Apa yang ditunjukkan rata-rata. Ringkasan: Nilai rata-rata yang digunakan dalam statistik

Topik rata-rata aritmatika dan geometrik termasuk dalam program matematika untuk kelas 6-7. Karena paragrafnya cukup mudah dipahami, cepat berlalu, dan kesimpulannya adalah tahun ajaran siswa melupakannya. Tetapi pengetahuan dalam statistik dasar diperlukan untuk lulus ujian, serta untuk ujian SAT internasional. Ya dan untuk Kehidupan sehari-hari mengembangkan pemikiran analitis tidak ada salahnya.

Bagaimana cara menghitung rata-rata aritmatika dan geometrik bilangan?

Misalkan ada serangkaian angka: 11, 4, dan 3. Rata-rata aritmatika adalah jumlah semua angka dibagi dengan jumlah angka yang diberikan. Artinya, dalam kasus nomor 11, 4, 3, jawabannya adalah 6. Bagaimana 6 diperoleh?

Solusi: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Penyebut harus berisi angka yang sama dengan jumlah angka yang rata-ratanya akan ditemukan. Jumlahnya habis dibagi 3, karena ada tiga suku.

Sekarang kita perlu berurusan dengan mean geometrik. Katakanlah ada serangkaian angka: 4, 2 dan 8.

Rata-rata geometrik adalah hasil kali semua bilangan yang diberikan, yang berada di bawah akar dengan derajat yang sama dengan banyaknya bilangan yang diberikan. Artinya, untuk bilangan 4, 2 dan 8, jawabannya adalah 4. Begini caranya :

Solusi: (4 × 2 × 8) = 4

Di kedua opsi, seluruh jawaban diperoleh, karena nomor khusus diambil sebagai contoh. Hal ini tidak selalu terjadi. Dalam kebanyakan kasus, jawabannya harus dibulatkan atau dibiarkan di akar. Misalnya, untuk bilangan 11, 7, dan 20, rata-rata aritmatika adalah 12,67, dan rata-rata geometrik adalah 1540. Dan untuk nomor 6 dan 5, jawabannya masing-masing adalah 5,5 dan 30.

Mungkinkah rata-rata aritmatika menjadi sama dengan rata-rata geometrik?

Tentu saja bisa. Tapi hanya dalam dua kasus. Jika ada deret bilangan yang hanya terdiri dari satu atau nol. Perlu juga dicatat bahwa jawabannya tidak tergantung pada jumlah mereka.

Buktikan dengan satuan: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (rata-rata aritmatika).

(1 × 1 × 1) = 1 = 1 (rata-rata geometrik).

Bukti dengan nol: (0 + 0) / 2=0 (rata-rata aritmatika).

(0 × 0) = 0 (rata-rata geometris).

Tidak ada pilihan lain dan tidak mungkin ada.

Dalam matematika dan statistik rata-rata aritmatika (atau mudah rata-rata) dari suatu himpunan bilangan adalah jumlah semua bilangan dalam himpunan tersebut dibagi dengan jumlahnya. Rata-rata aritmatika adalah representasi yang sangat umum dan paling umum dari rata-rata.

Anda akan perlu

• Pengetahuan dalam matematika.

Petunjuk

1. Biarkan satu set empat angka diberikan. Perlu untuk menemukan rata-rata berarti kit ini. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita cari jumlah semua angka ini. Angka-angka ini mungkin 1, 3, 8, 7. Jumlahnya sama dengan S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Himpunan angka harus terdiri dari angka-angka dengan tanda yang sama, jika tidak berarti menghitung nilai rata-rata hilang.

2. Rata-rata berarti himpunan bilangan sama dengan jumlah bilangan S dibagi banyaknya bilangan tersebut. Artinya, ternyata rata-rata berarti sama dengan: 19/4 = 4,75.

3. Untuk satu set angka, juga dimungkinkan untuk mendeteksi tidak hanya rata-rata aritmatika, tetapi rata-rata geometris. Rata-rata geometrik dari beberapa bilangan real beraturan adalah bilangan yang diperbolehkan untuk menggantikan salah satu dari bilangan-bilangan ini sehingga produknya tidak berubah. Rata-rata geometrik G dicari dengan rumus: akar derajat ke-N produk dari suatu himpunan bilangan, di mana N adalah banyaknya bilangan dalam himpunan tersebut. Mari kita lihat kumpulan angka yang sama: 1, 3, 8, 7. Mari kita temukan rata-rata geometris. Untuk melakukan ini, kami menghitung produk: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Sekarang dari angka 168 Anda perlu mengekstrak akar derajat ke-4: G = (168) ^ 1/4 = 3.61. Dengan demikian rata-rata himpunan bilangan geometris adalah 3,61.

Rata-rata rata-rata geometris lebih jarang digunakan daripada rata-rata aritmatika, tetapi dapat berguna dalam menghitung nilai rata-rata indikator yang berubah dari waktu ke waktu (gaji seorang karyawan, dinamika kinerja akademik, dll.).

Anda akan perlu

• Kalkulator Rekayasa

Petunjuk

1. Untuk menemukan rata-rata geometris dari serangkaian angka, Anda harus terlebih dahulu mengalikan semua angka ini. Katakanlah Anda diberikan satu set lima indikator: 12, 3, 6, 9 dan 4. Mari kita kalikan semua angka ini: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. Sekarang dari angka yang dihasilkan perlu mengekstrak akar derajat yang sama dengan jumlah elemen deret. Dalam kasus kami, dari angka 7776 akan diperlukan untuk mengekstrak akar tingkat kelima menggunakan kalkulator teknik. Angka yang diperoleh setelah operasi ini - dalam hal ini angka 6 - akan menjadi rata-rata geometrik untuk kelompok angka awal.

3. Jika Anda tidak memiliki kalkulator teknik, Anda dapat menghitung rata-rata geometrik dari serangkaian angka dengan dukungan fungsi CPGEOM di Excel atau menggunakan salah satu kalkulator online yang sengaja disiapkan untuk menghitung nilai rata-rata geometrik.

Catatan!
Jika Anda perlu menemukan rata-rata geometrik masing-masing untuk 2 angka, maka Anda tidak memerlukan kalkulator teknik: ekstrak akar derajat ke-2 ( Akar pangkat dua) dari nomor berapa pun diperbolehkan dengan bantuan kalkulator paling biasa.

Saran yang bermanfaat
Berbeda dengan rata-rata aritmatika, rata-rata geometrik tidak begitu kuat dipengaruhi oleh penyimpangan dan fluktuasi besar antara nilai-nilai individu dalam rangkaian indikator yang dipelajari.

Rata-rata nilai adalah salah satu koleksi dari satu set angka. Mewakili angka yang tidak dapat berada di luar rentang yang ditentukan oleh nilai terbesar dan terkecil dalam kumpulan angka ini. Rata-rata nilai aritmatika adalah variasi rata-rata yang umum digunakan.

Petunjuk

1. Tambahkan semua angka dalam himpunan dan bagi dengan jumlah suku untuk mendapatkan rata-rata aritmatika. Bergantung pada kondisi perhitungan tertentu, terkadang lebih mudah untuk membagi angka mana pun dengan jumlah nilai himpunan dan menjumlahkan totalnya.

2. Gunakan, katakanlah, kalkulator yang disertakan dengan OS Windows, jika menghitung rata-rata aritmatika di kepala Anda tidak memungkinkan. Itu dapat dibuka dengan dukungan dialog peluncuran program. Untuk melakukan ini, tekan "membakar kunci" WIN + R atau klik tombol "Mulai" dan pilih perintah "Jalankan" dari menu utama. Setelah itu, ketik di kolom input calc dan tekan Enter pada keyboard atau klik tombol "OK". Hal yang sama dapat dilakukan melalui menu utama - buka, buka bagian "Semua Program" dan ke segmen "Khas" dan pilih baris "Kalkulator".

3. Masukkan semua angka di set dalam langkah-langkah dengan menekan tombol Plus pada keyboard setelah semuanya (selain yang terakhir) atau dengan mengklik tombol yang sesuai di antarmuka kalkulator. Memasukkan angka juga diperbolehkan baik dari keyboard maupun dengan mengklik tombol antarmuka yang sesuai.

