Bir noktadan geçen düzlemin denklemi vektöre diktir. Düz

A, B, C ve D sayıları sıfır değilse, düzlemin genel denklemi denir. tamamlamak. Aksi takdirde, düzlemin genel denklemi denir. eksik.

Üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sistemi Oxyz'de düzlemin tüm olası genel eksik denklemlerini ele alalım.

D = 0 olsun, o zaman formun düzleminin genel bir tamamlanmamış denklemine sahibiz. Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde bu düzlem orijinden geçer. Gerçekten de, noktanın koordinatlarını uçağın ortaya çıkan tamamlanmamış denkleminde yerine koyarken, özdeşliğe geliriz.

, veya , veya için düzlemlerin genel tamamlanmamış denklemlerine sahibiz , veya , veya sırasıyla. Bu denklemler sırasıyla Oxy , Oxz ve Oyz koordinat düzlemlerine paralel olan (düzlemler için Paralellik koşulu makalesine bakın) ve noktalardan geçen düzlemleri tanımlar. ve buna uygun olarak. anda. noktadan beri duruma göre düzleme aitse, bu noktanın koordinatları düzlemin denklemini sağlamalıdır, yani eşitlik doğru olmalıdır. Buradan buluyoruz. Böylece istenilen denklem forma sahip olur.

Bu sorunu çözmenin ikinci yolunu sunuyoruz.

Genel denklemini oluşturmamız gereken düzlem Oyz düzlemine paralel olduğu için Oyz düzleminin normal vektörünü normal vektörü olarak alabiliriz. Oyz koordinat düzleminin normal vektörü, koordinat vektörüdür. Artık düzlemin normal vektörünü ve düzlemin noktasını biliyoruz, bu nedenle genel denklemini yazabiliriz (bu makalenin önceki paragrafında benzer bir sorunu çözdük):
, o zaman koordinatları düzlemin denklemini sağlamalıdır. Bu nedenle eşitlik nerede buluruz. Şimdi düzlemin istenen genel denklemini yazabiliriz, forma sahiptir.

Cevap:

Bibliyografya.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Yüksek Matematik. Birinci Cilt: Lineer Cebir ve Analitik Geometrinin Elemanları.
• İlyin V.A., Poznyak E.G. Analitik Geometri.

Uçağın genel denklemini elde etmek için, verilen bir noktadan geçen düzlemi analiz ederiz.

Uzayda zaten bildiğimiz üç koordinat ekseni olsun - Öküz, Oy ve Öz. Kağıdı düz kalacak şekilde tutun. Uçak, tabakanın kendisi ve her yöne devamı olacaktır.

İzin vermek P uzayda keyfi uçak. Kendisine dik olan herhangi bir vektöre denir. normal vektör bu uçağa. Doğal olarak, sıfır olmayan bir vektörden bahsediyoruz.

Uçağın herhangi bir noktası biliniyorsa P ve ona normalin bir vektörü, o zaman bu iki koşulla uzaydaki düzlem tamamen belirlenir(belirli bir noktadan geçen, belirli bir vektöre dik olan yalnızca bir düzlem vardır). Uçağın genel denklemi şöyle görünecektir:

Yani, düzlemin denklemini belirleyen koşullar var. Kendi kendine almak için düzlem denklemi, yukarıdaki forma sahip olan uçağa biniyoruz P keyfi puan M değişken koordinatlarla x, y, z. Bu nokta uçağa aittir ancak vektör vektöre dik(Şek. 1). Bunun için vektörlerin diklik koşuluna göre bu vektörlerin skaler çarpımının sıfıra eşit olması, yani

Vektör koşul tarafından verilir. Vektörün koordinatlarını formülle buluyoruz :

.

