இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் உதாரணங்களுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

இருபடி சமன்பாடுகள் 8 ஆம் வகுப்பில் படிக்கப்படுகின்றன, எனவே இங்கு சிக்கலான எதுவும் இல்லை. அவற்றைத் தீர்க்கும் திறன் முற்றிலும் அவசியம்.

ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்பது ax 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், இதில் குணகங்கள் a, b மற்றும் c தன்னிச்சையான எண்கள் மற்றும் a ≠ 0 ஆகும்.

குறிப்பிட்ட தீர்வு முறைகளைப் படிப்பதற்கு முன், அனைத்து இருபடிச் சமன்பாடுகளையும் மூன்று வகுப்புகளாகப் பிரிக்கலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

1. வேர்கள் இல்லை;
2. சரியாக ஒரு ரூட் வேண்டும்;
3. அவை இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளன.

இது இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள முக்கியமான வேறுபாடு ஆகும், இங்கு ரூட் எப்போதும் இருக்கும் மற்றும் தனித்தன்மை வாய்ந்தது. ஒரு சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன என்பதை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது? இதற்கு ஒரு அற்புதமான விஷயம் இருக்கிறது - பாரபட்சமான.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

கோடாரி சமன்பாடு கோடாரி 2 + bx + c = 0 கொடுக்கப்பட்டால், பாகுபாடு என்பது D = b 2 − 4ac என்ற எண்ணாகும்.

இந்த சூத்திரத்தை நீங்கள் இதயத்தால் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். அது எங்கிருந்து வருகிறது என்பது இப்போது முக்கியமில்லை. மற்றொரு விஷயம் முக்கியமானது: ஒரு இருபடி சமன்பாடு எத்தனை வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பதை பாகுபாட்டின் அடையாளத்தின் மூலம் நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும். அதாவது:

1. டி என்றால்< 0, корней нет;
2. D = 0 என்றால், சரியாக ஒரு ரூட் உள்ளது;
3. D > 0 எனில், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும்.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: பாகுபாடு என்பது வேர்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது, மேலும் அவற்றின் அனைத்து அறிகுறிகளிலும் இல்லை, சில காரணங்களால் பலர் நம்புகிறார்கள். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள், எல்லாவற்றையும் நீங்களே புரிந்துகொள்வீர்கள்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு எத்தனை வேர்கள் உள்ளன:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

முதல் சமன்பாட்டிற்கான குணகங்களை எழுதுவோம் மற்றும் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம்:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

எனவே பாகுபாடு நேர்மறையானது, எனவே சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. இரண்டாவது சமன்பாட்டை நாங்கள் அதே வழியில் பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

பாகுபாடு எதிர்மறையானது, வேர்கள் இல்லை. மீதமுள்ள கடைசி சமன்பாடு:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியம் - வேர் ஒன்றாக இருக்கும்.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் குணகங்கள் எழுதப்பட்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. ஆமாம், இது நீண்டது, ஆமாம், இது கடினமானது, ஆனால் நீங்கள் முரண்பாடுகளைக் கலந்து முட்டாள்தனமான தவறுகளைச் செய்ய மாட்டீர்கள். நீங்களே தேர்வு செய்யவும்: வேகம் அல்லது தரம்.

மூலம், நீங்கள் அதை செயலிழக்கச் செய்தால், சிறிது நேரத்திற்குப் பிறகு நீங்கள் அனைத்து குணகங்களையும் எழுத வேண்டிய அவசியமில்லை. உங்கள் தலையில் இதுபோன்ற செயல்பாடுகளைச் செய்வீர்கள். பெரும்பாலான மக்கள் 50-70 சமன்பாடுகளுக்குப் பிறகு எங்காவது இதைச் செய்யத் தொடங்குகிறார்கள் - பொதுவாக, அவ்வளவு இல்லை.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள்

இப்போது தீர்வுக்கு செல்லலாம். பாகுபாடு D > 0 எனில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கண்டறியலாம்:

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான அடிப்படை சூத்திரம்

D = 0 ஆக இருக்கும் போது, ​​நீங்கள் இந்த சூத்திரங்களில் ஏதேனும் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம் - நீங்கள் அதே எண்ணைப் பெறுவீர்கள், அது பதில் இருக்கும். இறுதியாக, டி என்றால்< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