4. Tekan tombol garis miring atau klik ikon ini di antarmuka kalkulator setelah memasukkan nilai yang ditetapkan terakhir dan ketik jumlah angka dalam urutan. Kemudian tekan tanda sama dengan dan kalkulator akan menghitung dan menampilkan mean aritmatika.

5. Diperbolehkan menggunakan editor spreadsheet Microsoft Excel untuk tujuan yang sama. Dalam hal ini, mulai editor dan masukkan semua nilai urutan angka ke dalam sel yang berdekatan. Jika, setelah memasukkan seluruh nomor, Anda menekan Enter atau tombol panah bawah atau kanan, editor itu sendiri akan memindahkan fokus input ke sel yang berdekatan.

6. Pilih semua nilai yang dimasukkan dan di sudut kiri bawah jendela editor (di bilah status) Anda akan melihat rata-rata aritmatika untuk sel yang dipilih.

7. Klik sel di sebelah angka terakhir yang Anda masukkan jika Anda lebih suka hanya melihat rata-rata aritmatika. Luaskan daftar tarik-turun dengan gambar huruf Yunani sigma (Σ) di grup perintah "Pengeditan" pada tab "Dasar". Pilih baris" Rata-rata” dan editor akan memasukkan rumus yang diperlukan untuk menghitung rata-rata aritmatika di sel yang dipilih. Tekan tombol Enter dan nilainya akan dihitung.

Rata-rata aritmatika adalah salah satu ukuran kecenderungan sentral yang banyak digunakan dalam matematika dan perhitungan statistik. Menemukan rata-rata aritmatika untuk beberapa nilai sangat mudah, tetapi setiap tugas memiliki nuansanya sendiri, yang perlu Anda ketahui untuk melakukan perhitungan yang benar.

Apa yang dimaksud dengan aritmatika?

Rata-rata aritmatika menentukan nilai rata-rata untuk setiap larik angka awal. Dengan kata lain, dari serangkaian angka tertentu, nilai yang universal untuk semua elemen dipilih, yang perbandingan matematisnya dengan semua elemen kira-kira sama. Rata-rata aritmatika lebih disukai digunakan ketika menyusun laporan keuangan dan statistik atau untuk menghitung hasil kuantitatif dari keterampilan serupa yang dilakukan.

Cara mencari mean aritmatika

Pencarian rata-rata aritmatika untuk array angka harus dimulai dengan menentukan jumlah aljabar dari nilai-nilai ini. Misalnya, jika array berisi angka 23, 43, 10, 74 dan 34, maka jumlah aljabarnya adalah 184. Saat menulis, mean aritmatika dilambangkan dengan huruf? (mu) atau x (x dengan tanda hubung). Selanjutnya, jumlah aljabar harus dibagi dengan jumlah angka dalam array. Dalam contoh ini, ada lima angka, jadi rata-rata aritmatikanya adalah 184/5 dan akan menjadi 36,8.

Fitur bekerja dengan angka negatif

Jika array berisi angka negatif, maka rata-rata aritmatika ditemukan menggunakan algoritma yang sama. Ada perbedaan hanya saat menghitung di lingkungan pemrograman, atau jika ada data tambahan dalam tugas. Dalam kasus ini, menemukan rata-rata aritmatika angka dengan tanda yang berbeda turun ke tiga langkah: 1. Menemukan rata-rata aritmatika umum dengan cara standar; 2. Menemukan mean aritmatika dari bilangan negatif.3. Perhitungan mean aritmatika bilangan positif.Hasil dari setiap tindakan ditulis dipisahkan dengan koma.

Pecahan alami dan desimal

Jika array angka disajikan desimal, solusi terjadi sesuai dengan metode menghitung rata-rata aritmatika bilangan bulat, tetapi totalnya dikurangi sesuai dengan persyaratan masalah untuk keakuratan hasil. Ketika bekerja dengan pecahan alami, mereka harus direduksi menjadi penyebut yang sama, salah satu yang dikalikan dengan jumlah angka dalam array. Pembilang hasil akan menjadi jumlah pembilang tereduksi dari elemen pecahan awal.

Rata-rata geometrik angka tidak hanya bergantung pada nilai absolut dari angka itu sendiri, tetapi juga pada jumlahnya. Tidak mungkin membingungkan mean geometrik dan mean bilangan aritmatika, dari fakta bahwa mereka menggunakan metodologi yang berbeda. Rata-rata geometrik selalu kurang dari atau sama dengan rata-rata aritmatika.

Anda akan perlu

• Kalkulator teknik.

Petunjuk

1. Pertimbangkan bahwa dalam kasus umum rata-rata geometrik angka ditemukan dengan mengalikan angka-angka ini dan mengekstrak dari mereka akar derajat yang sesuai dengan jumlah angka. Katakanlah, jika Anda perlu menemukan rata-rata geometrik dari lima angka, maka dari produk itu perlu mengekstrak akar dari tingkat kelima.

2. Untuk menemukan rata-rata geometrik dari 2 angka, gunakan aturan dasar. Temukan produk mereka, lalu ekstrak akar kuadrat darinya, dari fakta bahwa jumlahnya adalah dua, yang sesuai dengan tingkat akar. Katakanlah, untuk menemukan rata-rata geometris dari angka 16 dan 4, temukan hasil kali 16 4=64. Dari angka yang dihasilkan, ekstrak akar kuadratnya? 64 = 8. Ini akan menjadi nilai yang diinginkan. Harap dicatat bahwa rata-rata aritmatika dari 2 angka ini lebih besar dan sama dengan 10. Jika akarnya tidak diambil sepenuhnya, bulatkan totalnya ke urutan yang diperlukan.

3. Untuk menemukan mean geometrik lebih dari 2 angka, gunakan juga aturan dasar. Untuk melakukan ini, temukan produk dari semua angka yang Anda butuhkan untuk menemukan rata-rata geometrik. Dari produk yang dihasilkan, ekstrak akar derajat yang sama dengan jumlah angka. Katakanlah, untuk menemukan rata-rata geometris dari angka 2, 4 dan 64, temukan produk mereka. 2 4 64=512. Dari fakta bahwa perlu untuk menemukan total rata-rata geometris dari 3 angka, yang mengekstrak akar derajat ketiga dari produk. Sulit untuk melakukan ini secara lisan, jadi gunakan kalkulator teknik. Untuk melakukan ini, ia memiliki tombol "x^y". Tekan angka 512, tekan tombol “x^y”, lalu tekan angka 3 dan tekan tombol “1/x”, untuk mencari nilai 1/3, tekan tombol “=”. Kami mendapatkan hasil menaikkan 512 pangkat 1/3, yang sesuai dengan akar derajat ketiga. Dapatkan 512^1/3=8. Ini adalah rata-rata geometris dari angka 2.4 dan 64.

4. Dengan dukungan kalkulator teknik, dimungkinkan untuk mendeteksi rata-rata geometrik menggunakan metode yang berbeda. Temukan tombol log di keyboard. Setelah itu, ambil logaritma dari semua angka, temukan jumlah mereka, dan bagi dengan jumlah angka. Dari angka yang dihasilkan, ambil antilogaritmanya. Ini akan menjadi rata-rata geometris dari angka-angka. Katakanlah, untuk menemukan rata-rata geometris dari angka yang sama 2, 4 dan 64, buatlah satu set operasi pada kalkulator. Tekan nomor 2, lalu tekan tombol log, tekan tombol “+”, tekan nomor 4 dan tekan log dan “+” lagi, tekan 64, tekan log dan “=”. Hasilnya akan menjadi angka yang sama dengan jumlah logaritma desimal dari angka 2, 4 dan 64. Bagi angka yang dihasilkan dengan 3, dari fakta bahwa ini adalah jumlah angka yang dicari mean geometriknya. Dari total, ambil antilogaritmanya dengan mengaktifkan tombol register dan menggunakan kunci log yang sama. Hasilnya akan menjadi angka 8, ini adalah rata-rata geometris yang diinginkan.

Catatan!
Nilai rata-rata tidak boleh lebih besar dari bilangan terbesar dalam himpunan dan lebih kecil dari bilangan terkecil.

Saran yang bermanfaat
Dalam statistik matematika, nilai rata-rata suatu besaran disebut ekspektasi matematis.

nilai rata-rata- ini adalah indikator generalisasi yang mencirikan populasi yang homogen secara kualitatif sesuai dengan atribut kuantitatif tertentu. Sebagai contoh, umur rata-rata orang yang dihukum karena pencurian.

