První úroveň

Geometrická progrese. Komplexní průvodce s příklady (2019)

Číselná posloupnost

Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které z nich je první, které druhé, a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Číselná posloupnost je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.

Například pro naši sekvenci:

Přidělené číslo je specifické pouze pro jedno pořadové číslo. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (jako -té číslo) je vždy stejné.

Číslo s číslem se nazývá -tý člen posloupnosti.

Celé posloupnosti obvykle říkáme nějaké písmeno (například) a každý člen této posloupnosti - stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

V našem případě:

Nejběžnější typy progrese jsou aritmetické a geometrické. V tomto tématu budeme hovořit o druhém druhu - geometrická progrese.

Proč potřebujeme geometrickou progresi a její historii.

Už ve starověku se italský matematik, mnich Leonardo z Pisy (známější jako Fibonacci), zabýval praktickými potřebami obchodu. Mnich stál před úkolem určit, jaký nejmenší počet závaží lze použít k vážení zboží? Fibonacci ve svých spisech dokazuje, že takový systém vah je optimální: Toto je jedna z prvních situací, kdy se lidé museli vypořádat s geometrickou progresí, o které jste pravděpodobně slyšeli a máte ji minimálně obecný koncept. Jakmile plně pochopíte téma, zamyslete se nad tím, proč je takový systém optimální?

V současné době se v životní praxi projevuje geometrická progrese při investování peněz v bance, kdy je výše úroku účtována z částky nastřádané na účtu za minulé období. Jinými slovy, pokud dáte peníze na termínovaný vklad do spořitelny, tak za rok se vklad z původní částky navýší, tzn. nová částka se bude rovnat příspěvku vynásobenému. V dalším roce se tato částka zvýší o, tj. částka získaná v té době se opět vynásobí a tak dále. Podobná situace je popsána v problematice počítání tzv složený úrok- procento se bere pokaždé z částky, která je na účtu, s přihlédnutím k předchozímu úroku. O těchto úkolech si povíme trochu později.

Existuje mnohem více jednoduchých případů, kdy je aplikována geometrická progrese. Například šíření chřipky: jeden člověk nakazil člověka, ten zase nakazil dalšího člověka, a tak druhá vlna infekce - člověka, a ten zase nakazil dalšího...a tak dále.. .

Mimochodem, finanční pyramida, stejný MMM, je jednoduchý a suchý výpočet podle vlastností geometrické progrese. Zajímavý? Pojďme na to přijít.

Geometrická progrese.

Řekněme, že máme číselnou řadu:

Ihned odpovíte, že je to snadné a název takové posloupnosti je aritmetickým postupem s rozdílem jejích členů. Co třeba něco takového:

Pokud odečtete předchozí číslo od dalšího čísla, uvidíte, že pokaždé, když dostanete nový rozdíl (a tak dále), ale posloupnost rozhodně existuje a je snadné si ji všimnout - každé další číslo je krát větší než předchozí !

Tento typ sekvence se nazývá geometrická progrese a je označeno.

Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

Omezení, že první člen ( ) není stejný a nejsou náhodné. Řekněme, že žádné nejsou a první člen je stále stejný a q je, hmm .. nechť, pak to dopadne:

Souhlaste, že to není žádný pokrok.

Jak jste pochopili, dostaneme stejné výsledky, pokud je to jakékoli číslo jiné než nula, ale. V těchto případech prostě nedojde k žádné progresi, protože celá číselná řada budou buď samé nuly, nebo jedno číslo a všechny ostatní nuly.

Nyní si povíme podrobněji o jmenovateli geometrické posloupnosti, tedy o.

Opakujeme: - toto je číslo, kolikrát se každý následující termín změní geometrická progrese.

Co by to podle vás mohlo být? To je pravda, pozitivní a negativní, ale ne nula (o tom jsme mluvili trochu výše).

Řekněme, že máme pozitivní. Nechť v našem případě a. Co je druhý termín a? Na to můžete snadno odpovědět:

Dobře. V souladu s tím, pokud, pak všichni následující členové progrese mají stejné znamení - oni pozitivní.

Co když je negativní? Například a. Co je druhý termín a?

Je to úplně jiný příběh

Zkuste si spočítat dobu tohoto postupu. kolik jsi dostal? Mám. Pokud tedy, pak se znaménka členů geometrické posloupnosti střídají. To znamená, že pokud vidíte progresi se střídajícími se znaky v jejích členech, pak je její jmenovatel záporný. Tyto znalosti vám mohou pomoci otestovat se při řešení problémů na toto téma.

Nyní si trochu procvičíme: zkuste určit, které číselné posloupnosti jsou geometrickou posloupností a které aritmetickou:

Mám to? Porovnejte naše odpovědi:

• Geometrická progrese - 3, 6.
• Aritmetický postup - 2, 4.
• Není to ani aritmetika, ani geometrický postup - 1, 5, 7.

Vraťme se k našemu poslednímu postupu a pokusme se najít jeho termín stejným způsobem jako v aritmetice. Jak už asi tušíte, existují dva způsoby, jak ho najít.

Každý výraz postupně násobíme.

Takže -tý člen popsané geometrické posloupnosti je roven.

Jak již tušíte, nyní si sami odvodíte vzorec, který vám pomůže najít jakýkoli člen geometrické posloupnosti. Nebo už jste to pro sebe přinesli a popsali, jak postupně najít th člen? Pokud ano, zkontrolujte správnost své úvahy.