முதல் சமன்பாடு:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்:

இரண்டாவது சமன்பாடு:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ சமன்பாடு மீண்டும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. அவற்றைக் கண்டுபிடிப்போம்

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \முடிவு(சீரமை)\]

இறுதியாக, மூன்றாவது சமன்பாடு:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது. எந்த சூத்திரத்தையும் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக, முதலாவது:

எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, எல்லாம் மிகவும் எளிது. நீங்கள் சூத்திரங்களை அறிந்து எண்ணினால், எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது. பெரும்பாலும், சூத்திரத்தில் எதிர்மறை குணகங்களை மாற்றும்போது பிழைகள் ஏற்படுகின்றன. இங்கே மீண்டும், மேலே விவரிக்கப்பட்ட நுட்பம் உதவும்: சூத்திரத்தை உண்மையில் பாருங்கள், ஒவ்வொரு அடியையும் எழுதுங்கள் - மிக விரைவில் நீங்கள் பிழைகளிலிருந்து விடுபடுவீர்கள்.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

ஒரு இருபடி சமன்பாடு வரையறையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளதை விட சற்று வித்தியாசமானது. உதாரணத்திற்கு:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

இந்த சமன்பாடுகள் விதிமுறைகளில் ஒன்றைக் காணவில்லை என்பதைக் கவனிப்பது எளிது. இத்தகைய இருபடிச் சமன்பாடுகள் நிலையானவற்றைக் காட்டிலும் எளிதாகத் தீர்க்கப்படுகின்றன: அவை பாகுபாடுகளைக் கணக்கிட வேண்டிய அவசியமில்லை. எனவே, ஒரு புதிய கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற சமன்பாடு b = 0 அல்லது c = 0 எனில் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எனப்படும், அதாவது. x மாறியின் குணகம் அல்லது கட்டற்ற உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

நிச்சயமாக, இந்த இரண்டு குணகங்களும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் போது மிகவும் கடினமான வழக்கு சாத்தியமாகும்: b = c = 0. இந்த வழக்கில், சமன்பாடு கோடாரி 2 = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். வெளிப்படையாக, அத்தகைய சமன்பாடு ஒற்றை ரூட்டைக் கொண்டுள்ளது: x = 0.

மீதமுள்ள வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம். b = 0 என்று வைத்துக் கொள்வோம், பின்னர் கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். அதைச் சிறிது மாற்றுவோம்:

எண்கணித வர்க்கமூலம் எதிர்மறை எண்ணில் மட்டுமே இருப்பதால், கடைசி சமத்துவம் (-c /a) ≥ 0 க்கு மட்டுமே அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும். முடிவு:

1. கோடாரி 2 + c = 0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டில் சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 திருப்தி அடைந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். சூத்திரம் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது;
2. என்றால் (-c /a)< 0, корней нет.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, ஒரு பாகுபாடு தேவைப்படவில்லை - முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் சிக்கலான கணக்கீடுகள் எதுவும் இல்லை. உண்மையில், சமத்துவமின்மை (−c /a) ≥ 0 ஐ நினைவில் வைத்துக் கொள்ள வேண்டிய அவசியமில்லை. மதிப்பை x 2 ஐ வெளிப்படுத்தவும், சமமான அடையாளத்தின் மறுபுறம் இருப்பதைப் பார்க்கவும் போதுமானது. நேர்மறை எண் இருந்தால், இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இருக்காது.

இப்போது கோடாரி 2 + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடுகளைப் பார்ப்போம், இதில் இலவச உறுப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இங்கே எல்லாம் எளிது: எப்போதும் இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக இருந்தால் போதும்:

பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுத்தல்

காரணிகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். இங்குதான் வேர்கள் வருகின்றன. முடிவில், இந்த சமன்பாடுகளில் சிலவற்றைப் பார்ப்போம்:

பணி. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் ஒரு சதுரம் எதிர்மறை எண்ணுக்கு சமமாக இருக்க முடியாது.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5.