Dalam statistik yudisial, rata-rata digunakan untuk mengkarakterisasi:

Rata-rata hal pertimbangan kasus kategori ini;

Klaim ukuran sedang;

Rata-rata jumlah terdakwa per kasus;

Rata-rata jumlah kerusakan;

Beban kerja rata-rata hakim, dll.

Nilai rata-rata selalu diberi nama dan memiliki dimensi yang sama dengan atribut unit populasi yang terpisah. Setiap nilai rata-rata mencirikan populasi yang diteliti menurut salah satu atribut yang bervariasi, oleh karena itu, di balik rata-rata apa pun, serangkaian distribusi unit populasi ini menurut atribut yang dipelajari disembunyikan. Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh isi indikator dan data awal untuk menghitung rata-rata.

Semua jenis rata-rata yang digunakan dalam studi statistik terbagi dalam dua kategori:

1) rata-rata daya;

2) rata-rata struktural.

Kategori rata-rata pertama meliputi: rata-rata aritmatika, rata-rata harmonik, rata-rata geometrik dan akar rata-rata kuadrat . Kategori kedua adalah mode dan median. Selain itu, masing-masing jenis rata-rata daya yang terdaftar dapat memiliki dua bentuk: sederhana dan tertimbang . bentuk sederhana nilai rata-rata digunakan untuk mendapatkan nilai rata-rata dari sifat yang dipelajari ketika perhitungan dilakukan pada data statistik yang tidak dikelompokkan, atau ketika setiap varian dalam populasi hanya terjadi satu kali. Rata-rata tertimbang adalah nilai yang memperhitungkan bahwa opsi untuk nilai fitur dapat memiliki angka yang berbeda, dan oleh karena itu setiap opsi harus dikalikan dengan frekuensi yang sesuai. Dengan kata lain, setiap opsi "ditimbang" berdasarkan frekuensinya. Frekuensi tersebut disebut bobot statistik.

rata-rata aritmatika sederhana- jenis media yang paling umum. Itu sama dengan jumlah nilai karakteristik individu dibagi dengan jumlah total nilai-nilai ini:

di mana x 1 ,x 2 , … ,x N- nilai individu dari atribut variabel (opsi), dan N - jumlah unit populasi.

Rata-rata tertimbang aritmatika digunakan bila data disajikan dalam bentuk deret distribusi atau pengelompokan. Ini dihitung sebagai jumlah produk opsi dan frekuensi yang sesuai, dibagi dengan jumlah frekuensi semua opsi:

di mana x saya- berarti saya-varian fitur; fi- frekuensi saya pilihan.

Dengan demikian, setiap nilai varian diberi bobot oleh frekuensinya, itulah sebabnya frekuensi kadang-kadang disebut bobot statistik.

Komentar. Kapan kita sedang berbicara tentang mean aritmatika tanpa menentukan jenisnya, mean aritmatika sederhana yang dimaksud.

Tabel 12

Keputusan. Untuk perhitungannya, kami menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika:

Jadi, rata-rata ada dua terdakwa per kasus pidana.

Jika perhitungan nilai rata-rata dilakukan menurut data yang dikelompokkan dalam bentuk deret distribusi interval, maka terlebih dahulu Anda perlu menentukan nilai median setiap interval x”i, kemudian menghitung nilai rata-rata menggunakan pembobotan. rumus rata-rata aritmatika, di mana x" i diganti, bukan x i.

Contoh. Data usia pelaku tindak pidana pencurian disajikan dalam tabel:

Tabel 13

Tentukan usia rata-rata penjahat yang dihukum karena pencurian.

Keputusan. Untuk menentukan usia rata-rata penjahat berdasarkan deret variasi interval, Anda harus terlebih dahulu mencari nilai median dari interval tersebut. Karena kita diberikan deret interval dengan buka dulu dan interval terakhir, maka nilai interval ini diambil sama dengan nilai interval tertutup yang berdekatan. Dalam kasus kami, nilai interval pertama dan terakhir adalah 10.

Sekarang kita temukan usia rata-rata penjahat menggunakan rumus rata-rata aritmatika tertimbang:

Dengan demikian, rata-rata usia pelaku tindak pidana pencurian adalah kurang lebih 27 tahun.

Rata-rata harmonik sederhana adalah kebalikan dari rata-rata aritmatika dari nilai timbal balik dari atribut:

dimana 1/ x saya adalah kebalikan dari opsi, dan N adalah jumlah unit populasi.

Contoh. Untuk menentukan rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri ketika mempertimbangkan perkara pidana, dilakukan survei terhadap beban kerja 5 hakim pengadilan ini. Rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana untuk masing-masing hakim yang disurvei ternyata sama (dalam hari): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Temukan biaya rata-rata untuk satu kasus perkara pidana dan rata-rata beban kerja tahunan hakim pengadilan negeri ini dalam mempertimbangkan perkara pidana.

Keputusan. Untuk menentukan rata-rata waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana, kami menggunakan rumus sederhana harmonik:

Untuk menyederhanakan perhitungan dalam contoh, mari kita ambil jumlah hari dalam setahun sama dengan 365, termasuk akhir pekan (ini tidak mempengaruhi metode perhitungan, dan ketika menghitung indikator serupa dalam praktiknya, perlu untuk mengganti jumlah kerja hari dalam tahun tertentu, bukan 365 hari). Maka beban kerja rata-rata tahunan untuk hakim pengadilan negeri ini ketika mempertimbangkan kasus pidana adalah: 365 (hari): 5,56 65,6 (kasus).

Jika kita menggunakan rumus rata-rata aritmatika sederhana untuk menentukan waktu rata-rata yang dihabiskan untuk satu kasus kriminal, kita akan mendapatkan:

365 (hari): 5,64 64,7 (kasus), mis. rata-rata beban kerja hakim lebih sedikit.

Mari kita periksa validitas pendekatan ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan data waktu yang dihabiskan untuk satu kasus pidana untuk setiap hakim dan menghitung jumlah kasus pidana yang dipertimbangkan oleh masing-masing hakim per tahun.

Kami mendapatkan sesuai:

365(hari) : 6 61 (kasus), 365(hari) : 5,6 65,2 (kasus), 365(hari) : 6,3 58 (kasus),

365(hari) : 4,9 74,5 (kasus), 365(hari) : 5,4 68 (kasus).

Sekarang kami menghitung beban kerja tahunan rata-rata untuk hakim pengadilan negeri ini ketika mempertimbangkan kasus pidana:

Itu. beban tahunan rata-rata sama dengan ketika menggunakan rata-rata harmonik.

Dengan demikian, penggunaan mean aritmatika dalam kasus ini adalah ilegal.

Dalam kasus di mana varian fitur diketahui, nilai volumetriknya (produk dari varian dengan frekuensi), tetapi frekuensi itu sendiri tidak diketahui, rumus rata-rata tertimbang harmonik diterapkan:

,

di mana x saya adalah nilai opsi sifat, dan wi adalah nilai volumetrik opsi ( w i = x i f i).

Contoh. Data harga satuan barang sejenis yang diproduksi oleh berbagai lembaga sistem pemasyarakatan, dan volume pelaksanaannya disajikan pada tabel 14.

Tabel 14

Mencari harga rata-rata penjualan barang.

Keputusan. Saat menghitung harga rata-rata, kita harus menggunakan rasio jumlah yang terjual dengan jumlah unit yang terjual. Kita tidak tahu jumlah unit yang terjual, tetapi kita tahu jumlah penjualan barang. Oleh karena itu, untuk mencari harga rata-rata barang yang terjual, kita menggunakan rumus rata-rata tertimbang harmonik. Kita mendapatkan

Jika Anda menggunakan rumus rata-rata aritmatika di sini, Anda bisa mendapatkan harga rata-rata yang tidak realistis:

Rata-rata geometris dihitung dengan mengekstrak akar derajat N dari produk semua nilai varian fitur:

,

di mana x 1 ,x 2 , … ,x N- nilai individu dari sifat variabel (opsi), dan

N- jumlah unit populasi.

Jenis rata-rata ini digunakan untuk menghitung tingkat pertumbuhan rata-rata deret waktu.

akar rata-rata kuadrat digunakan untuk menghitung rata-rata simpangan baku, yang merupakan indikator variasi, dan akan dibahas di bawah ini.

