Trigonometrikus képletek: koszinusz, szinusz és kettős szög érintője. Trigonometrikus képletek: kettős szög koszinusza, szinusza és tangense A kettős szög szinuszának képletének levezetése

A trigonometriában sok képletet könnyebb levezetni, mint megjegyezni. A kettős szög koszinusza egy csodálatos képlet! Lehetővé teszi, hogy képleteket kapjon a fokok csökkentésére és képleteket a félszögekre.

Tehát szükségünk van a kettős szög és a trigonometrikus egység koszinuszára:

Még hasonlóak is: a duplaszögű koszinusz képletben a koszinusz és a szinusz négyzeteinek különbsége, a trigonometrikus egységben pedig az összegük. Ha a trigonometrikus egységből fejezzük ki a koszinuszát:

és behelyettesítjük a kettős szög koszinuszába, kapjuk:

Ez egy másik kettős szögű koszinusz képlet:

Ez a képlet a kulcs a redukciós képlet megszerzéséhez:

Tehát a szinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:

Ha benne az alfa-szöget fele-fele szöggel helyettesítjük, és a két alfa kettős szöget egy alfa-szöggel, akkor megkapjuk a szinusz félszög-képletét:

Most már a trigonometrikus egységből ki tudjuk fejezni a szinust:

Helyettesítsük be ezt a kifejezést a duplaszögű koszinusz képletbe:

Kaptunk egy másik képletet a kettős szög koszinuszára:

Ez a képlet a kulcs a koszinusz hatványának és a koszinusz félszögének csökkentésére.

Így a koszinusz mértékének csökkentésére szolgáló képlet a következő:

Ha α-t α/2-vel, 2α-t α-val helyettesítjük, megkapjuk a koszinusz félargumentumának képletét:

Mivel az érintő a szinusz és a koszinusz aránya, az érintő képlete a következő:

A kotangens a koszinusz és a szinusz aránya. Ezért a kotangens képlete:

Természetesen a trigonometrikus kifejezések egyszerűsítése során nincs értelme a képletet félszögre levezetni, vagy minden alkalommal egy fokot csökkenteni. Sokkal egyszerűbb egy képletekkel ellátott papírlapot maga elé tenni. És az egyszerűsítés gyorsabban halad, és a vizuális memória bekapcsolja a memorizálást.

De érdemes ezeket a képleteket többször is levezetni. Akkor teljesen biztos lesz abban, hogy a vizsga során, amikor nem lehet csalólapot használni, akkor könnyen megkapja őket, ha úgy kívánja.

Leggyakrabban ismételt kérdések

Lehet-e bélyegzőt készíteni egy dokumentumra a mellékelt minta alapján? Válasz Igen, lehetséges. Szkennelt másolatot vagy jó minőségű fényképet küldjön e-mail címünkre, és mi elkészítjük a szükséges másolatot.

Milyen fizetési módokat fogad el? Válasz A dokumentum ellenértékét a futár kézhezvételekor, az oklevél kitöltésének és a kivitelezés minőségének ellenőrzése után fizetheti ki. Ez megtehető az utánvétes postai társaságok irodáiban is.
A dokumentumok szállítási és fizetési feltételei a „Fizetés és kézbesítés” részben találhatók. Szintén készek vagyunk meghallgatni javaslataikat a dokumentum szállítási és fizetési feltételeivel kapcsolatban.

Biztos lehetek benne, hogy a rendelés leadása után nem fog eltűnni a pénzemmel? Válasz Nagy tapasztalattal rendelkezünk az oklevélkészítés területén. Számos weboldalunk van, amelyeket folyamatosan frissítünk. Szakembereink az ország különböző pontjain dolgoznak, naponta több mint 10 dokumentumot készítenek. Az évek során dokumentumaink sok embernek segítettek a foglalkoztatási problémák megoldásában vagy a jobban fizető állásokba költözésben. Megbízóink körében bizalmat és elismerést vívtunk ki, így erre semmi okunk. Ráadásul ezt fizikailag egyszerűen lehetetlen megtenni: abban a pillanatban fizetsz a rendelésedért, amikor a kezedbe kapod, nincs előleg.

Bármelyik egyetemről rendelhetek diplomát? Válasz Általában igen. Közel 12 éve dolgozunk ezen a területen. Ezalatt az ország szinte valamennyi egyeteme által kiadott dokumentumokból és a különböző kiadási évekre vonatkozóan szinte teljes adatbázis alakult ki. Csak ki kell választani egy egyetemet, szakot, dokumentumot, és kitölteni a megrendelőlapot.