சமன்பாடுகளின் பயன்பாடு நம் வாழ்வில் பரவலாக உள்ளது. அவை பல கணக்கீடுகள், கட்டமைப்புகளின் கட்டுமானம் மற்றும் விளையாட்டுகளில் கூட பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பழங்காலத்தில் மனிதன் சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தினான், அதன் பிறகு அவற்றின் பயன்பாடு மட்டுமே அதிகரித்துள்ளது. ஒன்பதாம் வகுப்பு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பல்வேறு தீர்வு முறைகளைப் பயன்படுத்துவதை உள்ளடக்கியது: வரைகலை, இயற்கணிதக் கூட்டல் முறைகள், புதிய மாறிகளை அறிமுகப்படுத்துதல், செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல் மற்றும் சமன்பாடுகளை ஒரு வகையிலிருந்து எளிமையானதாக மாற்றுதல் மற்றும் பல. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறை ஆரம்ப தரவுகளின் அடிப்படையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது, எனவே எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி முறைகளை தெளிவாகப் புரிந்துகொள்வது சிறந்தது.

பின்வரும் படிவத்தின் சமன்பாடு நமக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

\[\frac (18)(x^2-6x)-\frac(12)(x^2+6x)=\frac (1)(x)\]

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க, இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை \ ஆல் வகுக்கவும்

\[\frac(18)(x-6)-\frac(12)(x+6)=1\]

\[\frac (6x+180)(x^2-36)=1\]

இதன் விளைவாக வரும் இரண்டு வேர்கள் இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும்.

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

\[ (x^2-2x)^2-3x^2+6x-4=0 \]

இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் மாற்ற வேண்டும்:

இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் 2 எண்களாக இருக்கும்: -1 மற்றும் 4. எனவே:

\[\begin(bmatrix) x^2-2x=-1\\ x^2-2x=4 \end(bmatrix)\] \[\begin(bmatrix) x=1\\ x=1\pm\sqrt5 \end(bmatrix)\]

அனைத்து 3 வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 4 க்கு சமம், இது இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான விடையாக இருக்கும்.

9 ஆம் வகுப்புக்கான சமன்பாடுகளை ஆன்லைனில் நான் எங்கே தீர்க்க முடியும்?

எங்கள் வலைத்தளமான https://site இல் நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம். இலவச ஆன்லைன் தீர்வி சில நொடிகளில் எந்தவொரு சிக்கலான ஆன்லைன் சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உங்களை அனுமதிக்கும். நீங்கள் செய்ய வேண்டியது உங்கள் தரவை தீர்வியில் உள்ளிடுவது மட்டுமே. நீங்கள் வீடியோ வழிமுறைகளைப் பார்க்கலாம் மற்றும் எங்கள் இணையதளத்தில் சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறியலாம். உங்களிடம் இன்னும் கேள்விகள் இருந்தால், அவற்றை எங்கள் VKontakte குழுவில் http://vk.com/pocketteacher இல் கேட்கலாம். எங்கள் குழுவில் சேருங்கள், உங்களுக்கு உதவ நாங்கள் எப்போதும் மகிழ்ச்சியடைகிறோம்.

டிகிரிகளின் அடிப்படை பண்புகளை நினைவுபடுத்துவோம். a > 0, b > 0, n, m ஆகியவை உண்மையான எண்களாக இருக்கட்டும். பிறகு
1) a n a m = a n+m

2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)

3) (a n) m = a nm

4) (ab) n = a n b n

5) \(\இடது(\frac(a)(b) \right)^n = \frac(a^n)(b^n) \)

7) a n > 1, என்றால் a > 1, n > 0

8) a n 1, n
9) a n > a m என்றால் 0

நடைமுறையில், y = a x வடிவத்தின் செயல்பாடுகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதில் a என்பது கொடுக்கப்பட்ட நேர்மறை எண், x என்பது ஒரு மாறி. இத்தகைய செயல்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன குறிக்கும். அதிவேகச் செயல்பாட்டின் வாதம் அதிவேகமாகவும், அடுக்குகளின் அடிப்படை கொடுக்கப்பட்ட எண்ணாகவும் இருப்பதால் இந்தப் பெயர் விளக்கப்படுகிறது.

வரையறை.அதிவேகச் சார்பு என்பது y = a x வடிவத்தின் சார்பு ஆகும், இதில் a என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண், a > 0, \(a \neq 1\)

அதிவேக செயல்பாடு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது

1) அதிவேக செயல்பாட்டின் வரையறையின் களம் அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும்.
அனைத்து மெய் எண்கள் x க்கும் a > 0 வரையறுக்கப்பட்ட பவர் a x என்பதிலிருந்து இந்தப் பண்பு பின்பற்றப்படுகிறது.