Untuk menentukan struktur populasi, digunakan rata-rata khusus, yang meliputi: median dan mode , atau yang disebut rata-rata struktural. Jika mean aritmatika dihitung berdasarkan penggunaan semua varian nilai atribut, maka median dan mode mencirikan nilai varian yang menempati posisi rata-rata tertentu dalam deret peringkat (terurut). Pengurutan satuan populasi statistik dapat dilakukan secara menaik atau menurun dari varian sifat yang diteliti.

Median (Saya) adalah nilai yang sesuai dengan varian di tengah rangkaian peringkat. Jadi, median adalah varian dari deret berperingkat tersebut, yang pada kedua sisi deret tersebut harus ada jumlah unit populasi yang sama.

Untuk mencari median, pertama-tama Anda harus menentukan nomor urutnya dalam deret peringkat menggunakan rumus:

di mana N adalah volume deret (jumlah unit populasi).

Jika deret tersebut terdiri dari jumlah anggota ganjil, maka median sama dengan varian dengan jumlah N Me . Jika deret tersebut terdiri dari sejumlah anggota genap, maka median didefinisikan sebagai rata-rata aritmatika dari dua opsi yang berdekatan yang terletak di tengah.

Contoh. Diberikan suatu deret berperingkat 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Volume deret tersebut adalah N = 9 yang artinya N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Oleh karena itu, Me = 6, yaitu . pilihan kelima. Jika sebuah baris diberikan 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, mis. deret dengan jumlah anggota genap (N = 8), maka N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Jadi median sama dengan setengah jumlah opsi keempat dan kelima, mis. Saya = (9 + 11) / 2 = 10.

Dalam deret variasi diskrit, median ditentukan oleh frekuensi yang terakumulasi. Frekuensi varian, dimulai dengan yang pertama, dijumlahkan sampai jumlah median terlampaui. Nilai dari opsi yang dijumlahkan terakhir akan menjadi median.

Contoh. Carilah median jumlah terdakwa per kasus pidana dengan menggunakan data pada Tabel 12.

Keputusan. Dalam hal ini, volume deret variasi adalah N = 154, oleh karena itu, N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Menjumlahkan frekuensi opsi pertama dan kedua, kami mendapatkan: 75 + 43 = 118, mis. kami telah melampaui jumlah median. Jadi Saya = 2.

Dalam deret variasi interval dari distribusi, pertama-tama tunjukkan interval di mana median akan ditempatkan. Dia dipanggil median . Ini adalah interval pertama yang frekuensi kumulatifnya melebihi setengah volume deret variasi interval. Kemudian nilai numerik median ditentukan dengan rumus:

di mana x saya- batas bawah interval median; i - nilai interval median; S Me-1- frekuensi akumulasi interval yang mendahului median; f Saya- frekuensi interval median.

Contoh. Temukan usia rata-rata pelanggar yang dihukum karena pencurian, berdasarkan statistik yang disajikan pada Tabel 13.

Keputusan. Data statistik direpresentasikan dengan deret variasi interval, artinya kita tentukan dulu median intervalnya. Volume populasi N = 162, oleh karena itu, interval median adalah interval 18-28, karena ini adalah interval pertama, frekuensi akumulasi yang (15 + 90 = 105) melebihi setengah volume (162: 2 = 81) dari seri variasi interval. Sekarang nilai numerik median ditentukan oleh rumus di atas:

Dengan demikian, setengah dari mereka yang dihukum karena pencurian berusia di bawah 25 tahun.

Mode (Mo) sebutkan nilai atributnya, yang paling sering ditemukan dalam satuan populasi. Fashion digunakan untuk mengidentifikasi nilai dari sifat yang memiliki distribusi terbesar. Untuk deret diskrit, mode akan menjadi varian dengan frekuensi tertinggi. Misalnya, untuk deret diskrit yang disajikan pada Tabel 3 mo= 1, karena nilai opsi ini sesuai dengan frekuensi tertinggi - 75. Untuk menentukan mode deret interval, tentukan terlebih dahulu modal interval (interval yang memiliki frekuensi tertinggi). Kemudian, dalam interval ini, nilai fitur ditemukan, yang dapat berupa mode.

Nilainya ditemukan dengan rumus:

di mana x Mo- batas bawah interval modal; i - nilai interval modal; f Mo- frekuensi interval modal; f Mo-1- frekuensi interval sebelum modal; f Mo+1- frekuensi interval mengikuti modal.

Contoh. Temukan modus usia penjahat yang dihukum karena pencurian, data yang disajikan dalam tabel 13.

Keputusan. Frekuensi tertinggi sesuai dengan interval 18-28, oleh karena itu, mode harus dalam interval ini. Nilainya ditentukan oleh rumus di atas:

Dengan demikian, jumlah terbesar penjahat yang dihukum karena pencurian adalah 24 tahun.

Nilai rata-rata memberikan karakteristik generalisasi dari totalitas fenomena yang diteliti. Namun, dua populasi dengan nilai rata-rata yang sama dapat berbeda secara signifikan satu sama lain dalam hal tingkat fluktuasi (variasi) nilai sifat yang dipelajari. Misalnya, di satu pengadilan hukuman penjara berikut ditetapkan: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 tahun, dan di pengadilan lain - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 tahun. Dalam kedua kasus, rata-rata aritmatika adalah 6,7 tahun. Namun, agregat ini berbeda secara signifikan satu sama lain dalam penyebaran nilai individu dari hukuman penjara yang ditetapkan relatif terhadap nilai rata-rata.

Dan untuk pengadilan pertama, di mana variasi ini cukup besar, rata-rata hukuman penjara tidak mencerminkan seluruh penduduk dengan baik. Jadi, jika nilai individu dari atribut sedikit berbeda satu sama lain, maka rata-rata aritmatika akan menjadi karakteristik indikatif yang cukup dari sifat-sifat populasi ini. Jika tidak, rata-rata aritmatika akan menjadi karakteristik yang tidak dapat diandalkan dari populasi ini dan penerapannya dalam praktik tidak efektif. Oleh karena itu, perlu memperhitungkan variasi nilai sifat yang dipelajari.

Variasi- ini adalah perbedaan nilai karakteristik di unit yang berbeda dari populasi tertentu dalam periode atau titik waktu yang sama. Istilah "variasi" berasal dari bahasa Latin - variatio, yang berarti perbedaan, perubahan, fluktuasi. Itu muncul sebagai akibat dari fakta bahwa nilai-nilai individu dari atribut terbentuk di bawah pengaruh gabungan dari berbagai faktor (kondisi), yang digabungkan dengan cara yang berbeda dalam setiap kasus individu. Untuk mengukur variasi suatu sifat, digunakan berbagai indikator absolut dan relatif.

Indikator utama variasi meliputi hal-hal berikut:

1) rentang variasi;

2) deviasi linier rata-rata;

3) dispersi;

4) standar deviasi;

5) koefisien variasi.

Mari kita bahas secara singkat masing-masing.

Variasi rentang R adalah indikator absolut yang paling mudah diakses dalam hal kemudahan perhitungan, yang didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai atribut terbesar dan terkecil untuk unit populasi ini:

Rentang variasi (rentang fluktuasi) - indikator penting fluktuasi tanda, tetapi hanya memungkinkan untuk melihat penyimpangan ekstrem, yang membatasi ruang lingkup penerapannya. Untuk karakterisasi yang lebih akurat dari variasi suatu sifat berdasarkan fluktuasinya, indikator lain digunakan.

Deviasi linier rata-rata mewakili rata-rata aritmatika dari nilai absolut dari penyimpangan nilai individu sifat dari rata-rata dan ditentukan oleh rumus:

1) untuk data yang tidak dikelompokkan

2) untuk seri variasi

Namun, ukuran variasi yang paling banyak digunakan adalah penyebaran . Ini mencirikan ukuran penyebaran nilai-nilai sifat yang dipelajari relatif terhadap nilai rata-ratanya. Varians didefinisikan sebagai rata-rata deviasi kuadrat.

varian sederhana untuk data yang tidak dikelompokkan:

.

Varian tertimbang untuk seri variasi:

Komentar. Dalam praktiknya, lebih baik menggunakan rumus berikut untuk menghitung varians:

Untuk varians sederhana

.

