. डेटाचे स्वरूप आणि अभ्यासाच्या उद्दिष्टांवर अवलंबून त्यांचे एक किंवा दुसरे प्रकार वापरले जातात.

सरासरी मूल्यहे सर्वात सामान्य सांख्यिकीय सूचक आहे, ज्याच्या मदतीने एकाच प्रकारच्या घटनेच्या संपूर्णतेचे सामान्यीकरण वैशिष्ट्य भिन्न चिन्हांपैकी एकानुसार दिले जाते. हे प्रति लोकसंख्येच्या युनिटच्या गुणधर्माची पातळी दर्शवते. सरासरी मूल्यांच्या मदतीने, भिन्न वैशिष्ट्यांनुसार विविध समुच्चयांची तुलना केली जाते आणि घटनांच्या विकासाचे नमुने आणि सामाजिक जीवनाच्या प्रक्रियांचा अभ्यास केला जातो.

आकडेवारीमध्ये, सरासरीचे दोन वर्ग वापरले जातात: शक्ती (विश्लेषणात्मक) आणि संरचनात्मक. नंतरचा उपयोग भिन्नता मालिकेची रचना दर्शवण्यासाठी केला जातो आणि चॅपमध्ये पुढे चर्चा केली जाईल. आठ

शक्तीच्या गटामध्ये अंकगणित, हार्मोनिक, भूमितीय, चतुर्भुज यांचा समावेश होतो. त्यांच्या गणनेसाठी वैयक्तिक सूत्रे सर्व पॉवर सरासरीसाठी सामान्य फॉर्ममध्ये कमी केली जाऊ शकतात, म्हणजे

जेथे m हा घात मध्याचा घातांक आहे: m = 1 सह आपण अंकगणित माध्य मोजण्यासाठी एक सूत्र प्राप्त करतो, m = 0 सह - भौमितीय मध्य, m = -1 - हार्मोनिक मध्य, m = 2 - मध्य चतुर्भुज ;

x i - पर्याय (विशेषता घेते मूल्ये);

fi - फ्रिक्वेन्सी.

सांख्यिकीय विश्लेषणामध्ये पॉवर-लॉ अर्थ वापरता येणारी मुख्य अट म्हणजे लोकसंख्येची एकसंधता, ज्यामध्ये प्रारंभिक डेटा नसावा जो त्यांच्या परिमाणवाचक मूल्यामध्ये तीव्रपणे भिन्न असेल (साहित्यात त्यांना विसंगत निरीक्षणे म्हणतात).

या स्थितीचे महत्त्व आपण खालील उदाहरणात दाखवू.

उदाहरण 6.1. लहान एंटरप्राइझच्या कर्मचार्यांच्या सरासरी पगाराची गणना करा.

तक्ता 6.1. कर्मचारी वेतन

क्रमांक p/p	पगार, घासणे.	क्रमांक p/p	पगार, घासणे.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

सरासरी वेतनाची गणना करण्यासाठी, एंटरप्राइझच्या सर्व कर्मचार्‍यांना जमा झालेल्या वेतनाची बेरीज करणे आवश्यक आहे (म्हणजे वेतन निधी शोधा) आणि कर्मचार्‍यांच्या संख्येने विभाजित करणे आवश्यक आहे:

आणि आता आपल्या संपूर्णतेमध्ये फक्त एक व्यक्ती (या एंटरप्राइझचे संचालक) जोडू, परंतु 50,000 रूबलच्या पगारासह. या प्रकरणात, गणना केलेली सरासरी पूर्णपणे भिन्न असेल:

जसे आपण पाहू शकता, ते 7,000 रूबल पेक्षा जास्त आहे, इ. एक एकल निरीक्षण वगळता ते वैशिष्ट्याच्या सर्व मूल्यांपेक्षा मोठे आहे.

अशी प्रकरणे व्यवहारात येऊ नयेत, आणि सरासरीने त्याचा अर्थ गमावला नाही (उदाहरणार्थ 6.1 ते यापुढे लोकसंख्येच्या सामान्यीकरण वैशिष्ट्याची भूमिका बजावत नाही, जे ते असावे), सरासरी गणना करताना, विसंगत, बाह्य निरीक्षणे एकतर विश्लेषणातून वगळली पाहिजेत आणि नंतर लोकसंख्या एकसंध बनवण्यासाठी किंवा एकसंध गटांमध्ये लोकसंख्येचे विभाजन करण्यासाठी आणि प्रत्येक गटासाठी सरासरी मूल्यांची गणना करा आणि एकूण सरासरीचे नाही तर गट सरासरीचे विश्लेषण करा.

६.१. अंकगणित अर्थ आणि त्याचे गुणधर्म

अंकगणित सरासरीची गणना एकतर साधे मूल्य किंवा भारित मूल्य म्हणून केली जाते.

उदाहरण 6.1 च्या सारणीनुसार सरासरी वेतनाची गणना करताना, आम्ही गुणधर्माची सर्व मूल्ये जोडली आणि त्यांच्या संख्येने भागली. आम्ही आमच्या गणनेचा कोर्स एका साध्या च्या अंकगणित सरासरीसाठी सूत्राच्या स्वरूपात लिहितो

जेथे x i - पर्याय (वैशिष्ट्याचे वैयक्तिक मूल्य);

n ही लोकसंख्येतील एककांची संख्या आहे.