2) அதிவேக செயல்பாட்டின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு அனைத்து நேர்மறை எண்களின் தொகுப்பாகும்.
இதைச் சரிபார்க்க, a x = b என்ற சமன்பாடு, இங்கு a > 0, \(a \neq 1\), \(b \leq 0\) எனில் வேர்கள் இல்லை என்பதையும், b > க்கு ரூட் இருப்பதையும் காட்ட வேண்டும். 0 .

3) அதிவேகச் சார்பு y = a x அனைத்து உண்மையான எண்களின் தொகுப்பிலும் a > 1 எனில் அதிகரிக்கிறது, மேலும் 0 என்றால் குறைகிறது. இது பட்டம் (8) மற்றும் (9) ஆகியவற்றின் பண்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

a > 0 மற்றும் 0 க்கு y = a x என்ற அதிவேகச் சார்புகளின் வரைபடங்களை உருவாக்குவோம். கருதப்படும் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, y = a x செயல்பாட்டின் வரைபடம் a > 0 புள்ளியைக் கடந்து (0; 1) மேலே அமைந்துள்ளது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்கிறோம். எருது அச்சு.
x 0 என்றால்.
x > 0 மற்றும் |x| என்றால் அதிகரிக்கிறது, வரைபடம் விரைவாக உயர்கிறது.

செயல்பாட்டின் வரைபடம் y = a x at 0 x > 0 மற்றும் அதிகரித்தால், வரைபடம் விரைவாக ஆக்ஸ் அச்சை (அதைக் கடக்காமல்) நெருங்குகிறது. எனவே, ஆக்ஸ் அச்சு என்பது வரைபடத்தின் கிடைமட்ட அறிகுறியாகும்.
x என்றால்

அதிவேக சமன்பாடுகள்

அதிவேக சமன்பாடுகளின் பல உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது. சமன்பாடுகள், இதில் தெரியாதவை அதிவேகத்தில் உள்ளன. அதிவேக சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது பெரும்பாலும் a x = a b என்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் வருகிறது, இங்கு a > 0, \(a \neq 1\), x என்பது தெரியவில்லை. இந்த சமன்பாடு பவர் பண்பைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது: அதே அடிப்படை a > 0, \(a \neq 1\) கொண்ட சக்திகள் அவற்றின் அடுக்குகள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே சமமாக இருக்கும்.

சமன்பாடு 2 3x 3 x = 576 ஐ தீர்க்கவும்
2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 என்பதால், சமன்பாட்டை 8 x 3 x = 24 2 என்றும் அல்லது 24 x = 24 2 என்றும் எழுதலாம், இதிலிருந்து x = 2.
பதில் x = 2

3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்
இடதுபுறத்தில் உள்ள அடைப்புக்குறிக்குள் 3 x - 2 என்ற பொதுவான காரணியை எடுத்துக் கொண்டால், 3 x - 2 (3 3 - 2) = 25, 3 x - 2 25 = 25,
எங்கிருந்து 3 x - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2
பதில் x = 2

3 x = 7 x சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்
\(7^x \neq 0 \) என்பதால், சமன்பாட்டை \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \ வடிவத்தில் எழுதலாம், இதிலிருந்து \(\left(\frac(3) )( 7) \வலது) ^x = 1 \), x = 0
பதில் x = 0

9 x - 4 3 x - 45 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்
3 x = t ஐ மாற்றுவதன் மூலம், இந்த சமன்பாடு இருபடி சமன்பாடு t 2 - 4t - 45 = 0 ஆக குறைக்கப்படுகிறது. இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம், அதன் வேர்களைக் காண்கிறோம்: t 1 = 9, t 2 = -5, எங்கிருந்து 3 x = 9, 3 x = -5 .
3 x = 9 சமன்பாட்டில் x = 2 என்ற வேர் உள்ளது, மேலும் 3 x = -5 சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை, ஏனெனில் அதிவேக செயல்பாடு எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுக்க முடியாது.
பதில் x = 2