Untuk varian tertimbang

Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians:

Standar deviasi adalah ukuran keandalan mean. Semakin kecil simpangan baku, semakin homogen populasi dan semakin baik mean aritmatika mencerminkan seluruh populasi.

Ukuran dispersi yang dipertimbangkan di atas (rentang variasi, varians, standar deviasi) adalah indikator mutlak, yang tidak selalu memungkinkan untuk menilai tingkat fluktuasi suatu sifat. Dalam beberapa permasalahan perlu digunakan indeks hamburan relatif, salah satunya adalah koefisien variasi.

Koefisien variasi- dinyatakan sebagai persentase rasio simpangan baku terhadap rata-rata aritmatika:

Koefisien variasi digunakan tidak hanya untuk penilaian komparatif variasi tanda yang berbeda atau sifat yang sama pada populasi yang berbeda, tetapi juga untuk mencirikan homogenitas populasi. Populasi statistik dianggap homogen secara kuantitatif jika koefisien variasi tidak melebihi 33% (untuk distribusi yang mendekati distribusi normal).

Contoh. Berikut data masa hukuman 50 terpidana yang diserahkan untuk menjalani hukuman yang dijatuhkan oleh pengadilan di lembaga pemasyarakatan sistem pemasyarakatan: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Buatlah deret distribusi dengan syarat hukuman penjara.

2. Cari mean, varians dan standar deviasi.

3. Menghitung koefisien variasi dan menarik kesimpulan tentang homogenitas atau heterogenitas populasi yang diteliti.

Keputusan. Untuk menyusun deret distribusi diskrit, perlu ditentukan varian dan frekuensinya. Varian dalam masalah ini adalah jangka waktu penjara, dan frekuensi adalah jumlah varian individu. Setelah menghitung frekuensi, kami memperoleh deret distribusi diskrit berikut:

Cari mean dan variansnya. Karena data statistik diwakili oleh deret variasi diskrit, kami akan menggunakan rumus rata-rata tertimbang aritmatika dan varians untuk menghitungnya. Kita mendapatkan:

= = 4,1;

= 5,21.

Sekarang kita hitung simpangan bakunya:

Kami menemukan koefisien variasi:

Akibatnya, populasi statistik secara kuantitatif heterogen.

Mulai berbicara tentang nilai rata-rata, paling sering mereka mengingat bagaimana mereka lulus dari sekolah dan masuk lembaga pendidikan. Kemudian, menurut sertifikat, skor rata-rata dihitung: semua nilai (baik dan tidak terlalu baik) dijumlahkan, jumlah yang dihasilkan dibagi dengan jumlahnya. Inilah cara menghitung jenis rata-rata paling sederhana, yang disebut rata-rata aritmatika sederhana. Dalam praktiknya, statistik digunakan jenis yang berbeda rata-rata: aritmatika, harmonik, geometris, kuadrat, rata-rata struktural. Satu atau lain jenisnya digunakan tergantung pada sifat data dan tujuan penelitian.

nilai rata-rata adalah indikator statistik yang paling umum, yang dengannya karakteristik umum dari totalitas jenis fenomena yang sama diberikan sesuai dengan salah satu tanda yang berbeda. Ini menunjukkan tingkat atribut per unit populasi. Dengan bantuan nilai-nilai rata-rata, perbandingan dibuat dari berbagai kelompok menurut karakteristik yang berbeda-beda, dan pola-pola perkembangan fenomena dan proses kehidupan sosial dipelajari.

Dalam statistik, dua kelas rata-rata digunakan: kekuatan (analitis) dan struktural. Yang terakhir digunakan untuk mengkarakterisasi struktur deret variasi dan akan dibahas lebih lanjut dalam Bab. delapan.

Kelompok sarana daya meliputi aritmatika, harmonik, geometrik, kuadrat. Rumus individu untuk perhitungannya dapat direduksi menjadi bentuk umum untuk semua rata-rata daya, yaitu

di mana m adalah eksponen pangkat rata-rata: dengan m = 1 kita memperoleh rumus untuk menghitung mean aritmatika, dengan m = 0 - mean geometrik, m = -1 - mean harmonik, dengan m = 2 - mean kuadrat ;

x i - opsi (nilai yang diambil atribut);

fi - frekuensi.

Kondisi utama di mana sarana hukum kekuasaan dapat digunakan dalam analisis statistik adalah homogenitas populasi, yang tidak boleh berisi data awal yang berbeda tajam dalam nilai kuantitatifnya (dalam literatur mereka disebut pengamatan anomali).

Mari kita tunjukkan pentingnya kondisi ini dalam contoh berikut.

Contoh 6.1. Hitung gaji rata-rata karyawan sebuah perusahaan kecil.

Tabel 6.1. Gaji karyawan

nomor p / p	Gaji, gosok.	nomor p / p	Gaji, gosok.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Untuk menghitung upah rata-rata, perlu untuk menjumlahkan upah yang diperoleh semua karyawan perusahaan (yaitu menemukan dana upah) dan membaginya dengan jumlah karyawan:

Dan sekarang mari kita tambahkan ke totalitas kita hanya satu orang (direktur perusahaan ini), tetapi dengan gaji 50.000 rubel. Dalam hal ini, rata-rata yang dihitung akan sangat berbeda:

Seperti yang Anda lihat, itu melebihi 7.000 rubel, dll. itu lebih besar dari semua nilai fitur, kecuali untuk satu pengamatan tunggal.

Agar kasus-kasus seperti itu tidak terjadi dalam praktik, dan rata-rata tidak kehilangan artinya (dalam contoh 6.1, itu tidak lagi memainkan peran karakteristik umum populasi, yang seharusnya), ketika menghitung rata-rata, anomali , pengamatan outlier harus dikeluarkan dari analisis dan kemudian membuat populasi menjadi homogen, atau membagi populasi menjadi kelompok yang homogen dan menghitung nilai rata-rata untuk setiap kelompok dan menganalisis bukan rata-rata total, tetapi rata-rata kelompok.

6.1. Rata-rata aritmatika dan sifat-sifatnya

Mean aritmatika dihitung baik sebagai nilai sederhana atau sebagai nilai tertimbang.

Saat menghitung upah rata-rata sesuai dengan tabel contoh 6.1, kami menambahkan semua nilai atribut dan dibagi dengan jumlahnya. Kami menulis jalannya perhitungan kami dalam bentuk rumus untuk rata-rata aritmatika sederhana

di mana x i - opsi (nilai individual dari atribut);

n adalah jumlah unit dalam populasi.

Contoh 6.2. Sekarang mari kita kelompokkan data kita dari tabel di contoh 6.1, dll. mari kita buat rangkaian variasi diskrit dari distribusi pekerja menurut tingkat upah. Hasil pengelompokan disajikan dalam tabel.

Mari kita tulis ekspresi untuk menghitung tingkat upah rata-rata dalam bentuk yang lebih ringkas:

Dalam contoh 6.2, rumus rata-rata aritmatika berbobot diterapkan

di mana f i - frekuensi yang menunjukkan berapa kali nilai fitur xi y muncul unit populasi.

Perhitungan rata-rata tertimbang aritmatika mudah dilakukan dalam tabel, seperti yang ditunjukkan di bawah ini (Tabel 6.3):

Tabel 6.3. Perhitungan mean aritmatika dalam deret diskrit

data awal	Perkiraan indikator
gaji, gosok.	jumlah karyawan, orang	dana penggajian, gosok.
x saya	fi	x saya f saya
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
Total	20	132 080

Perlu dicatat bahwa mean aritmatika sederhana digunakan dalam kasus di mana data tidak dikelompokkan atau dikelompokkan, tetapi semua frekuensi sama satu sama lain.

Seringkali hasil pengamatan disajikan sebagai deret distribusi interval (lihat tabel pada contoh 6.4). Kemudian, ketika menghitung rata-rata, titik tengah interval diambil sebagai x i. Jika interval pertama dan terakhir terbuka (tidak memiliki salah satu batas), maka interval tersebut "tertutup", mengambil nilai interval yang berdampingan sebagai nilai interval yang diberikan, dll. yang pertama ditutup berdasarkan nilai yang kedua, dan yang terakhir - pada nilai yang kedua dari belakang.

Contoh 6.3. Berdasarkan hasil survei sampel salah satu kelompok populasi, kami menghitung besarnya pendapatan tunai rata-rata per kapita.