Ukažme si to na příkladu nalezení -tého členu této posloupnosti:

Jinými slovy:

Zjistěte si hodnotu člena dané geometrické posloupnosti.

Stalo? Porovnejte naše odpovědi:

Všimněte si, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, kdy jsme postupně násobili každým předchozím členem geometrické posloupnosti.
Pokusme se tento vzorec "odosobnit" - přeneseme jej do obecné podoby a dostaneme:

Odvozený vzorec platí pro všechny hodnoty – kladné i záporné. Ověřte si to sami výpočtem členů geometrické posloupnosti s následujícími podmínkami: ,a.

Počítal jsi? Porovnejme výsledky:

Souhlaste s tím, že by bylo možné najít člena progrese stejným způsobem jako člena, nicméně je zde možnost přepočtu. A pokud jsme již našli tý člen geometrické posloupnosti, a, tak co může být jednodušší než použít „zkrácenou“ část vzorce.

Nekonečně klesající geometrický postup.

Nedávno jsme mluvili o tom, co může být větší a menší než nula, nicméně existuje zvláštní významy pod kterým se nazývá geometrická posloupnost nekonečně klesající.

Proč myslíš, že má takový název?
Pro začátek si zapišme nějakou geometrickou posloupnost skládající se z členů.
Řekněme tedy:

Vidíme, že každý následující termín je v časech menší než ten předchozí, ale bude tam nějaké číslo? Okamžitě odpovíte – „ne“. To je důvod, proč nekonečně klesající - klesá, klesá, ale nikdy se nestane nulou.

Abychom jasně pochopili, jak to vizuálně vypadá, zkusme nakreslit graf našeho postupu. Takže pro náš případ má vzorec následující formu:

Na grafech jsme zvyklí budovat závislost na:

Podstata výrazu se nezměnila: v prvním vstupu jsme ukázali závislost hodnoty geometrického posloupnostního členu na jeho pořadovém čísle a ve druhém vstupu jsme prostě vzali hodnotu geometrického posloupnostního členu za a pořadové číslo bylo určeno nikoli jako, ale jako. Zbývá jen nakreslit graf.
Podívejme se, co máš. Zde je graf, který jsem dostal:

Vidět? Funkce klesá, má tendenci k nule, ale nikdy ji nekříží, takže nekonečně klesá. Vyznačme si na grafu naše body a zároveň, co souřadnice a znamená:

Pokuste se schematicky znázornit graf geometrické progrese, pokud je její první člen také stejný. Analyzujte, jaký je rozdíl od našeho předchozího grafu?

Zvládli jste to? Zde je graf, který jsem dostal:

Nyní, když jste plně pochopili základy tématu geometrické posloupnosti: víte, co to je, víte, jak najít její termín, a také víte, co je to nekonečně klesající geometrická posloupnost, přejděme k její hlavní vlastnosti.

vlastnost geometrické posloupnosti.

Pamatujete si vlastnosti členů aritmetického postupu? Ano, ano, jak najít hodnotu určitého počtu progrese, když existují předchozí a následující hodnoty členů této progrese. pamatovat? Tento:

Nyní stojíme před úplně stejnou otázkou ohledně podmínek geometrické posloupnosti. Abychom odvodili takový vzorec, začněme kreslit a uvažovat. Uvidíte, je to velmi snadné, a pokud zapomenete, můžete to vynést sami.

Vezměme si další jednoduchý geometrický postup, ve kterém známe a. Jak najít? S aritmetickým postupem je to snadné a jednoduché, ale jak je to tady? Ve skutečnosti ani v geometrii není nic složitého - stačí namalovat každou nám zadanou hodnotu podle vzorce.

Ptáte se, a co s tím teď uděláme? Ano, velmi jednoduché. Nejprve si znázornime tyto vzorce na obrázku a pokusme se s nimi provádět různé manipulace, abychom dospěli k hodnotě.

Abstrahujeme od čísel, která nám jsou dána, zaměříme se pouze na jejich vyjádření pomocí vzorce. Musíme najít zvýrazněnou hodnotu oranžový, zná pojmy, které s ním sousedí. Zkusme s nimi vyrábět různé aktivity, v důsledku čehož můžeme získat.

Přidání.
Zkusme přidat dva výrazy a dostaneme:

Z tohoto výrazu, jak vidíte, se nebudeme moci nijak vyjádřit, proto zkusíme jinou možnost - odečítání.

Odčítání.

Jak vidíte, ani z toho se nemůžeme vyjádřit, proto se pokusíme tyto výrazy mezi sebou znásobit.

Násobení.

Nyní se pečlivě podívejte na to, co máme, a vynásobte podmínky geometrické progrese, která nám byla dána, ve srovnání s tím, co je třeba najít:

Hádejte, o čem mluvím? Správně, abychom našli, musíme vzít Odmocnina z čísel geometrické posloupnosti sousedících s požadovaným číslem vynásobených navzájem:

Studna. Sám jste odvodil vlastnost geometrické progrese. Zkuste napsat tento vzorec obecný pohled. Stalo?

Zapomenutý stav kdy? Zamyslete se nad tím, proč je to důležité, zkuste si to například spočítat sami, při. Co se stane v tomto případě? To je pravda, úplný nesmysl, protože vzorec vypadá takto:

Proto na toto omezení nezapomeňte.