Mi a teendő, ha elírási hibákat talál egy dokumentumban? Válasz Ha futárunktól vagy postai cégünktől dokumentumot kap, javasoljuk, hogy alaposan ellenőrizze az összes részletet. Elírási hiba, pontatlanság észlelése esetén jogában áll az oklevelet nem átvenni, de az észlelt hibákat személyesen vagy írásban jeleznie kell a futárnak.
A dokumentumot a lehető legrövidebb időn belül kijavítjuk és újra elküldjük a megadott címre. Természetesen a szállítást cégünk állja.
Az ilyen félreértések elkerülése érdekében az eredeti űrlap kitöltése előtt e-mailben elküldjük az ügyfélnek a jövőbeni dokumentum makettjét a végleges verzió ellenőrzéséhez és jóváhagyásához. A dokumentum futárral vagy postai úton történő elküldése előtt további fényképeket és videókat is készítünk (beleértve az ultraibolya fényben is), hogy világos elképzelése legyen arról, mit kap a végén.

Mit kell tennem, hogy diplomát rendeljek a cégétől? Válasz Dokumentum (bizonyítvány, oklevél, tanulmányi bizonyítvány stb.) megrendeléséhez ki kell töltenie a weboldalunkon található online megrendelőlapot, vagy meg kell adnia e-mail-címét, hogy el tudjuk küldeni a jelentkezési lapot, amelyet kitöltve vissza kell küldenie. nekünk.
Ha nem tudja, mit kell feltüntetni a megrendelőlap/kérdőív bármely mezőjében, hagyja üresen. Ezért minden hiányzó információt telefonon pontosítunk.

Legfrissebb értékelések

Torywild:

Úgy döntöttem, hogy az Ön cégétől vásárolok egy diplomát, amikor másik városba költöztem, és nem találtam a diplomámat a dolgaim között. Nélküle nem vettek volna fel egy jó, jól fizető állásra. Tanácsadója biztosított arról, hogy ezeket az információkat nem hozzák nyilvánosságra, és senki sem fogja megkülönböztetni a dokumentumot az eredetitől. Nem voltak kétségei, de kockáztatnom kellett. Tetszett, hogy nem kell előleget fizetni. Általában időben megkaptam a diplomámat, és nem csaltak meg. Köszönöm!

Oksana Ivanovna:

Amikor ellopták a diplomámat, borzasztóan fel voltam háborodva. Hiszen éppen akkoriban rúgtak ki, és ma már szinte lehetetlen jó állást találni felsőfokú végzettség nélkül. Szerencsére egy szomszéd azt javasolta, hogy lépjen kapcsolatba a szervezetével. Először szkeptikus voltam, de úgy döntöttem, hogy megkockáztatom. Felhívtam a cégvezetőt és elmagyaráztam a helyzetemet. És szerencsés vagyok! Mindent gyorsan megtettek, és ami a legfontosabb, megígérték, hogy nem árulják el a titkomat. Aggódtam, hogy később nem derül ki, hogy megvettem a diplomát.

Masha Kutenkova:

Köszönöm a munkát! 1991-től rendeltem oklevelet. Amikor elkezdték összegyűjteni az iratokat, kiderült, hogy kevés a tapasztalat, és a végzettségüket igazoló papír is kell. Nekem nem volt, és a főnök tudta ezt, és ő maga ajánlotta a cégedet (úgy tűnik, nem vagyok olyan, mint egy alkalmazott). A dokumentumon rámutatott a részletekre - azt írják, hogy milyen években használnak tintát vagy tintát, az aláírás vastagságát stb. Köszönöm az aprólékosságot és a minőséget!

LenOK:

Miután elolvastam az olyan alkalmazottak szégyenteljes elbocsátásáról szóló történeteket, akiknek a diplomáját színes nyomtatón nyomtatták, jelentkeztem az egyetemre. Sajnos nincs költségvetés, nincs pénz tanulásra és nincs pénz a foglalkozásokra, ezért kockáztatnom kellett. Bár nagyon örülök, hogy megismerhettem a társaságát. Bár a gyakorlati blokk meghiúsulása miatt nem a diplomáddal vettek fel, ez nem a te hibád. Amint új helyet találok, azonnal hozzád megyek, késedelem nélkül!

Jerry Terry:

Nézve, hogy kollégámat milyen szégyenkezéssel dobták ki a munkából egy hamis oklevél miatt, ijesztő volt követni a példáját. Ha nincs a keresztanya, aki rendelt tőled, nem vállaltam volna a kockázatot. Biztosított, hogy itt minden zökkenőmentes, és a nevem ott lesz, ahol szükség van rá. 4 napom volt mindenre. Köszönjük a gyorsaságot - 3-ban teljesítettük, és sikerült alaposan áttanulmányozni az irathamisítási módszereket is, de a nyomtatványod nem minősül hamisítványnak, vagyis eredetinek átmegy.

