Definición del logaritmo y sus propiedades: teoría y resolución de problemas. ¿Qué es un logaritmo? Resolver logaritmos

Logaritmo con base a es una función de y (x) = iniciar sesión x, inversa a la función exponencial con base a: x (y) = ay.

logaritmo decimal es el logaritmo en la base de un número 10 : iniciar sesión x ≡ iniciar sesión 10 x.

Logaritmo natural es el logaritmo en base de e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

La gráfica del logaritmo se obtiene a partir de la gráfica de la función exponencial reflejándola con respecto a la línea recta y = x. A la izquierda están las gráficas de la función y (x) = iniciar sesión x por cuatro valores bases de logaritmos: un = 2 , un = 8 , un = 1/2 y un = 1/8 . La gráfica muestra que cuando a > 1 el logaritmo aumenta monótonamente. A medida que x aumenta, el crecimiento se ralentiza significativamente. En 0 < a < 1 el logaritmo disminuye monótonamente.

Propiedades del logaritmo

Dominio, conjunto de valores, creciente, decreciente.

El logaritmo es una función monótona, por lo que no tiene extremos. Las principales propiedades del logaritmo se presentan en la tabla.

Dominio	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rango de valores	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monótono	aumenta monótonamente	disminuye monótonamente
Ceros, y = 0	x = 1	x = 1
Puntos de intersección con el eje de ordenadas, x = 0	No	No
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Valores privados

El logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal y se denota de la siguiente manera:

Logaritmo a base mi llamado logaritmo natural:

Fórmulas básicas para logaritmos.

Propiedades del logaritmo que surgen de la definición de la función inversa:

La principal propiedad de los logaritmos y sus consecuencias.

Fórmula de reemplazo base

Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar logaritmos, los productos de factores se convierten en sumas de términos.

Potenciación es la operación matemática inversa del logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en productos de factores.

Prueba de fórmulas básicas para logaritmos.

Las fórmulas relacionadas con los logaritmos se derivan de fórmulas para funciones exponenciales y de la definición de función inversa.

Considere la propiedad de la función exponencial.
.
Entonces
.
Apliquemos la propiedad de la función exponencial.
:
.

Probemos la fórmula de reemplazo de bases.
;
.
Suponiendo c = b, tenemos:

Función inversa

La inversa de un logaritmo en base a es una función exponencial con exponente a.

Si entonces

Si entonces

Derivada del logaritmo

Derivada del logaritmo del módulo x:
.
Derivada de enésimo orden:
.
Derivando fórmulas > > >

Para encontrar la derivada de un logaritmo, se debe reducir a la base. mi.
;
.

Integral

La integral del logaritmo se calcula integrando por partes: .
Entonces,

Expresiones usando números complejos

Considere la función de números complejos z:
.
Expresemos un número complejo. z vía módulo r y argumento φ :
.
Luego, usando las propiedades del logaritmo, tenemos:
.
O

Sin embargo, el argumento φ no definido unívocamente. Si pones
, donde n es un número entero,
entonces será el mismo número para diferentes norte.

Por tanto, el logaritmo, como función de una variable compleja, no es una función univaluada.

Expansión de series de potencias

Cuando se produce la ampliación:

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.

El logaritmo de un número positivo b en base a (a>0, a no es igual a 1) es un número c tal que a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Tenga en cuenta que el logaritmo de un número no positivo no está definido. Además, la base del logaritmo debe ser un número positivo que no sea igual a 1. Por ejemplo, si elevamos -2 al cuadrado, obtenemos el número 4, pero esto no significa que el logaritmo en base -2 de 4 es igual a 2.

Identidad logarítmica básica

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Es importante que el alcance de la definición de los lados derecho e izquierdo de esta fórmula sea diferente. El lado izquierdo se define sólo para b>0, a>0 y a ≠ 1. El lado derecho se define para cualquier b y no depende de a en absoluto. Por tanto, la aplicación de la "identidad" logarítmica básica al resolver ecuaciones y desigualdades puede conducir a un cambio en la OD.

Dos consecuencias obvias de la definición de logaritmo

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

De hecho, cuando elevamos el número a a la primera potencia, obtenemos el mismo número, y cuando lo elevamos a la potencia cero, obtenemos uno.