Nyní spočítejme, co je

Správná odpověď - ! Pokud jste nezapomněli na to druhé možný význam, pak jste skvělí a můžete rovnou přistoupit k tréninku, a pokud jste zapomněli, přečtěte si, co je rozebráno níže a věnujte pozornost tomu, proč je nutné do odpovědi zapsat oba kořeny.

Nakreslete obě naše geometrické posloupnosti – jednu s hodnotou a druhou s hodnotou a zkontrolujme, zda obě mají právo existovat:

Abychom mohli zkontrolovat, zda taková geometrická progrese existuje nebo ne, je nutné zjistit, zda je stejná mezi všemi svými danými členy? Vypočítejte q pro první a druhý případ.

Vidíte, proč musíme napsat dvě odpovědi? Protože znaménko požadovaného termínu závisí na tom, zda je kladné nebo záporné! A protože nevíme, co to je, musíme obě odpovědi napsat s plusem a mínusem.

Nyní, když jste zvládli hlavní body a odvodili vzorec pro vlastnost geometrického postupu, najděte, znáte a

Porovnejte své odpovědi se správnými:

Co si myslíte, co kdybychom nedostali hodnoty členů geometrické progrese sousedící s požadovaným číslem, ale ve stejné vzdálenosti od něj. Například potřebujeme najít, a dané a. Můžeme v tomto případě použít vzorec, který jsme odvodili? Pokuste se potvrdit nebo vyvrátit tuto možnost stejným způsobem, popište, z čeho se každá hodnota skládá, jako jste to udělali při počátečním odvozování vzorce.
Co jsi dostal?

Nyní se znovu pozorně podívejte.
a odpovídajícím způsobem:

Z toho můžeme usoudit, že vzorec funguje nejen se sousedními s požadovanými členy geometrické progrese, ale také s stejně vzdálený z toho, co členové hledají.

Náš původní vzorec tedy zní:

To znamená, že pokud jsme to v prvním případě řekli, nyní říkáme, že se může rovnat libovolnému přirozenému číslu, které je menší. Hlavní je, aby byla pro obě daná čísla stejná.

Cvičit pro konkrétní příklady jen buďte extrémně opatrní!

1. , Najít.
2. , Najít.
3. , Najít.

Rozhodl jsem se? Doufám, že jste byli extrémně pozorní a všimli jste si malého úlovku.

Porovnáme výsledky.

V prvních dvou případech klidně použijeme výše uvedený vzorec a získáme následující hodnoty:

Ve třetím případě, po pečlivém zvážení sériových čísel čísel, která nám byla poskytnuta, jsme pochopili, že nejsou ve stejné vzdálenosti od čísla, které hledáme: je to předchozí číslo, ale odstraněno na pozici, takže není možné použít vzorec.

jak to vyřešit? Ve skutečnosti to není tak těžké, jak se zdá! Pojďme si s vámi zapsat, z čeho se skládá každé nám dané číslo a požadované číslo.

Takže máme a. Pojďme se podívat, co s nimi můžeme dělat. Navrhuji rozdělit. Dostaneme:

Naše data dosadíme do vzorce:

Další krok můžeme najít - k tomu potřebujeme vzít třetí odmocninu výsledného čísla.

Nyní se znovu podíváme na to, co máme. Máme, ale musíme najít, a to se zase rovná:

Našli jsme všechny potřebné údaje pro výpočet. Nahraďte ve vzorci:

Naše odpověď: .

Zkuste sami vyřešit jiný stejný problém:
Vzhledem k tomu: ,
Najít:

kolik jsi dostal? Mám - .

Jak vidíte, ve skutečnosti potřebujete zapamatovat si pouze jeden vzorec- Vše ostatní si můžete sami kdykoliv bez problémů stáhnout. K tomu stačí napsat nejjednodušší geometrickou posloupnost na papír a napsat, čemu se podle výše uvedeného vzorce rovná každé její číslo.

Součet členů geometrické posloupnosti.

Nyní zvažte vzorce, které nám umožňují rychle vypočítat součet členů geometrické posloupnosti v daném intervalu:

Abychom odvodili vzorec pro součet členů konečné geometrické posloupnosti, vynásobíme všechny části výše uvedené rovnice číslem. Dostaneme:

Podívejte se pozorně: co mají poslední dva vzorce společného? Přesně tak, třeba společní členové a tak dále, kromě prvního a posledního člena. Zkusme odečíst 1. rovnici od 2. rovnice. Co jsi dostal?

Nyní vyjádřete pomocí vzorce člen geometrické posloupnosti a dosaďte výsledný výraz do našeho posledního vzorce:

Seskupte výraz. Měli byste dostat:

Vše, co zbývá udělat, je vyjádřit:

V souladu s tím v tomto případě.

Co když? Jaký vzorec tedy funguje? Představte si geometrickou progresi v. Jaká je? Správně řada stejných čísel, respektive, vzorec bude vypadat takto:

Stejně jako u aritmetického a geometrického postupu existuje mnoho legend. Jednou z nich je legenda o Sethovi, tvůrci šachů.

Mnoho lidí ví, že šachová hra byla vynalezena v Indii. Když se s ní hinduistický král setkal, byl potěšen jejím vtipem a rozmanitostí možných pozic v ní. Když se král dozvěděl, že jej vynalezl jeden z jeho poddaných, rozhodl se ho osobně odměnit. Zavolal k sobě vynálezce a nařídil, aby ho požádal o cokoli, co by chtěl, a slíbil, že splní i tu nejšikovnější touhu.