Şimdi, vektörlerin nokta çarpım formülünü kullanarak , skaler ürünü koordinat biçiminde ifade ederiz:

noktadan beri M(x; y; z) düzlemde keyfi olarak seçilir, daha sonra son denklem, düzlemde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları tarafından karşılanır P. nokta için N, belirli bir uçakta yatmamak, yani. eşitlik (1) ihlal edilir.

örnek 1 Bir noktadan geçen ve bir vektöre dik olan bir düzlem için bir denklem yazın.

Çözüm. Formül (1) kullanıyoruz, tekrar bakalım:

Bu formülde sayılar A , B ve C vektör koordinatları ve sayıları x0 , y0 ve z0 - nokta koordinatları.

Hesaplamalar çok basit: bu sayıları formülde yerine koyuyoruz ve

Çarpılması gereken her şeyi çarpıyoruz ve sadece sayıları (harfsiz) topluyoruz. Sonuç:

.

Bu örnekte düzlemin gerekli denklemi, değişken koordinatlara göre birinci dereceden genel denklemle ifade edildi. x, y, z uçağın keyfi noktası.

Yani, formun bir denklemi

aranan düzlemin genel denklemi .

Örnek 2 Denklemde verilen düzlemi dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde oluşturun .

Çözüm. Bir düzlem inşa etmek için, örneğin düzlemin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları gibi bir düz çizgi üzerinde yer almayan herhangi üç noktasını bilmek gerekli ve yeterlidir.

Bu noktalar nasıl bulunur? Eksenin kesiştiği noktayı bulmak için Öz, problem ifadesinde verilen denklemde x ve y yerine sıfırları kullanmanız gerekir: x = y= 0 . Bu nedenle, alırız z= 6 . Böylece verilen düzlem ekseni kesiyor Öz noktada A(0; 0; 6) .

Aynı şekilde düzlemin eksen ile kesişme noktasını da buluruz. Oy. saat x = z= 0 alırız y= -3 , yani bir nokta B(0; −3; 0) .

Ve son olarak, düzlemimizin eksen ile kesişme noktasını buluyoruz. Öküz. saat y = z= 0 alırız x= 2 , yani bir nokta C(2; 0; 0) . Çözümümüzde elde edilen üç noktaya göre A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) ve C(2; 0; 0) verilen düzlemi oluşturuyoruz.

Şimdi düşünün düzlemin genel denkleminin özel durumları. Bunlar, (2) numaralı denklemin belirli katsayılarının kaybolduğu durumlardır.

1. Ne zaman D= 0 denklem orijinden geçen bir düzlemi tanımlar, çünkü bir noktanın koordinatları 0 (0; 0; 0) bu denklemi sağlar.

2. Ne zaman bir= 0 denklem eksene paralel bir düzlem tanımlar Öküz, bu düzlemin normal vektörü eksene dik olduğundan Öküz(eksen üzerindeki izdüşümü Öküz sıfıra eşittir). Benzer şekilde, ne zaman B= 0 uçak eksen paralel Oy, ve ne zaman C= 0 uçak eksene paralel Öz.

3. Ne zaman A=D= 0 denklemi eksenden geçen bir düzlemi tanımlar Öküz eksene paralel olduğu için Öküz (bir=D= 0). Benzer şekilde, düzlem eksenden geçer. Oy ve eksen boyunca düzlem Öz.

4. Ne zaman A=B= 0 denklemi, koordinat düzlemine paralel bir düzlem tanımlar xOy eksenlere paralel olduğu için Öküz (A= 0) ve Oy (B= 0). Aynı şekilde, düzlem düzleme paraleldir. yOz, ve uçak - uçak xOz.

5. Ne zaman A=B=D= 0 denklemi (veya z= 0) koordinat düzlemini tanımlar xOy düzleme paralel olduğu için xOy (A=B= 0) ve orijinden geçer ( D= 0). Benzer şekilde, denklem y= 0 uzayda koordinat düzlemini tanımlar xOz, ve denklem x= 0 - koordinat düzlemi yOz.