Logaritmo del producto y logaritmo del cociente

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Me gustaría advertir a los escolares que no utilicen irreflexivamente estas fórmulas al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. Al usarlos "de izquierda a derecha", la ODZ se estrecha, y al pasar de la suma o diferencia de logaritmos al logaritmo del producto o cociente, la ODZ se expande.

De hecho, la expresión log a (f (x) g (x)) se define en dos casos: cuando ambas funciones son estrictamente positivas o cuando f(x) y g(x) son menores que cero.

Al transformar esta expresión en la suma log a f (x) + log a g (x), nos vemos obligados a limitarnos solo al caso en que f(x)>0 y g(x)>0. Hay una reducción del rango de valores aceptables, y esto es categóricamente inaceptable, ya que puede conducir a una pérdida de soluciones. Existe un problema similar para la fórmula (6).

El grado se puede sacar del signo del logaritmo.

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Y nuevamente me gustaría pedir precisión. Considere el siguiente ejemplo:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

El lado izquierdo de la igualdad está obviamente definido para todos los valores de f(x) excepto cero. ¡El lado derecho es solo para f(x)>0! Al quitar el grado del logaritmo, estrechamos nuevamente la ODZ. El procedimiento inverso conduce a una ampliación del rango de valores aceptables. Todas estas observaciones se aplican no sólo a la potencia 2, sino también a cualquier potencia par.

Fórmula para pasar a una nueva fundación

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ese raro caso en el que la ODZ no cambia durante la transformación. Si has elegido sabiamente la base c (positiva y distinta de 1), la fórmula para pasar a una nueva base es completamente segura.

Si elegimos el número b como nueva base c, obtenemos un caso especial importante de la fórmula (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Algunos ejemplos sencillos con logaritmos

Ejemplo 1. Calcular: log2 + log50.
Solución. log2 + log50 = log100 = 2. Usamos la fórmula de suma de logaritmos (5) y la definición del logaritmo decimal.

Ejemplo 2. Calcular: lg125/lg5.
Solución. log125/log5 = log 5 125 = 3. Usamos la fórmula para movernos a una nueva base (8).

Tabla de fórmulas relacionadas con logaritmos.

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

iniciar sesión a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

iniciar sesión a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Como sabes, al multiplicar expresiones con potencias, sus exponentes siempre suman (a b *a c = a b+c). Esta ley matemática fue deducida por Arquímedes y, más tarde, en el siglo VIII, el matemático Virasen creó una tabla de exponentes enteros. Fueron ellos quienes sirvieron para un mayor descubrimiento de los logaritmos. Se pueden encontrar ejemplos del uso de esta función en casi todos los lugares donde sea necesario simplificar una multiplicación engorrosa mediante una simple suma. Si dedicas 10 minutos a leer este artículo, te explicaremos qué son los logaritmos y cómo trabajar con ellos. En un lenguaje sencillo y accesible.

Definición en matemáticas

Un logaritmo es una expresión de la siguiente forma: log a b=c, es decir, el logaritmo de cualquier número no negativo (es decir, cualquier positivo) “b” a su base “a” se considera la potencia “c ” al cual se debe elevar la base “a” para finalmente obtener el valor “b”. Analicemos el logaritmo usando ejemplos, digamos que hay una expresión log 2 8. ¿Cómo encontrar la respuesta? Es muy simple, necesitas encontrar una potencia tal que de 2 a la potencia requerida obtengas 8. Después de hacer algunos cálculos mentales, ¡obtenemos el número 3! Y eso es cierto, porque 2 elevado a 3 da la respuesta 8.

Tipos de logaritmos

Para muchos alumnos y estudiantes, este tema parece complicado e incomprensible, pero en realidad los logaritmos no dan tanto miedo, lo principal es comprender su significado general y recordar sus propiedades y algunas reglas. Hay tres tipos distintos de expresiones logarítmicas:

1. Logaritmo natural en a, donde la base es el número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, donde la base es 10.
3. Logaritmo de cualquier número b en base a>1.

Cada uno de ellos se resuelve de forma estándar, incluyendo simplificación, reducción y posterior reducción a un solo logaritmo mediante teoremas logarítmicos. Para obtener los valores correctos de los logaritmos, conviene recordar sus propiedades y la secuencia de acciones a la hora de resolverlos.

Reglas y algunas restricciones.