Seta požádal o čas na rozmyšlenou, a když se následujícího dne Seta objevil před králem, překvapil krále nebývalou skromností své žádosti. Požádal o zrnko pšenice na první pole šachovnice, pšenici na druhé, na třetí, na čtvrté a tak dále.

Král se rozzlobil a odehnal Setha s tím, že žádost sluhy není hodná královské štědrosti, ale slíbil, že sluha dostane své obilí za všechny cely rady.

A nyní otázka zní: pomocí vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti spočítejte, kolik zrn by měl Seth dostat?

Začněme diskutovat. Vzhledem k tomu, že podle podmínky Seth požádal o zrnko pšenice za první buňku šachovnice, za druhou, za třetí, za čtvrtou atd., vidíme, že v problému mluvíme o geometrickém postupu. Co se v tomto případě rovná?
Správně.

Celkový počet buněk na šachovnici. Respektive, . Všechny údaje máme, zbývá jen dosadit do vzorce a vypočítat.

Abychom alespoň přibližně reprezentovali „škály“ daného čísla, transformujeme pomocí vlastností stupně:

Samozřejmě, pokud chcete, můžete si vzít kalkulačku a spočítat, k jakému číslu nakonec dostanete, a pokud ne, budete mi muset dát za slovo: konečná hodnota výrazu bude.
Tj:

kvintilion kvadrilion bilion miliard milionů milionů tisíc.

Fuh) Chcete-li si představit enormnost tohoto čísla, odhadněte, jaká velikost stodoly by byla zapotřebí, aby se vešlo celé množství obilí.
Při výšce stodoly m a šířce m by její délka musela sahat na km, tzn. dvakrát tak daleko než od Země ke Slunci.

Pokud by byl král silný v matematice, mohl by vědci nabídnout, aby počítal zrnka, protože k napočítání milionu zrnek by potřeboval minimálně den neúnavného počítání a vzhledem k tomu, že je nutné počítat kvintiliony, tak by se dalo říci, že pokud by byl král silný v matematice, mohl by sám vědce nabídnout počítání zrnek, protože k počítání zrnek by potřeboval alespoň den neúnavného počítání, zrna by se musel počítat celý život.

A nyní vyřešíme jednoduchý problém na součtu členů geometrické posloupnosti.
Vasja, žák 5. třídy, onemocněl chřipkou, ale dál chodí do školy. Každý den Vasja nakazí dva lidi, kteří zase nakazí další dva lidi a tak dále. Jen jeden člověk ve třídě. Za kolik dní dostane celá třída chřipku?

Takže prvním členem geometrické progrese je Vasya, tedy osoba. člen geometrické progrese, to jsou dva lidé, které nakazil první den svého příjezdu. Celkový součet členů postupu je roven počtu studentů 5A. V souladu s tím mluvíme o progresi, ve které:

Dosadíme naše data do vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti:

Během několika dní onemocní celá třída. Nevěříte vzorcům a číslům? Zkuste „infekci“ studentů ztvárnit sami. Stalo? Podívejte se, jak to u mě vypadá:

Spočítejte si sami, kolik dní by studenti dostali chřipku, kdyby každý nakazil člověka a ve třídě byl člověk.

Jakou hodnotu jste získali? Ukázalo se, že všem začalo být po dni špatně.

Jak vidíte, takový úkol a jeho kresba připomíná pyramidu, ve které každý následující „přináší“ nové lidi. Dříve nebo později však přijde okamžik, kdy ten druhý nemůže nikoho přitahovat. V našem případě, pokud si představíme, že třída je izolovaná, osoba z uzavře řetězec (). Pokud tedy byla osoba zapojena do finanční pyramidy, ve které byly dány peníze, pokud přivedete další dva účastníky, pak tato osoba (nebo v obecný případ) by nikomu nepřineslo, respektive by přišlo o vše, co do tohoto finančního podvodu vložil.

Vše, co bylo řečeno výše, se týká klesajícího nebo rostoucího geometrického postupu, ale jak si vzpomínáte, máme zvláštní druh - nekonečně klesající geometrický postup. Jak vypočítat součet jejích členů? A proč má tento typ progrese určité rysy? Pojďme na to společně přijít.

Pro začátek se tedy znovu podívejme na tento obrázek nekonečně klesající geometrické progrese z našeho příkladu:

A nyní se podívejme na vzorec pro součet geometrické posloupnosti, odvozený o něco dříve:
nebo

O co usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že to má tendenci k nule. Tedy kdy, to se bude téměř rovnat, respektive při výpočtu výrazu dostaneme téměř. V tomto ohledu se domníváme, že při výpočtu součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti lze tuto závorku zanedbat, protože se bude rovnat.

- vzorec je součtem členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti.

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečný počet členů.

Je-li uvedeno konkrétní číslo n, pak použijeme vzorec pro součet n členů, i když nebo.

A teď pojďme cvičit.

1. Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti s a.
2. Najděte součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti s a.

Doufám, že jsi byl velmi opatrný. Porovnejte naše odpovědi:

Nyní víte vše o geometrickém postupu a je čas přejít od teorie k praxi. Nejběžnější exponenciální problémy nalezené u zkoušky jsou problémy se složeným úrokem. Právě o nich budeme mluvit.