उदाहरण 6.2. आता टेबलमधील डेटा 6.1, इ. मजुरीच्या पातळीनुसार कामगारांच्या वितरणाची एक वेगळी भिन्नता मालिका तयार करूया. गटबद्ध परिणाम टेबलमध्ये सादर केले आहेत.

अधिक संक्षिप्त स्वरूपात सरासरी वेतन पातळी मोजण्यासाठी अभिव्यक्ती लिहू:

उदाहरण 6.2 मध्ये, भारित अंकगणित सरासरी सूत्र लागू केले होते

जेथे f i - गुणसंख्येचे एकक x i y चे मूल्य किती वेळा येते हे दर्शवणारी वारंवारता.

खाली दर्शविल्याप्रमाणे अंकगणित भारित सरासरीची गणना टेबलमध्ये सोयीस्करपणे केली जाते (तक्ता 6.3):

तक्ता 6.3. एका वेगळ्या शृंखलामध्ये अंकगणित सरासरीची गणना

प्रारंभिक डेटा	अंदाजे सूचक
पगार, घासणे.	कर्मचारी संख्या, लोक	पगार निधी, घासणे.
x i	fi	x i f i
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
एकूण	20	132 080

हे लक्षात घेतले पाहिजे की साध्या अंकगणितीय सरासरीचा वापर अशा प्रकरणांमध्ये केला जातो जेथे डेटा गटबद्ध किंवा गटबद्ध केलेला नाही, परंतु सर्व फ्रिक्वेन्सी एकमेकांच्या समान आहेत.

अनेकदा निरीक्षणाचे परिणाम मध्यांतर वितरण मालिका म्हणून सादर केले जातात (उदाहरण 6.4 मध्ये तक्ता पहा). नंतर, सरासरी काढताना, मध्यांतरांचे मध्यबिंदू x i म्हणून घेतले जातात. जर पहिले आणि शेवटचे मध्यांतर खुले असतील (त्यांच्यात एकही सीमा नसेल), तर ते सशर्त "बंद" आहेत, दिलेल्या मध्यांतराच्या मूल्यांप्रमाणे समीपच्या मध्यांतराचे मूल्य घेऊन, इ. पहिले दुसऱ्याच्या मूल्याच्या आधारे बंद केले जाते आणि शेवटचे - उपांत्य मूल्याच्या आधारावर.

उदाहरण 6.3. लोकसंख्या गटांपैकी एकाच्या नमुना सर्वेक्षणाच्या परिणामांवर आधारित, आम्ही सरासरी दरडोई रोख उत्पन्नाच्या आकाराची गणना करतो.

वरील तक्त्यामध्ये, पहिल्या अंतराचा मध्य 500 आहे. खरंच, दुसऱ्या अंतराची किंमत 1000 (2000-1000) आहे; मग पहिल्याची खालची मर्यादा 0 (1000-1000) आहे आणि त्याची मधली मर्यादा 500 आहे. आम्ही शेवटच्या अंतराने तेच करतो. आम्ही त्याचे मध्य म्हणून 25,000 घेतो: उपांत्य अंतराचे मूल्य 10,000 (20,000-10,000) आहे, नंतर त्याचे वरची सीमा- 30,000 (20,000 + 10,000), आणि मधले, अनुक्रमे, 25,000 आहे.

तक्ता 6.4. मध्यांतर मालिकेतील अंकगणित सरासरीची गणना

सरासरी दरडोई रोख उत्पन्न, घासणे. दरमहा	एकूण लोकसंख्या, % f i	अंतराल मध्यबिंदू x i	x i f i
1,000 पर्यंत	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20,000 आणि वर	10,4	25 000	260 000
एकूण	100,0	-	892 850

मग सरासरी दरडोई मासिक उत्पन्न असेल

या शब्दाचे इतर अर्थ आहेत, सरासरी अर्थ पहा.

सरासरी(गणित आणि सांख्यिकी मध्ये) संख्यांचे संच - सर्व संख्यांची बेरीज त्यांच्या संख्येने भागली जाते. हे मध्यवर्ती प्रवृत्तीच्या सर्वात सामान्य उपायांपैकी एक आहे.

हे पायथागोरियन्सने (भौमितिक मध्य आणि हार्मोनिक मीनसह) प्रस्तावित केले होते.

अंकगणित सरासरीची विशेष प्रकरणे म्हणजे सरासरी (सर्वसाधारण लोकसंख्येची) आणि नमुना सरासरी (नमुन्यांची).

परिचय

डेटाचा संच दर्शवा एक्स = (x 1 , x 2 , …, x n), नंतर नमुना मध्य सहसा व्हेरिएबल (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) वर क्षैतिज पट्टीद्वारे दर्शविला जातो, उच्चारित " xडॅश सह").

ग्रीक अक्षर μ हे संपूर्ण लोकसंख्येचे अंकगणितीय अर्थ दर्शविण्यासाठी वापरले जाते. यादृच्छिक चलसाठी ज्यासाठी सरासरी मूल्य परिभाषित केले आहे, μ आहे संभाव्यता अर्थकिंवा रँडम व्हेरिएबलची गणितीय अपेक्षा. जर संच एक्ससंभाव्यता मध्य μ सह यादृच्छिक संख्यांचा संग्रह आहे, नंतर कोणत्याही नमुन्यासाठी x iया संग्रहातून μ = E( x i) ही या नमुन्याची अपेक्षा आहे.