En matemáticas existen varias reglas-restricciones que se aceptan como axioma, es decir, no están sujetas a discusión y son la verdad. Por ejemplo, es imposible dividir números por cero y también es imposible extraer la raíz par de números negativos. Los logaritmos también tienen sus propias reglas, siguiendo las cuales puedes aprender fácilmente a trabajar incluso con expresiones logarítmicas largas y amplias:

• La base “a” siempre debe ser mayor que cero, y no igual a 1, de lo contrario la expresión perderá su significado, porque “1” y “0” en cualquier grado siempre son iguales a sus valores;
• si a > 0, entonces a b >0, resulta que “c” también debe ser mayor que cero.

¿Cómo resolver logaritmos?

Por ejemplo, la tarea es encontrar la respuesta a la ecuación 10 x = 100. Esto es muy fácil, debes elegir una potencia elevando el número diez a lo que obtenemos 100. Esto, por supuesto, es 10 2 = 100.

Ahora representemos esta expresión en forma logarítmica. Obtenemos log 10 100 = 2. Al resolver logaritmos, todas las acciones prácticamente convergen para encontrar la potencia a la que es necesario ingresar la base del logaritmo para obtener un número determinado.

Para determinar con precisión el valor de un grado desconocido, es necesario aprender a trabajar con una tabla de grados. Se parece a esto:

Como puedes ver, algunos exponentes se pueden adivinar intuitivamente si tienes una mente técnica y conocimientos de la tabla de multiplicar. Sin embargo, para valores mayores necesitarás una tabla de potencia. Puede ser utilizado incluso por aquellos que no saben nada sobre temas matemáticos complejos. La columna de la izquierda contiene números (base a), la fila superior de números es el valor de la potencia c a la que se eleva el número a. En la intersección, las celdas contienen los valores numéricos que son la respuesta (a c =b). Tomemos, por ejemplo, la primera celda con el número 10 y la elevamos al cuadrado, obtenemos el valor 100, que se indica en la intersección de nuestras dos celdas. ¡Todo es tan simple y fácil que incluso el humanista más verdadero lo entenderá!

Ecuaciones y desigualdades

Resulta que bajo ciertas condiciones el exponente es el logaritmo. Por tanto, cualquier expresión numérica matemática se puede escribir como una igualdad logarítmica. Por ejemplo, 3 4 =81 se puede escribir como el logaritmo en base 3 de 81 igual a cuatro (log 3 81 = 4). Para potencias negativas las reglas son las mismas: 2 -5 = 1/32 lo escribimos como un logaritmo, obtenemos log 2 (1/32) = -5. Una de las secciones más fascinantes de las matemáticas es el tema de los "logaritmos". Veremos ejemplos y soluciones de ecuaciones a continuación, inmediatamente después de estudiar sus propiedades. Ahora veamos cómo son las desigualdades y cómo distinguirlas de las ecuaciones.

Se da la siguiente expresión: log 2 (x-1) > 3 - es una desigualdad logarítmica, ya que el valor desconocido “x” está bajo el signo logarítmico. Y también en la expresión se comparan dos cantidades: el logaritmo del número deseado en base dos es mayor que el número tres.

La diferencia más importante entre ecuaciones logarítmicas y desigualdades es que las ecuaciones con logaritmos (por ejemplo, el logaritmo 2 x = √9) implican uno o más valores numéricos específicos en la respuesta, mientras que al resolver una desigualdad, tanto el rango de valores aceptables Los valores y los puntos se determinan rompiendo esta función. Como consecuencia, la respuesta no es un simple conjunto de números individuales, como en la respuesta a una ecuación, sino una serie o conjunto continuo de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Al resolver problemas primitivos de encontrar los valores de un logaritmo, es posible que no se conozcan sus propiedades. Sin embargo, cuando se trata de ecuaciones o desigualdades logarítmicas, en primer lugar, es necesario comprender claramente y aplicar en la práctica todas las propiedades básicas de los logaritmos. Veremos ejemplos de ecuaciones más adelante; primero veamos cada propiedad con más detalle.