Pada tabel di atas, pertengahan interval pertama adalah 500. Memang, nilai interval kedua adalah 1000 (2000-1000); maka batas bawah yang pertama adalah 0 (1000-1000), dan tengahnya adalah 500. Kami melakukan hal yang sama dengan interval terakhir. Kami mengambil 25.000 sebagai tengahnya: nilai interval kedua dari belakang adalah 10.000 (20.000-10.000), maka batas atas- 30.000 (20.000 + 10.000), dan bagian tengah, masing-masing, adalah 25.000.

Tabel 6.4. Perhitungan mean aritmatika dalam deret interval

Rata-rata pendapatan tunai per kapita, gosok. per bulan	Populasi total, % f i	Titik tengah interval x i	x saya f saya
Hingga 1.000	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
20.000 ke atas	10,4	25 000	260 000
Total	100,0	-	892 850

Maka pendapatan rata-rata per kapita bulanan adalah

Istilah ini memiliki arti lain, lihat artinya rata-rata.

Rata-rata(dalam matematika dan statistik) kumpulan angka - jumlah semua angka dibagi dengan jumlahnya. Ini adalah salah satu ukuran tendensi sentral yang paling umum.

Itu diusulkan (bersama dengan rata-rata geometris dan rata-rata harmonik) oleh Pythagoras.

Kasus khusus dari mean aritmatika adalah mean (dari populasi umum) dan mean sampel (dari sampel).

pengantar

Tunjukkan kumpulan data X = (x 1 , x 2 , …, x n), maka mean sampel biasanya dilambangkan dengan bilah horizontal di atas variabel (x (\displaystyle (\bar (x))) , diucapkan " x dengan tanda hubung").

Huruf Yunani digunakan untuk menunjukkan mean aritmatika dari seluruh populasi. Untuk variabel acak yang nilai rata-ratanya ditentukan, adalah probabilitas berarti atau ekspektasi matematis dari variabel acak. Jika himpunan X adalah kumpulan bilangan acak dengan rata-rata probabilitas , maka untuk setiap sampel x saya dari koleksi ini = E( x saya) adalah harapan dari sampel ini.

Dalam praktiknya, perbedaan antara dan x (\displaystyle (\bar (x))) adalah bahwa adalah variabel tipikal karena Anda dapat melihat sampel daripada seluruh populasi. Oleh karena itu, jika sampel direpresentasikan secara acak (dalam istilah teori probabilitas), maka x (\displaystyle (\bar (x))) (tetapi bukan ) dapat diperlakukan sebagai variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas pada sampel ( distribusi probabilitas rata-rata).

Kedua besaran ini dihitung dengan cara yang sama:

X = 1 n i = 1 n x i = 1 n (x 1 + + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Jika sebuah X adalah variabel acak, maka ekspektasi matematis X dapat dianggap sebagai rata-rata aritmatika dari nilai-nilai dalam pengukuran kuantitas yang berulang X. Ini adalah manifestasi dari hukum bilangan besar. Oleh karena itu, mean sampel digunakan untuk memperkirakan ekspektasi matematis yang tidak diketahui.

Dalam aljabar dasar, terbukti bahwa mean n+ 1 angka di atas rata-rata n angka jika dan hanya jika angka baru lebih besar dari rata-rata lama, kurang jika dan hanya jika angka baru lebih kecil dari rata-rata, dan tidak berubah jika dan hanya jika angka baru sama dengan rata-rata. Lebih n, semakin kecil perbedaan antara rata-rata baru dan lama.

Perhatikan bahwa ada beberapa "sarana" lain yang tersedia, termasuk mean hukum pangkat, mean Kolmogorov, mean harmonik, mean aritmatika-geometris, dan berbagai mean bobot (misalnya, mean bobot aritmatika, mean bobot geometrik, mean bobot harmonik) .

Contoh

• Untuk tiga angka, Anda perlu menambahkannya dan membaginya dengan 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Untuk empat angka, Anda perlu menambahkannya dan membaginya dengan 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Atau lebih mudah 5+5=10, 10:2. Karena kita menambahkan 2 angka, artinya berapa banyak angka yang kita tambahkan, kita bagi sebanyak itu.

Variabel acak kontinu

Untuk nilai terdistribusi kontinu f (x) (\displaystyle f(x)) mean aritmatika pada interval [ a ; b ] (\displaystyle ) didefinisikan melalui integral tertentu:

F (x) [ a ; b ] = 1 b a a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Beberapa masalah menggunakan rata-rata

Kurangnya ketangguhan

Artikel utama: Ketangguhan dalam statistik

Meskipun rata-rata aritmatika sering digunakan sebagai sarana atau tren sentral, konsep ini tidak berlaku untuk statistik yang kuat, yang berarti bahwa rata-rata aritmatika sangat dipengaruhi oleh "deviasi besar". Patut dicatat bahwa untuk distribusi dengan kemiringan besar, rata-rata aritmatika mungkin tidak sesuai dengan konsep "rata-rata", dan nilai rata-rata dari statistik yang kuat (misalnya, median) dapat menggambarkan tren pusat dengan lebih baik.

Contoh klasiknya adalah perhitungan pendapatan rata-rata. Rata-rata aritmatika dapat disalahartikan sebagai median, yang dapat mengarah pada kesimpulan bahwa ada lebih banyak orang dengan pendapatan lebih dari yang sebenarnya. Pendapatan "rata-rata" ditafsirkan sedemikian rupa sehingga pendapatan sebagian besar orang mendekati angka ini. Pendapatan "rata-rata" ini (dalam arti rata-rata aritmatika) lebih tinggi daripada pendapatan kebanyakan orang, karena pendapatan tinggi dengan penyimpangan besar dari rata-rata membuat rata-rata aritmatika sangat miring (sebaliknya, pendapatan median "menolak" kemiringan seperti itu). Namun, pendapatan "rata-rata" ini tidak mengatakan apa-apa tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan rata-rata (dan tidak mengatakan apa-apa tentang jumlah orang yang mendekati pendapatan modal). Namun, jika konsep "rata-rata" dan "mayoritas" dianggap enteng, maka orang dapat salah menyimpulkan bahwa kebanyakan orang memiliki pendapatan lebih tinggi dari yang sebenarnya. Misalnya, laporan tentang pendapatan bersih "rata-rata" di Medina, Washington, yang dihitung sebagai rata-rata aritmatika dari semua pendapatan bersih tahunan penduduk, akan memberikan angka yang sangat tinggi karena Bill Gates. Perhatikan sampel (1, 2, 2, 2, 3, 9). Rata-rata aritmatika adalah 3,17, tetapi lima dari enam nilai berada di bawah rata-rata ini.

Bunga majemuk

Artikel utama: ROI

Jika angka berkembang biak, tapi tidak melipat, Anda perlu menggunakan mean geometrik, bukan mean aritmatika. Paling sering, kejadian ini terjadi ketika menghitung laba atas investasi di bidang keuangan.

Misalnya, jika saham turun 10% di tahun pertama dan naik 30% di tahun kedua, maka salah menghitung kenaikan "rata-rata" selama dua tahun ini sebagai mean aritmatika (−10% + 30%) / 2 = 10%; rata-rata yang benar dalam hal ini diberikan oleh tingkat pertumbuhan tahunan majemuk, dari mana pertumbuhan tahunan hanya sekitar 8,16653826392% 8,2%.

Alasan untuk ini adalah bahwa persentase memiliki titik awal baru setiap kali: 30% adalah 30% dari angka yang kurang dari harga pada awal tahun pertama: jika saham mulai dari $30 dan turun 10%, nilainya $27 pada awal tahun kedua. Jika stok naik 30%, nilainya $35,1 pada akhir tahun kedua. Rata-rata aritmatika dari pertumbuhan ini adalah 10%, tetapi karena stok hanya tumbuh sebesar $5,1 dalam 2 tahun, peningkatan rata-rata 8,2% memberikan hasil akhir sebesar $35,1:

[$30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) = $30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1]. Jika kita menggunakan rata-rata aritmatika 10% dengan cara yang sama, kita tidak akan mendapatkan nilai sebenarnya: [$30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36,3].

