ஒரு அம்சத்தின் சராசரி மதிப்பு ஒரு புள்ளியியல் சூத்திரம். மாஸ்கோ மாநில அச்சு கலை பல்கலைக்கழகம்

புள்ளிவிவரத் தொகுப்புகளின் அலகுகளின் அறிகுறிகள் அவற்றின் அர்த்தத்தில் வேறுபட்டவை, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நிறுவனத்தின் ஒரு தொழிலின் தொழிலாளர்களின் ஊதியம் ஒரே காலத்திற்கு ஒரே மாதிரியாக இருக்காது, அதே தயாரிப்புகளுக்கான சந்தை விலைகள் வேறுபட்டவை, பண்ணைகளில் பயிர் விளைச்சல் பிராந்தியத்தின், முதலியன எனவே, ஆய்வின் கீழ் உள்ள அலகுகளின் முழு மக்கள்தொகையின் சிறப்பியல்பு பண்புகளின் மதிப்பை தீர்மானிக்க, சராசரி மதிப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன.
சராசரி மதிப்பு – இது சில அளவு பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் தொகுப்பின் பொதுமைப்படுத்தும் பண்பு ஆகும்.

ஒரு அளவு பண்புக்கூறு மூலம் ஆய்வு செய்யப்பட்ட மக்கள்தொகை தனிப்பட்ட மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளது; என செல்வாக்கு செலுத்துகின்றனர் பொதுவான காரணங்கள்மற்றும் தனிப்பட்ட நிலைமைகள். சராசரி மதிப்பில், தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் சிறப்பியல்பு விலகல்கள் ரத்து செய்யப்படுகின்றன. சராசரி, தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் தொகுப்பின் செயல்பாடாக இருப்பதால், முழு தொகுப்பையும் ஒரு மதிப்புடன் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறது மற்றும் அதன் அனைத்து அலகுகளிலும் உள்ளார்ந்த பொதுவான விஷயத்தை பிரதிபலிக்கிறது.

தரமான ஒரே மாதிரியான அலகுகளைக் கொண்ட மக்கள்தொகைக்கான சராசரி கணக்கிடப்படுகிறது வழக்கமான சராசரி. எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்று அல்லது மற்றொரு தொழில்முறை குழுவின் (சுரங்கத் தொழிலாளி, மருத்துவர், நூலகர்) பணியாளரின் சராசரி மாத சம்பளத்தை நீங்கள் கணக்கிடலாம். நிச்சயமாக, சுரங்கத் தொழிலாளர்களின் மாதாந்திர ஊதியத்தின் அளவுகள், அவர்களின் தகுதிகள், சேவையின் நீளம், மாதத்திற்கு வேலை செய்யும் நேரம் மற்றும் பல காரணிகளில் உள்ள வேறுபாடு காரணமாக, ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன, மற்றும் சராசரி ஊதியத்தின் மட்டத்திலிருந்து. இருப்பினும், சராசரி நிலை ஊதியத்தின் அளவை பாதிக்கும் முக்கிய காரணிகளை பிரதிபலிக்கிறது, மேலும் பணியாளரின் தனிப்பட்ட பண்புகள் காரணமாக எழும் வேறுபாடுகளை பரஸ்பரம் ஈடுசெய்கிறது. சராசரி ஊதியம் இந்த வகை தொழிலாளர்களுக்கான வழக்கமான ஊதிய அளவை பிரதிபலிக்கிறது. ஒரு பொதுவான சராசரியைப் பெறுவதற்கு முன், இந்த மக்கள்தொகை எவ்வாறு தரமான முறையில் ஒரே மாதிரியானது என்பதை பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும். மக்கள்தொகை தனித்தனி பகுதிகளைக் கொண்டிருந்தால், அது வழக்கமான குழுக்களாக பிரிக்கப்பட வேண்டும் (மருத்துவமனையில் சராசரி வெப்பநிலை).

பன்முகத்தன்மை கொண்ட மக்களுக்கான பண்புகளாகப் பயன்படுத்தப்படும் சராசரி மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன அமைப்பின் சராசரிகள். எடுத்துக்காட்டாக, தனிநபர் மொத்த உள்நாட்டு உற்பத்தியின் (ஜிடிபி) சராசரி மதிப்பு, ஒரு நபருக்கு பல்வேறு வகையான பொருட்களின் சராசரி நுகர்வு மற்றும் ஒரே பொருளாதார அமைப்பாக மாநிலத்தின் பொதுவான பண்புகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்தும் பிற ஒத்த மதிப்புகள்.

போதுமான எண்ணிக்கையிலான அலகுகளைக் கொண்ட மக்கள்தொகைக்கு சராசரி கணக்கிடப்பட வேண்டும். பெரிய எண்களின் சட்டம் நடைமுறைக்கு வருவதற்கு இந்த நிபந்தனைக்கு இணங்குவது அவசியம், இதன் விளைவாக பொதுவான போக்கிலிருந்து தனிப்பட்ட அளவுகளின் சீரற்ற விலகல்கள் ஒருவருக்கொருவர் ரத்து செய்யப்படுகின்றன.

சராசரிகளின் வகைகள் மற்றும் அவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்

சராசரி வகையின் தேர்வு ஒரு குறிப்பிட்ட குறிகாட்டியின் பொருளாதார உள்ளடக்கம் மற்றும் ஆரம்ப தரவு மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், எந்த சராசரி மதிப்பும் கணக்கிடப்பட வேண்டும், அதனால் சராசரி அம்சத்தின் ஒவ்வொரு மாறுபாட்டையும் மாற்றும் போது, ​​இறுதி, பொதுமைப்படுத்துதல் அல்லது, பொதுவாக அழைக்கப்படும், மாறாது. வரையறுக்கும் காட்டி, இது சராசரியுடன் தொடர்புடையது. எடுத்துக்காட்டாக, பாதையின் தனிப்பட்ட பிரிவுகளில் உண்மையான வேகத்தை மாற்றும் போது, ​​அவற்றின் சராசரி வேகம் பயணித்த மொத்த தூரத்தை மாற்றக்கூடாது. வாகனம்அதே நேரத்தில்; நிறுவனத்தின் தனிப்பட்ட ஊழியர்களின் உண்மையான ஊதியத்தை சராசரி ஊதியத்துடன் மாற்றும்போது, ​​​​ஊதிய நிதி மாறக்கூடாது. இதன் விளைவாக, ஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட விஷயத்திலும், கிடைக்கக்கூடிய தரவின் தன்மையைப் பொறுத்து, ஆய்வின் கீழ் உள்ள சமூக-பொருளாதார நிகழ்வின் பண்புகள் மற்றும் சாரத்திற்கு போதுமானதாக இருக்கும் ஒரே ஒரு உண்மையான சராசரி மதிப்பு காட்டி உள்ளது.
எண்கணித சராசரி, ஹார்மோனிக் சராசரி, வடிவியல் சராசரி, சராசரி சதுரம் மற்றும் சராசரி கனசதுரம் ஆகியவை பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
பட்டியலிடப்பட்ட சராசரிகள் வகுப்பைச் சேர்ந்தவை சக்திசராசரி மற்றும் பொதுவான சூத்திரத்தால் இணைக்கப்படுகின்றன:
,
ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்பின் சராசரி மதிப்பு எங்கே;
மீ என்பது பொருள் எக்ஸ்போனென்ட்;
- சராசரி அம்சத்தின் தற்போதைய மதிப்பு (மாறுபாடு);
n என்பது அம்சங்களின் எண்ணிக்கை.
அடுக்கு m இன் மதிப்பைப் பொறுத்து, உள்ளன பின்வரும் வகைகள்ஆற்றல் சராசரிகள்:
மீ = -1 - சராசரி ஹார்மோனிக் ;
m = 0 இல் - வடிவியல் சராசரி;
m = 1 இல் - எண்கணித சராசரி;
m = 2 இல் - ரூட் சராசரி சதுரம் ;
மீ = 3 - சராசரி கனசதுரம்.
அதே உள்ளீட்டுத் தரவைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் பெரிய அடுக்கு m, தி அதிக மதிப்புநடுத்தர அளவு:
.
அதிகார-சட்டத்தின் இந்த சொத்து என்பது வரையறுக்கும் செயல்பாட்டின் அடுக்கு அதிகரிப்புடன் அதிகரிப்பதைக் குறிக்கிறது பெரும்பான்மையான வழிமுறைகளின் விதி.
குறிக்கப்பட்ட சராசரிகள் ஒவ்வொன்றும் இரண்டு வடிவங்களை எடுக்கலாம்: எளியமற்றும் எடையுள்ள.
எளிய படிவம்நடுத்தரமுதன்மை (தொகுக்கப்படாத) தரவுகளில் சராசரி கணக்கிடப்படும் போது பொருந்தும். எடையுள்ள வடிவம்- இரண்டாம் நிலை (குழு) தரவுக்கான சராசரியைக் கணக்கிடும் போது.

எண்கணித சராசரி

வெவ்வேறு பண்புக்கூறின் அனைத்து தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை மக்கள்தொகையின் அளவு இருக்கும்போது எண்கணித சராசரி பயன்படுத்தப்படுகிறது. சராசரி வகை குறிப்பிடப்படாவிட்டால், எண்கணித சராசரியாகக் கருதப்படுகிறது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். அதன் தருக்க சூத்திரம்:

எளிய எண்கணித சராசரிகணக்கிடப்பட்டது தொகுக்கப்படாத தரவு மூலம் சூத்திரத்தின் படி:
அல்லது ,
பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் எங்கே;
j என்பது கண்காணிப்பு அலகு வரிசை எண், இது மதிப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது;
N என்பது கண்காணிப்பு அலகுகளின் எண்ணிக்கை (செட் அளவு).
உதாரணமாக."புள்ளிவிவரத் தரவுகளின் சுருக்கம் மற்றும் தொகுத்தல்" என்ற விரிவுரையில், 10 பேர் கொண்ட குழுவின் பணி அனுபவத்தைக் கவனிப்பதன் முடிவுகள் கருதப்பட்டன. படைப்பிரிவின் தொழிலாளர்களின் சராசரி பணி அனுபவத்தை கணக்கிடுங்கள். 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

எண்கணித சராசரி எளிய சூத்திரத்தின் படி, ஒருவர் கணக்கிடுகிறார் காலவரிசை சராசரிகள், சிறப்பியல்பு மதிப்புகள் வழங்கப்படும் நேர இடைவெளிகள் சமமாக இருந்தால்.
உதாரணமாக.முதல் காலாண்டில் விற்பனை செய்யப்பட்ட பொருட்களின் அளவு 47 டென். அலகுகள், இரண்டாவது 54, மூன்றாவது 65 மற்றும் நான்காவது 58 den. அலகுகள் சராசரி காலாண்டு வருவாய் (47+54+65+58)/4 = 56 டென். அலகுகள்
காலவரிசைத் தொடரில் தற்காலிக குறிகாட்டிகள் கொடுக்கப்பட்டால், சராசரியைக் கணக்கிடும்போது, ​​அவை காலத்தின் தொடக்கத்திலும் முடிவிலும் அரைத் தொகை மதிப்புகளால் மாற்றப்படுகின்றன.
இரண்டு தருணங்களுக்கு மேல் இருந்தால் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான இடைவெளிகள் சமமாக இருந்தால், சராசரி காலவரிசைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சராசரி கணக்கிடப்படுகிறது.

,
இதில் n என்பது நேரப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை
பண்புக்கூறு மதிப்புகளால் தரவு தொகுக்கப்படும் போது (அதாவது, ஒரு தனித்துவமான மாறுபாடு விநியோகத் தொடர் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது) உடன் எடையுள்ள எண்கணித சராசரிஅதிர்வெண்கள் அல்லது அம்சத்தின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளைக் கண்காணிக்கும் அதிர்வெண்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது, அவற்றின் எண்ணிக்கை (k) கணிசமாக உள்ளது எண்ணிக்கையை விட குறைவாகஅவதானிப்புகள் (N) .
,
,
இதில் k என்பது மாறுபாடு தொடரின் குழுக்களின் எண்ணிக்கை,
i என்பது மாறுபாடு தொடரின் குழுவின் எண்.
, மற்றும் , நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்:
மற்றும்
உதாரணமாக.தொகுக்கப்பட்ட தொடருக்கான பணிக்குழுக்களின் சேவையின் சராசரி நீளத்தை கணக்கிடுவோம்.
a) அதிர்வெண்களைப் பயன்படுத்துதல்:

b) அதிர்வெண்களைப் பயன்படுத்துதல்:

தரவு இடைவெளிகளால் தொகுக்கப்படும் போது , அதாவது இடைவெளி விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகின்றன; எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடும்போது, ​​இந்த இடைவெளியில் மக்கள்தொகை அலகுகளின் சீரான விநியோகத்தின் அனுமானத்தின் அடிப்படையில் இடைவெளியின் நடுப்பகுதி அம்சத்தின் மதிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. கணக்கீடு சூத்திரங்களின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:
மற்றும்
இடைவெளியின் நடுப்பகுதி எங்கே:,
எங்கே மற்றும் இடைவெளிகளின் கீழ் மற்றும் மேல் எல்லைகள் (வழங்கப்பட்டால் மேல் எல்லைஇந்த இடைவெளி அடுத்த இடைவெளியின் கீழ் வரம்புடன் ஒத்துப்போகிறது).

உதாரணமாக. 30 தொழிலாளர்களின் வருடாந்திர ஊதியத்தின் ஆய்வின் முடிவுகளிலிருந்து கட்டப்பட்ட இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடுவோம் ("புள்ளிவிவரத் தரவுகளின் சுருக்கம் மற்றும் குழுவாக்கம்" என்ற விரிவுரையைப் பார்க்கவும்).
அட்டவணை 1 - விநியோகத்தின் இடைவெளி மாறுபாடு தொடர்.

இடைவெளிகள், UAH	அதிர்வெண், pers.	அதிர்வெண்,	இடைவெளியின் நடுப்பகுதி
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH அல்லது UAH
ஆரம்ப தரவு மற்றும் இடைவெளி மாறுபாடு தொடர்களின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படும் எண்கணித வழிமுறைகள் இடைவெளிகளுக்குள் பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் சீரற்ற விநியோகம் காரணமாக ஒத்துப்போகாது. இந்த வழக்கில், எண்கணித எடையுள்ள சராசரியின் மிகவும் துல்லியமான கணக்கீட்டிற்கு, ஒருவர் இடைவெளிகளின் நடுப்பகுதியைப் பயன்படுத்தக்கூடாது, ஆனால் ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் கணக்கிடப்பட்ட எண்கணித எளிய சராசரிகள் ( குழு சராசரிகள்) எடையுள்ள கணக்கீட்டு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் குழுவிலிருந்து கணக்கிடப்பட்ட சராசரி அழைக்கப்படுகிறது பொது சராசரி.
எண்கணித சராசரி பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.
1. சராசரியிலிருந்து மாறுபாட்டின் விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம்:
.
2. விருப்பத்தின் அனைத்து மதிப்புகளும் A மதிப்பால் அதிகரித்தால் அல்லது குறைந்தால், சராசரி மதிப்பு அதே மதிப்பால் அதிகரிக்கிறது அல்லது குறைகிறது:

3. ஒவ்வொரு விருப்பமும் B மடங்கு அதிகரித்தால் அல்லது குறைக்கப்பட்டால், சராசரி மதிப்பும் அதே எண்ணிக்கையில் அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும்:
அல்லது
4. அதிர்வெண்களின் மூலம் மாறுபாட்டின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை, அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையின் சராசரி மதிப்பின் பெருக்கத்திற்கு சமம்:

5. அனைத்து அதிர்வெண்களும் எந்த எண்ணால் வகுக்கப்பட்டாலோ அல்லது பெருக்கப்பட்டாலோ, எண்கணித சராசரி மாறாது:

6) எல்லா இடைவெளிகளிலும் அதிர்வெண்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால், எண்கணித எடையுள்ள சராசரியானது எளிய எண்கணித சராசரிக்கு சமம்:
,
இதில் k என்பது மாறுபாடு தொடரில் உள்ள குழுக்களின் எண்ணிக்கை.

சராசரியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவது அதன் கணக்கீட்டை எளிதாக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது.
அனைத்து விருப்பங்களும் (x) முதலில் அதே எண்ணான A ஆல் குறைக்கப்பட்டு, பின்னர் B இன் காரணியால் குறைக்கப்படுகின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். அதிக அதிர்வெண் கொண்ட இடைவெளியின் நடுப்பகுதியின் மதிப்பை A ஆகவும், இடைவெளியின் மதிப்பை B ஆகவும் (அதே இடைவெளிகளைக் கொண்ட வரிசைகளுக்கு) தேர்ந்தெடுக்கும்போது மிகப்பெரிய எளிமைப்படுத்தல் அடையப்படுகிறது. அளவு A தோற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, எனவே சராசரியை கணக்கிடும் இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறது வழிபி நிபந்தனை பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஓம் குறிப்புஅல்லது தருணங்களின் வழி.
அத்தகைய மாற்றத்திற்குப் பிறகு, ஒரு புதிய மாறுபாடு விநியோகத் தொடரைப் பெறுகிறோம், அதன் மாறுபாடுகள் சமமாக இருக்கும். அவர்களின் எண்கணித சராசரி, அழைக்கப்படுகிறது முதல் வரிசையின் தருணம்,சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது பண்புகளின்படி, எண்கணித சராசரியானது அசல் பதிப்பின் சராசரிக்கு சமமாக இருக்கும், முதலில் A ஆல் குறைக்கப்பட்டது, பின்னர் B முறைகள், அதாவது.
பெற உண்மையான சராசரி(அசல் வரிசையின் நடுவில்) நீங்கள் முதல் வரிசையின் தருணத்தை B ஆல் பெருக்கி A ஐச் சேர்க்க வேண்டும்:

கணங்களின் முறையின் மூலம் எண்கணித சராசரியின் கணக்கீடு அட்டவணையில் உள்ள தரவு மூலம் விளக்கப்பட்டுள்ளது. 2.
அட்டவணை 2 - சேவையின் நீளத்தின் அடிப்படையில் நிறுவன கடையின் ஊழியர்களின் விநியோகம்

பணி அனுபவம், ஆண்டுகள்	தொழிலாளர்களின் எண்ணிக்கை	இடைவேளையின் நடுப்புள்ளி
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

முதல் வரிசையின் தருணத்தைக் கண்டறிதல் . பின்னர், A = 17.5 மற்றும் B = 5 என்பதை அறிந்து, கடை ஊழியர்களின் சராசரி பணி அனுபவத்தை கணக்கிடுகிறோம்:
ஆண்டுகள்

சராசரி ஹார்மோனிக்
மேலே காட்டப்பட்டுள்ளபடி, ஒரு அம்சத்தின் மாறுபாடுகள் x மற்றும் அவற்றின் அதிர்வெண்கள் f அறியப்படும் சந்தர்ப்பங்களில் அதன் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிட எண்கணித சராசரி பயன்படுத்தப்படுகிறது.
புள்ளிவிவரத் தகவலில் மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட விருப்பத்தேர்வுகள் x க்கான அதிர்வெண்கள் இல்லை, ஆனால் அவற்றின் தயாரிப்பாக வழங்கப்பட்டால், சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படும் சராசரி ஹார்மோனிக் எடை. சராசரியைக் கணக்கிட, குறிக்க , எங்கிருந்து . இந்த வெளிப்பாடுகளை எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், எடையுள்ள ஹார்மோனிக் சராசரி சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:
,
எண் i (i=1,2, ..., k) உடன் இடைவெளியில் காட்டி பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் தொகுதி (எடை) எங்கே.

எனவே, ஹார்மோனிக் சராசரியானது, விருப்பத்தேர்வுகள் அல்லாமல், அவைகளின் பரஸ்பரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது: .
ஒவ்வொரு விருப்பத்தின் எடையும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில், அதாவது. தலைகீழ் அம்சத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் ஒரு முறை ஏற்படும், பொருந்தும் எளிய ஹார்மோனிக் சராசரி:
,
ஒருமுறை நிகழும் தலைகீழ் பண்பின் தனிப்பட்ட மாறுபாடுகள் எங்கே;
N என்பது விருப்பங்களின் எண்ணிக்கை.
மக்கள்தொகையின் இரண்டு பகுதிகளுக்கு ஒரு எண்ணிக்கையுடன் இணக்கமான சராசரிகள் இருந்தால், மொத்த மக்கள்தொகைக்கான மொத்த சராசரி சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

மற்றும் அழைத்தார் குழுவின் எடையுள்ள ஹார்மோனிக் அர்த்தம்.

உதாரணமாக.நாணய பரிமாற்றத்தில் வர்த்தகத்தின் முதல் மணிநேரத்தில் மூன்று ஒப்பந்தங்கள் செய்யப்பட்டன. ஹ்ரிவ்னியா விற்பனையின் அளவு மற்றும் அமெரிக்க டாலருக்கு எதிரான ஹ்ரிவ்னியா மாற்று விகிதம் பற்றிய தரவு அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. 3 (நெடுவரிசைகள் 2 மற்றும் 3). வரையறு சராசரி விகிதம்வர்த்தகத்தின் முதல் மணிநேரத்தில் அமெரிக்க டாலருக்கு எதிராக ஹிரிவ்னியா.
அட்டவணை 3 - நாணய பரிமாற்றத்தில் வர்த்தகத்தின் போக்கின் தரவு

சராசரி டாலர் மாற்று விகிதம் அனைத்து பரிவர்த்தனைகளின் போது விற்கப்படும் ஹ்ரிவ்னியாக்களின் விகிதத்தில் அதே பரிவர்த்தனைகளின் விளைவாக பெறப்பட்ட டாலர்களின் விகிதத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. ஹ்ரிவ்னியா விற்பனையின் மொத்த அளவு அட்டவணையின் நெடுவரிசை 2 இலிருந்து அறியப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு பரிவர்த்தனையிலும் வாங்கப்பட்ட டாலர்களின் அளவு ஹ்ரிவ்னியா விற்பனைத் தொகையை அதன் மாற்று விகிதத்தால் (நெடுவரிசை 4) வகுப்பதன் மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மூன்று பரிவர்த்தனைகளின் போது மொத்தம் $22 மில்லியன் வாங்கப்பட்டது. அதாவது ஒரு டாலருக்கான சராசரி ஹ்ரிவ்னியா மாற்று விகிதம்
.
இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு உண்மையானது, ஏனெனில் பரிவர்த்தனைகளில் உண்மையான ஹ்ரிவ்னியா மாற்று விகிதங்களை மாற்றுவது ஹ்ரிவ்னியாவின் மொத்த விற்பனையின் அளவை மாற்றாது, இது செயல்படுகிறது வரையறுக்கும் காட்டி: மில்லியன் UAH
கணக்கீட்டிற்கு எண்கணித சராசரி பயன்படுத்தப்பட்டிருந்தால், அதாவது. ஹ்ரிவ்னியா, பின்னர் 22 மில்லியன் டாலர்களை வாங்குவதற்கான மாற்று விகிதத்தில். UAH 110.66 மில்லியன் செலவழிக்க வேண்டும், இது உண்மையல்ல.

வடிவியல் சராசரி
வடிவியல் சராசரி நிகழ்வுகளின் இயக்கவியலை பகுப்பாய்வு செய்ய பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் சராசரி வளர்ச்சி விகிதத்தை தீர்மானிக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. வடிவியல் சராசரியைக் கணக்கிடும் போது, ​​பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் இயக்கவியலின் ஒப்பீட்டு குறிகாட்டிகளாகும், அவை சங்கிலி மதிப்புகளின் வடிவத்தில் கட்டமைக்கப்படுகின்றன, ஒவ்வொரு மட்டத்திற்கும் முந்தைய விகிதத்தில்.
வடிவியல் எளிய சராசரி சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
,
தயாரிப்பின் அடையாளம் எங்கே
N என்பது சராசரி மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை.
உதாரணமாக. 4 ஆண்டுகளில் பதிவு செய்யப்பட்ட குற்றங்களின் எண்ணிக்கை 1.57 மடங்கு அதிகரித்துள்ளது, இதில் 1வது - 1.08 மடங்கும், 2வது - 1.1 மடங்கும், 3வது - 1.18 மடங்கும், 4வது - 1.12 மடங்கும். குற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் சராசரி ஆண்டு வளர்ச்சி விகிதம்: , அதாவது. பதிவு செய்யப்பட்ட குற்றங்களின் எண்ணிக்கை ஆண்டுதோறும் சராசரியாக 12% அதிகரித்துள்ளது.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

சராசரி சதுர எடையைக் கணக்கிட, நாங்கள் தீர்மானித்து அட்டவணையில் உள்ளிடுகிறோம். கொடுக்கப்பட்ட விதிமுறையிலிருந்து தயாரிப்புகளின் நீளத்தின் விலகல்களின் சராசரி மதிப்பு இதற்கு சமம்:

இந்த வழக்கில் எண்கணித சராசரி பொருத்தமற்றதாக இருக்கும், ஏனெனில் இதன் விளைவாக, நாம் பூஜ்ஜிய விலகலைப் பெறுவோம்.
ரூட் சராசரி சதுரத்தின் பயன்பாடு பின்னர் மாறுபாட்டின் அடுக்குகளில் விவாதிக்கப்படும்.

இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, சராசரி அர்த்தத்தைப் பார்க்கவும்.

சராசரி(கணிதம் மற்றும் புள்ளியியல்) எண்களின் தொகுப்பு - அனைத்து எண்களின் கூட்டுத்தொகை அவற்றின் எண்ணால் வகுக்கப்படும். இது மையப் போக்கின் பொதுவான நடவடிக்கைகளில் ஒன்றாகும்.

இது பித்தகோரியர்களால் முன்மொழியப்பட்டது (வடிவியல் சராசரி மற்றும் ஒத்திசைவு சராசரியுடன்).

எண்கணித சராசரியின் சிறப்பு நிகழ்வுகள் சராசரி (பொது மக்களின்) மற்றும் மாதிரி சராசரி (மாதிரிகளின்) ஆகும்.

அறிமுகம்

தரவுகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கவும் எக்ஸ் = (எக்ஸ் 1 , எக்ஸ் 2 , …, எக்ஸ் n), பின்னர் மாதிரி சராசரி பொதுவாக மாறியின் மீது கிடைமட்டப் பட்டியால் குறிக்கப்படுகிறது (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , உச்சரிக்கப்படுகிறது " எக்ஸ்ஒரு கோடுடன்").

மொத்த மக்கள்தொகையின் எண்கணித சராசரியைக் குறிக்க μ என்ற கிரேக்க எழுத்து பயன்படுத்தப்படுகிறது. சராசரி மதிப்பு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சீரற்ற மாறிக்கு, μ ஆகும் நிகழ்தகவு சராசரிஅல்லது ஒரு சீரற்ற மாறியின் கணித எதிர்பார்ப்பு. செட் என்றால் எக்ஸ்நிகழ்தகவு சராசரி μ உடன் சீரற்ற எண்களின் தொகுப்பாகும், பின்னர் எந்த மாதிரிக்கும் எக்ஸ் நான்இந்தத் தொகுப்பிலிருந்து μ = E( எக்ஸ் நான்) என்பது இந்த மாதிரியின் எதிர்பார்ப்பு.

நடைமுறையில், μ மற்றும் x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) க்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு என்னவென்றால், μ என்பது ஒரு பொதுவான மாறியாகும், ஏனெனில் நீங்கள் முழு மக்கள்தொகையைக் காட்டிலும் மாதிரியைப் பார்க்க முடியும். எனவே, மாதிரி தோராயமாக (நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அடிப்படையில்) குறிப்பிடப்பட்டால், x ¯ (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\bar (x))) (ஆனால் μ அல்ல) மாதிரியில் நிகழ்தகவு பரவலைக் கொண்ட ஒரு சீரற்ற மாறியாகக் கருதலாம் ( சராசரியின் நிகழ்தகவு விநியோகம்).

இந்த இரண்டு அளவுகளும் ஒரே வழியில் கணக்கிடப்படுகின்றன:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

ஒரு என்றால் எக்ஸ்ஒரு சீரற்ற மாறி, பின்னர் கணித எதிர்பார்ப்பு எக்ஸ்அளவை மீண்டும் மீண்டும் அளவீடுகளில் மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியாகக் கருதலாம் எக்ஸ். இது பெரிய எண்களின் சட்டத்தின் வெளிப்பாடாகும். எனவே, தெரியாத கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கு மாதிரி சராசரி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில், சராசரி என்று நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது nசராசரிக்கு மேல் + 1 எண்கள் nபுதிய எண் பழைய சராசரியை விட அதிகமாக இருந்தால் மட்டுமே எண்கள், புதிய எண் சராசரியை விட குறைவாக இருந்தால் மட்டுமே குறைவாக இருக்கும், மேலும் புதிய எண் சராசரிக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டும் மாறாது. மேலும் n, புதிய மற்றும் பழைய சராசரிகளுக்கு இடையிலான சிறிய வேறுபாடு.

சக்தி-சட்ட சராசரி, கோல்மோகோரோவ் சராசரி, ஹார்மோனிக் சராசரி, எண்கணிதம்-வடிவவியல் சராசரி மற்றும் பல்வேறு எடையுள்ள வழிமுறைகள் (எ.கா., எண்கணித-எடை சராசரி, வடிவியல்-எடை சராசரி, ஹார்மோனிக்-எடை சராசரி) உள்ளிட்ட பல "வழிகள்" உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க. .

எடுத்துக்காட்டுகள்

• மூன்று எண்களுக்கு, நீங்கள் அவற்றைச் சேர்த்து 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• நான்கு எண்களுக்கு, நீங்கள் அவற்றைச் சேர்த்து 4 ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

அல்லது எளிதாக 5+5=10, 10:2. நாம் 2 எண்களைச் சேர்த்ததால், அதாவது எத்தனை எண்களைச் சேர்க்கிறோமோ, அந்த அளவுக்குப் வகுக்கிறோம்.

தொடர்ச்சியான சீரற்ற மாறி

தொடர்ச்சியாக விநியோகிக்கப்படும் மதிப்பு f (x) (\displaystyle f(x)) இடைவெளியில் எண்கணித சராசரி [ a ; b ] (\displaystyle ) ஒரு திட்டவட்டமான ஒருங்கிணைப்பு மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b - a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

சராசரியைப் பயன்படுத்துவதில் சில சிக்கல்கள்

உறுதியின்மை

முதன்மைக் கட்டுரை: புள்ளிவிவரங்களில் உறுதிப்பாடு

எண்கணித சராசரி பெரும்பாலும் வழிமுறையாக அல்லது மையப் போக்குகளாகப் பயன்படுத்தப்பட்டாலும், இந்தக் கருத்து வலுவான புள்ளிவிவரங்களுக்குப் பொருந்தாது, அதாவது எண்கணித சராசரியானது "பெரிய விலகல்களால்" பெரிதும் பாதிக்கப்படுகிறது. ஒரு பெரிய வளைவு கொண்ட விநியோகங்களுக்கு, எண்கணித சராசரியானது "சராசரி" என்ற கருத்துடன் ஒத்துப்போகாது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது, மேலும் வலுவான புள்ளிவிவரங்களிலிருந்து சராசரியின் மதிப்புகள் (உதாரணமாக, சராசரி) மையப் போக்கை சிறப்பாக விவரிக்கலாம்.

சிறந்த உதாரணம் சராசரி வருமானத்தின் கணக்கீடு ஆகும். எண்கணித சராசரியை ஒரு இடைநிலை என தவறாகப் புரிந்து கொள்ளலாம், இது உண்மையில் இருப்பதை விட அதிக வருமானம் கொண்டவர்கள் என்ற முடிவுக்கு வழிவகுக்கும். "சராசரி" வருமானம் பெரும்பாலான மக்களின் வருமானம் இந்த எண்ணுக்கு அருகில் இருக்கும் வகையில் விளக்கப்படுகிறது. இந்த "சராசரி" (எண்கணித சராசரியின் அர்த்தத்தில்) வருமானம் பெரும்பாலான மக்களின் வருமானத்தை விட அதிகமாக உள்ளது, ஏனெனில் சராசரியிலிருந்து பெரிய விலகலுடன் கூடிய அதிக வருமானம் எண்கணித சராசரியை வலுவாக வளைக்கச் செய்கிறது (மாறாக, சராசரி வருமானம் "எதிர்ப்பு" அத்தகைய ஒரு வளைவு). இருப்பினும், இந்த "சராசரி" வருமானம் சராசரி வருமானத்திற்கு அருகில் உள்ளவர்களின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை (மற்றும் மாதிரி வருமானத்திற்கு அருகில் உள்ளவர்களின் எண்ணிக்கையைப் பற்றி எதுவும் கூறவில்லை). இருப்பினும், "சராசரி" மற்றும் "பெரும்பான்மை" என்ற கருத்துகளை இலகுவாக எடுத்துக் கொண்டால், பெரும்பாலான மக்கள் உண்மையில் இருப்பதை விட அதிகமான வருமானம் கொண்டவர்கள் என்று தவறாக முடிவு செய்யலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வாஷிங்டனில் உள்ள மதீனாவில் உள்ள "சராசரி" நிகர வருமானம் குறித்த அறிக்கை, குடியிருப்பாளர்களின் அனைத்து ஆண்டு நிகர வருமானங்களின் எண்கணித சராசரியாகக் கணக்கிடப்பட்டது, பில் கேட்ஸ் காரணமாக வியக்கத்தக்க அதிக எண்ணிக்கையைக் கொடுக்கும். மாதிரியைக் கவனியுங்கள் (1, 2, 2, 2, 3, 9). எண்கணித சராசரி 3.17, ஆனால் ஆறு மதிப்புகளில் ஐந்து இந்த சராசரிக்குக் கீழே உள்ளன.

கூட்டு வட்டி

முதன்மைக் கட்டுரை: ROI

எண்கள் என்றால் பெருக்கி, ஆனால் இல்லை மடிப்பு, நீங்கள் வடிவியல் சராசரியைப் பயன்படுத்த வேண்டும், எண்கணித சராசரியை அல்ல. பெரும்பாலும், நிதி முதலீட்டின் வருவாயைக் கணக்கிடும் போது இந்த சம்பவம் நிகழ்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, பங்குகள் முதல் ஆண்டில் 10% சரிந்து, இரண்டாவது ஆண்டில் 30% உயர்ந்தால், இந்த இரண்டு ஆண்டுகளில் "சராசரி" அதிகரிப்பை எண்கணித சராசரி (−10% + 30%) / 2 எனக் கணக்கிடுவது தவறானது. = 10%; இந்த வழக்கில் சரியான சராசரியானது கூட்டு ஆண்டு வளர்ச்சி விகிதத்தால் வழங்கப்படுகிறது, இதில் இருந்து ஆண்டு வளர்ச்சி சுமார் 8.16653826392% ≈ 8.2% ஆகும்.

இதற்குக் காரணம், ஒவ்வொரு முறையும் சதவீதங்கள் புதிய தொடக்கப் புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும்: 30% என்பது 30% முதல் ஆண்டின் தொடக்கத்தில் இருந்த விலையை விட குறைவான எண்ணிக்கையிலிருந்து:பங்கு $30 இல் தொடங்கி 10% சரிந்தால், அது இரண்டாவது ஆண்டின் தொடக்கத்தில் $27 ஆக இருக்கும். பங்கு 30% உயர்ந்தால், அது இரண்டாம் ஆண்டு முடிவில் $35.1 ஆக இருக்கும். இந்த வளர்ச்சியின் எண்கணித சராசரி 10% ஆகும், ஆனால் 2 ஆண்டுகளில் பங்கு $5.1 மட்டுமே வளர்ந்ததால், சராசரியாக 8.2% அதிகரிப்பு $35.1 இறுதி முடிவை அளிக்கிறது:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. அதே வழியில் 10% என்ற எண்கணித சராசரியைப் பயன்படுத்தினால், நமக்கு உண்மையான மதிப்பு கிடைக்காது: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

ஆண்டு முடிவில் கூட்டு வட்டி 2: 90% * 130% = 117% , அதாவது மொத்த அதிகரிப்பு 17%, மற்றும் சராசரி ஆண்டு கூட்டு வட்டி 117% ≈ 108.2% (\காட்சி ஸ்டைல் ​​(\sqrt (117\%)) \தோராயமாக 108.2\%), அதாவது சராசரி ஆண்டு அதிகரிப்பு 8.2%.

திசைகள்

முதன்மைக் கட்டுரை: இலக்கு புள்ளிவிவரங்கள்

சுழற்சி முறையில் மாறும் சில மாறிகளின் எண்கணித சராசரியைக் கணக்கிடும் போது (உதாரணமாக, கட்டம் அல்லது கோணம்), சிறப்பு கவனம் எடுக்கப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 1° மற்றும் 359° சராசரியானது 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\ டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் ​​(\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. இரண்டு காரணங்களுக்காக இந்த எண் தவறானது.

• முதலாவதாக, கோண அளவீடுகள் 0° முதல் 360° வரையிலான வரம்பிற்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகின்றன (அல்லது ரேடியன்களில் அளவிடப்படும் போது 0 முதல் 2π வரை). எனவே, அதே ஜோடி எண்களை (1° மற்றும் −1°) அல்லது (1° மற்றும் 719°) என எழுதலாம். ஒவ்வொரு ஜோடியின் சராசரிகளும் வித்தியாசமாக இருக்கும்: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\ displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\ டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் ​​(\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• இரண்டாவதாக, இந்த வழக்கில், 0° (360°க்கு சமமான) மதிப்பு வடிவியல் ரீதியாக சிறந்த சராசரியாக இருக்கும், ஏனெனில் எண்கள் வேறு எந்த மதிப்பிலிருந்தும் 0° இலிருந்து குறைவாக விலகும் (மதிப்பு 0° சிறிய மாறுபாட்டைக் கொண்டுள்ளது). ஒப்பிடு:
  • எண் 1° 0° இலிருந்து 1° மட்டுமே விலகுகிறது;
  • எண் 1° கணக்கிடப்பட்ட சராசரியான 180° இலிருந்து 179° ஆல் விலகுகிறது.

மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி கணக்கிடப்பட்ட சுழற்சி மாறிக்கான சராசரி மதிப்பு, செயற்கையாக உண்மையான சராசரியுடன் ஒப்பிடும்போது எண் வரம்பின் நடுப்பகுதிக்கு மாற்றப்படும். இதன் காரணமாக, சராசரியானது வித்தியாசமான முறையில் கணக்கிடப்படுகிறது, அதாவது, சிறிய மாறுபாடு (மையப் புள்ளி) கொண்ட எண் சராசரி மதிப்பாகத் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. மேலும், கழிப்பதற்கு பதிலாக, மாடுலோ தூரம் (அதாவது, சுற்றளவு தூரம்) பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, 1° மற்றும் 359°க்கு இடையே உள்ள மட்டு தூரம் 2°, 358° அல்ல (359° மற்றும் 360°==0° - ஒரு டிகிரி, 0° மற்றும் 1° இடையே - மேலும் 1°, மொத்தம் - 2 °).

சராசரி மதிப்புகளின் வகைகள் மற்றும் அவற்றின் கணக்கீட்டிற்கான முறைகள்

புள்ளிவிவர செயலாக்கத்தின் கட்டத்தில், பல்வேறு ஆராய்ச்சி பணிகளை அமைக்கலாம், அதற்கான தீர்வுக்கு பொருத்தமான சராசரியைத் தேர்வு செய்வது அவசியம். அவ்வாறு செய்யும்போது, ​​பின்பற்ற வேண்டியது அவசியம் அடுத்த விதி: சராசரியின் எண் மற்றும் வகுப்பினைக் குறிக்கும் மதிப்புகள் தர்க்கரீதியாக ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையதாக இருக்க வேண்டும்.

• ஆற்றல் சராசரிகள்;
• கட்டமைப்பு சராசரிகள்.

பின்வரும் குறியீட்டை அறிமுகப்படுத்துவோம்:

சராசரி கணக்கிடப்படும் மதிப்புகள்;

சராசரி, மேலே உள்ள வரி தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் சராசரி நடைபெறுகிறது என்பதைக் குறிக்கிறது;

அதிர்வெண் (தனிப்பட்ட பண்பு மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும்).

பல்வேறு சராசரிகள் பெறப்படுகின்றன பொது சூத்திரம்சக்தி அர்த்தம்:

(5.1)

k = 1 க்கு - எண்கணித சராசரி; கே = -1 - ஹார்மோனிக் சராசரி; k = 0 - வடிவியல் சராசரி; k = -2 - வேர் சராசரி சதுரம்.

சராசரிகள் எளிமையானவை அல்லது எடையுள்ளவை. எடையுள்ள சராசரிகள்பண்புக்கூறின் மதிப்புகளின் சில மாறுபாடுகள் வெவ்வேறு எண்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் அளவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, எனவே ஒவ்வொரு மாறுபாடும் இந்த எண்ணால் பெருக்கப்பட வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், "எடைகள்" என்பது மக்கள்தொகையில் உள்ள அலகுகளின் எண்ணிக்கை வெவ்வேறு குழுக்கள், அதாவது ஒவ்வொரு விருப்பமும் அதன் அதிர்வெண்ணால் "எடைக்கப்படுகிறது". அதிர்வெண் f என்று அழைக்கப்படுகிறது புள்ளியியல் எடைஅல்லது சராசரி எடை.

எண்கணித சராசரி- மிகவும் பொதுவான வகை நடுத்தர. கணக்கிடப்படாத புள்ளியியல் தரவுகளில் கணக்கீடு மேற்கொள்ளப்படும் போது, ​​நீங்கள் சராசரித் தொகையைப் பெற விரும்புகிறீர்கள். எண்கணித சராசரி என்பது ஒரு அம்சத்தின் சராசரி மதிப்பாகும், அதைப் பெற்றவுடன், மக்கள்தொகையில் உள்ள அம்சத்தின் மொத்த அளவு மாறாமல் இருக்கும்.

எண்கணித சராசரி சூத்திரம் ( எளிய) வடிவம் உள்ளது

இங்கு n என்பது மக்கள்தொகை அளவு.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நிறுவனத்தின் ஊழியர்களின் சராசரி சம்பளம் எண்கணித சராசரியாக கணக்கிடப்படுகிறது:

இங்கே நிர்ணயிக்கும் குறிகாட்டிகள் ஒவ்வொரு பணியாளரின் ஊதியம் மற்றும் நிறுவன ஊழியர்களின் எண்ணிக்கை. சராசரியை கணக்கிடும் போது, ​​மொத்த ஊதியம் ஒரே மாதிரியாக இருந்தது, ஆனால் அனைத்து தொழிலாளர்களுக்கும் சமமாக விநியோகிக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, 8 பேர் பணிபுரியும் ஒரு சிறிய நிறுவனத்தின் ஊழியர்களின் சராசரி சம்பளத்தை கணக்கிடுவது அவசியம்:

சராசரிகளைக் கணக்கிடும் போது, ​​சராசரியாக இருக்கும் பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படலாம், எனவே சராசரியானது குழுவான தரவைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் நாங்கள் பேசுகிறோம்பயன்படுத்துவது பற்றி எண்கணிதம் சராசரி எடையுடையது, இது போல் தெரிகிறது

(5.3)

எனவே, பங்குச் சந்தையில் ஒரு கூட்டு-பங்கு நிறுவனத்தின் சராசரி பங்கு விலையை நாம் கணக்கிட வேண்டும். பரிவர்த்தனைகள் 5 நாட்களுக்குள் மேற்கொள்ளப்பட்டன என்பது அறியப்படுகிறது (5 பரிவர்த்தனைகள்), விற்பனை விகிதத்தில் விற்கப்பட்ட பங்குகளின் எண்ணிக்கை பின்வருமாறு விநியோகிக்கப்பட்டது:

1 - 800 ஏசி. - 1010 ரூபிள்

2 - 650 ஏசி. - 990 ரப்.

3 - 700 ஏ.கே. - 1015 ரூபிள்.

4 - 550 ஏசி. - 900 ரூபிள்.

5 - 850 ஏகே. - 1150 ரூபிள்.

சராசரி பங்கு விலையை நிர்ணயிப்பதற்கான ஆரம்ப விகிதமானது, மொத்த பரிவர்த்தனைகளின் (TCA) விகிதத்திற்கும் விற்கப்பட்ட பங்குகளின் எண்ணிக்கைக்கும் (KPA):

OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

இந்த வழக்கில், சராசரி பங்கு விலை சமமாக இருந்தது

எண்கணித சராசரியின் பண்புகளை அறிந்து கொள்வது அவசியம், இது அதன் பயன்பாட்டிற்கும் அதன் கணக்கீட்டிற்கும் மிகவும் முக்கியமானது. புள்ளியியல் மற்றும் பொருளாதாரக் கணக்கீடுகளில் எண்கணித சராசரியின் பரவலான பயன்பாட்டிற்கு வழிவகுத்த மூன்று முக்கிய பண்புகள் உள்ளன.

சொத்து ஒன்று (பூஜ்யம்): ஒரு பண்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் நேர்மறை விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து எதிர்மறை விலகல்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். சீரற்ற காரணங்களால் ஏற்படும் எந்த விலகல்களும் (+ மற்றும் உடன் - உடன்) பரஸ்பரம் ரத்து செய்யப்படும் என்பதால் இது மிகவும் முக்கியமான சொத்து.

ஆதாரம்:

சொத்து இரண்டு (குறைந்தபட்சம்): எண்கணித சராசரியிலிருந்து குணநலன்களின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை வேறு எந்த எண்ணையும் விட குறைவாக உள்ளது (a), அதாவது. குறைந்தபட்ச எண் ஆகும்.

ஆதாரம்.

a மாறியிலிருந்து வர்க்க விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்கவும்:

(5.4)

இந்தச் செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிய, அதன் வழித்தோன்றலை ஒரு பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுவது அவசியம்:

இங்கிருந்து நாம் பெறுகிறோம்:

(5.5)

எனவே, ஸ்கொயர்டு விலகல்களின் கூட்டுத்தொகையின் உச்சம் . செயல்பாடு அதிகபட்சமாக இருக்க முடியாது என்பதால், இந்த உச்சநிலை குறைந்தபட்சம்.

சொத்து மூன்று: ஒரு மாறிலியின் எண்கணித சராசரி இந்த மாறிலிக்கு சமம்: a = const.

எண்கணித சராசரி இந்த மூன்று மிக முக்கியமான பண்புகள் கூடுதலாக, என்று அழைக்கப்படும் உள்ளன வடிவமைப்பு பண்புகள், மின்னணு கணினிகளின் பயன்பாட்டினால் படிப்படியாக அவற்றின் முக்கியத்துவத்தை இழக்கின்றன:

• ஒவ்வொரு அலகின் பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்பை ஒரு நிலையான எண்ணால் பெருக்கி அல்லது வகுத்தால், எண்கணித சராசரி அதே அளவு அதிகரிக்கும் அல்லது குறையும்;
• ஒவ்வொரு அம்ச மதிப்பின் எடையும் (அதிர்வெண்) ஒரு நிலையான எண்ணால் வகுக்கப்பட்டால் எண்கணித சராசரி மாறாது;
• ஒவ்வொரு யூனிட்டின் பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் குறைக்கப்பட்டால் அல்லது அதே அளவு அதிகரித்தால், எண்கணித சராசரி அதே அளவு குறையும் அல்லது அதிகரிக்கும்.

சராசரி ஹார்மோனிக். இந்த சராசரியானது, k = -1 எனும் போது இந்த மதிப்பு பயன்படுத்தப்படுவதால், பரஸ்பர எண்கணித சராசரி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எளிய ஹார்மோனிக் சராசரிபண்பு மதிப்புகளின் எடைகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதன் சூத்திரத்தை k = -1 ஐ மாற்றுவதன் மூலம் அடிப்படை சூத்திரத்திலிருந்து பெறலாம்:

உதாரணமாக, ஒரே பாதையில் பயணித்த இரண்டு கார்களின் சராசரி வேகத்தை நாம் கணக்கிட வேண்டும், ஆனால் வெவ்வேறு வேகத்தில்: முதல் 100 கிமீ / மணி, இரண்டாவது 90 கிமீ / மணி. ஹார்மோனிக் சராசரி முறையைப் பயன்படுத்தி, சராசரி வேகத்தைக் கணக்கிடுகிறோம்:

புள்ளிவிவர நடைமுறையில், ஹார்மோனிக் வெயிட் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதன் சூத்திரம் வடிவம் கொண்டது

ஒவ்வொரு பண்புக்கும் எடைகள் (அல்லது நிகழ்வுகளின் தொகுதிகள்) சமமாக இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில் இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அசல் விகிதத்தில், எண் சராசரியைக் கணக்கிடுவதற்கு அறியப்படுகிறது, ஆனால் வகுத்தல் தெரியவில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, சராசரி விலையைக் கணக்கிடும் போது, ​​விற்கப்பட்ட யூனிட்களின் எண்ணிக்கைக்கு விற்கப்பட்ட தொகையின் விகிதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். விற்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை எங்களுக்குத் தெரியாது (நாங்கள் வெவ்வேறு பொருட்களைப் பற்றி பேசுகிறோம்), ஆனால் இந்த வெவ்வேறு பொருட்களின் விற்பனையின் தொகை எங்களுக்குத் தெரியும். தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்று சொல்லலாம் சராசரி விலைவிற்கப்பட்ட பொருட்கள்:

நாம் பெறுகிறோம்

வடிவியல் சராசரி. பெரும்பாலும், வடிவியல் சராசரி சராசரி வளர்ச்சி விகிதத்தை (சராசரி வளர்ச்சி விகிதங்கள்) தீர்மானிப்பதில் அதன் பயன்பாட்டைக் காண்கிறது, பண்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் தொடர்புடைய மதிப்புகளாக வழங்கப்படுகின்றன. ஒரு குணாதிசயத்தின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச மதிப்புகளுக்கு இடையில் சராசரியைக் கண்டறிய வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக, 100 மற்றும் 1000000 இடையே). எளிய மற்றும் எடையுள்ள வடிவியல் சராசரிக்கான சூத்திரங்கள் உள்ளன.

ஒரு எளிய வடிவியல் சராசரிக்கு

எடையுள்ள வடிவியல் சராசரிக்கு

ஆர்.எம்.எஸ். அதன் பயன்பாட்டின் முக்கிய நோக்கம் மக்கள்தொகையில் ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டின் அளவீடு ஆகும் (சராசரியின் கணக்கீடு நிலையான விலகல்).

எளிய ரூட் சராசரி சதுர சூத்திரம்

எடையுள்ள ரூட் சராசரி சதுர சூத்திரம்

(5.11)

இதன் விளைவாக, என்று கூறலாம் சரியான தேர்வுஒவ்வொரு குறிப்பிட்ட வழக்கிலும் சராசரி மதிப்பின் வகை புள்ளிவிவர ஆராய்ச்சியின் சிக்கல்களின் வெற்றிகரமான தீர்வைப் பொறுத்தது. சராசரியின் தேர்வு பின்வரும் வரிசையை எடுத்துக்கொள்கிறது:

a) மக்கள்தொகையின் பொதுவான குறிகாட்டியை நிறுவுதல்;

b) கொடுக்கப்பட்ட பொதுமைப்படுத்தும் குறிகாட்டிக்கான மதிப்புகளின் கணித விகிதத்தை தீர்மானித்தல்;

c) தனிப்பட்ட மதிப்புகளை சராசரி மதிப்புகளால் மாற்றுதல்;

ஈ) தொடர்புடைய சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி சராசரியைக் கணக்கிடுதல்.

சராசரி மதிப்புகள் மற்றும் மாறுபாடு

சராசரி மதிப்பு- இது ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு பண்புக்கூறின் படி ஒரு தரமான ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகையை வகைப்படுத்தும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தும் குறிகாட்டியாகும். உதாரணத்திற்கு, சராசரி வயதுதிருட்டு குற்றவாளிகள்.

நீதித்துறை புள்ளிவிவரங்களில், சராசரிகள் வகைப்படுத்தப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

இந்த வகை வழக்குகளின் பரிசீலனைக்கான சராசரி விதிமுறைகள்;

நடுத்தர அளவு கோரிக்கை;

ஒரு வழக்கில் பிரதிவாதிகளின் சராசரி எண்ணிக்கை;

சேதத்தின் சராசரி அளவு;

நீதிபதிகளின் சராசரி பணிச்சுமை போன்றவை.

சராசரி மதிப்பு எப்போதும் பெயரிடப்படுகிறது மற்றும் மக்கள்தொகையின் தனி அலகு பண்புக்கூறின் அதே பரிமாணத்தைக் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு சராசரி மதிப்பும் எந்த ஒரு மாறுபட்ட பண்புக்கூறின் படி ஆய்வு செய்யப்பட்ட மக்கள்தொகையை வகைப்படுத்துகிறது, எனவே, எந்த சராசரிக்கும் பின்னால், ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்புக்கூறின் படி இந்த மக்கள்தொகையின் அலகுகளின் தொடர் விநியோகம் உள்ளது. சராசரி வகையின் தேர்வு குறிகாட்டியின் உள்ளடக்கம் மற்றும் சராசரியை கணக்கிடுவதற்கான ஆரம்ப தரவு ஆகியவற்றால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

புள்ளிவிவர ஆய்வுகளில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து வகையான சராசரிகளும் இரண்டு வகைகளாகும்:

1) ஆற்றல் சராசரிகள்;

2) கட்டமைப்பு சராசரிகள்.

முதல் வகை சராசரிகள் அடங்கும்: எண்கணித சராசரி, ஹார்மோனிக் சராசரி, வடிவியல் சராசரி மற்றும் வேர் என்றால் சதுரம் . இரண்டாவது வகை பேஷன்மற்றும் சராசரி. மேலும், பட்டியலிடப்பட்ட ஆற்றல் சராசரிகள் ஒவ்வொன்றும் இரண்டு வடிவங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்: எளிய மற்றும் எடையுள்ள . கணக்கிடப்படாத புள்ளிவிவரங்களின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படும்போது அல்லது ஒவ்வொரு மாறுபாடும் மக்கள்தொகையில் ஒரு முறை மட்டுமே நிகழும்போது ஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்புகளின் சராசரி மதிப்பைப் பெற சராசரியின் எளிய வடிவம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. எடையுள்ள சராசரிகள் என்பது ஒரு அம்சத்தின் மதிப்புகளுக்கான விருப்பங்கள் வெவ்வேறு எண்களைக் கொண்டிருக்கலாம் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் மதிப்புகள், எனவே ஒவ்வொரு விருப்பமும் தொடர்புடைய அதிர்வெண்ணால் பெருக்கப்பட வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒவ்வொரு விருப்பமும் அதன் அதிர்வெண்ணால் "எடையப்படுகிறது". அதிர்வெண் புள்ளிவிவர எடை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எளிய எண்கணித சராசரி- மிகவும் பொதுவான வகை நடுத்தர. இந்த மதிப்புகளின் மொத்த எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படும் தனிப்பட்ட பண்பு மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு இது சமம்:

,

எங்கே x 1 , x 2 , ... , x Nமாறி பண்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் (விருப்பங்கள்), மற்றும் N என்பது மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

எண்கணித எடை சராசரிவிநியோகத் தொடர்கள் அல்லது குழுக்களின் வடிவத்தில் தரவு வழங்கப்படும் போது பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது அனைத்து விருப்பங்களின் அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையால் வகுக்கப்படும் விருப்பங்களின் தயாரிப்புகள் மற்றும் அவற்றின் தொடர்புடைய அதிர்வெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக கணக்கிடப்படுகிறது:

எங்கே x i- பொருள் நான்அம்சத்தின் -வது வகைகள்; fi- அதிர்வெண் நான்-வது விருப்பங்கள்.

இவ்வாறு, ஒவ்வொரு மாறுபாடு மதிப்பும் அதன் அதிர்வெண்ணால் எடையிடப்படுகிறது, அதனால்தான் அதிர்வெண்கள் சில நேரங்களில் புள்ளிவிவர எடைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

கருத்து.அதன் வகையைக் குறிப்பிடாமல் எண்கணித சராசரி என்று வரும்போது, ​​எளிய எண்கணித சராசரி என்று பொருள்படும்.

அட்டவணை 12

முடிவு.கணக்கீட்டிற்கு, எண்கணித எடையுள்ள சராசரியின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எனவே, சராசரியாக ஒரு கிரிமினல் வழக்கில் இரண்டு பிரதிவாதிகள் உள்ளனர்.

இடைவெளி விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளின்படி சராசரி மதிப்பின் கணக்கீடு மேற்கொள்ளப்பட்டால், முதலில் நீங்கள் ஒவ்வொரு இடைவெளி x "i இன் சராசரி மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்க வேண்டும், பின்னர் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும் எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரம், இதில் x" i க்கு பதிலாக x iக்கு மாற்றாக உள்ளது.

உதாரணமாக.திருட்டு குற்றவாளிகளின் வயது குறித்த தரவு அட்டவணையில் வழங்கப்படுகிறது:

அட்டவணை 13

திருடப்பட்ட குற்றவாளிகளின் சராசரி வயதை நிர்ணயிக்கவும்.

முடிவு.இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் அடிப்படையில் குற்றவாளிகளின் சராசரி வயதைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் முதலில் இடைவெளிகளின் சராசரி மதிப்புகளைக் கண்டறிய வேண்டும். எங்களிடம் ஒரு இடைவெளி தொடர் வழங்கப்படுவதால் முதலில் திறக்கமற்றும் கடைசி இடைவெளிகள், பின்னர் இந்த இடைவெளிகளின் மதிப்புகள் அருகிலுள்ள மூடிய இடைவெளிகளின் மதிப்புகளுக்கு சமமாக எடுக்கப்படுகின்றன. எங்கள் விஷயத்தில், முதல் மற்றும் கடைசி இடைவெளிகளின் மதிப்பு 10 ஆகும்.

இப்போது எடையுள்ள எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி குற்றவாளிகளின் சராசரி வயதைக் காண்கிறோம்:

எனவே, திருட்டுக் குற்றவாளிகளின் சராசரி வயது தோராயமாக 27 ஆண்டுகள்.

சராசரி ஹார்மோனிக் எளிமையானது பண்புக்கூறின் பரஸ்பர மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியின் பரஸ்பரம்:

எங்கே 1/ x iமாறுபாடுகளின் பரஸ்பர மதிப்புகள் மற்றும் N என்பது மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

உதாரணமாக.குற்றவியல் வழக்குகளை பரிசீலிக்கும்போது, ​​மாவட்ட நீதிமன்ற நீதிபதிகளுக்கு சராசரி ஆண்டு பணிச்சுமையை தீர்மானிக்க, இந்த நீதிமன்றத்தின் 5 நீதிபதிகளின் பணிச்சுமை குறித்து ஒரு கணக்கெடுப்பு நடத்தப்பட்டது. கணக்கெடுக்கப்பட்ட நீதிபதிகள் ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு கிரிமினல் வழக்கில் செலவழித்த சராசரி நேரம் சமமாக இருந்தது (நாட்களில்): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. ஒருவருக்கான சராசரி செலவுகளைக் கண்டறியவும் குற்றவியல் வழக்கு மற்றும் கிரிமினல் வழக்குகளை பரிசீலிக்கும்போது இந்த மாவட்ட நீதிமன்றத்தின் நீதிபதிகளின் சராசரி ஆண்டு பணிச்சுமை.

முடிவு.ஒரு கிரிமினல் வழக்கில் செலவழித்த சராசரி நேரத்தைத் தீர்மானிக்க, ஹார்மோனிக் எளிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டில் உள்ள கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த, வார இறுதி நாட்கள் உட்பட, ஒரு வருடத்தில் 365 க்கு சமமான நாட்களின் எண்ணிக்கையை எடுத்துக் கொள்வோம் (இது கணக்கீட்டு முறையை பாதிக்காது, நடைமுறையில் இதேபோன்ற குறிகாட்டியைக் கணக்கிடும்போது, ​​​​வேலை செய்யும் எண்ணிக்கையை மாற்றுவது அவசியம். 365 நாட்களுக்குப் பதிலாக ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் நாட்கள்). குற்றவியல் வழக்குகளை பரிசீலிக்கும்போது இந்த மாவட்ட நீதிமன்றத்தின் நீதிபதிகளின் சராசரி ஆண்டு பணிச்சுமை: 365 (நாட்கள்): 5.56 ≈ 65.6 (வழக்குகள்).

ஒரு கிரிமினல் வழக்கில் செலவழித்த சராசரி நேரத்தைத் தீர்மானிக்க எளிய எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், நாம் பெறுவோம்:

365 (நாட்கள்): 5.64 ≈ 64.7 (வழக்குகள்), அதாவது. நீதிபதிகளுக்கு சராசரி பணிச்சுமை குறைவாக இருந்தது.

இந்த அணுகுமுறையின் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம். இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு நீதிபதிக்கும் ஒரு கிரிமினல் வழக்கில் செலவழித்த நேரத்தைப் பற்றிய தரவைப் பயன்படுத்துகிறோம், மேலும் அவர்கள் ஒவ்வொரு வருடமும் பரிசீலிக்கும் கிரிமினல் வழக்குகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுகிறோம்.

அதன்படி நாங்கள் பெறுகிறோம்:

365(நாட்கள்) : 6 ≈ 61 (வழக்கு), 365(நாட்கள்) : 5.6 ≈ 65.2 (வழக்கு), 365 (நாட்கள்) : 6.3 ≈ 58 (வழக்கு),

365(நாட்கள்) : 4.9 ≈ 74.5 (வழக்குகள்), 365(நாட்கள்) : 5.4 ≈ 68 (வழக்குகள்).

கிரிமினல் வழக்குகளை பரிசீலிக்கும்போது இந்த மாவட்ட நீதிமன்றத்தின் நீதிபதிகளுக்கான சராசரி ஆண்டு பணிச்சுமையை இப்போது கணக்கிடுகிறோம்:

அந்த. சராசரி வருடாந்திர சுமை ஹார்மோனிக் சராசரியைப் பயன்படுத்தும் போது அதே தான்.

எனவே, இந்த வழக்கில் எண்கணித சராசரியைப் பயன்படுத்துவது சட்டவிரோதமானது.

ஒரு அம்சத்தின் மாறுபாடுகள் அறியப்பட்ட சந்தர்ப்பங்களில், அவற்றின் அளவீட்டு மதிப்புகள் (அதிர்வெண் மூலம் மாறுபாடுகளின் தயாரிப்பு), ஆனால் அதிர்வெண்கள் தாங்களாகவே தெரியவில்லை, ஹார்மோனிக் எடையுள்ள சராசரி சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது:

,

எங்கே x iபண்பு மாறுபாடுகளின் மதிப்புகள், மற்றும் w i என்பது மாறுபாடுகளின் அளவீட்டு மதிப்புகள் ( w i = x i f i).

உதாரணமாக.சிறைச்சாலை அமைப்பின் பல்வேறு நிறுவனங்களால் உற்பத்தி செய்யப்படும் அதே வகை பொருட்களின் ஒரு யூனிட்டின் விலை மற்றும் அதன் செயல்பாட்டின் அளவு ஆகியவை அட்டவணை 14 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 14

பொருளின் சராசரி விற்பனை விலையைக் கண்டறியவும்.

முடிவு.சராசரி விலையைக் கணக்கிடும் போது, ​​விற்கப்பட்ட யூனிட்களின் எண்ணிக்கைக்கு விற்கப்பட்ட தொகையின் விகிதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். விற்கப்பட்ட அலகுகளின் எண்ணிக்கை எங்களுக்குத் தெரியாது, ஆனால் பொருட்களின் விற்பனையின் அளவு எங்களுக்குத் தெரியும். எனவே, விற்கப்படும் பொருட்களின் சராசரி விலையைக் கண்டறிய, நாங்கள் ஹார்மோனிக் எடையுள்ள சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். நாம் பெறுகிறோம்

நீங்கள் இங்கே எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினால், நீங்கள் சராசரி விலையைப் பெறலாம், அது நம்பத்தகாததாக இருக்கும்:

வடிவியல் சராசரிஅம்ச விருப்பங்களின் அனைத்து மதிப்புகளின் பெருக்கத்திலிருந்து பட்டம் N இன் மூலத்தைப் பிரித்தெடுப்பதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது:

எங்கே x 1 , x 2 , ... , x Nமாறி பண்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் (விருப்பங்கள்), மற்றும்

என்மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை.

நேரத் தொடரின் சராசரி வளர்ச்சி விகிதங்களைக் கணக்கிட இந்த வகை சராசரி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வேர் என்றால் சதுரம்நிலையான விலகலைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது, இது மாறுபாட்டின் குறிகாட்டியாகும், மேலும் கீழே விவாதிக்கப்படும்.

மக்கள்தொகையின் கட்டமைப்பை தீர்மானிக்க, சிறப்பு சராசரிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதில் அடங்கும் சராசரி மற்றும் பேஷன் , அல்லது கட்டமைப்பு சராசரிகள் என்று அழைக்கப்படுபவை. பண்புக்கூறு மதிப்புகளின் அனைத்து வகைகளின் பயன்பாட்டின் அடிப்படையில் எண்கணித சராசரி கணக்கிடப்பட்டால், இடைநிலை மற்றும் பயன்முறையானது தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட (வரிசைப்படுத்தப்பட்ட) தொடரில் ஒரு குறிப்பிட்ட சராசரி நிலையை ஆக்கிரமித்துள்ள மாறுபாட்டின் மதிப்பை வகைப்படுத்துகிறது. புள்ளிவிவர மக்கள்தொகையின் அலகுகளை வரிசைப்படுத்துவது ஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்புகளின் மாறுபாடுகளின் ஏறுவரிசை அல்லது இறங்கு வரிசையில் மேற்கொள்ளப்படலாம்.

சராசரி (நான்)வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரின் நடுவில் உள்ள மாறுபாட்டுடன் தொடர்புடைய மதிப்பு. எனவே, இடைநிலை என்பது தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரின் மாறுபாடு ஆகும், இதன் இருபுறமும் இந்தத் தொடரில் சம எண்ணிக்கையிலான மக்கள்தொகை அலகுகள் இருக்க வேண்டும்.

சராசரியைக் கண்டறிய, நீங்கள் முதலில் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தரவரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரில் அதன் வரிசை எண்ணைத் தீர்மானிக்க வேண்டும்:

N என்பது தொடரின் தொகுதி (மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை).

தொடர் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால், இடைநிலையானது N Me என்ற எண்ணுடன் கூடிய மாறுபாட்டிற்குச் சமமாக இருக்கும். தொடர் எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால், இடைநிலையானது நடுவில் அமைந்துள்ள இரண்டு அருகிலுள்ள விருப்பங்களின் எண்கணித சராசரியாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

உதாரணமாக. 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10 வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடரின் அளவு N = 9, அதாவது N Me = (9 + 1) / 2 = 5. எனவே, Me = 6, அதாவது. ஐந்தாவது விருப்பம். ஒரு வரிசையில் 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16 கொடுக்கப்பட்டால், அதாவது. இரட்டை எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களைக் கொண்ட தொடர் (N = 8), பின்னர் N Me = (8 + 1) / 2 = 4.5. எனவே சராசரியானது நான்காவது மற்றும் ஐந்தாவது விருப்பங்களின் பாதி தொகைக்கு சமம், அதாவது. நான் = (9 + 11) / 2 = 10.

ஒரு தனித்துவமான மாறுபாடு தொடரில், சராசரியானது திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. மாறுபாடு அதிர்வெண்கள், முதல் ஒன்றிலிருந்து தொடங்கி, சராசரி எண்ணை மீறும் வரை தொகுக்கப்படும். கடைசியாக சுருக்கப்பட்ட விருப்பங்களின் மதிப்பு சராசரியாக இருக்கும்.

உதாரணமாக.அட்டவணை 12 இல் உள்ள தரவைப் பயன்படுத்தி ஒரு கிரிமினல் வழக்கில் பிரதிவாதிகளின் சராசரி எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்.

முடிவு.இந்த வழக்கில், மாறுபாடு தொடரின் தொகுதி N = 154, எனவே, N Me = (154 + 1) / 2 = 77.5. முதல் மற்றும் இரண்டாவது விருப்பங்களின் அதிர்வெண்களை சுருக்கமாக, நாம் பெறுகிறோம்: 75 + 43 = 118, அதாவது. நாங்கள் சராசரி எண்ணைத் தாண்டிவிட்டோம். எனவே நான் = 2.

விநியோகத்தின் இடைவெளி மாறுபாடு தொடரில், முதலில் இடைநிலை இருக்கும் இடைவெளியைக் குறிக்கவும். அவர் அழைக்கப்பட்டார் சராசரி . இது முதல் இடைவெளியாகும், அதன் ஒட்டுமொத்த அதிர்வெண் இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் பாதி அளவை மீறுகிறது. பின்னர் சராசரியின் எண் மதிப்பு சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

எங்கே x நான்இடைநிலை இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பு; i என்பது இடைநிலை இடைவெளியின் மதிப்பு; எஸ் மீ-1இடைநிலைக்கு முந்தைய இடைவெளியின் ஒட்டுமொத்த அதிர்வெண் ஆகும்; f நான்இடைநிலை இடைவெளியின் அதிர்வெண் ஆகும்.

உதாரணமாக.அட்டவணை 13 இல் வழங்கப்பட்ட புள்ளிவிவரங்களின் அடிப்படையில், திருட்டுக்கு தண்டனை பெற்ற குற்றவாளிகளின் சராசரி வயதைக் கண்டறியவும்.

முடிவு.புள்ளியியல் தரவு இடைவெளி மாறுபாடு தொடரால் குறிப்பிடப்படுகிறது, அதாவது நாம் முதலில் சராசரி இடைவெளியை தீர்மானிக்கிறோம். மக்கள்தொகையின் அளவு N = 162, எனவே, இடைநிலை இடைவெளியானது இடைவெளி 18-28 ஆகும், ஏனெனில் இது முதல் இடைவெளியாகும், இதன் திரட்டப்பட்ட அதிர்வெண் (15 + 90 = 105) இடைவெளி மாறுபாடு தொடரின் பாதி அளவை (162: 2 = 81) மீறுகிறது. இப்போது சராசரியின் எண் மதிப்பு மேலே உள்ள சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இதனால், திருட்டுக் குற்றவாளிகளில் பாதி பேர் 25 வயதுக்குட்பட்டவர்கள்.

ஃபேஷன் (மோ)பண்புக்கூறின் மதிப்பைக் குறிப்பிடவும், இது பெரும்பாலும் மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் காணப்படுகிறது. ஃபேஷன் மிகப் பெரிய விநியோகத்தைக் கொண்ட பண்புகளின் மதிப்பைக் கண்டறியப் பயன்படுகிறது. ஒரு தனித்துவமான தொடருக்கு, பயன்முறையானது அதிக அதிர்வெண் கொண்ட மாறுபாடாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, அட்டவணை 3 இல் வழங்கப்பட்ட தனித்துவமான தொடருக்கு மோ= 1, இந்த விருப்பங்களின் மதிப்பு அதிக அதிர்வெண்ணுடன் ஒத்துப்போவதால் - 75. இடைவெளித் தொடரின் பயன்முறையைத் தீர்மானிக்க, முதலில் தீர்மானிக்கவும் மாதிரி இடைவெளி (அதிக அதிர்வெண் கொண்ட இடைவெளி). பின்னர், இந்த இடைவெளியில், அம்சத்தின் மதிப்பு காணப்படுகிறது, இது ஒரு பயன்முறையாக இருக்கலாம்.

அதன் மதிப்பு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது:

எங்கே x மோமாதிரி இடைவெளியின் குறைந்த வரம்பு; i என்பது மாதிரி இடைவெளியின் மதிப்பு; எஃப் மோமாதிரி இடைவெளியின் அதிர்வெண் ஆகும்; எஃப் மோ-1மாதிரிக்கு முந்தைய இடைவெளியின் அதிர்வெண்; f மோ+1மாதிரிக்குப் பின் வரும் இடைவெளியின் அதிர்வெண் ஆகும்.

உதாரணமாக.திருட்டுக்கு தண்டனை பெற்ற குற்றவாளிகளின் வயது முறையைக் கண்டறியவும், அதன் தரவு அட்டவணை 13 இல் வழங்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவு.அதிக அதிர்வெண் இடைவெளி 18-28 க்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே, பயன்முறை இந்த இடைவெளியில் இருக்க வேண்டும். அதன் மதிப்பு மேலே உள்ள சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

இவ்வாறு, திருட்டுக் குற்றவாளிகளில் அதிக எண்ணிக்கையிலான குற்றவாளிகள் 24 வயதுடையவர்கள்.

சராசரி மதிப்பு ஆய்வின் கீழ் உள்ள நிகழ்வின் மொத்தத்தின் பொதுமைப்படுத்தும் பண்பை அளிக்கிறது. இருப்பினும், ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்பின் மதிப்பில் ஏற்ற இறக்கத்தின் (மாறுபாடு) அளவின் அடிப்படையில் ஒரே சராசரி மதிப்புகளைக் கொண்ட இரண்டு மக்கள்தொகைகள் ஒருவருக்கொருவர் கணிசமாக வேறுபடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நீதிமன்றத்தில் பின்வரும் சிறைத் தண்டனை விதிக்கப்பட்டது: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 ஆண்டுகள், மற்றும் மற்றொரு - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7 , 8, 8, 8 வயது. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், எண்கணித சராசரி 6.7 ஆண்டுகள் ஆகும். எவ்வாறாயினும், சராசரி மதிப்புடன் தொடர்புடைய சிறைத்தண்டனைக்கான ஒதுக்கப்பட்ட காலத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் பரவலில் இந்த மொத்தங்கள் ஒருவருக்கொருவர் கணிசமாக வேறுபடுகின்றன.

இந்த மாறுபாடு மிகப் பெரியதாக இருக்கும் முதல் நீதிமன்றத்தைப் பொறுத்தவரை, சிறைத் தண்டனையின் சராசரி காலம் முழு மக்களையும் நன்றாகப் பிரதிபலிக்கவில்லை. எனவே, பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபடவில்லை என்றால், எண்கணித சராசரி இந்த மக்கள்தொகையின் பண்புகளின் மிகவும் குறிக்கும் பண்பாக இருக்கும். இல்லையெனில், எண்கணித சராசரியானது இந்த மக்கள்தொகையின் நம்பமுடியாத பண்பாக இருக்கும் மற்றும் நடைமுறையில் அதன் பயன்பாடு பயனற்றது. எனவே, ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்பின் மதிப்புகளில் உள்ள மாறுபாட்டை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது அவசியம்.

மாறுபாடு- இவை ஒரு குறிப்பிட்ட மக்கள்தொகையின் வெவ்வேறு அலகுகளில் ஒரே காலகட்டத்தில் அல்லது புள்ளியில் உள்ள பண்புகளின் மதிப்புகளில் உள்ள வேறுபாடுகள். "மாறுபாடு" என்ற சொல் லத்தீன் தோற்றம் - மாறுபாடு, அதாவது வேறுபாடு, மாற்றம், ஏற்ற இறக்கம். பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் பல்வேறு காரணிகளின் (நிபந்தனைகள்) ஒருங்கிணைந்த செல்வாக்கின் கீழ் உருவாகின்றன என்பதன் விளைவாக இது எழுகிறது, அவை ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட விஷயத்திலும் வெவ்வேறு வழிகளில் இணைக்கப்படுகின்றன. ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டை அளவிட, பல்வேறு முழுமையான மற்றும் உறவினர் குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

மாறுபாட்டின் முக்கிய குறிகாட்டிகள் பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்குகின்றன:

1) மாறுபாட்டின் வரம்பு;

2) சராசரி நேரியல் விலகல்;

3) சிதறல்;

4) நிலையான விலகல்;

5) மாறுபாட்டின் குணகம்.

அவை ஒவ்வொன்றிலும் சுருக்கமாக வாழ்வோம்.

இடைவெளி மாறுபாடுகணக்கீட்டின் எளிமையின் அடிப்படையில் R என்பது மிகவும் அணுகக்கூடிய முழுமையான குறிகாட்டியாகும், இது இந்த மக்கள்தொகையின் அலகுகளுக்கான பண்புக்கூறின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளுக்கு இடையிலான வேறுபாடாக வரையறுக்கப்படுகிறது:

மாறுபாட்டின் வரம்பு ( ஏற்ற இறக்கங்களின் வரம்பு) - முக்கியமான காட்டிஅடையாளத்தின் ஏற்ற இறக்கங்கள், ஆனால் அதன் பயன்பாட்டின் நோக்கத்தை கட்டுப்படுத்தும் தீவிர விலகல்களை மட்டுமே இது சாத்தியமாக்குகிறது. அதன் ஏற்ற இறக்கத்தின் அடிப்படையில் ஒரு பண்பின் மாறுபாட்டின் மிகவும் துல்லியமான குணாதிசயத்திற்கு, பிற குறிகாட்டிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சராசரி நேரியல் விலகல்சராசரியிலிருந்து பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் விலகல்களின் முழுமையான மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியைக் குறிக்கிறது மற்றும் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

1) க்கான தொகுக்கப்படாத தரவு

2) க்கான மாறுபாடு தொடர்

இருப்பினும், மாறுபாட்டின் மிகவும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் அளவீடு ஆகும் சிதறல் . அதன் சராசரி மதிப்புடன் தொடர்புடைய ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்புகளின் மதிப்புகளின் பரவலின் அளவை இது வகைப்படுத்துகிறது. மாறுபாடு என்பது ஸ்கொயர் செய்யப்பட்ட விலகல்களின் சராசரியாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

எளிய மாறுபாடுதொகுக்கப்படாத தரவுகளுக்கு:

.

எடையுள்ள மாறுபாடுமாறுபாடு தொடருக்கு:

கருத்து.நடைமுறையில், மாறுபாட்டைக் கணக்கிட பின்வரும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவது நல்லது:

ஒரு எளிய மாறுபாட்டிற்கு

.

எடையுள்ள மாறுபாட்டிற்கு

நிலையான விலகல்மாறுபாட்டின் வர்க்கமூலம்:

நிலையான விலகல் என்பது சராசரியின் நம்பகத்தன்மையின் அளவீடு ஆகும். சிறிய நிலையான விலகல், அதிக ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகை மற்றும் சிறந்த எண்கணித சராசரி முழு மக்களையும் பிரதிபலிக்கிறது.

மேலே கருதப்படும் சிதறல் நடவடிக்கைகள் (மாறுபாடுகளின் வரம்பு, மாறுபாடு, நிலையான விலகல்) முழுமையான குறிகாட்டிகளாகும், இதன் மூலம் ஒரு பண்பின் ஏற்ற இறக்கத்தின் அளவை எப்போதும் தீர்மானிக்க முடியாது. சில சிக்கல்களில், உறவினர் சிதறல் குறியீடுகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம், அவற்றில் ஒன்று மாறுபாட்டின் குணகம்.

மாறுபாட்டின் குணகம்- எண்கணித சராசரிக்கு நிலையான விலகலின் விகிதத்தின் சதவீதமாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

மாறுபாட்டின் குணகம் மாறுபாட்டின் ஒப்பீட்டு மதிப்பீட்டிற்கு மட்டும் பயன்படுத்தப்படுகிறது வெவ்வேறு அறிகுறிகள்அல்லது வெவ்வேறு மக்கள்தொகையில் உள்ள அதே பண்பு, ஆனால் மக்கள்தொகையின் ஒருமைப்பாட்டைக் குறிக்கும். மாறுபாட்டின் குணகம் 33% ஐ விட அதிகமாக இல்லாவிட்டால் (சாதாரண விநியோகத்திற்கு நெருக்கமான விநியோகங்களுக்கு) புள்ளிவிவர மக்கள்தொகை அளவு ஒரே மாதிரியாகக் கருதப்படுகிறது.

உதாரணமாக.சிறைத்தண்டனை அமைப்பின் ஒரு சீர்திருத்த நிறுவனத்தில் நீதிமன்றத்தால் விதிக்கப்பட்ட தண்டனையை நிறைவேற்றுவதற்காக வழங்கப்பட்ட 50 குற்றவாளிகளின் சிறைத்தண்டனையின் விதிமுறைகளில் பின்வரும் தரவு உள்ளது: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. சிறைத்தண்டனை விதிகளின்படி விநியோகத் தொடரை உருவாக்கவும்.

2. சராசரி, மாறுபாடு மற்றும் நிலையான விலகல் ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.

3. மாறுபாட்டின் குணகத்தைக் கணக்கிட்டு, ஆய்வு செய்யப்பட்ட மக்கள்தொகையின் ஒருமைப்பாடு அல்லது பன்முகத்தன்மை பற்றி ஒரு முடிவை எடுக்கவும்.

முடிவு.ஒரு தனித்துவமான விநியோகத் தொடரை உருவாக்க, மாறுபாடுகள் மற்றும் அதிர்வெண்களைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம். இந்தச் சிக்கலில் உள்ள விருப்பம் சிறைத்தண்டனையின் காலமாகும், மேலும் அதிர்வெண் என்பது தனிப்பட்ட விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையாகும். அதிர்வெண்களைக் கணக்கிட்டு, பின்வரும் தனித்துவமான விநியோகத் தொடர்களைப் பெறுகிறோம்:

சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டைக் கண்டறியவும். புள்ளிவிவரத் தரவுகள் தனித்த மாறுபாடு தொடர்களால் குறிப்பிடப்படுவதால், அவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கு எண்கணித எடையுள்ள சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

= = 4,1;

= 5,21.

இப்போது நாம் நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுகிறோம்:

மாறுபாட்டின் குணகத்தைக் காண்கிறோம்:

இதன் விளைவாக, புள்ளிவிவர மக்கள்தொகை அளவு பன்முகத்தன்மை கொண்டது.

எளிய எண்கணித சராசரி

சராசரி மதிப்புகள்

சராசரி மதிப்புகள் புள்ளிவிவரங்களில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சராசரி மதிப்புசெயலின் வெளிப்பாடு காணப்படும் ஒரு பொதுமைப்படுத்தும் குறிகாட்டியாகும் பொது நிலைமைகள், ஆய்வின் கீழ் நிகழ்வின் வளர்ச்சியின் வடிவங்கள்.

புள்ளியியல் சராசரிகள் சரியாகப் புள்ளிவிவர ரீதியாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட கண்காணிப்பின் (தொடர்ச்சியான மற்றும் மாதிரி) வெகுஜன தரவுகளின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகின்றன. எவ்வாறாயினும், ஒரு தரமான ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகைக்கு (வெகுஜன நிகழ்வுகள்) வெகுஜன தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்டால், புள்ளியியல் சராசரியானது புறநிலை மற்றும் பொதுவானதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டு-பங்கு நிறுவனங்கள் மற்றும் அரசுக்குச் சொந்தமான நிறுவனங்களில் சராசரி சம்பளத்தைக் கணக்கிட்டு, அதன் முடிவை முழு மக்களுக்கும் விரிவுபடுத்தினால், சராசரியானது கற்பனையானது, ஏனெனில் இது ஒரு பன்முக மக்கள்தொகையில் கணக்கிடப்படுகிறது, மேலும் அத்தகைய சராசரி அனைத்தையும் இழக்கிறது. பொருள்.

சராசரியின் உதவியுடன், தனிப்பட்ட கண்காணிப்பு அலகுகளில் ஒரு காரணத்திற்காக அல்லது இன்னொரு காரணத்திற்காக எழும் அம்சத்தின் அளவு வேறுபாடுகளை மென்மையாக்குவது உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு தனிப்பட்ட விற்பனையாளரின் சராசரி வெளியீடு பல காரணிகளைப் பொறுத்தது: தகுதிகள், சேவையின் நீளம், வயது, சேவையின் வடிவம், உடல்நலம் மற்றும் பல. சராசரி வெளியீடு பிரதிபலிக்கிறது பொது பண்புகள்மொத்தமாக.

சராசரி மதிப்பு அம்சத்தின் அதே அலகுகளில் அளவிடப்படுகிறது.

ஒவ்வொரு சராசரி மதிப்பும் எந்த ஒரு பண்புக்கு ஏற்ப ஆய்வு செய்யப்பட்ட மக்கள்தொகையை வகைப்படுத்துகிறது. பல அத்தியாவசிய அம்சங்களின் அடிப்படையில் ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் முழுமையான மற்றும் விரிவான படத்தைப் பெற, வெவ்வேறு கோணங்களில் இருந்து நிகழ்வை விவரிக்கக்கூடிய சராசரி மதிப்புகளின் அமைப்பு அவசியம்.

உள்ளது பல்வேறு வகையானநடுத்தர:

அரித்மெடிக் பொருள்;

சராசரி ஹார்மோனிக்;

ஜியோமெட்ரிக் பொருள்;

ரூட் ஸ்கொயர் பொருள்;

சராசரி கன சதுரம்.

மேலே பட்டியலிடப்பட்டுள்ள அனைத்து வகைகளின் சராசரிகள், இதையொட்டி, எளிய (எடைக்கப்படாத) மற்றும் எடையுள்ளதாக பிரிக்கப்படுகின்றன.

புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படும் சராசரி வகைகளைக் கவனியுங்கள்.

எளிய எண்கணித சராசரி (எடைக்கப்படாதது) பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், இந்த மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது.

ஒரு அம்சத்தின் தனி மதிப்புகள் மாறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை x i (
); மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை n ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, அம்சத்தின் சராசரி மதிப்பு - மூலம் . எனவே, எளிய எண்கணித சராசரி:

அல்லது

எடுத்துக்காட்டு 1அட்டவணை 1

ஒரு ஷிப்டுக்கு தொழிலாளர்களால் தயாரிப்புகள் A உற்பத்தி பற்றிய தரவு

இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாறி பண்புக்கூறு என்பது ஒரு ஷிப்டுக்கு தயாரிப்புகளின் வெளியீடு ஆகும்.

பண்புக்கூறின் எண் மதிப்புகள் (16, 17, முதலியன) மாறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தக் குழுவின் தொழிலாளர்களின் தயாரிப்புகளின் சராசரி வெளியீட்டைத் தீர்மானிப்போம்:

பிசிஎஸ்.

ஒரு குணாதிசயத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் ஒரு எளிய எண்கணித சராசரி பயன்படுத்தப்படுகிறது, அதாவது. தரவு குழுவாக இல்லை. தரவு விநியோகத் தொடர் அல்லது குழுக்களின் வடிவத்தில் வழங்கப்பட்டால், சராசரி வித்தியாசமாக கணக்கிடப்படுகிறது.

எண்கணித எடை சராசரி

எண்கணித எடையுள்ள சராசரியானது, பண்புக்கூறின் (மாறுபாடு) ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட மதிப்பின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

விநியோகத் தொடரில் உள்ள ஒரே மாதிரியான அம்ச மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிர்வெண் அல்லது எடை என அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் இது f i ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

இதற்கு இணங்க, எண்கணித எடை சராசரி இது போல் தெரிகிறது:

அல்லது

சராசரியானது பண்புக்கூறின் மதிப்புகளை மட்டுமல்ல, அவற்றின் அதிர்வெண்களையும் சார்ந்துள்ளது என்பதை சூத்திரத்திலிருந்து காணலாம், அதாவது. மக்கள்தொகையின் கலவை, அதன் அமைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 2அட்டவணை 2

தொழிலாளர் ஊதிய தரவு

தனித்துவமான விநியோகத் தொடரின் தரவுகளின்படி, பண்புக்கூறின் அதே மதிப்புகள் (விருப்பங்கள்) பல முறை மீண்டும் மீண்டும் வருவதைக் காணலாம். ஆக, மாறுபாடு x 1 ஆனது மொத்தம் 2 முறையும், மாறுபாடு x 2 - 6 முறையும் நிகழ்கிறது.

ஒரு தொழிலாளிக்கு சராசரி ஊதியத்தை கணக்கிடுங்கள்:

தொழிலாளர்களின் ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் ஊதிய நிதியானது விருப்பங்கள் மற்றும் அதிர்வெண்களின் தயாரிப்புக்கு சமம் (
), மற்றும் இந்த தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அனைத்து தொழிலாளர்களின் மொத்த ஊதிய நிதியை வழங்குகிறது (
).

எளிய எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு செய்யப்பட்டால், சராசரி வருவாய் 3,000 ரூபிள் ஆகும். (). பெறப்பட்ட முடிவை ஆரம்ப தரவுகளுடன் ஒப்பிடுகையில், சராசரி ஊதியம் கணிசமாக அதிகமாக இருக்க வேண்டும் என்பது தெளிவாகிறது (பாதிக்கும் மேற்பட்ட தொழிலாளர்கள் 3,000 ரூபிள்களுக்கு மேல் ஊதியம் பெறுகிறார்கள்). எனவே, இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில் எளிய எண்கணித சராசரியின் கணக்கீடு தவறாக இருக்கும்.

செயலாக்கத்தின் விளைவாக புள்ளியியல் பொருள் தனித்துவமான விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் மட்டுமல்லாமல், மூடிய அல்லது திறந்த இடைவெளிகளுடன் இடைவெளி மாறுபாடு தொடர் வடிவத்திலும் வழங்கப்படலாம்.

அத்தகைய தொடர்களுக்கான எண்கணித சராசரியின் கணக்கீட்டைக் கவனியுங்கள்.

சராசரி:

சராசரி

சராசரி- எண்கள் அல்லது செயல்பாடுகளின் தொகுப்பின் எண் பண்பு; - அவற்றின் மதிப்புகளில் சிறிய மற்றும் பெரியவற்றுக்கு இடையே சில எண்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன.

1 அடிப்படை தகவல் 2 கணிதத்தில் வழிமுறைகளின் படிநிலை 3 நிகழ்தகவு கோட்பாடு மற்றும் புள்ளிவிவரங்களில் 4 மேலும் பார்க்கவும் 5 குறிப்புகள்

அடிப்படை தகவல்

சராசரிகளின் கோட்பாட்டின் உருவாக்கத்திற்கான தொடக்கப் புள்ளி பித்தகோரஸ் பள்ளியின் விகிதாச்சாரத்தின் ஆய்வு ஆகும். அதே நேரத்தில், சராசரி மற்றும் விகிதாச்சாரத்தின் கருத்துக்களுக்கு இடையே கடுமையான வேறுபாடு எதுவும் இல்லை. எண்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில் விகிதாச்சாரக் கோட்பாட்டின் வளர்ச்சிக்கு ஒரு குறிப்பிடத்தக்க உத்வேகம் கிரேக்க கணிதவியலாளர்களால் வழங்கப்பட்டது - ஜெராஸின் நிகோமாச்சஸ் (இறுதி I - கி.பி II நூற்றாண்டின் ஆரம்பம்) மற்றும் அலெக்ஸாண்டிரியாவின் பப்பஸ் (கி.பி III நூற்றாண்டு). சராசரி என்ற கருத்தின் வளர்ச்சியின் முதல் கட்டம், சராசரியானது தொடர்ச்சியான விகிதாச்சாரத்தின் மைய உறுப்பினராகக் கருதப்படும் நிலையாகும். ஆனால் முன்னேற்றத்தின் மைய மதிப்பாக சராசரியின் கருத்து, n சொற்களின் வரிசையைப் பொறுத்து, அவை ஒருவருக்கொருவர் பின்பற்றும் வரிசையைப் பொருட்படுத்தாமல், சராசரியின் கருத்தைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்காது. இந்த நோக்கத்திற்காக சராசரிகளின் முறையான பொதுமைப்படுத்தலை நாட வேண்டியது அவசியம். அடுத்த கட்டம் தொடர்ச்சியான விகிதாச்சாரத்திலிருந்து முன்னேற்றங்களுக்கு மாறுவது - எண்கணிதம், வடிவியல் மற்றும் இணக்கம்.

புள்ளிவிவரங்களின் வரலாற்றில், முதல் முறையாக, சராசரிகளின் பரவலான பயன்பாடு ஆங்கில விஞ்ஞானி W. பெட்டியின் பெயருடன் தொடர்புடையது. சராசரி மதிப்பை பொருளாதார வகைகளுடன் இணைத்து, புள்ளியியல் பொருளைக் கொடுக்க முயற்சித்தவர்களில் முதன்மையானவர் W. பெட்டி. ஆனால் பெட்டி சராசரி மதிப்பின் கருத்து, அதன் ஒதுக்கீடு பற்றிய விளக்கத்தை உருவாக்கவில்லை. A. க்யூட்லெட் சராசரி மதிப்புகளின் கோட்பாட்டின் நிறுவனராகக் கருதப்படுகிறார். சராசரிகளின் கோட்பாட்டை தொடர்ந்து உருவாக்கியவர்களில் முதன்மையானவர், அதற்கு கணித அடிப்படையைக் கொண்டுவர முயன்றார். A. Quetelet இரண்டு வகையான சராசரிகளை தனிமைப்படுத்தியது - உண்மையான சராசரிகள் மற்றும் எண்கணித சராசரிகள். சரியான சராசரிகள் ஒரு பொருளை, ஒரு எண்ணை, உண்மையில் இருக்கும். உண்மையில் சராசரிகள் அல்லது சராசரி புள்ளிவிவரங்கள் அவற்றின் தரத்தில் ஒரே மாதிரியான நிகழ்வுகளிலிருந்து பெறப்பட வேண்டும். உள் பொருள். எண்கணித சராசரிகள் என்பது ஒரே மாதிரியாக இருந்தாலும், பல எண்களின் மிக நெருக்கமான யோசனையை வழங்கும் எண்கள்.

ஒவ்வொரு வகை சராசரியும் ஒரு எளிய சராசரி அல்லது எடையுள்ள சராசரியாக இருக்கலாம். சராசரி படிவத்தின் தேர்வின் சரியான தன்மை ஆய்வுப் பொருளின் பொருள் இயல்பிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. சராசரி அம்சத்தின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் மீண்டும் வரவில்லை என்றால் எளிய சராசரி சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. உள்ளே இருக்கும் போது நடைமுறை ஆராய்ச்சிஆய்வின் கீழ் உள்ள பண்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் அலகுகளில் பல முறை நிகழ்கின்றன, பின்னர் தனிப்பட்ட குணாதிசய மதிப்புகளின் மறுநிகழ்வுகளின் அதிர்வெண் ஆற்றல் சராசரிகளின் கணக்கீட்டு சூத்திரங்களில் உள்ளது. இந்த வழக்கில், அவை எடையுள்ள சராசரி சூத்திரங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

விக்கிமீடியா அறக்கட்டளை. 2010.

6-7 வகுப்புகளுக்கான கணிதத் திட்டத்தில் எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் சராசரி என்ற தலைப்பு சேர்க்கப்பட்டுள்ளது. பத்தியைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் எளிதானது என்பதால், அது விரைவாக நிறைவேற்றப்பட்டது, மற்றும் முடிவு பள்ளி ஆண்டுமாணவர்கள் மறந்து விடுகிறார்கள். ஆனால் அடிப்படை புள்ளியியல் அறிவு தேவை தேர்வில் தேர்ச்சி, அத்துடன் சர்வதேச SAT தேர்வுகளுக்கும். ஆம் மற்றும் அதற்காக அன்றாட வாழ்க்கைவளர்ந்த பகுப்பாய்வு சிந்தனை ஒருபோதும் வலிக்காது.

எண்களின் எண்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் சராசரியை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

எண்களின் தொடர் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்: 11, 4 மற்றும் 3. எண்கணித சராசரி என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் எண்ணிக்கையால் அனைத்து எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகும். அதாவது 11, 4, 3 ஆகிய எண்களில் பதில் 6 ஆக இருக்கும். 6 எப்படி கிடைக்கும்?

தீர்வு: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

வகுப்பில் சராசரியாகக் காணப்பட வேண்டிய எண்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான எண்ணைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். மூன்று சொற்கள் இருப்பதால் கூட்டுத்தொகை 3 ஆல் வகுபடும்.

இப்போது நாம் வடிவியல் சராசரியை சமாளிக்க வேண்டும். எண்களின் தொடர் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்: 4, 2 மற்றும் 8.

ஜியோமெட்ரிக் சராசரி என்பது கொடுக்கப்பட்ட அனைத்து எண்களின் பெருக்கமாகும், இது கொடுக்கப்பட்ட எண்களின் எண்ணிக்கைக்கு சமமான பட்டம் கொண்ட ஒரு மூலத்தின் கீழ் உள்ளது. அதாவது, எண்கள் 4, 2 மற்றும் 8 இல், பதில் 4. இது எப்படி நடந்தது என்பது இங்கே. :

தீர்வு: ∛(4 × 2 × 8) = 4

இரண்டு விருப்பங்களிலும், சிறப்பு எண்கள் உதாரணமாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டதால், முழு பதில்களும் பெறப்பட்டன. இது எப்போதும் இல்லை. பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், பதில் வட்டமாக அல்லது மூலத்தில் விடப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, 11, 7 மற்றும் 20 எண்களுக்கு, எண்கணித சராசரி ≈ 12.67, மற்றும் வடிவியல் சராசரி ∛1540. மேலும் 6 மற்றும் 5 எண்களுக்கு, பதில்கள் முறையே 5.5 மற்றும் √30 ஆக இருக்கும்.

எண்கணித சராசரி வடிவியல் சராசரிக்கு சமமாக மாற முடியுமா?

நிச்சயமாக முடியும். ஆனால் இரண்டு சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே. எண்கள் அல்லது பூஜ்ஜியங்களை மட்டுமே கொண்ட தொடர் எண்கள் இருந்தால். பதில் அவர்களின் எண்ணிக்கையை சார்ந்தது அல்ல என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.

அலகுகளுடன் ஆதாரம்: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (எண்கணித சராசரி).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (வடிவியல் சராசரி).

பூஜ்ஜியங்களுடன் ஆதாரம்: (0 + 0) / 2=0 (எண்கணித சராசரி).

√(0 × 0) = 0 (வடிவியல் சராசரி).

வேறு வழியில்லை, இருக்க முடியாது.

சராசரி மதிப்புகள் புள்ளிவிவரங்களில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சராசரி மதிப்புகள் வணிக நடவடிக்கைகளின் தரமான குறிகாட்டிகளை வகைப்படுத்துகின்றன: விநியோக செலவுகள், லாபம், லாபம் போன்றவை.

நடுத்தர இது மிகவும் பொதுவான பொதுமைப்படுத்தல்களில் ஒன்றாகும். சராசரியின் சாராம்சத்தைப் பற்றிய சரியான புரிதல் சந்தைப் பொருளாதாரத்தில் அதன் சிறப்பு முக்கியத்துவத்தை தீர்மானிக்கிறது, சராசரியானது, ஒற்றை மற்றும் சீரற்ற ஒன்றின் மூலம், பொருளாதார வளர்ச்சியின் வடிவங்களின் போக்கை அடையாளம் காண, பொதுவான மற்றும் அவசியமானதை அடையாளம் காண்பதை சாத்தியமாக்குகிறது.

சராசரி மதிப்பு - இவை பொதுமைப்படுத்தும் குறிகாட்டிகளாகும், இதில் பொது நிலைமைகளின் செயல்பாட்டின் வெளிப்பாடு, ஆய்வின் கீழ் உள்ள நிகழ்வின் வடிவங்கள்.

புள்ளியியல் சராசரிகள் சரியாக புள்ளிவிவர ரீதியாக ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வெகுஜன கண்காணிப்பின் (தொடர்ச்சியான மற்றும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட) வெகுஜன தரவுகளின் அடிப்படையில் கணக்கிடப்படுகின்றன. எவ்வாறாயினும், ஒரு தரமான ஒரே மாதிரியான மக்கள்தொகைக்கு (வெகுஜன நிகழ்வுகள்) வெகுஜன தரவுகளிலிருந்து கணக்கிடப்பட்டால், புள்ளியியல் சராசரியானது புறநிலை மற்றும் பொதுவானதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, கூட்டுறவு மற்றும் அரசுக்குச் சொந்தமான நிறுவனங்களில் சராசரி ஊதியத்தைக் கணக்கிட்டு, அதன் முடிவை முழு மக்களுக்கும் விரிவுபடுத்தினால், சராசரியானது கற்பனையானது, ஏனெனில் இது ஒரு பன்முக மக்கள்தொகைக்கு கணக்கிடப்படுகிறது, மேலும் அத்தகைய சராசரியானது அனைத்து அர்த்தத்தையும் இழக்கிறது.

சராசரியின் உதவியுடன், தனிப்பட்ட கண்காணிப்பு அலகுகளில் ஒரு காரணத்திற்காக அல்லது இன்னொரு காரணத்திற்காக எழும் அம்சத்தின் அளவு வேறுபாடுகளை மென்மையாக்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, விற்பனையாளரின் சராசரி வெளியீடு பல காரணிகளைப் பொறுத்தது: தகுதிகள், சேவையின் நீளம், வயது, சேவையின் வடிவம், உடல்நலம் மற்றும் பல.

சராசரி வெளியீடு முழு மக்கள்தொகையின் பொதுவான சொத்தை பிரதிபலிக்கிறது.

சராசரி மதிப்பு என்பது ஆய்வு செய்யப்பட்ட பண்பின் மதிப்புகளின் பிரதிபலிப்பாகும், எனவே, இது இந்த பண்பின் அதே பரிமாணத்தில் அளவிடப்படுகிறது.

ஒவ்வொரு சராசரி மதிப்பும் எந்த ஒரு பண்புக்கு ஏற்ப ஆய்வு செய்யப்பட்ட மக்கள்தொகையை வகைப்படுத்துகிறது. பல அத்தியாவசிய அம்சங்களின் அடிப்படையில் ஆய்வின் கீழ் உள்ள மக்கள்தொகையின் முழுமையான மற்றும் விரிவான படத்தைப் பெறுவதற்கு, வெவ்வேறு கோணங்களில் இருந்து நிகழ்வை விவரிக்கக்கூடிய சராசரி மதிப்புகளின் அமைப்பு பொதுவாக அவசியம்.

பல்வேறு சராசரிகள் உள்ளன:

அரித்மெடிக் பொருள்;

ஜியோமெட்ரிக் பொருள்;

சராசரி ஹார்மோனிக்;

ரூட் ஸ்கொயர் பொருள்;

காலவரிசை சராசரி.

புள்ளிவிவரங்களில் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் சில வகையான சராசரிகளைக் கவனியுங்கள்.

எண்கணித சராசரி

எளிய எண்கணித சராசரி (எடைக்கப்படாதது) பண்புகளின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம், இந்த மதிப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது.

பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் மாறுபாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் அவை x (); மக்கள்தொகை அலகுகளின் எண்ணிக்கை n ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, அம்சத்தின் சராசரி மதிப்பு - மூலம் . எனவே, எளிய எண்கணித சராசரி:

தனித்துவமான விநியோகத் தொடரின் தரவுகளின்படி, பண்புக்கூறின் அதே மதிப்புகள் (விருப்பங்கள்) பல முறை மீண்டும் மீண்டும் வருவதைக் காணலாம். ஆக, மாறுபாடு x மொத்தத்தில் 2 முறையும், மாறுபாடு x - 16 முறையும் நிகழ்கிறது.

விநியோகத் தொடரில் உள்ள அம்சத்தின் ஒரே மாதிரியான மதிப்புகளின் எண்ணிக்கை அதிர்வெண் அல்லது எடை என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் n குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

ஒரு தொழிலாளிக்கு சராசரி ஊதியத்தை கணக்கிடுங்கள் ரூபிள்களில்:

ஒவ்வொரு தொழிலாளர் குழுவிற்கும் ஊதிய மசோதா விருப்பங்கள் மற்றும் அதிர்வெண்களின் தயாரிப்புக்கு சமம், மேலும் இந்த தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அனைத்து தொழிலாளர்களின் மொத்த ஊதிய மசோதாவை வழங்குகிறது.

இதற்கு இணங்க, கணக்கீடுகளை பொதுவான வடிவத்தில் வழங்கலாம்:

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் எடையுள்ள எண்கணித சராசரி என்று அழைக்கப்படுகிறது.

செயலாக்கத்தின் விளைவாக புள்ளியியல் பொருள் தனித்துவமான விநியோகத் தொடரின் வடிவத்தில் மட்டுமல்லாமல், மூடிய அல்லது திறந்த இடைவெளிகளுடன் இடைவெளி மாறுபாடு தொடர் வடிவத்திலும் வழங்கப்படலாம்.

தொகுக்கப்பட்ட தரவுகளுக்கான சராசரி கணக்கீடு எடையிடப்பட்ட எண்கணித சராசரி சூத்திரத்தின்படி மேற்கொள்ளப்படுகிறது:

பொருளாதார புள்ளிவிவரங்களின் நடைமுறையில், சில நேரங்களில் சராசரியை குழு சராசரிகள் அல்லது மக்கள்தொகையின் தனிப்பட்ட பகுதிகளின் சராசரி (பகுதி சராசரிகள்) மூலம் கணக்கிடுவது அவசியம். இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், குழு அல்லது பகுதி சராசரிகள் விருப்பங்களாக (x) எடுக்கப்படுகின்றன, இதன் அடிப்படையில் மொத்த சராசரியானது வழக்கமான எண்கணித சராசரியாக கணக்கிடப்படுகிறது.

எண்கணித சராசரியின் அடிப்படை பண்புகள் .

எண்கணித சராசரி பல பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. பண்புக்கூறின் x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பின் அதிர்வெண்களில் n மடங்கு குறைதல் அல்லது அதிகரிப்பிலிருந்து, எண்கணித சராசரியின் மதிப்பு மாறாது.

அனைத்து அதிர்வெண்களும் சில எண்ணால் வகுக்கப்பட்டால் அல்லது பெருக்கப்பட்டால், சராசரியின் மதிப்பு மாறாது.

2. பண்புக்கூறின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் மொத்த பெருக்கி சராசரியின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்:

3. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அளவுகளின் சராசரித் தொகை (வேறுபாடு) அவற்றின் சராசரிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு (வேறுபாடு) சமம்:

4. x \u003d c எனில், c என்பது நிலையான மதிப்பு
.

5. எண்கணித சராசரி x இலிருந்து X அம்சத்தின் மதிப்புகளின் விலகல்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்:

சராசரி ஹார்மோனிக்.

எண்கணித சராசரியுடன், புள்ளிவிவரங்கள் ஹார்மோனிக் சராசரியைப் பயன்படுத்துகின்றன, பண்புக்கூறின் பரஸ்பர மதிப்புகளின் எண்கணித சராசரியின் பரஸ்பரம். எண்கணித சராசரியைப் போலவே, இது எளிமையாகவும் எடையுடனும் இருக்கலாம்.

சராசரிகளுடன், மாறுபாடு தொடரின் பண்புகள் பயன்முறை மற்றும் இடைநிலை ஆகும்.

ஃபேஷன் - இது பண்பின் மதிப்பு (மாறுபாடு), ஆய்வு செய்யப்பட்ட மக்கள்தொகையில் அடிக்கடி மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகிறது. தனித்துவமான விநியோகத் தொடருக்கு, பயன்முறையானது அதிக அதிர்வெண் கொண்ட மாறுபாட்டின் மதிப்பாக இருக்கும்.

சம இடைவெளிகளைக் கொண்ட இடைவெளி விநியோகத் தொடருக்கு, பயன்முறை சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

எங்கே
- பயன்முறையைக் கொண்டிருக்கும் இடைவெளியின் ஆரம்ப மதிப்பு;

- மாதிரி இடைவெளியின் மதிப்பு;

- மாதிரி இடைவெளி அதிர்வெண்;

- மாதிரிக்கு முந்தைய இடைவெளியின் அதிர்வெண்;

- மாதிரியைத் தொடர்ந்து இடைவெளியின் அதிர்வெண்.

இடைநிலை மாறுபாடு வரிசையின் நடுவில் அமைந்துள்ள மாறுபாடு ஆகும். விநியோகத் தொடர் தனித்தனியாகவும், ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தால், இடைநிலை என்பது ஆர்டர் செய்யப்பட்ட தொடரின் நடுவில் அமைந்துள்ள மாறுபாடாக இருக்கும் (வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடர் என்பது மக்கள்தொகை அலகுகளை ஏறுவரிசையில் அல்லது இறங்கு வரிசையில் அமைப்பதாகும்).

உள்ள ஒவ்வொரு நபரும் நவீன உலகம், கடன் வாங்க திட்டமிடுதல் அல்லது குளிர்காலத்திற்கான காய்கறிகளை சேமித்து வைப்பது, அவ்வப்போது "சராசரி" போன்ற ஒரு கருத்தை எதிர்கொள்கிறது. கண்டுபிடிப்போம்: அது என்ன, என்ன வகைகள் மற்றும் வகுப்புகள் உள்ளன, அது ஏன் புள்ளிவிவரங்கள் மற்றும் பிற துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சராசரி மதிப்பு - அது என்ன?

ஒரே மாதிரியான பெயர் (SV) என்பது ஒரே மாதிரியான நிகழ்வுகளின் தொகுப்பின் பொதுவான பண்பு ஆகும், இது ஏதேனும் ஒரு அளவு மாறி பண்புக்கூறால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

இருப்பினும், அத்தகைய சுருக்கமான வரையறைகளிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளவர்கள் இந்த கருத்தை ஏதோ ஒரு சராசரி அளவு என்று புரிந்துகொள்கிறார்கள். எடுத்துக்காட்டாக, கடன் வாங்குவதற்கு முன், ஒரு வங்கி ஊழியர் நிச்சயமாக ஒரு சாத்தியமான வாடிக்கையாளரிடம் ஆண்டுக்கான சராசரி வருமானம், அதாவது ஒரு நபர் சம்பாதிக்கும் மொத்த பணத்தின் தரவை வழங்குமாறு கேட்பார். இது முழு ஆண்டுக்கான வருவாயைக் கூட்டி, மாதங்களின் எண்ணிக்கையால் வகுக்கப்படுகிறது. இதனால், வங்கி தனது வாடிக்கையாளர் கடனை சரியான நேரத்தில் திருப்பிச் செலுத்த முடியுமா என்பதை தீர்மானிக்க முடியும்.

அது ஏன் பயன்படுத்தப்படுகிறது?

ஒரு விதியாக, சிலவற்றின் இறுதி குணாதிசயத்தை வழங்க சராசரி மதிப்புகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன சமூக நிகழ்வுகள், அவை பாரியவை. மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில், கடனைப் போலவே, சிறிய கணக்கீடுகளுக்கும் அவை பயன்படுத்தப்படலாம்.

இருப்பினும், பெரும்பாலும் சராசரிகள் உலகளாவிய நோக்கங்களுக்காக இன்னும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவற்றில் ஒன்றின் உதாரணம், ஒரு காலண்டர் மாதத்தில் குடிமக்கள் பயன்படுத்தும் மின்சாரத்தின் அளவைக் கணக்கிடுவது. பெறப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில், மாநிலத்தின் நன்மைகளை அனுபவிக்கும் மக்கள்தொகையின் வகைகளுக்கு அதிகபட்ச விதிமுறைகள் பின்னர் அமைக்கப்படுகின்றன.

மேலும், சராசரி மதிப்புகளின் உதவியுடன், குறிப்பிட்ட சேவைக்கான உத்தரவாதக் காலம் வீட்டு உபகரணங்கள், கார்கள், கட்டிடங்கள், முதலியன இந்த வழியில் சேகரிக்கப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில், வேலை மற்றும் ஓய்வுக்கான நவீன தரநிலைகள் ஒரு காலத்தில் உருவாக்கப்பட்டன.

உண்மையில், எந்த நிகழ்வும் நவீன வாழ்க்கை, இது ஒரு வெகுஜன இயல்புடையது, ஒரு வழியில் அல்லது மற்றொரு கருத்தில் கருத்தில் கொண்ட கருத்துடன் அவசியம் இணைக்கப்பட்டுள்ளது.

விண்ணப்பங்கள்

இந்த நிகழ்வு கிட்டத்தட்ட அனைத்து துல்லியமான அறிவியல்களிலும் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, குறிப்பாக சோதனை இயல்புடையவை.

மருத்துவம், பொறியியல், சமையல், பொருளாதாரம், அரசியல் போன்றவற்றில் சராசரியைக் கண்டறிவது மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.

அத்தகைய பொதுமைப்படுத்தல்களிலிருந்து பெறப்பட்ட தரவுகளின் அடிப்படையில், உருவாக்கவும் மருத்துவ ஏற்பாடுகள், பாடத்திட்டங்கள், குறைந்தபட்ச வாழ்க்கை ஊதியங்கள் மற்றும் ஊதியங்களை நிர்ணயித்தல், படிப்பு அட்டவணைகளை உருவாக்குதல், தளபாடங்கள், ஆடை மற்றும் பாதணிகள், சுகாதார பொருட்கள் மற்றும் பலவற்றை உற்பத்தி செய்தல்.

கணிதத்தில், இந்த சொல் "சராசரி மதிப்பு" என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் முடிவுகளை செயல்படுத்த பயன்படுத்தப்படுகிறது பல்வேறு உதாரணங்கள்மற்றும் பணிகள். இவற்றில் எளிமையானது சாதாரண பின்னங்களுடன் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, தெரிந்தபடி, தீர்க்கும் பொருட்டு ஒத்த உதாரணங்கள்இரண்டு பின்னங்களும் ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

மேலும், சரியான அறிவியலின் ராணியில், "ஒரு சீரற்ற மாறியின் சராசரி மதிப்பு" என்ற சொல் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது அர்த்தத்தில் நெருக்கமாக உள்ளது. பெரும்பாலானவர்களுக்கு, இது "எதிர்பார்ப்பு" என்று மிகவும் பரிச்சயமானது, பெரும்பாலும் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில் கருதப்படுகிறது. புள்ளிவிவரக் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது இதேபோன்ற நிகழ்வு பொருந்தும் என்பதைக் குறிப்பிடுவது மதிப்பு.

புள்ளிவிவரங்களில் சராசரி மதிப்பு

இருப்பினும், பெரும்பாலும் ஆய்வின் கீழ் உள்ள கருத்து புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. உங்களுக்குத் தெரியும், இந்த விஞ்ஞானம் கணக்கீடு மற்றும் பகுப்பாய்வில் நிபுணத்துவம் பெற்றது அளவு பண்புகள்வெகுஜன சமூக நிகழ்வுகள். எனவே, புள்ளிவிவரங்களில் சராசரி மதிப்பு அதன் முக்கிய நோக்கங்களை அடைவதற்கான ஒரு சிறப்பு முறையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது - தகவல் சேகரிப்பு மற்றும் பகுப்பாய்வு.

இந்த புள்ளிவிவர முறையின் சாராம்சம், பரிசீலனையில் உள்ள பண்பின் தனிப்பட்ட தனிப்பட்ட மதிப்புகளை ஒரு குறிப்பிட்ட சமநிலையான சராசரி மதிப்புடன் மாற்றுவதாகும்.

ஒரு உதாரணம் பிரபலமான உணவு நகைச்சுவை. எனவே, செவ்வாய்க்கிழமைகளில் மதிய உணவிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தொழிற்சாலையில், அவரது முதலாளிகள் வழக்கமாக இறைச்சி கேசரோலை சாப்பிடுவார்கள், சாதாரண தொழிலாளர்கள் சுண்டவைத்த முட்டைக்கோஸ் சாப்பிடுவார்கள். இந்தத் தரவுகளின் அடிப்படையில், சராசரியாக, ஆலை ஊழியர்கள் செவ்வாய்கிழமைகளில் முட்டைக்கோஸ் ரோல்களில் சாப்பிடுகிறார்கள் என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

இந்த உதாரணம் சற்று மிகைப்படுத்தப்பட்டதாக இருந்தாலும், சராசரி மதிப்பு தேடல் முறையின் முக்கிய குறைபாட்டை இது விளக்குகிறது - பொருள்கள் அல்லது ஆளுமைகளின் தனிப்பட்ட குணாதிசயங்களை சமன் செய்தல்.

சராசரிகள் சேகரிக்கப்பட்ட தகவலை பகுப்பாய்வு செய்ய மட்டுமல்லாமல், மேலும் செயல்களைத் திட்டமிடவும் கணிக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

அடையப்பட்ட முடிவுகளை மதிப்பிடுவதற்கும் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது (உதாரணமாக, வசந்த-கோடை காலத்திற்கான கோதுமையை வளர்ப்பதற்கும் அறுவடை செய்வதற்கும் திட்டத்தை செயல்படுத்துதல்).

சரியாக கணக்கிடுவது எப்படி

இருப்பினும், SW வகையைப் பொறுத்து, உள்ளன வெவ்வேறு சூத்திரங்கள்அவளுடைய கணக்கீடுகள், பொது கோட்பாடுபுள்ளிவிவரங்கள், ஒரு விதியாக, ஒரு அம்சத்தின் சராசரி மதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரே ஒரு முறை மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதலில் அனைத்து நிகழ்வுகளின் மதிப்புகளையும் ஒன்றாகச் சேர்க்க வேண்டும், அதன் விளைவாக வரும் தொகையை அவற்றின் எண்ணிக்கையால் வகுக்க வேண்டும்.

அத்தகைய கணக்கீடுகளை செய்யும் போது, ​​சராசரி மதிப்பு எப்போதும் மக்கள்தொகையின் தனி அலகு என அதே பரிமாணத்தை (அல்லது அலகுகள்) கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வது மதிப்பு.

சரியான கணக்கீட்டிற்கான நிபந்தனைகள்

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது மற்றும் உலகளாவியது, எனவே அதில் தவறு செய்வது கிட்டத்தட்ட சாத்தியமற்றது. இருப்பினும், இரண்டு அம்சங்களைக் கருத்தில் கொள்வது எப்போதும் மதிப்புக்குரியது, இல்லையெனில் பெறப்பட்ட தரவு உண்மையான நிலைமையை பிரதிபலிக்காது.

சிபி வகுப்புகள்

முக்கிய கேள்விகளுக்கான பதில்களைக் கண்டறிந்த பிறகு: "சராசரி மதிப்பு - அது என்ன?", "இது எங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது?" மற்றும் "நான் அதை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?", என்ன வகுப்புகள் மற்றும் CB வகைகள் உள்ளன என்பதை அறிவது மதிப்பு.

முதலில், இந்த நிகழ்வு 2 வகுப்புகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. இவை கட்டமைப்பு மற்றும் ஆற்றல் சராசரிகள்.

சக்தியின் வகைகள் SW

மேலே உள்ள வகுப்புகள் ஒவ்வொன்றும், வகைகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளன. அதிகார வர்க்கம் நான்கு பேரைக் கொண்டுள்ளது.

• நடுத்தர எண்கணித மதிப்பு- இது மிகவும் பொதுவான வகை எஸ்.வி. தரவுத் தொகுப்பில் கருதப்படும் பண்புக்கூறின் மொத்த அளவு இந்தத் தொகுப்பின் அனைத்து அலகுகளிலும் சமமாக விநியோகிக்கப்படுவதைத் தீர்மானிப்பதில் இது ஒரு சராசரி சொல்.

  இந்த வகை கிளையினங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது: எளிய மற்றும் எடையுள்ள எண்கணிதம் எஸ்.வி.

• சராசரி ஹார்மோனிக் மதிப்பு என்பது எளிய எண்கணித சராசரியின் பரஸ்பர குறிகாட்டியாகும், இது கேள்விக்குரிய பண்புகளின் பரஸ்பர மதிப்புகளிலிருந்து கணக்கிடப்படுகிறது.

  அம்சம் மற்றும் தயாரிப்பின் தனிப்பட்ட மதிப்புகள் அறியப்பட்ட சந்தர்ப்பங்களில் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஆனால் அதிர்வெண் தரவு இல்லை.

• பொருளாதார நிகழ்வுகளின் வளர்ச்சி விகிதங்களின் பகுப்பாய்வில் வடிவியல் சராசரி பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தொகையை விட, கொடுக்கப்பட்ட அளவின் தனிப்பட்ட மதிப்புகளின் உற்பத்தியை மாற்றாமல் வைத்திருப்பதை இது சாத்தியமாக்குகிறது.

  இது எளிமையாகவும் சமச்சீராகவும் நடக்கும்.

• வெளியீட்டின் தாளத்தை வகைப்படுத்தும் மாறுபாட்டின் குணகம் போன்ற குறிகாட்டிகளின் தனிப்பட்ட குறிகாட்டிகளின் கணக்கீட்டில் ரூட் சராசரி சதுர மதிப்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது.

  மேலும், அதன் உதவியுடன், குழாய்களின் சராசரி விட்டம், சக்கரங்கள், ஒரு சதுரத்தின் சராசரி பக்கங்கள் மற்றும் ஒத்த புள்ளிவிவரங்கள் கணக்கிடப்படுகின்றன.

  மற்ற எல்லா வகையான சராசரி SW வகைகளையும் போலவே, ரூட் சராசரி சதுரம் எளிமையானது மற்றும் எடை கொண்டது.

கட்டமைப்பு அளவுகளின் வகைகள்

சராசரி SW களுக்கு கூடுதலாக, கட்டமைப்பு வகைகள் பெரும்பாலும் புள்ளிவிவரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. மாறி பண்புக்கூறின் மதிப்புகளின் ஒப்பீட்டு பண்புகளை கணக்கிடுவதற்கு அவை மிகவும் பொருத்தமானவை மற்றும் உள் கட்டமைப்புவிநியோக கோடுகள்.

அத்தகைய இரண்டு வகைகள் உள்ளன.