व्यवहारात, μ आणि x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) मधील फरक असा आहे की μ हे एक सामान्य चल आहे कारण तुम्ही संपूर्ण लोकसंख्येपेक्षा नमुना पाहू शकता. म्हणून, जर नमुना यादृच्छिकपणे (संभाव्यता सिद्धांतानुसार) दर्शविला गेला असेल, तर x ¯ ​​(\displaystyle (\bar (x))) (परंतु μ नाही) नमुन्यावर संभाव्यता वितरणासह एक यादृच्छिक चल मानला जाऊ शकतो ( सरासरीचे संभाव्य वितरण).

या दोन्ही प्रमाणांची गणना त्याच प्रकारे केली जाते:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\डिस्प्लेस्टाइल (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

जर ए एक्सएक यादृच्छिक चल आहे, नंतर गणितीय अपेक्षा एक्सपरिमाणांच्या पुनरावृत्तीच्या मोजमापांमध्ये मूल्यांचे अंकगणितीय मध्य मानले जाऊ शकते एक्स. हे मोठ्या संख्येच्या कायद्याचे प्रकटीकरण आहे. म्हणून, अज्ञात गणितीय अपेक्षेचा अंदाज लावण्यासाठी नमुना मध्य वापरला जातो.

प्राथमिक बीजगणित मध्ये, हे सिद्ध होते की सरासरी n+ 1 संख्या सरासरीपेक्षा जास्त आहे nजर आणि फक्त नवीन संख्या जुन्या सरासरीपेक्षा मोठी असेल तरच, जर नवीन संख्या सरासरीपेक्षा कमी असेल तर कमी असेल आणि जर नवीन संख्या सरासरीच्या बरोबर असेल तरच बदलत नाही. आणखी n, नवीन आणि जुन्या सरासरीमधील फरक जितका लहान असेल.

लक्षात घ्या की पॉवर-लॉ मीन, कोल्मोगोरोव्ह मीन, हार्मोनिक मीन, अंकगणित-भौमितिक मीन आणि विविध भारित माध्यमे (उदा., अंकगणित-वेटेड मीन, भौमितिक-वेटेड मीन, हार्मोनिक-वेटेड मीन) यासह इतर अनेक "माध्यम" उपलब्ध आहेत. .

उदाहरणे

• तीन संख्यांसाठी, तुम्हाला ते जोडणे आणि 3 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\डिस्प्लेस्टाइल (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• चार संख्यांसाठी, तुम्हाला ते जोडणे आणि 4 ने विभाजित करणे आवश्यक आहे:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\डिस्प्लेस्टाइल (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

किंवा सोपे 5+5=10, 10:2. कारण आपण 2 संख्या जोडल्या, याचा अर्थ आपण किती संख्या जोडतो, त्यास आपण भागाकार करतो.

सतत यादृच्छिक चल

सतत वितरित मूल्य f(x) (\displaystyle f(x)) साठी अंकगणित मध्यांतर [ a ; b ] (\displaystyle ) ची व्याख्या निश्चित इंटिग्रलद्वारे केली जाते:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

सरासरी वापरताना काही समस्या

मजबुतीचा अभाव

मुख्य लेख: आकडेवारीत मजबूतता

जरी अंकगणितीय माध्य बहुतेक वेळा साधन किंवा मध्यवर्ती प्रवृत्ती म्हणून वापरला जात असला तरी, ही संकल्पना मजबूत आकडेवारीवर लागू होत नाही, याचा अर्थ असा की अंकगणितीय माध्य "मोठ्या विचलन" द्वारे प्रभावित आहे. हे लक्षात घेण्याजोगे आहे की मोठ्या विकृतीसह वितरणासाठी, अंकगणित सरासरी "सरासरी" च्या संकल्पनेशी सुसंगत नसू शकते आणि मजबूत आकडेवारी (उदाहरणार्थ, मध्य) मध्यवर्ती प्रवृत्तीचे अधिक चांगले वर्णन करू शकते.

उत्कृष्ट उदाहरण म्हणजे सरासरी उत्पन्नाची गणना. अंकगणितीय सरासरीचा मध्यक म्हणून चुकीचा अर्थ लावला जाऊ शकतो, ज्यामुळे असा निष्कर्ष काढला जाऊ शकतो की खरोखरच जास्त उत्पन्न असलेले लोक आहेत. "मीन" उत्पन्नाचा अशा प्रकारे अर्थ लावला जातो की बहुतेक लोकांचे उत्पन्न या संख्येच्या जवळ असते. हे "सरासरी" (अंकगणितीय सरासरीच्या अर्थाने) उत्पन्न बहुतेक लोकांच्या उत्पन्नापेक्षा जास्त आहे, कारण सरासरीपासून मोठ्या विचलनासह उच्च उत्पन्नामुळे अंकगणिताचा अर्थ जोरदार विस्कळीत होतो (याउलट, सरासरी उत्पन्न "प्रतिरोध करते" असा स्क्यू). तथापि, हे "सरासरी" उत्पन्न सरासरी उत्पन्नाच्या जवळ असलेल्या लोकांच्या संख्येबद्दल काहीही सांगत नाही (आणि मॉडेल उत्पन्नाच्या जवळच्या लोकांच्या संख्येबद्दल काहीही सांगत नाही). तथापि, "सरासरी" आणि "बहुसंख्य" या संकल्पना हलक्यात घेतल्यास, बहुतेक लोकांचे उत्पन्न त्यांच्यापेक्षा जास्त आहे असा चुकीचा निष्कर्ष काढू शकतो. उदाहरणार्थ, मदिना, वॉशिंग्टनमधील "सरासरी" निव्वळ उत्पन्नावरील अहवाल, रहिवाशांच्या सर्व वार्षिक निव्वळ उत्पन्नाची अंकगणित सरासरी म्हणून गणना केली जाते, बिल गेट्समुळे आश्चर्यकारकपणे उच्च संख्या देईल. नमुना (1, 2, 2, 2, 3, 9) विचारात घ्या. अंकगणित सरासरी 3.17 आहे, परंतु सहा पैकी पाच मूल्ये या सरासरीच्या खाली आहेत.