Örnek 3 Düzlemin denklemini oluşturun P eksenden geçen Oy ve nokta.

Çözüm. Yani uçak eksenden geçer Oy. Yani onun denkleminde y= 0 ve bu denklem forma sahiptir. Katsayıları belirlemek için A ve C noktanın uçağa ait olduğu gerçeğini kullanıyoruz P .

Bu nedenle, koordinatları arasında, daha önce türetmiş olduğumuz düzlemin denklemine ikame edilebilecekler vardır (). Noktanın koordinatlarına tekrar bakalım:

M0 (2; −4; 3) .

Aralarında x = 2 , z= 3 . Bunları genel denklemde yerine koyarız ve özel durumumuz için denklemi elde ederiz:

2A + 3C = 0 .

2 ayrılıyoruz A denklemin sol tarafında, 3 aktarıyoruz C sağ tarafa ve al

A = −1,5C .

Bulunan değeri yerine koymak A denklemde, elde ederiz

veya .

Bu, örnek koşulda gerekli olan denklemdir.

Problemi uçağın denklemlerinde kendiniz çözün ve sonra çözüme bakın.

Örnek 4 Düzlemi (veya birden fazlaysa düzlemleri) koordinat eksenlerine veya düzlem(ler) denklemle verilmişse koordinat düzlemlerine göre belirleyin.

Testlerde ortaya çıkan tipik problemlerin çözümleri - "Bir düzlemdeki problemler: paralellik, diklik, bir noktada üç düzlemin kesişimi" kılavuzunda .

Üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

Daha önce de belirtildiği gibi, bir düzlem inşa etmek için gerekli ve yeterli bir koşul, bir nokta ve normal vektöre ek olarak, aynı zamanda bir düz çizgi üzerinde bulunmayan üç noktadır.

Aynı doğru üzerinde olmayan üç farklı nokta verilsin. Bu üç nokta tek bir doğru üzerinde bulunmadığından, vektörler ve eşdoğrusal değildir ve bu nedenle düzlemin herhangi bir noktası noktalarla aynı düzlemde bulunur ve ancak ve ancak vektörler , ve eş düzlemli, yani ancak ve ancak bu vektörlerin karışık ürünü sıfıra eşittir.

Koordinatlarda karışık çarpım ifadesini kullanarak düzlem denklemini elde ederiz.

(3)

Determinantı genişlettikten sonra, bu denklem (2) formunun bir denklemi olur, yani. düzlemin genel denklemi.

Örnek 5 Düz bir çizgi üzerinde yer almayan verilen üç noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın:

ve varsa, doğrunun genel denkleminin özel bir durumunu belirlemek.

Çözüm. Formül (3)'e göre elimizde:

Düzlemin normal denklemi. Noktadan düzleme uzaklık

Bir düzlemin normal denklemi, formda yazılmış denklemidir.

Bu makale, belirli bir çizgiye dik üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklemin nasıl yazılacağı hakkında bir fikir verir. Tipik problemleri çözme örneğini kullanarak yukarıdaki algoritmayı analiz edelim.

Verilen bir doğruya dik uzayda verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma

İçinde üç boyutlu bir uzay ve dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z verilsin. M 1 noktası (x 1, y 1, z 1), a doğrusu ve a doğrusuna dik M 1 noktasından geçen α düzlemi de verilmiştir. α düzleminin denklemini yazmak gerekir.

Bu problemi çözmeye devam etmeden önce, 10 - 11. sınıflar için programdaki geometri teoremini hatırlayalım.

tanım 1

Tek bir düzlem, üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan geçer ve verilen bir doğruya diktir.

Şimdi başlangıç ​​noktasından geçen ve verilen doğruya dik olan bu tek düzlemin denklemini nasıl bulacağınızı düşünün.

Bu düzleme ait bir noktanın koordinatları ve ayrıca düzlemin normal vektörünün koordinatları biliniyorsa, bir düzlemin genel denklemini yazmak mümkündür.