சமன்பாடு 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2 ஐ தீர்க்கவும்
சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம்
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2, எங்கிருந்து
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\இடது(\frac(2)(5) \வலது) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
பதில் x = 2

சமன்பாடு 3 |x - 1| ஐ தீர்க்கவும் = 3 |x + 3|
3 > 0, \(3 \neq 1\), பின்னர் அசல் சமன்பாடு |x-1| = |x+3|
இந்த சமன்பாட்டை வகுப்பதன் மூலம், அதன் தொடர்ச்சியை (x - 1) 2 = (x + 3) 2 பெறுகிறோம்.
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9, 8x = -8, x = -1
சரிபார்த்தல் x = -1 என்பது அசல் சமன்பாட்டின் வேர் என்பதைக் காட்டுகிறது.
பதில் x = -1

தெரியாத ஒரு சமன்பாடு, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வந்த பிறகு, வடிவம் பெறுகிறது

கோடாரி + பி = 0, a மற்றும் b ஆகியவை தன்னிச்சையான எண்கள் எனப்படும் நேரியல் சமன்பாடு தெரியாத ஒருவருடன். இந்த நேரியல் சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இன்று கண்டுபிடிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டாக, அனைத்து சமன்பாடுகளும்:

2x + 3= 7 - 0.5x; 0.3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - நேரியல்.

சமன்பாட்டை உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றும் தெரியாதவற்றின் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது முடிவு அல்லது சமன்பாட்டின் வேர் .

எடுத்துக்காட்டாக, 3x + 7 = 13 சமன்பாட்டில் தெரியாத x க்கு பதிலாக எண் 2 ஐ மாற்றினால், சரியான சமத்துவம் 3 2 +7 = 13 ஐப் பெறுகிறோம். இதன் பொருள் x = 2 என்பது தீர்வு அல்லது ரூட் ஆகும். சமன்பாட்டின்.

மேலும் x = 3 என்பது 3x + 7 = 13 என்ற சமன்பாட்டை உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றாது, ஏனெனில் 3 2 +7 ≠ 13. இதன் பொருள் x = 3 என்பது சமன்பாட்டின் தீர்வு அல்லது வேர் அல்ல.

எந்த நேரியல் சமன்பாடுகளையும் தீர்ப்பது படிவத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்குக் குறைகிறது

கோடாரி + பி = 0.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலிருந்து இலவச காலத்தை வலதுபுறமாக நகர்த்துவோம், b க்கு முன்னால் உள்ள அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றுவோம்.

a ≠ 0 எனில், x = ‒ b/a .

எடுத்துக்காட்டு 1. 3x + 2 =11 சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்திலிருந்து 2 ஐ வலது பக்கம் நகர்த்துவோம், 2 க்கு முன்னால் உள்ள அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றுவோம்.
3x = 11 – 2.

பிறகு கழிப்போம்
3x = 9.

x ஐக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அறியப்பட்ட காரணி மூலம் தயாரிப்பைப் வகுக்க வேண்டும், அதாவது
x = 9:3.

இதன் பொருள் x = 3 என்பது சமன்பாட்டின் தீர்வு அல்லது ரூட் ஆகும்.

பதில்: x = 3.

a = 0 மற்றும் b = 0 எனில், பின்னர் நாம் சமன்பாடு 0x = 0 ஐப் பெறுகிறோம். இந்தச் சமன்பாட்டில் எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன, ஏனெனில் நாம் எந்த எண்ணையும் 0 ஆல் பெருக்கும்போது நமக்கு 0 கிடைக்கும், ஆனால் b என்பது 0 க்கு சமம். இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வு எந்த எண்ணாகும்.

உதாரணம் 2.சமன்பாடு 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1 ஐ தீர்க்கவும்.

அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்குவோம்:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x - 3x - 2x = - 12 - 1 + 15 - 2.

சில ஒத்த சொற்கள் இங்கே:
0x = 0.

பதில்: x - எந்த எண்.

a = 0 மற்றும் b ≠ 0 எனில், பிறகு சமன்பாடு 0x = - b கிடைக்கும். இந்த சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகள் இல்லை, ஏனெனில் எந்த எண்ணையும் 0 ஆல் பெருக்கும்போது நமக்கு 0 கிடைக்கும், ஆனால் b ≠ 0.