Andrey:

Soha nem gondoltam volna, hogy diplomát kell vennem. Iskola után a lányom Lengyelországba ment dolgozni; amikor 5 évvel később visszatért, ruhatervezőként szeretett volna elhelyezkedni egy helyi divatházban. Diploma nélkül senki sem akarta felvenni. Megértette, hogy ha nem kapja meg ezt az állást, újra elmegy. Az estét internetezéssel töltöttem, reggel pedig már az irodában voltam a lányom dokumentumaival. Egy héttel később elvitte magával a diplomáját, és végül a városában maradt dolgozni a kívánt pozícióban. Fogalmad sincs, mennyire hálás vagyok neked!

Az összeadási képletek lehetővé teszik sin(2*a), cos(2*a) és tan(a) kifejezését az a szög trigonometrikus függvényeivel.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Tegyük ezekbe a képletekbe a = b-t. Ennek eredményeként a következő azonosságokat kapjuk:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Ezeket az azonosságokat duplaszög képleteknek nevezzük. Nézzünk meg néhány példát a kettős szögképletek használatára.

1. példa Határozzuk meg a sin(2*a) értékét, tudva, hogy cos(a) = -0,8 és a a 3. negyedszög. Megoldás:

Először számoljuk ki a sin(a)-t. Mivel az a szög a harmadik negyed, a harmadik negyed szinusza negatív lesz:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

A kettős szögű szinusz képletet használva a következőket kapjuk:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Válasz: sin(2*a) = 0,96.

2. példa Egyszerűsítse a sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) kifejezést. Megoldás:

Vegyük ki a sin(a)*cos(a)-t a zárójelekből. Kapunk:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Most használjuk a kettős szög képleteket:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*sin(4*a).

Válasz: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

A kettős szög képletekkel a következő kifejezéseket kaphatja

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Néha a példák megoldása során nagyon kényelmes ezeknek a képleteknek a használata. Tekintsük a következő példát:

3. példa Egyszerűsítse az (1-cos(a))/(1+cos(a)) kifejezést. Megoldás:

Alkalmazzuk a fent leírt képleteket az (1-cos(a)) és (1+cos(a)) kifejezésekre. Ehhez először ábrázoljuk az a szöget a következő 2*(a/2) szorzat formájában.

Az átalakítások eredményeként a következőket kapjuk:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2,

Az érintő definícióját használva a következőket kapjuk:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Válasz: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

– biztosan lesznek feladatok a trigonometriával kapcsolatban. A trigonometriát gyakran nem szeretik, mert rengeteg bonyolult képletet kell összezsúfolni, amelyek tele vannak szinuszokkal, koszinuszokkal, érintőkkel és kotangensekkel. Az oldal már egyszer tanácsokat adott egy elfelejtett képlet megjegyezéséhez, az Euler és Peel képlet példáján.

És ebben a cikkben megpróbáljuk megmutatni, hogy elegendő csak öt egyszerű trigonometrikus képlet szilárdan ismerése, a többi általános megértése és azok levezetése. Ez olyan, mint a DNS-nél: a molekula nem tárolja a kész élőlény teljes tervrajzát. Inkább utasításokat tartalmaz a rendelkezésre álló aminosavakból történő összeállításhoz. Tehát a trigonometriában néhány általános elv ismeretében az összes szükséges képletet megkapjuk a szem előtt tartandó egy kis halmazából.

A következő képletekre fogunk támaszkodni:

A szinusz- és koszinuszösszegek képleteiből a koszinuszfüggvény paritásának és a szinuszfüggvény páratlanságának ismeretében, b helyett -b-vel helyettesítve a különbségek képleteit kapjuk:

1. A különbség szinusza: bűn(a-b) = bűnakötözősaláta(-b)+kötözősalátaabűn(-b) = bűnakötözősalátab-kötözősalátaabűnb
2. A különbség koszinusza: kötözősaláta(a-b) = kötözősalátaakötözősaláta(-b)-bűnabűn(-b) = kötözősalátaakötözősalátab+bűnabűnb

Ha a = b-t ugyanabba a képletbe tesszük, megkapjuk a kettős szögek szinuszának és koszinuszának képleteit:

1. Kettős szög szinusza: bűn2a = bűn(a+a) = bűnakötözősalátaa+kötözősalátaabűna = 2bűnakötözősalátaa
2. Kettős szög koszinusza: kötözősaláta2a = kötözősaláta(a+a) = kötözősalátaakötözősalátaa-bűnabűna = kötözősaláta2 a-bűn2 a