Problemin durumuna göre, α düzleminin geçtiği M 1 noktasının x 1, y 1, z 1 koordinatları verilir. α düzleminin normal vektörünün koordinatlarını belirlersek, istenen denklemi yazabileceğiz.

α düzleminin normal vektörü, sıfır olmadığı ve α düzlemine dik a çizgisi üzerinde yer aldığı için, a çizgisinin herhangi bir yönlendirici vektörü olacaktır. Böylece, a düzleminin normal vektörünün koordinatlarını bulma problemi, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleme problemine dönüştürülür.

Düz çizgi a'nın yönlendirici vektörünün koordinatlarının belirlenmesi, farklı yöntemlerle gerçekleştirilebilir: başlangıç ​​koşullarında düz çizgi a'nın ayarlanmasının varyantına bağlıdır. Örneğin, problemin durumundaki a satırı, formun kanonik denklemleriyle verilirse

x - x 1 bir x = y - y 1 bir y = z - z 1 bir z

veya formun parametrik denklemleri:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ z = z 1 + bir z λ

o zaman düz çizginin yönlendirici vektörü a x, a y ve a z koordinatlarına sahip olacaktır. Düz a çizgisinin M 2 (x 2, y 2, z 2) ve M 3 (x 3, y 3, z 3) olmak üzere iki nokta ile temsil edilmesi durumunda, yön vektörünün koordinatları şu şekilde belirlenecektir: (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

tanım 2

Verilen bir doğruya dik olan bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulmak için algoritma:

A düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyin: a → = (a x, a y, a z) ;

a düzleminin normal vektörünün koordinatlarını, a düz çizgisinin yönlendirici vektörünün koordinatları olarak tanımlarız:

n → = (A , B , C) , burada A = bir x , B = bir y , C = bir z;

M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından geçen ve normal vektörü olan düzlemin denklemini yazıyoruz. n→=(A, B, C) A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 şeklinde. Bu, uzayda belirli bir noktadan geçen ve belirli bir doğruya dik olan bir düzlemin gerekli denklemi olacaktır.

Uçağın elde edilen genel denklemi: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0, düzlemin denklemini segmentlerde veya düzlemin normal denklemini elde etmeyi mümkün kılar.

Yukarıda elde edilen algoritmayı kullanarak bazı örnekleri çözelim.

örnek 1

Düzlemin içinden geçtiği bir M 1 (3, - 4, 5) noktası verilmiştir ve bu düzlem O z koordinat çizgisine diktir.

Çözüm

O z koordinat çizgisinin yön vektörü k ⇀ = (0 , 0 , 1) koordinat vektörü olacaktır. Bu nedenle, düzlemin normal vektörü (0 , 0 , 1) koordinatlarına sahiptir. Normal vektörü (0, 0, 1) koordinatlarına sahip M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlemin denklemini yazalım:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Cevap: z - 5 = 0 .

Bu sorunu çözmenin başka bir yolunu düşünün:

Örnek 2

O z doğrusuna dik olan bir düzlem, С z + D = 0 , C ≠ 0 biçimindeki düzlemin tamamlanmamış bir genel denklemi ile verilecektir. C ve D'nin değerlerini tanımlayalım: uçağın belirli bir noktadan geçtiği değerler. Bu noktanın koordinatlarını C z + D = 0 denkleminde değiştirin, şunu elde ederiz: C · 5 + D = 0 . Şunlar. sayılar, C ve D - D C = 5 ile ilişkilidir. C \u003d 1 alarak D \u003d - 5 elde ederiz.

Bu değerleri C z + D = 0 denkleminde yerine koyun ve O z doğrusuna dik olan ve M 1 (3, - 4, 5) noktasından geçen bir düzlem için gerekli denklemi elde edin.

Şu şekilde görünecektir: z - 5 = 0.

Cevap: z - 5 = 0 .