चक्रवाढ व्याज

मुख्य लेख: ROI

जर संख्या गुणाकार, पण नाही पट, तुम्हाला भौमितिक माध्य वापरणे आवश्यक आहे, अंकगणित माध्य नाही. बहुतेकदा, ही घटना वित्त मधील गुंतवणुकीवर परतावा मोजताना घडते.

उदाहरणार्थ, जर पहिल्या वर्षी साठा 10% कमी झाला आणि दुसर्‍या वर्षी 30% वाढला, तर अंकगणित सरासरी (−10% + 30%) / 2 म्हणून या दोन वर्षांत "सरासरी" वाढ मोजणे चुकीचे आहे. = 10%; या प्रकरणात योग्य सरासरी कंपाऊंड वार्षिक वाढ दराने दिली आहे, ज्यामधून वार्षिक वाढ केवळ 8.16653826392% ≈ 8.2% आहे.

याचे कारण असे आहे की टक्केवारीला प्रत्येक वेळी नवीन प्रारंभ बिंदू असतो: 30% म्हणजे 30% पहिल्या वर्षाच्या सुरूवातीस किंमतीपेक्षा कमी संख्येपासून:जर स्टॉक $30 पासून सुरू झाला आणि 10% घसरला, तर दुसऱ्या वर्षाच्या सुरूवातीस त्याची किंमत $27 आहे. जर स्टॉक 30% वर असेल, तर दुसऱ्या वर्षाच्या शेवटी त्याची किंमत $35.1 आहे. या वाढीची अंकगणितीय सरासरी 10% आहे, परंतु 2 वर्षांत स्टॉक केवळ $5.1 ने वाढला असल्याने, 8.2% ची सरासरी वाढ $35.1 चा अंतिम परिणाम देते:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. जर आपण 10% चा अंकगणितीय माध्य त्याच प्रकारे वापरला तर आपल्याला वास्तविक मूल्य मिळणार नाही: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

वर्ष 2 च्या शेवटी चक्रवाढ व्याज: 90% * 130% = 117%, म्हणजे एकूण 17% ची वाढ, आणि सरासरी वार्षिक चक्रवाढ व्याज 117% ≈ 108.2% आहे (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \अंदाजे 108.2%), म्हणजे, 8.2% ची सरासरी वार्षिक वाढ.

दिशानिर्देश

मुख्य लेख: गंतव्य आकडेवारी

चक्रीयपणे बदलणाऱ्या काही चलांचे अंकगणितीय माध्य मोजताना (उदाहरणार्थ, फेज किंवा कोन), विशेष काळजी घेतली पाहिजे. उदाहरणार्थ, 1° आणि 359° ची सरासरी 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° असेल. ही संख्या दोन कारणांमुळे चुकीची आहे.

• प्रथम, कोनीय माप केवळ 0° ते 360° (किंवा रेडियनमध्ये मोजल्यास 0 ते 2π पर्यंत) श्रेणीसाठी परिभाषित केले जातात. अशा प्रकारे, संख्यांची समान जोडी (1° आणि −1°) किंवा (1° आणि 719°) म्हणून लिहिली जाऊ शकते. प्रत्येक जोडीची सरासरी वेगळी असेल: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• दुसरे, या प्रकरणात, 0° (360° च्या समतुल्य) हे मूल्य भौमितिकदृष्ट्या सर्वोत्तम अर्थ असेल, कारण संख्या इतर कोणत्याही मूल्यापेक्षा 0° वरून कमी विचलित होते (मूल्य 0° मध्ये सर्वात लहान फरक आहे). तुलना करा:
  • 1° ही संख्या 0° वरून फक्त 1° ने विचलित होते;
  • संख्या 1° ही गणना केलेल्या सरासरी 180° बाय 179° पासून विचलित होते.

वरील सूत्रानुसार गणना केलेले चक्रीय चलचे सरासरी मूल्य, वास्तविक सरासरीच्या सापेक्ष अंकीय श्रेणीच्या मध्यभागी स्थलांतरित केले जाईल. यामुळे, सरासरीची गणना वेगळ्या पद्धतीने केली जाते, म्हणजे, सर्वात लहान भिन्नता (मध्यबिंदू) असलेली संख्या सरासरी मूल्य म्हणून निवडली जाते. तसेच, वजाबाकीऐवजी, मोड्युलो अंतर (म्हणजे परिघीय अंतर) वापरले जाते. उदाहरणार्थ, 1° आणि 359° मधील मॉड्यूलर अंतर 2° आहे, 358° नाही (359° आणि 360° मधील वर्तुळावर ==0° - एक अंश, 0° आणि 1° दरम्यान - देखील 1°, एकूण - 2°).