Bunga majemuk pada akhir tahun 2: 90% * 130% = 117% , yaitu total kenaikan 17%, dan rata-rata bunga majemuk tahunan adalah 117% 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \kira-kira 108,2\%) , yaitu, peningkatan tahunan rata-rata 8,2%.

Petunjuk arah

Artikel utama: Statistik tujuan

Saat menghitung rata-rata aritmatika dari beberapa variabel yang berubah secara siklis (misalnya, fase atau sudut), perhatian khusus harus diberikan. Misalnya, rata-rata dari 1° dan 359° adalah 1 + 359 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Jumlah ini salah karena dua alasan.

• Pertama, ukuran sudut hanya ditentukan untuk rentang dari 0° hingga 360° (atau dari 0 hingga 2π bila diukur dalam radian). Jadi, pasangan bilangan yang sama dapat ditulis sebagai (1° dan 1°) atau sebagai (1° dan 719°). Rata-rata setiap pasangan akan berbeda: 1 + (− 1 ) 2 = 0 (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 + 719 2 = 360 (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Kedua, dalam hal ini, nilai 0° (setara dengan 360°) akan menjadi rata-rata terbaik secara geometris, karena angka-angka tersebut menyimpang kurang dari 0° daripada nilai lainnya (nilai 0° memiliki varians terkecil). Membandingkan:
  • angka 1° menyimpang dari 0° hanya sebesar 1°;
  • angka 1° menyimpang dari rata-rata yang dihitung 180° sebesar 179°.

Nilai rata-rata untuk variabel siklik, dihitung menurut rumus di atas, akan digeser secara artifisial relatif terhadap rata-rata nyata ke tengah rentang numerik. Karena itu, rata-rata dihitung dengan cara yang berbeda, yaitu, angka dengan varians terkecil (titik tengah) dipilih sebagai nilai rata-rata. Juga, alih-alih mengurangkan, jarak modulo (yaitu, jarak keliling) digunakan. Misalnya, jarak modular antara 1° dan 359° adalah 2°, bukan 358° (pada lingkaran antara 359° dan 360°==0° - satu derajat, antara 0° dan 1° - juga 1°, secara total - 2 °).

4.3. Nilai rata-rata. Esensi dan makna rata-rata

Nilai rata-rata dalam statistik, indikator generalisasi disebut, yang mencirikan tingkat khas suatu fenomena dalam kondisi tempat dan waktu tertentu, yang mencerminkan besarnya atribut yang bervariasi per unit populasi yang homogen secara kualitatif. Dalam praktik ekonomi, berbagai indikator digunakan, dihitung sebagai rata-rata.

Misalnya, indikator generalisasi pendapatan pekerja di perusahaan saham gabungan (JSC) adalah pendapatan rata-rata satu pekerja, ditentukan oleh rasio dana upah dan pembayaran. karakter sosial untuk periode yang ditinjau (tahun, triwulan, bulan) dengan jumlah pekerja AO.

Menghitung rata-rata adalah salah satu teknik generalisasi yang umum; rata-rata mencerminkan apa yang umum (tipikal) untuk semua unit populasi yang diteliti, pada saat yang sama mengabaikan perbedaan antara unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya ada kombinasi peluang dan membutuhkan. Saat menghitung rata-rata, karena pengoperasian hukum bilangan besar, keacakan membatalkan satu sama lain, menyeimbangkan, sehingga Anda dapat mengabstraksi dari fitur-fitur yang tidak signifikan dari fenomena tersebut, dari nilai kuantitatif atribut dalam setiap kasus tertentu. Dalam kemampuan untuk mengabstraksi dari keacakan nilai individu, fluktuasi terletak pada nilai ilmiah rata-rata sebagai meringkas karakteristik agregat.

Di mana ada kebutuhan untuk generalisasi, perhitungan karakteristik tersebut mengarah pada penggantian banyak nilai individu yang berbeda dari atribut medium indikator yang mencirikan totalitas fenomena, yang memungkinkan untuk mengidentifikasi pola-pola yang melekat dalam fenomena sosial massal, tidak terlihat dalam fenomena tunggal.

Rata-rata mencerminkan karakteristik, khas, tingkat nyata dari fenomena yang dipelajari, mencirikan tingkat ini dan perubahannya dalam ruang dan waktu.

Rata-rata adalah karakteristik ringkasan keteraturan proses di bawah kondisi di mana ia berlangsung.

4.4. Jenis rata-rata dan metode untuk menghitungnya

Pilihan jenis rata-rata ditentukan oleh kandungan ekonomi dari indikator tertentu dan data awal. Dalam setiap kasus, salah satu nilai rata-rata diterapkan: aritmatika, garmonik, geometris, kuadrat, kubik dll. Rata-rata yang terdaftar milik kelas kekuatan medium.

Selain rata-rata kekuatan hukum, dalam praktik statistik, rata-rata struktural digunakan, yang dianggap sebagai modus dan median.

Mari kita membahas lebih detail tentang sarana kekuasaan.

Rata-rata aritmatika

Jenis rata-rata yang paling umum adalah rata-rata hitung. Ini digunakan dalam kasus di mana volume atribut variabel untuk seluruh populasi adalah jumlah dari nilai atribut unit individualnya. Untuk fenomena sosial karakteristik adalah penambahan (penjumlahan) volume karakteristik variabel, ini menentukan ruang lingkup rata-rata aritmatika dan menjelaskan prevalensinya sebagai indikator generalisasi, misalnya: dana upah total adalah jumlah dari upah semua pekerja, panen kotor adalah jumlah produk yang dihasilkan dari seluruh area yang ditabur.

Untuk menghitung rata-rata aritmatika, Anda perlu membagi jumlah semua nilai fitur dengan jumlahnya.

Rata-rata aritmatika diterapkan dalam bentuk rata-rata sederhana dan rata-rata tertimbang. Rata-rata sederhana berfungsi sebagai bentuk awal yang menentukan.

rata-rata aritmatika sederhana sama dengan jumlah sederhana dari nilai individu dari fitur rata-rata, dibagi dengan jumlah total nilai ini (digunakan dalam kasus di mana ada nilai individu yang tidak dikelompokkan dari fitur):

di mana
- nilai individu dari variabel (opsi); m - jumlah unit populasi.

Batas penjumlahan lebih lanjut dalam rumus tidak akan ditunjukkan. Misalnya, diperlukan untuk mencari keluaran rata-rata seorang pekerja (tukang kunci), jika diketahui berapa suku cadang yang diproduksi masing-masing dari 15 pekerja, mis. diberikan sejumlah nilai individu dari sifat, pcs.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Rata-rata aritmatika sederhana dihitung dengan rumus (4.1), 1 pc.:

Rata-rata dari opsi yang diulang nomor berbeda kali, atau dikatakan memiliki bobot yang berbeda, disebut tertimbang. Bobot adalah jumlah unit dalam kelompok yang berbeda agregat (opsi yang sama digabungkan menjadi satu grup).

Rata-rata tertimbang aritmatika- nilai rata-rata yang dikelompokkan, - dihitung dengan rumus:

, (4.2)

di mana
- bobot (frekuensi pengulangan fitur yang sama);

- jumlah produk dari besarnya fitur dengan frekuensinya;

- jumlah unit populasi.

Kami akan mengilustrasikan teknik untuk menghitung rata-rata tertimbang aritmatika menggunakan contoh yang dibahas di atas. Untuk melakukan ini, kami mengelompokkan data awal dan menempatkannya di tabel. 4.1.

Tabel 4.1

Distribusi pekerja untuk pengembangan suku cadang

Menurut rumus (4.2), rata-rata tertimbang aritmatika adalah sama, potongan:

Dalam beberapa kasus, bobot dapat direpresentasikan bukan dengan nilai absolut, tetapi dengan nilai relatif (dalam persentase atau pecahan dari suatu unit). Maka rumus untuk rata-rata tertimbang aritmatika akan terlihat seperti:

di mana
- khusus, mis. bagian dari setiap frekuensi dalam jumlah total semua

Jika frekuensi dihitung dalam pecahan (koefisien), maka
= 1, dan rumus untuk rata-rata tertimbang secara aritmatika adalah:

Perhitungan rata-rata tertimbang aritmatika dari rata-rata kelompok dilakukan dengan rumus :

,

di mana f-jumlah unit di setiap grup.

Hasil penghitungan mean aritmatika mean grup disajikan pada Tabel. 4.2.