A többi több szög képletét hasonló módon kapjuk meg:

1. Háromszög szinusza: bűn3a = bűn(2a+a) = bűn2akötözősalátaa+kötözősaláta2abűna = (2bűnakötözősalátaa)kötözősalátaa+(kötözősaláta2 a-bűn2 a)bűna = 2bűnakötözősaláta2 a+bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűnakötözősaláta2 a-bűn 3 a = 3 bűna(1-bűn2 a)-bűn 3 a = 3 bűna-4bűn 3a
2. Háromszög koszinusza: kötözősaláta3a = kötözősaláta(2a+a) = kötözősaláta2akötözősalátaa-bűn2abűna = (kötözősaláta2 a-bűn2 a)kötözősalátaa-(2bűnakötözősalátaa)bűna = kötözősaláta 3 a- bűn2 akötözősalátaa-2bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3 bűn2 akötözősalátaa = kötözősaláta 3 a-3(1- kötözősaláta2 a)kötözősalátaa = 4kötözősaláta 3 a-3 kötözősalátaa

Mielőtt továbblépnénk, nézzünk meg egy problémát.
Adott: a szög hegyes.
Keresse meg a koszinuszát, ha
Egy diák által adott megoldás:
Mert , Azt bűna= 3,a kötözősalátaa = 4.
(Matek humorból)

Tehát az érintő definíciója ezt a függvényt a szinuszhoz és a koszinuszhoz is kapcsolja. De kaphat olyan képletet, amely az érintőt csak a koszinuszhoz viszonyítja. Ennek levezetéséhez a fő trigonometrikus azonosságot vesszük: bűn 2 a+kötözősaláta 2 a= 1, és oszd el vele kötözősaláta 2 a. Kapunk:

Tehát a probléma megoldása a következő lenne:

(Mivel a szög hegyes, a gyökér kiemelésekor a + jelet veszik)

Az összeg tangensének képlete egy másik, amelyet nehéz megjegyezni. Adjuk ki a következőképpen:

Azonnal megjelenik és

A kettős szög koszinusz képletéből megkaphatja a félszög szinusz és koszinusz képletét. Ehhez a dupla szög koszinusz képlet bal oldalán:
kötözősaláta2 a = kötözősaláta 2 a-bűn 2 a
hozzáadunk egyet, és jobbra - egy trigonometrikus egységet, azaz. a szinusz és a koszinusz négyzeteinek összege.
kötözősaláta2a+1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a+kötözősaláta2 a+bűn2 a
2kötözősaláta 2 a = kötözősaláta2 a+1
Kifejezése kötözősalátaa keresztül kötözősaláta2 aés a változók megváltoztatását végrehajtva a következőt kapjuk:

A jelet a kvadránstól függően veszik.

Hasonlóképpen, ha az egyenlőség bal oldaláról levonunk egyet, a jobb oldalról pedig a szinusz és a koszinusz négyzetösszegét, a következőt kapjuk:
kötözősaláta2a-1 = kötözősaláta2 a-bűn2 a-kötözősaláta2 a-bűn2 a
2bűn 2 a = 1-kötözősaláta2 a

És végül, hogy a trigonometrikus függvények összegét szorzattá konvertáljuk, a következő technikát használjuk. Tegyük fel, hogy a szinuszok összegét szorzatként kell ábrázolnunk bűna+bűnb. Vezessünk be x és y változókat úgy, hogy a = x+y, b+x-y. Akkor
bűna+bűnb = bűn(x+y)+ bűn(x-y) = bűn x kötözősaláta y+ kötözősaláta x bűn y+ bűn x kötözősaláta y- kötözősaláta x bűn y=2 bűn x kötözősaláta y. Most fejezzük ki x-et és y-t a-val és b-vel.

Mivel a = x+y, b = x-y, akkor . Ezért

Azonnal visszavonhatod

1. Képlet a particionáláshoz szinusz és koszinusz szorzatai V összeg: bűnakötözősalátab = 0.5(bűn(a+b)+bűn(a-b))

Javasoljuk, hogy saját maga gyakoroljon és származtasson képleteket a szinuszok különbségének és a koszinuszok összegének és különbségének szorzattá konvertálására, valamint a szinuszok és koszinuszok szorzatának összegre való felosztására. A gyakorlatok elvégzése után alaposan elsajátítja a trigonometrikus képletek levezetésének készségét, és még a legnehezebb teszten, olimpián vagy teszten sem fog eltévedni.