४.३. सरासरी मूल्ये. सरासरीचे सार आणि अर्थ

सरासरी मूल्यसांख्यिकीमध्ये, एक सामान्यीकरण सूचक म्हणतात, ज्याला विशिष्ट स्थान आणि वेळेच्या परिस्थितीत घटनेची विशिष्ट पातळी दर्शविते, गुणात्मक एकसंध लोकसंख्येच्या प्रति युनिट भिन्न गुणधर्माची परिमाण दर्शवते. आर्थिक व्यवहारात, निर्देशकांची विस्तृत श्रेणी वापरली जाते, सरासरी म्हणून गणना केली जाते.

उदाहरणार्थ, जॉइंट-स्टॉक कंपनी (JSC) मधील कामगारांच्या उत्पन्नाचा एक सामान्य निर्देशक म्हणजे एका कामगाराचे सरासरी उत्पन्न, वेतन निधी आणि देयके यांच्या गुणोत्तराने निर्धारित केले जाते. सामाजिक वर्णपुनरावलोकनाधीन कालावधीसाठी (वर्ष, तिमाही, महिना) ते AO कामगारांची संख्या.

सरासरी मोजणे हे एक सामान्य सामान्यीकरण तंत्र आहे; सरासरीअभ्यास केलेल्या लोकसंख्येच्या सर्व युनिट्ससाठी सामान्य (नमुनेदार) काय आहे ते प्रतिबिंबित करते, त्याच वेळी ते वैयक्तिक युनिट्समधील फरकांकडे दुर्लक्ष करते. प्रत्येक घटना आणि त्याच्या विकासामध्ये एक संयोजन आहे संधीआणि गरजसरासरीची गणना करताना, मोठ्या संख्येच्या कायद्याच्या ऑपरेशनमुळे, यादृच्छिकता एकमेकांना रद्द करते, संतुलित करते, म्हणून आपण प्रत्येक विशिष्ट प्रकरणात गुणधर्माच्या परिमाणवाचक मूल्यांमधून, इंद्रियगोचरच्या क्षुल्लक वैशिष्ट्यांपासून अमूर्त करू शकता. वैयक्तिक मूल्यांच्या यादृच्छिकतेपासून अमूर्त करण्याच्या क्षमतेमध्ये, चढउतार हे सरासरीचे वैज्ञानिक मूल्य आहे सारांशएकूण वैशिष्ट्ये.

जेथे सामान्यीकरणाची आवश्यकता असते, अशा वैशिष्ट्यांची गणना गुणधर्माच्या अनेक भिन्न वैयक्तिक मूल्यांच्या पुनर्स्थित करते मध्यमएक सूचक जो घटनेची संपूर्णता दर्शवितो, ज्यामुळे सामूहिक सामाजिक घटनांमध्ये अंतर्निहित नमुने ओळखणे शक्य होते, एकल घटनेत अदृश्य.

सरासरी अभ्यास केलेल्या घटनेचे वैशिष्ट्यपूर्ण, वैशिष्ट्यपूर्ण, वास्तविक स्तर प्रतिबिंबित करते, हे स्तर आणि वेळ आणि जागेतील त्यांचे बदल दर्शवते.

सरासरी ही प्रक्रिया ज्या परिस्थितीत पुढे जाते त्या नियमिततेचे सारांश वैशिष्ट्य आहे.

४.४. सरासरीचे प्रकार आणि त्यांची गणना करण्याच्या पद्धती

सरासरीच्या प्रकाराची निवड विशिष्ट निर्देशकाच्या आर्थिक सामग्री आणि प्रारंभिक डेटाद्वारे निर्धारित केली जाते. प्रत्येक बाबतीत, सरासरी मूल्यांपैकी एक लागू केले जाते: अंकगणित, गारमोनिक, भौमितिक, चतुर्भुज, घनइ. सूचीबद्ध सरासरी वर्गातील आहेत शक्तीमध्यम

पॉवर-कायदा सरासरी व्यतिरिक्त, सांख्यिकीय सराव मध्ये, संरचनात्मक सरासरी वापरली जातात, जी मोड आणि मध्यक मानली जातात.

आपण शक्ती साधनांबद्दल अधिक तपशीलवार राहू या.

अंकगणिताचा अर्थ

सरासरीचा सर्वात सामान्य प्रकार आहे सरासरी अंकगणितहे अशा प्रकरणांमध्ये वापरले जाते जेव्हा संपूर्ण लोकसंख्येसाठी व्हेरिएबल विशेषताची मात्रा त्याच्या वैयक्तिक युनिट्सच्या गुणधर्मांच्या मूल्यांची बेरीज असते. च्या साठी सामाजिक घटनावैशिष्टय़ म्हणजे व्हेरिएबल वैशिष्ट्यांच्या खंडांची बेरीज (संमेलन), हे अंकगणित सरासरीची व्याप्ती निर्धारित करते आणि सामान्यीकरण निर्देशक म्हणून त्याची व्याप्ती स्पष्ट करते, उदाहरणार्थ: एकूण वेतन निधी सर्व कामगारांच्या वेतनाची बेरीज आहे, एकूण कापणी म्हणजे संपूर्ण पेरणी केलेल्या क्षेत्रातून उत्पादित केलेल्या उत्पादनांची बेरीज.