Tabel 4.2

Distribusi pekerja menurut rata-rata lama kerja

Dalam contoh ini, pilihannya bukanlah data individual tentang masa kerja masing-masing pekerja, tetapi rata-rata untuk setiap bengkel. timbangan f adalah jumlah pekerja di toko-toko. Oleh karena itu, pengalaman kerja rata-rata pekerja di seluruh perusahaan adalah, tahun:

.

Perhitungan mean aritmatika dalam deret distribusi

Jika nilai atribut rata-rata diberikan sebagai interval ("dari - ke"), mis. deret distribusi interval, maka ketika menghitung rata-rata nilai aritmatika titik tengah interval ini diambil sebagai nilai fitur dalam grup, sebagai akibatnya deret diskrit terbentuk. Perhatikan contoh berikut (Tabel 4.3).

Mari kita beralih dari deret interval ke deret diskrit dengan mengganti nilai interval dengan nilai rata-ratanya / (rata-rata sederhana

Tabel 4.3

Distribusi pekerja AO berdasarkan tingkat upah bulanan

Kelompok pekerja untuk	Jumlah pekerja	Pertengahan interval
upah, gosok.	pribadi, f	menggosok., X
900 ke atas

nilai interval terbuka (pertama dan terakhir) secara kondisional disamakan dengan interval yang berdampingan dengannya (kedua dan kedua dari belakang).

Dengan perhitungan rata-rata seperti itu, beberapa ketidakakuratan diperbolehkan, karena asumsi dibuat tentang distribusi unit atribut yang seragam dalam grup. Namun, kesalahannya akan semakin kecil, semakin sempit intervalnya dan semakin banyak unit dalam intervalnya.

Setelah titik tengah interval ditemukan, perhitungan dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam seri diskrit - opsi dikalikan dengan frekuensi (bobot) dan jumlah produk dibagi dengan jumlah frekuensi (bobot) , ribu rubel:

.

Jadi, tingkat menengah remunerasi pekerja perusahaan saham gabungan adalah 729 rubel. per bulan.

Perhitungan mean aritmatika sering dikaitkan dengan pengeluaran waktu dan tenaga yang besar. Namun, dalam beberapa kasus, prosedur untuk menghitung rata-rata dapat disederhanakan dan difasilitasi dengan menggunakan propertinya. Mari kita sajikan (tanpa bukti) beberapa sifat dasar mean aritmatika.

Properti 1. Jika semua nilai karakteristik individu (mis. semua opsi) penurunan atau peningkatan sayakali, maka nilai rata-ratanya fitur baru akan berkurang atau bertambah sesuai dengan sayasekali.

Properti 2. Jika semua varian fitur rata-rata dikurangijahit atau tambah dengan angka A, maka rata-rata aritmatikaberkurang atau bertambah secara signifikan dengan angka yang sama A.

Properti 3. Jika bobot semua opsi rata-rata dikurangi atau meningkat menjadi ke kali, rata-rata aritmatika tidak akan berubah.

Sebagai bobot rata-rata, alih-alih indikator absolut, Anda dapat menggunakan bobot spesifik dalam total keseluruhan (saham atau persentase). Ini menyederhanakan perhitungan rata-rata.

Untuk menyederhanakan perhitungan rata-rata, mereka mengikuti jalur pengurangan nilai opsi dan frekuensi. Penyederhanaan terbesar dicapai ketika TETAPI nilai salah satu opsi pusat dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai / - nilai interval (untuk baris dengan interval yang sama). Nilai L disebut asal, sehingga cara menghitung rata-rata ini disebut “metode menghitung dari nol bersyarat” atau "metode momen".

Mari kita asumsikan bahwa semua opsi X pertama dikurangi dengan nomor yang sama A, dan kemudian dikurangi menjadi saya sekali. Kami mendapatkan rangkaian distribusi variasi baru dari varian baru .

Kemudian pilihan baru akan diungkapkan:

,

dan mean aritmatika baru mereka , -momen orde pertama- rumus:

.

Ini sama dengan rata-rata dari opsi asli, pertama dikurangi dengan TETAPI, dan kemudian di saya sekali.

Untuk mendapatkan rata-rata yang sebenarnya, Anda memerlukan momen urutan pertama m 1 , kalikan dengan saya dan tambahkan TETAPI:

.

Metode menghitung rata-rata aritmatika dari deret variasi ini disebut "metode momen". Metode ini diterapkan dalam baris dengan interval yang sama.

Perhitungan mean aritmatika dengan metode momen diilustrasikan oleh data pada Tabel. 4.4.

Tabel 4.4

Distribusi usaha kecil di wilayah dengan nilai aset produksi tetap (OPF) pada tahun 2000

Grup perusahaan berdasarkan biaya OPF, ribuan rubel	Jumlah perusahaan f	interval tengah, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Menemukan momen orde pertama

.

Kemudian, dengan asumsi A = 19 dan mengetahui bahwa saya= 2, hitung X, ribu rubel.:

Jenis nilai rata-rata dan metode perhitungannya

Pada tahap pemrosesan statistik, berbagai tugas penelitian dapat ditetapkan, untuk solusinya perlu memilih rata-rata yang sesuai. Dalam melakukannya, perlu untuk mengikuti aturan selanjutnya: nilai-nilai yang mewakili pembilang dan penyebut rata-rata harus berhubungan secara logis satu sama lain.

• rata-rata daya;
• rata-rata struktural.

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Nilai yang rata-ratanya dihitung;

Rata-rata, di mana garis di atas menunjukkan bahwa rata-rata nilai individu terjadi;

Frekuensi (pengulangan nilai sifat individu).

Berbagai rata-rata diturunkan dari rumus umum kekuatan berarti:

(5.1)

untuk k = 1 - rata-rata aritmatika; k = -1 - rata-rata harmonik; k = 0 - rata-rata geometrik; k = -2 - akar rata-rata kuadrat.

Rata-rata baik sederhana atau tertimbang. rata-rata tertimbang disebut besaran yang memperhitungkan bahwa beberapa varian nilai atribut mungkin memiliki angka yang berbeda, dan oleh karena itu setiap varian harus dikalikan dengan angka ini. Dengan kata lain, "bobot" adalah jumlah unit populasi dalam kelompok yang berbeda, mis. setiap opsi "ditimbang" berdasarkan frekuensinya. Frekuensi f disebut bobot statistik atau berat rata-rata.

Rata-rata aritmatika- jenis media yang paling umum. Ini digunakan ketika perhitungan dilakukan pada data statistik yang tidak dikelompokkan, di mana Anda ingin mendapatkan jumlah rata-rata. Rata-rata aritmatika adalah nilai rata-rata dari suatu fitur, setelah diterima di mana total volume fitur dalam populasi tetap tidak berubah.

Rumus rata-rata aritmatika ( sederhana) memiliki bentuk

dimana n adalah ukuran populasi.

Misalnya, gaji rata-rata karyawan suatu perusahaan dihitung sebagai rata-rata aritmatika:

Indikator penentu di sini adalah upah setiap karyawan dan jumlah karyawan perusahaan. Ketika menghitung rata-rata, jumlah total upah tetap sama, tetapi didistribusikan, seolah-olah, sama di antara semua pekerja. Misalnya, perlu untuk menghitung gaji rata-rata karyawan sebuah perusahaan kecil di mana 8 orang bekerja:

Saat menghitung rata-rata, nilai individu dari atribut yang dirata-ratakan dapat diulang, sehingga rata-rata dihitung menggunakan data yang dikelompokkan. Dalam hal ini, kita berbicara tentang menggunakan rata-rata aritmatika tertimbang, yang terlihat seperti

(5.3)

Jadi kita perlu menghitung Harga rata-rata saham perusahaan gabungan di bursa efek. Diketahui bahwa transaksi dilakukan dalam waktu 5 hari (5 transaksi), jumlah saham yang dijual dengan kurs penjualan dibagikan sebagai berikut:

1 - 800 ac. - 1010 rubel

2 - 650 ac. - 990 gosok.

3 - 700 k. - 1015 rubel.

4 - 550 ac. - 900 gosok.

5 - 850 ak. - 1150 rubel.

Rasio awal untuk menentukan harga rata-rata saham adalah rasio antara jumlah total transaksi (OSS) dengan jumlah saham yang dijual (KPA).