Problémy pro výpočet složeného úročení.

Určitě jste slyšeli o tzv. vzorci složeného úroku. Chápeš, co tím myslí? Pokud ne, pojďme na to přijít, protože po realizaci samotného procesu okamžitě pochopíte, co s tím má geometrická progrese společného.

Všichni jdeme do banky a víme, že existují různé podmínky na vklady: jedná se jak o termín, tak o další údržbu a procento se dvěma různé způsoby jeho výpočet - jednoduchý a složitý.

S jednoduchý zájem vše je víceméně jasné: úrok je účtován jednou na konci doby trvání vkladu. To znamená, že pokud mluvíme o vložení 100 rublů ročně, budou připsány až na konci roku. V souladu s tím na konci vkladu obdržíme rubly.

Složené úročení je možnost, ve které úroková kapitalizace, tj. jejich přičtení k výši vkladu a následný výpočet příjmu nikoli z počáteční, ale z kumulované částky vkladu. Velká písmena se nevyskytují neustále, ale s určitou periodicitou. Zpravidla jsou tato období stejná a banky nejčastěji používají měsíc, čtvrtletí nebo rok.

Řekněme, že vkládáme všechny stejné rubly ročně, ale s měsíční kapitalizací vkladu. co získáme?

Rozumíš tady všemu? Pokud ne, pojďme na to krok za krokem.

Přinesli jsme rubly do banky. Do konce měsíce bychom měli mít na účtu částku skládající se z našich rublů plus úrok z nich, tedy:

Souhlasím?

Můžeme to vyjmout z držáku a pak dostaneme:

Souhlas, tento vzorec je již více podobný tomu, který jsme napsali na začátku. Zbývá se vypořádat s procenty

Ve stavu problému je nám řečeno o roční. Jak víte, nenásobíme - převádíme procenta na desetinná místa, tj:

Že jo? Nyní se ptáte, kde se to číslo vzalo? Velmi jednoduché!
Opakuji: stav problému říká o ROČNÍ naběhlý úrok MĚSÍČNÍ. Jak víte, za rok v měsících, respektive, nám banka naúčtuje část ročního úroku měsíčně:

Uvědomil? Zkuste teď napsat, jak by tato část vzorce vypadala, kdybych řekl, že úrok se počítá denně.
Zvládli jste to? Porovnejme výsledky:

Výborně! Vraťme se k našemu úkolu: napište si, kolik bude na náš účet připsáno za druhý měsíc, s ohledem na to, že z nahromaděné částky vkladu je účtován úrok.
Stalo se mi toto:

Nebo jinými slovy:

Myslím, že jste si již všimli vzoru a viděli jste v tom všem geometrický pokrok. Napište, čemu se bude jeho člen rovnat, nebo jinými slovy, kolik peněz na konci měsíce dostaneme.
Vyrobeno? Kontrola!

Jak vidíte, pokud vložíte peníze do banky na rok za jednoduchý úrok, dostanete rubly, a pokud je vložíte se složenou sazbou, dostanete rubly. Přínos je malý, ale to se děje pouze v průběhu roku, ale po více dlouhé období kapitalizace je mnohem výnosnější:

Zvažte jiný typ problémů se složeným úročením. Po tom, co jste zjistili, to pro vás bude elementární. Takže úkol zní:

Zvezda začala do tohoto odvětví investovat v roce 2000 s dolarovým kapitálem. Od roku 2001 dosahuje každoročně zisku, který se rovná kapitálu předchozího roku. Jaký zisk získá společnost Zvezda na konci roku 2003, pokud by zisk nebyl stažen z oběhu?

V roce 2000 kapitál společnosti Zvezda.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2001.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2002.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2003.

Nebo můžeme stručně napsat:

Pro náš případ:

2000, 2001, 2002 a 2003.

Respektive:
rublů
Všimněte si, že v tomto problému nemáme dělení ani podle ani podle, protože procento se udává ROČNĚ a počítá se ROČNĚ. To znamená, že při čtení problému pro složené úročení věnujte pozornost tomu, jaké procento je uvedeno a v jakém období je účtováno, a teprve poté přejděte k výpočtům.
Nyní víte vše o geometrickém postupu.

Cvičení.

1. Najděte člen geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
2. Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
3. Společnost MDM Capital začala do tohoto odvětví investovat v roce 2003 s dolarovým kapitálem. Od roku 2004 dosahuje každoročně zisku, který se rovná kapitálu předchozího roku. Společnost „MSK Cash Flows“ začala do odvětví investovat v roce 2005 ve výši 10 000 USD, přičemž v roce 2006 začala dosahovat zisku ve výši. O kolik dolarů převyšuje kapitál jedné společnosti kapitál jiné společnosti na konci roku 2007, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu?

Odpovědi:

1. Protože podmínka úlohy neříká, že progrese je nekonečná a je potřeba najít součet určitého počtu jejích členů, výpočet se provede podle vzorce:
2. 
   Společnost "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - se zvýší o 100 %, tedy 2krát.
   Respektive:
   rublů
   Peněžní toky MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - zvyšuje se, tedy krát.
   Respektive:
   rublů
   rublů

Pojďme si to shrnout.

1) Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

2) Rovnice členů geometrické posloupnosti -.

3) může mít jakoukoli hodnotu, kromě a.