Örnek 3

Orijinden geçen ve x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 doğrusuna dik olan bir düzlem için bir denklem yazın

Çözüm

Problemin koşullarına bağlı olarak, belirli bir düz çizginin kılavuz vektörünün, belirli bir düzlemin normal vektörü n → olarak alınabileceği iddia edilebilir. Böylece: n → = (- 3 , - 7 , 2) . O (0, 0, 0) noktasından geçen ve normal vektörü n → \u003d (- 3, - 7, 2) olan bir düzlemin denklemini yazalım:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Verilen doğruya dik orijinden geçen düzlem için gerekli denklemi elde ettik.

Cevap:- 3x - 7y + 2z = 0

Örnek 4

Üç boyutlu uzayda O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verildiğinde, A (2 , - 1 , - 2) ve B (3 , - 2 , 4) olmak üzere iki nokta içerir. α düzlemi AB doğrusuna dik A noktasından geçer. α düzleminin denklemini segmentler halinde oluşturmak gerekir.

Çözüm

α düzlemi A B çizgisine diktir, o zaman A B → vektörü α düzleminin normal vektörü olacaktır. Bu vektörün koordinatları, B (3, - 2, 4) ve A (2, - 1, - 2) noktalarının karşılık gelen koordinatları arasındaki fark olarak belirlenir:

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Düzlemin genel denklemi aşağıdaki biçimde yazılacaktır:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Şimdi segmentlerde düzlemin istenen denklemini oluşturuyoruz:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Cevap:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Ayrıca, belirli bir noktadan geçen ve verilen iki düzleme dik olan bir düzlem için bir denklem yazma gereksinimi olan problemler olduğuna da dikkat edilmelidir. Genel olarak, bu problemin çözümü, verilen bir doğruya dik olarak verilen bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazmaktır. kesişen iki düzlem düz bir çizgi tanımlar.

Örnek 5

O x y z dikdörtgen koordinat sistemi verilmiştir, içinde M 1 (2, 0, - 5) noktasıdır. 3 x + 2 y + 1 = 0 ve x + 2 z - 1 = 0 olan iki düzlemin denklemleri de verilmiştir ve bunlar a düz çizgisi boyunca kesişir. a doğrusuna dik M1 noktasından geçen bir düzlem için bir denklem oluşturmak gerekir.

Çözüm

A doğrusunun yönlendirici vektörünün koordinatlarını belirleyelim. Hem n → (1 , 0 , 2) düzleminin n 1 → (3 , 2 , 0) normal vektörüne hem de x + 2 z'nin 3 x + 2 y + 1 = 0 normal vektörüne diktir - 1 = 0 düzlem.

Sonra yönlendirici vektör α → düz çizgi a, n 1 → ve n 2 → vektörlerinin vektör çarpımını alırız:

a → = n 1 → × n 2 → = ben → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Böylece, n → = (4, - 6, - 2) vektörü, a doğrusuna dik olan düzlemin normal vektörü olacaktır. Uçağın istenen denklemini yazıyoruz:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Cevap: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Öklid geometrisinde bir doğrunun özellikleri.

Herhangi bir noktadan çizilebilecek sonsuz sayıda doğru vardır.

Birbiriyle çakışmayan iki noktadan geçen tek bir doğru vardır.

Düzlemde çakışmayan iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (bir öncekinden sonra gelir).

Üç boyutlu uzayda, iki çizginin göreli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişir;

• düz çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Düz astar- birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklemle (doğrusal denklem) verilir.

Bir doğrunun genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir doğru, birinci dereceden bir denklemle verilebilir.

Ah + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

düz çizgi denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B ve İTİBAREN Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- çizgi orijinden geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( + C = 0)- eksene paralel düz çizgi ey

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, A ≠ 0- çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. A = C = 0, B ≠ 0- çizgi eksenle çakışıyor ey

Düz bir çizginin denklemi, herhangi bir veriye bağlı olarak çeşitli biçimlerde temsil edilebilir.

başlangıç ​​koşulları.