1. La identidad principal se ve así: a logaB =B. Se aplica sólo cuando a es mayor que 0, distinto de uno y B es mayor que cero.
2. El logaritmo del producto se puede representar en la siguiente fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. En este caso, la condición obligatoria es: d, s 1 y s 2 > 0; a≠1. Puedes dar una prueba de esta fórmula logarítmica, con ejemplos y solución. Sean log a s 1 = f 1 y log a s 2 = f 2, luego a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obtenemos que s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propiedades de grados), y luego por definición: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que es lo que había que demostrar.
3. El logaritmo del cociente se ve así: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. El teorema en forma de fórmula toma la siguiente forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula se llama "propiedad del grado de logaritmo". Se parece a las propiedades de los grados ordinarios, y no es sorprendente, porque todas las matemáticas se basan en postulados naturales. Veamos la prueba.

Sea log a b = t, resulta a t =b. Si elevamos ambas partes a la potencia m: a tn = b n ;

pero como a tn = (a q) nt/q = b n, entonces log a q b n = (n*t)/t, entonces log a q b n = n/q log a b. El teorema ha sido demostrado.

Ejemplos de problemas y desigualdades

Los tipos más comunes de problemas sobre logaritmos son ejemplos de ecuaciones y desigualdades. Se encuentran en casi todos los libros de problemas y también son una parte obligatoria de los exámenes de matemáticas. Para ingresar a una universidad o aprobar exámenes de ingreso en matemáticas, es necesario saber cómo resolver correctamente dichas tareas.

Desafortunadamente, no existe un plan o esquema único para resolver y determinar el valor desconocido del logaritmo, pero se pueden aplicar ciertas reglas a cada desigualdad matemática o ecuación logarítmica. En primer lugar, conviene averiguar si la expresión se puede simplificar o reducir a una forma general. Puedes simplificar expresiones logarítmicas largas si usas sus propiedades correctamente. Conozcámoslos rápidamente.

A la hora de resolver ecuaciones logarítmicas debemos determinar qué tipo de logaritmo tenemos: una expresión de ejemplo puede contener un logaritmo natural o uno decimal.

A continuación se muestran ejemplos ln100, ln1026. Su solución se reduce al hecho de que necesitan determinar la potencia a la que la base 10 será igual a 100 y 1026, respectivamente. Para resolver logaritmos naturales, es necesario aplicar identidades logarítmicas o sus propiedades. Veamos ejemplos de resolución de problemas logarítmicos de varios tipos.

Cómo utilizar fórmulas logarítmicas: con ejemplos y soluciones

Entonces, veamos ejemplos del uso de los teoremas básicos sobre logaritmos.

1. La propiedad del logaritmo de un producto se puede utilizar en tareas donde es necesario descomponer un valor grande del número b en factores más simples. Por ejemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La respuesta es 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como puede ver, usando la cuarta propiedad de la potencia del logaritmo, logramos resolver una expresión aparentemente compleja e irresoluble. Sólo necesitas factorizar la base y luego quitar los valores del exponente del signo del logaritmo.

Asignaciones del Examen Estatal Unificado

Los logaritmos se encuentran a menudo en los exámenes de ingreso, especialmente muchos problemas logarítmicos en el Examen Estatal Unificado (examen estatal para todos los graduados de la escuela). Por lo general, estas tareas están presentes no solo en la parte A (la parte de prueba más sencilla del examen), sino también en la parte C (las tareas más complejas y voluminosas). El examen requiere un conocimiento preciso y perfecto del tema "Logaritmos naturales".

Se toman ejemplos y soluciones a problemas de las versiones oficiales del Examen Estatal Unificado. Veamos cómo se resuelven tales tareas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solución:
reescribamos la expresión, simplificándola un poco log 2 (2x-1) = 2 2, por definición del logaritmo obtenemos que 2x-1 = 2 4, por lo tanto 2x = 17; x = 8,5.

• Es mejor reducir todos los logaritmos a la misma base para que la solución no sea engorrosa ni confusa.
• Todas las expresiones bajo el signo del logaritmo se indican como positivas, por lo tanto, cuando se saca como multiplicador el exponente de una expresión que está bajo el signo del logaritmo y como base, la expresión que queda bajo el logaritmo debe ser positiva.

Hoy hablaremos de fórmulas logarítmicas y le daremos indicativo ejemplos de soluciones.

Ellos mismos implican patrones de solución de acuerdo con las propiedades básicas de los logaritmos. Antes de aplicar fórmulas de logaritmos para resolver, te recordamos todas las propiedades:

Ahora, basándonos en estas fórmulas (propiedades), mostraremos ejemplos de resolución de logaritmos.