• jestliže, pak všichni následující členové progrese mají stejné znaménko - oni pozitivní;
• pokud, pak všichni následující členové progrese alternativní znamení;
• když - progrese se nazývá nekonečně klesající.

4) , at - vlastnost geometrické posloupnosti (sousední členy)

nebo
, v (ekvidistantní termíny)

Až to najdete, nezapomeňte na to měly by existovat dvě odpovědi..

Například,

5) Součet členů geometrické posloupnosti se vypočítá podle vzorce:
nebo

Pokud se progrese nekonečně snižuje, pak:
nebo

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že je třeba najít součet nekonečného počtu členů.

6) Úkoly pro složené úročení se rovněž počítají podle vzorce tého členu geometrické progrese, pokud nebyly prostředky staženy z oběhu:

GEOMETRICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍM

Geometrická progrese( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se volá jmenovatel geometrické progrese.

Jmenovatel geometrické posloupnosti může mít jakoukoli hodnotu kromě a.

• Pokud, pak všechny následující členy progrese mají stejné znaménko - jsou pozitivní;
• jestliže, pak všechny následující členy progrese se střídají;
• když - progrese se nazývá nekonečně klesající.

Rovnice členů geometrické posloupnosti - .

Součet členů geometrické posloupnosti vypočítá se podle vzorce:
nebo

Matematika je colidé ovládají přírodu i sebe.

Sovětský matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrická progrese.

Spolu s úlohami na aritmetické posloupnosti jsou v přijímacích testech z matematiky běžné i úlohy související s pojmem geometrická posloupnost. Chcete-li takové problémy úspěšně vyřešit, musíte znát vlastnosti geometrické progrese a mít dobré dovednosti v jejich používání.

Tento článek je věnován představení hlavních vlastností geometrické posloupnosti. Poskytuje také příklady řešení typických problémů, vypůjčeno z úloh přijímacích testů z matematiky.

Poznamenejme si předběžně hlavní vlastnosti geometrické posloupnosti a připomeňme si nejdůležitější vzorce a výroky, spojené s tímto konceptem.

Definice.Číselná posloupnost se nazývá geometrická posloupnost, pokud každé její číslo, počínaje druhým, je rovno předchozímu, vynásobené stejným číslem. Číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

Pro geometrický postupvzorce jsou platné

, (1)

kde . Vzorec (1) se nazývá vzorcem obecného členu geometrické posloupnosti a vzorec (2) je hlavní vlastností geometrické posloupnosti: každý člen posloupnosti se shoduje s geometrickým průměrem sousedních členů a .

Poznámka, že právě kvůli této vlastnosti se dotyčná progrese nazývá „geometrická“.

Výše uvedené vzorce (1) a (2) jsou shrnuty takto:

, (3)

Pro výpočet součtu za prvé členy geometrické progreseplatí vzorec

Pokud určíme

kde . Protože vzorec (6) je zobecněním vzorce (5).

V případě kdy a geometrická progresenekonečně klesá. Pro výpočet součtuze všech členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti se použije vzorec

. (7)

Například , pomocí vzorce (7) lze ukázat, co

kde . Tyto rovnosti se získají ze vzorce (7) za předpokladu, že , (první rovnost) a , (druhá rovnost).

Teorém. Pokud, pak

Důkaz. Pokud tedy

Věta byla prokázána.

Přejděme k uvažování příkladů řešení úloh na téma "Geometrický postup".

Příklad 1 Vzhledem k: , a . Najít .

Rozhodnutí. Pokud se použije vzorec (5), pak

Odpovědět: .

Příklad 2 Nechte a . Najít .

Rozhodnutí. Od a použijeme vzorce (5), (6) a získáme soustavu rovnic

Je-li druhá rovnice soustavy (9) dělena první, pak nebo . Z toho vyplývá . Uvažujme dva případy.

1. Pokud , pak z první rovnice soustavy (9) máme.

2. Pokud , pak .

Příklad 3 Nechte, a. Najít .

Rozhodnutí. Ze vzorce (2) vyplývá, že nebo . Od té doby nebo .

Podle podmínky. Nicméně , proto . Protože a, pak zde máme soustavu rovnic

Pokud je druhá rovnice systému dělena první, pak nebo .

Protože rovnice má jediný vhodný kořen. V tomto případě první rovnice systému implikuje .

Vezmeme-li v úvahu vzorec (7), dostaneme.

Odpovědět: .

Příklad 4 Vzhledem k: a . Najít .

Rozhodnutí. Od té doby .

Protože, pak nebo

Podle vzorce (2) máme . V tomto ohledu z rovnosti (10) získáme nebo .

Nicméně podle podmínky , tedy .

Příklad 5 Je známo že . Najít .

Rozhodnutí. Podle věty máme dvě rovnosti

Od té doby nebo . Protože pak .

Odpovědět: .

Příklad 6 Vzhledem k: a . Najít .

Rozhodnutí. Vezmeme-li v úvahu vzorec (5), dostaneme

Od té doby . Od , a , pak .

Příklad 7 Nechte a . Najít .

Rozhodnutí. Podle vzorce (1) můžeme psát

Proto máme nebo . Je známo, že a , proto a .

Odpovědět: .

Příklad 8 Najděte jmenovatele nekonečné klesající geometrické posloupnosti if

a .