अंकगणित सरासरीची गणना करण्यासाठी, तुम्हाला सर्व वैशिष्ट्य मूल्यांची बेरीज त्यांच्या संख्येनुसार विभाजित करणे आवश्यक आहे.

अंकगणितीय सरासरी फॉर्ममध्ये लागू केली जाते साधी सरासरी आणि भारित सरासरी.साधी सरासरी प्रारंभिक, परिभाषित फॉर्म म्हणून काम करते.

साधे अंकगणित सरासरीसरासरी वैशिष्ट्याच्या वैयक्तिक मूल्यांच्या साध्या बेरीजच्या बरोबरीने, या मूल्यांच्या एकूण संख्येने भागले जाते (हे वैशिष्ट्याची वैयक्तिक मूल्ये असमूह नसलेल्या प्रकरणांमध्ये वापरली जाते):

कुठे
- व्हेरिएबलची वैयक्तिक मूल्ये (पर्याय); मी - लोकसंख्या युनिट्सची संख्या.

सूत्रांमध्ये पुढील बेरीज मर्यादा सूचित केल्या जाणार नाहीत. उदाहरणार्थ, एका कामगाराचे (लॉकस्मिथ) सरासरी आउटपुट शोधणे आवश्यक आहे, जर हे माहित असेल की प्रत्येक 15 कामगारांनी किती भागांचे उत्पादन केले, उदा. वैशिष्ट्याची अनेक वैयक्तिक मूल्ये दिली आहेत, pcs.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

साध्या अंकगणित सरासरीची गणना सूत्राने केली जाते (4.1), 1 pc.:

पुनरावृत्ती केलेल्या पर्यायांची सरासरी भिन्न संख्यावेळा, किंवा वेगवेगळे वजन असल्याचे म्हटले जाते भारितवजने ही एककांची संख्या आहे विविध गटएकत्रित (समान पर्याय एका गटात एकत्र केले जातात).

अंकगणित भारित सरासरी- सरासरी गटबद्ध मूल्ये , - सूत्रानुसार गणना केली जाते:

, (4.2)

कुठे
- वजन (समान वैशिष्ट्यांच्या पुनरावृत्तीची वारंवारता);

- त्यांच्या फ्रिक्वेन्सीनुसार वैशिष्ट्यांच्या परिमाणाच्या उत्पादनांची बेरीज;

- एकूण लोकसंख्या युनिट्सची संख्या.

आम्ही वर चर्चा केलेल्या उदाहरणाचा वापर करून अंकगणित भारित सरासरी काढण्याचे तंत्र स्पष्ट करू. हे करण्यासाठी, आम्ही प्रारंभिक डेटा गटबद्ध करतो आणि त्यांना टेबलमध्ये ठेवतो. ४.१.

तक्ता 4.1

भागांच्या विकासासाठी कामगारांचे वितरण

सूत्रानुसार (4.2), अंकगणित भारित सरासरी समान आहे, तुकडे:

काही प्रकरणांमध्ये, वजने निरपेक्ष मूल्यांद्वारे दर्शविली जाऊ शकत नाहीत, परंतु सापेक्ष मूल्यांद्वारे (टक्केवारी किंवा युनिटच्या अपूर्णांकांमध्ये). मग अंकगणित भारित सरासरीचे सूत्र असे दिसेल:

कुठे
- विशिष्ट, i.e. सर्वांच्या एकूण बेरीजमध्ये प्रत्येक वारंवारतेचा वाटा

जर फ्रिक्वेन्सी अपूर्णांकांमध्ये (गुणांक) मोजल्या गेल्या असतील तर
= 1, आणि अंकगणितीय भारित सरासरीचे सूत्र आहे:

गट सरासरी पासून अंकगणित भारित सरासरीची गणना सूत्रानुसार चालते:

,

कुठे f- प्रत्येक गटातील युनिट्सची संख्या.

गट साधनांच्या अंकगणित सरासरीची गणना करण्याचे परिणाम तक्त्यामध्ये सादर केले आहेत. ४.२.

तक्ता 4.2

सेवेच्या सरासरी लांबीनुसार कामगारांचे वितरण

या उदाहरणात, पर्याय वैयक्तिक कामगारांच्या सेवेच्या लांबीवरील वैयक्तिक डेटा नसून प्रत्येक कार्यशाळेसाठी सरासरी आहेत. तराजू fदुकानात कामगारांची संख्या आहे. म्हणून, संपूर्ण एंटरप्राइझमध्ये कामगारांचा सरासरी कामाचा अनुभव, वर्षे असेल:

.

वितरण मालिकेतील अंकगणित सरासरीची गणना

जर सरासरी गुणधर्माची मूल्ये मध्यांतर म्हणून दिली गेली असतील (“पासून - ते”), म्हणजे. मध्यांतर वितरण मालिका, नंतर सरासरी मोजताना अंकगणित मूल्यया मध्यांतरांचे मध्यबिंदू गटांमधील वैशिष्ट्यांची मूल्ये म्हणून घेतले जातात, परिणामी एक स्वतंत्र मालिका तयार होते. खालील उदाहरणाचा विचार करा (तक्ता 4.3).