Ejemplos de resolución de logaritmos basados ​​en fórmulas.

Logaritmo un número positivo b en base a (denotado por log a b) es un exponente al que se debe elevar a para obtener b, con b > 0, a > 0 y 1.

Según la definición, log a b = x, lo que equivale a a x = b, por lo tanto log a a x = x.

Logaritmos, ejemplos:

log 2 8 = 3, porque 2 3 = 8

log 7 49 = 2, porque 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, porque 5 -1 = 1/5

logaritmo decimal- este es un logaritmo ordinario, cuya base es 10. Se denota como lg.

log 10 100 = 2, porque 10 2 = 100

Logaritmo natural- también un logaritmo ordinario, un logaritmo, pero con base e (e = 2,71828... - un número irracional). Denotado como ln.

Es recomendable memorizar las fórmulas o propiedades de los logaritmos, porque las necesitaremos más adelante para resolver logaritmos, ecuaciones logarítmicas y desigualdades. Analicemos cada fórmula nuevamente con ejemplos.

• Identidad logarítmica básica
  un registro a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos.
  log a (bc) = log a b + log a c

  registro 3 8,1 + registro 3 10 = registro 3 (8,1*10) = registro 3 81 = 4

• El logaritmo del cociente es igual a la diferencia de los logaritmos.
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 registro 5 50 /9 registro 5 2 = 9 registro 5 50- registro 5 2 = 9 registro 5 25 = 9 2 = 81

• Propiedades de la potencia de un número logarítmico y la base del logaritmo

  Exponente del número logarítmico log a b m = mlog a b

  Exponente de la base del logaritmo log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  si m = n, obtenemos log a n b n = log a b

  registro 4 9 = registro 2 2 3 2 = registro 2 3

• Transición a una nueva fundación.
  log a b = log c b/log c a,

  si c = b, obtenemos log b b = 1

  entonces log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Como puedes ver, las fórmulas de logaritmos no son tan complicadas como parecen. Ahora, habiendo visto ejemplos de resolución de logaritmos, podemos pasar a ecuaciones logarítmicas. Consideraremos ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas con más detalle en el artículo: "". ¡No te pierdas!

Si aún tienes dudas sobre la solución, escríbelas en los comentarios del artículo.

Nota: decidimos obtener una clase de educación diferente y estudiar en el extranjero como opción.

propiedades principales.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

motivos idénticos

Log6 4 + log6 9.

Ahora compliquemos un poco la tarea.

Ejemplos de resolución de logaritmos

¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x >

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Transición a una nueva fundación.

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Ver también:

Propiedades básicas del logaritmo.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi.

Propiedades básicas de los logaritmos.

Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

2.

3.

4. Dónde .

Ejemplo 2. Encuentra x si

Ejemplo 3. Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Propiedades básicas de los logaritmos.

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulta la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, utilizamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo. Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador.

Fórmulas de logaritmos. Ejemplos de soluciones de logaritmos.

Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación.

Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".

1. logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
2. loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.

Ver también:

El logaritmo de b en base a denota la expresión. Calcular el logaritmo significa encontrar una potencia x () en la que se satisface la igualdad.

Propiedades básicas del logaritmo.

Es necesario conocer las propiedades anteriores, ya que casi todos los problemas y ejemplos relacionados con logaritmos se resuelven en base a ellas. El resto de las propiedades exóticas se pueden derivar mediante manipulaciones matemáticas con estas fórmulas.

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Al calcular la fórmula para la suma y diferencia de logaritmos (3.4), te encuentras con bastante frecuencia. El resto son algo complejos, pero en una serie de tareas son indispensables para simplificar expresiones complejas y calcular sus valores.

Casos comunes de logaritmos

Algunos de los logaritmos comunes son aquellos en los que la base es par diez, exponencial o dos.
El logaritmo en base diez suele denominarse logaritmo decimal y se denota simplemente por lg(x).

De la grabación se desprende claramente que los conceptos básicos no están escritos en la grabación. Por ejemplo

Un logaritmo natural es un logaritmo cuya base es un exponente (denotado por ln(x)).

El exponente es 2,718281828…. Para recordar el exponente, puedes estudiar la regla: el exponente es igual a 2,7 y el doble del año de nacimiento de León Nikolaevich Tolstoi. Conociendo esta regla, sabrás tanto el valor exacto del exponente como la fecha de nacimiento de León Tolstoi.