Rozhodnutí. Ze vzorce (7) vyplývá a . Odtud a z podmínky úlohy získáme soustavu rovnic

Je-li první rovnice soustavy na druhou, a poté výslednou rovnici vydělte druhou rovnicí, pak dostaneme

Nebo .

Odpovědět: .

Příklad 9 Najděte všechny hodnoty, pro které je posloupnost , , geometrickou progresí.

Rozhodnutí. Nechte, a. Podle vzorce (2), který definuje hlavní vlastnost geometrické posloupnosti, můžeme psát nebo .

Odtud dostaneme kvadratickou rovnici, jehož kořeny jsou a .

Zkontrolujeme: pokud, pak , a ; pokud , pak , a .

V prvním případě máme a , a ve druhém - a .

Odpovědět: , .

Příklad 10řešit rovnici

, (11)

kde a .

Rozhodnutí. Levá strana rovnice (11) je součtem nekonečné klesající geometrické posloupnosti, ve které a , za předpokladu: a .

Ze vzorce (7) vyplývá, co . V tomto ohledu má rovnice (11) tvar nebo . vhodný kořen kvadratická rovnice je

Odpovědět: .

Příklad 11. P posloupnost kladných číseltvoří aritmetický postup, a - geometrický postup, co to má společného s . Najít .

Rozhodnutí. Tak jako aritmetická posloupnost, pak (hlavní vlastnost aritmetické progrese). Pokud, pak nebo . Z toho vyplývá , že geometrická progrese je. Podle vzorce (2), pak to napíšeme.

Od a poté . V tom případě výraz má podobu nebo . Podle podmínky, takže z rovnicedostaneme jediné rozhodnutí zvažovaný problém, tj. .

Odpovědět: .

Příklad 12. Vypočítejte součet

. (12)

Rozhodnutí. Vynásobte obě strany rovnosti (12) 5 a dostanete

Odečteme-li od výsledného výrazu (12)., pak

nebo .

Pro výpočet dosadíme hodnoty do vzorce (7) a získáme . Od té doby .

Odpovědět: .

Zde uvedené příklady řešení problémů poslouží uchazečům při přípravě na přijímací zkoušky. Pro hlubší studium metod řešení problémů, spojené s geometrickou progresí, může být použito studijními průvodci ze seznamu doporučené literatury.

1. Sbírka úloh z matematiky pro uchazeče na technické vysoké školy / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pro středoškoláky: doplňkové sekce školní osnovy. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medýnský M.M. Celý kurz elementární matematika v úlohách a cvičeních. Kniha 2: Číselné posloupnosti a progrese. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Máte nějaké dotazy?

Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.

stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.

Geometrická progrese neméně důležité v matematice než v aritmetice. Geometrická posloupnost je taková posloupnost čísel b1, b2,..., b[n], jejíž každý další člen získáme vynásobením předchozího konstantním číslem. Toto číslo, které také charakterizuje rychlost růstu nebo poklesu progrese, se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti a označují

Pro úplné přiřazení geometrické posloupnosti je kromě jmenovatele nutné znát nebo určit její první člen. Pro kladná hodnota progrese jmenovatele je monotónní posloupnost, a je-li tato posloupnost čísel monotónně klesající a monotónně rostoucí při. Případ, kdy je jmenovatel roven jedné, se v praxi neuvažuje, protože máme posloupnost stejných čísel a jejich sčítání není praktické.

Obecný pojem geometrické posloupnosti vypočítané podle vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti určeno vzorcem

Uvažujme řešení klasických úloh geometrické posloupnosti. Začněme tím nejjednodušším na pochopení.

Příklad 1. První člen geometrické posloupnosti je 27 a její jmenovatel je 1/3. Najděte prvních šest členů geometrické posloupnosti.

Řešení: Do formuláře zapíšeme podmínku úlohy

Pro výpočty používáme vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti

Na základě ní nacházíme neznámé členy progrese

Jak vidíte, vypočítat členy geometrické posloupnosti není obtížné. Samotná progrese bude vypadat takto

Příklad 2. Jsou dány první tři členy geometrické posloupnosti: 6; -12; 24. Najděte jmenovatele a sedmý člen.

Řešení: Vypočteme jmenovatele geometrické posloupnosti na základě její definice

Dostali jsme střídavou geometrickou posloupnost, jejíž jmenovatel je -2. Sedmý člen se vypočítá podle vzorce

Na tomto úkolu je vyřešen.

Příklad 3. Geometrická posloupnost je dána dvěma jejími členy . Najděte desátý termín postupu.

Rozhodnutí:

Zapišme dané hodnoty prostřednictvím vzorců

Podle pravidel by člověk musel najít jmenovatele a pak hledat požadovanou hodnotu, ale už desáté volební období máme

Stejný vzorec lze získat na základě jednoduchých manipulací se vstupními daty. Šestý termín řady dělíme dalším, v důsledku toho dostaneme

Pokud se výsledná hodnota vynásobí šestým členem, dostaneme desátý

Tedy na takové problémy pomocí jednoduchých transformací do rychlý způsob můžete najít správné řešení.

Příklad 4. Geometrická posloupnost je dána opakujícími se vzorci

Najděte jmenovatele geometrické posloupnosti a součet prvních šesti členů.

Rozhodnutí:

Daná data zapisujeme ve formě soustavy rovnic

Vyjádřete jmenovatele vydělením druhé rovnice první

Najděte první člen průběhu z první rovnice

Vypočítejte následujících pět členů, abyste našli součet geometrické posloupnosti

Návod

10, 30, 90, 270...