Düz bir çizginin bir nokta ve bir normal vektör ile denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde, (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklem tarafından verilen doğruya dik

Ah + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen doğrunun denklemini bulunuz bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A \u003d 3 ve B \u003d -1'de düz çizginin denklemini oluşturalım: 3x - y + C \u003d 0. C katsayısını bulmak için

verilen A noktasının koordinatlarını ortaya çıkan ifadede değiştiririz: 3 - 2 + C = 0, bu nedenle

C = -1. Toplam: istenen denklem: 3x - y - 1 \u003d 0.

İki noktadan geçen bir doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ve M2 (x 2, y 2 , z 2), sonra düz çizgi denklemi,

bu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse, karşılık gelen pay sıfıra eşit olmalıdır. Üzerinde

düzlemde, yukarıda yazılan düz bir çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1 ≠ x 2 ve x = x 1, eğer x 1 = x 2 .

kesir = k aranan eğim faktörü dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen bir doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm. Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir doğrunun bir nokta ve bir eğimle denklemi.

Düz bir çizginin genel denklemi ise Ah + Wu + C = 0 forma getirin:

ve tayin etmek , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir nokta ve yönlendirici vektör üzerindeki düz bir doğrunun denklemi.

Normal vektör üzerinden düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzeterek, göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yön vektörü.

Tanım. Her sıfır olmayan vektör (α 1 , α 2), bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Ba 2 = 0 aranan düz çizginin yön vektörü.

Ah + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen bir doğrunun denklemini bulunuz.

Çözüm. İstenen düz çizginin denklemini şu şekilde arayacağız: Balta + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O zaman düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: Balta + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

de x=1, y=2 alırız C/A = -3, yani istenen denklem:

x + y - 3 = 0

Doğrunun segmentler halinde denklemi.

Ah + Wu + C = 0 C≠0 düz çizgisinin genel denkleminde, -C'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişme noktasının koordinatı olmasıdır.

akslı düz Ey, a b- doğrunun eksenle kesiştiği noktanın koordinatı kuruluş birimi.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini parçalar halinde bulunuz.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Düz bir çizginin normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Ah + Wu + C = 0 sayıya göre bölmek denilen

normalleştirme faktörü, sonra alırız

xcosφ + ysinφ - p = 0 -düz bir çizginin normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti, şu şekilde seçilmelidir: μ * C< 0.

R- orijinden çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

a φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ey.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verildiğinde 12x - 5y - 65 = 0. Çeşitli denklem türleri yazmak için gerekli

bu düz çizgi.

Bu düz çizginin segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimli denklemi: (5'e böl)

Düz bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p=5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi segmentlerde bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçiyor.

Bir düzlemde doğrular arasındaki açı.

Tanım. iki satır verilirse y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 = k2. İki çizgi diktir

eğer k 1 \u003d -1 / k2 .

teorem.

doğrudan Ah + Wu + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 katsayılar orantılı olduğunda paraleldir

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. eğer ayrıca С 1 \u003d λС, sonra çizgiler çakışıyor. İki doğrunun kesişme noktasının koordinatları

bu doğruların denklem sistemine bir çözüm olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen bir doğrunun denklemi, verilen bir doğruya diktir.

Tanım. Bir noktadan geçen doğru M1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklem ile temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

teorem. bir puan verilirse M(x 0, y 0), sonra çizgiye olan mesafe Ah + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. nokta olsun M1 (x 1, y 1)- noktadan düşen dikeyin tabanı M verilen için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M ve 1:

(1)

koordinatlar x 1 ve 1 denklem sisteminin bir çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, verilen bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

verilen hat. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ile + C = 0,

sonra, çözerek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1) ile değiştirerek şunu buluruz:

Teorem kanıtlanmıştır.