Y otro logaritmo importante en base dos se denota por

La derivada del logaritmo de una función es igual a uno dividido por la variable.

El logaritmo integral o antiderivado está determinado por la relación

El material proporcionado es suficiente para que resuelvas una amplia clase de problemas relacionados con logaritmos y logaritmos. Para ayudarlo a comprender el material, le daré solo algunos ejemplos comunes del plan de estudios escolar y de las universidades.

Ejemplos de logaritmos

Expresiones de logaritmos

Ejemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando las propiedades 3.5 calculamos

2.
Por la propiedad de diferencia de logaritmos tenemos

3.
Usando las propiedades 3.5 encontramos

4. Dónde .

Una expresión aparentemente compleja se simplifica utilizando una serie de reglas.

Encontrar valores de logaritmos

Ejemplo 2. Encuentra x si

Solución. Para el cálculo aplicamos al último término 5 y 13 propiedades.

Lo dejamos constancia y lloramos

Como las bases son iguales, igualamos las expresiones.

Logaritmos. Primer nivel.

Sea el valor de los logaritmos.

Calcular log(x) si

Solución: Tomemos un logaritmo de la variable para escribir el logaritmo mediante la suma de sus términos.

Este es solo el comienzo de nuestro conocimiento de los logaritmos y sus propiedades. Practique cálculos, enriquezca sus habilidades prácticas; pronto necesitará los conocimientos adquiridos para resolver ecuaciones logarítmicas. Habiendo estudiado los métodos básicos para resolver este tipo de ecuaciones, ampliaremos nuestros conocimientos a otro tema igualmente importante: las desigualdades logarítmicas...

Propiedades básicas de los logaritmos.

Los logaritmos, como cualquier número, se pueden sumar, restar y transformar de todas las formas posibles. Pero como los logaritmos no son exactamente números ordinarios, aquí existen reglas, que se llaman propiedades principales.

Definitivamente necesitas conocer estas reglas; sin ellas, no se puede resolver ni un solo problema logarítmico grave. Además, hay muy pocos: puedes aprender todo en un día. Entonces empecemos.

Sumar y restar logaritmos

Considere dos logaritmos con las mismas bases: logax y logay. Luego se pueden sumar y restar, y:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Entonces, la suma de logaritmos es igual al logaritmo del producto y la diferencia es igual al logaritmo del cociente. Tenga en cuenta: el punto clave aquí es motivos idénticos. Si los motivos son diferentes, ¡estas reglas no funcionan!

Estas fórmulas te ayudarán a calcular una expresión logarítmica incluso cuando no se consideran sus partes individuales (consulta la lección “¿Qué es un logaritmo”). Eche un vistazo a los ejemplos y vea:

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log6 4 + log6 9.

Como los logaritmos tienen las mismas bases, usamos la fórmula de suma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log2 48 − log2 3.

Las bases son las mismas, utilizamos la fórmula de diferencia:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log3 135 − log3 5.

Nuevamente las bases son las mismas, entonces tenemos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como puedes ver, las expresiones originales se componen de logaritmos "malos", que no se calculan por separado. Pero después de las transformaciones se obtienen números completamente normales. Muchas pruebas se basan en este hecho. Sí, en el Examen Estatal Unificado se ofrecen expresiones tipo test con toda seriedad (a veces prácticamente sin cambios).

Extrayendo el exponente del logaritmo

Ahora compliquemos un poco la tarea. ¿Qué pasa si la base o argumento de un logaritmo es una potencia? Entonces el exponente de este grado se puede sacar del signo del logaritmo según las siguientes reglas:

Es fácil ver que la última regla sigue a las dos primeras. Pero es mejor recordarlo de todos modos; en algunos casos, esto reducirá significativamente la cantidad de cálculos.

Por supuesto, todas estas reglas tienen sentido si se observa la ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Y una cosa más: aprende a aplicar todas las fórmulas no solo de izquierda a derecha, sino también al revés. , es decir. Puede ingresar los números antes del signo del logaritmo en el propio logaritmo.

Cómo resolver logaritmos

Esto es lo que más a menudo se requiere.

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log7 496.