इंटरव्हल व्हॅल्यूज त्यांच्या सरासरी व्हॅल्यूसह बदलून इंटरव्हल सीरिजमधून वेगळ्याकडे जाऊया / (साधी सरासरी

तक्ता 4.3

मासिक वेतनाच्या पातळीनुसार एओ कामगारांचे वितरण

साठी कामगारांचे गट	कामगारांची संख्या	मध्यांतराचा मध्य
मजुरी, घासणे.	pers., f	घासणे., एक्स
900 आणि त्याहून अधिक

खुल्या मध्यांतरांची मूल्ये (प्रथम आणि शेवटची) सशर्तपणे त्यांच्या समीप असलेल्या मध्यांतरांशी समतुल्य आहेत (दुसरे आणि उपांत्य).

सरासरीच्या अशा गणनेसह, काही अयोग्यतेला अनुमती आहे, कारण गटातील गुणधर्माच्या युनिट्सच्या समान वितरणाबद्दल एक गृहितक केले जाते. तथापि, त्रुटी जितकी लहान असेल तितकी अंतराल कमी असेल आणि मध्यांतरातील अधिक युनिट्स असतील.

मध्यांतरांचे मध्यबिंदू सापडल्यानंतर, गणना एका वेगळ्या मालिकेप्रमाणेच केली जाते - पर्याय फ्रिक्वेन्सी (वजन) ने गुणाकार केले जातात आणि उत्पादनांची बेरीज फ्रिक्वेन्सीच्या (वजन) बेरीजने विभाजित केली जाते. , हजार रूबल:

.

तर, मध्यम पातळीसंयुक्त-स्टॉक कंपनीच्या कामगारांचे वेतन 729 रूबल आहे. दरमहा.

अंकगणित सरासरीची गणना सहसा वेळ आणि श्रम यांच्या मोठ्या खर्चाशी संबंधित असते. तथापि, काही प्रकरणांमध्ये, सरासरी मोजण्याची प्रक्रिया त्याच्या गुणधर्मांचा वापर करून सरलीकृत आणि सुलभ केली जाऊ शकते. अंकगणिताच्या अर्थाचे काही मूलभूत गुणधर्म (पुरावाशिवाय) सादर करू.

मालमत्ता १. जर सर्व वैयक्तिक वैशिष्ट्यपूर्ण मूल्ये (उदा. सर्व पर्याय) कमी किंवा वाढवा iवेळा, नंतर सरासरी मूल्य मध्ये नवीन वैशिष्ट्य कमी होईल किंवा त्यानुसार वाढेल iएकदा

मालमत्ता 2. सरासरी वैशिष्ट्याचे सर्व रूपे कमी केल्यासA क्रमांकाने शिवणे किंवा वाढवणे, नंतर अंकगणितीय सरासरीसमान संख्येने लक्षणीय घट किंवा वाढ

मालमत्ता 3. सर्व सरासरी पर्यायांचे वजन कमी केल्यास किंवा पर्यंत वाढवा करण्यासाठी वेळा, अंकगणित सरासरी बदलणार नाही.

सरासरी वजन म्हणून, परिपूर्ण निर्देशकांऐवजी, तुम्ही एकूण एकूण (शेअर किंवा टक्केवारी) मध्ये विशिष्ट वजन वापरू शकता. हे सरासरीची गणना सुलभ करते.

सरासरीची गणना सुलभ करण्यासाठी, ते पर्याय आणि फ्रिक्वेन्सीची मूल्ये कमी करण्याचा मार्ग अवलंबतात. सर्वात मोठे सरलीकरण तेव्हा प्राप्त होते परंतुसर्वाधिक वारंवारता असलेल्या मध्यवर्ती पर्यायांपैकी एकाचे मूल्य / - मध्यांतराचे मूल्य म्हणून निवडले जाते (समान मध्यांतर असलेल्या पंक्तींसाठी). एलच्या मूल्याला मूळ म्हणतात, म्हणून सरासरी मोजण्याच्या या पद्धतीला "सशर्त शून्यातून मोजण्याची पद्धत" किंवा "क्षणांची पद्धत".

चला असे गृहीत धरूया की सर्व पर्याय एक्सप्रथम समान संख्या A ने कमी केले आणि नंतर कमी केले iएकदा आम्हाला नवीन व्हेरिएंट्सची नवीन भिन्नता वितरण मालिका मिळते .

मग नवीन पर्यायव्यक्त केले जाईल:

,

आणि त्यांचे नवीन अंकगणित अर्थ , -पहिल्या ऑर्डरचा क्षण- सुत्र:

.

हे मूळ पर्यायांच्या सरासरीइतके आहे, प्रथम कमी केले परंतु,आणि नंतर मध्ये iएकदा

वास्तविक सरासरी प्राप्त करण्यासाठी, आपल्याला पहिल्या ऑर्डरचा एक क्षण आवश्यक आहे मी 1 , ने गुणाकार करा iआणि जोडा परंतु:

.

व्हेरिएशनल सिरीजमधून अंकगणित सरासरी काढण्याच्या या पद्धतीला म्हणतात "क्षणांची पद्धत".ही पद्धत समान अंतराने पंक्तींमध्ये लागू केली जाते.

क्षणांच्या पद्धतीद्वारे अंकगणित सरासरीची गणना टेबलमधील डेटाद्वारे स्पष्ट केली आहे. ४.४.