Je potřeba najít jmenovatele geometrické posloupnosti.
Rozhodnutí:

1 možnost. Vezměme libovolný člen progrese (například 90) a vydělme jej předchozím (30): 90/30=3.

Je-li znám součet několika členů geometrické posloupnosti nebo součet všech členů klesající geometrické posloupnosti, pak pro nalezení jmenovatele posloupnosti použijte příslušné vzorce:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kde Sn je součet prvních n členů geometrické posloupnosti a
S = b1/(1-q), kde S je součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti (součet všech členů posloupnosti se jmenovatelem menším než jedna).
Příklad.

První člen klesající geometrické posloupnosti je roven jedné a součet všech jejích členů je roven dvěma.

Je nutné určit jmenovatele této progrese.
Rozhodnutí:

Dosaďte do vzorce data z úkolu. Dostat:
2=1/(1-q), odkud – q=1/2.

Posloupnost je posloupnost čísel. V geometrické posloupnosti se každý následující člen získá vynásobením předchozího nějakým číslem q, které se nazývá jmenovatel posloupnosti.

Návod

Pokud jsou známy dva sousední členy geometrické b(n+1) a b(n), je pro získání jmenovatele nutné vydělit číslo s velkým číslem tím, které mu předchází: q=b(n +1)/b(n). Vyplývá to z definice progrese a jejího jmenovatele. Důležitá podmínka je nerovnost nula prvního členu a jmenovatel progrese, jinak se považuje za neurčitou.

Mezi členy posloupnosti jsou tedy vytvořeny následující vztahy: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Vzorcem b(n)=b1 q^(n-1) lze vypočítat libovolný člen geometrické posloupnosti, ve které je znám jmenovatel q a člen b1. Také každý modul progrese se rovná průměru jeho sousedních členů: |b(n)|=√, takže progrese má své .

Nejjednodušší je analogie geometrického postupu exponenciální funkce y=a^x, kde x je v exponentu, a je nějaké číslo. V tomto případě se jmenovatel progrese shoduje s prvním členem a je roven číslu a. Hodnotu funkce y lze chápat jako n-tý termín posloupnosti, pokud argument x bereme jako přirozené číslo n (počítadlo).

Existuje pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Tento vzorec platí pro q≠1. Je-li q=1, pak se součet prvních n členů vypočítá podle vzorce S(n)=n b1. Mimochodem, progresi budeme nazývat rostoucí pro q větší než jedna a kladné b1. Když jmenovatel progrese, modulo nepřesahuje jednu, bude progrese nazývána klesající.

Speciálním případem geometrické progrese je nekonečně klesající geometrická progrese (b.u.g.p.). Faktem je, že členy klesající geometrické progrese se budou stále znovu snižovat, ale nikdy nedosáhnou nuly. Přesto je možné najít součet všech termínů takové progrese. Je určeno vzorcem S=b1/(1-q). Celkový n členů je nekonečných.

Chcete-li si představit, jak můžete sečíst nekonečný počet čísel a nezískat nekonečno, upečte dort. Odřízněte polovinu. Pak odřízněte 1/2 poloviny a tak dále. Kusy, které získáte, nejsou nic jiného než členy nekonečně klesající geometrické progrese se jmenovatelem 1/2. Pokud dáte všechny tyto kousky dohromady, získáte originální dort.

Geometrické úlohy jsou speciálním druhem cvičení, které vyžaduje prostorové myšlení. Pokud neumíte vyřešit geometrické úkol zkuste dodržovat níže uvedená pravidla.

Návod

Velmi pozorně si přečtěte stav problému, pokud si něco nepamatujete nebo něčemu nerozumíte, přečtěte si to znovu.

Zkuste určit, o jaké geometrické úlohy se jedná, např.: výpočetní, kdy potřebujete zjistit nějakou hodnotu, úlohy vyžadující logický řetězec uvažování, úlohy pro stavbu pomocí kružítka a pravítka. Více úkolů smíšený typ. Jakmile zjistíte typ problému, zkuste myslet logicky.

Použijte pro tento problém potřebnou větu, pokud existují pochybnosti nebo neexistují žádné možnosti, zkuste si vzpomenout na teorii, kterou jste na příslušné téma studovali.

Udělejte si také návrh problému. Zkuste použít známé metody ke kontrole správnosti vašeho řešení.

Dokončete řešení problému úhledně v poznámkovém bloku, bez skvrn a přeškrtnutí, a co je nejdůležitější -. Možná to bude vyžadovat čas a úsilí, než vyřešit první geometrické problémy. Jakmile však tomuto procesu přijdete na kloub, začnete klikat na úkoly jako ořechy a budete se při tom bavit!

Geometrická posloupnost je posloupnost čísel b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) taková, že b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Jinými slovy, každý člen posloupnosti se získá z předchozího vynásobením nějakým nenulovým jmenovatelem posloupnosti q.

Návod

Problémy na progresi se nejčastěji řeší sestavením a sledováním systému s ohledem na první člen progrese b1 a jmenovatele progrese q. Pro psaní rovnic je užitečné zapamatovat si některé vzorce.

Jak vyjádřit n-tý člen posloupnosti přes první člen posloupnosti a jmenovatel posloupnosti: b(n)=b1*q^(n-1).

Zvažte samostatně případ |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии