Logaritmaların özellikleri. logaritma nedir? logaritmaların çözümü

logaritma nedir?

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Şiddetle "pek değil..." diyenler için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

logaritma nedir? Logaritma nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak, logaritma konusu karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu olarak kabul edilir. Özellikle - logaritmalı denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! İnanmıyor musun? İyi. Şimdi, yaklaşık 10 - 20 dakika için:

1. Anlayın logaritma nedir.

2. Bütün bir üstel denklem sınıfını çözmeyi öğrenin. Onları duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritma hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için sadece çarpım tablosunu ve bir sayının nasıl bir kuvvete yükseltildiğini bilmeniz yeterli...

Şüphelendiğini hissediyorum ... Pekala, zaman ayırın! Gitmek!

Öncelikle aşağıdaki denklemi aklınızdan çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnekleri çözme alıştırması yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenme - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

b (b > 0)'ın a tabanına (a > 0, a ≠ 1) logaritması b'yi elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üs.

b'nin 10 tabanlı logaritması şu şekilde yazılabilir: günlük(b), ve e tabanına göre logaritma (doğal logaritma) - ln(b).

Genellikle logaritmalarla ilgili problemleri çözerken kullanılır:

Logaritmaların özellikleri

dört ana var logaritmaların özellikleri.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 ve y > 0 olsun.

Özellik 1. Ürünün logaritması

Ürünün logaritması logaritmaların toplamına eşittir:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Özellik 2. Bölümün logaritması

bölümün logaritması logaritma farkına eşittir:

a (x / y) = log a x – bir y log

Özellik 3. Derecenin logaritması

derece logaritma derece ve logaritma çarpımına eşittir:

Logaritmanın tabanı üsse, başka bir formül uygulanır:

Özellik 4. Kökün logaritması

Bu özellik, n'inci derecenin kökü 1/n'nin gücüne eşit olduğundan, derecenin logaritmasının özelliğinden elde edilebilir:

Bir tabandaki logaritmadan başka bir tabandaki logaritmaya geçme formülü

Bu formül ayrıca logaritmalar için çeşitli görevleri çözerken de sıklıkla kullanılır:

Özel durum:

Logaritmaların karşılaştırılması (eşitsizlikler)

Aynı tabanlara sahip logaritmalar altında 2 f(x) ve g(x) fonksiyonumuz olduğunu ve aralarında bir eşitsizlik işareti olduğunu varsayalım:

Bunları karşılaştırmak için önce logaritmaların temeline bakmanız gerekir:

• a > 0 ise f(x) > g(x) > 0
• 0 ise< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Logaritmalarla ilgili problemler nasıl çözülür: örnekler

Logaritmalı görevler Matematikte USE 11. sınıf için görev 5 ve görev 7'de yer alan görevleri, web sitemizde uygun bölümlerde çözümlü olarak bulabilirsiniz. Ayrıca, matematikteki görev bankasında logaritmalı görevler bulunur. Sitede arama yaparak tüm örnekleri bulabilirsiniz.

logaritma nedir

Logaritmalar, okul matematik dersinde her zaman zor bir konu olarak düşünülmüştür. Logaritmanın birçok farklı tanımı vardır, ancak bir nedenden dolayı çoğu ders kitabı bunlardan en karmaşık ve talihsiz olanı kullanır.

Logaritmayı basit ve net bir şekilde tanımlayacağız. Bunun için bir tablo oluşturalım:

Yani, iki gücümüz var.

Logaritmalar - özellikler, formüller, nasıl çözülür

Sayıyı en alt satırdan alırsanız, bu sayıyı elde etmek için ikiye çıkarmanız gereken gücü kolayca bulabilirsiniz. Örneğin, 16'yı elde etmek için ikiden dördüncü güce yükseltmeniz gerekir. Ve 64'ü almak için ikiyi altıncı güce yükseltmeniz gerekir. Bu tablodan görülebilir.

Ve şimdi - aslında, logaritmanın tanımı:

x argümanının a tabanı, x sayısını elde etmek için a sayısının yükseltilmesi gereken güçtür.

Gösterim: log a x \u003d b, burada a tabandır, x argümandır, b aslında logaritmanın eşit olduğu şeydir.

Örneğin, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8'in taban 2 logaritması üçtür çünkü 2 3 = 8). 2 6 = 64 olduğundan, 2 64 = 6'yı da kaydedebilir.

Bir sayının belirli bir tabana göre logaritmasını bulma işlemine denir. O halde tablomuza yeni bir satır ekleyelim:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
günlük 2 2 = 1	günlük 2 4 = 2	günlük 2 8 = 3	günlük 2 16 = 4	günlük 2 32 = 5	günlük 2 64 = 6

Ne yazık ki, tüm logaritmalar bu kadar kolay kabul edilmez. Örneğin, log 2 5'i bulmaya çalışın. 5 sayısı tabloda yok, ancak mantık, logaritmanın segmentte bir yerde olacağını söylüyor. çünkü 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bu tür sayılara irrasyonel denir: ondalık noktadan sonraki sayılar sonsuza kadar yazılabilir ve asla tekrar etmezler. Logaritma mantıksız çıkarsa, şöyle bırakmak daha iyidir: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logaritmanın iki değişkenli (temel ve argüman) bir ifade olduğunu anlamak önemlidir. İlk başta, birçok insan temelin nerede olduğunu ve argümanın nerede olduğunu karıştırır. Can sıkıcı yanlış anlamaları önlemek için resme bir göz atın:

Önümüzde logaritmanın tanımından başka bir şey yok. Unutma: logaritma güçtür, argümanı almak için tabanı yükseltmeniz gereken. Bir güce yükseltilen tabandır - resimde kırmızı ile vurgulanmıştır. Tabanın her zaman altta olduğu ortaya çıktı! Bu harika kuralı öğrencilerime ilk derste anlatıyorum - ve kafa karışıklığı yok.

Logaritma nasıl sayılır

Tanımı bulduk - logaritmaların nasıl sayılacağını öğrenmek için kalır, yani. "günlük" işaretinden kurtulun. Başlangıç ​​olarak, tanımdan iki önemli gerçeğin çıktığını belirtelim:

1. Argüman ve taban her zaman sıfırdan büyük olmalıdır. Bu, logaritmanın tanımının indirgendiği rasyonel bir üs tarafından derecenin tanımından kaynaklanmaktadır.
2. Taban, birlikten farklı olmalıdır, çünkü herhangi bir güce bir birlik hala bir birimdir. Bu nedenle, “iki tane elde etmek için hangi güce yükseltilmelidir” sorusu anlamsızdır. Böyle bir derece yok!

Bu tür kısıtlamalara denir geçerli aralık(ODZ). Logaritmanın ODZ'sinin şöyle göründüğü ortaya çıktı: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

B sayısında (logaritmanın değeri) herhangi bir kısıtlama bulunmadığına dikkat edin. Örneğin, logaritma negatif olabilir: log 2 0,5 = -1, çünkü 0,5 = 2 -1 .

Ancak, şimdi sadece logaritmanın ODZ'sini bilmenin gerekli olmadığı sayısal ifadeleri ele alıyoruz. Tüm kısıtlamalar, sorunların derleyicileri tarafından zaten dikkate alınmıştır. Ancak logaritmik denklemler ve eşitsizlikler devreye girdiğinde DHS gereklilikleri zorunlu hale gelecektir. Gerçekten de, temelde ve argümanda, yukarıdaki kısıtlamalara mutlaka tekabül etmeyen çok güçlü yapılar olabilir.

Şimdi logaritmaları hesaplamak için genel şemayı düşünün. Üç adımdan oluşur:

1. a tabanını ve x argümanını mümkün olan en küçük tabanı birden büyük olan bir kuvvet olarak ifade edin. Yol boyunca ondalık kesirlerden kurtulmak daha iyidir;
2. b değişkeni için denklemi çözün: x = a b ;
3. Ortaya çıkan b sayısı cevap olacaktır.

Bu kadar! Logaritmanın irrasyonel olduğu ortaya çıkarsa, bu zaten ilk adımda görülecektir. Tabanın birden büyük olması gerekliliği çok önemlidir: bu, hata olasılığını azaltır ve hesaplamaları büyük ölçüde basitleştirir. Ondalık kesirlerde olduğu gibi: onları hemen sıradan kesirlere dönüştürürseniz, çok daha az hata olacaktır.

Bu şemanın belirli örnekler üzerinde nasıl çalıştığını görelim:

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 5 25

1. Tabanı ve argümanı beşin kuvveti olarak gösterelim: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Denklemi yapalım ve çözelim:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Bir cevap aldı: 2.

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın:

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 4 64

1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Denklemi yapalım ve çözelim:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Bir cevap aldı: 3.

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 16 1

1. Tabanı ve argümanı ikinin kuvveti olarak gösterelim: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Denklemi yapalım ve çözelim:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Bir yanıt aldı: 0.

Bir görev. Logaritmayı hesaplayın: log 7 14

1. Tabanı ve argümanı yedinin kuvveti olarak gösterelim: 7 = 7 1 ; 14 yedinin kuvveti olarak temsil edilmez, çünkü 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Önceki paragraftan logaritmanın dikkate alınmadığı sonucu çıkar;
3. Cevap değişiklik yok: log 7 14.

Son örnekle ilgili küçük bir not. Bir sayının başka bir sayının tam kuvveti olmadığından nasıl emin olunur? Çok basit - sadece asal faktörlere ayırın. Genişlemede en az iki farklı faktör varsa, sayı tam bir güç değildir.

Bir görev. Sayının tam kuvvetlerinin olup olmadığını öğrenin: 8; 48; 81; 35; on dört.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tam derece, çünkü sadece bir çarpan vardır;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 tam bir güç değildir çünkü iki faktör vardır: 3 ve 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tam derece;
35 = 7 5 - yine tam bir derece değil;
14 \u003d 7 2 - yine kesin bir derece değil;

Ayrıca asal sayıların kendilerinin her zaman tam güçleri olduğuna dikkat edin.

ondalık logaritma

Bazı logaritmalar o kadar yaygındır ki özel bir ad ve atamaya sahiptirler.

x argümanının temeli 10 logaritmasıdır, yani. x'i elde etmek için 10'un yükseltilmesi gereken güç. Tanım: lgx.

Örneğin, log 10 = 1; günlük 100 = 2; lg 1000 = 3 - vb.

Şu andan itibaren ders kitabında “Find lg 0.01” gibi bir ifade geçtiğinde bunun bir yazım hatası olmadığını bilin. Bu ondalık logaritmadır. Ancak, böyle bir atamaya alışkın değilseniz, her zaman yeniden yazabilirsiniz:
günlük x = günlük 10 x

Sıradan logaritmalar için doğru olan her şey ondalık sayılar için de geçerlidir.

doğal logaritma

Kendi gösterimi olan başka bir logaritma daha var. Bir anlamda, ondalık sayıdan bile daha önemlidir. Bu doğal logaritmadır.

x argümanının değeri, e tabanının logaritmasıdır, yani. x sayısını elde etmek için e sayısının yükseltilmesi gereken güç. Tanım: lnx.

Birçoğu soracak: e sayısı nedir? Bu irrasyonel bir sayıdır, tam değeri bulunamaz ve yazılamaz. İşte sadece ilk sayılar:
e = 2.718281828459…

Bu sayının ne olduğunu ve neden gerekli olduğunu araştırmayacağız. Sadece e'nin doğal logaritmanın tabanı olduğunu unutmayın:
ln x = günlük e x

Böylece ln e = 1; günlük e 2 = 2; ln e 16 = 16 - vb. Öte yandan, ln 2 irrasyonel bir sayıdır. Genel olarak, herhangi bir rasyonel sayının doğal logaritması irrasyoneldir. Elbette birlik hariç: ln 1 = 0.

Doğal logaritmalar için sıradan logaritmalar için geçerli olan tüm kurallar geçerlidir.

Ayrıca bakınız:

Logaritma. Logaritmanın özellikleri (logaritmanın gücü).

Bir sayı logaritma olarak nasıl temsil edilir?

Logaritma tanımını kullanıyoruz.

Logaritma, logaritmanın işaretinin altındaki sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir.

Bu nedenle, belirli bir c sayısını a tabanına logaritma olarak temsil etmek için, logaritmanın tabanı ile aynı tabana sahip logaritmanın işaretinin altına bir derece koymak ve bu c sayısını üsse yazmak gerekir. :

Logaritma biçiminde, kesinlikle herhangi bir sayıyı temsil edebilirsiniz - pozitif, negatif, tamsayı, kesirli, rasyonel, irrasyonel:

Bir testin veya sınavın stresli koşullarında a ve c'yi karıştırmamak için aşağıdaki kuralı hatırlayarak kullanabilirsiniz:

aşağıda olan aşağı iner, yukarıda olan yukarı çıkar.

Örneğin, 2 sayısını 3 tabanına göre logaritma olarak göstermek istiyorsunuz.

İki sayımız var - 2 ve 3. Bu sayılar logaritma işaretinin altına yazacağımız taban ve üs. Bu sayılardan hangisinin derece bazında ve hangilerinin üste yazılması gerektiğini belirlemek için kalır.

Logaritma kaydındaki 3 tabanı en altta yani ikiliyi 3 tabanına göre logaritma olarak gösterdiğimizde tabana 3 de yazacağız.

2, 3'ten yüksektir. Ve derecenin gösteriminde, ikisini üçün üstüne, yani üste yazıyoruz:

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmalar

logaritma pozitif sayı b Sebeple a, nerede a > 0, a ≠ 1, sayının yükseltilmesi gereken üsteldir. a, Elde etmek üzere b.

logaritmanın tanımı kısaca şöyle yazılabilir:

Bu eşitlik için geçerlidir b > 0, a > 0, a ≠ 1. O genellikle denir logaritmik kimlik.
Bir sayının logaritmasını bulma işlemine denir. logaritma.

Logaritmaların özellikleri:

Ürünün logaritması:

Bölümden bölümün logaritması:

Logaritmanın tabanını değiştirmek:

Derece logaritma:

kök logaritması:

Güç tabanlı logaritma:

Ondalık ve doğal logaritmalar.

ondalık logaritma sayılar o sayının 10 tabanındaki logaritmasını çağırır ve   lg yazar b
doğal logaritma sayılar bu sayının logaritmasını tabana çağırır e, nerede e yaklaşık olarak 2,7'ye eşit olan irrasyonel bir sayıdır. Aynı zamanda, ln yazarlar. b.

Cebir ve Geometri Üzerine Diğer Notlar

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmalar, herhangi bir sayı gibi, eklenebilir, çıkarılabilir ve mümkün olan her şekilde dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar oldukça sıradan sayılar olmadığı için burada kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kuralları bilmelisiniz - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ek olarak, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. O halde başlayalım.

Logaritmalarda toplama ve çıkarma

Aynı tabana sahip iki logaritma düşünün: log a x ve log a y. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. a x'i günlüğe kaydet - bir y'yi günlüğe kaydet = a'yı günlüğe kaydet (x: y).

Yani, logaritmaların toplamı, ürünün logaritmasına eşittir ve fark, bölümün logaritmasıdır. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçeler. Bazlar farklıysa bu kurallar çalışmaz!

Bu formüller, bireysel bölümleri dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve bakın:

günlük 6 4 + günlük 6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 2 48 − log 2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
günlük 2 48 - günlük 2 3 = günlük 2 (48: 3) = günlük 2 16 = 4.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 3 135 − log 3 5.

Yine, üsler aynı, yani elimizde:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Görüldüğü gibi orijinal ifadeler ayrı ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşmaktadır. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar çıkıyor. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, kontrol - tüm ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) sınavda sunulur.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, tüm bu kurallar ODZ logaritması gözlemlenirse anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

Logaritma nasıl çözülür

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 7 49 6 .

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
günlük 7 49 6 = 6 günlük 7 49 = 6 2 = 12

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanı tam güçler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını dereceler şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - “üç katlı” bir kesir aldılar.

Şimdi ana kesre bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre, dördü yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevaptır: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya tabanlar farklıysa? Ya aynı sayının tam güçleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş için formüller kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritmanın logaritmasına bir x verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle, c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade "ters çevrilmiştir", yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar uygun olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler vardır. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log 5 16 log 2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; günlük 2 25 = günlük 2 5 2 = 2 günlük 2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ile ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Bir görev. İfadenin değerini bulun: log 9 100 lg 3.

İlk logaritmanın temeli ve argümanı tam güçlerdir. Bunu bir yere yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözme sürecinde, bir sayının belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilmesi gerekir.

Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkende üs olur. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Şöyle denir:

Gerçekten de, b sayısı, bu derecedeki b sayısı a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı sayı a. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok insan ona “takılır”.

Yeni temel dönüştürme formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen olası tek çözümdür.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Log 25 64 = log 5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını çıkardığına dikkat edin. Güçleri aynı tabanla çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Birisi bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki kimlik vereceğim - bunlar logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. log a a = 1'dir. Bir kere ve her şey için hatırlayın: o bazın kendisinden herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. log a 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü 0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikleri bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Dersin başında kopya kağıdını indirin, yazdırın ve sorunları çözün.

Bildiğiniz gibi, ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri her zaman toplanır (a b * a c = a b + c). Bu matematiksel yasa Arşimet tarafından türetilmiştir ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen bir tamsayı göstergeleri tablosu oluşturmuştur. Logaritmaların daha fazla keşfedilmesine hizmet eden onlardı. Bu işlevi kullanma örnekleri, hantal çarpmayı basit toplamaya basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumak için 10 dakika harcarsanız, size logaritmaların ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dil.

matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) logaritması "a" tabanındaki "b", "c"nin kuvveti olarak kabul edilir. "a" tabanının yükseltilmesi gereken , sonunda "b" değerini elde etmek için. Örnekler kullanarak logaritmayı inceleyelim, diyelim ki log 2 diye bir ifade var 8. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir derece bulmanız gerekiyor ki, 2'den gerekli dereceye 8 alacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve haklı olarak, çünkü 2 üzeri 3'ün kuvveti cevapta 8 sayısını verir.

Logaritma çeşitleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar korkutucu değil, asıl şey genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç farklı logaritmik ifade türü vardır:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2.7).
2. Tabanın 10 olduğu ondalık a.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her biri, basitleştirme, azaltma ve ardından logaritmik teoremler kullanılarak bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, kararlarında özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamak gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve doğru olan birkaç kural-sınırlama vardır. Örneğin, sayıları sıfıra bölmek imkansızdır ve negatif sayılardan çift derecenin kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır, bunları takip ederek uzun ve geniş logaritmik ifadelerle bile nasıl çalışacağınızı kolayca öğrenebilirsiniz:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise, o zaman a b > 0 ise, "c"nin sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritma nasıl çözülür?

Örneğin, 10 x \u003d 100 denkleminin cevabını bulma görevi verildi. Çok kolay, 100 aldığımız on numarayı yükselterek böyle bir güç seçmeniz gerekiyor. Bu, elbette, 10 2 \u003d 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik olarak gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, tüm eylemler pratik olarak belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanının girilmesi gereken dereceyi bulmaya yakınsar.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için bir derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmelisiniz. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, teknik bir zihniyetiniz ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler bir güç tablosu gerektirecektir. Karmaşık matematiksel konularda hiçbir şey anlamayanlar tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (taban a), sayıların üst satırı, a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Hücrelerdeki kesişme noktasında, cevap olan (a c =b) sayıların değerleri belirlenir. Örneğin, 10 numaralı ilk hücreyi alalım ve karesini alalım, iki hücremizin kesişme noktasında belirtilen 100 değerini alıyoruz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlar!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel sayısal ifade, logaritmik bir denklem olarak yazılabilir. Örneğin, 3 4 =81, 81'in 3 tabanına, yani dört (log 3 81 = 4) logaritması olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri "logaritmalar" konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra denklemlerin örneklerini ve çözümlerini biraz daha aşağıda ele alacağız. Şimdi eşitsizliklerin nasıl göründüğüne ve bunları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki formun bir ifadesi verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bu bir logaritmik eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen "x" değeri logaritmanın işaretinin altındadır. Ve ayrıca ifadede iki miktar karşılaştırılır: iki tabandaki istenen sayının logaritması üç sayıdan büyüktür.

Logaritmik denklemler ile eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin 2 x = √9 logaritması) cevapta bir veya daha fazla belirli sayısal değeri ifade etmesi, eşitsizliği çözerken ise her iki kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonu kıran noktalar. Sonuç olarak, cevap, denklemin cevabındaki gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, sürekli bir dizi veya sayı kümesidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma konusundaki ilkel görevleri çözerken, özellikleri bilinmeyebilir. Ancak logaritmik denklemler veya eşitsizlikler söz konusu olduğunda, öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örnekleriyle tanışacağız, önce her bir özelliği daha ayrıntılı olarak analiz edelim.

1. Temel kimlik şöyle görünür: a logaB =B. Yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması aşağıdaki formülle gösterilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda ön koşul: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritma formülünü örneklerle ve bir çözümle ispatlayabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2 olsun. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (derece özellikleri) ) ve ayrıca tanım gereği: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as s 2, ki bu kanıtlanacaktı.
3. Bölümün logaritması şöyle görünür: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log as s 2.
4. Bir formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle "logaritmanın derecesinin özelliği" denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve şaşırtıcı değildir, çünkü tüm matematik düzenli varsayımlara dayanır. Kanıta bakalım.

Günlüğe a b \u003d t izin verin, a t \u003d b çıkıyor. Her iki parçayı da m kuvvetine yükseltirseniz: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = bn olduğundan, bu nedenle log a q b n = (n*t)/t, o zaman log a q b n = n/q log a b. Teorem kanıtlanmıştır.

Problem ve eşitsizlik örnekleri

Logaritma problemlerinin en yaygın türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Hemen hemen tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca matematik sınavlarının zorunlu bölümünde yer alırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri doğru bir şekilde nasıl çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya genel bir forma indirgenip indirgenemeyeceğini öğrenmelisiniz. Özelliklerini doğru kullanırsanız, uzun logaritmik ifadeleri basitleştirebilirsiniz. Yakında onları tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, önümüzde ne tür bir logaritmanın olduğunu belirlemek gerekir: bir ifade örneği, doğal bir logaritma veya ondalık bir ifade içerebilir.

İşte örnekler ln100, ln1026. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olma derecesini belirlemeniz gerektiği gerçeğine dayanıyor. Doğal logaritmaların çözümleri için logaritmik özdeşlikler veya özellikleri uygulanmalıdır. Çeşitli türlerde logaritmik problem çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Öyleyse, logaritmalarda ana teoremleri kullanma örneklerine bakalım.

1. Çarpımın logaritmasının özelliği, b sayısının büyük bir değerini daha basit çarpanlara ayırmanın gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüğünüz gibi, logaritma derecesinin dördüncü özelliğini kullanarak, ilk bakışta karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Sadece tabanı çarpanlara ayırmak ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmak gerekir.

Sınavdaki görevler

Logaritmalar genellikle giriş sınavlarında bulunur, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik sorun bulunur. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde (sınavın en kolay test bölümü) değil, aynı zamanda C bölümünde de (en zor ve hacimli görevler) bulunur. Sınav, "Doğal logaritmalar" konusu hakkında doğru ve mükemmel bir bilgi birikimi anlamına gelir.

Örnekler ve problem çözme, sınavın resmi sürümlerinden alınmıştır. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Verilen log 2 (2x-1) = 4. Çözüm:
ifadeyi biraz sadeleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmanın tanımına göre 2x-1 = 2 4 , dolayısıyla 2x = 17; x = 8,5.

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmalar en iyi şekilde aynı tabana indirgenir.
• Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle logaritmanın işaretinin altındaki ve tabanı olarak ifadenin üssünün üssü çıkarıldığında, logaritmanın altında kalan ifade pozitif olmalıdır.

tanımından türetilmiştir. Ve böylece sayının logaritması b Sebeple a bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır a numarayı almak için b(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).

Bu formülasyondan, hesaplamanın x=bir b'yi günlüğe kaydet, denklemi çözmeye eşdeğerdir balta=b.Örneğin, günlük 2 8 = 3çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu, eğer varsa, bunu doğrulamayı mümkün kılar. b=bir c, ardından sayının logaritması b Sebeple a eşittir İle birlikte. Logaritma konusunun konuyla yakından ilgili olduğu da açıktır. sayı derecesi.

Logaritmalarla, herhangi bir sayıda olduğu gibi, gerçekleştirebilirsiniz ekleme işlemleri, çıkarma ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmaların oldukça sıradan sayılar olmadığı gerçeği göz önüne alındığında, burada kendi özel kuralları geçerlidir. Temel özellikler.

Logaritmalarda toplama ve çıkarma.

Aynı tabana sahip iki logaritma alın: x'i günlüğe kaydet ve bir y kaydet. Daha sonra çıkarma ve çıkarma işlemleri yapmak mümkündür:

log a x+ log a y= log a (x y);

a x'i günlüğe kaydet - bir y'yi günlüğe kaydet = a'yı günlüğe kaydet (x:y).

bir günlüğe kaydet(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = x'i günlüğe kaydet 1 + x'i günlüğe kaydet 2 + x'i günlüğe kaydet 3 + ... + bir x k günlüğe kaydet.

İtibaren bölüm logaritma teoremleri logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğü iyi bilinmektedir. a 1= 0, bu nedenle,

kayıt a 1 /b= günlük a 1 - günlük bir b= -günlük bir b.

Yani bir eşitlik var:

a 1 / b = - a b'yi günlüğe kaydet.

Karşılıklı iki sayının logaritmaları aynı temelde, yalnızca işarette birbirinden farklı olacaktır. Yani:

Kayıt 3 9= - kayıt 3 1 / 9 ; günlük 5 1 / 125 = - günlük 5 125.