तक्ता 4.4

2000 मध्ये निश्चित उत्पादन मालमत्तेच्या (OPF) मूल्यानुसार प्रदेशातील लघु उद्योगांचे वितरण

ओपीएफ, हजार रूबलच्या किंमतीनुसार उपक्रमांचे गट	उपक्रमांची संख्या f	मधले अंतर, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

पहिल्या ऑर्डरचा क्षण शोधत आहे

.

मग, A = 19 गृहीत धरून आणि ते जाणून घेणे i= 2, गणना करा X,हजार रूबल.:

सरासरी मूल्यांचे प्रकार आणि त्यांची गणना करण्याच्या पद्धती

सांख्यिकीय प्रक्रियेच्या टप्प्यावर, विविध प्रकारचे संशोधन कार्य सेट केले जाऊ शकतात, ज्याच्या निराकरणासाठी योग्य सरासरी निवडणे आवश्यक आहे. असे करताना, त्याचे पालन करणे आवश्यक आहे पुढील नियम: मध्याचा अंश आणि भाजक दर्शवणारी मूल्ये तार्किकदृष्ट्या एकमेकांशी संबंधित असणे आवश्यक आहे.

• शक्ती सरासरी;
• संरचनात्मक सरासरी.

चला खालील नोटेशन सादर करूया:

ज्या मूल्यांसाठी सरासरी मोजली जाते;

सरासरी, जिथे वरील ओळ सूचित करते की वैयक्तिक मूल्यांची सरासरी घडते;

वारंवारता (वैयक्तिक वैशिष्ट्य मूल्यांची पुनरावृत्ती).

विविध सरासरी पासून साधित केलेली आहेत सामान्य सूत्रशक्ती अर्थ:

(5.1)

k = 1 साठी - अंकगणित सरासरी; k = -1 - हार्मोनिक मीन; k = 0 - भौमितिक सरासरी; k = -2 - मूळ सरासरी चौरस.

सरासरी एकतर साधे किंवा भारित आहेत. भारित सरासरीगुणवत्तेच्या मूल्यांच्या काही रूपांमध्ये भिन्न संख्या असू शकतात हे लक्षात घेतलेल्या प्रमाणांना म्हणतात आणि म्हणून प्रत्येक व्हेरिएंटला या संख्येने गुणाकार करणे आवश्यक आहे. दुसऱ्या शब्दांत, "वजन" ही वेगवेगळ्या गटांमधील लोकसंख्येची संख्या आहे, म्हणजे. प्रत्येक पर्याय त्याच्या वारंवारतेनुसार "भारित" आहे. वारंवारता f म्हणतात सांख्यिकीय वजनकिंवा सरासरी वजन.

अंकगणिताचा अर्थ- माध्यमाचा सर्वात सामान्य प्रकार. जेव्हा तुम्ही सरासरी समंड मिळवू इच्छित असाल, तेव्हा गट न केलेल्या सांख्यिकीय डेटावर गणना केली जाते तेव्हा ते वापरले जाते. अंकगणित सरासरी हे वैशिष्ट्याचे सरासरी मूल्य आहे, जे प्राप्त झाल्यानंतर लोकसंख्येतील वैशिष्ट्याचे एकूण प्रमाण अपरिवर्तित राहते.

अंकगणित सरासरी सूत्र ( सोपे) फॉर्म आहे

जेथे n हा लोकसंख्येचा आकार आहे.

उदाहरणार्थ, एंटरप्राइझच्या कर्मचार्यांच्या सरासरी पगाराची गणना अंकगणित सरासरी म्हणून केली जाते:

प्रत्येक कर्मचार्‍याचे वेतन आणि एंटरप्राइझच्या कर्मचार्‍यांची संख्या येथे निर्धारित करणारे निर्देशक आहेत. सरासरी मोजताना, एकूण वेतनाची रक्कम समान राहिली, परंतु सर्व कामगारांमध्ये समान रीतीने वितरित केली गेली. उदाहरणार्थ, एका लहान कंपनीच्या कर्मचार्यांच्या सरासरी पगाराची गणना करणे आवश्यक आहे जेथे 8 लोक कार्यरत आहेत:

सरासरीची गणना करताना, सरासरी केलेल्या गुणधर्माची वैयक्तिक मूल्ये पुनरावृत्ती केली जाऊ शकतात, म्हणून गटबद्ध डेटा वापरून सरासरीची गणना केली जाते. या प्रकरणात, आम्ही वापरण्याबद्दल बोलत आहोत अंकगणित म्हणजे भारित, जे दिसते

(5.3)

म्हणून आपल्याला गणना करणे आवश्यक आहे सरासरी अभ्यासक्रमस्टॉक एक्सचेंजवर संयुक्त स्टॉक कंपनीचे शेअर्स. हे ज्ञात आहे की व्यवहार 5 दिवसांच्या आत केले गेले (5 व्यवहार), विक्री दराने विकल्या गेलेल्या समभागांची संख्या खालीलप्रमाणे वितरीत केली गेली:

1 - 800 ac. - 1010 रूबल

2 - 650 ac. - 990 घासणे.

3 - 700 एके. - 1015 रूबल.

4 - 550 ac. - 900 घासणे.

5 - 850 एके. - 1150 रूबल.

सरासरी शेअर किंमत ठरवण्यासाठी प्रारंभिक गुणोत्तर हे एकूण व्यवहारांच्या रकमेचे (OSS) आणि विक्री केलेल्या समभागांच्या संख्येचे (KPA) गुणोत्तर आहे.