Eliminemos el grado en el argumento usando la primera fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que el denominador contiene un logaritmo, cuya base y argumento son potencias exactas: 16 = 24; 49 = 72. Tenemos:

Creo que el último ejemplo requiere alguna aclaración. ¿A dónde se han ido los logaritmos? Hasta el último momento trabajamos sólo con el denominador. Presentamos la base y el argumento del logaritmo allí en forma de potencias y eliminamos los exponentes: obtuvimos una fracción de "tres pisos".

Ahora veamos la fracción principal. El numerador y el denominador contienen el mismo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reducir la fracción: 2/4 permanecerá en el denominador. Según las reglas de la aritmética, el cuatro se puede trasladar al numerador, que es lo que se hizo. El resultado fue la respuesta: 2.

Transición a una nueva fundación.

Hablando de las reglas para sumar y restar logaritmos, enfaticé específicamente que solo funcionan con las mismas bases. ¿Qué pasa si las razones son diferentes? ¿Y si no son potencias exactas del mismo número?

Las fórmulas para la transición a una nueva base vienen al rescate. Formulémoslos en forma de teorema:

Sea el logaritmo logax. Entonces, para cualquier número c tal que c > 0 y c ≠ 1, la igualdad es verdadera:

En particular, si hacemos c = x, obtenemos:

De la segunda fórmula se deduce que la base y el argumento del logaritmo se pueden intercambiar, pero en este caso se “da la vuelta” a toda la expresión, es decir el logaritmo aparece en el denominador.

Estas fórmulas rara vez se encuentran en expresiones numéricas ordinarias. Es posible evaluar qué tan convenientes son solo al resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas.

Sin embargo, hay problemas que no pueden resolverse en absoluto excepto trasladándose a una nueva fundación. Veamos un par de estos:

Tarea. Encuentre el valor de la expresión: log5 16 log2 25.

Tenga en cuenta que los argumentos de ambos logaritmos contienen potencias exactas. Saquemos los indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ahora “invirtamos” el segundo logaritmo:

Como el producto no cambia al reorganizar los factores, multiplicamos tranquilamente cuatro por dos y luego nos ocupamos de los logaritmos.

Tarea. Encuentra el valor de la expresión: log9 100 lg 3.

La base y el argumento del primer logaritmo son potencias exactas. Anotemos esto y eliminemos los indicadores:

Ahora eliminemos el logaritmo decimal moviéndolo a una nueva base:

Identidad logarítmica básica

A menudo, en el proceso de solución es necesario representar un número como un logaritmo con respecto a una base determinada. En este caso nos ayudarán las siguientes fórmulas:

En el primer caso, el número n se convierte en el exponente del argumento. El número n puede ser absolutamente cualquier cosa, porque es sólo un valor de logaritmo.

La segunda fórmula es en realidad una definición parafraseada. Así se llama: .

De hecho, ¿qué sucede si el número b se eleva a tal potencia que el número b elevado a esta potencia da el número a? Así es: el resultado es el mismo número a. Lea este párrafo con atención nuevamente; muchas personas se quedan estancadas en él.

Al igual que las fórmulas para pasar a una nueva base, la identidad logarítmica básica es a veces la única solución posible.

Tarea. Encuentra el significado de la expresión:

Tenga en cuenta que log25 64 = log5 8: simplemente tomó el cuadrado de la base y el argumento del logaritmo. Teniendo en cuenta las reglas para multiplicar potencias con la misma base, obtenemos:

Si alguien no lo sabe, esta fue una tarea real del Examen Estatal Unificado :)

Unidad logarítmica y cero logarítmico

En conclusión, daré dos identidades que difícilmente pueden llamarse propiedades; más bien, son consecuencias de la definición del logaritmo. Aparecen constantemente en los problemas y, sorprendentemente, crean problemas incluso para los estudiantes "avanzados".

1. logaa = 1 es. Recuerda de una vez por todas: el logaritmo de cualquier base a de esa base es igual a uno.
2. loga 1 = 0 es. La base a puede ser cualquier cosa, pero si el argumento contiene uno, ¡el logaritmo es igual a cero! Porque a0 = 1 es consecuencia directa de la definición.

Esas son todas las propiedades. ¡Asegúrate de practicar poniéndolos en práctica! Descargue la hoja de trucos al comienzo de la lección, imprímala y resuelva los problemas.