எடுத்துக்காட்டு 3. x + 8 = x + 5 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

இடதுபுறத்தில் தெரியாதவற்றைக் கொண்ட விதிமுறைகளையும், வலதுபுறத்தில் இலவச விதிமுறைகளையும் குழுவாக்குவோம்:
x – x = 5 – 8.

சில ஒத்த சொற்கள் இங்கே:
0x = - 3.

பதில்: தீர்வுகள் இல்லை.

அன்று படம் 1 நேரியல் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது

ஒரு மாறி மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான திட்டத்தை வரைவோம். உதாரணம் 4க்கான தீர்வைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4. சமன்பாட்டை நாம் தீர்க்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்

1) சமன்பாட்டின் அனைத்து விதிமுறைகளையும் 12 க்கு சமமான வகுப்பின் குறைந்தபட்ச பொது மடங்குகளால் பெருக்கவும்.

2) குறைத்த பிறகு நாம் பெறுகிறோம்
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) தெரியாத மற்றும் இலவச விதிமுறைகளைக் கொண்ட விதிமுறைகளைப் பிரிக்க, அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) தெரியாதவற்றைக் கொண்ட விதிமுறைகளை ஒரு பகுதியில் தொகுக்கலாம், மற்றொன்றில் - இலவச விதிமுறைகள்:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) இதே போன்ற விதிமுறைகளை முன்வைப்போம்:
- 22x = - 154.

6) வகுக்க - 22, நாம் பெறுகிறோம்
x = 7.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சமன்பாட்டின் வேர் ஏழு.

பொதுவாக இது போன்ற பின்வரும் திட்டத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கலாம்:

a) சமன்பாட்டை அதன் முழு எண் வடிவத்திற்கு கொண்டு வரவும்;

b) அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்;

c) சமன்பாட்டின் ஒரு பகுதியில் தெரியாதவற்றைக் கொண்ட சொற்களையும், மற்றொன்றில் இலவச சொற்களையும் தொகுத்தல்;

ஈ) ஒத்த உறுப்பினர்களைக் கொண்டு வருதல்;

e) aх = b வடிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும், இது ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வந்த பிறகு பெறப்பட்டது.

இருப்பினும், இந்த திட்டம் ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் அவசியமில்லை. பல எளிய சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது, ​​நீங்கள் முதலில் இருந்து தொடங்க வேண்டும், ஆனால் இரண்டாவது இருந்து ( உதாரணமாக. 2), மூன்றாவது ( உதாரணமாக. 13) மற்றும் ஐந்தாவது கட்டத்தில் இருந்து கூட, உதாரணம் 5 இல் உள்ளது.

உதாரணம் 5.சமன்பாட்டை 2x = 1/4 தீர்க்கவும்.

தெரியாத x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

முக்கிய மாநிலத் தேர்வில் காணப்படும் சில நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 6.சமன்பாடு 2 (x + 3) = 5 - 6x ஐ தீர்க்கவும்.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 – 6

பதில்: - 0.125

எடுத்துக்காட்டு 7.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

பதில்: 2.3

எடுத்துக்காட்டு 8. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

எடுத்துக்காட்டு 9. f (x + 2) = 3 7's என்றால் f(6) ஐக் கண்டறியவும்

தீர்வு

நாம் f(6) ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், மேலும் f (x + 2)
பின்னர் x + 2 = 6.

நேரியல் சமன்பாட்டை x + 2 = 6 தீர்க்கிறோம்,
நாம் x = 6 - 2, x = 4 ஐப் பெறுகிறோம்.

x = 4 என்றால்
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

பதில்: 27.

உங்களிடம் இன்னும் கேள்விகள் இருந்தால் அல்லது சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதை இன்னும் முழுமையாகப் புரிந்துகொள்ள விரும்பினால், அட்டவணையில் எனது பாடங்களுக்குப் பதிவு செய்யவும். உங்களுக்கு உதவ நான் மகிழ்ச்சியடைவேன்!

எங்கள் ஆசிரியர் ஓல்கா அலெக்ஸாண்ட்ரோவ்னாவிடமிருந்து ஒரு புதிய வீடியோ பாடத்தைப் பார்க்கவும் TutorOnline பரிந்துரைக்கிறது, இது நேரியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் பிற இரண்டையும் புரிந்துகொள்ள உதவும்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.